4. Hukum Dan Kaidah Rangkaian

Introduction to Circuit Analysis – Time Domain
4. Hukum Dan Kaidah Rangkaian
www.dirhamblora.com
Pekerjaan analisis terhadap suatu rangkaian linier yang parameternya diketahui mencakup pemilihan teknik
analisis dan penentuan besaran keluaran (output) jika besaran masukannya (input) diketahui, ataupun
penentuan hubungan antara keluaran dan masukan. Agar kita mampu melakukan analisis kita perlu
memahami beberapa hal yaitu hukum-hukum yang berlaku dalam suatu rangkaian, kaidah-kaidah rangkaian,
teorema-teorema rangkaian serta metoda-metoda analisis. Dalam bab ini kita akan mempelajari HukumHukum dan Kaidah Rangkaian, yang merupakan dasar untuk melakukan analisis. Dua hukum yang akan kita
pelajari adalah Hukum Ohm dan Hukum Kirchhoff.
4.1. Hukum-Hukum Rangkaian
Hukum Ohm
Salah satu hasil percobaan laboratorium yang dilakukan oleh George Simon Ohm (1787-1854) adalah
hubungan arus dan tegangan yang kemudian dikenal dengan hukum Ohm. Namun hukum Ohm sendiri
merupakan hasil analisis matematis dari rangkaian galvanik yang didasarkan pada analogi antara aliran listrik
dan aliran panas. Formulasi Fourier untuk aliran panas adalah
dQ
dT
= −kA
dt
dl
(4.1)
dengan Q adalah quantitas panas dan T adalah temperatur, sedangkan k adalah konduktivitas panas, A luas
penampang, dan T temperatur.
Dengan mengikuti formulasi Fourier untuk persamaan konduksi panas dan menganalogikan intensitas medan
listrik dengan gradien temperatur, Ohm menunjukkan bahwa arus listrik yang mengalir pada konduktor dapat
dinyatakan dengan
I=
A dv
ρ dl
(4.2)
Dalam hal konduktor mempunyai luas penampang A yang merata, maka persamaan arus itu menjadi
I=
AV V
=
ρ l
R
dengan
R=
ρl
A
(4.3)
V adalah beda potensial pada konduktor sepanjang l yang luas penampangnya A, ρ adalah karakteristik
material yang disebut resistivitas, sedangkan R adalah resistansi konduktor. Persamaan (4.3), dapat ditulis
juga sebagai
V = IR
(4.4)
dan untuk tegangan yang berubah terhadap waktu menjadi
v = iR
(4.5)
seperti yang sudah kita kenal di Bab-1. Hukum Ohm ini sangat sederhana namun kita harus tetap ingat bahwa
ia hanya berlaku untuk material homogen ataupun elemen yang linier.
Hukum
Kirchhoff
Karakteristik piranti dinyatakan oleh hubungan arus dan tegangan jika piranti tersebut dipandang sebagai
suatu komponen yang berdiri sendiri. Berikut ini kita akan mempelajari piranti-piranti yang telah terhubung
membentuk suatu rangkaian. Hubungan arus dan tegangan pada rangkaian menuruti suatu hukum yang
menyatakan sifat-sifat rangkaian, yang disebut hukum Kirchhoff.
Sebelum membahas hukum Kirchhoff ada beberapa istilah yang perlu kita fahami, yaitu :
terminal:
ujung akhir sambungan piranti atau rangkaian.
rangkaian:
beberapa elemen yang dengan cara tertentu saling dihubungkan.
simpul:
titik sambung antara dua atau lebih piranti.
Catatan : Walaupun sebuah simpul diberi pengertian sebagai sebuah titik tetapi kawatkawat yang terhubung langsung ke titik simpul itu merupakan bagian dari simpul; jadi
4−1
Sudaryatno Sudirham, Hukum Dan Kidah Rangkaian, April 2008
loop:
mesh:
cabang:
dalam hal ini kita mengabaikan resistansi kawat.
rangkaian tertutup yang terbentuk apabila kita berjalan mulai dari salah satu simpul
mengikuti sederetan piranti dengan melewati tiap simpul tidak lebih dari satu kali dan
berakhir pada simpul tempat kita mulai perjalanan.
loop terkecil yang tidak melingkupi cabang rangkaian.
bagian rangkaian antara dua simpul, berisi elemen,
Selain istilah-istilah tersebut di atas, dalam menggambarkan hubungan atau sambungan-sambungan kita akan
menggunakan cara seperti terlihat pada Gb.4.1.
a)
Persilangan
terhubung
b)
Persilangan
tak terhubung
c)
Terminal dan
sambungan terminal
Gb.4.1. Penggambaran sambungan rangkaian
Hukum Arus Kirchhoff (HAK) (Kirchhoff's Current Law (KCL))
Hukum Kirchhoff yang pertama ini menyatakan bahwa :
Setiap saat, jumlah aljabar dari arus di satu simpul adalah nol.
Di sini kita harus memperhatikan referensi arah arus. Bila arus yang menuju simpul diberi tanda positif, maka
arus yang meninggalkan simpul diberi tanda negatif (atau sebaliknya bila arus yang meninggalkan bertanda
positif, arus yang menuju simpul bertanda negatif). Perlu diingat bahwa arah arus di sini adalah arah referensi
dan bukan arah arus sebenarnya.
Hukum Arus Kirchhoff merupakan pernyataan prinsip konservasi muatan. Jumlah elektron per detik yang
datang maupun yang pergi haruslah sama, di titik manapun dalam rangkaian. Oleh karena itu jumlah arus di
suatu simpul harus nol. Jika tidak, akan terjadi penumpukan muatan di simpul tersebut yang menurut hukum
Coulomb akan terjadi “ledakan muatan”; tetapi hal demikian tidak pernah terjadi.
Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK) (Kirchhoff's Voltage Law (KVL)).
Hukum Kirchhoff yang kedua ini menyatakan bahwa :
Setiap saat, jumlah aljabar tegangan dalam satu loop adalah nol.
Di sinipun kita harus memperhatikan tanda referensi tegangan dalam menuliskan persamaan tegangan loop.
Tegangan diberi tanda positif jika kita bergerak dari “+” ke “−” dan diberi tanda negatif bila kita bergerak
dari “−” ke “+”.
Hukum Tegangan Kirchhoff merupakan pernyataan kembali prinsip konservasi energi. Dalam rangkaian pada
Gb.4.2., sebagian piranti mungkin berupa sumber dan sebagian yang lain berupa beban.
i1
loop 1
B
i4 + v4 −
elemen 4
HAK untuk simpul :
A : − i1 − i2 = 0
i5
i3
loop 2
loop 3
C
Gb.4.2. HAK dan HTK
elemen 5
− v5 +
+ v2 −
elemen 2
i2
− v3 +
elemen 3
− v1 +
elemen 1
A
B : + i2 − i3 − i4 = 0
C : + i1 + i3 + i4 = 0
HTK untuk loop :
1 : − v1 + v 2 + v3 = 0
2 : − v3 + v 4 + v 5 = 0
3 : − v1 + v 2 + v 4 + v5 = 0
Menurut prinsip konservasi energi, energi yang diberikan oleh sumber dalam suatu selang waktu tertentu
harus sama dengan energi yang diserap oleh beban selama selang waktu yang sama. Mengingat konvensi
pasif, hal itu berarti bahwa jumlah aljabar energi di semua piranti adalah nol, dan berarti pula bahwa jumlah
aljabar daya (hasil kali tegangan dan arus tiap elemen) sama dengan nol.
v1i1 + v 2 i 2 + v3 i3 + v 4 i 4 + v5 i 4 = 0
Karena i1 = − i2 dan i2 = i3 + i4 maka persamaan di atas dapat kita tulis
v1 (− i3 − i4 ) + v 2 (i3 + i4 ) + v3i3 + v 4 i4 + v5 i4 = 0
atau
i3 (− v1 + v 2 + v3 ) + i4 (− v1 + v2 + v4 + v5 ) = 0
4−2
Sudaryatno Sudirham, Hukum Dan Kidah Rangkaian, April 2008
Karena nilai arus tidak nol maka haruslah
−v1 + v2 + v3 = 0
dan
− v1 + v2 + v4 + v5 = 0
Persamaan pertama adalah persamaan untuk loop-1 dan persamaan kedua adalah untuk loop-3. Dari
persamaan loop-1 kita peroleh −v1 + v2 = −v3 dan jika ini kita substitusikan ke persamaan loop-3, akan kita
peroleh persamaan loop-2 yaitu:
−v3 + v4 + v5 = 0
Pengembangan HTK dan HAK
Loop-1 dan loop-2 pada Gb.4.2. merupakan loop-loop terkecil yang tidak meliputi loop lain di dalamnya.
Loop semacam ini disebut mesh. Hal ini berbeda dengan loop-3 yang merupakan gabungan dari mesh-1 dan
mesh-2 (loop-1 dan loop-2). Loop yang merupakan gabungan dari beberapa mesh disebut juga mesh super.
Persamaan dari suatu mesh super adalah gabungan dari persamaan mesh-mesh penyusunnya sebagaimana
telah ditunjukkan di atas.
Kita perhatikan sekarang simpul A dan B pada Gb.2.2. HAK untuk kedua simpul ini adalah:
−i1 − i2 = 0
dan
+ i 2 − i3 − i4 = 0
Jika kedua persamaan ini kita gabungkan akan kita peroleh :
−i1 − i3 − i4 = 0
Ini adalah persamaan dari sebuah “simpul” yang merupakan gabungan dari dua simpul, yaitu simpul A dan B.
Simpul gabungan dari beberapa simpul semacam ini disebut simpul super. Contoh lain untuk simpul super
adalah gabungan simpul B dan C. Persamaan simpul super BC ini adalah :
+i 2 − i4 + i5 + i1 = 0
Penggabungan simpul-simpul seperti ini tidak terbatas hanya dua simpul. Jika simpul A, B, dan C kita
gabungkan akan menjadi simpul super ABC yang persamaannya adalah :
−i 4 + i 5 = 0
Dengan demikian maka :
HAK berlaku untuk simpul tunggal maupun simpul super
dan
HTK berlaku untuk mesh tunggal maupun mesh super
4.2. Kaidah-Kaidah Rangkaian
Hubungan Seri
dan Paralel
Dua elemen dikatakan terhubung paralel jika mereka terhubung pada dua simpul yang sama. Dengan
menerapkan HTK pada loop yang dibentuk oleh dua elemen itu akan terlihat bahwa tegangan pada elemenelemen itu harus sama.
Dua elemen dikatakan terhubung seri jika mereka hanya mempunyai satu simpul bersama dan tidak ada
elemen lain yang terhubung pada simpul itu. Penerapan HAK akan memperlihatkan bahwa arus yang
mengalir di kedua elemen itu sama. Hubungan paralel maupun seri tidak terbatas hanya dua elemen.
+ v1 −
Hubungan paralel
v1 = v2
i1
elemen 2
i2
− v2 +
elemen 2
i1
− v2 +
elemen 1
− v1 +
elemen 1
i2
Hubungan seri
i1 = i2
Gb.4.3. Hubungan paralel dan seri.
Rangkaian
Ekivalen
(Rangkaian
Pengganti)
Analisis terhadap suatu rangkaian sering akan menjadi lebih mudah dilaksanakan jika sebagian dari rangkaian
dapat diganti dengan rangkaian lain yang ekivalen dan yang lebih sederhana. Basis untuk terjadinya
ekivalensi antara dua macam rangkaian adalah hubungan i-v dari keduanya.
Dua rangkaian disebut ekivalen jika antara dua terminal tertentu mereka
mempunyai karakteristik i-v yang identik
4−3
Sudaryatno Sudirham, Hukum Dan Kidah Rangkaian, April 2008
Resistansi
Ekivalen
Resistansi ekivalen dari beberapa resistor yang terhubung seri adalah resistor yang nilai resistansinya sama
dengan jumlah nilai resistansi yang disambung seri tersebut.
Resistansi Seri : Rekiv = R1 + R2 + R3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
(4.6)
Hal ini mudah dibuktikan jika diingat bahwa resistor-resistor yang dihubungkan seri dialiri oleh arus yang
sama, sedangkan tegangan di masing- masing resistor sama dengan arus kali resistansinya.
Menurut HTK, tegangan total pada terminal dari rangkaian seri tersebut sama dengan jumlah tegangan di
masing-masing resistor. Jadi
Vtotal = V R1 + V R 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = R1i + R2 i + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = (R1 + R2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅)i = Rekivalen i.
Penggantian (R1+R2+ ….) dengan Rekiv , tidak mengubah karakteristik i-v di terminal ujung.
Konduktansi ekivalen dari beberapa konduktansi yang disambung paralel sama dengan jumlah konduktansi
masing-masing.
Konduktansi Paralel : Gekiv = G1 + G 2 + G3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
(4.7)
Hal ini juga mudah dibuktikan, mengingat bahwa masing-masing elemen yang dihubungkan paralel
memperoleh tegangan yang sama. Sementara itu arus total sama dengan jumlah arus di masing-masing
elemen yang terhubung paralel tersebut.
itotal = iG1 + iG 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = G1v + G 2 v + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = (G1 + G 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅)v = Gekivalen v
Kapasitansi
dan Induktansi
Ekivalen
Pencarian nilai ekivalen dari kapasitor maupun induktor yang terhubung seri ataupun paralel dapat dilakukan
dengan menggunakan cara yang sama seperti mencari resistor ekivalen. Gb.4.4. menunjukkan beberapa
kapasitor terhubung paralel.
i
A
+
v
_
B
i1
C1
i2
C2
i*
C*
Gb.4.4. Kapasitor paralel.
Aplikasi HAK pada simpul A memberikan :
dv
dv
dv
+ C2
+ ⋅ ⋅ ⋅ + C*
dt
dt
dt
dv
dv
= (C1 + C 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + C * ) = C ek
.
dt
dt
i = i1 + i2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +i * = C1
Jadi kapasitansi ekivalen dari kapasitor yang terhubung paralel adalah
Kapasitor Paralel : Cek = C1 + C2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C *
(4.8)
Untuk kapasitor yang dihubungkan seri kita mempunyai hubungan:
t
v = v1 + v 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +v * = v10 +
1
1
idt + v 20 +
C1 0
C2
∫
t
∫
idt + ⋅ ⋅ ⋅ + v * 0 +
0
1
C*
t
∫
idt = vek 0 +
0
1
C ek
t
∫ idt
0
Jadi untuk kapasitor yang dihubungkan seri maka kapasitansi ekivalennya dapat dicari dengan hubungan :
Kapasitor Seri :
1
1
1
1
=
+
+ ⋅⋅⋅⋅ +
C ek C1 C 2
C*
(4.9)
Induktansi ekivalen dari induktor yang dihubungkan seri ataupun paralel dapat dicari dengan cara yang sama,
dan hasilnya adalah sebagai berikut.
Induktor Seri : Lek = L1 + L2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + L *
Induktor Paralel :
1
1
1
1
=
+
+ ⋅⋅⋅⋅ +
Lek L1 L2
L*
4−4
Sudaryatno Sudirham, Hukum Dan Kidah Rangkaian, April 2008
(4.10)
(4.11)
Sumber
Ekivalen
Suatu sumber tegangan praktis dapat digantikan oleh sumber arus praktis ekivalennya dan demikian juga
sebaliknya. Secara umum kita katakan bahwa sumber tegangan bebas yang terhubung seri dengan resistor
dapat diganti oleh sumber arus bebas diparalelkan dengan resistor. Demikian pula sebaliknya, sumber arus
bebas yang terhubung paralel dengan resistor dapat diganti oleh sumber tegangan bebas diseri-kan dengan
resistor. Perhatikan model sumber tegangan dan sumber arus serta formulasi hubungan arus dan tegangan
masing-masing pada Gb.4.5.
R1
vs +
−
i
i
bagian
lain
rangkaian
+ vR − +
v
−
Sumber tegangan
is
R2
bagian
lain
rangkaian
iR +
v
−
Sumber arus
v = v s − v R = v s − iR1
v = iR R2 = (is − i ) R2
v − v vs
v
=
−
i= s
R1
R1 R1
i = is − iR = is −
v
R2
Gb.4.5. Ekivalensi sumber tegangan dan sumber arus.
Kedua model itu akan ekivalen apabila:
v s − iR1 = i s R2 − iR2
vs
v
v
−
= is −
R1 R1
R2
dan
vs
v
v
= is ,
=
→ R1 = R2
R1
R1 R2
→ v s = i s R2 , iR1 = iR 2 dan
(4.12)
Jika persyaratan untuk terjadinya ekivalensi itu terpenuhi maka bagian rangkaian yang lain tidak akan
terpengaruh jika kita menggantikan model sumber tegangan dengan model sumber arus ekivalennya ataupun
sebaliknya mengganti sumber arus dengan sumber tegangan ekivalennya. Menggantikan satu model sumber
dengan model sumber lainnya disebut transformasi sumber.
Transformasi
Y-∆
∆
Dalam beberapa rangkaian mungkin terjadi hubungan yang tidak dapat disebut sebagai hubungan seri, juga
tidak paralel. Hubungan semacam ini mengandung bagian rangkaian dengan tiga terminal yang mungkin
terhubung ∆ (segi tiga) atau terhubung Y (bintang) seperti terlihat pada Gb.4.6. Menggantikan hubungan ∆
dengan hubungan Y yang ekivalen, atau sebaliknya, dapat mengubah rangkaian menjadi hubungan seri atau
paralel.
C
C
∆
RA
RB
RC
R3
R2
A
B
Υ
R1
A
B
Gb.4.6. Hubungan ∆ dan hubungan Υ.
Kedua macam hubungan itu akan ekivalen jika dari tiap pasang terminal A-B, B-C, C-A, terlihat resistor
ekivalen yang sama. Jadi kedua rangkaian itu harus memenuhi
R AB =
R BC =
RCA =
RC ( R A + R B )
= R1 + R 2 ;
R A + R B + RC
R A (R B + RC )
= R 2 + R3 ;
R A + R B + RC
R B (R C + R A )
= R3 + R1
R A + R B + RC
Dari persamaan (4.13) dapat diperoleh
Ekivalen Y dari ∆
Ekivalen ∆ dari Y
RB RC
R1 =
R A + RB + RC
RA =
R1R2 + R2 R3 + R1R3
R1
R2 =
RC R A
R A + RB + RC
RB =
R1R2 + R2 R3 + R1R3
R2
R3 =
R A RB
R A + RB + RC
RC =
R1R2 + R2 R3 + R1R3
R3
4−5
Sudaryatno Sudirham, Hukum Dan Kidah Rangkaian, April 2008
(4.13)
Rangkaian Y dan ∆ dikatakan seimbang jika R1 = R2 = R3 = RY
seimbang transformasi Y - ∆ menjadi sederhana, yaitu
Kaidah
Pembagi
Tegangan
R∆
3
RY =
Keadaan seimbang :
dan
RA = RB = RC = R∆. Dalam keadaan
R∆ = 3RY
dan
Kaidah ini memberikan distribusi tegangan pada elemen yang dihubungkan seri seperti pada Gb.4.7.
i
+
vs
−
+
−
R1
+ v1 − +
v2
R3 −
R2
− v3 +
Gb.4.7. Pembagian tegangan
Dengan mengaplikasikan HTK pada loop rangkaian Gb.4.7, kita mendapatkan :
v s = v1 + v2 + v3 = (R1 + R2 + R3 ) i
vs
v
→i=
= s
R1 + R2 + R3 Rtotal
Tegangan pada masing-masing elemen adalah :
 R
v1 = R1i =  1
 Rtotal
 R

v s ; v2 =  2
R

 total

 R

v s ; v3 =  3
R

 total


v s


(4.14)
Secara umum dapat kita tuliskan:
 R
Pembagi Tegangan : vk =  k
 Rtotal

vtotal


(4.15)
Jadi tegangan total didistribusikan pada semua elemen sebanding dengan resistansi masing-masing dibagi
dengan resistansi ekivalen.
Kaidah
Pembagi Arus
Dalam rangkaian paralel, arus terbagi sebanding dengan konduktansi di masing-masing cabang. Kita ambil
contoh rangkaian seperti pada Gb.4.8.
i1
G1
is
i3
i2
G3
G2
Gb.4.8. Pembagian arus.
Hubungan antara arus is dan tegangan v dapat dicari sbb.
is = i1 + i2 + i3 = vG1 + vG2 + vG3 → v = is /(G1 + G2 + G3 ) = is / Gtotal
Dari v yang diperoleh dapat dihitung arus di masing-masing resistor.
 G
i1 = vG1 =  1
 Gtotal
 G

 i s ; i2 =  2
G

 total

 G

 is ; i3 =  3
G

 total


 is


(4.16)
Secara umum :
 G
Pembagi Arus : ik =  k
 Gtotal

 itotal


4−6
Sudaryatno Sudirham, Hukum Dan Kidah Rangkaian, April 2008
(4.17)