51 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Teori Bilangan

BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Teori Bilangan
2.1.1 Keterbagian
Jika a dan b ∈ Z (Z = himpunan bilangan bulat) dimana b ≠ 0, maka dapat dikatakan
b habis dibagi dengan a atau b mod a = 0 dan dinotasikan dengan a|b jika terdapat
suatu bilangan x ∈ Z sehingga membentuk a = bx. Jika b tidak habis dibagi dengan a
atau b mod a ≠ 0, maka dapat dinotasikan sebagai a | b [9].
Contoh:
3|9
à 9 ÷ 3 = 3 atau 9 mod 3 = 0
3 | 5 à 5 ÷ 3 = 1,67 atau 5 mod 3 = 2
2.1.2 Greatest Common Divisor (GCD)
Misalkan a,b ∈ Z dan a,b ≠ 0, maka d disebut Greatest Common Divisor (GCD) atau
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari a dan b jika:
(i)
d>0
(ii)
d|a dan d|b
dan dinotasikan sebagai d = gcd(a,b) [9].
Contoh:
Faktor Pembagi 15 = {1,3,5,15}
Faktor Pembagi 25 = {1,5,25}
Maka gcd(15,25) adalah 5
2.1.3 Algoritma Euclidean
Algoritma Euclidean merupakan algoritma yang digunakan untuk mencari gcd dari
dua bilangan bulat. Algoritma ini ditemukan oleh seorang matematikawan Yunani
bernama Euclid, yang menuliskan algoritmanya tersebut dalam bukunya yang
terkenal, Element [11].
51
Universitas Sumatera Utara
Misalkan m dan n adalah bilangan bulat tak negatif dengan m ≥ n. Misalkan r0
= m dan r1 = n. Lakukan pembagian secara berturut – turut untuk memperoleh
r0 = r1q1 + r2
0 ≤ r2 ≤ r1,
r1 = r2q2 + r3
0 ≤ r3 ≤ r2,
⋮
rn-2 = rn-1 qn-1 + rn
0 ≤ rn ≤ rn-1,
rn-1 = rn qn + 0
gcd (m,n)
= gcd(r0,r1) = gcd(r1,r2) = ... = gcd(rn-2,rn-1)
= gcd(rn-1,rn) = gcd(rn,0) = rn
Jadi, gcd dari m dan n adalah sisa terakhir yang tidak nol dari runtunan
pembagian tersebut [11].
Contoh:
Tentukan gcd(150, 22)
150 mod 22 = 18
22 mod 18 = 4
18 mod 4 = 2
4 mod 2 = 0 (berhenti)
Maka gcd(150,22) adalah 2
2.1.4 Relatif Prima
Jika a,b ∈ Z dan gcd(a,b) = 1 maka a dan b dikatakan relatif prima [9].
Contoh:
11 dan 7 relatif prima karena gcd(11,7) = 1
15 dan 5 tidak relatif prima karena gcd(15,5) = 0 ≠ 1
2.1.5 Least Common Multiple (LCM)
Misalkan a,b dan d ∈ Z, d disebut Least Common Multiple atau Kelipatan Persekutuan
Terbesar (KPK) dari a dan b jika:
Universitas Sumatera Utara
(i)
d>0
(ii)
a|d dan b|d
dan dinotasikan sebagai d = lcm(a,b) [9].
Contoh:
Tentukan lcm(12,20).
Kelipatan 12 = {12,24,36,48,60,72,84,...}
Kelipatan 20 = {20,40,60,80,100,...}
Maka lcm(12,20) adalah 60
2.1.6 Aritmatika Modulo
Misalkan a,m ∈ Z dan m > 0, operasi a mod m (dibaca “a modulo m”) memberikan
sisa jika a dibagi dengan m. Dengan kata lain a mod m = r sedemikian sehingga a =
mq +r, dengan 0 ≤ r < m [11].
Contoh:
(i) 33 mod 5 = 3
(karena 33 dibagi 5 memberikan
hasil (q) = 6 dan sisa (r) = 3, atau ditulis sebagai 33 = 5
⋅ 6 + 3)
(ii) 30 mod 3 = 0
(30 = 3 ⋅ 10 + 0)
Misalkan a,b ∈ Z dan m > 0, a dan b dikatakan kongruen dalam hal modulo m
jika memiliki sisa yang sama jika dibagi dengan bilangan positif m. Hal ini
dilambangkan dengan a ≡ b (mod m) .
Contoh:
38 mod 5 = 3
13 mod 5 = 3
Maka 38 ≡ 13 (mod 5)
2.1.7 Invers Modulo
Misalkan suatu bilangan a relatif prima terhadap n atau gcd(a,n) = 1, maka
invers dari a mod n adalah a-1 sedemikian hingga a-1. a = 1(mod n) [11].
Universitas Sumatera Utara
Contoh:
Invers Modulo dari 4 mod 11
a-1
a-1. 4 (mod 11)
1
4
2
8
3
1
Maka, invers modulo dari 4 mod 11 = 3 karena 3.4 = 1 (mod 11).
2.2 Kriptografi
Secara etimologi, Kriptografi berasal dari bahasa Yunani, yaitu krypto dan graphia.
Kripto berarti rahasia dan graphia yang berarti tulisan. Menurut terminologinya
kriptografi adalah ilmu dan seni untuk menjaga keamanan pesan ketika pesan dikirim
dari suatu tempat ketempat yang lain. Dalam perkembangannya, kriptografi juga
digunakan untuk mengidentifikasi pengiriman pesan dengan tanda tangan digital dan
keaslian pesan dengan sidik jari digital (fingerprint) [3].
Pada dasarnya, kriptografi terdiri dari beberapa komponen seperti [4]:
1.
Enkripsi
Enkripsi merupakan hal yang sangat penting dalam kriptografi sebagai
pengamanan atas data yang dikirmkan agar rahasianya terjaga. Enkripsi
mengubah pesan asli (plaintext) menjadi kode-kode yang tidak dimengerti
(ciphertext).
2.
Dekripsi
Dekripsi merupakan kebalikan dari proses enkripsi, yaitu mengubah kembali
pesan yang telah dienkripsi ke bentuk asalnya.
3.
Kunci
Kunci yang dimaksud disini adalah kunci yang dipakai untuk melakukan proses
enkripsi dan dekripsi. Kunci terdiri atas dua, yaitu kunci pribadi (private key) dan
kunci publik (public key)
4.
Ciphertext
Universitas Sumatera Utara
Ciphertext merupakan suatu pesan yang sudah melalui proses enkripsi. Pesan
yang ada pada ciphertext tidak bisa dibaca karena berisi karakter-karakter yang
tidak memiliki makna.
5.
Plaintext
Plaintext merupakan suatu pesan bermakna yang akan diproses menggunakan
algoritma kriptografi agar menjadi ciphertext.
6.
Pesan
Pesan bisa berupa data atau informasi yang dikirim melalui kurir, saluran
komunikasi data dan sebagainya.
7.
Cryptanalysis
Cryptanalysis bisa diartikan sebagai analisis sandi untuk mendapatkan plaintext
tanpa harus mengetahui kunci secara wajar.
Adapun fungsi dari kriptografi adalah [13]:
-
Confidentiality (Kerahaasiaan). Menjaga agar pesan tidak dapat dibaca oleh
pihak-pihak yang tidak berhak.
-
Authentication
(Otentikasi).
Memungkinkan
penerima
pesan
untuk
memastikan asal usulnya ; artinya seorang penyelundup tidak dapat
menyamarkan dirinya sebagai orang lain
-
Integrity
(Integritas
Data).
Memungkinkan
penerima
pesan
untuk
membuktikan bahwa pesan tidak di modifikasi/manipulasi selama dalam
pengiriman; artinya seorang penyelundup tidak bisa menukar pesan yang asli
dengan pesan yang salah.
-
Nonrepudiation (Non-Penyangkalan). Pengirim tidak bisa menyangkal bahwa
ia telah mengirimkan pesan.
2.2.1 Algoritma Simetris
Algoritma simetris merupakan algoritma yang menggunakan kunci yang sama pada
proses enkripsi dan dekripsinya. Algoritma simetris juga biasa disebut algoritma
konvensional. Sistem kriptografi dengan algoritma simetris ini mengasumsikan
pengirim dan penerima pesan sudah berbagi kunci yang sama sebelum bertukar pesan.
Keamanan algoritma simetris ini terletak pada kerahasiaan kuncinya [10]
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.1 Skema Kriptografi Algortma Simetris. [10].
Algoritma simetris dibagi menjadi dua kategori, yaitu stream cipher (cipher
aliran) dan block cipher. Stream cipher beroperasi dengan melakukan enkripsi dan
dekripsi terhadap satu bit atau satu byte data. Sedangkan block cipher beroperasi
dengan melakukan enkripsi dan dekripsi terhadap satu blok data [13].
Beberapa sistem kriptografi yang menggunakan algoritma simetris adalah [3]:
-
One Time Pad
-
RC 4
-
Data Encryption Standard (DES)
-
Advanced Encryption Standard (AES)
2.2.2 Algoritma Asimetris (Public Key Algorithm)
Algoritma asimetris merupakan algoritma yang memiliki kunci yang berbeda untuk
proses enkripsi dan dekripsinya. Algoritma ini biasa juga disebut dengan algoritma
kunci publik karena kunci untuk proses enkripsi bersifat publik, artinya siapapun bisa
menggunakan kunci tersebut untuk melakukan enkripsi. Sementara itu, kunci untuk
mendekripsikan pesan bersifat privat sehingga hanya si penerima pesan yang dapat
mendekripsikan pesan karena hanya ia yang mengetahui kunci privatnya sendiri [13].
Gambar 2.2 Skema Kriptografi Algoritma Asimetris [10].
Universitas Sumatera Utara
Contoh sistem kriptografi yang menggunakan algoritma kunci publik adalah
RSA (Rivest Shamir Adleman), ElGamal dan LUC.
2.2.3 Algoritma Asimetris Non Public Key
Algoritma kriptografi non Public Key merupakan algoritma kriptografi dimana kunci
yang digunakan untuk proses enkripsi dan dekripsinya berbeda, maka tidak termasuk
algoritma simetris. Namun algoritma ini tidak termasuk dalam kriptografi kunci
publik karena kedua kunci dapat dengan mudah diturunkan satu sama lain, jadi kedua
kuncinya harus tetap dirahasiakan. Contoh algoritma yang menggunakan kriptografi
non-public key adalah Pohlig-Hellman [13].
Kunci Privat, K1
Plaintext, P
Enkripsi
EK1(P) = C
Kunci Privat, K2
Ciphertext, C
Dekripsi
DK2(C) = P
Plaintext, P
Gambar 2.3. Skema Kriptografi Algoritma Non Public Key.
2.3 Algoritma Kriptografi LUC
Algoritma kriptografi LUC merupakan salah satu sistem kriptografi yang menerapkan
algoritma kunci publik. Algoritma ini dikemukakan oleh Peter J. Smith dan Michael
J.J. Lennon pada tahun 1993 di New Zealand. LUC memiliki tiga tahap utama, yaitu
pembangkitan kunci, enkripsi dan dekripsi [2].
LUC dibangun berdasarkan fungsi Lucas (Lucas Function). Penggunaan
fungsi Lucas didalam mengolah data dari plaintext menjadi ciphertext atau sebaliknya
hampir menyerupai fungsi pemangkatan yang digunakan oleh RSA.
Universitas Sumatera Utara
Fungsi Lucas merupakan fungsi deret
dan
yang dibangun dari dua
bilangan integer P dan Q. Kemudian dibangun sebuah persamaan kuadrat
−
+
= 0. Jika akar dari persamaan tersebut adalah a dan b, maka didapatkan P = a+b
dan Q = ab. Kemudian fungsi Lucas didefinisikan sebagai berikut [2]:
=(
=
)/( − )
−
(1)
+
(2)
Dua fungsi pada barisan Lucas dapat diturunkan dari persamaan (1) dan (2) yang
didefinisikan sebagai berikut:
=
−
dimana n ≥ 2,
=
(3)
= 0 dan
=1
−
dimana n ≥ 2,
(4)
= 2 dan
=
Sistem kriptografi LUC hanya akan menggunakan deretan
dengan nilai Q=1
sehingga persamaan (4) dapat didefinisikan sebagai
=
−
dimana n ≥ 2,
(5)
= 2 dan
=
Sebagai contoh dimisalkan P = 3, Q = 1, maka 10 barisan Lucas pertama:
Tabel 2.1 Perhitungan barisan Lucas sampai n=10. [12]
2.3.1 Pembangkitan Kunci LUC
Dibutuhkan dua buah kunci, yaitu kunci publik e dan kunci privat d untuk melakukan
proses enkripsi dan dekripsi pada LUC. Proses pembangkitan kunci dilakukan dengan
cara sebagai berikut [15]:
1.
Pilih dua buah bilangan prima acak besar p dan q, dimana p ≠ q dan gcd(p,q) = 1
2.
Hitung N = p . q
3.
Ambil kunci publik acak e dengan syarat e relatif prima terhadap
ϕ(N) =(p-1)(p+1)(q-1)(q+1) atau gcd(e, ϕ(N)) = 1
4.
Hitung kunci dekripsi d dengan ketentuan
Universitas Sumatera Utara
R(N)=lcm((p-1),(q-1),(p+1),(q-1)) dan de =1 mod R(N)
2.3.2 Lehmann Prime Generator
Dalam algoritma kriptografi kunci publik diperlukan bilangan prima untuk proses
pembangkitan kunci. Salah satu algoritma pengujian bilangan prima adalah algoritma
Lehmann. Cara kerja algoritma Lehmann adalah sebagai berikut:
1. Pilih bilangan acak a yang lebih kecil dari p
(
2. Hitung
=
3. Jika
(
)/
4. Jika
(
)/
)/
≠ 1 atau − 1 (
≡ 1 atau − 1 (
), maka p pasti bukan prima
), maka kemungkinan p bikan prima tidak
lebih dari 50%
Pengujian diulangi sebanyak t kali. Jika pehitungan menghasilkan nilai 1 atau -1,
tetapi tidak selalu 1, maka kemungkinan p adalah prima dengan tingkat kesalahan
tidak lebih dari 1/2
[13]. Pengujian sebaiknya dilakukan sehingga kemungkinan
primanya ≥ 99%.
Contoh 1:
Misalkan penulis ingin melakukan pengujian apakah 9 adalah bilagan prima
a=2
= 2(
)/
≡2
9
9
≡ 16 mod 9 ≡ 7 (
9)
Maka, dapat disimpulkan jika 9 bukan bilangan prima.
Contoh 2:
Misalkan penulis ingin melakukan pengujian apakah 11 adalah bilangan prima
a=2
= 2(
≡2
)/
11
11
≡ 32 mod 11 ≡ −1(
11) --- Kemungkinan tidak prima < 50 %
a=3
Universitas Sumatera Utara
= 3(
≡3
)/
11
11
≡ 243 mod 11 ≡ 1(
11) --- Kemungkinan prima 50 % + 25 % = 75 %
Setelah melakukan pengujian sebanyak dua kali dan menghasilkan nilai 1 dan -1,
maka dapat disimpulkan bahwa 11 adalah bilangan prima dengan kemungkinan prima
75 %.
2.3.3 Algoritma Enkripsi LUC
Dengan menggunakan kunci publik e yang telah dibangkitkan sebelumnya, maka proses
enkripsi pesan plaintext menjadi ciphertext dengan algoritma kriptografi LUC adalah
sebagai berikut:
C=
=(P
−
) mod N
(6)
Fungsi enkripsi akan menghitung suku ke-n dari fungsi deret Lucas dengan
indeks n adalah kunci publik e dan P adalah plaintext. Proses enkripsi akan
menghasilkan ciphertext C.
2.3.4 Algoritma Dekripsi LUC
Untuk mengembalikan ciphertext C menjadi pesan asli/plaintext P, maka dilakukan
proses dekripsi dengan menggunakan kunci privat d. Fungsi dekripsi dengan algoritma
kriptografi LUC didefinisikan sebagai berikut:
P=
=(C.
−
) mod N
(7)
Seperti pada proses enkripsi, fungsi dekripsi akan menghitung suku ke-n dari
fungsi deret Lucas dengan indeks n adalah kunci privat d dan C adalah ciphertext.
Proses dekripsi akan menghasilkan pesan asli/plaintext P.
2.4 Steganografi
Istilah steganografi berasal dari bahasa Yunani, yaitu steganos yang berarti penyamaran
atau penyembunyian dan graphein yang berarti tulisan. Jadi, steganografi bisa diartikan
sebagai ilmu dan seni menyamarkan/menyembunyikan pesan tertulis ke dalam pesan
lainnya. Steganografi menyembunyikan pesan dalam data lain tanpa mengubah data yang
Universitas Sumatera Utara
ditumpanginya sehingga data yang ditumpanginya sebelum dan setelah proses
penyembunyian hampir terlihat sama.
Steganografi
yang
bersifat
“computer-based”
bisa
diterapkan
dengan
menggunakan berbagai media sebagai cover (media penyisipan). Media penyisipan
merupakan suatu media untuk menyimpan pesan rahasia. Beberapa contoh media
pemyimpan pesan rahasia yang digunakan dalam teknik steganografi antara lain adalah
teks, audio, citra dan video.
Perbedaan mendasar antara steganografi dengan kriptografi terletak pada proses
penyembunyian data dan hasil akhir proses tersebut. Kriptografi melakukan proses
pengacakan data asli sehingga dihasilkan data terenkripsi yang benar-benar acak dan
berbeda dari aslinya. Sementara itu steganografi menyembunyikan data dalam data lain
dengan cara menumpanginya tanpa mengubah data yang ditumpanginya tersebut
sehingga tampilan data tetap terlihat sama [4]. Perbedaan steganografi dan kriptografi
terlihat pada Gambar 2.4.
Gambar 2.4 Perbedaan Steaganografi dan Kriptografi [1].
2.4.1 Steganografi End of File
Salah satu teknik dari steganografi adalah End of File. Teknik ini digunakan dengan
cara menambahkan data diakhir file citra. Pada teknik ini, data atau file yang akan
ditambahkan dapat lebih besar dari ukuran file citra [1].
Pesan yang disisipkan dengan metode ini jumlahnya tidak terbatas. Akan tetapi
efek sampingnya adalah ukuran berkas menjadi lebih besar dari ukuran sebelumnya.
Universitas Sumatera Utara
Perhitungan kasar ukuran file yang telah disisipkan pesan sama dengan ukuran file
sebelum disisipkan pesan ditambah dengan ukuran pesan rahasia yang disisipkan.
Untuk mengenal data yang disisipkan pada akhir file, diperlukan suatu tanda pengenal
atau simbol pada awal dan akhir data yang akan disisipkan [14][16].
Misalkan sebuah citra ukuran 10x6 memiliki nilai pixel seperti Gambar 2.5.
Gambar 2.5 Citra *bmp true color
200
42
97
182
101
40
24
88
63
112
67
200
100
50
75
50
121
42
91
109
25
150
65
200
75
28
56
90
83
100
156
46
77
19
25
189
84
210
78
33
101
34
213
40
101
60
80
111
143
77
44
66
99
125
190
200
31
80
92
111
Citra RGB tersebut akan disisipkan ciphertext “79 75
69”. Kemudian ciphertext
yang akan ditambahkan diberi karakter “&&&” dengan kode ASCII 38 sebagai
penanda awal dan ÿÿÿ dengan kode ASCII 255 sebagai penanda akhir pesan.
Selanjutnya sisipkan pesan di akhir citra, sehingga citra menjadi:
200
42
97
182
101
40
24
88
63
112
67
200
100
50
75
50
121
42
91
109
25
150
65
200
75
28
56
90
83
100
156
46
77
19
25
189
84
210
78
33
101
34
213
40
101
60
80
111
143
77
44
66
99
125
190
200
31
80
92
111
38
38
38
79
75
69
255
255
255
0
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.6 Citra setelah disisip pesan
Dan matriks tersebut akan dipetakan kembali dalam bentuk citra baru seperti Gambar
2.6 yang disebut stego image [7]. Jika besar plaintext tidak memenuhi lebar pixel
citra, maka akan ditambahkan nilai pixel 0 yang merepresentasi warna hitam.
2.5 Penelitian yang Relevan
Berikut adalah beberapa penelitian tentang algoritma kriptografi LUC dan
steganografi End of File:
1. Pada penelitian yang dilakukan Irawan [7]. Penelitian yang bertujuan untuk
merancang sebuah aplikasi yang mampu melakukan pengamanan pesan SMS
pada telepon seluler berbasis android dengan menggunakan algoritma
kriptografi LUC. Penelitian ini berhasil melakukan enkripsi dan dekripsi pesan
teks yang terdiri dari huruf kapital.
2. Pada penelitian yang dilakukan Jauyah [8]. Penelitian ini bertujuan untuk
membangun sebuah prototipe untuk aplikasi pengenalan telnet di lingkungan
sistem operasi Linux dengan menggunakan sistem kriptografi LUC. Selain itu,
peneliti juga melakukan perbandingan antara sistem kriptografi LUC dan RSA
dari aspek pelaksanaan dan keselamatan, dan menyatakan bahwa sistem kripto
LUC memiliki perbedaan yang tidak begitu signifikan dibandingkan dengan
Universitas Sumatera Utara
sistem kripto RSA dan dapat dijadikan sebagai alternatif dengan kemampuan
yang cukup baik [8].
3. Penelitian yang dilakukan oleh Wandani [16]. Penelitian ini berhasil
mengkombinasikan algoritma kriptografi Rabin untuk mengenkripsi pesan
berupa angka, lalu menyisipkan pesan kedalam sebuah citra berformat *bmp
dengan teknik steganografi End of File.
Universitas Sumatera Utara