Templat tugas akhir S1

PENYELESAIAN MASALAH ROTASI ALIRAN FLUIDA
KENTAL VON KARMAN MENGGUNAKAN
METODE HOMOTOPI
RANDITA GUSTIAN PUTRI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Masalah
Rotasi Aliran Fluida Kental Von Karman Menggunakan Metode Homotopi adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2013
Randita Gustian Putri
NIM G54090020
ABSTRAK
RANDITA GUSTIAN PUTRI. Penyelesaian Masalah Rotasi Aliran Fluida Kental
Von Karman Menggunakan Metode Homotopi. Dibimbing oleh JAHARUDDIN
dan ALI KUSNANTO.
Persamaan Von Karman merupakan persamaan yang menjelaskan tentang
aliran fluida kental yang disebabkan oleh cakram yang berputar terus-menerus.
Dengan menganggap aliran tunak dan laminar, aliran fluida kental tak-termampatkan
dinyatakan dalam persamaan Von Karman dengan suatu kecepatan sudut dan
kecepatan dalam arah vertikal sebagai peubah tak bebasnya. Persamaan Von Karman
ini merupakan persamaan taklinear yang diselesaikan menggunakan metode
homotopi. Penggunaan metode homotopi dilakukan dengan mendefinisikan fungsi
homotopi yang memerlukan parameter bantu untuk mengontrol daerah
kekonvergenan penyelesaian. Penyelesaian yang dihasilkan merupakan suatu rumus
rekursif dengan suatu hampiran awal yang diberikan. Menggunakan software berbasis
fungsional diperoleh penyelesaian berupa besaran komponen kecepatan yang
konvergen ke suatu nilai.
Kata kunci: persamaan Von Karman, metode homotopi, masalah taklinear,
komponen kecepatan
ABSTRACT
RANDITA GUSTIAN PUTRI. Problem Solving of Von Karman Rotation
Viscous Fluid Flow Using Homotopy Method. Supervised by JAHARUDDIN and
ALI KUSNANTO.
Von Karman equation is an equation that describes fluid viscous flow
induced by infinite disk rotation. By assuming steady flow and laminar, viscous
incompressible fluid flow is represented in Von Karman equation by an angular
velocity and the vertical direction velocity as the independent variables. Von
Karman equation is a nonlinear problem that is solved using the homotopy
method. The use of homotopy method is done by defining an homotopy function
that requires auxiliary parameters to control the convergent region of the solution.
The solution is a recursive formula with given initial conditions. Using software
based-functional shows that velocity components converge to a value.
Keywords: Von Karman equation, homotopy method, nonlinear problem, velocity
components
PENYELESAIAN MASALAH ROTASI ALIRAN FLUIDA
KENTAL VON KARMAN MENGGUNAKAN
METODE HOMOTOPI
RANDITA GUSTIAN PUTRI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PEGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi: Penyelesaian Masalah Rotasi Aliran Fluida Kental Von Karman
Menggunakan Metode Homotopi
: Randita Gustian Putri
Nama
: G54090020
NllY1
Disetujui oleh
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II
Dr J aharuddin, MS
Pembimbing I
Tanggal Lulus:
. D9 -Jut
~n
Judul Skripsi : Penyelesaian Masalah Rotasi Aliran Fluida Kental Von Karman
Menggunakan Metode Homotopi
Nama
: Randita Gustian Putri
NIM
: G54090020
Disetujui oleh
Dr Jaharuddin, MS
Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih ialah
rotasi fluida, dengan judul Penyelesaian Masalah Rotasi Aliran Fluida Kental Von
Karman Menggunakan Metode Homotopi.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Ranu dan Ibu Sri Lestari
selaku orang tua atas doa dan dukungannya, serta Bapak Dr Jaharuddin, MS dan
Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing atas semua ilmu, motivasi, dan
bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini. Di samping itu, penulis ucapkan
terima kasih kepada Ibu Elis Khatizah, MSi selaku dosen penguji atas saran dan
kritik dalam penulisan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan
kepada seluruh dosen Departemen Matematika yang telah memberikan ilmu
kepada penulis, seluruh staf Departemen Matematika, teman-teman B06 TPB IPB
angkatan 2009, mahasiwa Matematika angkatan 46, teman-teman kost Pondok
Dinar, mahasiswa S2 IPB angkatan 2012, serta mahasiswa Matematika angkatan
43 sampai angkatan 45, atas segala kasih sayang dan doanya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2013
Randita Gustian Putri
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Persamaan Kontinuitas Fluida
2
Persamaan Navier Stokes
3
Metode Homotopi
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Aplikasi Metode
Studi Kasus
SIMPULAN DAN SARAN
5
6
12
15
Simpulan
15
Saran
16
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
24
DAFTAR GAMBAR
1 Kurva  terhadap h
2 Grafik fungsi w terhadap  dengan h = -0.5 dan  = 0.26167
3 Grafik fungsi g terhadap  dengan h = -0.5 dan  = 0.26167
13
14
15
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Penurunan Persamaan (58) dan (59)
Penurunan Persamaan (62) dan (63)
Penurunan Persamaan (68) dan (69)
Nilai , s(), dan g()
17
19
21
22
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Rotasi aliran fluida kental Von Karman merupakan masalah yang terkenal
dalam mekanika fluida. Salah satu aplikasinya adalah rotasi bahan bakar pesawat
ruang angkasa yang diluncurkan oleh NASA. Rotasi aliran fluida kental Von
Karman digunakan untuk menganalisis karakteristik bahan bakar pesawat ruang
angkasa yang mudah terbakar dalam keadaan sedikit gravitasi. Penelitian ini
didasarkan pada laju aliran bahan bakar dan kecepatan rotasi bahan bakar.
Kecepatan rotasi bahan bakar sangat memengaruhi timbulnya percikan api pada
media bahan bakar. Aliran Von Karman mengontrol besaran kecepatan rotasi agar
bahan bakar tidak menimbulkan percikan api yang dapat memengaruhi media
bahan bakar (Williams dan Nayagam 2002). Secara umum, persamaan Von
Karman menjelaskan tentang aliran fluida kental yang disebabkan oleh cakram
yang berputar terus-menerus. Dengan menganggap aliran tunak dan laminar,
aliran fluida kental tak-termampatkan ini berputar terus-menerus di atas cakram
dengan suatu kecepatan sudut. Persamaan gerak dari fluida ini dinyatakan dalam
persamaan kontinuitas dan persamaan Navier-Stokes dengan suatu kondisi batas
tertentu. Von Karman mengubah persamaan diferensial parsial pada persamaan
kontinuitas dan persamaan Navier-Stokes menjadi persamaan diferensial biasa
menggunakan suatu transformasi (Liao 2004). Banyak penelitian yang telah
menerapkan rotasi aliran fuida kental Von Karman. Di antaranya adalah efek
kondisi batas magnetik pada dinamo (Gissinger et al. 2008), model turbulen
dengan aliran Von Karman (Poncet dan Schiestel 2008), dan induksi rotasi aliran
Von Karman dengan feromagnetik (Verchille et al. 2010).
Pada umumnya, persamaan rotasi aliran fluida kental Von Karman
merupakan persamaan taklinear yang masih sulit untuk ditemukan
penyelesaiannya. Beberapa peneliti telah menggunakan pendekatan numerik atau
kombinasi analitik dan numerik untuk menyelesaikan masalah tersebut,
diantaranya metode pendekatan numerik untuk menyelesaikan persamaan Von
Karman (Benton 1966) dan metode homotopi tetapi dengan pendekatan deret
polynomial (El-Nahhas 2007). Salah satu metode yang memberikan pendekatan
penyelesaian analitik secara eksplisit dari persamaan taklinear adalah metode
homotopi. Dalam metode ini, didefinisikan suatu operator linear dan operator
taklinear yang didasarkan pada bentuk taklinear masalah tersebut. Kemudian
didefinisikan fungsi homotopi dengan penambahan beberapa parameter.
Penyelesaian masalah taklinear dengan menggunakan metode homotopi
dimisalkan dalam bentuk deret.
Di dalam karya ilmiah ini, dibahas penyelesaian masalah rotasi aliran
fluida kental menggunakan metode homotopi. Menggunakan software berbasis
fungsional akan ditentukan penyelesaian berupa komponen kecepatan dalam
sistem koordinat silinder.
2
Perumusan Masalah
Persamaaan kontinuitas dan persamaan Navier-Stokes pada rotasi aliran
fluida kental Von Karman merupakan persamaan taklinear yang dinyatakan dalam
sistem koordinat silinder. Penggunaan transformasi memunculkan suatu parameter
yang akan ditentukan dalam penyelesaian persamaan Von Karman, sehingga
masalah penyelesaian persamaan Von Karman menjadi kompleks. Metode
homotopi digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut, dengan
mendefinisikan suatu fungsi homotopi yang didasarkan pada persamaan Von
Karman.
Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian adalah
a Mengkonstruksi ulang penurunan persamaan kontinuitas dan persamaan
Navier-Stokes dalam sistem koordinat silinder yang merupakan persamaan
Von Karman (Streeter dan Wiley 1985).
b Menggunakan metode homotopi untuk menyelesaikan persamaan Von
Karman.
c Menggambarkan grafik penyelesaian persamaan Von Karman dengan
software berbasis fungsional, kemudian memberikan tafsiran terhadap
hasil-hasil tersebut.
TINJAUAN PUSTAKA
Persamaan Kontinuitas Fluida
Persamaan kontinuitas diturunkan berdasarkan pada kesetimbangan massa.
Kesetimbangan massa menyatakan bahwa perubahan massa rata-rata merupakan
selisih antara massa rata-rata yang masuk dan massa rata-rata yang keluar
(Streeter dan Wiley 1985). Dengan demikian, persamaan kontinuitas dapat
dituliskan dalam bentuk
̅
dengan rapat massa fluida, dan ̅ vektor kecepatan, serta t waktu. Jika fluida
memiliki sifat tak termampatkan, maka diperoleh suatu bentuk khusus dari
persamaan (1) yaitu:
̅
atau
) dimana u, dan masing-masing merupakan komponen
dengan ̅ (
kecepatan dalam arah x, y, dan z. Karena elemen volume yang dilalui fluida dapat
berbentuk sebarang, maka dapat diturunkan pula persamaan kontinuitas pada
3
sistem koordinat silinder. Sistem koordinat silinder dinyatakan dalam bentuk
pasangan terurut (r,,z) dengan
 dan
 . Jika aturan rantai
digunakan, maka diperoleh persamaan berikut
o 
[

in ) ]
in 
o  ]

Jika persamaan (3) dan (4) disubstitusikan ke dalam persamaan (2), maka
diperoleh
[
(
)

(

)
dengan
o 
in 
in 
o 

masing-masing merupakan kecepatan dalam arah r, dalam arah sudut , dan Vz
kecepatan dalam arah sumbu-z.
Persamaan Navier-Stokes
Persamaan Navier-Stokes diturunkan berdasarkan persamaan gerak pada
fluida. Persamaan gerak ini berpadanan dengan kekekalan momentum yang
menyatakan bahwa rata-rata perubahan momentum merupakan selisih antara ratarata momentum yang masuk dengan rata-rata momentum yang keluar kemudian
dijumlahkan dengan jumlah gaya-gaya yang terjadi pada sistem.
Penurunan persamaan Navier-Stokes dilakukan dengan asumsi-asumsi
sebagai berikut:
1 Fluida memiliki koefisien kekentalan (viskositas) yang konstan.
2 Fluida memiliki sifat tak termampatkan.
3 Kecepatan aliran fluida pada suatu titik tidak bergantung terhadap waktu
(tunak).
4 Aliran fluida bersifat kontinu dan tidak saling berpotongan (laminar).
5 Gaya gravitasi diabaikan.
Berdasarkan asumsi, persamaaan Navier-Stokes dituliskan dalam persamaan
vektor (Streeter dan Wiley 1985) berikut:
̅
̅
dengan , p, dan masing-masing merupakan rapat massa fluida, tekanan fluida,
dan koefisien kekentalan. Asumsikan kecepatan aliran fluida bersifat tunak,
̅
sehingga ̅ tidak bergantung pada t. Bentuk adalah turunan vektor ̅ terhadap t
sehingga diperoleh persamaan berikut :
[
]
[
]
[
]
[
]
4
[
]
[
]
Elemen volume yang dilalui fluida dapat berbentuk sebarang. Oleh karena
itu, dapat diturunkan pula persamaan gerak untuk elemen volume yang berbentuk
silinder. Penurunan ini diperoleh dengan transformasi dari sistem koordinat sikusiku ke sistem koordinat silinder. Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan
kontinuitas pada persamaan (5), maka diperoleh persamaan Navier-Stokes pada
sistem koordinat silinder berikut:




[
[
]


[


]
]
Metode Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep metode homotopi. Misalkan
diberikan persamaan diferensial berikut:
dengan N operator turunan, t variabel bebas dan u(t) fungsi yang akan ditentukan.
Selanjutnya, didefinisikan pula suatu operator L yang memenuhi
(12)
L[ f ] = 0, bila f = 0.
Misalkan u0(t) merupakan pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (11) dan
q  [0,1] suatu parameter. Didefinisikan suatu fungsi H sebagai berikut:
H[;q] = (1 - q) L[-u0(t)] + qN[].
(13)
Berdasarkan persamaan (13), untuk q = 0 dan q = 1 masing-masing memberikan
persamaan berikut:
H[(t;0);q] = L[(t;0) - u0(t)]
dan
H[(t;1);q] = N[(t;1)].
Menurut persamaan (11) sampai (13) diperoleh bahwa fungsi (t;0)=u0(t) dan
(t;1)=u(t) masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan
H[(t;0);0] = 0 dan H[(t;1);1] = 0.
Dengan demikian peningkatan nilai q dari 0 sampai 1 menyatakan perubahan nilai
H[;q] dari L[ - u0(t)] ke N[]. Dalam topologi hal ini disebut deformasi.
Perluasan metode homotopi lebih lanjut dapat dituliskan dalam bentuk
persamaan deformasi orde nol berikut :
(
) ,( )
( )( ) ,( )dengan ( ) adalah pendekatan awal, h dan B(t) masing-masing merupakan
parameter bantu dan fungsi bantu. Jika q = 0 dan q = 1, maka dari persamaan (14)
akan diperoleh ( )
dan ,( ).
Selanjutnya, karena parameter q bernilai dari 0 sampai 1, maka ( )
memetakan dari penduga awal
ke penyelesaian eksak u(t). Dengan
)
menggunakan konsep deret Taylor, (
dapat diuraikan menjadi
5
(
)
∑
dimana
(
()
)
|
Kemudian dengan menurunkan persamaan (14) terhadap q hingga n kali serta
mengevaluasi pada q = 0 dan dibagi dengan n! akan diperoleh bentuk persamaan
orde ke-n berikut:
( )]
( ) ,⃗
[ ( )
dengan
)
(
,⃗
|
( )
() {
Untuk q = 1, maka persamaan (15) menjadi
(
)
∑
Hasil ini menunjukkan adanya hubungan antara penyelesaian eksak dengan
pendekatan awal
dan
,n=
… yang akan ditentukan. Penyele aian
) dengan terlebih
pendekatan
, n = 1,2, … diperoleh dari per amaan
dahulu menentukan operator linear L. Pemilihan operator L perlu memperhatikan
validitas dari metode homotopi.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Tinjau persamaan kontinuitas dan persamaan Navier-Stokes dalam sistem
koordinat silinder pada persamaan (8) sampai (10) dengan kondisi batas diberikan
sebagai berikut :
ketika

ketika

dengan
kecepatan sudut sepanjang sumbu-z.
Selanjutnya, didefinisikan variabel
⁄

dan transformasi berikut

(
(
(
(
)
⁄
)
)


Jika transformasi pada persamaan (19) sampai (23) digunakan, maka
persamaan (5), (8), (9), dan (10) menjadi persamaan diferensial biasa berikut:
)
6
()
() - ()
() (
()
() ()
() ()
() ()
()
()
()
()
Kondisi batas pada persamaan (17) dan (18) menjadi
Berdasarkan persamaan (27) diperoleh
()
()
Jika persamaan (29) disubstitusikan ke dalam persamaan (24) dan (25), maka
diperoleh persamaan berikut:
()
() ()
() ()
()
dan kondisi batas (28) menjadi
() ()
()
() ()
Perhatikan bahwa pada kondisi batas (32) tidak diketahui kondisi batas
untuk
. Oleh karena itu, didefinisikan
( )

serta menggunakan transformasi
()


dan


dengan merupakan parameter. Jika per amaan 33) dan (34) digunakan, maka
persamaan (30) dan (31) menjadi

()

,
()- ( )
()
,

() ()
()- ()
()
() ()
dan kondisi batas (32) menjadi
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian persamaan (35) dan
(36) dengan kondisi batas (37) menggunakan metode homotopi.
Aplikasi Metode
Berikut ini akan dibahas penggunaan metode homotopi yang telah
diuraikan sebelumnya. Misalkan penyelesaian dari masalah nilai batas persamaan
(35) dan (36) menggunakan fungsi basis berupa fungsi eksponensial. Pemisalan
ini berdasarkan pada penyelesaian bentuk homogen persamaan (35) dan (36) yang
berbentuk eksponensial. Himpunan basisnya sebagai berikut:
*e p
+
 |
Penyelesaian persamaan (35) dan (36) dapat dinyatakan dalam bentuk:
()
∑
( )
()
∑
(
)
7
dengan dan adalah koefisien deret yang akan ditentukan. Selanjutnya, jika 
merupakan parameter bantu, maka berdasarkan persamaan (38) dan (39) dipilih
pendekatan awal dari  dan  sebagai berikut:

e p  e p 
 e p   ,e p  e p  Berikut ini akan ditentukan penyelesaian dari masalah kondisi batas (35)
dan (36) menggunakan pendekatan metode homotopi. Dalam metode homotopi ini,
suatu operator linear dipilih berdasarkan persamaan (35) dan (36), yaitu
( )



( )
Berdasarkan operator
dan

dan
diperoleh
e p 
e p 
e p

e p 
e p 
dimana
dan
merupakan koefisien. Kemudian dari persamaan (35) dan
(36) didefinisikan operator taklinear sebagai berikut:
, ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( ),
( )

( )
( )
( ) ( ) ( )[
]

dan
, ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( ),
( )

( )
( ) ( )

dengan q  [0,1] merupakan suatu parameter,  dan  adalah fungsi
yang bergantung pada  dan q,
dan
fungsi yang bergantung pada q.
Didefinisikan fungsi homotopi H sebagai berikut:







dan







dengan dan
merupakan dua parameter bantu yang taknol,
 dan

adalah dua fungsi bantu yang tak nol.
Selanjutnya, misalkan fungsi  dan  adalah penyelesaian dari
persamaan berikut:


dan


8
Berdasarkan persamaan (48) dan (49), persamaan (50) dan (51) dapat dituliskan
sebagai berikut:









dengan kondisi batas dari persamaan (37) menjadi
( )
(
)
(
)
|
 
dan

( )
|
 
Berdasarkan persamaan (52) dan (53), untuk q = 0 diperoleh



yang masing-masing merupakan pendekatan awal dari  dan  . Kemudian
ketika q = 1,


, diperoleh





Pemilihan pendekatan awal pada persamaan (40) dan (41) menjamin
adanya fungsi  dan  yang dapat diturunkan hingga n kali terhadap q.
Jika fungsi  diturunkan terhadap q hingga n kali di q = 0 kemudian dibagi n!,
maka diperoleh

()
|
Karena () pada persamaan (54) adalah tunggal, maka
penyajian deret Taylor di q = 0, yaitu berbentuk:
( )
( ) ∑
|

memiliki
atau
( )
()
∑
()
Selanjutnya, untuk q = 1 diperoleh
( )
Karena

()
∑
()
∑
( )
 , maka diperoleh
()
()
Jika fungsi  diturunkan terrhadap q hingga n kali di q = 0, kemudian dibagi
dengan n!, maka diperoleh
( )
()
|
Karena () pada persamaan (55) adalah tunggal, maka
penyajian deret Taylor di q = 0, yaitu berbentuk:
( )
( ) ∑
|

memiliki
9
atau


∑
()
.
Selanjutnya, untuk q = 1 diperoleh
( )
Karena


∑
()

∑
.
 , maka diperoleh

Jika fungsi
diturunkan terhadap q hingga n kali di q = 0, kemudian dibagi
dengan n!, maka diperoleh
( )
|
Karena pada persamaan (56) adalah tunggal, maka
deret Taylor di q = 0, yaitu berbentuk:
( )
∑
|
memiliki penyajian
atau
∑
Selanjutnya, untuk q = 1 diperoleh
∑
Karena
, maka diperoleh
∑
Jika fungsi
diturunkan terhadap q hingga n kali di q = 0, kemudian dibagi
dengan n!, maka diperoleh adalah
( )

|
Karena  pada persamaan (57) adalah tunggal, maka
deret Taylor di q = 0, yaitu berbentuk:
( )
∑
|
atau

Selanjutnya, untuk q = 1 diperoleh
∑
memiliki penyajian
10

∑
, maka diperoleh
Karena


∑
Hasil ini menunjukkan adanya hubungan antara penyelesaian eksak dari
persamaan (35) dan (36) dengan pendekatan awal 
,
 ,  serta
 dan  , n
… yang akan ditentukan. Per amaan untuk menentukan
 dan  diperoleh jika kedua ruas dari persamaan (52) dan (53) diturunkan
terhadap q hingga n kali dan dievaluasi pada q = 0 kemudian dibagi n!, maka akan
diperoleh persamaan berikut:
[ 
]

⃗ ⃗  )
[ 
]

⃗ ⃗ 
dengan kondisi batas
dimana
⃗
⃗
 )
⃗
⃗
 )
(




dan
(
|
)
|
)
Penurunan persamaan (58) dan (59) diberikan pada lampiran 1.
Jika persamaan (46) dan (47) masing-masing disubstitusikan ke persamaan (60)
dan
sebagai berikut:
dan (61), maka diperoleh bentuk
⃗
⃗
 )

∑[
] ∑
∑
[∑

]
[∑

]


∑
dan
⃗
∑[
⃗
 )

∑ 
dengan

∑0 
 ]


 1
11
∑
∑
∑
∑
Penurunan persamaan (62) dan (63) diberikan pada lampiran 2.
Terdapat empat besaran yang akan ditentukan yaitu  ,  , - , dan
 - , sedangkan hanya terdapat dua persamaan untuk  dan
 . Dengan
demikian dibutuhkan dua persamaan tambahan untuk menentukan - , dan  - .
Berdasarkan persamaan (39), (58) dan (59) dapat dipilih fungsi bantu
 dan
 berikut:
() e p( )
() e p( )
dengan dan bilangan bulat. Misalkan dipilih
dan
sehingga dari persamaan (64) dan (65) dipilih fungsi bantu sebagai berikut

dan

Selanjutnya untuk penyederhanaan dipilih
Berdasarkan persamaan (40) dan (41),
dan dapat dimisalkan dalam bentuk
⃗ ⃗ 
∑
(
 )e p

⃗ ⃗ 
∑
(
 )e p

dimana
(  ) dan
(  ) merupakan koefisien yang tidak bergantung
pada . Ada dua cara untuk menentukan
dan
dari persamaan (66) dan
(67). Cara pertama yaitu dengan membuat
(  ) dan
(  ) menjadi nol,
sehingga diperoleh
 (
)
dan 
Penyelesaian persamaan (68) memberikan

Kemudian cara kedua, yaitu dengan membuat
( )
dan
( )
.
Sehingga, diperoleh persamaan berikut
 (
)



Penyelesaian persamaan (69) memberikan
⁄
| |
(|  |) ⁄

dan
Penurunan persamaan (68) dan (69) diberikan pada lampiran 3.
Cara pertama hanya menemukan hubungan  dan
sehingga digunakan cara
kedua. Berdasarkan cara kedua ini digunakan untuk menentukan - , dan  - dari
persamaan berikut:
12
(⃗
dengan
.⃗
-
 )
dan
(⃗  )
.⃗ -  - / adalah koefisien dari persamaan
 - / dan
⃗
⃗

∑
(⃗
 )e p

⃗
⃗

∑
(⃗
 )e p

Berdasarkan persamaan (70) dan (71),
bentuk :
 dan
 dapat dimisalkan dalam

∑
e p


∑
e p

dengan
dan
merupakan koefisien yang akan ditentukan. Dari persamaan
(58) dan (59) dan berdasarkan persamaan (72) dan (73), maka penyelesaian
persamaan (35) dan (36) untuk orde ke-m dapat dinyatakan sebagai berikut:
()
∑ ∑
()
∑∑
)
(
e p(
)
dengan
∑
Dengan demikian
sebagai berikut
 dan
()
∑ .
 untuk orde ke-m pada persamaan (30) dan (31)
[
()
dan 
∑∑
∑∑
e p(
e p(
)]
)
Studi Kasus
Pada bagian ini akan dibahas suatu studi kasus penyelesaian persamaan
Von Karman dengan menggunakan metode homotopi. Berdasarkan uraian pada
13
bagian aplikasi metode, berikut ini prosedur untuk menentukan penyelesaian dari
persamaan Von Karman (30) dan (31):
1 Misalkan diberikan pendekatan awal (40) dan (41) untuk suatu .
2 Menentukan penyelesaian pendekatan untuk orde ke-m dari persamaan
Von Karman (30) dan (31) dilakukan sebagai berikut:
i Menentukan n n- ⃗ n- ⃗ n- n- dan n n- ⃗ n- ⃗ n- n- pada
persamaan (62) dan (63).
ii Menentukan
dan 
dari persamaan (70) dan (71) dengan
⁄
3
=  = (| -  |) .
) dari persamaan (72) dan (73) dengan
iii Menentukan  dan
an,k dan bn,k diperoleh dari persamaan (58) dan (59).
Menentukan penyelesaian persamaan Von Karman (30) dan (31) dari
persamaan (74) dan (75).
 :=0
    :  = 0.25
─── :  = 0.26167
Gambar 1 Kurva  terhadap h
Berdasarkan Gambar 1, jika  = 0, maka nilai  mencapai kekonvergenan
untuk h pada selang -1/5  h  0. Jika  = 1/4 maka nilai  mencapai
kekonvergenan untuk h pada selang -3/5  h  0. Selanjutnya jika  = 0.26167
diperoleh selang h yang lebih besar untuk mencapai  yang konvergen. Oleh
karena itu, dalam penelitian ini dipilih  = 0.26167 dan h = -0.5 dalam
menentukan penyelesaian persamaan (30) dan (31). Berdasarkan persamaan (62)
dan (63) dengan pendekatan awal (40) dan (41) diperoleh
()
.
e p( ) .
e p( )
.
e p( ) . e p( )
()
.
e p( ) .
e p( ) .
e p( )
()
.
e p( )
.
e p( ) .
e p( )
.
e p( )
.
e p( ) .
e p( )
()
.
e p( ) .
e p( ) .
e p( )
.
e p( )
.
e p( ) .
e p( )
Penyelesaian persamaan (35), (36), dan (37) dengan metode homotopi adalah
14
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
dengan (), (), (), (), (), (), (), dan () diberikan pada
Lampiran 4.
Berdasarkan persamaan (74) dan (75) diperoleh grafik fungsi w() dan g().
Gambar 2 Grafik fungsi w terhadap  dengan
h = - 0.5 dan  = 0.26167
Berdasarkan Gambar 2 diperoleh bahwa kurva w() konvergen ke -0.878 bila
  . Dengan kata lain kecepatan partikel dalam arah sumbu z yaitu Vz untuk
fluida yang hampir tidak kental (  0) adalah 0.878 x ( )1/2 dengan
kekentalan fluida dan
konstanta kecepatan sudut. Untuk fluida yang hampir
kental (  ), partikel hampir tidak bergerak dalam arah sumbu-z.
Berikut ini diberikan Tabel 1 yang menyatakan galat antara nilai -w(+) dan 
dengan  = 0.26167 dan h = - 0.5 hingga orde ke-5.
Tabel 1 Galat antara -w(+) dan  dengan  = 0.26167 dan h = - 0.5
Orde ke1
2
3
4
5

0.859261310
0.864152718
0.868540978
0.876812496
0.878913771
-w (+)
0.859257831
0.864152428
0.868545963
0.876812375
0.878136296
|  - [-w (+)] |
3.479 x 10-6
2.380 x 10-7
4.985 x 10-6
1.210 x 10-7
7.774 x 10-4
Berdasarkan Tabel 1 diperoleh bahwa  mendekati -w (+) hingga orde
ke-5 dengan rata-rata galat yang sangat kecil yaitu 10-5. Ini berarti metode
15
homotopi untuk menyelesaikan persamaan Von Karman (36) dan (37)
memberikan hasil yang baik. Berikut ini diberikan kurva penyelesaian dari g()
terhadap .
g ()
Gambar 3 Grafik fungsi g terhadap  dengan
h = -0.5 dan  = 0.26167
Berdasarkan Gambar 3 diperoleh kurva g() konvergen ke 0 bila   .
Dengan kata lain, partikel fluida hampir tidak bergerak dalam arah tangential
yaitu V untuk fluida yang hampir tidak kental (  0). Untuk fluida yang hampir
kental (  ), kecepatan partikel dalam arah sumbu  yaitu V adalah r
dengan
merupakan konstanta kecepatan sudut.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Metode homotopi adalah suatu metode pendekatan analitik untuk
menyelesaikan suatu masalah taklinear. Metode ini dapat digunakan untuk
menyelesaikan persamaan kontinuitas dan persamaan Navier-Stokes pada rotasi
aliran fluida kental Von Karman. Penggunaan metode homotopi untuk
menyelesaikan persamaan Von Karman memerlukan suatu operator taklinear yang
ditentukan berdasarkan bentuk taklinear dari persamaan Von Karman tersebut.
Berdasarkan operator ini, diperoleh suatu rumus rekursif untuk memperoleh
serangkaian penyelesaian persamaan Von Karman.
16
Penyelesaian hampiran persamaan Von Karman merupakan kombinasi
linear dari rangkaian penyelesaian tersebut. Semakin tinggi orde yang digunakan,
maka semakin mendekati penyelesaian eksak dari persamaan Von Karman.
Dalam penelitian ini, diperoleh penyelesaian masalah berupa besaran
komponen kecepatan sudut dan komponen kecepatan dalam arah sumbu-z dari
masalah Von Karman. Untuk fluida yang kental, partikel fluida bergerak dengan
kecepatan sudut sebesar r tetapi partikel fluida tidak bergerak dalam arah
sumbu-z. Untuk fluida yang tak kental, partikel fluida tidak bergerak dalam arah
sudut , tetapi partikel fluida bergerak dengan kecepatan dalam arah sumbu-z
sebesar 0.878 x ( )1/2. Pemilihan parameter h dan  menentukan kekonvergenan
dari penyelesaian tersebut.
Saran
Dalam karya ilmiah ini digunakan beberapa asumsi untuk memperoleh
pendekatan penyelesaian analitik dari masalah Von Karman. Perlu adanya
penelitian lanjutan untuk masalah Von Karman bila beberapa asumsi tidak
digunakan.
DAFTAR PUSTAKA
Benton ER. 1966. On the flow due to a rotating disk. J.Fluid Mech. 24:781-800.
Doi: http://dx.doi.org/10.1017/S002211206001009.
El-Nahhas A. 2007. Analytic approximations for Von Karman swirling flow. Sci.
44(3):181-187.
Gissinger C, Iskakov A, Fauve S, Purmy E. 2008. Effect of magnetic boundary
condition on the dynamo threshold of Von Karman swirling flow. Europhysics
Letter. Doi:10.1209/0295-5075/82/29001.
Liao. 2004. Beyond Perturbation : Introduction to The Homotopy Analysis
Method. New York (US) : Boca Raton.
Poncet S, Schiestel R, Manchaux R. 2008. Turbulence modelling of the Von
Karman flow: viscous and inertial stirrings. Internal Journal of Heat and Fluid
Flow. 29(1):62-74. Doi: 10.1016/j.ijheatfluidflow.2007.05.005.
Streeter VL, Wiley EB. 1985. Mekanika Fluida Jilid 1. Prijono A, penerjemah.
Jakarta(ID) : Penerbit Erlangga. Terjemahan dari : Fluid Mechanics, Ed ke-8.
Temam R. 1977. Navier-Stokes Equation : Theory and Numerical Analysis. New
York (US) : North-Holland Publishing Company.
Verchille G, Pilhon N, Bourgoin M, Odier P, Pinton JF. 2010. Induction in Von
Karman flow driven by ferromagnetic impellers. Phys. Doi: 10.1088.13672630/12/3/033006.
Williams FA, Nayagam V. 2002. Dynamics of diffusion flames in Von Karman
swirling flow studied. Microgravity Research NASA[Internet]. California, San
Diego.
[diunduh
Mei
2012].
Tersedia
pada:
www.grc.nasa.gov/WWW/RT/RT2001/6000/6711nayagam.html
17
Lampiran 1 Penurunan Persamaan (58) dan (59)
Tinjau persamaan (59) dan (60) berikut:










atau
, ( ) (), ( ) ()


[ ( ) ()]
[ ( ) ()]



Turunan pertama terhadap q dari kedua ruas persamaan (59) dan (60) masingmasing sebagai berikut:
, ( )
(), ( )
(), ( )
()
()
( )

()
[ ( )
()]

[ ( )


()
()
[ ( )
()]

()-
( )
, ( )
( )
, ( )
[ ( )

()]

, ( )
, ( )
[ ( )
()]


Turunan kedua
, ( )
()-

()-
( )-
( )
()]
( )
( )-
[ ( )
()]




Dengan langkah yang sama, turunan ke – n terhadap q adalah
, ( )
(), ( ) (), ( )
()
, ( )
()
[ ( )
()]
( )
( )
, ( )
[ ( )
()-
( )( )
()]
( )
( )-
[ ( )
()]
18






Untuk q = 0 dan kedua ruas dikalikan dengan
diperoleh
[



⃗
⃗
 )
0



⃗
⃗
 /
dengan
⃗
{
{



()

()
⃗
⃗
 )
⃗
⃗
 )


(
(


}
}
|
|




)
)
dan
{
|
|
19
Lampiran 2 Penurunan Persamaan (62) dan (63)
Tinjau persamaan (60) berikut:
⃗
⃗

 )
(

|
)
Untuk n = 1, diperoleh
⃗ ⃗ )
( )

Karena
diperoleh
⃗ ⃗ 
( )(





 dan













∑



(


∑
∑
Selanjutnya, tinjau persamaan (61) berikut:

⃗ ⃗  )
( )
Untuk n = 1, diperoleh
()
(
⃗ ⃗ )
Untuk n = 2, diperoleh
,
()-

()
|

()
()




∑
∑

]
dimana




∑



[∑
]



] ∑
[∑


maka
( )




… diperoleh
Secara umum untuk n
⃗ ⃗  )


)







( )

( )
Untuk n = 2, diperoleh
⃗ ⃗ 

 
∑[

( )

20
(
⃗ ⃗ )

 
Secara umum untuk n
⃗ ⃗  )
∑[

∑ 





 

… diperoleh
 






 ]
∑0 


 1






21
Lampiran 3 Penurunan Persamaan (68) dan (69)
Berdasarkan persamaan (62) dan (63), maka untuk n = 1 diperoleh
⃗ ⃗ 





( )


⃗ ⃗ 
 

 


sehingga, persamaan (66) dan (67) dapat diuraikan sebagai berikut
[- 

] e p (- ) [ 
- 
- 

-  e p





 e p 
, 

 -e p

(  )e p 
(  )e p 
(  )e p 
(  )e p 
–  – 


 e p



  e p

(  )e p 
(  )e p

(  )e p

Oleh karena itu, diperoleh konstanta berikut
( )


( )






( )





( )



(  )  

( )

–  
(  ) 

( )
dan
( )
, maka mengakibatkan
Jika


 

atau
 (
)
(
)
Jika dua persamaan di atas diselesaikan, maka diperoleh

Jika
( )
dan
( )
maka mengakibatkan








atau




–
 
atau
 (
)



Jika dua persamaan diatas diselesaiakan, maka diperoleh
 (|
 |)
 (|
 |)
[


] e p ( )

22
Lampiran 4 Nilai , s(), dan g()
Berdasarkan persamaan (62) dan (70), diperoleh konstanta
dan
diperoleh
 Kemudian, bila
parameter  = 0.26167. Jika
dan 
, diperoleh

)
(

,
√

 √

dan
. Jika
diperoleh
√





Dengan cara yang sama diperoleh




–



 –
 )
Selanjutnya untuk mendapatkan solusi s() dan g() digunakan parameter  =
0.26167 dan h = -0.5.
Berdasarkan persamaan (58) dan (70), untuk n = 1 diperoleh
0 
1
⃗ ⃗ 
dengan
0
0

 -
⃗ ⃗  sebagai berikut
 1 dan
1
(
)
)
(
⃗ ⃗ 
(

 )
( ) (

 )
(


 )
( )


Sehingga diperoleh ( )
dan  sebagai berikut
( )
.
(- ) - .
(- )
.
(- ) - .

Berdasarkan persamaan (59) dan (71), untuk n = 1 diperoleh
[ 
]
⃗ ⃗ 
dengan [   ] dan
⃗ ⃗  sebagai berikut
[

]
(
)
(
)
⃗ ⃗ 
.
( )
.
( )
sehingga diperoleh
( )
.
( ) .
( ) .
( )
Dengan cara yang sama diperoleh
()
.
( )
.
( ) .
( )
.
.
( ) .
( )
()
.
( )
.
( ) .
( )
.
.
( ) .
( )

.
()
.
( )
.
( )
.
( )
.
( )
.
( )
.
( )
()
.
( )
.
( )
.
( )
.
( ) .
( )

.
()
.
( )
.
( )
( )
(
(
(
)
)
(- )
)
(
)
(
)
23
.
( )
e p

( )
.
.
e p

.
e p
.
()
.

.
.
()
.
( )
.
.

.

.
.
(
.
( )
.
( )
e p

)
.
( ) .
e p
e p
 .
e p


( )
.
( )
.
( )
e p

.
e p

.
e p

e p-  - .
e p- 
.
e p-  - .
( ) .
( )
.
( ) .
e p 
e p

.
e p

.
e p

.
e p

24
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Ponorogo tanggal 15 Agustus 1991 sebagai anak
pertama dari 2 bersaudara dari pasangan Ranu dan Sri Lestari. Pendidikan formal
yang ditempuh penulis yaitu di SDN Ujung Menteng 01 Pagi lulus pada tahun
2003, SMP Negeri 193 Jakarta Timur lulus pada tahun 2006, SMA Negeri 89
Jakarta lulus pada tahun 2009 dan pada tahun yang sama penulis di terima di
Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menuntut ilmu di IPB, penulis berkecimpung dalam kepanitiaan
berbagai acara di antaranya adalah Matematika Ria 2011 sebagai staf
kesekretariatan, Matematika Ria 2012 sebagai dtaf kesekretariatan, dan IPB
Mathamatics Challenges 2012 (IMC) sebagai ketua divisi kesekretariatan. Penulis
mendapat beasiswa Peningkatan Prestasi Akademik (PPA) periode 2010-2013.
Selain itu, penulis juga pernah menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Metode
Statistik dan Kalkulus III serta menjadi pengajar bimbel di sekitar kampus.