lagrange dan utilitas

OPTIMASI DENGAN KENDALA
KESAMAAN
Oleh : TIM Matematika
BENTUK-BENTUK FUNGSI MULTIVARIAT
DARI SEGI BENTUK GRAFIK
I. Fungsi Linier : Y = ao + a1X1 + a2X2
Contoh: Y = 50 + 0,50 X1 + 0,60 X2
II. Bentuk Non- Linier:
2.1. Fungsi Kuadrat :
Y = 12X1 + 18X2 - 2X12 - X1.X2 – 2X22
2.2. Fungsi Eksponen :
Y = 5. 0,8X1. 0,4X2
Y = ao.a1X1.a2X2
Lanjutan:
2.3. Fungsi Pangkat : Y = ao.X1a1.X2a2
Contoh: Y = 50.X10,7.X20,4
2.4. Fungsi Transedental :
Y = ao.X1a1.X2a2 .eb1X1.eb2X2
Y = 50.X10,7.X20,4. e 0,6X1.e.0,5X2
BENTUK-BENTUK FUNGSI
DARI SEGI KENDALA
Fungsi Tak Berkendala
Fungsi Berkendala
PENGERTIAN FUNGSI TAK
BERKENDALA
Contoh : Fungsi Keuntungan :
  f (Q1 , Q2 )
π = Keuntungan
Q1 = Output Q1
Q2 = Output Q2
  12Q1  18Q2  2Q1  Q1.Q2  2Q2
2
Dari fungsi ini :
Variabel Q1 dan Q2 independen
(tidak saling tergantung)
Besaran Q1 dan Q2 tidak ada
pembatas
Titik optimum fungsi adalah titik
”Optimum Bebas”
2
Titik optimum bebasnya dicapai
diwaktu π’ = 0

 0  12  4Q1  Q2  0.......... ....( 1)
Q1

 0  18  Q1  4Q2  0.......... ...( 2 )
Q2
Substitusi (1) & (2), didapat :
Q1*  2
Q2 *  4
 *  f (Q1*, Q2 *)
Q1*, Q2*, *  OptimumBebas
PENGERTIAN FUNGSI
BERKENDALA
Fungsi Berkendala:
  f (Q1 , Q2 ) ……… Fungsi Tujuan
Q1 + Q2 = 950 …Pers.pembatas
Perusahaan memproduksi 2 macam
produksi (Q1&Q2) dengan tujuan
memaksimumkan keuntungan;
Lanjutan:
Masalah yang dihadapi adalah
terbatasnya modal, sehingga jumlah
produksi dibatasi (kuota produksi) 950
satuan.
Jika jumlah produksi dibatasi (kuota
produksi = 950 satuan), berapa jumlah
Q1 dan Q2 untuk mencapai keuntungan
maksimum....?
Lanjutan:
Keuntungan Maksimum tersebut
disebut ‘Titik Optimum Terkendala”
atau “Maksimum Terkendala”
Lanjutan:
Cara menentukan titik optimum
terkendala :
1. Cara substitusi (eliminasi)
2. Pendekatan diferensial total
3. Metode pengali Lagrange
(Lagrange Multipliers)
PENGERTIAN DAN EFEK DARI
SUATU KENDALA (PEMBATAS)
Dalam usaha mencapai suatu tujuannya,
perusahaan /produsen atau konsumen selalu
menghadapi kendala atau pembatas.
Contoh (1):
Untuk mencapai keuntungan maksimum sebagai
Fungsi Tujuan:
  f (Q1, Q2 )
Menghadapi kendala terbatasnya kapasitas
produksi (kuota produksi) Q1+ Q2 = 950
Contoh (3) :
Untuk mencapai kepuasan maksimum (Fungsi
Utilitas Sebagai Fungsi Tujuan):
U  f (Q1 , Q2 )
Menghadapi kendala terbatasnya anggaran
(Budget-Line sebagai persamaan pembatas);
P Q1.Q1  P Q 2 .Q2  M
Contoh (2):
Untuk memaksimum produksi (Isoquant sebagai
Fungsi Tujuan) :
Q  f ( X1, X 2 )
Menghadapi kendala terbatasnya biaya (Iso-cost)
sebagai persamaan pembatas) :
P X 1. X 1  P X 2 . X 2  M
Dengan adanya kendala-kendala tersebut,
maka :
(1). Variabel bebas (Q1 dan Q2) saling tergantung.
Contoh: kendala terbatasnya kapasitas
produksi (kuota produksi): Q1+ Q2 = 950
Q1 naik maka Q2 turun, atau
sebaliknya Q1 turun dan Q2 naik.
(2) Titik optimum fungsi disebut “Titik
Optimum Terkendala”
I. FUNGSI UTILITAS

U = f (Q1, Q2)………Fungsi Tujuan
P1.Q1 + P2.Q2 = C…..Pers.Kendala.

Fungsi Lagrange:
U = f(Q1,Q2) + λ (C – P1.Q1 – P2.Q2)
Lanjutan:
Turunan Pertama dari Fungsi Lagrange:
U
fu
 f1 
 PQ1  0.....(1)
Q1
Q1
U
fu
 f2 
 PQ2  0.....(2)
Q2
Q2
U
 C  PQ1 .Q1  PQ2 .Q2  0....(3)

Lanjutan: Fungsi Utilitas
Contoh Soal : Optimasi Fungsi
Multivariat Berkendala:
Seorang konsumen memiliki fungsi utilitas :
U = Q1 . Q2 + 2 Q1 … Fungsi Tujuan (Fungsi
Utilitas)
Nilai U adalah positif untuk Semua nilai Q1
dan Q2.
Persamaan Kendala (Garis Anggaran):
P1.Q1 + P2.Q2 = M........4Q1 + 2Q2 = 60.
Tentukan Jumlah Q1 dan Q2 yang
memaksimum Utilitas....?
Persamaan Kendala Anggaran
(Persamaan Pembatas):
P Q1.Q1  P Q 2 .Q2  M  4Q1  2Q2  60
Q2
BL: Pers.Kendala (garis Anggaran)
Q2*
0
I : Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas tertentu)
Q1*
Q1
Cara Menentukan Nilai Optimum:
(1). Metode Substitusi/ Eliminasi;
(2). Metode Diferensial Total;
(3). Metode Pengali Lagrange.
Ad.(1). Metode Substitusi:
Fungsi Tujuan:
U = Q1.Q2 + 2Q1……………(1)
Persamaan Kendala:
4Q1+ 2Q2 = 60; kendala diubah:
2Q2 = - 4Q1 + 60
Q2 = -2Q1 + 30…………..... (2)
Substitusikan (1) ke (2):
Substitusikan (2) ke (1):
U = Q1 (-2Q1 + 30) + Q1
U = -2Q12 +30Q1 +2Q1
U = -2Q12 + 32 Q1 ………….(3)
Turunan (Derivatif) Pertama = 0
U’ = dU/dQ1 = - 4Q1 +32 = 0
- 4Q1 + 32 = 0 ……Q1* = 8
Substitusikan Q1* ke persamaan (1):
Substitusikan Q*1= 8 ke persamaan (2):
Q2 = -2Q1 + 30= -2(8)+30 …….Q2* = 14.
U* = Q1.Q2 + 2Q1
= 8.14 + 2.8 ………U* = 128.
Ad.2. Metode Diferensial Total :
Diketahui Fungsi Tujuan: U = Q1.Q2 + 2Q1.
Persamaan Kendala: 4Q1+ 2Q2 = 60;
Tentukan : Q1 dan Q2..............?
Jawab:
Kondisi Optimum Dicapai Pada Saat:
(dU/dQ1)/P1 = (dU/dQ2)/P2
MU1/ P1 = MU2/ P2
Dari Contoh Soal di atas:
MU1 = dU/dQ1 = f1 = Q2 + 2
MU2 = dU/dQ2 = f2 = Q1
Lanjutan:
Persamaan Kendala :
4Q1 + 2Q2 = 60; jadi:
P1 = 4 dan P2 = 2.
Dengan Menggunakan Rumus : MU1/ P1
(Q2 + 2)/ 4 = (Q1)/ 2
2Q2 + 4 = 4Q1
Q1 = ½ Q2 + 1 …………………(1)
= MU2/ P2
Substitusikan (1) ke Pers.Kendala:
Persamaan (1) substitusikan ke persamaan kendala:
4(1/2Q2 + 1) + 2Q2 = 60 .....4Q2 = 56.....Q2* = 14.
Substitusikan Q2*=14 ke persamaan (1):
Q1* = ½ (14) + 1 jadi : Q1* = 8
Untuk Menentukan λ* :
λ* = f1/ P1 atau λ* = f2/ P2
Lanjutan :
Untuk Menentukan λ* :
λ* = f1/ P1 atau λ* = f2/ P2.
λ* = f1/Pq1 =(Q2+ 2)/ 4
= (14+2)/ 4 = 4
atau λ* = (Q1)/ 2 = 8/2 = 4.
Ad.3. Metode Pengali Lagrange
Menentukan Fungsi Lagrange:
U = Q1.Q2 + 2Q1 + λ ( 60 – 4Q1- 2Q2).
Turunan Petama Fungsi = 0.
dU/dQ1 = f1 = Q2 + 2 – 4 λ = 0 ……(1)
dU/dQ2 = f2 = Q1 - 2 λ
= 0 ...….(2)
dU/d λ = f λ = 60 – 4Q1 – 2Q2 = 0….(3)
Subtitusikan (1) ke (2):
Eliminasi pers.(1) dan (2) dengan cara
menyamakan λ :
(1)....dU/dQ1 = Q2 + 2 – 4 λ = 0 …......( x1)
(2)....dU/dQ2 = Q1 - 2 λ
= 0 ……...(x2)
Jadi : (1)....Q2 + 2 – 4 λ = 0
(2)....2Q1 - 4 λ
= 0.
jadi: Q2 + 2 – 2Q1 = 0
Q2 = 2Q1 – 2 ……………(a)
Substitusikan (a) ke Persamaan kendala:
Substitusikan (a) ke persamaan (3):
dU/d λ = 60 – 4Q1 – 2Q2 = 0…….(3)
Jadi: 60 – 4Q1 – 2 (2Q1 – 2) = 0
60 – 8Q1 + 4 = 0………Q1* = 8.
(3)…....60 – 4(8) – 2Q2 = 0
28 – 2Q2 = 0 ……..Q2* = 14.
Cara Pembuktian Optimum Maksimum
atau Minimum:
Menggunakan Determinan Hessian Bertepi
(Burder Hessian):
0
H = g1
g2
g1
f11
f21
g2
f12 Apabila: H > 0 (Maks)
f22
H = 0 (Tdk)
H < 0 (Min)
Lanjutan:
Turunan Kedua (Turunan dari f1 dan f2):
dU/dQ1 = f1 = Q2 + 2 – 4 λ = 0 …..…(1)
df1/dQ1 = f11 = 0 ; dan df1/dQ2 = f12 = 1.
dU/dQ2 = f2 = Q1 - 2 λ
= 0 ...……(2)
df2/dQ1 = f21 PQ1 = g1 = 4 dan PQ2 =
g2 = 2.
= 1 dan df2/dQ2 = f22 = 0.
Lanjutan:
0
4
2
H= 4
0
1 ;
2
1
0
H = 0.0.0 + 4.1.2 + 2.1.4 – (2.0.2) –
(4.4.0) – ( 0.1.1) ………H = 16 > 0
(Optimum Maksimum)
II. KOMBINASI INPUT
DENGAN BIAYA TERKECIL
Formulasi Masalahnya adalah:
Meminimisasi biaya:
C = P1.X1 + P2.X2………Fungsi Tujuan
(Persamaan Biaya Tetrtentu/ Isocost)
Dengan Kendala Quota Produksi:
Q0 = f ( X1, X2 )…………Pers.Kendala
(Fungsi Produksi Tertentu/ Isoquant)
Fungsi Lagrange:
C = P1.X1 + P2.X2 + λ [ Qo – f (X1,X2)]
Menentukan Turunan Pertama Fungsi:
dC/dX1 = f1 = 0 …………..(1)
dC/dX2 = f2 = 0 …………..(2)
dC/d λ = f3 = 0 ………….(3)
Solusi Optimal:
a. Metode Substitusi;
b. Metode Diferensial Total
c. Metode Pengali Lagrange.
Contoh Soal :
Diketahui Fungsi Tujuan (Fungsi Biaya):
C = 6 X12 + 3X22
Dengan Kendala:
X1 + X2 = 18
Tentukan :
a. Nilai X1*, X2* yang Meminimisasi Biaya,
dan Besarnya Biaya Minimum C*;
b. Buktikan C* adalah Optimum Minimum.
Jawaban:
Fungsi Lagrange:
C = 6 X12 + 3X22 + λ ( 18 – X1 – X2)
Turunan Pertama = 0
dC/ dX1 = f1 = 12X1 – λ = 0……….(1)
dC/ dX2 = f2 = 6X2 - λ = 0…………(2)
dC/ d λ = f3 = 18 –X1 – X2 = 0 ..…(3)
Solusi optimal dengan Metode
Determinan:
Persamaan Matriks Persamaan Turunan I:
12
0
-1
0
6
-1
-1
-1
0
Rumus :
X1 = IX1I / IPI;
λ = I λI / IPI ;
X1
X2
λ
=
0
0
-18
dan X2 = IX2I / IPI;
Menentukan Determinan:
IX1I = 0
0
-18
IX2I = 12
0
-1
0
6
-1
0
0
-18
-1 = …….?
-1
0
-1
-1
0
= ……..?
Lanjutan:
IλI = 12
0
-1
0
6
-1
0
0
-18
X1 = IX1I / IPI = ……;
X2 = IX2I / IPI = ……;
Xλ = I λI / IPI = …….;
= ………..?
Menentukan Optimum Maksimum/
Minimum:
f1 = 12X1 – λ …….f11 = 12 dan f12 = 0;
f2 = 6X2 – λ ………f21 = 0 dan f22 = 6.
Pers. Kendala: 1.X1 + 1. X2 = 18; jadi:
g1 = 1 dan g2 = 1.
Determinan Hessian Bertepi:
0
1
1
H = 1
12 0 = - 18 < 0 (Minimum).
1
0
6
SOAL JAWAB LATIHAN
OPTIMASI FUNGSI BERKENDALA
1. Minimisasi biaya dengan kendala output:
Diketahui Tungsi tujuan: TC = 4Q12 +5Q22-6Q2;
dan persamaan kendala: Q1 + 2Q2 = 18;
Tentukan:
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya;
b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah
optimum minimum.
Lanjutan: soal latihan
2. Minimisasi Biaya Kendala Output:
Diketahui TC = 6Q12 + 3Q22;
dengan kendala : Q1 + Q2 =18; Tentukan:
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya;
b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah
optimum minimum.
Lanjutan: soal latihan
3. Minimisasi Biaya kendala output:
Diketahui fungsi tujuan: TC=Q12+2Q22Q1.Q2; dengan kendala: Q1+Q2=8.
Tentukan:
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum
biaya;
b. Buktikan bahwa titik optimum
tersebut adalah optimum minimum.
Lanjutan: Soal latihan
4. Optimum produksi kendala Cost:
Diketahui TP=-5X12 +10X1.X2-7X22+40X1;
kendala X1+X2=1. Tentukan:
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum TP;
b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut
adalah optimum maksimum.
Lanjutan: soal latihan
5. Maksimisasi produksi kendala Biaya:
Diketahui fungsi tujuan: TP=X12+5X1.X24X22, dengan kendala: 2X1+3X2=74.
Tentukan:
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum
TP;
b. Buktikan bahwa titik optimum
tersebut adalah optimum maksimum.
Lanjutan: Soal jawab
6. Maksimimisasi Utilitas Kendala
Anggaran:
Diketahui fungsi utilitas U=Q1.Q2; dengan
kendala: 15Q1+5Q2=150. Tentukan:
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum U;
b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut
adalah optimum maksimum.
Lanjutan: Soal jawab
7. Maksimisasi Utilitas kendala anggaran:
Diketahui fungsi tujuan:
U = 4Q1.Q2 – Q22 ; dan Kendala:
2Q1 + 5Q2 = 11. Tentukan :
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum U;
b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah
optimum maksimum.
Lanjutan: soal latihan
8. Optimasi utilitas kendala anggaran:
Diketahui fungsi tujuan: U = 27 + 6Q1.Q2 –
2Q12 – Q22. dengan kendala: Q1+Q2 = 9.
Tentukan:
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum
Utilitas;
b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut
adalah optimum maksimum.
Lanjutan: soal latihan
9. Optimasi utilitas kendala anggaran:
Diketahui fungsi tujuan :U = 16Q1 + 26Q2
– Q12 – Q22. Kendala: 3Q1 + 4Q2 = 26.
Tentukan:
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum
Utilitas;
b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut
adalah optimum maksimum.
Lanjutan: Soal jawab
10. Optimum Utilitas kendala anggaran:
Diketahui fungsi tujuan :U = Q12 +2Q22 +5Q1.Q2.
Dengan kendala:5Q1 + 10Q2 = 90. Tentukan:
a.
Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum
Utilitas;
b.
Tentukan U optimum;
c.
Buktikan bahwa U Optimum Maksimum.
Lanjutan: soal latihan
11. Optimasi utilitas kendala anggaran:
Fungsi Utilitas :
U = 4Q1Q2 – Q12 – 3Q22
Fungsi Anggaran :
2Q1 + 3Q2 = 45
Tentukan:
a. Q1 dan Q2 yang memaksimumkan utilitas
b. Tentukan U optimum,buktikan bahwa U
optimum adalah optimum maksimum.
lanjutan
TERIMAKASIH