MEDAN GRAVITASI dan POTENSIAL GRAVITASI TEOREMA TRANSFORMASI SISTEM KOORDINAT Pendahuluan Pertanyaan-pertanyaan dari fenomena alam 1.Mengapa Benda-Benda di Tata Surya Bergerak Mengelilingi Matahari dalam suatu lintasan yang mendekati lingkaran? 2. Mengapa satelit alami (bulan) dan satelit buatan mengitari bumi dengan lintasan yang hampir lingkaran? 3. Mengapa galaksi-galaksi bergerak mengelilingi pusat galaksi pada orbit yang menyerupai lingkaran ? • Mengapa benda-benda tersebut tetap berada pada lintasannya? • Mengapa benda-benda tersebut tidak terlempar ke luar? • Tentulah ada gaya yang menahan benda-benda tersebut ke arah pusat lintasannya. Lalu gaya apakah itu? • Bukankan antara bumi dan matahari hanya ada ruang kosong? • Bukankan antara bumi dan bulan hanya ada ruang kosong? • Untuk menjelaskan fenomena ini, Newton mengusulkan teori gravitasi universal. • Universal artinya berlaku untuk semua benda di alam semesta. • Tiap-tiap benda di alam semesta melakukan gaya tarikmenarik (Gambar di bawah ini). • Besarnya gaya berbanding lurus dengan perkalian massa ke dua benda dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak ke dua benda tersebut. • Secara matematik, besarnya gaya gravitasi oleh Newton adalah sbb: • π1 π2 πΉ=πΊ 2 π (1) dengan: • π1 adalah massa benda pertama • π2 adalah massa benda kedua • π adalah jarak kedua benda • πΊ adalah konstanta gravitasi umum (6.67x10−11 Nm2/kg2) • Gaya gravitasi inilah yang mengikat planet-planet sehingga tetap berada di sistem tata surya meskipun planet-planet tersebut selalu bergerak . • Gaya adalah vektor, demikian pula dengan gaya gravitasi. Bagaimana perumusan gaya gravitasi dalam bentuk vektor? • Dengan menggunakan sistem koordinat kartesian seperti pada gambar di bawah ini, maka secara matematis dapat diuraikan menjadi : • Gaya gravitasi pada benda π2 oleh benda π1 dapat ditulis sbb: • πΉ21 = −πΊ π2 π1 π (π21) ^2 21 (2) • Dengan, π21 = π2 − π1 πππ π21 = πππππβ π£πππ‘ππ π ππ‘π’ππ π¦πππ πππππππβ ππππ π1 ππ π2 Gaya Gravitasi (penyebabnya adalah massa) • Sama seperti Bumi, Matahari juga mempunyai gaya gravitasi, yang ukurannya 28 kali gravitasi Bumi. • Artinya, Matahari mempunyai massa yang besar dan gaya gravitasi yang kuat. • Akibat gaya gravitasi tersebut, Matahari mampu melakukan gaya tarik-menarik dengan bendabenda langit di sekitarnya, seperti planet, asteroid, meteoroid, komet, dan lain-lain. • Inilah alasan ilmiah kenapa benda-benda langit di tata surya dapat bergerak mengelilingi Matahari. Medan Gravitasi di Permukaan Bumi • Mengapa dua benda yang tidak bersentuhan dapat saling tarik-menarik? • Mengapa matahari dapat menarik bumi meskipun keduanya tidak bersentuhan? • Untuk menjelaskan masalah ini diperkenalkan konsep kuat medan gravitasi. • Setiap benda menghasilkan medan gravitasi pada seluruh ruang di sekitarnya (lihat gambar di bawah ini) Besarnya medan gravitasi dinyatakan sebagai : πΉ π1 πΈ = ππ = = πΊ 2 π21 π2 π21 (3) PR: Buktikan bahwa medan gravitasi bumi sama dengan percepatan gravitasi bumi • Karena medan gravitasi bumi sama dengan percepatan gravitasi sehingga dapat ditulis sebagai : • πΈ = π dengan π adalah percepatan gravitasi bumi, maka πΉ = ππ • • • • • (4) Persamaan (4) ini menyatakan bahwa : gaya yang dialami benda bermassa π sama dengan kekuatan interaksi antara massa π dengan medan gravitasi tempat massa tersebut berada. Jari-jari bumi adalah 6370 km dan variasi ketinggian tempat-tempat di permukaan bumi sangat kecil dibandingkan dengan jari-jari bumi. Sebagai contoh lokasi tertinggi di permukaan bumi, yaitu gunung Everest tingginya sekitar 9 km, sangat kecil dibandingkan dengan jari-jari bumi. Dengan demikian, kuat medan gravitasi di berbagai tempat di permukaan bumi tidak berbeda jauh. Medan gravitasi pada tempat yang memiliki ketinggian h dari permukaan bumi dengan ππ΅ = massa bumi danπ π΅ = jari-jari bumi sbb : ππ΅ π=πΊ (π π΅ +β)2 (5) • Karena β βͺ π π΅ maka π π΅ + β ≈ π π΅ sehingga percepatan gravitasi pada berbagai ketinggian β dari permukaan bumi mendekati : π≈πΊ ππ΅ π π΅2 (6) Soal PR: a) Massa matahari 2,0 x 1030 kg dan jarijarinya 6,95 x 108 m. Hitumhlah kuat medan gravitasi di permukaan matahari. b) Jika diakhir hidupnya matahari berubah menjadi bintang katai putih dengan massa jenis 1010 km/m3, berapa kuat medan gravitasi pada keadaan tersebut? Medan Gravitasi di Dalam Bumi • • • Persamaan 6 menyatakan bahwa makin jauh dari permukaan bumi, kuat medan gravitasi makin kecil seba berbanding terbalik dengan kuadrat jarak dari pusat bumi. Bagaimana perubahan kuat medan gravitasi bumi jika posisi tersebut masuk ke dalam bumi? Apakah makin besar atau makin kecil? Ditinjau suatu daerah di dalam bumi jarak π dari pusat bumi π < π π΅ , maka gaya gravitasi yang dialami semata-mata dihasilkan oleh suatu bentuk bola di dalam bumi yang berjari-jari π seperti pada gambar di bawah ini : Medan gravitasi pada jarak π dari pusat bumi hanya disumbangkan oleh bola berjari-jari π • Untuk mencari kuat medan tersebut perlu terlebih dahulu mencari massa bola berjari-jari π dengan cara membandinkan volume bola dengan volume bumi. • • 4π Volume bumi keseluruhan : ππ΅ = π π΅ 3 3 4π 3 Volume bola berjari-jari r : ππ = π 3 • Sehingga massa bola di dalam bumi adalah : • ππ π3 π = ππ΅ = 3 ππ΅ ππ΅ π π΅ • Kuat medan gravitasi di permukaan bola sama dengan kuat medan gravitasi pada jarak r dari pusat bumi adalah : • π=πΊ π 3 /π π΅ 3 ππ΅ π2 πΊππ΅ = 3 ππ π π΅ (7) • π= πΊππ΅ ππ , dari persamaan initerlihat bahwa medan gravitasi di π π΅ 3 permukaan bumi berbanding lurus dengan jarak dari pusat bumi. Medan gravitasi di pusat bumi nol. • Grafik di bawah ini adalah skema kuat medan gravitasi bumi dari pusat bumi hingga jarak tak berhingga dari permukaan bumi. • Jelas bahwa medan gravitasi terbesar ada di permukaan bumi. Rotasi Bumi • Adanya rotasi bumi menyebabkan bumi tidak bulat sempurna tetapi berbentuk lonjong, sehingga percepatan gravitasi di permukaan bumi tidak sama besarnya. • Percepatan sentrifugal mengurangi gaya tarik gravitasi. • Jadi, semakin jauh dari sumbu rotasi, semakin besar percepatan sentrifugalnya menyebabkan semakin kecil percepatan gravitasinya. Medan Skalar • Medan skalar menghubungkan satu nilai di setiap titik dalam ruang, seperti pada gambar di bawah ini. • Contoh medan skalar adalah kontur temperatur, topografi dan tekanan Medan Vektor • Medan vektor menghubungkan nilai dan arah (vektor) disetiap titik dalam ruang, seperti pada gambar di bawah ini. • Contoh medan vektor adalah kecepatan, medan magnet, dan medan gravitasi. Medan Skalar dan Vektor • Bagaimana medan skalar dan vektor terkait satu sama lain? • Gradien medan skalar adalah medan vektor, seperti pada gambar berikut : Medan gravitasi akibat distribusi massa • Misalkan suatu benda dengan bentuk sembarang tersusun dari banyak elemen massa kecil-kecil Δm, seperti pada gambar di bawah ini , maka bagaimana persamaan medan gravitasinya? • Jika densitas (massa jenis benda adalah ρ, maka volume benda (V) = m/ρ dengan m adalah massa benda. • Jadi elemen massa memiliki densitas ρ = Δm/ΔV sebab densitas dianggap sama untuk satu jenis benda. • Rumus medan gravitasi akibat satu elemen massa Δm di titik b adalah : • βπ πβπ βπ = −πΊ 2 π = −πΊ 2 π π π (8) • Medan gravitasi seluruh elemen massa yang menyusun benda adalah: βπ πβπ • π = −πΊ π = −πΊ π (9) 2 2 π π • persamaan (9) merupakan medan total yang dihasilkan elemen massa berupa titiktitik massa atau benda diskrit. • Jika benda terbebut kontinyu sama kesegala arah, maka tanda sigma diubah menjadi integral dengan menggunakan formula matematis sebagai : • πππβπ→0 βπ = πππβπ→0 βπ = ππ • Sehingga [ersamaan (9) menjadi : π π • π = −πΊ π 2 πππ = −πΊ π 3 πππ π π • Dalam koordinat kartesian 3 dimensi, persamaan (10) menjadi : • π = −πΊ • PR ππ π₯ 2 +π¦ 2 +π§ 2 ππ₯ππ¦ππ§ (10) Energi Potensial Gravitasi di Luar Benda • Di sekitar permukaan bumi energi potensialgravitasi sebanding dengan ketinggian dari permukaanbumi dengan asumsi bahwa permukaan bumi diambil sebagai acuan dengan energi potensial nol. • Pada bagian ini akan menentukan energi potensial pada jarak sembarang dari permukaan bumi, termasuk jarak yang berpuluh-puluh kali lipat dari jari-jari bumi bahkan hingga jarak tak berhingga dari bumi. • Memisalkan sebuah benda bermassa π (misalnya Bumi) yang dipilih berada di pusat koordinat, maka gaya gravitasi pada benda yang bermassa π yang berada pada posisi π adalah πΉ = −πΊππ π/π2 • Akan tetapi jika dipilih elemen massa yang sangat kecil (ππ) di pusat koordinat kartesian dan ditinjau pada satu titik di luar massa sembarang tersebut, maka gaya gravitasinya adalah πππ πΉ = −πΊ 2 π, seperti pada gambar di bawah ini. π • Karena gaya gravitasi merupakan gaya konservatif, maka kerja yang dilakukan oleh gaya gravitasi untuk memindahkan benda π dari posisi π1 ke posisi π2 sama dengan selisih energi potensial (βπ) di π1 dan π2 atau dapat ditulis sebagai berikut : • π2 πΉ . ππ = −(π π2 π1 − π π1 ) (11) • Dengan melakukan proses integral pada persamaan (11), maka secara umum diperoleh persamaan energi potensial gravitasi adalah jika pada pusat koordinat jaraknya sama dengan nol : • ππ π πππ = −πΊ π (12) Potensial Gravitasi • Potensial gravitasi di titik tertentu pada massa m didefinisikan sebagai energi potensial dari benda bermassa M persatuan massa m. • Jadi dengan membagi persamaan (12) dengan m diperoleh persamaan potensial gravitasi sebesar : • ππ π = −πΊ ππ π (13) • Persamaan 13 ini merupakan besaran skalar. • Jika elemen massa ππ = ρππ ππππππ ππ = ππ₯ππ¦ππ§, maka : • ππ π = −πΊ π ππ₯ππ¦ππ§, dilakukan proses integrasi π₯+π¦+π§ sehingga menjadi : • π π = πΊπ 1 ππ₯ππ¦ππ§ π₯+π¦+π§ (14)
