KALKULUS PEUBAH BANYAK TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN Disusun Oleh : Kelompok 6 Clarisa Lestary Noviandini 1172050021 Diba Lailia Adha 1172050028 Egi Muhamad Nur Faidzi 1172050031 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2018 TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN Turunan-turunan parsial ( ) ( ) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar dengan sumbu Tujuan yang hendak dicapai adalah mempelajari laju perubahan f pada sebarang arah. Hal ini mengarah pada konsep turunan berarah uang pada gilirannya berhubungan dengan gradien. Tampaknya akan lebih mudah jika kita menggunakan notasi vector. Misalkan ( ), dan misalkan i dan j adalah vector-vektor satuan pada arah sumbu x dan y positif. Maka kedua turunan parsial di p dapat ditulis : 𝜕𝑓 (𝐩) 𝜕𝑥 𝑓(𝐩 − ℎ𝐢) − 𝑓(𝐩) ℎ→0 ℎ 𝜕𝑓 (𝐩) 𝜕𝑦 𝑓(𝐩 − ℎ𝐢) − 𝑓(𝐩) ℎ→0 ℎ li li Untuk mencapai konsep yang kita maksud diatas, yang harus dilakukan adalah menggantikan posisi i atau j dengan sebarang vector satuan u. Definisi Untuk sebarang vector satuan u, misalkan 𝜕𝑓 (𝐩) 𝜕𝑢 𝑓(𝐩 − ℎ𝐢) − 𝑓(𝐩) ℎ→0 ℎ li Limit ini, jika ada, disebut turunan berarah (directional derivative) dari f di p pada arah u. HUBUNGAN TURUNAN DENGAN GRADIEN ( ) dapat dintakan sebagai : Bahwa ( ) ( ) ( ) Teorema A Misalkan f dapat didiferensialkan di p. Maka mempunyai turunan berarah di p pada arah vector satuan u=u1i + u2j dan 𝜕𝑓 𝜕𝑢 (p) = u• f(p) Yakni, 𝜕𝑓 (x,y) = u1fx(x,y)+u2fy(x,y) 𝜕𝑢 CONTOH 1 Jika ( ) − ,tentukan turunan berarah dari f di(2,-1) pada arah vector a = 4i + 3j Penyelesaian : (p) = u• f(p) → u = | |i +| | j = √( ) =( ) ( ) ( ) ( ) → =( ( ) i+ √( ) ( ) ( ) − ) i + (− )j ( − ) = 17i + 8j → (2,-1) = [( ) = ( ( ) [ 17i + 8j] ) (− ) CONTOH 2 Tentukan turunan berarah dari fungsi ( ) i i ii ( ⁄ ) j Penyelesaian Vektor satuan u pada arah a adalah Demikian pula → (x,y,z) = y sin z; (1,2, ⁄ ) = 2 → (x,y,z) = x sin z; (1,2, ⁄ ) = 1 → (x,y,z) = xy cos z; (1,2, ⁄ ) = 0 Kita dapat menyimpulkan bahwa : ( ) ( ) ( ) ( ) LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM f (p) = u Dimana f (p) = |u|| f (p)|cos = | f (p)|cos adalah sudut antara u dan f (p). Sehingga dimaksimumkan 0 dan diminimumkan ketika f (p) dapat = . Kita dapat meringkasnya sebagai berikut: Teorema B Sebuah fungsi meningkat paling cepat di p pada arah gradiennya (dengan laju | f (p)| dan menurunpaling cepat pada arah yang berlawanan (dengan laju-| f (p)|). CONTOH 3 hiperbolik z = Andaikan seekor serangga berada pada paraboloid - di titik (1,1,0). Ke arah manakah seharusnya serangga tersebut bergerak untuk melewati lintasan yang paling curam dan bagaimanakah kemiringannya ketika serangga tersebut mulai keluar ? Penyelesaian misalkan f (x,y) = - . Karena (x,y) = -2x dan (x,y) = 2y. f (1,1) = (1,1)i + (1,1)j = -2i + 2j Jadi, serangga tersebut seharusnya bergerak dari (1,1,0) pada arah -2i + 2j. dimana kemiringannya menjadi |-2i + 2j| = . KURVA KETINGGIAN DAN GRADIEN Pada kurva ketinggian, nilai f konstan. Jadi, jika kita bergerak dalam arah vektor singgung u pada kurva tersebut, maka laju perubahan ketinggiannya akan sama dengan nol : 𝐷𝑢 f (p) = u f (p) = 0 Maka kita dapat menyimpulkan bahwa f dan u saling tegak lurus, suatu hasil yang layak dari status teorema. Teorema C Gradien f di titik p tegak lurus terhadap kurva ketinggian f yang melalui p. CONTOH 4 Misal f (x,y) = (1,2) dalam arah vektor u = f (p) = + . Maka turunan berarah dari f di (-2,1) sama dengan nol : (− ) (2,4) = 0. Ini terjadi karena vektor u merupakan vektor singgung pada kurva ketinggian f di (1,2). LATIHAN SOAL 1. Tentukan turunan berarah dari f (x,y) = sin y dengan p(0, ⁄ ) dan a = i + j 2. Tentukan turunan berarah dari f (x,y) = ln x, p = (3,-2); a = i – j DAFTAR PUSTAKA Leithold, S.M. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Edisi Kelima Jilid 3. Jakarta : Erlangga Purcell.dkk(2003). Kalkulus Jilid Dua Edisi Kedelapan. Jakarta : Erlangga
