pengoptimuman alignment struktur protein menggunakan clique

1
PENGOPTIMUMAN ALIGNMENT STRUKTUR PROTEIN
MENGGUNAKAN CLIQUE MAKSIMUM
DIAN NUGRAHA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2013
2
ABSTRAK
DIAN NUGRAHA. Pengoptimuman Alignment Struktur Protein Menggunakan Clique
Maksimum. Dibimbing oleh SISWANDI dan NUR ALIATININGTYAS.
Alignment struktur protein menjelaskan hubungan kesamaan fungsi dari dua jenis protein.
Permasalahan alignment struktur protein dapat dilihat melalui masalah Contact Map Overlap
(CMO). Masalah CMO dapat diselesaikan dengan mencari clique maksimum pada suatu graf,
dimana verteks dan sisi merepresentasikan asam-asam amino dan hubungan antar asam-asam
amino secara berurutan. Pada karya ilmiah ini, permasalahan mencari clique maksimum
menggunakan dua langkah utama, yaitu menyusun beberapa verteks dan sisi berdasar pada sifat
khusus graf dan preprocessing verteks. Implementasi model dilakukan dengan menggunakan
struktur protein hipotetik.
Kata kunci: Contact Map Overlap, alignment, protein, clique maksimum
3
ABSTRACT
DIAN NUGRAHA. Optimization of Protein Structure Alignments Using Maximum Cliques.
Supervised by SISWANDI and NUR ALIATININGTYAS.
An alignment of protein structures describes the relationship of two types of proteins similarity
function. The problems of the protein structure alignments can be identified through the problems
of the Contact Map Overlap (CMO). The problems of CMO can be solved by finding a maximum
clique in a graph, where vertices and edges represent the amino acids and contacts between any
two amino acids respectively. In this paper, the problem of finding maximum cliques is using two
main steps, the arranging vertices and edges based on the special properties of the graph and
preprocessing vertices. Implementation of the model is done by using the structure of a
hypothetical protein.
Keywords: Contact Map Overlap, alignments, protein, maximum cliques
4
PENGOPTIMUMAN ALIGNMENT STRUKTUR PROTEIN
MENGGUNAKAN CLIQUE MAKSIMUM
DIAN NUGRAHA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2013
5
Judul Skripsi
Nama
NIM
: Pengoptimuman Alignment Struktur Protein Menggunakan
Clique Maksimum
: Dian Nugraha
: G54070045
Menyetujui
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Drs. Siswandi, M.Si.
NIP: 19640629 199103 1 001
Dra. Nur Aliatiningtyas, MS.
NIP: 19610104 198803 2 002
Mengetahui:
Ketua Departemen,
Dr. Berlian Setiawaty, M.S.
NIP: 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus:
6
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas berkat, rahmat dan kasih sayang-Nya
sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis
sehingga banyak sekali orang yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah
ini. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. keluarga tercinta: Ibu dan Bapakku (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran,
kepercayaan, kasih sayang, dan motivasinya), Adik-adikku (terima kasih atas doa,
semangat, motivasi dan dukungannya), dan keluarga besar baik dari Ibu dan Bapak
(terima kasih atas doanya),
2. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan
pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa,
3. Dra. Nur Aliatiningtyas, MS. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu,
kritik dan saran, motivasi serta doanya,
4. Muhammad Ilyas. S.Si, M.Sc selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran
dan doanya,
5. segenap dosen Departemen Matematika IPB, terima kasih atas semua ilmu yang telah
diberikan,
6. staf Departemen Matematika: Bapak Yono, Ibu Susi, Ibu Ade, Alm. Bapak Bono, Bapak
Deni, Mas Hery, Ibu Yanti atas semangat dan doanya,
7. sahabat terbaik saya, Aulia Retnoningtyas, Pandi, Della Azizah, Mirna Sari Dewi, Wenti
Ismayulia, Eka Nurhasannudin, sahabat-sahabat saya di Pondok Handayani, sahabatsahabat saya di DR C30, Komunitas Author of The Dream dan teman-teman Botit yang
tidak bisa saya sebutkan satu persatu (terima kasih atas semangat, motivasi dan doanya),
8. teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 44: Rizqy, Denda, Imam, Mutia, Masayu,
Sri, Rachma, Fajar, Rofi, Ayung, Lina, Siska, dan teman-teman lainnya atas doa,
dukungan semangatnya serta kebersamaannya selama 4 tahun,
9. kakak-kakak Matematika angkatan 42 dan 43 yang menjadi cermin untuk menjadi pribadi
yang lebih baik,
10. adik-adik Matematika angkatan 45 dan 46 yang terus mendukung agar berkembang,
11. Gumatika yang menunjukkan sebuah hal yang baru,
12. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang
matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, September 2013
Dian Nugraha
7
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 13 Januari 1989 dari bapak Engking Sukiman dan
ibu Ipah Tasripah. Penulis merupakan putra pertama dari tiga bersaudara.
Penulis menyelesaikan pendidikan dasar dan menengah di SD Negeri Benda Baru II pada
tahun 2001, SMP Negeri 2 Pamulang pada tahun 2004, dan tahun 2007 penulis lulus dari SMA
Negeri 1 Kota Tangerang Selatan. Pada tahun 2007 pula penulis diterima sebagai mahasiswa IPB
melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika pada
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi himpunan profesi
Departemen Matematika yang dikenal dengan GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika)
sebagai Staf Divisi Pengembangan Sumber Daya Mahasiswa (PSDM) tahun 2009-2010. Penulis
pernah menjadi ketua Komisi Disiplin dalam acara Masa Perkenalan Departemen untuk angkatan
2008 dan 2009 atau angkatan 45 dan 46, serta penulis juga pernah menjadi anggota panitia dan
koordinator di berbagai acara kemahasiswaan. Penulis juga aktif dalam organisasi non
kemahasiswaan, yaitu komunitas penulis muda di IPB bernama Author of The Dream dan telah
menerbitkan kumpulan cerpen bersama berjudul SAM! Sinema Akhir Mahasiswa.
8
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ........................................................................................................................ ix
DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................... ix
DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................................
I
x
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ..................................................................................................................
1.2 Tujuan Penulisan ..............................................................................................................
1
1
II LANDASAN TEORI
2.1 Graf ...................................................................................................................................
2.2 Protein ..............................................................................................................................
1
3
III MASALAH CONTACT MAP OVERLAP
3.1 Contact Map Protein .........................................................................................................
3.2 Contact Map Overlap .......................................................................................................
4
4
IV PEMODELAN MASALAH CONTACT MAP OVERLAP
4.1 Relasi Masalah CMO dalam Masalah Clique Maksimum ................................................
4.2 Sifat Khusus Graf
........................................................................................................
4.2.1 Susunan Verteks dalam Graf
..............................................................................
4.2.2 Preprocessing Berdasarkan Verteks Tetangga ........................................................
6
8
8
9
V STUDI KASUS
5.1 Penentuan Graf
............................................................................................................ 12
5.2 Penentuan Batas Bawah Graf
...................................................................................... 13
5.3 Preprocessing Penyelesaian Masalah Contact Map Overlap ........................................... 15
VI SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan ........................................................................................................................... 17
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................. 18
LAMPIRAN ........................................................................................................................... 19
viii
9
DAFTAR TABEL
1
2
Halaman
Derajat
setiap verteks di graf
................................................................................ 26
Posisi (baris dan kolom) setiap verteks tetangga di graf .................................................. 26
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
Halaman
Graf
.................................................................................................................
1
Adjacent dan incident ........................................................................................................
2
Ilustrasi derajat pada graf ...................................................................................................
2
Clique-4 .............................................................................................................................
2
Tingkatan struktur protein .................................................................................................
3
Contact map protein A dan B ............................................................................................
4
Contact map overlap pada protein A dan B .......................................................................
4
Masalah CMO takfisibel pada protein A dan B .................................................................
5
Contoh masalah CMO pada protein A dan B ....................................................................
6
Contoh solusi fisibel graf
berdasar Gambar 9 ..............................................................
7
Contoh solusi takfisibel graf
berdasar Gambar 8 ..........................................................
7
Graf
berdasarkan contoh pada Gambar 6 .....................................................................
7
Penomoran diagonal tenggara graf
...............................................................................
8
Hipotetis protein A dan B .................................................................................................. 12
Verteks
yang terbentuk ................................................................................................. 12
Overlap
,(
} ...................................................................... 12
Sisi fisibel .......................................................................................................................... 12
Overlap
,
..................................................................... 13
Sisi fisibel .......................................................................................................................... 13
Overlap
,
..................................................................... 13
Sisi fisibel .......................................................................................................................... 12
Graf Gp berdasar Gambar 14 ............................................................................................. 13
Penyederhanaan notasi graf
.......................................................................................... 13
Verteks
sebagai awal .............................................................................................. 14
...................................................................................................................... 14
......................................................................................................... 14
.............................................................................................. 14
Clique-4 dengan
..................................................... 14
Penomoran diagonal tenggara graf ................................................................................ 15
Diagonal tenggara (5) dan (6) graf
............................................................................... 15
Subgraf berisi verteks diagonal tenggara (5) dan (6) dari graf
..................................... 15
Graf hasil Langkah 2 ......................................................................................................... 15
Graf hasil Langkah 3 ......................................................................................................... 16
Verteks awal
.......................................................................................................... 16
Pewarnaan verteks merah dan biru .................................................................................... 16
Pewarnaan verteks merah, biru dan kuning ........................................................................ 16
Hasil pewarnaan graf
.................................................................................................... 16
Clique maksimum graf
................................................................................................. 17
Solusi optimal graf
....................................................................................................... 17
Overlap optimal masalah CMO berdasar Gambar 14 ........................................................ 17
Posibilitas pasangan overlap fisibel berdasar Gambar 14 .................................................. 22
ix
10
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
Halaman
Pembuktian Lemma 2 ........................................................................................................ 20
Pembuktian Teorema 1 ...................................................................................................... 20
Pembuktian Lemma 3 ........................................................................................................ 21
Pembuktian Lemma 4 ........................................................................................................ 21
Posibilitas CMO fisibel untuk mencari jumlah
berdasarkan Gambar 12 ................ 22
Penentuan banyaknya derajat setiap verteks di graf
..................................................... 26
Penentuan posisi baris atau kolom verteks tetangga untuk setiap verteks di graf
......... 26
x
11
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Protein merupakan salah satu biomakromolekul yang penting peranannya
dalam makhluk hidup. Protein terbentuk dari
rangkaian asam-asam amino yang terikat satu
sama lain dalam ikatan peptida. Urutan asam
amino yang khas dan berbeda akan
memengaruhi konformasi tiga dimensi (3D)
dalam struktur tersier pada setiap jenis protein.
Ketika suatu polipeptida dalam protein
melipat, asam amino yang tidak berturutan di
dalam rangkaian aslinya dapat juga sangat
dekat dan membentuk suatu hubungan contact
antara satu sama lain yang diakibatkan oleh
pengaruh fisik dan kimiawi protein tersebut.
Hubungan contact yang terjadi dalam struktur
tersier tersebut dapat direpresentasikan secara
simetri sebagai contact map.
Contact map dalam protein dapat
dinyatakan sebagai suatu graf takberarah yang
merepresentasikan secara singkat struktur tiga
dimensi dari protein dengan verteks
menyatakan asam amino dan sisi antara dua
verteks menyatakan keadaan dua asam amino
yang mengalami contact. Pada contact map
yang ekuivalen dalam dua protein, akan
terdapat suatu alignment yang menunjukkan
suatu ikatan antara contact-contact dalam
protein pertama dengan contact-contact dalam
protein kedua. Setiap pasangan contact
tersebut dinamakan overlap.
Masalah Contact Map Overlap (CMO)
bertujuan mengukur kesamaan antara dua
struktur
tersier
protein
dengan
membandingkan kedekatan asam amino yang
tidak berturutan. Solusinya adalah dengan
menentukan jumlah overlap maksimum yang
dapat terbentuk. Model masalah Contact Map
Overlap dari alignment struktur protein dapat
digambarkan sebagai masalah maksimum
clique dalam suatu kasus pendefinisian graf.
Sebuah clique dalam graf adalah subgraf
dengan sifat bahwa setiap pasang verteksnya
terhubung oleh sisi.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas
masalah Contact Map Overlap yang optimal
pada protein dengan menggunakan metode
maksimum clique. Sumber utama karya ilmiah
ini diambil dari jurnal yang berjudul Optimal
Protein Structure Alignment Using Maximum
Cliques (Dawn M Strickland et al. 2005).
1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah
sebagai berikut :
1. Menyelesaikan masalah CMO pada protein
dengan cara mencari clique maksimum
dalam suatu masalah graf.
2. Memberikan studi kasus untuk mencari
solusi yang optimal dalam masalah CMO.
II LANDASAN TEORI
2.1 Graf
Definisi 1 (Graf)
Suatu graf
adalah pasangan terurut
dengan atau
adalah himpunan
berhingga dan takkosong dari elemen graf
yang disebut verteks (node, point), sedangkan
atau
adalah himpunan pasangan yang
menghubungkan dua verteks dalam graf
disebut sisi (edge, line). Setiap sisi
pada
dapat dinotasikan dengan
atau
.
Banyaknya verteks dari suatu graf disebut
order dan banyaknya sisi pada suatu graf
disebut size.
(Chartrand & Zhang 2009)
Graf
:
w
u
x
v
Gambar 1 Graf
Pada Gambar 1 diperlihatkan graf
y
.
dengan
dan
Order dari graf pada Gambar 1 adalah 5 dan
size-nya adalah 4.
12
Definisi 2 (Adjacent dan incident)
Misalkan
dan
verteks pada graf .
Verteks dikatakan tetangga (adjacent) dari
jika ada sisi yang menghubungkan verteks
dan , yaitu
. Himpunan semua
tetangga dari verteks
dinotasikan dengan
. Jika
adalah sisi pada graf
maka dikatakan incident dengan verteks
dan .
(Chartrand & Zhang 2009)
Graf
:
u
e2
x
v
e1
e3
e4
e5
w
Gambar 2 Adjacent dan incident.
Ilustrasi
adjacent
dan
incident
diperlihatkan pada Gambar 2. Verteks
adjacent dengan verteks
dan
tetapi
verteks
tidak adjacent dengan verteks .
Verteks
incident dengan sisi
, tetapi
verteks tidak incident dengan sisi .
Definisi 3 (Derajat/degree)
Derajat suatu verteks adalah banyaknya
sisi yang incident dengan verteks , dan
dinotasikan dengan
atau
atau
.
(Vasudev 2007)
Graf
Definisi 4 (Subgraf)
Suatu graf dikatakan subgraf dari graf
jika
dan
.
(Chartrand & Oellermann 1995)
Graf
merupakan subgraf dari graf
.
Definisi 5 (Neighbour/neighbor)
Neighbour/neighbor
dari
himpunan
verteks dalam graf adalah himpunan dari
semua verteks yang adjacent dengan verteks
dalam dan dinotasikan dengan
.
(Chartrand & Oellermann 1995)
Definisi 6 (Clique)
Clique dalam graf adalah subgraf dari
dimana untuk setiap pasang verteks dan
dalam ,
. Clique dikatakan
maksimum (clique maksimum) jika tidak ada
clique lain yang dapat dibentuk dan memuat
order lebih besar daripada clique tersebut di
graf . Banyaknya order maksimum dalam
suatu clique disebut clique number dari graf
dan dinotasikan oleh
. Clique dapat
dituliskan sebagai clique-k adalah clique yang
dibentuk oleh verteks.
(Chartrand & Oellermann 1995)
Sebagai ilustrasi, graf
pada Gambar 4
merupakan clique maksimum berdasarkan
graf
dengan clique-4.
Graf
:
y
:
w
y
x
z
w
x
v
Gambar 4 Clique-4.
u
v
Gambar 3 Ilustrasi derajat pada graf.
Pada Gambar 3 diperlihatkan bahwa
,
, dan
.
Definisi 7 (Pewarnaan/coloring)
Pewarnaan dari graf
merupakan
pemberian warna verteks dari , sehingga
verteks yang adjacent mempunyai warna yang
berbeda. Jika ada
warna yang digunakan,
maka pewarnaan disebut sebagai n-coloring.
(Chartrand & Oellermann 1995)
13
Definisi 8 (Chromatic number)
Chromatic number dari suatu graf
adalah banyaknya warna minimum yang dapat
digunakan dalam pewarnaan graf
dan
dinotasikan dengan
.
(Vasudev 2007)
Definisi 9 (Graf Perfect)
Graf perfect adalah suatu graf yang
mempunyai clique number dan chromatic
number yang sama
.
(Chartrand & Oellermann 1995)
2.2 Protein
Protein merupakan polimer yang dibentuk
dari rangkaian asam-asam amino, yaitu
molekul organik yang memiliki gugus
karboksil (COOH) dan gugus amino (NH2)
(Campbell et al. 2004). Dua asam amino yang
diposisikan sedemikian rupa sehingga gugus
karboksil dari satu asam amino berdekatan
dengan gugus amino dari asam amino yang
lain akan membentuk suatu ikatan kovalen
yang disebut ikatan peptida. Jika proses itu
dilakukan berulang-ulang, maka akan
menghasilkan polipeptida, suatu polimer yang
terdiri dari banyak asam amino yang berikatan
melalui ikatan peptida.
Jenis protein sangat beragam, tetapi semua
molekulnya dibangun dari kumpulan 20 asam
amino yang sama dengan urutan asam amino
yang khas dan berbeda. Hal ini disebabkan
karena kondisi fisik dan kimiawi lingkungan
protein tersebut. Perbedaan urutan asam
amino yang unik di sepanjang rantai
polipeptida menentukan konformasi (bentukbentuk molekul) tiga dimensi apa yang akan
diambil oleh protein tersebut. Banyak protein
berbentuk globuler (secara kasar agak bulat),
sementara yang lain bentuknya seperti serat.
Protein adalah makromolekul yang
mempunyai struktur paling kompleks. Bentuk
arsitektur kompleks protein terdiri dari tiga
tingkatan struktur yang saling berimpitan
yaitu struktur primer, sekunder dan tersier.
Struktur primer terdiri dari asam-asam amino
yang dihubungkan oleh ikatan peptida dan
mempunyai urutan yang spesifik. Struktur
sekunder adalah pelipatan atau pelilitan
polipeptida dalam konfigurasi berulang,
seperti α-heliks dan lembaran berlipat-lipat
(β-sheet) yang dihasilkan dari pembentukan
ikatan hidrogennya. Struktur tersier adalah
keseluruhan bentuk tiga dimensi suatu
polipeptida dan dihasilkan dari interaksi
antara rantai-rantai samping asam amino.
Tingkatan keempat, yaitu struktur kuartener
yang terjadi ketika suatu protein terdiri atas
dua atau lebih rantai polipeptida (Campbell et
al. 2004).
Protein dapat mengalami pelipatan
(folding). Pelipatan protein memengaruhi
konformasi tiga dimensi dalam rangkaian
polipeptida yang mengakibatkan adanya
hubungan contact asam-asam amino antara
satu protein ke protein lain. Hubungan contact
ini disebabkan adanya kesamaan sifat fisik
dan kimiawi antara asam-asam aminonya.
Gambar 5 Tingkatan struktur protein (primer
(atas) sampai dengan kuartener (bawah))
14
III MASALAH CONTACT MAP OVERLAP
3.1 Contact Map Protein
Struktur tersier protein menggambarkan
konformasi tiga dimensi (3D) yang dapat
disederhanakan menjadi dua dimensi melalui
contact map antar asam amino. Ahli biologi
mendefinisikan contact map dalam protein
sebagai graf takberarah yang berisi satu
verteks untuk satu asam amino dan sisi antara
dua verteks menyatakan bila antara dua asam
amino yang tidak berturutan dalam keadaan
“in contact”, yaitu jika karbon alfa dari dua
asam amino yang tidak berturutan sangat
dekat satu sama lain dalam struktur tersier
protein.
Ketika protein melipat, ikatan peptida
memaksa asam-asam amino yang berturutan
dalam rangkaian aslinya pun dapat juga sangat
dekat antara satu sama lain dalam struktur
tersier. Dikarenakan asam amino dan
berturutan, mereka saling berbagi ikatan
peptida dan secara otomatis mengalami
contact. Namun contact yang demikian tidak
dianggap
dan
tidak
dibahas
dalam
permasalahan ini.
Secara matematika, Erik Bernstein (2008)
mendefinisikan contact map dari suatu
rangkaian polipeptida
yang
mengandung
asam
amino
dapat
direpresentasikan
sebagai
suatu
graf
takberarah
dengan himpunan
verteks
dan
sebagai
himpunan sisi
, dengan syarat:
Misalkan diberikan dua protein, yaitu
protein A dan protein B yang masing-masing
memiliki 6 asam amino. Pada protein A, asam
amino 1 mengalami contact dengan asam
amino 3 dan 4, tetapi tidak dengan asam
amino 2, 5 dan 6. Selanjutnya contact lain
terjadi pada asam amino 2 dengan 6, asam
amino 3 dengan 1 dan 5, serta asam amino 4
dengan 1 dan 6.
Pada protein B, asam amino 1 mengalami
contact dengan asam amino 2 dan 4, tetapi
tidak dengan asam amino 3, 5 dan 6.
Selanjutnya contact lain terjadi pada asam
amino 2 dengan 1 dan 5, asam amino 3
dengan 6, serta asam amino 4 dengan 1 dan 6.
Sehingga didapatkan protein A dan protein B
sama-sama memiliki 5 contact map yang
dapat dilihat pada Gambar 6 berikut.
Protein A
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Protein B
Gambar 6 Contact map protein A dan B.
3.2 Contact Map Overlap
Masalah Contact Map Overlap (CMO)
merupakan permasalahan dalam pencarian
overlap terbanyak yang dapat dibentuk dari
asam-asam amino yang berikatan antara dua
jenis protein. Tujuannya adalah memetakan
kesamaan antara dua struktur tersier protein
dengan membandingkan kedekatan dari asam
amino yang tidak berturutan dan memberikan
suatu alignment antara contact map di protein
pertama dengan contact map di protein
kedua. Setiap pasangan contact antara dua
protein yang dihubungkan oleh suatu
alignment tersebut dinamakan “overlap”.
Misalkan diberikan suatu masalah CMO
pada protein A dan protein B sebagai berikut:
Protein A
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Protein B
Gambar 7 Contact map overlap pada protein
A dan B.
15
Pada Gambar 7, garis putus-putus antara
asam-asam amino pada protein A dan protein
B merepresentasikan alignment. Diketahui
bahwa terdapat alignment dari asam amino 1
pada protein A
dengan asam amino 1
pada protein B
,
dengan
,
dengan ,
dengan
dan
dengan .
Suatu overlap
adalah suatu pasangan terurut dimana contact
A dan contact B dihubungkan oleh alignment.
Berdasarkan hal tersebut, hubungan antara
contact
dengan contact
,
contact
dengan contact
, dan
contact
dengan contact
adalah
overlap, yaitu
,
dan
.
Suatu alignment akan fisibel jika telah
memenuhi dua pembatasan sebagai berikut:
1) Tidak ada asam amino dari satu protein
dapat diberi alignment dengan lebih dari
satu asam amino pada protein lain. Asumsi
ini disebut pembatasan eksklusifitas.
2) Urutan asam amino dapat dipertahankan
secara baik dalam alignment. Artinya
alignment tidak boleh saling bersilangan,
yaitu jika asam amino i dan j dalam satu
protein diberi alignment dengan asam
amino
dan
dalam protein lain,
maka harus berlaku
jika dan hanya
jika
. Asumsi ini disebut
sebagai pembatasan pengurutan.
Pada Gambar 7, alignment yang terbentuk
adalah alignment fisibel karena telah
memenuhi pembatasan eksklusifitas (1) dan
pembatasan pengurutan (2), sehingga masalah
masalah CMO yang terbentuk akan fisibel.
Jika terbentuk suatu alignment yang tidak
memenuhi pembatasan eksklusifitas (1) dan
pembatasan pengurutan (2), maka alignment
akan takfisibel. Sehingga masalah CMO yang
terbentuk juga akan takfisibel. Gambar 8
berikut akan menunjukkan contoh masalah
CMO yang takfisibel.
Protein A
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Protein B
Gambar 8 Masalah CMO takfisibel pada
protein A dan B.
Pada Gambar 8, diketahui bahwa asam
amino
memiliki dua alignment yang
menghubungkan asam amino ( ) dan asam
amino ( ). Kemudian terdapat alignment
yang saling bersilangan ketika overlap yang
dibentuk adalah pada
dan
. Berdasarkan hal tersebut,
pembatasan eksklusifitas (1) dan pembatasan
pengurutan (2) dilanggar, sehingga masalah
CMO tersebut takfisibel.
16
IV PEMODELAN MASALAH CONTACT MAP OVERLAP
4.1 Relasi Masalah CMO dalam Masalah
Clique Maksimum
Dalam menentukan banyaknya overlap
maksimum yang terjadi di antara dua protein,
masalah CMO dapat ditransformasikan
menjadi suatu masalah maksimum clique pada
graf khusus
dengan verteks
order-preserving alignment yaitu tidak ada
asam amino yang dapat diberi alignment
dengan lebih dari satu asam amino. Sehingga
memenuhi syarat kefisibelan alignment.
dimana
menyatakan himpunan contact
protein A dan
menyatakan himpunan
contact protein B.
Verteks
dinyatakan dalam grid baris
dan kolom, dengan verteks baris untuk setiap
contact di
dan verteks kolom untuk setiap
contact di
. Oleh karena itu setiap verteks
bersesuaian dengan overlap pada contact
dalam protein A dan contact
dalam protein B. Secara implisit, suatu
verteks yang demikian merepresentasikan
suatu alignment dari asam amino
dengan
asam amino
dan alignment dari asam
amino
dengan asam amino . Sisi
ada
antara dua verteks jika pasangan verteks
tersebut overlap dan juga merupakan solusi
fisibel dari contact map overlap yang terjadi.
Solusi dari masalah CMO akan fisibel
(solusi fisibel) jika telah memenuhi syarat
kefisibelan alignment, yaitu memenuhi
pembatasan eksklusifitas (1) dan pembatasan
pengurutan (2).
Lemma berikut akan menunjukkan bahwa
setiap verteks
merepresentasikan solusi
fisibel untuk CMO.
Protein A
Lemma 1
Diberikan protein A dengan contact
dan protein B dengan contact
, setiap
verteks dari
adalah solusi
fisibel untuk CMO.
Bukti:
Anggap
suatu
verteks
sembarang
bersesuaian dengan contact
dan
.
Tanpa
menghilangkan
sifat
umumnya, asumsikan bahwa
dan
. Selanjutnya jika asam amino
dengan asam amino
dan
dengan
diberikan suatu alignment, maka terdapat
Misalkan diberikan suatu contoh masalah
CMO sebagai berikut:
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Protein B
Gambar 9 Contoh masalah CMO pada
protein A dan B.
Pada Gambar 9, dapat diketahui bahwa
overlap yang terbentuk antara protein A dan
protein B, yaitu overlap
,
dan
,
memiliki alignment yang fisibel karena telah
memenuhi pembatasan eksklusifitas dan
pembatasan pengurutan. Berdasarkan masalah
CMO pada Gambar 9, akan ditunjukkan cara
menentukan verteks dan sisi yang merupakan
solusi fisibel.
Misalkan diberikan:
1. Verteks
dengan
dan
.
2. Verteks
dengan
dan
.
3. Verteks
dengan
dan
.
Sehingga sisi yang terbentuk adalah:
1.
2.
3.
Selanjutnya graf
yang didapatkan juga
merupakan suatu solusi fisibel bagi masalah
CMO dan dapat dilihat pada Gambar 10.
17
Protein B
B1B4
B2B5
Protein B
B3B6
B4B6
A1A3
A1A3
A1A4
A1A4
A2A6
A3A5
B1B4
B2B5
B3B6
B4B6
A2A6
A3A5
A4A6
A4A6
Gambar 10 Contoh solusi fisibel graf
berdasar Gambar 9.
Kemudian, berdasarkan Gambar 8,
verteks dan sisi yang terbentuk juga
merupakan solusi takfisibel dalam graf
dan
dilihat pada Gambar 11.
Protein B
B1B2
B1B4
B2B5
B3B6
B4B6
A1A3
A1A4
Protein A
B1B2
Protein A
Protein A
B1B2
A2A6
A3A5
A4A6
Gambar 11 Contoh solusi takfisibel graf
berdasar Gambar 8.
Untuk mendapatkan suatu graf
berdasar pada Gambar 6, terlebih dahulu
dicari semua kemungkinan contact map
overlap yang dapat terbentuk dan merupakan
solusi fisibel. Sehingga berdasar pada
kemungkinan
yang
telah
didapatkan,
selanjutnya sisi dalam graf-graf tersebut
digabungkan menjadi satu graf yang utuh
yaitu graf .
Gambar 12 Graf
berdasarkan contoh pada
Gambar 6.
Gambar 12 menunjukkan graf
untuk
masalah Contact Map Overlap berdasar pada
Gambar 6. Graf tersebut dibentuk oleh 25
verteks dan 24 sisi.
Setelah didapatkan suatu graf
,
selanjutnya akan dicari solusi optimal dengan
cara mencari clique maksimum yang
terbentuk dalam graf .
Misalkan diketahui himpunan verteks
. Untuk setiap himpunan verteks
dalam
, jika masing-masing pasangan
verteks
bersesuaian dengan suatu solusi
fisibel CMO, maka semua himpunan verteks
juga bersesuaian dengan solusi fisibel CMO.
Hal itu merupakan relasi jika dan hanya jika,
sehingga pasangan fisibel ini merupakan
syarat perlu dan syarat cukup untuk
kefisibelan
seluruh
himpunan
seperti
ditunjukkan pada Lemma 2 berikut.
Lemma 2
Diberikan protein A dan protein B,
himpunan verteks
bersesuaian dengan
solusi fisibel CMO jika dan hanya jika setiap
pasangan verteks
,
bersesuaian
dengan solusi fisibel CMO.
(pembuktian Lemma 2 dapat dilihat pada
Lampiran 1)
18
Corollary 1
Diberikan protein A dan protein B,
terdapat korespondensi satu-satu antara clique
di
dengan solusi yang fisibel untuk CMO
dan clique maksimum di
bersesuaian
dengan solusi optimal untuk CMO.
Bukti:
Hasil dari Corollary 1 merupakan akibat
langsung dari Lemma 2 dan dari definisi
bahwa solusi optimal bagi CMO adalah
jumlah maksimum verteks yang fisibel secara
bersamaan di .
Berdasarkan Lemma 2 dan Corollary 1,
didapatkan suatu transformasi dari masalah
CMO ke masalah maksimum clique dan
menunjukkan bahwa suatu clique maksimum
di
bersesuaian dengan solusi optimal dari
CMO.
4.2 Sifat Khusus Graf
Berikut akan dijelaskan beberapa sifat
khusus graf
yang berguna dalam
preprocessing step untuk mencari solusi
optimal dalam graf
. Preprocessing step
adalah langkah untuk mencari clique
maksimum dan pewarnaan minimum dalam
graf
sehingga didapatkan suatu graf perfect
yang merupakan solusi
optimal dari graf .
4.2.1 Susunan Verteks dalam Graf
Verteks dari graf
disusun menjadi dua
dimensi grid, yaitu baris untuk setiap contact
pada protein A dan kolom untuk setiap
contact pada protein B. Selanjutnya semua
sisi dalam graf
diatur agar mempunyai
orientasi (arah) yang sama. Hal tersebut dapat
dilihat pada Teorema 1 berikut.
Teorema 1
Diberikan
suatu
protein
dengan
menyatakan
dan
menotasikan
contact map dengan
asam amino dari protein . Untuk setiap
protein , didefinisikan suatu lexicographic
dalam
ordering
yaitu contact
diurutkan berdasarkan urutan menaik
dan
urutan menaik . Jika graf
disusun dengan
cara tersebut, maka semua sisi dalam
akan
berorientasi menuju ke kanan bawah ( ) atau
arah ini dinamakan “diagonal tenggara”.
(pembuktian Teorema 1 dapat dilihat pada
Lampiran 2).
Berdasar pada Teorema 1, diberikan suatu
cara untuk memberikan penomoran himpunan
diagonal tenggara dari graf
, dengan
mengawali penomoran dari baris paling akhir
kolom pertama sampai baris awal kolom
terakhir. Dengan kata lain himpunan diagonal
tenggara dari graf
adalah himpunan semua
verteks pada graf
sepanjang semua garis
dengan slope -1 (lihat Gambar 13).
Protein B
B1B2 B1B4 B2B5 B3B6 B4B6
A1A3
Protein A
Selanjutnya akan ditunjukkan suatu solusi
optimal untuk masalah CMO akan bersesuaian
dengan suatu clique maksimum dalam . Hal
ini dijelaskan dalam Corollary 1 sebagai
berikut:
(9)
A1A4
(8)
A2A6
(7)
A3A5
(6)
A4A6
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Gambar 13 Penomoran diagonal tenggara
graf .
Verteks graf
yang terletak pada baris
kolom
(verteks
) dan pada baris
kolom (verteks
) berada pada diagonal
tenggara yang sama jika
.
Selanjutnya berikan penomoran diagonal
tenggara dari kiri bawah menuju kanan atas
graf
, sehingga verteks
adalah salah
satu dari verteks pada diagonal tenggara ke
dengan
adalah banyaknya
baris. Pada diagonal tenggara ke
19
terdapat
verteks
sebanyak
verteks, dengan
adalah banyaknya kolom.
Misalkan akan ditunjukkan letak dan
banyaknya verteks yang berada sepanjang
diagonal tenggara dari verteks
atau verteks pada baris kedua dan kolom
ketiga (verteks
) pada Gambar 12.
Diketahui jumlah baris
, dan jumlah
kolom
. Nilai dari
dan
=
= 4.
Disimpulkan bahwa verteks
adalah
bagian dari diagonal tenggara bernomor 6 dan
memiliki 4 verteks sepanjang diagonal
tenggaranya.
Selanjutnya penomoran diagonal tenggara
akan digunakan sebagai alat untuk mereduksi
graf
dengan menggunakan Lemma 3
sebagai berikut:
Lemma 3
Tidak ada clique yang lebih besar dari
clique- dapat memiliki verteks yang berada
pada diagonal tenggara yang berisikan
verteks atau kurang.
(pembuktian Lemma 3 dapat dilihat pada
Lampiran 3).
Berdasar hasil Lemma 3, jika diberikan
suatu batas bawah (lower bound)
di graf
, maka semua diagonal tenggara di graf
yang mempunyai verteks atau kurang akan
dapat dihapus. Hal itu bertujuan mereduksi
graf
dan menunjukkan bahwa suatu clique
maksimum terdapat pada himpunan diagonal
tenggara tersebut.
Untuk mencari batas bawah
dalam
menentukan clique maksimum di graf
,
akan digunakan suatu metode berdasarkan
(Strickland, DM. 2008) sebagai berikut:
Misalkan diberikan graf
,
1. Ambil
.
2. Pilih
sebagai verteks di graf
yang
berderajat maksimum. Tambahkan ke .
3. Pilih verteks berderajat terbesar yang
adjacent dengan , tambahkan ke . Lalu
hapus semua verteks yang tidak adjacent
dengan dari .
4. Jika kosong, maka berhenti. Jika tidak,
kembali ke langkah 2.
Pada dasarnya,
akan memuat verteks
dengan derajat terbesar yang terhubung satu
sama lain membentuk clique. Order dari
himpunan
yang dihasilkan adalah suatu
clique- dalam graf
dan juga merupakan
batas bawah dari clique maksimum di
(
).
Dari penjelasan Lemma 3 di atas, jika
diberikan suatu nilai
atau clique-3,
maka diagonal tenggara yang memuat verteks
kurang dari atau sama dengan tiga
,
maka akan dapat dihapus. Pada Gambar 13,
diagonal tenggara yang memiliki nomor (1),
(2), (3), (7), (8) dan (9) akan dapat dihapus.
4.2.2 Preprocessing Berdasarkan Verteks
Tetangga
Untuk menghapus beberapa bagian
diagonal tenggara graf
, verteks dapat
dihilangkan berdasarkan sifat tetangga
mereka. Tetangga dari verteks adalah semua
verteks sedemikian
, yaitu semua
verteks yang saling berbagi sisi dengan .
Kedua sifat berikut ini harus diketahui
untuk memberikan akses dalam penghapusan
suatu verteks di .
Sifat 1
Tidak ada clique yang lebih besar dari
clique- dapat memuat verteks yang memiliki
tetangga kurang dari .
Sifat 1 menjelaskan bahwa jika diberikan
suatu batas bawah
pada graf
, maka
semua verteks yang memiliki tetangga kurang
dari akan dapat dihapus.
Misalkan diberikan suatu nilai
.
Maka verteks yang memiliki derajat kurang
dari empat (verteks tetangga
) dapat
dihapus. Sebagai contoh, misalkan pilih salah
satu verteks dalam graf
(lihat Gambar 11),
yaitu verteks
atau verteks
.
Diketahui bahwa verteks
bertetangga
dengan tiga verteks, yaitu verteks
,
verteks
dan verteks
. Dengan kata
lain, verteks
memiliki derajat
,
maka verteks
dapat dihapus.
20
Selanjutnya, Sifat 2 berikut akan
menjelaskan suatu pewarnaan berdasarkan
verteks tetangganya.
Sifat 2
Tidak ada clique yang lebih besar dari
cliquedapat memuat verteks yang
tetangganya dapat diwarnai kurang dari
warna.
Bukti:
Dikarenakan tidak ada dua verteks
berwarna sama dapat mempunyai sisi, maka
tidak ada clique yang dapat memuat
keduanya. Oleh karena itu, semua verteks dari
clique harus mempunyai warna yang berbeda,
sehingga tidak ada verteks yang tetangganya
diwarnai dengan
warna atau kurang,
dapat berada dalam clique yang lebih besar
dari .
Berdasarkan Sifat 2, digunakan suatu
definisi pewarnaan, yaitu setiap verteks harus
secara pasti ditetapkan satu warna dan tidak
ada dua verteks dan yang terhubung oleh
sisi dapat mempunyai warna yang sama. Hal
warna ( ) ≠ warna ( ).
ini berarti,
Namun terdapat dua kesulitan dalam
mengaplikasikan Sifat 2 secara langsung.
Pertama, menemukan jumlah warna minimum
yang diperlukan untuk mewarnai tetangga
verteks adalah permasalahan yang sulit.
Kedua, mewarnai tetangga setiap verteks akan
sangat memakan waktu. Oleh karena itu,
Corollary 2 berikut diberikan untuk mereduksi
verteks dan sisi dalam graf
sehingga akan
mempermudah dalam pencarian clique
maksimum dengan menggunakan metode
pewarnaan.
Corollary 2
Ketika graf
disusun berdasar pada
Teorema 1, tidak ada clique yang lebih besar
dari clique- dapat memiliki verteks yang
tetangganya berada kurang dari baris atau
kurang dari kolom di graf .
Bukti:
Dikarenakan semua sisi dalam
adalah
tenggara, maka tidak ada dua verteks dan
dalam baris yang sama dapat dihubungkan
oleh sisi (sebab sisi
akan menjadi timurbarat, tetapi sisi tersebut tidak ada). Sehingga,
tidak ada clique yang dapat memuat dua
verteks dari baris yang sama.
Akibatnya verteks dengan tetangga yang
berada dalam paling banyak
baris tidak
dapat ada dalam clique dengan lebih dari
verteks lain dan demikian tidak dapat
ada dalam clique yang lebih besar dari .
Argumen yang serupa dapat diaplikasikan
untuk kolom.
Sebagai konsekuensi dari Corollary 2,
didapatkan cara sederhana untuk menghapus
verteks yang derajatnya kurang dari , yaitu
dengan menghapus semua verteks yang
derajat baris atau kolomnya (jumlah baris atau
kolom yang tetangganya berada dalam baris
atau kolom tersebut) kurang dari .
Setelah graf
direduksi berdasar pada
Corollary 2, selanjutnya Sifat 2 akan
digunakan sebagai langkah akhir untuk
mencari clique maksimum. Dari penjelasan
sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa dalam
metode preprocessing terdapat empat tipe
verteks yang dapat dihapus berdasarkan batas
bawah , sebagai berikut:
(1)
= verteks yang berada pada diagonal
tenggara pertama atau terakhir di
.
(Lemma 3)
(2)
= verteks yang memiliki tetangga
atau kurang di . (Sifat 1)
(3)
= verteks yang tetangganya berada
pada
baris/kolom atau kurang di
. (Corollary 2)
(4)
= verteks yang tetangganya dapat
diberi
warna atau kurang di
.
(Sifat 2)
Diketahui
bahwa
metode
(4)
menyamaratakan metode (1)-(4). Lemma
selanjutnya memformulasikan ide ini.
21
Lemma 4
Diberikan sebuah graf CMO
dan
dengan menggunakan definisi dari , ...,
dari (1)-(4) diatas, hubungan berikut adalah
benar : (a)
, (b)
, dan (c)
.
(pembuktian Lemma 5 dapat dilihat pada
Lampiran 5)
Selanjutnya untuk menentukan suatu
metode pewarnaan dalam graf
dan
mengaplikasikan Sifat 2 secara langsung,
Observasi
berikut
dibutuhkan
untuk
memberikan penjelasan mengenai graf CMO.
Observasi
Ketika graf Gp disusun berdasar pada
Teorema 1, dua verteks dari baris yang sama
dan kolom berurutan (atau kolom yang sama
dan baris berurutan) biasanya memiliki sifat
yang sama dengan tetangganya.
Mengacu pada dua verteks dalam baris
yang sama dan kolom berurutan (atau kolom
yang sama dan baris berurutan) sebagai
verteks adjoining. Diketahui bahwa sebagian
besar tetangga dari dua verteks adjoining
dan
adalah berbagi. Sehingga dapat
digunakan kembali pewarnaan tetangga
verteks ketika mencari pewarnaan tetangga
dari verteks .
Ambil
menjadi warna penetapan
untuk verteks ketika mewarnai tetangga dari
verteks . Kemudian berikan suatu pewarnaan
dari tetangga , partisi tetangga dari verteks
adjoining menjadi dua himpunan :
(1)
. Karena verteks
adalah
tetangga dari , maka dapat digunakan
kembali
warnanya;
.
(2)
. Karena verteks
adalah
bukan tetangga dari , tidak ada warna
penetapan awal untuk .
Dari keterangan di atas didapatkan suatu
cara pewarnaan dengan menetapkan warna
verteks dalam himpunan (1) dan kemudian
menentukan warna minimum untuk verteks
dalam himpunan (2). Selanjutnya akan
digunakan metode urutan derajat warna
pertama untuk mencari batas atas dalam
menentukan suatu clique maksimum di graf
berdasarkan (Strickland, DM. 2008)
sebagai berikut:
Misalkan diberikan graf
,
1. Warnai verteks dengan warna .
2. Warnai verteks yang adjacent dengan
dengan warna
dan verteks yang tidak
adjacent dengan
dapat diberi dengan
warna sebelumnya ( ).
3. Kemudian untuk setiap verteks berturutturut, pilih warna berbeda dan minimum
yaitu tidak ada warna verteks yang
adjacent dengan
berbagi dengan warna
yang sama.
Hasil dari metode pewarnaan ini
memberikan suatu batas atas graf
(
)
yang akan digunakan untuk memeriksa
apakah clique maksimum yang didapatkan
merupakan solusi optimal bagi masalah CMO
dengan syarat batas bawah graf
sama
dengan batas atas graf
.
22
V STUDI KASUS
Misalkan diberikan dua hipotetik protein
yaitu, protein A yang memiliki 8 asam amino
dan protein B yang memiliki 7 asam amino.
Contact map antara asam-asam amino dalam
protein A dan protein B adalah sebagai
berikut:
Protein A
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
5.1 Penentuan Graf .
Untuk menentukan suatu graf , terlebih
dahulu dicari sisi yang dapat dibentuk dari
banyaknya kemungkinan overlap yang terjadi
berdasar Gambar 14. Berikut adalah beberapa
contoh kemungkinan overlap yang dapat
dibentuk dan merupakan fisibel:
1. Misalkan overlap
,
(
} seperti pada Gambar 16.
Sehingga didapatkan sisi yang fisibel
seperti pada Gambar 17.
Protein A
Protein B
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
Gambar 14 Hipotetik protein A dan B.
Protein B
B1B3
B1B5
B1B6
B3B5
B3B6
B5B7
A1A3
Gambar 16 Overlap
(
,
}
Protein B
B1B3
B1B5
B1B6
B3B5
B3B6
B5B7
A1A3
A1A6
A2A6
A3A6
A6A8
A1A6
Protein A
Protein B
Protein A
Pada Gambar 14, terlihat bahwa terdapat
5 contact pada protein A dengan
=
{
,
,
,
,
}
dan 6 contact pada protein B dengan
=
{
,
,
,
,
,
}. Sehingga didapatkan banyaknya
verteks
={
,
,
,
,
,
,
,
,
...,
} yang terbentuk berjumlah
30 verteks sebagai berikut:
Gambar 17 Sisi fisibel.
A2A6
2. Misalkan
A3A6
A6A8
Gambar 15 Verteks
yang terbentuk.
overlap
,
seperti pada Gambar 18.
Sehingga didapatkan sisi yang fisibel
seperti pada Gambar 19.
23
Protein A
Protein B
B1B3
B1B5
B1B6
B3B5
B3B6
B5B7
A1A3
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
A1A6
Protein A
1
A2A6
A3A6
A6A8
Protein B
Gambar 21 Sisi fisibel.
Gambar 18 Overlap
,
.
Beberapa kemungkinan overlap lain yang
fisibel dapat dilihat pada Lampiran 5.
Berdasar pada hal tersebut, maka didapatkan
suatu graf
yang terdiri dari 30 verteks dan
30 sisi sebagai berikut:
Protein B
B1B3
B1B5
B1B6
B3B5
B3B6
B5B7
A1A3
Protein A
A1A6
Protein B
A2A6
B1B3
B1B5
B1B6
B3B5
B3B6
B5B7
A1A3
A3A6
A1A6
Protein A
A6A8
Gambar 19 Sisi fisibel.
3. Misalkan overlap
,
seperti pada Gambar 20.
Sehingga didapatkan sisi yang fisibel
seperti pada Gambar 21.
Protein A
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
A2A6
A3A6
A6A8
Gambar 22 Graf Gp berdasar Gambar 14.
5.2 Penentuan Batas Bawah Graf .
Untuk mempermudah notasi dalam
mencari suatu batas bawah pada graf
,
dilakukan penyederhanaan terhadap Gambar
17 sebagai berikut:
Protein B
1
2
3
4
5
6
1
Protein B
,
.
2
Protein A
Gambar 20 Overlap
3
4
5
Gambar 23 Penyederhanaan notasi graf
.
24
Protein B
1
2
3
4
5
6
1
2
Protein A
Penentuan batas bawah atau nilai
dari
suatu clique maksimum yang terdapat dalam
graf
, digunakan metode heuristik
(Strickland, DM. 2008), sebagai berikut :
Langkah 1. Misalkan
.
Langkah 2. Pilih verteks dengan derajat
terbesar di
sebagai verteks awal dalam
mencari clique yaitu verteks
atau
yang berderajat 7, sehingga
.
3
4
5
Gambar 26
Protein B
1
2
3
4
5
6
Langkah 5. Pilih verteks berderajat
terbesar yang adjacent dengan
, yaitu
. Tambahkan
ke dalam ,
sehingga
dan
selanjutnya hapus verteks yang tidak adjacent
dengan
, yaitu
.
1
2
Protein A
.
3
4
5
Langkah 3. Hapus semua verteks yang
tidak adjacent dengan
, yaitu dengan
menghapus 23 verteks lainnya, yaitu verteks
{
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
} dan
.
Protein B
1
2
Protein B
sebagai awal.
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
1
2
Protein A
Gambar 24 Verteks
3
4
5
Gambar 27
.
Langkah 6. Tambahkan
ke dalam
. Kemudian berhenti, maka yang terbentuk
merupakan clique maksimum dari graf Gp
dengan
Protein A
2
Protein B
3
1
4
2
3
4
1
5
.
Langkah 4. Pilih verteks berderajat
terbesar yang adjacent dengan
, yaitu
atau
. Misalkan pilih
dan
tambahkan
ke dalam , sehingga
dan selanjutnya hapus
verteks yang tidak adjacent dengan
,
yaitu
,
dan
.
Protein A
2
Gambar 25
3
4
5
Gambar 28 Clique-4 dengan
5
6
25
Berdasarkan hasil tersebut didapatkan
batas bawah
atau clique maksimum
dengan clique-4.
5.3 Preprocessing Penyelesaian Masalah
Contact Map Overlap.
Diketahui nilai
atau clique-4
sebagai batas bawah. Untuk mencari solusi
optimal pada graf
digunakan langkahlangkah sebagai berikut :
Berdasar hal tersebut, suatu clique maksimum
akan terdapat pada graf
yang tersusun oleh
verteks:
,
,
,
,
,
,
,
,
dan
, sebagai berikut:
Protein B
1
2
3
4
5
6
1
Langkah 1. Hapus semua himpunan
diagonal tenggara yang berisi 4 verteks atau
kurang (Lemma 3). Susun graf
sesuai
dengan Teorema 1. Berikan penomoran
diagonal tenggara mulai dari baris lima kolom
satu (
), sampai baris satu kolom enam
(
) sebagai berikut:
Protein A
2
3
4
5
(5)
(6)
Gambar 31 Subgraf berisi verteks diagonal
tenggara (5) dan (6) dari graf .
Protein B
1
2
3
4
5
6
1
(10)
Protein A
2
(9)
3
(8)
4
(7)
5
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Langkah 2. Hapus semua verteks yang
memiliki tetangga verteks
. (Sifat 1).
Dengan kata lain, verteks berderajat
pada graf
dapat dihapus. Maka, suatu
clique maksimum pada graf
dimungkinkan
akan terbentuk oleh verteks:
,
,
,
, dan
.
(6)
Protein B
Gambar 29 Penomoran diagonal tenggara
graf .
2
3
4
3
4
5
6
2
3
4
5
Protein B
1
2
1
Protein A
Selanjutnya, hapus semua diagonal tenggara
yang memuat verteks
4, yaitu hapus
diagonal tenggara bernomor (1), (2), (3), (4),
(7), (8), (9) dan (10).
1
5
Gambar 32 Graf hasil Langkah 2.
6
1
Keterangan
,
, dan
. Derajat setiap
verteks dapat dilihat pada Tabel 1 Lampiran 6.
Protein A
2
3
4
5
(5)
(6)
Gambar 30 Diagonal tenggara (5) dan (6)
graf .
Langkah 3. Hapus semua verteks yang
memiliki tetangga berada pada baris atau
kolom
(Corollary 2). Cukup pilih salah
satu diantara baris atau kolom yang
memenuhi. Verteks yang memenuhi adalah
26
,
,
dan
. Posisi
baris atau kolom setiap verteks tetangga dapat
dilihat pada Tabel 2 Lampiran 7.
3
4
5
6
1
4
5
6
3
4
2
5
3
Gambar 35 Pewarnaan verteks merah dan
biru.
4
5
Gambar 33 Graf hasil Langkah 3.
Langkah 4. Hapus semua verteks yang
tetangganya dapat diwarnai dengan warna
(Sifat 2). Berdasar pada Langkah 1, diketahui
bahwa suatu clique yang maksimum akan
terdapat pada diagonal tenggara (5) dan (6).
Selanjutnya graf
hasil dari Langkah 3 akan
digunakan
untuk
mencari
pewarnaan
minimum dengan metode heuristik sederhana,
sebagai berikut:
1. Misal
dijadikan sebagai verteks
awal dan beri warna merah.
3. Pilih verteks yang adjacent dengan
dan
, yaitu
dan beri warna
kuning. Selanjutnya
dan
dapat diberi warna kuning juga.
Protein B
1
2
3
4
5
6
1
2
Protein A
Protein A
3
1
Protein A
2
2
2
Protein B
1
Protein B
1
3
4
5
Protein B
1
2
3
4
5
6
Gambar 36 Pewarnaan verteks merah, biru
dan kuning.
1
4. Pilih
sebagai dan beri warna hijau.
Protein A
2
Protein B
1
3
2
3
4
5
6
1
4
Gambar 34 Verteks awal
.
2. Pilih verteks berderajat terbesar yang
adjacent dengan
, yaitu
dan
beri warna biru. Selanjutnya verteks yang
tidak adjacent dengan
, yaitu
,
dan
dapat diberi
warna merah. Verteks yang tidak adjacent
dengan
, yaitu
dapat diberi
warna biru.
Protein A
2
5
3
4
5
Gambar 37 Hasil pewarnaan graf
.
27
pewarnaan
) dan
,
,
Protein B
B1B3
2
3
4
5
6
B3B5
B3B6
B5B7
A2A6
A3A6
1
A6A8
2
Protein A
B1B6
A1A6
Protein B
1
B1B5
A1A3
Protein A
Sehingga didapatkan suatu
minimum dengan 4 warna (
clique yang disusun oleh
dan
.
Gambar 39 Solusi optimal graf
.
3
Jika ditranformasikan kedalam bentuk graf
CMO, maka didapatkan gambar overlap yang
optimal sebagai berikut:
4
5
Gambar 38 Clique maksimum graf
.
Berdasar hasil tersebut, diketahui bahwa
clique-4 (
) adalah clique
yang maksimum pada graf
dan merupakan
solusi optimal bagi masalah CMO dengan
overlap
= {
,
,
,
}.
Protein A
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
Protein B
Gambar 40 Overlap optimal masalah CMO
berdasar Gambar 14.
VI SIMPULAN
Masalah Contact Map Overlap (CMO)
pada protein dapat direpresentasikan ke dalam
suatu kasus pendefinisian graf dengan
menggunakan masalah clique maksimum
untuk mencari solusi optimalnya. Diawali
dengan mengurutkan susunan graf sesuai
dengan sifat khusus graf CMO dan verteks
tetangga. Selanjutnya dengan beberapa
langkah dicari clique maksimum yang
terbentuk dan optimal bagi masalah CMO.
Masalah Contact Map Overlap (CMO)
pada karya ilmiah ini diterapkan pada dua
hipotetik protein, yaitu protein A dengan 8
asam amino dan protein B dengan 7 asam
amino. Solusi optimal yang didapatkan adalah
clique-4 yaitu graf yang terdiri atas verteks:
,
,
dan
, atau
dengan overlap
= {
,
,
,
}.
28
DAFTAR PUSTAKA
Campbell, J. B. Reece, L. G dan Mitchell.
2004. Biologi. Edisi kelima. Jilid 1.
Jakarta: Penerbit Erlangga.
Strickland D.M. 2008. Teaching Note – Using
the Maximum Clique Problem to Motivate
Branch-and-Bound. INFORMS pp. 96-99.
Chartrand G, Oellermann OR. 1995. Applied
and Algorithmic Graph Theory. New
York: McGraw-Hill.
Strickland D.M, Barnes E, Sokol J.S. 2005.
Optimal Protein Structure Alignment
Using Maximum Cliques. ABI/INFORM
Global pg. 389-402.
Chartrand G, Zhang P. 2009. Chromatic
Graph Theory. London: CRC Pr.
Pardalos, P. M., J. Xue. 1994. The Maximum
Clique Problem. Global Optim. 4(3) 301–
328.
Vasudev C. 2006. Graph Theory with
Applications. New Delhi: New Age
International.
29
LAMPIRAN
30
Lampiran 1
Pembuktian Lemma 2
Diberikan protein A dan protein B, himpunan verteks
bersesuaian dengan solusi fisibel
CMO jika dan hanya jika setiap pasangan verteks
,
bersesuaian dengan solusi fisibel
CMO.
Bukti :
→ Misalkan S adalah himpunan verteks di Np. Anggap bahwa terdapat dua verteks
dan
sebagai pasangan yang takfisibel. Selanjutnya pembatasan ekslusifitas dan pembatasan
pengurutan dilanggar. Dengan kata lain, baik itu (1)
dan
menyaratkan asam amino pada
satu protein untuk diberikan alignment dengan lebih dari satu asam amino dalam protein lain,
(2) alignment yang terbentuk melanggar sifat pembatasan; yaitu
dan
. Dalam
kedua kasus, penambahan sisa verteks di tidak akan mengganti sifat ini, sehingga seluruh
himpunan juga akan takfisibel.
← Misalkan
adalah himpunan verteks yang takfisibel. Selanjutnya pembatasan ekslusifitas
dan pembatasan pengurutan harus dilanggar. Sehingga himpunan tersebut harus berisi baik itu
(1) asam amino dalam satu protein yang diberi alignment dengan dua asam amino
dan
dalam protein lain, atau (2) asam amino
dalam satu protein yang diberikan
alignment dengan asam amino
dalam protein lain. Pada kasus (1), dua verteks
dalam yang diberikan alignment pada dengan
dan dengan
adalah pasangan
yang takfisibel, dan pada kasus (2), verteks yang diberi alignment pada dengan
dan
dengan
adalah pasangan yang takfisibel.
Lampiran 2
Pembuktian Teorema 1
Diberikan suatu protein
dengan
menyatakan contact map
dengan
dan
menotasikan asam amino dari protein . Untuk setiap protein , didefinisikan
dalam
diurutkan berdasarkan urutan
suatu lexicographic ordering
yaitu contact
menaik
dan urutan menaik . Jika graf
disusun dengan cara tersebut, maka semua sisi
dalam
akan berorientasi menuju ke kanan bawah ( ) atau arah ini dinamakan “diagonal
tenggara”.
Bukti :
Diketahui bahwa istilah berikut adalah setara: tenggara dan baratlaut, timurlaut dan baratdaya,
utara dan selatan, serta timur dan barat. Berdasarkan hal tersebut terdapat empat kemungkinan arah
untuk sisi dalam
: utara, timur, tenggara dan timur laut.
Suatu verteks dalam
diwakili oleh
yang mengindikasikan bahwa
contact dalam protein A dipetakan ke contact dalam protein B (dan dengan demikian titik
akhir mereka sejajar :
). Untuk memudahkan, verteks ini dinotasikan dengan
. Suatu sisi
dalam
menunjukkan pemetaan serempak dari contact dan
dalam protein A ke contact dan dalam protein B. Sehingga tiap sisi
dan
akan
menjadi sisi tenggara. Kemudian akan ditunjukkan tidak ada sisi yang dapat mempunyai arah lain
ketika contact disusun berdasar teorema.
(1) Anggap bahwa
adalah sisi utara. Selanjutnya dan mewakili contact yang
sama dalam protein B. Dikarenakan dan tidak dapat menjadi contact yang sama (selain itu
), baik itu
atau
. Pada kedua kasus, hal ini akan melanggar
pembatasan bahwa tidak ada asam amino di protein B dapat diberi alignment dengan dua asam
amino di protein A dalam solusi yang fisibel. Oleh karena itu, tidak ada sisi utara di .
31
(2) Anggap bahwa
adalah sisi timur. Selanjutnya dan mewakili contact yang
sama dalam protein A. Dikarenakan dan tidak dapat menjadi contact yang sama (selain itu
), baik itu
. Pada kedua kasus, hal ini akan melanggar
pembatasan bahwa tidak ada asam amino di protein A dapat diberi alignment dengan dua asam
amino di protein B dalam solusi yang fisibel. Oleh karena itu, tidak ada sisi timur di .
(3) Anggap bahwa
adalah sisi timurlaut. Kemudian pengurutan membutuhkan
dan
. Sehingga baik itu
, atau
dan
. Sama halnya, baik itu
, atau
dan
. Sekarang pertimbangkan bahwa alignment tersirat oleh sisi
berikut:
(a) Jika
dan
, selanjutnya alignment di
dengan
dan
dengan
melanggar persyaratan pengurutan dari solusi yang fisibel. Persyaratan yang sama dilanggar
dan
.
jika
,
,
(b) Jika
,
dan
, selanjutnya alignment di
dengan
dan
dengan
melanggar persyaratan eksklusivitas dari solusi yang fisibel (baik itu
dan
diberi
algnment dengan
). Persyaratan yang sama dilanggar jika
,
dan
.
Lampiran 3
Pembuktian Lemma 3
Tidak ada clique yang lebih besar dari clique- dapat memiliki verteks yang berada pada
diagonal tenggara yang berisikan verteks atau kurang.
Bukti :
Pertimbangkan tiap verteks
dalam sebuah graf . Verteks
dapat mempunyai sisi
yang menghubungkan hanya pada verteks strictly tenggara dan strictly baratlaut, yaitu verteks
dalam himpunan
(tenggara) dan dalam himpunan
(baratlaut). Catat bahwa jika
atau
, himpunan tenggara akan
menjadi kosong dan jika
atau
, himpunan barat laut akan menjadi kosong.
Dikarenakan tidak terdapat sisi horizontal atau vertikal dalam , clique dapat berisikan paling
banyak satu verteks dari tiap baris atau kolom. Oleh karena itu, size dari clique yang berisikan
verteks
adalah
, yang bersesuaian dengan
kemungkinan verteks baratlaut terbanyak ditambah kemungkinan verteks baratdaya terbanyak,
ditambah verteks
itu sendiri.
Penghitungan untuk setiap kemungkinan minimize, memberikan batas atas dalam size clique
sebagai berikut:
. Setelah disederhanakan, batas atas dalam clique terbesar berisikan
verteks
dapat mempunyai paling banyak
verteks,
yang secara pasti jumlah verteks dalam tenggara diagonal dari
itu mengandung verteks
.
Lampiran 4
Pembuktian Lemma 4
Diberikan sebuah graf CMO
dan dengan menggunakan definisi dari
diatas, hubungan berikut adalah benar : (a)
, (b)
, dan (c)
Bukti :
a) Anggap bahwa verteks
berada di tenggara diagonal dari
berada di kiri bawah (tenggara) segitiga dari graf. Selanjutnya
dapat mempunyai tetangga hanya dalam kolom pertama
dan
Dikarenakan tidak ada sisi horizontal dan vertikal, warnai tetangga dari
–
– warna. Oleh karena itu,
adalah benar untuk verteks dalam tenggara diagonal terakhir.
, ...,
.
dari (1)-(4)
, dengan demikian
dan
baris terakhir.
dalam
. Argumen yang sama
32
. Selanjutnya, verteks
memiliki
tetangga atau
b) Anggap bahwa verteks
kurang. Walaupun setiap tetangga ditetapkan dengan warna berbeda, semua tetangga dapat
diwarnai menggunakan
warna atau kurang. Oleh karena itu,
.
c) Anggap bahwa verteks
. Selanjutnya, tetangga verteks
terletak pada
baris/kolom atau kurang. Dikarenakan tidak ada sisi horizontal dan vertikal di
, warnai
tetangga dalam
warna atau kurang dengan menggunakan satu warna untuk setiap baris
(atau kolom). Oleh karena itu,
.
Lampiran 5
Posibilitas pasangan overlap fisibel untuk mencari jumlah
1.
={
,
}.
4.
={
berdasarkan Gambar 14.
,
}.
Protein A
Protein A
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Protein B
2.
={
Protein B
,
}.
5.
={
,
Protein A
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Protein B
={
8
Protein B
,
}.
6.
={
,
Protein A
}.
Protein A
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Protein B
}.
Protein A
1
3.
8
8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Protein B
8
33
7.
={
,
11.
}.
={
,
Protein A
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Protein B
8.
={
,
12.
}.
={
,
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
,
13.
}.
={
,
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
Protein B
Protein B
,
14.
}.
={
,
}.
Protein A
Protein A
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Protein B
}.
Protein A
Protein A
={
8
Protein B
Protein B
10.
}.
Protein A
1
={
8
Protein B
Protein A
9.
}.
Protein A
8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Protein B
8
34
15.
={
,
19.
}.
={
,
Protein A
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Protein B
16.
={
,
20.
}.
={
,
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
,
21.
}.
={
,
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
Protein B
Protein B
,
22.
}.
={
,
}.
Protein A
Protein A
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Protein B
}.
Protein A
Protein A
={
8
Protein B
Protein B
18.
}.
Protein A
1
={
8
Protein B
Protein A
17.
}.
Protein A
8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Protein B
8
35
23.
={
,
}.
27.
Protein A
={
,
}.
Protein A
1
1
2
2
3
3
4
5
4
5
6
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
7
Protein B
Protein B
24.
={
,
}.
28.
Protein A
={
,
}.
Protein A
1
1
2
2
3
3
4
5
4
5
6
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
7
Protein B
Protein B
25.
={
,
}.
29.
Protein A
={
,
}.
Protein A
1
1
2
2
3
3
4
5
4
5
6
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
7
Protein B
Protein B
26.
={
,
}.
30.
Protein A
={
,
}.
Protein A
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
7
Protein B
Protein B
8
36
Berdasarkan beberapa posibilitas di atas,
maka didapatkan suatu graf penuh (graf
)
yang disusun dari 30 verteks dan 30 sisi.
Protein B
B1B3
B1B5
B1B6
B3B5
B3B6
B5B7
A1A3
Protein A
A1A6
A2A6
A3A6
A6A8
Lampiran 6
Penentuan banyaknya derajat setiap verteks di graf
Tabel 1 Derajat
setiap verteks di graf .
Derajat
0
1
2
3
4
5
6
7
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Verteks
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
-
Lampiran 7
Penentuan posisi baris atau kolom verteks tetangga untuk setiap verteks di graf
Tabel 2 Posisi (baris dan kolom) setiap verteks tetangga di graf .
Baris
Kolom
Verteks
0
0
,
,
,
,
,
1
1
,
,
,
,
,
1
2
,
,
,
,
2
1
2
2
,
,
,
,
3
1
3
2
,
3
3
3
4
4
3
,
,
.