BAB I - Simponi MDP

BAB I
PENDAHULUAN
I. RANGKAIAN LISTRIK
Pada dasarnya teknik elektro sangat berhubungan dengan gejala yang meliputi
muatan listrik, khususnya gaya antar muatan dan pertukaran tenaga antar muatan.
Beberapa hukum yang dipergunakan berasal dari hukum – hukum dasar fisika yang
diperoleh dari percobaan – percobaan.
Muatan listrik didefinisikan oleh gaya yang bekerja pada muatan itu sendiri;
menurut percobaan, gaya dipengaruhi oleh besar muatan, kedudukan relatif dan kecepatan.
Gaya yang timbul karena kedudukan muatan disebut “Gaya Listrik”, sedangkan gaya yang
disebabkan oleh kecepatan muatan disebut “Gaya Magnit”.
Gejala listrik dan magnit diartikan oleh aksi jarak jauh seperti gaya gravitasi antara
dua benda seperti bumi dan bulan atau bumi dengan semua benda didekat permukaannya.
Kekuatan medan gravitasi (Kuat Medan Gravitasi) didefinisikan sebagai gaya persatuan
muatan, sedangkan kuat medan magnit didefinisikan sebagai gaya persatuan momentum
muatan (muatan dikali kecepatan).
Untuk mewakili suatu alat atau sistem secara keseluruhan dipergunakan suatu
model rangkaian, misalkan sepotong kawat tembaga sepanjang 25 m digulung membentuk
suatu kumparan dengan lilitan majemuk yang diberi tegangan dan frekwensi yang dapat
Arus (Ampere)
diubah – ubah, maka dari gambar dibawah ini dapat dilihat bahwa :
A
B
C
Frekwensi (Hz)
Gambar Karakteristik Kumparan
Pada rentang A, kumparan diwakili oleh sebuah parameter terpusat tunggal
(resistansi, R), sedangkan pada rentang B diwakili oleh parameter terpusat lainnya
(induktansi, L), selanjutnya untuk mewakili kumparan dengan rentang frekwensi yang
lebih luas dipergunakan parameter tambahan (kapasitansi, C).
Jika suatu rangkaian listrik menerima masukan atau rangsangan dalam bentuk
tegangan atau arus yang diberikan oleh sumber bebas, maka akan dihasilkan suatu
keluaran (tanggapan). Dalam hal ini keluaran juga dapat berupa tegangan atau arus yang
berhubungan dengan unsur (rangkaian) tersebut.
Pada teori rangkaian terdapat dua cabang yang diturunkan dari tiga hal, yaitu :
masukan, keluaran, dan rangkaian. Cabang pertama adalah analisis rangkaian, dimana
rangkaian dan masukannya diketahui. Cabang kedua adalah sintesis rangkaian, dimana
masukan dan keluarnya diketahui untuk mendapatkan rangkaian.
Analisis rangkaian biasanya dipergunakan untuk mendapatkan satu atau lebih
keluaran, misalnya tegangan dan arus yang terdapat disatu titik pada rangkaian atau
menentukan tenaga / daya yang dikirimkan ke salah satu unsur.
II. SATUAN DAN BESARAN LISTRIK.
A. SISTEM SATUAN.
Untuk mempelajari rangkaian listrik perlu mendefinisikan besaran yang akan
ditinjau dan mengetahui variable listrik baik secara matematik maupun perasaan beserta
satuan yang berhubungan dengan variabel tersebut.
Dalam teknologi, setiap gejala fisis harus dapat diuraikan secara kuantitatif
dengan satuan yang sama untuk setiap orang, untuk itu diperlukan suatu himpunan
satuan baku yang seragam yaitu Sistem Satuan Internasional (SI). Sistem ini
menetapkan 6 satuan dasar yaitu :
1. Satuan panjang (m).
2. Satuan massa (kg).
3. Satuan waktu (second – detik).
4. Satuan Arus Listrik (Ampere).
5. Satuan Suhu (kalvin).
6. Satuan Intensitas Cahaya (kandela).
Untuk satuan – satuan lain akan diturunkan dari ke 6 satuan di atas, sedangkan
sistem satuan lain yang dipergunakan adalah Sistem Satuan British. Pada pemakaian
sistem satuan dipergunakan awalan satuan yang menunjukan kelipatan satuan, hal ini
dikarenakan rentang cakupan suatu satuan dapat sangat luas, kelipatan ini merupakan
sistem desimal, yaitu kelipatan 10. Awalan – awalan tersebut adalah :
Atto
-
( a - , 10-18 )
Deca
-
( da - , 101 )
Femto
-
( f - , 10-15 )
Hekto
-
( h - , 102 )
Pico
-
( p - , 10-12 )
kilo
-
( k - , 103 )
Nano
-
( n - , 10-9 )
Mega
-
( M - , 106 )
Mikro
-
(  - , 10-6 )
Giga
-
( G - , 109 )
Milli
-
( m - , 10-3 )
Tera
-
( T - , 1012 )
Centi
-
(c - , 10-2 )
Peta
-
( P - , 1015 )
Deci
-
(d - , 10-1 )
Exa
-
( E - , 103 )
Satuan British :
1 inchi = 0.254 meter
1 pound massa ( lb ) = 0.45359237 kg
1 newton = 0.22481 pound gaya ( lb ft )
Satuan–satuan yang dipakai untuk rangkaian listrik merupakan hasil penjabaran
dari satuan – satuan dasar, seperti tegangan, arus, resistensi, induktansi, kapasitansi,
daya, tenaga dan muatan ( coulomb, C = ampere / detik ).
Sebagai contoh :

Kecepatan v, didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh dibagi waktu perjalanan.

Percepatan a, didefinisikan sebagai perbedaan kecepatan dibagi waktu tempuh.

Muatan 1 buah elekron = 0,16 atto coulomb = 1,602 . 10-19 C.
B. BESARAN LISTRIK.
Dalam mempelajari perilaku benda pejal di alam, kita perlu mengamati
bagaimana kecepatannya berubah, yaitu bagaimana benda tersebut mengalami
kecepatan. Bila sebuah bola dijatuhkan percepatan dihitung dari persamaan yang
mengandung massa bola dan massa bumi serta jarak antara kedua massa tersebut;
demikian juga jika dua buah buah elektron yang diletakan berdekatan dalam ruang
bebas akan mengalami percepatan saling menjauhi sebesar perubahan kecepatan yang
diperoleh dari besar muatan dan letak pusat massa kedua electron tersebut. Percepatan
ini merupakan akibat dari gaya yang bekerja pada suatu massa, berdasarkan rumusan
kuatitatif didefinisikan sebagai:
F = d(mv )
dt
Dimana :
m = massa
dan
v = kecepatan
jika massanya konstan, maka gaya menurut persamaan Newton dapat didefinisikan
sebagai
f  m. dv
dt
 m.a
jika gaya penyebab dari percepatan diketahui, misalnya dua massa yang saling tarik
menarik, maka gaya tarik menarik yang bekerja pada dua massa adalah :
f  k.
m1 .m2
r2
Dimana :
r = jarak antara kedua massa tersebut.
Persamaan diatas juga berlaku untuk mendapatkan gaya tolak menolak antara dua
muatan sejenis sesuai dari Hukum Coulomb, yaitu :
f  k.
q1 .q 2
r2
Dimana :
q1 ,q2 = muatan
k = 1 / 4.π.ε 0 = konstanta
ε 0 = permetivitas hampa udara = 8,854. 10-9 C2 / Nm 2.
Dalam SI, satuan gaya adalah kg.m / dt2 atau Newton (N), memakai dimensi gaya
adalah MLT-2, memakai penurunan dari dimensi – dimensi yang ada maka akan
diperoleh satuan – satuan yang lain, misalkan :

Adanya gaya f pada suatu benda akan mengakibatkan benda bergerak sejauh d
searah dengan gayanya, maka kerja pada benda tersebut adalah : w = f.d
Nm
(Joule) atau ML2 T-2.

Banyaknya kerja yang dilakukan dalam satuan waktu disebut dengan Daya, yaitu :
P = w / t Joule / detik (watt) atau ML2 T-3.

Integral arus terhadap waktu adalah muatan listrik atau : ∫i.dt = q coulomb atau
I = dq / dt Ampere ( C / dt ) T-1. Q
Muatan dikatakan konservatif karena muatan tidak dapat diciptakan maupun
dimusnahkan. Muatan dikatakan terkuantisarikan karena muatan merupakan benda
terkecil dari electron di bumi ini.
Memakai konsep diatas, arus listrik dapat didefinisikan sebagai banyaknya muatan
yang melewati suatu luas penampang tertentu persatuan waktu. Adanya arus listrik
yang mengalir harus ada kerja, dimana untuk memperoleh sejumlah aliran electron
pada suatu penghantar yang menghasilkan arus perlu diketahui banyaknya tenaga
yang diberikan untuk menggerakkan muatan dari suatu tempat ke tempat yang lain.
Untuk mengetahui besarnya tenaga yang dibutuhkan, dipergunakan konsep tegangan /
potensial ( v / e ) yang didefinisikan sebagai tenaga yang diperlukan satu satuan
muatan untuk bergerak dari suatu titik ke titik lain karena pengaruh gaya listrik, maka:
W = q.v
→
v = w / q joule / coulomb
( volt )
Dengan dimensi ML2 T-2 Q-1
Perbedaan tegangan yang berhubungan dengan sumber tenaga listrik disebut Gaya
Gerak Listrik (GGL) atau Electro Motive Force ( EMF ).
Arus listrik terbagi menjadi 2, yaitu :
1. Arus Searah ; Bila untuk semua pengamatan, aliran muatan berada dalam satu
arah.
I
I
waktu
Arus Searah Seimbang
waktu
Arus Searah berubah menurut Waktu
2. Arus Bolak Balik; Bila aliran muatan awal dalam satu arah, selanjutnya berubah
arah pada selang waktu yang lain.
T = perioda = Nilai satu putaran (detik)
= 1/f = Hertz-1 (Hz-1)
C. SUMBER DAN UNSUR RANGKAIAN
Suatu rangkaian listrik dicirikan oleh adanya satu atau lebih sumber yang
dihubungkan dengan satu atau lebih beban sebagai penerima tenaga listrik. Suatu
sumber sempurna akan memberikan tegangan tetap atau arus tetap. Sumber ini disebut
juga dengan sumber bebas karena tidak tergantung dengan beban yang terhubung atau
sumber – sumber lain.
Sumber tak bebas merupakan sumber yang timbul sebagai akibat adanya sumber
lain, sebagai contoh :
1.
Generator listrik, tegangan imbas pada salah satu lilitannya merupakan fungsi arus
dari lilitan yang lain.
2.
Transistor, arus yang keluar sebanding dengan arus yang masuk.
Komponen – komponen yang menjadi beban (bagian jaring listrik) yang menerima
tenaga dari sumber disebut unsur atau parameter rangkaian. Hubungan antara tegangan
dan arus sesuai dengan jenis unsur – unsur rangkaian tersebut adalah :
1.
Unsur rangkaian yang memerlukan tegangan sebanding dengan arus yang mengalir
didalamnya, atau V  I, maka dapat ditulis V = R.I
Konstanta pembanding R ( resistansi ) dengan satuan Ohm (Ω) yang berhubungan
erat dengan panas dalam rangkaian.
Simbolnya
2.
Unsur rangkaian yang memerlukan tegangan sebanding dengan turunan arus
terhadap waktu atau kecepatan perubahan arus yang mengalir didalamnya, atau :
V  di / dt, maka V = L di/dt.
Konstanta pembanding L disebut induktansi dengan satuan Henry, yang erat
hubungannya dengan medan magnet.
Simbolnya
3.
Unsur rangkaian yang memerlukan arus sebanding dengan turunan tegangan
terhadap waktu, atau : i  dv/dt, maka I = C dv/dt, v =
1
 C .i.dt .
Konstanta pembanding C (Kapasitansi) dengan satuan Farad yang erat
hubungannya dengan medan listrik.
Simbolnya
.
Rangkaian listrik selalu mengandung gabungan ketiga jenis unsur ini, tetapi dalam
pemakaian tidak semuanya dianggap berperan dalam setiap rangkaian. Untuk lebih
jelasnya ketiga unsur diatas dapat dijelaskan sebagai berikut :
1. Resistansi : Hukum Ohm
Hubungan tegangan dan arus juga dikenal sebagai hukum Ohm. Secara
kuantitatif tegangan diberikan oleh :
V = R. I
Dimana :
I = Arus dalam Ampere
R = Resistansi dalam Ohm dengan dimensi
Dari percobaan dapat dibuktikan bahwa resistansi dari semua penghantar berubah
menurut suhu. Jika resistansi suatu penghantar pada suhu t1 adalah R1, maka untuk
resistansi pada suhu t2 diberikan oleh :
R2 = R1 [1 + α (t2 – t1)]
Dimana :
α = koefisien suhu resistor dalam °C
resistansi linier akan terjadi pada rangkaian suhu - 50°C s/d 200°C, sehingga
rumus dapat disederhanakan menjadi :
=
T = konstanta yang ditentukan dari grafik.
Nilai T untuk tembaga adalah 234,5 dan aluminium 228.
Daya yang dipergunakan dalam rangkaian listrik diperoleh dari tegangan dan
arusnya. Jika V =
P=
=
dan i =
x
, maka daya adalah
= V . I watt
= (R . i) . i =
= v.
=
Hubungan kebalikan yang memberikan arus dinyatakan dalam tegangan adalah :
i = G v Ampere
dimana :
G=
= Konduktansi [mho/siemens] dengan dimensi
Daya konduktansi adalah :
P = v . i = v (Gv) =
=
Dalam analogi dengan persamaan penghantar panas Fourier, Ohm menunjukkan
bahwa resistansi suatu penghantar dengan dimensi yang seragam berbanding lurus
dengan panjangnya, berbanding terbalik dengan luas penampangnya dan
bergantung pada sifat fisis bahan penghantarnya.
Maka :
R=ρ
Dimana :
ρ
= resistivitas bahan (ohm – m)
ℓ
= panjang penghantar (m)
A
= luas penampang penghantar (
)
Logam – logam yang mempunyai konduktansi besar disebut konduktor, sebaliknya
yang mempunyai resistansi besar biasanya orde ribuan mega ohm disebut Isolator.
Sebagai contoh : gelas, mika & udara. Isolator digunakan untuk membatasi agar
arus listrik tidak keluar dari jalur yang telah ditentukan (rangkaian listrik).
2. Induktansi
Dari definisi unsur diatas, maka secara kuantitatif persamaan tegangan dapat
diberikan sebagai berikut :
volt atau i = ∫V dt
V=L
Dimana :
L
: induktansi sendiri (Henry) dengan dimensi
Persamaan diatas menunjukan bahwa arus dalam induktor tidak bergantung pada
nilai sesaat tegangannya, melainkan pada nilai sejak awal hingga saat tegangan
diamati, yaitu : integral atau jumlah hasil kali volt - detik untuk seluruh waktu
hingga saat diamati. Untuk peristiwa peralihan (switsching) yang terjadi pada
sebarang waktu atau t = 0, maka
i = ∫V dt + I (0)
dimana :
i (0) = arus awal sebelum saat peralihan
Induktor merupakan suatu unsur yang dapat menyimpan tenaga dalam bentuk
medan fluks magnet.
Daya yang berhubungan dengan Induktansi, adalah :
P = v . I = Li
watt
w = ∫p dt = ∫Li
. dt = ∫Li .di =
Joule
Tegangan jatuh dapat diturunkan menurut Hukum Faraday melalui Fluks yang
dihasilkan arus dan banyaknya lilitan N pada kumparan konduktor, yaitu :
v=L
=N
.
dimana :
L=N
Henry
N = Jumlah lilitan
Ø = fluksi
Jika Ø berbanding lurus dengan Arus, maka
L=
Persamaan fluksi dapat disetarakan sebagai :
Ø=
=
Dimana :
GGM = gaya gerak magnit yang menghasilkan fluksi dalam rangkaian magnit
yang mempunyai reluktansi .
Jika inti besi mempunyai panjang ℓ (m) dan luas penampang A (
), maka
reluktansi adalah :
. =
→
μ = sifat fisis bahan magnet (permeabilitas)
Untuk induktansi dapat ditulis sebagai berikut :
Ø1 = Ø11 + Ø12
N
=N
+N
Persamaan tegangan dapat ditulis :
V1 = L1
+M
V2 = L2
+M
Persamaan tegangan imbas : v = M
volt
3. Kapasitansi
Secara kuantitatif arus dapat dinyatakan sebagai :
i=C
Amp atau
v = ∫ i dt volt
Konstanta pembanding C menyatakan sifat penyimpanan muatan dalam unsur yang
disebut kapasitansi [farad / F] dan mempunyai dimensi
Daya yang berhubungan dengan pengaruh kapasitansi adalah :
p = vi = Cv
watt
.
Tenaga
w = ∫ p dt = ∫ Cv
dt = ∫ Cv dv = C
Joule.
Muatan dapat diperoleh dari :
i=
→ q = Cv Coloumb
sehingga
v=
→ q = Cv Coloumb ………. (1)
Menurut teorema fluks Gauss, muatan yang terkumpul dapat dinyatakan dalam
besaran medan listrik, yaitu :
q = ε AE Coloumb
dimana :
E = kuat medan listrik
ε
=
permitivitas (konstanta dielektrik spesifik) bahan antara keping-keping
kapasitor
A = luas penampang keping
Sebagai contoh jika kapasitor berbentuk dua keping sejajar dengan jarak pemisah
sebesar d meter, maka kuat medan listrik adalah :
E=
volt / meter
Dari persamaan sebelumnya diperoleh :
q=εA
substitusi ke persamaan 1, maka :
Cv = ε A
→ C=
Farad
Maka dapat disimpulkan bahwa parameter kapasitansi sebanding dengan konstanta
dielektrik bahan, berbanding terbalik dengan jarak antara keping - kepingnya dan
berbanding lurus dengan luas penampang kepingnya.
BAB II
HUKUM – HUKUM RANGKAIAN LISTRIK
I. HUKUM DASAR RANGKAIAN
Disini akan dijumpai dua Hukum dasar, yaitu :
1. Menguraikan tentang bagaimana hubungan arus bila beberapa unsur rangkaian
bertemu di satu titik.
2. Bagaimana beberapa tegangan bergabung bila semua unsur rangkaian dihubungkan
secara berurutan.
Mengikuti sifat dari besaran - besaran listrik, hukum dasar rangkaian secara
langsung akan menuntun ke cara - cara yang dipakai untuk membahas rangkaian listrik
secara sistematis. Hukum ini dikenal sebagai hukum Kirchoff.
1. Hukum Kirchoff I (Hukum Arus) :
Jumlah aljabar semua arus yang menuju suatu titik hubung rangkaian adalah sama
dengan nol atau jumlah aljabar arus yang menuju titik hubung sama dengan jumlah
aljabar yang meninggalkan titik hubung (simpul).
Secara matematis ditulis :
i1
i1 + i2 + i3 + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ + in = 0
atau
∑i = 0
in
i2
i5
i3
i4
Note :
Tanda positif dan negatif dipengaruhi oleh tanda dari arah arus yang mengalir.
Contoh :
Diketahui :
i1
i2
i4
Arus – arusnya adalah :
v3
+
i3
i1 = 10
Amp;
i2 = 4 sin t Amp
Tegangannya :
V3 = (2
– 4 sin t) Volt
Ditanya :
Arus i4 ?
Penyelesaian :
Dari hukum Ohm didapat :
V=i.R→i=V/R
i3 =
=
– 4 sin t
=2
Dari hukum Kirchoff I :
i1 + i2 + i3 + i4 = 0 → i4 = - i1 - i2 - i3
= - 10
- 4 sin t -
= - 12
Ampere
Arus i4 bertanda negatif, berarti arus tersebut meninggalkan titik simpul.
2. Hukum Kirchoff II (Hukum Tegangan) :
Jumlah aljabar semua tegangan yang diambil pada arah tertentu sepanjang jalan
yang tertutup adalah sama dengan nol.
Secara matematis ditulis :
V1 + V2 + V3 + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ + Vn = 0
Atau
∑V = 0
Hukum kedua ini merupakan akibat dari hukum kekalan tenaga dimana tenaga
yang diberikan sama dengan tenaga yang diserap rangkaian (arah tegangan positif
mempunyai perubahan potensial dari + ke – dalam rangkaiannya).
Contoh :
Diketahui :
+ v1 v2
+
+
10O
i3
10O
+
v4
i4
V1 = 4 Volt
i3 = 2
Tentukan :
-
Arus i4 ?
V2 = 3 cos 2t
Ampere
Jawab :
Untuk rangkaian tertutup :
V2 + V3 – V1 – V4 = 0 
V4 = V2 + V3 – V1
Hukum Ohm :
V3 = i3 . R = 2
. 10 = 20
Volt
Maka :
V4 = (3 cos 2t + 20
i4 =
- 4 ) Volt
=
Ampere
Note :
Hukum – hukum ini tidak berlaku untuk frekuensi yang sangat tinggi, yang
mengakibatkan rangkaian tertutup mempunyai ukuran dalam orde panjang
gelombang
II. PENGGUNAAN HUKUM DASAR SECARA LANGSUNG
Biasanya suatu rangkaian listrik terdiri dari beberapa rangkaian tertutup yang
mempunyai banyak simpul dengan satu atau lebih sumber. Besaran yang diketahui
biasanya berupa tegangan pada sumber tegangan atau arus dari sumber arus,
sedangkan besaran yang tidak diketahui meliputi arus yang mengalir dalam sumber
tegangan, tegangan pada sumber arus dan tegangan serta arus yang melalui unsur unsur rangkaiannya.
Besaran yang tidak diketahui diperoleh dari persamaan – persamaan yang terdiri
dari tiga kategori yaitu :
a. Hukum Ohm (Hubungan tegangan & arus dalam unsur rangkaian)
b. Hukum Kirchoff untuk tegangan
c. Hukum Kirchoff untuk arus
Jumlah persamaan bebas harus sama dengan banyaknya besaran yang tidak
diketahui, sehingga persamaan – persamaan bebas yang tersedia adalah :
1. Banyaknya persamaan bebas dalam hubungan Volt – Ampere sama dengan
banyaknya unsur – unsur rangkaian.
2. Banyaknya persamaan bebas menurut Hukum Kirchoff I sama dengan
banyaknya titik hubung dikurangi satu.
3. Banyaknya persamaan bebas menurut Hukum Kirchoff II sama dengan
banyaknya rangkaian tertutup bebas (rangkaian dimana paling sedikit
mengandung 1 tegangan yang tidak termasuk dalam rangkaian lainnya).
Dua macam bentuk rangkaian yang dapat membantu penentuan variabel, yaitu :
1. Rangkaian Seri
Cirinya :
a. Arus yang melalui semua unsur elemen yang dihubungkan adalah sama,
sehingga hanya mempunyai arus tunggal I.
b. Unsur – unsur elemen mempunyai tegangan yang berbeda sesuai dengan
Hukum Kirchoff II.
c. Daya total, energi total serta resistansi totalnya merupakan jumlah dari
elemennya.
2. Rangkaian Paralel
Cirinya :
a. Mempunyai variabel tegangan tunggal yang dipasang untuk semua unsur
dan sumber.
b. Setiap unsur mempunyai arus yang berbeda.
c. Berlaku hukum Kirchoff I
d. Daya total, energi total dan konduktansi total adalah jumlah dari
elemennya.
Penerapan hukum dasar untuk kedua hal di atas dapat diberikan sebagai berikut :
1. Untuk rangkaian seri dipergunakan hukum Kirchoff II, yaitu :
V - i R1 – i R2 = 0
V = i (R1 + R2)
Sehingga resistansi setara dapat ditulis sebagai :
RT = R 1 + R2
Atau
Rseri = R1 + R2 + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ + Rn = ∑ R
Jika elemen resistansi diganti dengan induktansi atau kapasitansi, maka :
VL = L
dan Vc = ∫ i dt
dan
V = L1
+ L2
= (L1 + L2)
∫ i dt +
V=
∫ i dt = (
) ∫ i dt
Sehingga :
Lseri = L1 + L2 + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ + Ln = ∑ L
=
+
+∙∙∙∙∙+
=∑
2. Untuk rangkaian paralel menggunakan hukum Kirchoff I, yaitu :
is = i1 + i2
Dari hukum Ohm :
V=iR 
i=
Sehingga dapat ditulis :
is =
+
=V[
+
]
resistansi setara untuk paralel adalah :
=
+
Atau
=
+∙∙∙∙∙+
+
=∑
Karena konduktansi G =
, maka :
GT = ∑Gn
Dengan cara yang sama dapat dipergunakan untuk induktansi dan kapasitansi
yaitu :
=∑
=∑
dan
III. ANALISA RANGKAIAN LOOP TUNGGAL
Untuk menentukan arus dan tegangan yang melalui setiap elemen atau daya
yang diberikan maupun diserap oleh setiap elemen dapat dipakai rangkaian loop
tunggal.
Langkah – langkah yang dilakukan adalah :
1. Referensi dari arah arus yang tidak diketahui diasumsikan dengan arah sebarang.
2. Referensi tegangan elemen diasumsikan sesuai dengan arah arus, misalnya : arus
yang masuk terminal diberi tanda positif.
3. Memakai hukum Kirchoff untuk rangkaian tertutup, yang dimulai dari sudut
kiri. Setiap tegangan yang ditemui diberi tanda negatif (searah jarum jam).
Contoh :
R1
R2
+i
-
+
Vs1
-
Vs2
Hukum Kirchoff II
-VS1 + VR1 + VR2 + VS2 = 0
Dimana :
VR1 = i R1
dan
VR2 = i R2
Sehingga :
-VS1 + i R1 + i R2 + VS2 = 0
i(R1 + R2) = VS1 – VS2
i=
Jika diketahui R1 = 30 ohm ;
R2 = 25 ohm
VS1 = 240 Volt VS2 = 50 volt
Tentukan :
a. Besar arus i ?
b. Tegangan setiap tahanan ?
c. Daya masing – masing tegangan sumber dan daya yang diserap masing –
masing tahanan?
Jawab :
a. i =
=
=
= 3,46 Amper
b. Tegangan setiap tahanan :
VR1 = i R1 = 3,46 . 30 = 103,8 volt
VR2 = i R2 = 3,46 . 25 = 86,5 volt
c. Daya masing – masing tegangan sumber :
PVS1 = VS1 . i = 240 (-3,46) = - 830,4 watt
PVS2 = VS2 . i = 240 . 3,46 = 173 watt
Daya yang diserap masing – masing tahanan
PR1 =
R1 =
. 30 = 359,15 watt
PR2 =
R2 =
. 25 = 299,29 watt
Daya total adalah nol, karena daya yang diberikan oleh sumber VS1 dan VS2
diserap oleh tahanan, sehingga :
PT = PVS1 + PVS2 + PR1 + PR2 = 0
= -830,4 + 173 + 359,1 + 299,29 ≈ 0
IV. RANGKAIAN PASANG SIMPUL TUNGGAL
Metode Analisa :
1. Menganggap adanya tegangan yang melalui setiap elemen (memakai hukum
Kirchoff II)
2. Arus yang mengalir melalui elemen dipilih sesuai dengan referensi tegangan
(hukum Ohm)
3. Referensi arus memakai hukum Kirchoff I
Contoh :
1. Tentukan tegangan dan arus yang tidak diketahui dalam rangkaian yang
mengandung sebuah sumber tegangan sebesar 140 volt pada rangkaian tertutup
sebelah kiri dan sumber arus sebesar 18 A di sebelah kanan.
Jelaskan kesetimbangan daya yang menunjukan bahwa daya yang diberikan
sumber pada rangkaian sama dengan daya yang diserap oleh resistansi .
+
i
+1
-
V1
-
a
A
i2
20O
140 Volt
b
i3
+
V2
c
+
6O
B
-
5O
18 A
d
Jawab :
Analisa Rangkaian :
a. Tentukan referensi arah untuk tegangan dan arus yang belum diketahui.
b. Sumber tegangan 140 volt terhubung seri dengan tahanan 20 ohm, sehingga
arus yang melalui keduanya adalah sama (I), Dengan arah (+) → (-)
c. Resistansi 6 Ω dan 5 Ω serta sumber arus membentuk hubungan paralel,
sehingga mempunyai tegangan sama (V2), arus I2 dan I3. Arahnya (+) → (-)
d. Persamaan rangkaian menggunakan hukum Ohm (hubungan volt – ampere)
e. Adanya 3 resistansi dalam rangkaian mengakibatkan ada 3 persamaan yaitu
:
V1 = 20 I1 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ a,
V2 = 6 I2 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ b,
V3 = 5 I3 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ c,
f. Memakai hukum Kirchoff I
g. Dari gambar dapat dilihat bahwa garis ab merupakan simpul A dan garis cd
adalah simpul B, sehingga dapat dilukis menjadi
h. Disini terdapat 2 simpul, maka persamaan ada (2 – 1) = 1, ditinjau dari titik
A.
A
i1
I1 – I2 – I3 + 18 = 0 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ d
18 A
i2
i3
B
i. Memakai hukum Kirchoff II
j. Dari gambar terlihat bahwa hanya memiliki satu rangkaian tertutup bebas,
sehingga hanya terdapat 1 persamaan, sedangkan dua unsur lainnya
memiliki tegangan implisit = V2.
k. 140 – V1 – V2 = 0 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ e
Dari analisa rangkaian diperoleh persamaan – persamaan sebagai berikut :
a.
V1 = 20 I1
→
I1 =
b.
V2 = 5 I2
→
I2 =
c.
V3 = 5 I3
→
V3 = V2 → I3 =
d.
I1 – I2 – I3 + 18 = 0
e.
140 – V1 – V2 = 0
Substitusi persamaan persamaan diatas ke persamaan d
-
-
+ 18 = 0
= V2 [
V2 – 18
V2 – 20 . 18
V1 = 20 .
=
] – 18 =
+
V2 – 360 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ f
Substitusi persamaan f ke e
140 -
V2 + 360 - V2 = 0

V2 = 500
V2 =
V1 =
= 60 volt
. 60 – 360 = 440 – 360 = 80 volt
Maka
I1 =
=
= 4 Amp
I2 =
=
= 10 Amp
I3 =
=
= 12 Amp
Keseimbangan daya didapat dari persamaan P =
PV1 =
– 20 =
. 20 = 320 watt
PV1 =
– 6=
. 6 = 600 watt
PV1 =
– 5=
. 5 = 720 watt
R, maka :
Daya yang diberikan rangkaian :
Sumber 140 volt :
P = V . I1 = 140 . 4
= 560 watt
Sumber 18 Amp :
P = V2 . 18 = 60 . 18
= 1080 watt +
P total
= 1640 watt
2. Tentukan Tegangan diantara resistansi 2 Ω dan nyatakan semua arus dalam
variabel tegangan jika diketahui : Variabel tegangan V1, V2, dan V3.
Jawab :
a. Variabel tegangan yang tidak diketahui diperoleh dari hukum Kirchoff II, yaitu
:
V15Ω – V2 + V3 + 25 = 0

V15Ω = V2 – V3 – 25
V1Ω – V2 + V1 = 0

V1Ω = V2 – V1
V3Ω – 15 – V1 + V3 + 25 = 0

V3Ω = V1 – V3 – 10
b. Rangkaian memiliki 4 titik simpul, sehingga terdapat 3 persamaan, yaitu
 Simpul A
30 +
+
+
= 0
30 . 15 + 15 (V2 – V1) + 3 V2 + V2 – V3 – 25 = 0
450 + 15 V2 – 15 V1 + 4 V2 – V3 – 25 = 0
- 15 V1 + 19 V2 – V3 = - 425
 Simpul B
-
–
–
=0
5V1 + 2V2 + 2V3 = 0
 Simpul C
-
–
=0
3V3 – (V2 – V3 – 25) – 5 (V1 – V3 – 10) = 0
3V3 – V2 + V3 + 25 – 5V1 + 5V3 + 50 = 0
-5V1 – V2 + 9V3 + 75 = 0
-5V1 – V2 + 9V3 = - 75
Sehingga persamaan – persamaan diatas adalah :
-15V1 + 19 V2 – V3 = -425
5V1 + 2V2 + 2V3 = 0
-5V1 – V2 + 9V3 = -75
Peyelesaian diatas dapat dilakukan dengan Determinan atau Matriks.
Matriks
Persamaan Umum :
A=
Dimana :
m = baris
n = kolom
atau dapat ditulis Am x n.
Beberapa operasi matrik untuk A = [amn] dan B = [bmn]
1. Pertambahan dan pengurangan
A ± B = [amn] ± [bmn]
2. Perkalian
A . B dari A = [a1m] dan B = [bm1]
A . B = [a11 a12 ∙∙ ∙∙ a1m]
= a11 . b11 + a12 . b12 + ∙∙∙∙ a1m . bm1 =
Contoh untuk 3 persamaan :
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 = C1
a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 = C2
a31 X1 + a32 X2 + a33 X3 = C3
Harga – harga X1, X2, X3 didapat dari hasil bagi 2 determinan.
 Determinan 1 : Determinan variabel dari x yang akan dicari
 Determinan 2 : Determinan konstan dari x
Sehingga :
Determinan konstan x dengan cara Cramer :
X=
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a31 a22 a13 – a32 a23 a11 – a33 a21 a12
Determinan variabel X
X1 =
X2 =
X3 =
Penyelesaian persamaan tegangan dari soal sebelumnya :
=
Harga – harga V1, V2, dan V3 adalah :
DV =
= (-15)(2)(9)+(19)(2)(-5)+(-1)(5)(-1)-(-5)(2)(-1)-(-1)(2)(-15)-(9)(5)(19)
= -270 – 190 + 5 - 10 - 30 – 855 = -1350
DV1 =
= (-425)(2)(9)+ (19)(2)(-75) + (-1)(0)(-1) - (-75)(2)(-1) – (-1)(2)(-425) - (9)(0)(19)
= -7650 – 2850 + 0 -150 - 850 – 0 = -11500
DV2 =
= (-15)(0)(9)+(-425)(2)(-5)+(-1)(5)(-75) - (-5)(0)(-1) – (-75)(2)(-15) - (9)(5)(-425)
= 0 – 4250 + 375 - 0 - 2250 – 19125 = 21500
DV3 =
= (-15)(2)(-75)+(19)(0)(-5)+(-425)(5)(-1)-(-5)(2)(-425)–(-1)(0)(-15)-(-75)(5)(19)
= 2250 – 0 + 2125 - 4250 - 0 – 7125
= 7250
V1 
DV1
 11500

 8,5185 Volt
DV
 1350
V2 
DV2
21500

 - 15,926 Volt
DV
 1350
V3 
DV3
7250

 - 5,37 Volt
DV
 1350
V15Ω = V2 – V3 – 25 = - 15,926 + 5,37 – 25 = - 35,556 Volt
V1Ω = V2 – V1 = - 15,926 – 8,5185 = - 24,4445 Volt
V3Ω = V1 – V3 – 10 = 8,5185 + 5,37 – 10 = 3,8885 Volt
Harga arus diperoleh dari hukum Ohm :
Iv1 
V1 8,5185

 4,25925 A
2
2
Iv 2 
V2  15,926

 3,1852 A
5
5
Iv3 
V3  5,37

 1,074 A
5
5
I15 
V15   35,556

 2,3704 A
15
15
I1 
V1  24,4445

 24,4445 A
1
1
I 3 
V3  3,8885

 1,2962 A
3
3