Uploaded by User149726

MEDAN DAN POTENSIAL GRAVITASI

advertisement
MEDAN GRAVITASI
dan
POTENSIAL GRAVITASI
TEOREMA
TRANSFORMASI SISTEM KOORDINAT
Pendahuluan
Pertanyaan-pertanyaan dari
fenomena alam
1.Mengapa Benda-Benda di Tata Surya Bergerak Mengelilingi Matahari
dalam suatu lintasan yang mendekati lingkaran?
2. Mengapa satelit alami (bulan) dan satelit buatan mengitari bumi
dengan lintasan yang hampir lingkaran?
3. Mengapa galaksi-galaksi bergerak mengelilingi pusat galaksi
pada orbit yang menyerupai lingkaran ?
• Mengapa benda-benda tersebut tetap berada
pada lintasannya?
• Mengapa benda-benda tersebut tidak
terlempar ke luar?
• Tentulah ada gaya yang menahan benda-benda
tersebut ke arah pusat lintasannya. Lalu gaya
apakah itu?
• Bukankan antara bumi dan matahari hanya ada
ruang kosong?
• Bukankan antara bumi dan bulan hanya ada
ruang kosong?
• Untuk menjelaskan fenomena ini, Newton mengusulkan
teori gravitasi universal.
• Universal artinya berlaku untuk semua benda di alam
semesta.
• Tiap-tiap benda di alam semesta melakukan gaya tarikmenarik (Gambar di bawah ini).
• Besarnya gaya berbanding lurus dengan perkalian massa
ke dua benda dan berbanding terbalik dengan kuadrat
jarak ke dua benda tersebut.
• Secara matematik, besarnya gaya gravitasi oleh Newton
adalah sbb:
•
π‘š1 π‘š2
𝐹=𝐺 2
π‘Ÿ
(1)
dengan:
• π‘š1 adalah massa benda pertama
• π‘š2 adalah massa benda kedua
• π‘Ÿ adalah jarak kedua benda
• 𝐺 adalah konstanta gravitasi umum (6.67x10−11 Nm2/kg2)
• Gaya gravitasi inilah yang mengikat planet-planet sehingga
tetap berada di sistem tata surya meskipun planet-planet
tersebut selalu bergerak .
• Gaya adalah vektor, demikian pula dengan gaya gravitasi.
Bagaimana perumusan gaya gravitasi dalam bentuk vektor?
• Dengan menggunakan sistem koordinat kartesian seperti pada gambar di
bawah ini, maka secara matematis dapat diuraikan menjadi :
• Gaya gravitasi pada benda π‘š2 oleh benda π‘š1 dapat ditulis sbb:
•
𝐹21 = −𝐺
π‘š2 π‘š1
π‘Ÿ
(π‘Ÿ21) ^2 21
(2)
• Dengan,
π‘Ÿ21 = π‘Ÿ2 − π‘Ÿ1 π‘‘π‘Žπ‘› π‘Ÿ21 =
π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘™π‘Žβ„Ž π‘£π‘’π‘˜π‘‘π‘œπ‘Ÿ π‘ π‘Žπ‘‘π‘’π‘Žπ‘› π‘¦π‘Žπ‘›π‘” π‘šπ‘’π‘›π‘”π‘Žπ‘Ÿπ‘Žβ„Ž π‘‘π‘Žπ‘Ÿπ‘– π‘š1 π‘˜π‘’ π‘š2
Gaya Gravitasi
(penyebabnya adalah massa)
• Sama seperti Bumi, Matahari juga mempunyai
gaya gravitasi, yang ukurannya 28 kali gravitasi
Bumi.
• Artinya, Matahari mempunyai massa yang besar
dan gaya gravitasi yang kuat.
• Akibat gaya gravitasi tersebut, Matahari mampu
melakukan gaya tarik-menarik dengan bendabenda langit di sekitarnya, seperti planet,
asteroid, meteoroid, komet, dan lain-lain.
• Inilah alasan ilmiah kenapa benda-benda langit di
tata surya dapat bergerak mengelilingi Matahari.
Medan Gravitasi di Permukaan Bumi
• Mengapa dua benda yang tidak bersentuhan dapat saling tarik-menarik?
• Mengapa matahari dapat menarik bumi meskipun keduanya tidak
bersentuhan?
• Untuk menjelaskan masalah ini diperkenalkan konsep kuat medan
gravitasi.
• Setiap benda menghasilkan medan gravitasi pada seluruh ruang di
sekitarnya (lihat gambar di bawah ini)
Besarnya medan gravitasi dinyatakan sebagai :
𝐹
π‘š1
𝐸 = 𝑔𝑛 =
= 𝐺 2 π‘Ÿ21
π‘š2
π‘Ÿ21
(3)
PR:
Buktikan bahwa medan gravitasi bumi sama
dengan percepatan gravitasi bumi
• Karena medan gravitasi bumi sama dengan percepatan gravitasi sehingga
dapat ditulis sebagai :
• 𝐸 = 𝑔 dengan 𝑔 adalah percepatan gravitasi bumi, maka
𝐹 = π‘”π‘š
•
•
•
•
•
(4)
Persamaan (4) ini menyatakan bahwa : gaya yang dialami benda bermassa
π‘š sama dengan kekuatan interaksi antara massa π‘š dengan medan
gravitasi tempat massa tersebut berada.
Jari-jari bumi adalah 6370 km dan variasi ketinggian tempat-tempat di
permukaan bumi sangat kecil dibandingkan dengan jari-jari bumi.
Sebagai contoh lokasi tertinggi di permukaan bumi, yaitu gunung Everest
tingginya sekitar 9 km, sangat kecil dibandingkan dengan jari-jari bumi.
Dengan demikian, kuat medan gravitasi di berbagai tempat di permukaan
bumi tidak berbeda jauh.
Medan gravitasi pada tempat yang memiliki ketinggian h dari permukaan
bumi dengan 𝑀𝐡 = massa bumi dan𝑅𝐡 = jari-jari bumi sbb :
𝑀𝐡
𝑔=𝐺
(𝑅𝐡 +β„Ž)2
(5)
• Karena β„Ž β‰ͺ 𝑅𝐡 maka 𝑅𝐡 + β„Ž ≈ 𝑅𝐡 sehingga percepatan
gravitasi pada berbagai ketinggian β„Ž dari permukaan bumi
mendekati :
𝑔≈𝐺
𝑀𝐡
𝑅𝐡2
(6)
Soal PR:
a) Massa matahari 2,0 x 1030 kg dan jarijarinya 6,95 x 108 m.
Hitumhlah kuat medan gravitasi di permukaan matahari.
b) Jika diakhir hidupnya matahari berubah menjadi bintang
katai putih dengan massa jenis 1010 km/m3, berapa kuat
medan gravitasi pada keadaan tersebut?
Medan Gravitasi di Dalam Bumi
•
•
•
Persamaan 6 menyatakan bahwa makin jauh dari permukaan bumi, kuat medan
gravitasi makin kecil seba berbanding terbalik dengan kuadrat jarak dari pusat
bumi.
Bagaimana perubahan kuat medan gravitasi bumi jika posisi tersebut masuk ke
dalam bumi? Apakah makin besar atau makin kecil?
Ditinjau suatu daerah di dalam bumi jarak π‘Ÿ dari pusat bumi π‘Ÿ < 𝑅𝐡 , maka gaya
gravitasi yang dialami semata-mata dihasilkan oleh suatu bentuk bola di dalam
bumi yang berjari-jari π‘Ÿ seperti pada gambar di bawah ini :
Medan gravitasi pada jarak π‘Ÿ dari
pusat bumi hanya disumbangkan
oleh bola berjari-jari π‘Ÿ
• Untuk mencari kuat medan tersebut perlu terlebih dahulu mencari massa
bola berjari-jari π‘Ÿ dengan cara membandinkan volume bola dengan
volume bumi.
•
•
4πœ‹
Volume bumi keseluruhan : 𝑉𝐡 =
𝑅𝐡 3
3
4πœ‹ 3
Volume bola berjari-jari r : 𝑉𝑏 =
π‘Ÿ
3
• Sehingga massa bola di dalam bumi adalah :
•
𝑉𝑏
π‘Ÿ3
π‘š = 𝑀𝐡 = 3 𝑀𝐡
𝑉𝐡
𝑅𝐡
• Kuat medan gravitasi di permukaan bola sama dengan kuat
medan gravitasi pada jarak r dari pusat bumi adalah :
• 𝑔=𝐺
π‘Ÿ 3 /𝑅𝐡 3 𝑀𝐡
π‘Ÿ2
𝐺𝑀𝐡
= 3 π‘Ÿπ‘Ÿ
𝑅𝐡
(7)
• 𝑔=
𝐺𝑀𝐡
π‘Ÿπ‘Ÿ , dari persamaan initerlihat bahwa medan gravitasi di
𝑅𝐡 3
permukaan bumi berbanding lurus dengan jarak dari pusat bumi. Medan
gravitasi di pusat bumi nol.
• Grafik di bawah ini adalah skema kuat medan gravitasi bumi dari pusat
bumi hingga jarak tak berhingga dari permukaan bumi.
• Jelas bahwa medan gravitasi terbesar ada di permukaan bumi.
Rotasi Bumi
• Adanya rotasi bumi menyebabkan bumi tidak bulat sempurna tetapi
berbentuk lonjong, sehingga percepatan gravitasi di permukaan bumi
tidak sama besarnya.
• Percepatan sentrifugal mengurangi gaya tarik gravitasi.
• Jadi, semakin jauh dari sumbu rotasi, semakin besar percepatan
sentrifugalnya menyebabkan semakin kecil percepatan gravitasinya.
Medan Skalar
• Medan skalar menghubungkan satu nilai di setiap titik dalam ruang,
seperti pada gambar di bawah ini.
• Contoh medan skalar adalah kontur temperatur, topografi dan tekanan
Medan Vektor
• Medan vektor menghubungkan nilai dan arah (vektor) disetiap titik dalam
ruang, seperti pada gambar di bawah ini.
• Contoh medan vektor adalah kecepatan, medan magnet, dan medan
gravitasi.
Medan Skalar dan Vektor
• Bagaimana medan skalar dan vektor terkait satu sama lain?
• Gradien medan skalar adalah medan vektor, seperti pada gambar berikut :
Medan gravitasi akibat distribusi massa
• Misalkan suatu benda dengan bentuk sembarang tersusun dari banyak
elemen massa kecil-kecil Δm, seperti pada gambar di bawah ini , maka
bagaimana persamaan medan gravitasinya?
• Jika densitas (massa jenis benda adalah ρ, maka volume benda (V) = m/ρ
dengan m adalah massa benda.
• Jadi elemen massa memiliki densitas ρ = Δm/ΔV sebab densitas dianggap
sama untuk satu jenis benda.
• Rumus medan gravitasi akibat satu elemen massa Δm di titik b adalah :
•
βˆ†π‘š
πœŒβˆ†π‘‰
βˆ†π‘” = −𝐺 2 π‘Ÿ = −𝐺 2 π‘Ÿ
π‘Ÿ
π‘Ÿ
(8)
• Medan gravitasi seluruh elemen massa yang menyusun benda adalah:
βˆ†π‘š
πœŒβˆ†π‘‰
• 𝑔 = −𝐺
π‘Ÿ = −𝐺
π‘Ÿ
(9)
2
2
π‘Ÿ
π‘Ÿ
• persamaan (9) merupakan medan total yang dihasilkan elemen massa berupa
titiktitik massa atau benda diskrit.
• Jika benda terbebut kontinyu sama kesegala arah, maka tanda sigma diubah
menjadi integral dengan menggunakan formula matematis sebagai :
•
π‘™π‘–π‘šβˆ†π‘š→0 βˆ†π‘š =
π‘™π‘–π‘šβˆ†π‘‰→0 βˆ†π‘‰ =
𝑑𝑉
• Sehingga [ersamaan (9) menjadi :
𝜌
𝜌
• 𝑔 = −𝐺 𝑉 2 π‘Ÿπ‘‘π‘‰ = −𝐺 𝑉 3 π‘Ÿπ‘‘π‘‰
π‘Ÿ
π‘Ÿ
• Dalam koordinat kartesian 3 dimensi, persamaan (10) menjadi :
• 𝑔 = −𝐺
• PR
πœŒπ‘Ÿ
π‘₯ 2 +𝑦 2 +𝑧 2
𝑑π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧
(10)
Energi Potensial Gravitasi di Luar Benda
• Di sekitar permukaan bumi energi potensialgravitasi
sebanding dengan ketinggian dari permukaanbumi dengan
asumsi bahwa permukaan bumi diambil sebagai acuan
dengan energi potensial nol.
• Pada bagian ini akan menentukan energi potensial pada jarak
sembarang dari permukaan bumi, termasuk jarak yang
berpuluh-puluh kali lipat dari jari-jari bumi bahkan hingga
jarak tak berhingga dari bumi.
• Memisalkan sebuah benda bermassa 𝑀 (misalnya Bumi) yang
dipilih berada di pusat koordinat, maka gaya gravitasi pada
benda yang bermassa π‘š yang berada pada posisi π‘Ÿ adalah 𝐹
= −πΊπ‘€π‘š π‘Ÿ/π‘Ÿ2
• Akan tetapi jika dipilih elemen massa yang sangat kecil (π‘‘π‘š)
di pusat koordinat kartesian dan ditinjau pada satu titik di luar
massa sembarang tersebut, maka gaya gravitasinya adalah
π‘‘π‘€π‘š
𝐹 = −𝐺 2 π‘Ÿ, seperti pada gambar di bawah ini.
π‘Ÿ
• Karena gaya gravitasi merupakan gaya konservatif, maka kerja
yang dilakukan oleh gaya gravitasi untuk memindahkan benda
π‘š dari posisi π‘Ÿ1 ke posisi π‘Ÿ2 sama dengan selisih energi
potensial (βˆ†π‘ˆ) di π‘Ÿ1 dan π‘Ÿ2 atau dapat ditulis sebagai berikut :
•
π‘Ÿ2
𝐹 . π‘‘π‘Ÿ = −(π‘ˆ π‘Ÿ2
π‘Ÿ1
− π‘ˆ π‘Ÿ1 )
(11)
• Dengan melakukan proses integral pada persamaan (11),
maka secara umum diperoleh persamaan energi potensial
gravitasi adalah jika pada pusat koordinat jaraknya sama
dengan nol :
• π‘‘π‘ˆ π‘Ÿ
π‘‘π‘€π‘š
= −𝐺
π‘Ÿ
(12)
Potensial Gravitasi
• Potensial gravitasi di titik tertentu pada massa m didefinisikan
sebagai energi potensial dari benda bermassa M persatuan
massa m.
• Jadi dengan membagi persamaan (12) dengan m diperoleh
persamaan potensial gravitasi sebesar :
• 𝑑𝑉 π‘Ÿ = −𝐺
𝑑𝑀
π‘Ÿ
(13)
• Persamaan 13 ini merupakan besaran skalar.
• Jika elemen massa 𝑑𝑀 = ρ𝑑𝑉 π‘‘π‘’π‘›π‘”π‘Žπ‘› 𝑑𝑉 = 𝑑π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧, maka :
• 𝑑𝑉 π‘Ÿ = −𝐺
𝜌
𝑑π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧, dilakukan proses integrasi
π‘₯+𝑦+𝑧
sehingga menjadi :
• 𝑉 π‘Ÿ = 𝐺𝜌
1
𝑑π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧
π‘₯+𝑦+𝑧
(14)
Download