MAKALAH
HIMPUNAN TERTUTUP DAN PENUTUP SUATU HIMPUNAN
Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Pengantar Topologi
Dosen Pengampu : Khaerunisak, M. Si.
Disusun oleh: Kelompok 5
1. Aisyah Tri Utami
(2618004)
2. Sukma Suci Wulandari
(2618005)
3. Malik Fajar
(2618010)
4. Nailul Muna
(2618066)
KELAS A
TADRIS MATEMATIKA
FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI PEKALONGAN
2021
0
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, taufik,
dan karunia akal budi serta hidayahnya kepada penulis, sehingga penulis dapat
menyelesaikan makalah yang berjudul “Himpunan Tertutup dan Penutup Suatu
Himpunan“ dengan baik dan terselesaikan tepat pada waktunya. Penyusunan
makalah ini bertujuan untuk memenuhi tugas mata kuliah Pengantar Topologi kelas
A yang diampu oleh Ibu Khaerunisak, M.Si.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kesalahan dalam penyusunan
makalah ini, baik dari segi EYD, kosa kata, tata bahasa, etika maupun isi. Oleh
karenanya penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari
pembaca sekalian untuk kami jadikan sebagai bahan evaluasi. Kami juga berharap
agar makalah ini dapat menambah wacana baru bagi pembaca dan bermanfaat bagi
tugas kami selanjutnya.
Akhir kata kami mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah
membantu hingga terselesaikannya makalah ini.
Pekalongan, 14 Maret 2021
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR.............................................................................................1
DAFTAR ISI...........................................................................................................2
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang........................................................................................3
B. Rumusan Masalah...................................................................................3
C. Tujuan Penulisan......................................................................................3
BAB II PEMBAHASAN
A. Himpunan Tertutup....................................................................................4
B. Perbedaan Himpunan Tertutup dan Terbuka.............................................6
C. Penutup Suatu Himpunan..........................................................................9
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan ..............................................................................................15
B. Saran.................................................................................................15
DAFTAR PUSTAKA.....................................................................................16
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam materi ini kita akan membahas tentang himpunan, yang
mungkin sudah pernah anda pelajari pada waktu SMA. Namun demikian,
materi ini akan diberikan dalam makalah ini bukan hanya sekedar mengulang,
tetapi diharapkan pula dapat memberikan wawasan yang luas mengenai
pendefinisian himpunan tertutup dan penutup suatu himpunan.
Untuk mendukung kelancaran anda terhadap penguasaan materi
dalam makalah ini perlu juga belajar teknik menghitung yang mencakup
prinsip perkalian dan penjumlahan serta konsep himpunan tertutup dan
penutup suatu himpunan.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana makna tentang himpunan tertutup?
2. Bagaimana perbedaan himpunan tertutup dan himpunan terbuka?
3. Bagaimana cara menentukan penutup suatu himpunan?
C. Tujuan Penulisan
1. Mengetahui makna himpunan tertutup
2. Mengetahui perbedaan himpunan tertutup dan himpunan
3. Mengetahui cara menetukan penutup suatu himpunan
BAB II
PEMBAHASAN
A. Himpunan Tertutup
Himpunan bagian A dari R, yaitu himpunan bilangan real, merupakan
himpunan tertutup jika komplemennya Ac adalah sebuah himpunan terbuka.
Himpunan tertutup juga dapat dijelaskan hal titik akumulasinya. (Seymour,
1965: 48)
Definisi 4.5.1. Himpunan bagian C dari ruang topologi X tertutup jika X-C
terbuka. (Min Yan, 2010: 83)
Contoh 1.
Himpunan bagian [a,b] dari R tertutup karena komplomennya R – [a, b] = (∞, 𝑎) ∪ (𝑏, +∞) merupahan terbuka. Sedangkan, [𝑎, +∞) tertutup, karena
komplemen (-∞, 𝑎) terbuka. Fakta-fakta ini membernarkan penggunaan istilah
“Interval Tertutup” dan “Sinar Tertutup”, himpunan bagian [a,b) dari R tidak
terbuka atau tertutup.
Contoh 2.
Dalam ruang R2, himpunan
{𝑥 × 𝑦 | 𝑥 ≥ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ≥ 0}
Tertutup, karena komplemen merupakan gabungan dua himpunan
(−∞, 0) × 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑅 × (−∞, 0),
Cashe yang merupakan produk himpunan terbuka dari R, oleh karena itu,
terbuka di R2.
Contoh 3.
Pada topologi komplomen berhingga pada himpunan X, himpunan tertutup
terdiri dari X itu sendiri dan semua himpunan bagian berhingga dari X.
Contoh 4.
Dalam topologi diskrit pada himpunan X, setiap himpunan terbuka; itu
mengikuti itu setiap himpunan tertutup juga.
Contoh 5.
Pertimbangkan bagian berikut dari garis nyata:
𝑌 = [0,1] ∪ (2,3),
Dalam subbagian topologi. Dalam ruang ini, himpunan [0,1] adalah terbuka,
1 3
karena itu adalah perpotongan dari himpunan terbuka (− , ) dari R dengan Y.
2 2
Sedangkan, (2,3) terbuka sebagai himpunan bagian dari Y; itu bahkan terbuka
sebagai bagian dari R. Karena [0,1] dan (2,3) adalah komplemen di Y satu sama
lain, kita simpulkan bahwa [0,1] dan (2,3) adalah himpunan tertutup sebagai
himpunan bagian dari Y. (James, 2000: 93)
Theorema 4.4: Himpunan bagian A dari R ditutup jika dan hanya jika berisi
masing-masing titik dari akumulasinya.
Contoh 3.1: Interval tertutup [a, b] adalah himpunan tertutup karena
komplemennya (-∞, 𝑎) ∪ (𝑏, ∞), gabungan interval takterhingga terbuka, adalah
terbuka.
1 1 1
Contoh 3.2 : Himpunan A ={1, 2 , 3, 4.....} tidak ditutup karena, seperti terlihat
pada contoh 2.1, 0 adalah titik batas pada A tetapi bukan anggota A.
Contoh 3.3 : Himpunan kosong ∅ dan semua anggota R adalah himpunan
tertutup karena seluruh bagian R dan ∅, masing-masing merupakan himpunan
terbuka.
Himpunan mungkin dapat terbuka atau tertutup, seperti contoh berikut.
Contoh 3.4 : Pertimbangkan interval buka-tutup A = (a,b]. Perhatikan A tidak
terbuka karena b ∈ A bukan merupakan titik interior A, dan tidak terrtutup
karena 𝑎 ∉ 𝐴 tetapi merupakan sebuah batas titik dari A. (Seymour, 1965: 49)
B. Perbedaan Himpunan Tertutup Dan Himpunan Terbuka
Sebelumnya kita telah membahas bahwa ruang topologi adalah
pasangan himpunan (𝑋, 𝑟) dengan τ berisikan himpunan-himpunan bagian
dari 𝑋. Maka isi dari τ ini lah yang disebut sebagai himpunan terbuka.
Definisi 1.2.1. Untuk sebarang ruang topologi (𝑋, 𝑟). Anggota-anggota dari
𝑟 dikata kan sebagai himpunan terbuka.
Proposisi 1.2.2. Untuk sebarang ruang topologi (𝑋, 𝑟) maka
1. 𝑋 dan ∅ adalah himpunan terbuka.
2. Gabungan (berhingga atau tak-hingga) dari himpunan terbuka adalah
himpunan terbuka.
3. Irisan berhingga dari himpunan terbuka adalah himpunan terbuka.
Bukti: Jelas kondisi 1 dan 2 merupakan akibat dari Definisi 1.2.1 dan
Definisi 1.1.1. Dan kondisi 3 juga dapat dibuktikan berdasarkan
Definisi 1.2.1.
Dari Proposisi 1.2.2 ini maka timbul pertanyaan: Gabungan tak
hingga himpunan terbuka adalah terbuka, tapi apakah irisan tak-hingga dari
himpunan terbuka pastilah terbuka? Jawabannya adalah “tidak”.
Contoh 1.2.3. Diberikan himpunan bilangan asli 𝑁 dan 𝑟 memuat ∅, 𝑁, dan 𝑆
himpunan bagian dari 𝑁 dengan komplemen 𝑆 di dalam 𝑁 adalah himpunan
berhingga. Dengan mudah kita cek 𝑟 merupakan topologi. Untuk setiap
bilangan asli 𝑛 didefinisikan himpunan 𝑆𝑛 sebagai berikut.
∞
𝑆𝑛 = {1} 𝖴 {𝑛 + 1} 𝖴 {𝑛 + 2} 𝖴 {𝑛 + 3} … = {1} 𝖴 ⋃ 𝑚
𝑚=𝑛+1
Jelas setiap 𝑆𝑛 merupakan himpunan terbuka di dalam topologi 𝑟, karena
komplemennya merupakan himpunan berhingga. Akan tetapi
∞⋂ 𝑆𝑛 = {1}
𝑛=1
Komplemen dari {1} bukanlah 𝑁 ataupun himpunan berhingga, itu artinya
{1} bukanlah himpunan terbuka. Telah kita tunjukan irisan tak-hingga
dari himpunan terbuka 𝑆𝑛 tidaklah terbuka.
Selanjutnya jika ada yang terbuka pastilah ada yang tertutup, himpunan
tertutup adalah komplemen dari himpunan terbuka.
Definisi 1.2.4. Misalkan (𝑋, 𝑟) merupakan ruang topologi, suatu
himpunan bagian 𝑆 dari 𝑋 dikatakan himpunan tertutup jika komplemennya
merupakan himpunan terbuka pada (𝑋, 𝑟).
Dari Contoh 1.1.2, Himpunan tertutupnya adalah
∅, 𝑋, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓}, {𝑎, 𝑏, 𝑒, 𝑓}, {𝑏, 𝑒, 𝑓}, dan {a}.
Proposisi 1.2.5. Untuk sebarang ruang topologi (𝑋, 𝑟) maka
1. 𝑋 dan ∅ adalah himpunan tertutup.
2. Gabungan (berhingga atau tak hingga) dari himpunan tertutup adalah
himpunan tertutup.
3. Irisan berhingga dari himpunan tertutup adalah himpunan tertutup.
Bukti: Untuk pembuktian nomor 1 mengikuti Proposisi 1.2.2 dan
Definisi 1.2.4, karena komplemen dari 𝑋 adalah ∅ dan komplemen dari
∅ adalah 𝑋. Selanjutnya untuk pembuktian nomor 2, misalkan 𝑆1, 𝑆2, …
, 𝑆𝑛 merupakan himpunan tertutup. Kita akan menunjukkan bahwa 𝑆1 𝖴
𝑆2 𝖴 … 𝖴 𝑆𝑛 merupakan himpunan tertutup. Berdasarkan Definisi 1.2.4,
𝑋\(𝑆1 𝖴 𝑆2 𝖴 … 𝖴 𝑆𝑛) merupakan suatu himpunan terbuka. Karena 𝑆1,
𝑆2, … , 𝑆𝑛 merupakan himpunan tertutup, maka komplemennya
𝑋\𝑆1, 𝑋\𝑆2, … , 𝑋\𝑆𝑛 merupakan himpunan terbuka, sehingga
𝑋\(𝑆1 𝖴 𝑆2 𝖴 … 𝖴 𝑆𝑛) = (𝑋\𝑆1) ∩ (𝑋\𝑆2) ∩ … ∩ (𝑋\𝑆𝑛)
Karena sisi kanan merupakan irisan dari himpunan terbuka, maka sisi
sebelah kiri juga merupakan himpunan terbuka. Oleh karena itu 𝑆1 𝖴 𝑆2 𝖴
… 𝖴 𝑆𝑛 adalah himpunan tertutup. Sehingga terbukti. Kemudian untuk
pembuktian nomor 3 sama seperti halnya pembuktian nomor 2.
Catatan: Penamaan “terbuka” dan “tertutup” menemukan sedikit
permasalahan (kalau boleh dibilang begitu), bahwa ada himpunan terbuka
sekaligus merupakan himpunan tertutup. Lebih jauh lagi ada himpunan
yang tidak terbuka dan tidak tertutup. Sekarang perhatikan Contoh 1.1.2,
kita lihat bahwa
▪
Himpunan {𝑎} dan {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓} adalah himpunan terbuka dan tertutup
▪
Himpunan {𝑏, 𝑐} tidak terbuka ataupun tertutup
▪
Himpunan {𝑐, 𝑑} terbuka tetapi tidak tertutup
▪
Himpunan {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑓} tertutup tetapi tidak terbuka.
Pada ruang diskrit semua himpunan adalah terbuka dan tertutup tetapi pada
ruang indiskrit (𝑋, 𝑟) semua himpunan bagian dari 𝑋 kecuali 𝑋 dan ∅
tidaklah terbuka ataupun tertutup.
Definisi 1.2.6. Himpunan bagian 𝑆 dari ruang topologi (𝑋, 𝑟) dikatakan clopen
(closed and open) jika terbuka dan tertutup pada ruang topologi (𝑋, 𝑟).
Catatan:Setiap ruang topologi (𝑋, 𝑟), himpunan 𝑋 dan ∅ adalah clopen. Pada
ruang disktrit ∅, setiap himpunan bagian dari 𝑋 adalah clopen. Pada ruang
indiskrit himpunan clopen hanyalah 𝑋 dan ∅.
C. Penutup dari Himpunan
Misal 𝐴 himpunan bagian dari ruang topologi X. Penutup dari 𝐴, ditulis
𝐴̅ atau 𝐴− adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat 𝐴. Dengan
kata lain, bila {𝐹i|i ∈ 𝐼} adalah kelas dari semua himpunan bagian tertutup dari
X yang memuat 𝐴, maka 𝐴̅ = ∩iFi . Dapat diketahui bahwa 𝐴̅ adalah tertutup,
karena 𝐴̅ adalah irisan dari himpunan-himpunan tertutup. Selanjutnya juga, 𝐴̅
adalah superset tertutup terkecil dari 𝐴, dengan demikian, bila 𝐹 adalah
himpunan tertutup yang memuat 𝐴, maka 𝐴 ≤ 𝐴 ̅ ≤ 𝐹.
Berdasarkan hal tersebut, himpunan A adalah tertutup bila dan hanya bila
A = A ¯, dan diperoleh pernyataan berikut :
Teorema 2.2.4.1
Bila A¯ penutup dari himpunan A, maka
(i) 𝐴̅ adalah tertutup
(ii) Bila 𝐹 superset tertutup dari 𝐴, maka 𝐴 ≤ 𝐴̅ ≤ 𝐹; dan
(iii) 𝐴 adalah tertutup bila dan hanya bila 𝐴 = 𝐴̅
Bukti :
(i) A¯=
Fi , Fi himpunan tertutup memuat A, karena irisan dari himpunan
i I tertutup adalah tertutup maka A¯ tertutup.
(ii) A¯ S F , A¯ tertutup, A S Fi 6 I jadi Ā S A¯
(iii) Jika A tertutup A S A, A S A ¯ S A jadi A = A ¯.
Contoh 2.2.4.1
Diberikan himpunan X = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, e} dan 𝑟 = {X, Ø, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐,
𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, e}} dengan kelas himpunan tertutup dari X adalah {Ø, X, {𝑏,
𝑐, 𝑑, e}, {𝑎, 𝑏, e}, {𝑏, e}, {𝑎}}.
Dari definisi diatas diperoleh
{b̄} = {b, e}, {ā¯,¯c̄} = X, {b̄¯¯,¯d̄} = {b, c, d, e}.
Contoh 2.2.4.2
Misal X adalah ruang topologi kofinit, yaitu komplemen dari himpunanhimpunan terbuka. Maka himpunan-himpunan tertutup dari topologi
tersebut adalah himpunan bagian - himpunan bagian terhingga dari X
dengan X. Jadi bila 𝐴 ≤ X terhingga, penutup A¯ adalah A sendiri, karena
A tertutup. Sebaliknya, bila 𝐴 ≤ X tak hingga, maka X adalah superset
tertutup dari A; jadi A¯ adalah X.
Selanjutnya, untuk suatu A himpunan bagian dari ruang kofinit X, maka
A¯ =
A bila A tterhingga
X bila A tak hingga
Penutup dari suatu himpunan dapat dinyatakan dengan pengertian
dari titik-titik limit dari himpunan tersebut sebagai berikut :
Teorema 2.2.4.2
Diberikan ruang topologi X jika 𝐴 ≤ X, maka
𝐴 = {𝑥 ∈ X|𝑠e𝑡i𝑎𝑝 𝑝e𝑟𝑠e𝑘i𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑥 𝑏e𝑟i𝑟i𝑠𝑎𝑛 𝑑e𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐴}.
Bukti :
Andaikan 𝐴 G {𝑥 ∈ X|𝑠e𝑡i𝑎𝑝 𝑝e𝑟𝑠e𝑘i𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑥 𝑏e𝑟i𝑟i𝑠𝑎𝑛 𝑑e𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐴} dan ini
berarti terdapat 𝑥 ∈ 𝐴 yang mana terdapat persekitaran X yang tidak beririsan
dengan 𝐴
Misal : 𝑉𝑥 persekitaran terbuka dari X dan tidak beririsan dengan 𝐴. Ini berarti
𝑉𝑥 ∩ 𝐴 = Ø sehingga 𝐴 ≤ 𝑉𝑥c tertutup. Jadi 𝑉𝑥c merupakan himpunan tertutup
yang memuat 𝐴.
Dari definisi 𝐴 (irisan semua himpunan tertutup yang memuat 𝐴) maka pasti
memuat 𝐴 atau 𝐴 ≤ 𝑉𝑥c. Jadi didapatkan 𝑥 ∈ 𝐴 ≤ 𝑉𝑥c sedangkan 𝑥 𝑉𝑥
berarti 𝑥 ø 𝑉𝑥c.
Merupakan kontradiksi jadi pengandaian salah
Jadi 𝐴 = {𝑥 ∈ X|𝑠e𝑡i𝑎𝑝 𝑝e𝑟𝑠e𝑘i𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑥𝑏e𝑟i𝑟i𝑠𝑎𝑛 𝑑e𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐴}.
Teorema 2.2.4.3
Bila 𝐴 himpunan bagian dari ruang topologi X, maka penutup dari 𝐴 adalah
gabungan dari 𝐴 dengan 𝐴’, yaitu 𝐴̅ = 𝐴 𝖴 𝐴’ dimana 𝐴’ = himpunan
semua titik limit dari 𝐴 ≤ X.
Bukti :
Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝐴̅ (menurut Teorema 2.2.4.2 diatas) setiap
persekitaran 𝑥 beririsan dengan 𝐴 maka 𝑥 ∈ 𝐴 atau jika 𝑥 ø 𝐴, maka 𝑥 titik
limit 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐴’).
Jadi 𝑥 ∈ 𝐴 𝖴 𝐴’ maka 𝐴̅ ≤ 𝐴 𝖴 𝐴’.
Jika 𝑥 ∈ 𝐴 𝖴 𝐴’ maka setiap persekitaran x beririsan dengan 𝐴 sehingga
𝐴 𝖴 𝐴’ ≤ 𝐴̅ jadi 𝐴̅ = 𝐴 𝖴 𝐴’.
Teorema 2.2.4.4
Misal X ruang topologi, 𝐴 ≤ X tertutup jika hanya jika 𝐴 memuat semua
titik limit 𝐴 dengan kata lain 𝐴 tertutup jika hanya jika 𝐴’ ≤ 𝐴.
Bukti :
Dari teorema 2.2.4.1 point (iii) dan teorema 2.2.4.3 diatas diperoleh :
Untuk 𝐴 tertutup jika hanya jika 𝐴 = 𝐴̅ = 𝐴 𝖴 𝐴’
𝐴= 𝐴 𝖴 𝐴’ jika hanya jika 𝐴’ ≤ 𝐴.
Contoh 2.2.4.3
Diberikan himpunan semua bilangan rasional 𝑄. Di dalam topologi biasa
untuk ), setiap bilangan real 𝑎 ∈ ) adalah titik limit dari 𝑄 sebab 𝑎 ∈ ), ð >
0,
𝑁ð (𝑎) ∩ 𝑄 − 𝑎 G Ø berarti 𝑄’ = ), 𝑄̅ = 𝑄 𝖴 𝑄’ = 𝑄 𝖴 ) maka 𝑄̅ = 𝑄 𝖴 )
= ). Jadi penutup dari Q adalah himpunan semua bilangan real ), yaitu 𝑄̅ =
).
Definisi 2.2.4.5
Himpunan bagian 𝐴 dari ruang topologi X disebut padat (dense) dalam 𝐵 ≤
X, bila 𝐵 termasuk dalam penutup 𝐴, yaitu 𝐵 ≤ 𝐴̅. Khususnya, 𝐴 adalah
padat dalam X atau himpunan bagian padat dari X bila dan hanya bila 𝐴̅ = X.
Contoh 2.2.4.4
Diberikan himpunan X = {a, b, c, d, e} dengan kelas v = {X, Ø, {a}, {c, d},
{a, c, d}, {b, c, d, e}} himpunan bagian-himpunan bagian tertutup dari X
adalah {Ø, X, {b, c, d, e}, {a, b, e}, {b, e}, {a}}. Dapat diketahui bahwa
{ā¯,¯c̄} = X dan {b̄¯¯,¯d̄} = {b, c, d, e}. Jadi himpunan {a, c} adalah himpunan
bagian padat dari X, tetapi himpunan {b, d} bukan himpunan bagian padat
dari X.
Teorema 2.2.4.5
Diberikan ruang topologi X dan 𝐴, 𝐵 ≤ X, maka memenuhi :
(i) Ø̄ = Ø
(ii) 𝐴 ≤ 𝐴
(iii) Ā¯¯Ū¯B̄¯ = A¯ U B̄
(iv) (𝐴)
−
=𝐴
Bukti :
Untuk point (iii) dimana
A¯ = A UA’
Ā¯¯Ū¯¯B̄ = A¯ U B̄ , Ā¯¯Ū¯¯B̄ = (A UB)
(A𝖴B)’ = A’ 𝖴 B’
⇒ 𝑥 (𝐴 𝖴 𝐵)’ maka 𝑥 adalah titik limit 𝐴 𝖴 𝐵
⇒ ∀0𝑥, 0𝑥 ∩ (𝐴 𝖴 𝐵) – {𝑥} G Ø
⇒ ∀0𝑥, (0𝑥 ∩ 𝐴) 𝖴 (0𝑥 ∩ 𝐵) − {𝑥} G Ø
⇒ ∀0𝑥, (0𝑥 ∩ 𝐴 − {𝑥}) 𝖴 (0𝑥 ∩ 𝐴 − {𝑥} G Ø
⇒ 0𝑥 ∩ 𝐴 – {𝑥] G Ø dan 0𝑥 ∩ 𝐵 – {𝑥] G Ø
⇒ 𝑥 𝐴’ 𝖴 𝑥 𝐵’
⇒ 𝑥 𝐴’ 𝖴 𝐵’
Jadi (𝐴 𝖴 𝐵)’ ≤ 𝐴’ 𝖴 𝐵’
𝑥 𝐴’ 𝖴 𝐵’ maka 𝑥 𝐴’ atau 𝑥 𝐵’
⇒ ∀0𝑥, 0𝑥 ∩ 𝐴 – {𝑥} G Ø atau ∀0𝑥, 0𝑥 ∩ 𝐵 – {𝑥} G Ø
⇒ ∀0𝑥, (0𝑥 ∩ 𝐴 – {𝑥}) 𝖴 (0𝑥 ∩ 𝐵 – {𝑥}) G Ø
⇒ ∀0𝑥, 0𝑥 ∩ (𝐴 𝖴 𝐵) – {𝑥} G Ø, 𝑥 (𝐴 𝖴 𝐵)’
Jadi 𝐴’ 𝖴 𝐵’ ≤ (𝐴 𝖴 𝐵)’
Jadi (𝐴 𝖴 𝐵)’ = 𝐴’ 𝖴 𝐵’
Jadi Ā¯¯Ū¯¯B̄
= (A U B) U (A U B)’
= (A U B) U (A’ U B’)
= (A U A’) U (B U B’)
= A¯ U B̄.
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Himpunan bagian A dari R, yaitu himpunan bilangan real, merupakan
himpunan tertutup jika komplemennya Ac adalah sebuah himpunan terbuka.
Pada intinya, Himpunan terbuka adalah semua anggota-anggota 𝑟. Jika
komplemen suatu himpunan adalah himpunan terbuka, maka himpunan
tersebut merupakan himpunan tertutup.
B. Saran
Demikianlah makalah yang dapat kami buat, sebagai manusia biasa
kita menyadari dalam pembuatan makalah ini masih terdapat banyak kesalahan
dan kekurangan. Untuk itu kritik dan saran yang bersifat konstruktif sangat
kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini dan berikutnya. Semoga
makalah ini bermanfaat bagi kita semua. Aamiin.
DAFTAR PUSTAKA
Munir, Rinaldi. 2010. Matematika Diskrit. Bandung: INFORMATIKA Bandung.
Harahap, Erwin. 2008. Generalisasi Permutasi & Kombinasi.
Arifuddin, Nurul Afifah, dkk. 2017. Permutasi & Kombinasi. UNIVERSITAS
HASANUDDIN.
