Pertemuan 3[1]

Analisa Numerik
(Akar- akar Persamaan)
• Oleh
• Monice, S.ST., MT
AKAR PERSAMAAN NON LINEAR
Persamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan
dengan cara analitik. Contoh :
ax  bx  c  0
2
2

b

b
 4ac
Solusi : x12 
2a
Persamaan yang kompleks, solusinya susah
dicari. Contoh :
f ( x)  e
x3  2 x
 3x  0
Maka timbulah solusi dengan metode
numerik, dengan pembagian metode
sebagai berikut :
1.
GRAFIS
2.
BISECTION
3.
REGULA FALSI
4.
SECANT
5.
NEWTON RHAPSON
6.
ITERASI FIXED POINT
1. GRAFIS
Merupakan metode mencari akar dengan
cara menggambar fungsi yang
bersangkutan
Contoh :
Y = 2x2 – 3x -2
Jawab:
Dengan memasukkan harga “x” didapat nilai fungsi
f(x)
f(x)
-1.40
-1.20
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.60
0.90
1.20
1.50
1.80
2.10
2.40
2.70
6.12
4.48
3.00
1.68
0.52
-0.48
-1.32
-2.00
-2.52
-3.08
-3.08
-2.72
-2.00
-0.92
0.52
2.32
4.48
8.00
6.00
4.00
f(x)
x
2.00
0.00
-2.00
-4.00
-2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00
X
2. BISECTION

Metode ini melakukan pengamatan terhadap
nilai f(x) dengan berbagai nilai x, yang
mempunyai perbedaan tanda.

Taksiran akar diperhalus dengan cara
membagi 2 pada interval x yang mempunyai
beda tanda tersebut.
F(x)
x1
x4
x5
x3
x2
x
Algoritma :
1)
Pilih x1 bawah dan x2 puncak taksiran untuk akar,
sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh
interval. Hal ini dapat diperiksa dengan
memastikan :
f ( x1 ). f ( x2 )  0
2)
Taksiran akar x, ditentukan oleh :
x1  x2
xr 
2
3)
Buat evaluasi dengan memastikan pada bagian interval mana akar
berbeda :
* jika f(x1).f(x2) < 0 akan berada pada bagian interval
bawah, maka x2 = xr , dan kembali kelangkah 2
* Jika f(x1).f(x2) > 0 akan berada pada bagian
interval atas , maka x1 = xr , dan kembali kelangkah 2
* Jika f(x1).f(x2) = 0, akar setara xr, perhitungan
dihentikan, atau bisa juga :
f ( x1 ). f ( x2 )  
Dimana ε adalah harga toleransi yang dibuat.
Contoh :
Carilah akar persamaan dari :
f ( x)  x 3  x 2  3x  3  0, dengan   0,001
Penyelesaian:
Hitung nilai
f (x)
pada interval antara 2 titik
untuk x=1, f ( x  1)  (1) 3  (1) 2  3(1)  3  4
untuk x=2
f ( x  2)  (2) 3  (2) 2  3(2)  3  3
Fungsi diatas adalah kontinyu, berarti perubahan
tanda dari fungsi antara x=1 dan x=2 akan
memotong sumbu x paling tidak satu kali. titik
perpotongan antar sumbu x dan fungsi
merupakan akar-akar persamaan.
hitung nilai
xr , kemudian hitung fungsi f ( xr )
x1  x2 1  2
xr 

 1,5
2
2
f ( xr  1,5)  (1,5)3  (1,5) 2  3(1,5)  3  1,875
Langkah selanjutnya adalah membuat setengah
interval berikutnya untuk membuat interval yang
semakin kecil, dimana akar persamaan berada. Hasil
perhitungan ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel hasil perhitungan:
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
f(x)
1.5
1.75
1.625
1.6875
1.71875
1.734375
1.726563
1.730469
1.732422
1.731445
1.731934
1.732178
1.732056
-1.875
0.171875
-0.943359
-0.409424
-0.124786
0.02203
-0.051755
-0.014957
0.003513
-0.005728
-0.001109
0.001201
4.6E-05
3. Metode Regula Falsi.

Kekurangan metode bisection adalah
membagi dua selang diantara x1 dengan
x2 menjadi dua bagian yang sama,
besaran f(x1) dan f(x2) diabaikan.
Misalnya, jika f(x1) lebih dekat ke nol
daripada f(x2), kemungkinan besar akar
akan lebih dekat ke x1 daripada ke x2.
y
f(x2
)
x1
f(x1)
x2
x
Algoritma :
1)
Pilih x1 bawah dan x2 (puncak) untuk taksiran akar, sehingga
perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat
diperiksa dengan: f(x1) . f(x2) < 0
2.
Taksir akar xr, ditentukan oleh:
x2  x1
xr  x2  f ( x2 )
f ( x2 )  f ( x1 )
a)
Buat evaluasi berikut untuk memastikan harga akar :
b)
Jika f ( x1 ). f ( xr )  0 , maka akar berada pada bagian interval
bawah, maka x2  xr , kembali ke langkah 2.
c)
Jika f ( x1 ). f ( xr )  0 maka akar berada pada bagian interval
atas, maka x1  xr, kembali ke langkah 2.
d)
Jika
f ( x1 ). f ( xr )  0
, akar setara xr maka hentikan perhitungan.
Contoh:
f ( x)  x 6  x  1
 0.00001
ditentukan ;
x1  1
x2  1.2
subtitusikan pada persamaan ;
f (1)  16  x1  1  1
f (1,2)  (1,2) 6  1,2  1  0,78598
maka nilai
xr  1,2  0,78598
(1,2  1)
 1,11198
(0,78598  (1))
f (1,1198 )  1,11198 6  1,11198  1  0,22146
Tabel hasil perhitungan:
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
x
f(x)
1
1.2
1.111983
1.131329
1.134228
1.134652
1.134714
1.134723
-1
0.785984
-0.221429
-0.034641
-0.005099
-0.000744
-0.000108
-1.58E-05
4. Metode Secant

Metode ini memerlukan dua taksiran
awal akan tetapi karena f(x) tidak
disyaratkan untuk berganti tanda
diantara taksiran-taksiran, maka metode
ini tidak digolongkan sebagai metode
pengurung.

Persamaan yang dipakai metode secant
adalah
f ( xn )( xn  xn 1 )
xn 1  xn 
f ( xn )  f ( xn 1 )
Algoritma :


Pilih x1 bawah dan x2 (puncak) untuk taksiran akar.
Taksir akar xn+1, ditentukan oleh:
xn1

f ( xn )( xn  xn1 )
 xn 
f ( xn )  f ( xn1 )
Perhitungan dihentikan jika f(x
yang ditentukan
n+1)
≈ 0 atau Є =
Contoh:
f ( x)  x  x  1  0
6
Ditentukan taksiran awalnya
adalah :
X1 = 1
f (1)  16  1  1  1
X2 = 2
f (2)  26  2  1  61
61(2  1)
xn1  2 
 1,016129
61  (1)
Disajikan dalam bentuk tabel
ITERASI
1
2
Xn-1
1
2
Xn
2
1.016129
Xn+1
1.01612903
1.03067473
f(Xn-1)
f(Xn)
-1
61
f(Xn+1)
61 -0.9153677
-0.915368 -0.8319216
Tabel hasil perhitungan:
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
f(x)
1
2
1.016129
1.030675
1.175689
1.123679
1.133671
1.134753
1.134724
-1
61
-0.915368
-0.831921
0.465227
-0.110633
-0.010806
0.000294
-7.48E-07
5. Metode Newton Rhapson

Metode ini paling banyak digunakan
dalam mencari akar-akar dari suatu
persamaan. Jika perkiraan dari akar
adalah xn, suatu garis singgung dapat
dibuat dari titik (xn ), f (xn). Titik dimana
garis singgung tersebut memotong
sumbu x biasanya memberikan
perkiraan yang lebih dekat dari nilai
akar.
y
x2
x1
x
Algoritma :

Tentukan nilai x1 sebagai terkaan awal

Buat taksiran untuk xn+1 dengan
persamaan :
f ( xn )
xn 1  xn  '
f ( xn )

Perhitungan dihentikan jika f(x n+1) ≈ 0
atau Є = yang ditentukan
Contoh :
f ( x)  x  x  1  0
6
Ditentukan taksiran awal x1 = 2
f (2)  2  2  1  61
6
f ( x)  6 x  1  0
'
5
f (2)  6(2)  1  191
'
61
x2  2 
 1,680628
191
5
Dalam Bentuk Tabel
Hentikan iterasi jika f(Xn+1)≈0
ITERASI
Xn
f(Xn)
f'(Xn) Xn+1
f(Xn+1)
1
2
61
191 1.6806283 19.852941
2 1.6806283 19.852941 79.44695 1.430739 6.1467955
Tabel hasil perhitungan:
No.
1
2
3
4
5
6
7
x
f(x)
f'(x)
2
1.680628
1.430739
1.254971
1.161538
1.136353
1.134731
61
19.85294
6.146795
1.651657
0.29431
0.016826
6.57E-05
191
79.44695
34.97107
17.67754
11.68584
10.36889
10.28795
6. Metode Iterasi Fixed Point

Teknik iterasi fixed point dijalankan
dengan cara membuat fungsi f(x)
menjadi bentuk fungsi implisit f(x)=0
kemudian x=g(x), iterasi yang digunakan
adalah dalam bentuk persamaan;
xn+1 = g(xn)
ALGORITMA :

Tentukan nilai taksiran awal xn

Lakukan perhitungan taksiran akar
dengan mempergunakan persamaan;
Xn+1=g(xn)

Perhitungan dihentikan jika;
xn1  xn  
Contoh:
X2 - 3x + 1 = 0
3x = x2 + 1
X = 1/3 (x2 +1)
ε = 0,001
Ditentukan x0 = 2
X= 1/3(2^2+1) = 1,667
Іx1 – x0І= 1,667 – 2 = 0,333
Tabel Hasil Perhitungan
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Xn
2
1.6667
1.2593
0.8619
0.5810
0.4458
0.3996
0.3866
0.3831
0.3823
Іxn - x n+1І
0.3333
0.4074
0.3973
0.2809
0.1351
0.0462
0.0130
0.0034
0.0009