Modul Optimisasi 2021 ITDA

MODUL PRAKTIKUM
OPTIMISASI
SEMESTER GENAP / 1 SKS / TI2311P
Oleh :
Tim Penyusun Modul Praktikum
PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI
DEPARTEMEN TEKNIK INDUSTRI
INSTITUT TEKNOLOGI DIRGANTARA ADISUTJIPTO
YOGYAKARTA
2021
KATA PENGANTAR
Selamat datang para praktikan di Praktikum Optimisasi. Mata kuliah Praktikum
Optimisasi merupakan jenis Mata kuliah Keahlian Berkarya (MKB) di program Studi
Teknik Industri Institut Teknologi Dirgantara Adisutjipto Yogyakarta (ITDA). Para
praktikan akan melaksanakan praktikum ini selama 10 pertemuan (termasuk responsi).
Tujuan utama praktikum ini adalah untuk memberikan penerapan teori kedalam
bentuk praktek dalam menyelesaikan kasus-kasus optimisasi industri yang mendekati
kenyataan. Harapannya semoga modul praktikum ini dapat menambah bahan belajar
bagi mahasiswa teknik industri.
Terima kasih kepada seluruh pihak/civitas akademika Program Studi Teknik
Industri ITDA yang telah membantu penyusunan modul praktikum ini, dan kami
mengharapkan kepada semua pihak untuk dapat memberikan masukan dan saran demi
penyempurnaan modul praktikum ini.
Tim Penyusun Modul Praktikum Optimisasi
Selamat Melaksanakan Praktikum Optimisasi
ii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ..................................................................................................... ii
DAFTAR ISI ................................................................................................................... iii
DAFTAR GAMBAR .................................................................................................... viii
DAFTAR TABEL ........................................................................................................... xi
CAPAIAN PEMBELAJARAN LULUSAN ................................................................ xii
MODUL 1 LINEAR DAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING ............................. 13
1. Deskripsi................................................................................................................. 13
2. Tujuan..................................................................................................................... 13
3. Alat dan Bahan ....................................................................................................... 13
4. Prosedur Pelaksanaan Praktikum ........................................................................... 13
5. Output ..................................................................................................................... 21
6. Landasan Teori ....................................................................................................... 21
6.1. Linear Programming ...................................................................................... 21
6.2 Beberapa Metode Penyelesaian Linear Programming................................... 26
6.3. Integer Linear Programming ......................................................................... 27
7. Referensi................................................................................................................. 31
8. Tugas ...................................................................................................................... 31
MODUL 2 LINEAR GOAL PROGRAMMING ............................................................ 33
1. Deskripsi................................................................................................................. 33
2. Tujuan..................................................................................................................... 33
3. Alat dan Bahan ....................................................................................................... 33
4. Prosedur Pelaksanaan Praktikum ........................................................................... 33
5. Output ..................................................................................................................... 40
6. Landasan Teori ....................................................................................................... 40
iii
6.1 LGP: Konsep-Konsep Dasar Dan Unsurnya ................................................... 40
6.2 Unsur-Unsur LGP ........................................................................................... 41
6.3 Fungsi Tujuan .................................................................................................. 41
6.4 Kendala Tujuan ............................................................................................... 42
6.5 Perumusan Masalah LGP ................................................................................ 44
7. Referensi................................................................................................................. 45
8. Tugas ...................................................................................................................... 45
MODUL 3 TRANSPORTASI ....................................................................................... 47
1. Deskripsi................................................................................................................. 47
2. Tujuan..................................................................................................................... 47
3. Alat dan Bahan ....................................................................................................... 48
4. Prosedur Pelaksanaan Praktikum ........................................................................... 48
5. Output ..................................................................................................................... 51
6. Landasan Teori ....................................................................................................... 52
6.1. Supply Chain Management ............................................................................ 52
6.2. Transportasi Jaringan Distribusi Produk ........................................................ 53
7. Referensi................................................................................................................. 55
8. Tugas ...................................................................................................................... 56
MODUL 4 PENUGASAN ............................................................................................. 57
1. Deskripsi................................................................................................................. 57
2. Tujuan..................................................................................................................... 57
3. Alat dan Bahan ....................................................................................................... 57
4. Prosedur Pelaksanaan Praktikum ........................................................................... 57
5. Output ..................................................................................................................... 62
6. Landasan Teori ....................................................................................................... 62
7. Referensi................................................................................................................. 65
8. Tugas ...................................................................................................................... 65
iv
MODUL 5 PATH PROBLEM ...................................................................................... 67
1. Deskripsi................................................................................................................. 67
2. Tujuan..................................................................................................................... 67
3. Alat dan Bahan ....................................................................................................... 67
4. Prosedur Pelaksanaan Praktikum ........................................................................... 67
5. Output ..................................................................................................................... 71
6. Landasan Teori ....................................................................................................... 71
6.1 Konsep Dasar Graph ....................................................................................... 71
6.2 Path Minimum ................................................................................................. 72
6.3 Shortest Path .................................................................................................... 73
7. Referensi................................................................................................................. 73
8. Tugas ...................................................................................................................... 74
MODUL 6 MAXIMAL FLOW PROBLEM ............................................................... 75
1. Deskripsi................................................................................................................. 75
2. Tujuan..................................................................................................................... 75
3. Alat dan Bahan ....................................................................................................... 75
4. Prosedur Pelaksanaan Praktikum ........................................................................... 75
5. Output ..................................................................................................................... 78
6. Landasan Teori ....................................................................................................... 79
6.1 Terminologi dalam Graf .................................................................................. 79
6.2 Terminologi Masalah Aliran Maksimum ........................................................ 79
7. Referensi................................................................................................................. 79
8. Tugas ...................................................................................................................... 80
MODUL 7 PROGRAM DINAMIS .............................................................................. 81
1. Deskripsi................................................................................................................. 81
2. Tujuan..................................................................................................................... 81
3. Alat dan Bahan ....................................................................................................... 81
v
4. Prosedur Pelaksanaan Praktikum ........................................................................... 81
4.1 Metode Stagecoach ......................................................................................... 81
4.2 ..........................................................................................................Metode Knapsack
5. Output ..................................................................................................................... 89
6. Landasan Teori ....................................................................................................... 89
6.1 Karakteristik Program Dinamis ....................................................................... 89
6.2 Deskripsi Matematik Program Dinamis .......................................................... 90
6.3 Program Dinamis Deterministik...................................................................... 91
6.4 Program Dinamis Probabilistik ....................................................................... 91
7. Referensi................................................................................................................. 92
8. Tugas ...................................................................................................................... 93
8.1 Metode Stagecoach ......................................................................................... 93
8.2 Metode Knapsack ............................................................................................ 93
MODUL 8 RANTAI MARKOV................................................................................... 95
1. Deskripsi................................................................................................................. 95
2. Tujuan..................................................................................................................... 95
3. Alat dan Bahan ....................................................................................................... 95
4. Prosedur Pelaksanaan Praktikum ........................................................................... 95
5. Output ................................................................................................................... 100
6. Landasan Teori ..................................................................................................... 100
6.1 Pengenalan Markov Chain ............................................................................ 100
6.2 Konsep Dasar Markov Chain ........................................................................ 101
6.3 Teorema-Teorema ......................................................................................... 103
7. Referensi............................................................................................................... 104
8. Tugas .................................................................................................................... 105
MODUL 9 ANTRIAN ................................................................................................. 106
1. Deskripsi............................................................................................................... 106
vi
86
2. Tujuan................................................................................................................... 106
3. Alat dan Bahan ..................................................................................................... 106
4. Prosedur Pelaksanaan Praktikum ......................................................................... 106
5. Output ................................................................................................................... 112
6. Landasan Teori ..................................................................................................... 112
6.1 Pengenalan teori antrian ............................................................................... 112
6.2 Struktur Dasar Model Antrian ....................................................................... 112
6.3 Klasifikasi Struktur Model Antrian ............................................................... 113
6.4 Sistem Antrian Dasar Pendatang Tetap dan Waktu Pelayanan ..................... 114
7. Referensi............................................................................................................... 114
8. Tugas .................................................................................................................... 115
vii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1. Tampilan awal modul LP/ILP ......................................................................... 14
Gambar 2. Pengisiaan informasi dan aturan untuk LP/ILP............................................... 14
Gambar 3. Tampilan untuk menginput tujuan dan data batasan ....................................... 15
Gambar 4. Tampilan untuk mengubah nama variabel dan nama batasan ......................... 15
Gambar 5. Tampilan untuk menginput tujuan dan data batasan ....................................... 16
Gambar 6. Tampilan pesan dari WinQSB ........................................................................ 16
Gambar 7. Tampilan solusi dari WinQSB ........................................................................ 17
Gambar 8. Tampilan untuk menentukan variabel ............................................................. 17
Gambar 9. Tampilan Grafik .............................................................................................. 18
Gambar 10. Tampilan untuk mengubah ukuran dan warna grafik.................................... 18
Gambar 11. Tampilan Grafik setelah perubahan .............................................................. 19
Gambar 12. Tampilan untuk menginput tujuan dan data batasan ..................................... 19
Gambar 13. Tampilan untuk menginput tujuan dan data batasan pada ILP ..................... 20
Gambar 14. Tampilan solusi dengan ILP.......................................................................... 20
Gambar 15. Tampilan Grafik ............................................................................................ 21
Gambar 16. Data untuk model Linear Programing ........................................................... 23
Gambar 17 Tampilan awal Linear and Integer Programing.............................................. 34
Gambar 18. Tampilan pengisiaan informasi dan peraturan GP/IGP ................................. 34
Gambar 19. Pengisiaan informasi dan peraturan GP/IGP ................................................. 35
Gambar 20. Tampilan pengisiaan data untuk masalah GP/IGP ........................................ 35
Gambar 21. Pengisiaan data untuk masalah GP/IGP telah selesai.................................... 36
Gambar 22. Tampilan setelah ditemukan solusi ............................................................... 37
Gambar 23. Tampilan gabungan setelah ditemukan solusi ............................................... 37
Gambar 24. Hasil olahan model Linear Goal Programing ................................................ 38
Gambar 25. Ringkasan batasan model Linear Goal Programing ...................................... 38
Gambar 26. Menentukan variabel untuk grafik ................................................................ 39
Gambar 27. Tampilan solusi akhir dalam bentuk grafik ................................................... 39
Gambar 28. Mengubah warna tampilan grafik ................................................................. 40
Gambar 29. Tampilan solusi grafik setelah perubahan ..................................................... 40
Gambar 30. Tampilan awal modul Networking................................................................ 48
Gambar 31. Tampilan mengatur konfigurasi model network modeling ........................... 49
Gambar 32. Tampilan untuk meng-input model network ................................................. 49
Gambar 33. Nama lokasi sebelum diubah (kiri) dan sesudah diubah (kanan) .................. 50
Gambar 34. Data masalah transportasi setelah di-input .................................................... 50
Gambar 35. Tampilan solusi ............................................................................................. 51
Gambar 36. Solusi transportasi dalam bentuk grafik ........................................................ 51
Gambar 37. Supply chain yang sederhana ........................................................................ 52
Gambar 38. Supply chain yang Komplek (Jaringan logistik) ........................................... 53
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page viii
Gambar 39. Bentuk persoalan transportasi ....................................................................... 54
Gambar 40. Tampilan awal model Networking ................................................................ 58
Gambar 41. Tampilan untuk mengatur masalah penugasan ............................................. 58
Gambar 42. Tampilan untuk meng-input masalah penugasan .......................................... 59
Gambar 43. Tampilan untuk mengubah nama variabel .................................................... 59
Gambar 44. Tampilan untuk mengubah nama variabel .................................................... 60
Gambar 45. Tampilan masalah penugasan ....................................................................... 60
Gambar 46. Menu Results modul penugasan.................................................................... 61
Gambar 47. Tampilan solusi akhir masalah penugasan dalam bentuk grafik ................... 61
Gambar 48. Tampilan awal modul Networking................................................................ 67
Gambar 49. Tampilan pemilihan problem networking ..................................................... 68
Gambar 50. Tampilan modul Networking Jalur Terpendek ............................................. 68
Gambar 51. Tampilan modul Jalur Terpendek setelah nama lokasi diubah ..................... 69
Gambar 52. Data yang sudah di-input pada jalur terpendek ............................................. 69
Gambar 53. Mencari solusi jalur terpendek ...................................................................... 70
Gambar 54. Tampilan solusi jalur tependek ..................................................................... 70
Gambar 55. Tampilan solusi jalur terpendek dalam bentuk grafik ................................... 71
Gambar 56. Graph 5 Verteks dan 6 Edge ......................................................................... 72
Gambar 57. Digraph G...................................................................................................... 72
Gambar 58. Shortest path (garis tebal).............................................................................. 73
Gambar 59. Tampilan solusi akhir masalah penugasan dalam bentuk grafik ................... 74
Gambar 60. Tampilan awal modul Networking................................................................ 75
Gambar 61. Menentukan model arus terbanyak ............................................................... 76
Gambar 62. Tampilan untuk input model arus terbanyak ................................................. 76
Gambar 63. Data model arus terbanyak yang sudah selesai di-input................................ 77
Gambar 64. Pemilihan lokasi asal dan lokasi tujuan masalah arus terbanyak .................. 77
Gambar 65. Hasil akhir masalah arus terbanyak............................................................... 78
Gambar 66. Hasil akhir masalah arus terbanyak dalam bentuk grafik.............................. 78
Gambar 67. Grafik arus kendaraan dari dan ke suatu lokasi............................................. 80
Gambar 68. Tampilan awal modul Dynamic Programming (DP) .................................... 82
Gambar 69. Tampilan pengaturan konfigurasi model DP ................................................ 82
Gambar 70. Tampilan input data jarak pada stagecoach................................................... 83
Gambar 71. Tampilan untuk mengubah nama lokasi........................................................ 83
Gambar 72. Tampilan setelah data jarak di-input ............................................................. 84
Gambar 73. Tampilan memilih lokasi awal dan tujuan .................................................... 85
Gambar 74. Hasil analisis metode stagecoach.................................................................. 85
Gambar 75. Hasil rincian analisis metode stagecoach ...................................................... 86
Gambar 76.Tampilan awal modul Dynamic Programming .............................................. 86
Gambar 77. Pendefinisian masalah knapsack ................................................................... 87
Gambar 78. Tampilan untuk meng-input masalah knapsack ............................................ 87
Gambar 79. Tampilan setelah input masalah knapsack .................................................... 88
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page ix
Gambar 80. Tampilan solusi masalah knapsack ............................................................... 88
Gambar 81. Fungsi transformasi program dinamis ........................................................... 90
Gambar 82. Program dinamis sebagai persoalan deterministik ........................................ 91
Gambar 83. Program dinamis probabilistik ...................................................................... 92
Gambar 84. Diagram jalur pendek .................................................................................... 93
Gambar 85. Tampilan awal modul Markov Process ......................................................... 95
Gambar 86. Tampilan untuk menentukan Markov Process .............................................. 96
Gambar 87. Input data untuk process Markov .................................................................. 96
Gambar 88. Mengubah nama state.................................................................................... 97
Gambar 89. Hasil analisis Process Markov ...................................................................... 97
Gambar 90. Rincian analisis Proses Markov terhap tiap-tiap merek ................................ 98
Gambar 91. Persiapan menampilkan analisis time parametric ......................................... 99
Gambar 92. Hasil analisis time parametric ....................................................................... 99
Gambar 93. Grafik hasil analisis time parametric .......................................................... 100
Gambar 94. Klasifikasi Proses Stokastik ........................................................................ 101
Gambar 95. Tampilan awal model antrian WinQSB ...................................................... 106
Gambar 96. Isian untuk membuat model antrian ............................................................ 107
Gambar 97. Input Data pada modul antrian .................................................................... 107
Gambar 98. Hasil analisis masalah antrian 1 .................................................................. 108
Gambar 99. Hasil analisis antrian 2 ................................................................................ 110
Gambar 100. Hasil analisis antrian 3 .............................................................................. 111
Gambar 101. Analisis sensitivitas model antrian dalam bentuk tabel............................. 111
Gambar 102. Analisis sensitivitas model antrian dalam bentuk grafik ........................... 112
Gambar 103. Struktur dasar antrian ................................................................................ 113
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page x
DAFTAR TABEL
Tabel 1. Ringkasan masalah yang akan dipecahkan ......................................................... 32
Tabel 2. Linear Programming ........................................................................................... 32
Tabel 3. Beberapa variabel dan batasan yang perlu diganti .............................................. 36
Tabel 4. Jenis-jenis Kendala Tujuan ................................................................................. 43
Tabel 5. Persoalan Metode Linear Goal Programing....................................................... 46
Tabel 6. Contoh masalah transportasi ............................................................................... 56
Tabel 7. Opportunity cost ................................................................................................. 63
Tabel 8. Penentuan Penugasan Optimal ............................................................................ 63
Tabel 9. Perbaikan Total Biaya ......................................................................................... 64
Tabel 10. Matrik Keuntungan ........................................................................................... 64
Tabel 11. Matrik Opportunity Loss................................................................................... 65
Tabel 12. Ringkasan masalah penugasan.......................................................................... 65
Tabel 13. Jarak antarlokasi ............................................................................................... 74
Tabel 14. Data barang yang tersedia untuk dikirim .......................................................... 93
Tabel 15. Studi Kasus Rantai Markov ............................................................................ 105
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page xi
CAPAIAN PEMBELAJARAN LULUSAN
1. Mampu
mengidentifikasi,
memformulasikan
dan
menganalisis masalah rekayasa kompleks pada sistem
terintegrasi
berdasarkan
pendekatan
analitik,
komputasional atau eksperimental pada masalah sistem
manufaktur dan industri jasa penerbangan. (CPL 3).
2. Mampu meneliti dan menyelidiki masalah rekayasa
Kompleks pada sistem terintegrasi dalam industri dan
kedirgantaraan
menggunakan
dasar
Prinsip-prinsip
rekayasa dengan melaksanakan riset, analisis, interpretasi
data dan sintesa informasi untuk memberikan solusi. (CPL
7).
3. Mampu melakukan kerjasama dalam sebuah kelompok
kerja. (CPL 14).
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page xii
MODUL 1 LINEAR DAN INTEGER LINEAR
PROGRAMMING
1. Deskripsi
Linear Programming merupakan teknik matematik untuk mendapatkan
alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber organisasi. Kata sifat linear
digunakan untuk menggambarkan hubungan antara dua atau lebih variabel,
hubungan yang langsung dan proses proporsional. Dalam metode LP tidak boleh
ditemukan hasil akhir dalam bentuk pecahan, karenanya diperlukan model Integer
Linear Programming.
2. Tujuan
a. Praktikan dapat memahami dan mengerti cara-cara pengumpulan data dan
mengetahui
data-data
yang
diperlukan
model
linear
dan
integer programming yang berasal dari kehidupan nyata serta
memformulasikan data yang diperoleh tersebut.
b. Mengetahui dan memahami solusi yang dihasilkan dari model linear dan
integer programming mengenai masalah pengalokasian sumber-sumber
yang terbatas untuk mencapai tujuan optimal.
3. Alat dan Bahan
PC dan Software pengolah data (Win QSB)
4. Prosedur Pelaksanaan Praktikum
Untuk penyelesaian masalah LP ke dalam program WinQSB, langkahlangkahnya adalah sebagai berikut :
1. Jalankan modul linear and integer programing dengan mengeklik Start,
Program, WinQSB, lalu pilih pilih Linear and Integer Programing. Dilayar
akan ditampilkan seperti Gambar 1.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 13
Gambar 1. Tampilan awal modul LP/ILP
2.
Buatlah definisi masalah baru, dengan memilih menu File, New Problem,
sehingga dilayar akan ditampilkan seperti Gambar 2. Dan isikan berbagai
aturan yang diperlukan sesuai spesifikasi data yang diambil, mulai dari judul
masalah dan aturan-aturanya seperti berikut ini.
Gambar 2. Pengisiaan informasi dan aturan untuk LP/ILP
3.
Klik Ok, sehingga layar akan muncul tampilan seperti pada Gambar 3.
Perhatikan pada sel yang sudah terisi data, misalnya tanda <=, angka 0, dan
ada huruf M (klik ganda pada sel untuk mengubah). Untuk saat ini biarkan
seperti itu.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 14
Gambar 3. Tampilan untuk menginput tujuan dan data batasan
4.
Ubahlah nama variabel X1 dan X2 masing-masing menjadi kursi dan meja,
dengan menu Edit, variable Names. Dilayar dilayar akan ditampilkan seperti
Gambar 4., lalu kliklah Ok. Ubahlah nama batasan C1 dan C2 masing-masing
menjadi kayu dan jam kerja-orang, dengan menu Edit, Constraint Names.
Dilayar dilayar akan ditampilkan seperti Gambar 4, lalu klik Ok.
Gambar 4. Tampilan untuk mengubah nama variabel dan nama batasan
5.
Isikan data sesuai studi kasus, sehingga dilayar akan ditampilkan seperti
Gambar 5.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 15
Gambar 5. Tampilan untuk menginput tujuan dan data batasan
6.
Simpanlah model yang sudah anda input dengan nama (misal LP-01.LPP).
7.
Untuk selnjutnya pemecahan masalah dengan mengeklik menu Solve and
Analyze lalu pilih Solve The Problem. Dalam sesaat WinQSB akan
memberitahu bahawa solusi sudah ditemukan dengan pesan berikut ini.
Gambar 6. Tampilan pesan dari WinQSB
8.
Kliklah Ok dan winQSB akan menampilkan solusi masalah anda seperti
tampak pada Gambar 7.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 16
Gambar 7. Tampilan solusi dari WinQSB
9.
Jika ingin menampilkan solusi dalam bentuk grafik, kliklah menu Solve and
Anlyze lalu pilih Graphic Method. Dilayar akan ditampilkan seperti Gambar
8., untuk menentukan variabel yang akan digambarkan dalam garis horizontal
(X) dan vertikal (Y). Klik Ok maka dilayar akan ditampilkan seperti Gambar
9.
Gambar 8. Tampilan untuk menentukan variabel
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 17
Gambar 9. Tampilan Grafik
Anda dapat mengubah warna garfik, dengan mengeklik menu Options,
Change XY Ranges and Colors sehingga tampak seperti Gambar 10.
Gambar 10. Tampilan untuk mengubah ukuran dan warna grafik
Bila sudah selesai melakukan perubahan maka kliklah Ok dan hasil warna
yang baru akan tampak seperti Gambar 11.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 18
Gambar 11. Tampilan Grafik setelah perubahan
Pada pembahasan sebelumnya, sudah dicontohkan pemecahan masalah
dengan Linear Programing (LP). Namun metode LP dalam contoh ini tidak tepat
karena dalam membuat kursi dan meja tidak boleh ditemukan hasil akhir dalam
pecahan. Inilah sebabnya diperlukan model Integer Linear Programming. Cara
penyelesaian model ini mirip dengan cara menjalankan model LP, namun dengan
sedikit penyesuaiaan.
1.
Muatlah masalah (bila dilayar belum tampak model anda), dengan menu file,
load problem (misal nama filenya LP-01.LPP).
Gambar 12. Tampilan untuk menginput tujuan dan data batasan
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 19
2.
Kliklah 2 kali jenis variabel Continuos menjadi integer. Hasilnya akan
tampak seperti Gambar 13.
Gambar 13. Tampilan untuk menginput tujuan dan data batasan pada ILP
3.
Jalankan menu Solve and Analyze, Solve The Problem, klik Ok, dan dilayar
akan ditampilkan seperti Gambar 14.
Gambar 14. Tampilan solusi dengan ILP
4.
Apabila anda ingin menampilkan solusi dalam bentuk grafik, ikutilah langkah
seperti pembahasan sebelumnya maka hasilnya akan tampak seperti Gambar
15.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 20
Gambar 15. Tampilan Grafik
5. Output
Solusi masalah dengan Linear Programing (LP) dan Integer Linear
Programming.
6. Landasan Teori
6.1. Linear Programming
Semua organisasi harus membuat keputusan bagaimana mengalokasikan
sumber-sumbernya, dan tidak ada organisasi yang beroperasi secara permanen
dengan sumber yang tidak terbatas, akibatnya manajemen harus secara terus
menerus mengalokasikan sumber yang langka untuk mencapai tujuan organisasi,
bagaimanapun caranya. Tiap organisasi mencoba untuk mencapai tujuan tertentu
(tabungan, anggaran, advertensi, nasabah, tersedianya bahan-bahan).
Linear Programming merupakan teknik matematik untuk mendapatkan
alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber organisasi. Kata sifat linear
digunakan untuk menggambarkan hubungan antara dua atau lebih variabel,
hubungan yang langsung dan proses proporsional. Misalnya dalam hubungan
linear antara jam kerja dengan output : perubahan jumlah jam produksi sebesar
10% dalam beberapa operasi akan mengakibatkan 10% perubahan output.
Sedangkan kata program merupakan penggunaan teknik matematika tertentu
untuk mendapatkan kemungkinan pemecahan terbaik atas persoalan yang
melibatkan sumber yang serba terbatas.
Ada beberapa syarat-syarat utama pada persoalan Linear Programming
dalam suatu industri, yaitu :
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 21
a. Mempunyai tujuan untuk dicapai
Tujuan utama suatu industri misal kita asumsikan memaksimumkan
keuntungan, sedangkan kita tahu keuntungan tidak berhubungan secara linear
dengan volume penjualan, tetapi dari konsep akutansi yang disebut total
kontribusi didapat:
Total Kontribusi = (Harga Jual /unit - Biaya Variabel /unit) x (Volume Penjualan)
Bila anda menemui istilah “laba” dalam linear programming maka yang
sebenarnya dimaksud adalah “kontribusi” ini.
b. Harus ada alternatif tindakan yang salah satu darinya akan mencapai
tujuan.
Sebagai contoh industri mebel mengalokasikan kapasitas industrinya untuk
meja dan kursi dalam perbandingan 50 : 50 / 70 : 30 / 25 : 75 / atau dalam angka
perbandingan lain.
c. Sumber harus merupakan persediaan terbatas.
Industri mebel diatas memiliki jumlah jam mesin yang terbatas, akibatnya
semakin banyak waktu digunakan untuk membuat meja, akan semakin sedikit
kursi yang dapat dibuat.
Dalam pembahasan model Linear pragramming digunakan simbol-simbol
sebagai berikut :
m
n
i
j
= macam batasan - batasan sumber atau fasilitas yang tersedia.
= macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas tersebut.
= nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tersedia [i = 1,2,3, ... ,m]
= nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas
yang tersedia [j= 1,2, ... , n ]
Xj
= tingkat kegiatan ke j [j = 1,2, ... , n]
aij
= banyak sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit
keluaran atau output kegiatan [i = 1,2, ... , m dan j = 1,2, ... , n]
bi
= banyak sumber i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan
[i=1,2,... ,m ]
Z
= nilai yang dioptimalkan [maksimum atau minimum]
Cj
= kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan [ Xj ] dengan
satu satuan [unit] atau merupakan sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan
terhadap nilai Z.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 22
Keseluruhan simbol - simbol diatas selanjutnya disusun kedalam bentuk
tabel standart LP seperti contoh pada dibawah ini :
Gambar 16. Data untuk model Linear Programing
Atas dasar tabel tersebut, dapat disusun model matematis yang digunakan
untuk mengemukakan suatu permasalahan LP sebagai berikut :
Fungsi Tujuan :
Maksimum (Minimum) Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + ........ + CnXn
Batasan - batasan :
1). a11X1 + a12X2 + a13X3 + ....... + a1nXn ( £ = ³ ) b1
2). a21X1 + a22X2 + a23X3 + ....... + a2nXn ( £ = ³ ) b2
.
.
m). a m1X1 +am2X3 +am3X3 + ........ + amnXn ( £ = ³ ) bm
dan
X1 ³ X2 ³ .............. Xn ³ 0
Terminologi model LP dapat dinyatakan sebagai berikut :
1. Fungsi yang akan dimaksimumkan :
C1X1 + C2X2 + C3X3 + .............. + CnXn
disebut fungsi tujuan [ objective function ]
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 23
2. Fungsi - fungsi batasan dapat dikelompokkan menjadi dua macam, yaitu:
a. Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi - fungsi batasan sebanyak m yaitu :
a11X1 + a12X2 + a13X3 + ............. + amXn
b. Fungsi batasan non negatif disebut sebagai non negatif constrains yaitu
fungsi fungsi batasan yang dinyatakan dengan Xj ³ 0.
3. Variabel - variabel Xj disebut sebagai decision variables.
4. aij, bi dan Cj, yaitu masukan - masukan konstan disebut sebagai parameter
model.
Masalah - masalah LP yang dapat mengikuti model diatas antara lain :
1. Masalah minimasi yaitu fungsi tujuan yang menggambarkan upaya untuk
mendapatkan biaya seminimal mungkin. Dalam hal ini, fungsi tujuan dinyatakan
sebagai berikut :
Minimumkan Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + ......... + CnXn
2. Masalah dengan fungsi batasan fungsional yang memiliki tanda matematis ³ ,
sehingga apabila dirumuskan terlihat sebagai berikut :
ai1X1 + ai2X2 + ai3X3 + ........... +ainXn ³ bi
3. Masalah dengan fungsi batasan fungsional yang memiliki tanda matematis = ,
sehingga bila dirumuskan sebagai berikut :
ai1X1 + ai2X2 +ai3X3 + ........... + ainXn = bi
4. Masalah tertentu, dimana fungsi batasan non negatif tidak diperllukan atau Xi
tidak terbatas.
Asumsi-asumsi Linear Programming :
1. Proportionality.
Asumsi ini berarti bahwa naik turunya nilai Z dan penggunaan sumber atau
fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proporsional) dengan
perubahan tingkat kegiatan.
2. Additivity.
Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling
mempengaruhi atau dalam LP dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan (Z) yang
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 24
diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambah tanpa mempengaruhi
bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.
3. Disibility.
Asumsi ini menyatakan bahwa keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap
kegiatan dapat berupa bilangan pecahan.
4. Deterministic ( certainty ).
Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model
LP (a, bj, cj) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang dengan tepat.
Beberapa pengertian dalam Linear Programming
1. Solution
Solution adalah jawaban akhir suatu masalah.
2. Feasible Solution
Feasible Solution adalah penyelesaian yang tidak melanggar batasanbatasan yang ada.
3. No Feasible Solution
No Feasible Solution berarti tidak ada daerah yang layak. Artinya apabila
sifat atau letak batasan – batasan sedemikian rupa sehingga tidak memungkinkan
terdapatnya daerah atau alternatif - alternatif yang layak.
4. Optimal Solution
Optimal Solution adalah penyelesaian layak yang mempunyai nilai tujuan
(nilai Z dalam fungsi tujuan ) yang optimal atau terbaik (maksimum atau
minimum ).
5. Multiple Optimal Solution
Multiple Optimal Solution berarti terdapatnya beberapa alternatif optimal
dalam suatu masalah.
6. Boundary Equation
Boundary Equation terjadi apabila suatu batasan dengan tanda “=“.
7. Corner Point Feasible Solution
Corner Point Feasible Solution adalah penyelesaian layak yang terletak
pada sudut ( perpotongan) antara dua garis.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 25
8. Corner Point Infeasible Solution
Corner Point Infeasible Solution adalah titik yang terletak pada perpotongan
dua garis tetapi diluar daerah yang layak.
9. No Optimal Solution
Penyelesaian tidak optimal terjadi apabila suatu masalah tidak mempunyai
jawaban atau penyelesaian optimal. Hal ini di sebabkan oleh faktor - faktor
sebagai berikut :
a. Tidak ada penyelesaian layak.
b. Ada batasan yang tidak membatasi besar nilai Z.
Ketentuan - ketentuan atau sifat Linear Programming
Ketentuan 1:
a. Kalau hanya ada satu penyelesaian optimal, berupa Corner Point Feasible
Solution.
b. Kalau Multiple Solution maka terdapat lebih dari dua titik optimal yang
terletak pada garis yang menghubungkan dua Corner Solution.
Ketentuan 2:
Corner Point Feasible Solution jumlahnya terbatas.
Ketentuan 3:
Kalau Corner Point Feasible Solution lebih baik dari dua Corner Point Feasible
Solution yang terdekat, maka titik itu merupakan titik optimal atau terbaik
diantara semua Corner Point Feasible Solution.
6.2 Beberapa Metode Penyelesaian Linear Programming
1. Metode Grafis
Metode ini digunakan apabila variable model LP yang ada tidak melebihi
dua variable atau yang berdimensi 2 x n atau m x 2
2. Metode Simpleks
Apabila suatu masalah LP melibatkan lebih dari dua kegiatan maka metode
grafik tidak dapat digunakan dalam menentukan kombinasi optimal, untuk itu
digunakan metode simplek.
Analisis Sensitivitas
Analisis Sensitivitas bertujuan untuk menghindari perhitungan - perhitungan
ulang, bila terjadi perubahan satu atau beberapa koefisien model LP pada saat
penyelesaian optimal telah tercapai. Pada dasarnya perubahan - perubahan yang
mungkin terjadi setelah tercapainya penyelesaian optimal terdiri dari beberapa
macam, yakni :
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 26
1. Keterbatasan kapasitas sumber (nilai kanan fungsi-fungsi batasan).
2. Koefisien-koefisien fungsi tujuan.
3. Koefisien-koefisien teknis fungsi-fungsi batasan tertentu koefisien koefisien menunjukkan beberapa bagian kapasitas sumber yang dikonsumsi
oleh satu satuan kegiatan.
4. Penambahan variable - variable baru.
5. Penambahan batasan baru.
Secara umum, perubahan - perubahan tersebut diatas akan mengakibatkan
salah satu diantara :
1. Penyelesaian optimal tidak berubah, artinya baik variable - variable dasar
maupun nilai - nilainya tidak mengalami perubahan.
2. Variabel - variabel dasar mengalami perubahan, tetapi nilai - nilainya tidak
berubah.
3. Penyelesaian optimal sama sekali tidak berubah.
4. Tujuan dan segenap keterbatasannya harus dapat dinyatakan sebagai
persamaan atau ketidaksamaan matematika dan harus ada kesamaan atau
ketidaksamaan linear.
Pada dasarnya, metode-metode yang dikembangkan untuk memecahkan
masalah linear programming ditunjukkan untuk mencari solusi dari beberapa
alternatif solusi yang dibentuk oleh persamaan-persamaan pembatas sehingga
diperoleh nilai fungsi tujuan yang optimum.
Ada dua cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan
linear programming dengan cara grafis dan metode simpleks. Cara grafis dapat
digunakan bila ada persoalan linear programming yang akan diselesaikan
memiliki dua buah variabel. Walaupun demikian, cara ini telah memberikan satu
petunjuk penting bahwa untuk memecahkan persoalan-persoalan linear
programming, kita hanya perlu memperhatikan titik ekstrim (titik terjauh) pada
ruang solusi atau daerah fisibel. Petunjuk ini telah menjadi kunci dalam
mengembangkan metode simpleks.
Metode simpleks merupakan teknik yang paling berhasil dikembangkan
untuk menghasilkan/memecahkan persoalan linear programming yang
mempunyai jumlah variabel keputusan dan pembatas yang besar. Algoritma
simpleks ini diterangkan dengan menggunakan logika secara aljabar matriks,
sedemikian rupa sehingga operasi perhitungan dapat dibuat lebih efisien.
6.3. Integer Linear Programming
Integer Linear Programming (ILP) atau programa bilangan bulat adalah
bentuk lain dari Linear Programming dimana fungsi divisibilitasnya lemah atau
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 27
hilang sama sekali. Bentuk ini muncul karena dalam kenyataannya tidak semua
variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan. Misalnya, variabel-variabel
yang nilainya harus positif seperti produksi mobil, produksi kapal terbang / laut,
jumlah jembatan, jumlah gedung, kebutuhan tenaga kerja, jumlah penganggur,
jumlah ternak, dll. Solusi optimalnya tidak masuk akal bila menghasilkan
bilangan-bilangan pecahan.
Asumsi divisibilitas melemah, artinya sebagian dari nilai variabel keputusan
harus berupa bilangan bulat ( integer ) dan sebagian lainnya boleh berupa
pecahan, persoalan ini disebut ILP campuran ( mixed integer linear programming
).
Apabila seluruh variabel keputusan dari suatu persoalan Linear
Programming harus berharga integer, maka persoalan tersebut disebut sebagai
persoalan Integer Linear Programming murni ( all integer linear programming ).
Selain bentuk diatas ada pula persoalan ILP yang seluruh variabelnya harus
berharga 0 dan 1. Persoalan semacam ini disebut sebagai persoalan ILP nol-satu (
0-1 ILP ). Kondisi ini akan dijumpai dalam kasus dimana persoalan yang dihadapi
merupakan persoalan keputusan “ya” atau “tidak”.
1. Model Integer Linear Programming
Model umum dari ILP adalah sebagai berikut :
Optimumkan ( Maksimum atau Minimum )
Z = f ( X1 , X2 , … , Xn )
Dengan batasan :
(X1 , X2 , … , Xn ) £ atau ³ bi
dan Xj ³ 0
Xj integer
i = 1, 2, 3, …, m
j = 1, 2, 3, …, n
Untuk model dasar total integer linear programming :
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 28
Optimumkan ( Maksimum atau Minimum )
Dengan batasan :
dan Xj ³ 0
Xj integer
i = 1, 2, 3,…, m
j = 1, 2, 3, …, n
Sedangkan model dasar untuk mixed integer linear programming :
Optimumkan ( maksimum atau minimum )
Dengan batasan :
dan Xj ³ 0 dan integer
Yk ³ 0
i = 1, 2, 3, …, m
j = 1, 2, 3, …, n
k = 1, 2, 3, …, k
2. Metode Pemecahan Integer Linear Programming
Dalam Linear Programming, metode simpleks didasari oleh pengenalan
bahwa pemecahan optimum terjadi di titik ekstrim dari ruang pemecahan. Hasil
yang penting ini pada intinya mengurangi usaha pencarian pemecahan yang tidak
terbatas menjadi sejumlah yang terbatas. Sebaliknya, ILP memulai dengan
sejumlah titik pemecahan yang terbatas (dengan asumsi ILP murni yang dibatasi).
Tetapi sifat variabel yang berbentuk bilangan bulat mempersullit perancangan
sebuah algoritma yang efektif untuk mencari secara langsung diantara titik integer
yang layak dari ruang pemecahan.
Mengingat kesulitan ini, para peneliti telah mengambangkan sebuah
prosedur pemecahan yang didasari oleh pemanfaatan keberhasilan besar dalam
memecahkan masalah-masalah Linear Programming.. Strategi untuk prosedur ini
dapat diringkaskan dalam tiga langkah :
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 29
1. Longgarkan ruang pemecahan dari masalah integer yang bersangkutan
dengan mengabaikan batasan integer sama sekali. Langkah ini
mengkonversikan ILP menjadi LP biasa.
2. Pecahkan model LP “yang longgar” yang dihasilkan dan diidentifikasi titik
optimum ( kontinyu ) dari LP itu.
3. Dengan dimulai dari titik optimum kontinyu, tambahkan batasan khusus
yang akan secara berulang-ulang memaksa titik ekstrim optimum dari
model LP yang dihasilkan untuk bergerak ke arah batasan integer yang
diinginkan.
Alasan dimulai pencarian pemecahan optimum ILP dipemecahan optimum
Linear Programming adalah bahwa terdapat kemungkinan yang lebih besar bahwa
kedua pemecahan itu akan terletak berdekatan satu sama lain, sehingga
meningkatkan kemungkinan untuk menemukan pemecahan integer tersebut secara
cepat.
Inti prosedur yang diajukan ini adalah pendekatan memecahkan masalahmasalah Linear Programming yang berturut-turut, yang lebih dapat dikelola dari
segi perhitungan dibandingkan memecahkan masalah-masalah ILP secara
langsung.
Terdapat dua metode untuk menghasilkan batasan-batasan khusus yang akan
memaksa pemecahan dari masalah Linear Programming yang dilonggarkan untuk
bergerak kearah pemecahan integer yang diinginkan :
1. Branch and Bound
2. Bidang pemotong
Dalam kedua metode ini, batasan yang ditambahkan secara efektif
menyingkirkan beberapa bagian dari ruang pemecahan yang dilonggarkan, tetapi
tidak pernah menyingkirkan satupun titik integer yang layak. Metode Branch and
Bound jauh lebih berhasil dari segi perhitungan daripada metode bidang
pemotong. Karena alasan ini, sebagian besar program komputer komersial
didasari oleh prosedur Branch and Bound.
3. Metode Branch and Bound
Langkah-langkah metode Branch and Bound dalam menentukan solusi
integer optimal untuk model maksimasi adalah sebagai berikut :
1. Dapatkan solusi simplex optimal dari model program linear dengan
batasan integer yang dilepaskan.
2. Tentukan solusi simplex relaxed sebagai batas atas sedangkan solusi hasil
pembulatan kebawah sebagai batas bawah pada node 1.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 30
3. Pilih variabel dengan bagian pecahan yang terbesar untuk pencabangan.
Ciptakan dua batasan baru untuk variabel ini yang mencerminkan
pembagian nilai integer. Hasilnya adalah sebuah batasan £ dan sebuah
batasan.
4. Ciptakan dua node baru, satu dengan batasan £ dan satu dengan batasan.
5. Selesaikan model program linear relaxed dengan batasan baru yang
ditambahkan pada tiap node.
6. Solusi simplex relaxed adalah merupakan batas atas pada tiap node dan
solusi integer maksimum yang ada (pada node mana saja) adalah
merupakan batas bawah.
7. Jika proses ini menghasilkan solusi integer fisibel dengan nilai batas atas
terbesar pada akhir node yang mana saja, maka solusi integer optimal telah
tercapai. Jika tidak muncul suatu solusi integer fisibel, lakukan
pencabangan dari node dengan batas atas terbesar.
8. Ulangi langkah 3.
9. Untuk model minimasi, solusi relaxed merupakan solusi yang dibulatkan
keatas, sedangkan batas atas serta batas bawahnya merupakan kebalikan
dari model maksimasi.
7. Referensi
a. Modul praktikum optimisasi, 2017, Prodi Teknik Industri STTA,
Yogyakarta.
b. Modul praktikum optimisasi, 2019, Prodi Teknik Industri STTA,
Yogyakarta.
c. P. Siagian, 1987, Penelitian Operasional, Penerbit Universitas Indonesia,.
d. Tjutju Tarliah Dimyati, Ahmad Dimyati, 1994, Operations Research, Sinar
Baru Algensindo.
e. Winston, Wayne L., 2004, Operations Research Applications and
Algorithm, 4th ed, Thomson Brooks Cole, USA.
8. Tugas
Perusahaan mebel NUSANTARA memproduksi meja dan kursi. Setiap
minggu, perusahaan mendapatkan pasokan 100 lembar kayu mahoni. Untuk
membuat sebuah kursi diperlukan 4 lembar kayu mahoni, dan untuk membuat
meja diperlukan 6 lembar. Perusahaan memiliki 90 jam kerja orang tiap
minggunya (terdiri atas 3 orang karyawan yang bekerja 8 jam kerja perhari dan
bekerja 5 hari seminggu). Sebuah kursi memerlukan waktu pengerjaan 4,5 jam
kerja-orang dan sebuah meja memerlukan 5 jam-orang.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 31
Perusahaan memproleh laba sebesar Rp 30.000 untuk setiap penjualan kursi
dan Rp 35.000 untuk setiap penjualan meja. Perusaha dapat menjual semua meja
dan kursi yang dibuatnya. Manajer perusahaan ingin memutuskan beberapa
banyak meja dan kursi yang harus dibuat agar diperoleh laba maksimum. Apabila
diringkas, informasi masalah akan terlihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Ringkasan masalah yang akan dipecahkan
Produk
Kayu diperlukan
Kebutuhan jam
Laba perunit
kerja-orang
Kursi
4
4,5
Rp 30.000
Meja
6
5,0
Rp 35.000
Kayu tersedia
100
90
Apabila akan dipecahkan dengan metode linear programing, masalah tersebut
harus diubah kedalam format seperti pada tabel 2.
Fungsi tujuan
Batasan
Keterangan
Tabel 2. Linear Programming
Maksimum laba: Rp 30.000 K + Rp 35.000 M
4 K + 6 M <= 100
Batasan jumlah kayu yang
tersedia
4,5 K + 5 M <= 90
Batasan jam-orang tersedia
K,M >= 0
Batasan non negatif
K= kursi, M=meja
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 32
MODUL 2 LINEAR GOAL PROGRAMMING
1. Deskripsi
LGP merupakan pengembangan Linear Programming (LP). LGP
diperkenalkan oleh Charnes dan Cooper pada awal tahun enampuluhan.
Teknik ini disempurnakan dan diperluas oleh Ijiri pada pertengahan tahun
enampuluhan, dan penjelasan yang lengkap dengan beberapa aplikasi
dikembangkan oleh Ignizio dan Lee pada tahun tujuhpuluhan. Perbedaan
utama antara LGP dan LP terletak pada struktur dan penggunaan fungsi
tujuan. Dalam LP fungsi tujuannya hanya mengandung satu tujuan,
sementara dalam LGP semua tujuan apakah satu atau beberapa digabungkan
dalam sebuah fungsi tujuan.
Ini dapat dilakukan dengan mengekspresikan tujuan itu dalam bentuk
sebuah kendala (goal constraint), memasukkan suatu variabel simpangan
(deviational variable) dalam kendala itu untuk mencerminkan seberapa jauh
tujuan itu dicapai, dan menggabungkan variabel simpangan dalam fungsi
tujuan. Dalam LP tujuannya bisa maksimasi atau minimasi, sementara dalam
LGP tujuannya adalah meminimumkan penyimpangan-penyimpangan dari
tujuan-tujuan tertentu. Ini berarti semua masalah LGP adalah masalah
minimasi.
2. Tujuan
1. Praktikan dapat memahami data-data yang diperlukan pada kasus Linear
Goal Programming yang berasal dari kehidupan nyata dan
memformulasikan data tersebut ke dalam model matematis.
2. Praktikan dapat mengetahui dan memahami pemecahan masalah
pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal.
3. Alat dan Bahan
PC dan Software pengolah data (Win QSB)
4. Prosedur Pelaksanaan Praktikum
Untuk menyelesaikan masalah LGP ke dalam program WinQSB, langkahlangkahnya adalah sebagai berikut :
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 33
1. Jalankan modul Linear and Integer Programing dengan mengeklik Start,
Program, WinQSB, lalu pilih pilih Linear and Integer Goal Programing.
Dilayar akan ditampilkan seperti Gambar 17.
Gambar 17 Tampilan awal Linear and Integer Programing
2.
Buatlah definisi masalah baru, dengan memilih menu File, New Problem,
sehingga dilayar akan ditampilkan seperti Gambar 18.
Gambar 18. Tampilan pengisiaan informasi dan peraturan GP/IGP
3.
Dan isikan berbagai aturan yang diperlukan sesuai spesifikasi data yang
diambil, mulai dari judul masalah dan aturan-aturanya. Misal sesuai studi
kasus seperti berikut ini.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 34
Gambar 19. Pengisiaan informasi dan peraturan GP/IGP
4.
Kliklah Ok, sehingga dilayar akan tampak tampilan berikut ini.
Gambar 20. Tampilan pengisiaan data untuk masalah GP/IGP
5.
Ubahlah nama varibel (dengan menu Edit, Variable Names) dan nama
batasan (dengan menu Edit, contraint names) dengan pedoman sesuai studi
kasus, misal seperti berikut:
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 35
Tabel 3. Beberapa variabel dan batasan yang perlu diganti
Gantilah variabel
semula
menjadi
X1
Kursi
X2
Meja
X3
U1
X4
E1
X5
U2
X6
E2
X7
U3
X8
E3
Gantilah batasan
semula menjadi
C1
Kayu
C2
Jam kerja
C3
Tujuan 1
C4
Tujuan 2
C5
Tujuan 2
Ganti jenis variable
variable
menjadi
kursi
integer
meja
integer
Selain itu gantilah tanda persamaan di kolom direction (dengan klik dua
kali dimasing-masing sel) sehingga menjadi <=, <=, =, =, dan =. Dilayar akan
tampak seperti gambar berikut:
Gambar 21. Pengisiaan data untuk masalah GP/IGP telah selesai
6.
Simpanlah file (dengan file, save problem).
7.
Untuk mencari solusi Perintahkan WinQSB untuk segera memecahkan
masalah dengan mengeklik menu Solve and analyze lalu pilih Solve The
Problem. Dalam sesaat WinQSB akan memberitahu bahwa solusi sudah
ditemukan dengan pesan berikut ini.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 36
Gambar 22. Tampilan setelah ditemukan solusi
8.
Kliklah Ok, WinQSB segera menampilkan solusi masalah anda seperti pada
tampilan berikut ini.
Gambar 23. Tampilan gabungan setelah ditemukan solusi
Namun tampilan tersebut memuat terlalu banyak (sementara ini) karena
gabungan dari berbagai informasi. Untuk meringkasnya jalankan printah
berikut.
9.
Tampilan Output ringkasan dengan menjalankan menu Results, Solution
Summary. Hasilnya akan tampak seperti Gambar 24.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 37
Gambar 24. Hasil olahan model Linear Goal Programing
10. Menampilkan ringkasan batasan, dengan memilih menu Results, Contraints
Summary. Hasilnya akan tampak seperti Gambar 25.
Gambar 25. Ringkasan batasan model Linear Goal Programing
11. Jika ingin menampilkan solusi dalam bentuk grafik, kliklah menu Solve and
Anlyze lalu pilih Graphic Method. Dilayar akan ditampilkan Gambar 26,
untuk menentukan variabel yang akan digambarkan dalam garis horizontal
(X) dan vertikal (Y). Klik Ok maka dilayar akan ditampilkan Gambar 27.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 38
Gambar 26. Menentukan variabel untuk grafik
Gambar 27. Tampilan solusi akhir dalam bentuk grafik
Anda dapat mengubah warna garfik, dengan mengeklik menu Options,
Change XY Ranges and Colors sehingga tampak seperti Gambar 28.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 39
Gambar 28. Mengubah warna tampilan grafik
Bila sudah selesai mngubak kliklah Ok dan hasil warna yang baru akan tampak.
Gambar 29. Tampilan solusi grafik setelah perubahan
5. Output
Solusi masalah dengan Linear Goal Programing (LGP)
6. Landasan Teori
6.1 LGP: Konsep-Konsep Dasar Dan Unsurnya
LGP merupakan pengembangan Linear Programming (LP). LGP
diperkenalkan oleh Charnes dan Cooper pada awal tahun enampuluhan. Teknik ini
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 40
disempurnakan dan diperluas oleh Ijiri pada pertengahan tahun enampuluhan, dan
penjelasan yang lengkap dengan beberapa aplikasi dikembangkan oleh Ignizio dan
Lee pada tahun tujuhpuluhan. Perbedaan utama antara LGP dan LP terletak pada
struktur dan penggunaan fungsi tujuan. Dalam LP fungsi tujuannya hanya
mengandung satu tujuan , sementara dalam LGP semua tujuan apakah satu atau
beberapa digabungkan dalam sebuah fungsi tujuan. Ini dapat dilakukan dengan
mengekspresikan tujuan itu dalam bentuk sebuah kendala (goal constraint),
memasukkan suatu variabel simpangan (deviational variable) dalam kendala itu
untuk mencerminkan seberapa jauh tujuan itu dicapai, dan menggabungkan
variabel simpangan dalam fungsi tujuan. Dalam LP tujuannya bisa maksimasi
atau minimasi, sementara dalam LGP tujuannya adalah meminimumkan
penyimpangan-penyimpangan dari tujuan-tujuan tertentu. Ini berarti semua
masalah LGP adalah masalah minimasi.
Karena
penyimpangan-penyimpangan
dari
tujuan-tujuan
itu
diminimumkan, sebuah model LGP dapat menangani aneka ragam tujuan dengan
dimensi atau satuan ukuran yang berbeda. Tujuan-tujuan yang saling bentrok juga
dapat diselesaikan. Jika terdapat banyak tujuan, prioritas atau urutan ordinalnya
dapat ditentukan, proses penyelesaian LGP itu akan berjalan sedemikian rupa
sehingga tujuan dengan prioritas tertinggi dipenuhi sedekat mungkin sebelum
memikirkan tujuan-tujuan dengan prioritas lebih rendah. Jika LP berusaha
mengidentifikasikan solusi optimum dari suatu himpunan solusi layak, LGP
mencari titik yang paling memuaskan dari sebuah persoalan dengan beberapa
tujuan. Sekali lagi LGP ingin meminimumkan penyimpangan - penyimpangan
dari tujuan - tujuan dengan mempertimbangkan hirarki prioritas.
6.2 Unsur-Unsur LGP
Setiap model LGP paling sedikit terdiri dari tiga komponen, yaitu sebuah
fungsi tujuan, kendala-kendala tujuan, dan kendala non negatif.
6.3 Fungsi Tujuan
Ada tiga jenis fungsi tujuan dalam LGP, yaitu :
Minimumkan
Minimumkan
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 41
untuk k = 1,2,…, K
Minimumkan
untuk k = 1,2,…, K
Fungsi tujuan yang pertama digunakan jika variabel simpangan dalam
suatu masalah tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot. Fungsi tujuan kedua
digunakan dalam suatu masalah dimana urutan tujuan diperlukan, tetapai variabel
simpangan di dalam setiap tingkat prioritas memiliki kepentingan yang sama.
Dalam fungsi tujuan ketiga, tujuan-tujuan diurutkan dan variabel simpangan pada
setiap tingkat prioritas dibedakan dengan menggunakan bobot yang
berlainan Wki . Jadi fungsi tujuan yang akan digunakan tergantung pada situasi
masalahnya.
6.4 Kendala Tujuan
Ada enam jenis kendala tujuan yang berlainan. Maksud setiap jenis
kendala itu ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan. Pada tabel 4
disajikan keenam jenis kendala itu. Terlihat bahwa setiap jenis kendala tujuan
harus punya satu atau dua variabel simpangan yang ditempatkan pada fungsi
tujuan. Dimungkinkan adanya kendala-kendala yang tidak dimiliki variabel
simpangan. Kendala-kendala ini sama seperti kendala-kendala persamaan linier.
Persamaaan pertama pada tabel 4 maknanya serupa dengan kendala
pertidaksamaan £ dalam masalah program linear maksimasi. Persamaan kedua
maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ³ pada masalah program linear
minimasi.
Persamaan ketiga, keempat, dan kelima semuanya memperbolehkan
penyimpangan dua arah, tetapi persamaan kelima mencari penggunaan sumber
daya yang diinginkan sama dengan bI . Ini serupa dengan kendala persamaan
dalam LP, tetapi tidak melekat pada solusi karena dimungkinkan adanya
penyimpangan negatif dan positif. Jika kendala persamaan dianggap perumusan
model LGP, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah artificial
variable dI+ , seperti pada persamaan keenam. Persamaan ketiga dan keempat
memperbolehkan adanya penyimpangan positif dan negatif dari nilai RHSnya.
Dalam kendala LP tidak ada pembanding untuk persamaan ketiga dan keempat.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 42
Tabel 4. Jenis-jenis Kendala Tujuan
Kendala Non Negatif
Seperti dalam LP, variabel-variabel model LGP biasanya bernilai lebih
besar atau sama dengan nol. Semua model LGP terdiri dari variabel simpangan
dan variabel keputusan, sehingga pernyataan non negatif dilambangkan
sebagai xj , dI- , dI+ ³ 0.
Kendala Struktural
Disamping ketiga komponen yang telah disebutkan itu, dalam model LGP
kadang-kadang terdapat komponen yang lain, yaitu : kendala struktural yang
artinya kendala-kendala lingkungan yang tidak berhubungan langsung dengan
tujuan-tujuan masalah yang dipelajari. Variabel simpangan tidak dimasukkan
dalam kendala ini, karena itu kendala ini tidak diikutsertakan dalam fungsi tujuan.
1. Asumsi Model LGP
Sebelum merumuskan model, perlu diketahui bahwa model LGP
memerlukan sejumlah asumsi. Jika dalam membuat model dari suatu masalah
tertentu asumsi-asumsi itu tidak dapat dipenuhi, maka LGP bukan merupakan
model yang cocok untuk masalah yang sedang dipelajari. Jadi asumsi model
membatasi penerapan LGP. Asumsi-asumsi berikut harus diingat agar penerapan
model LGP bermanfaat.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 43
1. Additivitas dan linieritas. Diasumsikan bahwa proporsi penggunaan
bI yang ditentukan oleh aij harus tetap benar tanpa memperhatikan nilai
solusi xj yang dihasilkan. Artinya, LHS dari kendala tujuan harus sama
dengan nilai RHS.
2. Divisibilitas. Diasumsikan bahwa nilai-nilai xj , dI- , dI+ yang dihasilkan
dapat dipecah. Artinya, kita dapat menyelesaikan jumlah pecahan
nilai xj dan menggunakan jumlah pecah sumber daya dalam solusi itu.
Asumsi ini tidak membatasi penggunaan model LGP, karena prosedur
solusi
Goal
Programming
yang
lain,
yaituInteger
Goal
Programming, dapat mencari solusi integer.
3. Terbatas. Diasumsikan bahwa nilai xj , dI- , dI+ yang dihasilkan harus
terbatas. Artinya, kita tidak dapat memiliki nilai variabel keputusan ,
sumber daya, atau penyimpangan tujuan yang tidak terbatas. Segalanya
dalam dunia ini terbatas.
4. Kepastian dan periode waktu statis. Diasumsikan bahwa parameter
model LGP seperti aij , bI , Pk , wkidiketahui dengan pasti dan mereka akan
tetap statis selama periode perencanaan dimana hasil model digunakan.
6.5 Perumusan Masalah LGP
Perumusan suatu masalah LGP sangat mirip dengan perumusan sebuah
masalah LP. Penjelasan variabel keputusan xj , koefisien teknologi aij , dan nilai
sisi kanan bI , diperlukan baik dalam LP maupun LGP. Langkah-langkah
perumusan LGP meliputi beberapa tahap, yaitu:
1. Tentukan variabel keputusan.
2. Nyatakan sistem kendala. Kuncinya pertama adalah menentukan nilainilai sisi kanan dan kemudian menentukan koefisien teknologi yang cocok
dan variabel keputusan yang diikutsertakan dalam kendala. Perhatikan
Jenis penyimpangan yang diperbolehkan dari nilai RHS. Jika
penyimpangan diperbolehkan dalam dua arah, tempatkan kedua variabel
simpangan pada kendala itu. Jika penyimpangan hanya diperbolehka pada
satu arah, tempatkan hanya satu variabel simpangan yang tepat pada
kendala yang bersangkutan.
3. Tentukan prioritas utama. Kuncinya disini adalah membuat urutan
tujuan-tujuan. Biasanya urutan tujuanmerupakan pernyataan preferensi
Individu. Jika persoalannya tidak memiliki urutan tujuan, lewati langkah
ini dan kemudian ke langkah berikutnya.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 44
4. Menentukan bobot. Disini kuncinya adalah membuat urutan di dalam
suatu tujuan tertentu. Jika tidak diperlukan lewati langkah ini.
5. Nyatakan fungsi tujuan. Disini kuncinya adalah memilih variabel
simpangan yang benar untuk dimasukkan dalam fungsi tujuan. Gunakan
Tabel 4 untuk meyakinkan penggunaan nilai RHS yang diinginkan
adalah konsisten dengan keperluan persoalan. Kedua, tambahkan prioritas
dan bobot yang tepat jika diperlukan.
6. Nyatakan keperluan non negatif. Langkah ini merupakan bagian resmi
dari perumusan masalah LGP. Prosedur formulasi ini merupakan salah
satu pendekatan yang mungkin bermanfaat dalam perumusan model LGP.
Pembaca dapat memperbaiki atau mengubah prosedur itu sesuai dengan
kebutuhan masing - masing.
7. Referensi
a. Modul praktikum optimisasi, 2017, Prodi Teknik Industri STTA,
Yogyakarta.
b. Modul praktikum optimisasi, 2019, Prodi Teknik Industri STTA,
Yogyakarta.
c. P. Siagian, 1987, Penelitian Operasional, Penerbit Universitas Indonesia,.
d. Tjutju Tarliah Dimyati, Ahmad Dimyati, 1994, Operations Research, Sinar
Baru Algensindo.
e. Winston, Wayne L., 2004, Operations Research Applications and
Algorithm, 4th ed, Thomson Brooks Cole, USA.
8. Tugas
Untuk menggunakan modul GP/IGP akan digunakan contoh yang sama
dengan bab sebelumnya, yaitu Perusahaan mebel NUSANTARA memproduksi
meja dan kursi. Setiap minggu, perusahaan mendapatkan pasokan 100 lembar
kayu mahoni. Untuk membuat sebuah kursi diperlukan 4 lembar kayu mahoni,
dan untuk membuat meja diperlukan 6 lembar. Perusahaan memiliki 120 jam
kerja orang tiap minggunya (terdiri atas 3 orang karyawan yang bekerja 8 jam
kerja perhari dan bekerja 5 hari seminggu). Sebuah kursi memerlukan waktu
pengerjaan 4,5 jam kerja-orang dan sebuah meja memerlukan 5 jam-orang.
Perusahaan memproleh laba sebesar Rp 30.000 untuk setiap penjualan kursi
dan Rp 35.000 untuk setiap penjualan meja. Perusaha dapat menjual semua meja
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 45
dan kursi yang dibuatnya. Manajer perusahaan ingin memutuskan beberapa
banyak meja dan kursi yang harus dibuat agar diperoleh laba maksimum .
Sebagai informasi tambahan, manajer perusahaan juga ingin mencapai
beberapa tujuan berikut:
a. Laba yang diperoleh setidak-setidaknya Rp 700.000
b. Meja diproduksi paling efektif sedikit 10 buah
c. Sebisa mungkin menggunakan jam kerja tidak lebih dari 100 jam kerja
Apabila akan dipecahkan dengan metode Linear Goal Programing, masalah
tersebut harus di ubah kedalam format berikut.
Tabel 5. Persoalan Metode Linear Goal Programing
Fungsi tujuan
Maksimum laba: Rp 30.000 K + Rp 35.000 M
Batasan
4 K + 6 M <= 100
Batasan jumlah kayu yang
tersedia
4,5 K + 5 M <= 120
Batasan jam-orang tersedia
K,M >= 0
Batasan non negatif
Tujuan
yang 1. Rp 30.000 K + Rp 35.000 M + U1 – E1 (tujuan laba)
harus dicapai
2. Meja + U2 – E2 (tujuan produksi kursi)
3. 4,5 kursi + 5 meja + U3 – E3 (tujuan jam kerja)
Prioritas
untuk Prioritas 1: U1 (pencapaian dibawah Rp 700.000)
pencapaian tujuan Prioritas 2: U2 (tujuan produksi kursi)
Prioritas 3: E3 (menghabiskan tenaga kerja lebih dari 100
jam)
Tujuan prioritas
Prioritas 1: Minimasi U1
Prioritas 2: Minimasi U3
Prioritas 3: Minimasi E3
U1 = jumlah kekurangan/sisa sisi kiri terhadap sisi kanan
U2= jumlah kelebihan sisi kiri terhadap sisi kanan
Variabel (ada 8)
K= kursi, M=meja, U1, U2, U3, E1, E2, E3
Batasan (ada 5)
(1) kayu yang tersedia; (2) jam kerja-orang tersedia; (3)
tujuan laba; (4) tujuan produksi kursi (5) pemakaian jam
kerja
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 46
MODUL 3 TRANSPORTASI
1. Deskripsi
Supply chain Management (SCM) adalah modifikasi praktek tradisional dari
manajemen logistik. Dimana SCM adalah adalah Sebuah pendekatan untuk
integrasi yang effisien antara pemasok (Supplier), pabrik (manufactur), pusat
distribusi, wholesaler, pengecer (retailer) dan konsumen akhir,dimana produk
diproduksi dan didistribusikan dalam jumlah yang benar/tepat, lokasi yang tepat
dan waktu yang tepat dalam rangka meminimalkan sistem biaya dan
meningkatkan tingkat kepuasan pelayanan. Sedangkan Manajemen Logisitik
adalah Sebuah proses perencananan, implementasi dan pengontrolan secara
efisien terhadap biaya persediaan dan penyimpanan bahan baku, persediaan dalam
proses dan produk jadi. Dari pengertian-pengertian tadi terlihat bahwa SCM
mengandung makna yang lebih luas dibandingkan dengan manajemen logistik.
Tujuan dari SCM adalah untuk efisien dan efektifitas biaya keseluruhan
sistem
(systemwide
costs)
mulai
dari
transportastion,
distribusi,
persediaan (inventory) bahan baku, WIP (Work in Process), dan barang jadi,
kesemuanya diharapkan untuk diminimalkan. Namun demikian, penekanan SCM
bukan hanya memperkecil biaya transportasi atau mengurangi inventori, tetapi
lebih dari itu, yaitu pada pendekatan sistem ke SCM.
Persoalan transportasi terpusat pada pemiihan rute dalam jaringan distribusi
produk antara pusat industri dan distribusi gudang atau antara distribusi gudang
regional dan distribusi pengeluaran lokal. Selain masalah-masalah pendistribusian,
model transportasi dapat juga digunakan untuk masalah-masalah penjadwalan dan
masalah penentuan lokasi yang layak dari beberapa alternatif lokasi yang ada.
Dalam menggunakan metode transportasi pihak manajemen mencari rute
distribusi yang akan mengoptimumkan tujuan tertentu. Misalnya tujuan
meminimumkan total biaya transportasi, memaksimumkan laba atau
meminimumkan waktu yang digunakan.
2. Tujuan
1. Memperkenalkan Konsep Supply Chain Management (SCM) atau yang
disebut Manajemen Rantai Pemasok.
2. Praktikan dapat memahami dan mengerti data-data yang diperlukan pada
kasus jaringan distribusi produk (Transportasi) yang berasal dari
kehidupan nyata dan memformulasikan data tersebut ke dalam model
matematis.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 47
3. Mengetahui dan memahami solusi yang dihasilkan mengenai masalah
pengalokasian sumber-sumber yang terbatas untuk mencapai tujuan
optimal.
3. Alat dan Bahan
PC dan Software pengolah data (Win QSB)
4. Prosedur Pelaksanaan Praktikum
Setelah Anda merumuskan dan memiliki model networking, langkah
berikutnya adalah penyelesaian model ke dalam program WinQSB.
1. Jalankan program WinQSB, lalu pilihlah Network Modeling. Di layar akan
tampak tampilan berikut ini :
Gambar 30. Tampilan awal modul Networking
2. Buatlah definisi masalah baru, dengan memilih menu File, New Problem, lalu
isikan berbagai keterangan dan pilihan, sehingga di layar tampak seperti
tampilan pada Gambar 31 berikut ini. Beberapa isian telah diubah sebagai
berikut :
• Problem type dipilh Transportation Problem
• Problem title diisi dengan Masalah Network Modeling
• Number of Sources diisi dengan 2
• Number of Destination diisi dengan 3
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 48
Gambar 31. Tampilan mengatur konfigurasi model network modeling
3. Kliklah Ok sehingga muncul tampilan untuk meng-input data masalah
network berikut ini :
Gambar 32. Tampilan untuk meng-input model network
4. Ubahlah lokasi asal dan lokasi tujuan sesuai dengan Tabel 6 (sub bab tugas),
dengan menu Edit, Node Names, lalu gantilah berbagai nama lokasi. Sebelum
dan sesudah diubah, akan tampak seperti pada Gambar berikut. Kalau sudah
selesai meng-input, kliklah Ok.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 49
Gambar 33. Nama lokasi sebelum diubah (kiri) dan sesudah diubah (kanan)
5. Input-kan data yang ada pada Tabel 6 (sub bab tugas) ke dalam layar tersebut,
sehingga tampak seperti berikut ini:
Gambar 34. Data masalah transportasi setelah di-input
6. Simpanlah (dengan File, Save Problem) dengan nama NET-01.NET
7. Setelah model di-input dan disimpan, kini saatnya untuk menemukan solusi
dan menampilkannya. Muatlah masalah (bila di layar belum tampak model
Anda) dengan menu File, Load Problem (dalam contoh di atas, nama file
Anda NET-01.NET).
8. Klik menu Solve and Analyze, lalu pilih Solve the Problem. Dalam sesaat,
WinQSB menampilkan hasilnya seperti berikut ini :
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 50
Gambar 35. Tampilan solusi
Dari tampilan tersebut diketahui bahwa solusi optimal adalah mengirim
produk dari Jakarta ke Depansar sebanyak 300 unit (per unit Rp8 sehingga
total adalah Rp2.400) dan dari Yogyakarta ke Palembang 150 unit, ke
Makasar 300 unit, dan ke Denpasar 50 unit. Biaya total dari Yogyakarta ke
Palembang, Makasar, dan Denpasar adalah Rp1.050, Rp3.000, dan Rp700.
Biaya kirim keseluruhan adalah Rp7.150.
9. Untuk menampilkan solusi dalam bentuk grafik, kliklah menu Results,
Graphic Solution. Hasilnya tampak pada Gambar 36 sebagai berikut :
Gambar 36. Solusi transportasi dalam bentuk grafik
5. Output
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 51
Solusi masalah transportasi dalam rantai pasok.
6. Landasan Teori
6.1. Supply Chain Management
Supply chain Management (SCM) adalah modifikasi praktek tradisional dari
manajemen logistik. Dimana SCM adalah adalah Sebuah pendekatan untuk
integrasi yang effisien antara pemasok (Supplier), pabrik (manufactur), pusat
distribusi, wholesaler, pengecer (retailer) dan konsumen akhir,dimana produk
diproduksi dan didistribusikan dalam jumlah yang benar/tepat, lokasi yang tepat
dan waktu yang tepat dalam rangka meminimalkan sistem biaya dan
meningkatkan tingkat kepuasan pelayanan. Sedangkan Manajemen Logisitik
adalah Sebuah proses perencananan, implementasi dan pengontrolan secara
efisien terhadap biaya persediaan dan penyimpanan bahan baku, persediaan dalam
proses dan produk jadi. Dari pengertian-pengertian tadi terlihat bahwa SCM
mengandung makna yang lebih luas dibandingkan dengan manajemen logistik.
Manajemen rantai pemasok atau yang lebih populer dengan sebutan Supply
chain Management (SCM) adalah memiliki pengertian sebagai berikut:
“Supply chain Management adalah Sebuah pendekatan untuk integrasi yang
effisien antara pemasok (Supplier), pabrik (manufaktur), pusat distribusi,
wholesaler, pengecer (retailer) dan konsumen akhir,dimana produk diproduksi
dan didistribusikan dalam jumlah yang benar/tepat, lokasi yang tepat dan waktu
yang tepat dalam rangka meminimalkan sistem biaya dan meningkatkan tingkat
kepuasan pelayanan”
Gambar 37. Supply chain yang sederhana
Gambar 37. memberikan sebuah gambaran tentang supply chain (SC) yang
sederhana. Sebuah SC akan memiliki komponen-komponen yang biasanya disebut
channel. Contoh: Supplier, manufaktur, distribution center, wholesaler, dan
retailer. Semua channel tersebut bekerja untuk memenuhi kebutuhan konsemen
akhir.
Kenyataannya sebuah SC akan jauh lebih komplek dari gambar 37. Dimana
sebuah pemasok mungkin sebagai pabrik (industri manufaktur) yang memiliki
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 52
pemasok-pemasok. Dengan kata lain SC bisa melibatkan sejumlah pabrik
manufaktur dan pabrik manufaktur bisa memiliki banyak pemasok.
Gambar 38. Supply chain yang Komplek (Jaringan logistik)
SCM mempertimbangkan dengan seksama tiap-tiap fasilitas yang
mempunyai dampak dan peran dalam membuat produk sesuai dengan kebutuhan
pelanggan mulai dari pemasok, pabrik, gudang, pusat distribusi sampai ke
pengecer dan toko. SCM tidak hanya mengatur aliran material/produk tetapi juga
aliran informasi.
Tujuan dari SCM adalah untuk efisien dan efektifitas biaya keseluruhan
sistem
(systemwide
costs)
mulai
dari
transportastion,
distribusi,
persediaan (inventory) bahan baku, WIP (Work in Process), dan barang jadi,
kesemuanya diharapkan untuk diminimalkan. Namun demikian, penekanan SCM
bukan hanya memperkecil biaya transportasi atau mengurangi inventori, tetapi
lebih dari itu, yaitu pada pendekatan sistem ke SCM.
6.2. Transportasi Jaringan Distribusi Produk
Persoalan transportasi terpusat pada pemiihan rute dalam jaringan
distribusi produk antara pusat industri dan distribusi gudang atau antara distribusi
gudang regional dan distribusi pengeluaran lokal. Selain masalah-masalah
pendistribusian, model transportasi dapat juga digunakan untuk masalah-masalah
penjadwalan dan masalah penentuan lokasi yang layak dari beberapa alternatif
lokasi yang ada.
Dalam menggunakan metode transportasi pihak manajemen mencari rute
distribusi yang akan mengoptimumkan tujuan tertentu. Misalnya tujuan
meminimumkan total biaya transportasi, memaksimumkan laba atau
meminimumkan waktu yang digunakan.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 53
Formulasi program linier adalah sebagai berikut :
Maksimum (Minimum) :
Berdasarkan pembatas :
, I = 1,2,…,m
, j = 1,2,…,n
Xij ³ 0 untuk seluruh I dan j
Pada persoalan transportasi i digunakan tabel seperti di atas, tetapi diganti dengan
tabel berikut :
Gambar 39. Bentuk persoalan transportasi
Meskipun persoalan transportasi ini dapat diselesaikan dengan metode
simpleks, tetapi karena sifat-sifatnya yang khusus itu, maka dapat disusun suatu
prosedur yang jauh lebih sederhana yang hanya secara sepintas lalu seakan-akan
tidak ada hubungannya dengan metode simpleks.
Sesuai dengan namanya, metode transportasi pertama kali diformulasikan
sebagai suatu prosedur khusus untuk mendapatkan program biaya minimum
dalam mendistribusikan unit yang homogen dari suatu produk atas sejumlah titik
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 54
penawaran (sumber-sumber)kr sejumlah titik permintaan (tujuan). Pada saat
tertentu, tiap sumber mempunyai kapasitas tertentu dari tiap-tiap sumber ke tiaptiap tujuan sudah diketahui. Tujuannya adalah merencanakan pengiriman dari
sumber-sumber ke tujuan sedemilian rupa untuk meminimumkan total biaya
transportasi.
1. Persoalan transportasi mempunyai ciri-ciri khusus sebagai berikut:
2. Terdapat sejumlah sumber dan tujuan tertentu.
3. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber
dan yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.
4. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu
tujuan,besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber.
5. Ongkos pengangkutan komoditas dari suatu sumber ke suatu tujuan,
besarnya tertentu.
Suatu model transportasi dikatakan seimbang apabila total supply (sumber)
sama dengan total demand (tujuan). Dalam persoalan sebenarnya, batasan ini
tidak selalu terpenuhi, atau dengan kata lain, jumlah supply yang tersedia
mungkin lebih besar atau lebih kecil daripada jumlah yang diminta. Jika hal ini
terjadi, maka model persoalannya disebut sebagai model yang tidak seimbang
(unbalanced). Batasan di atas dikemukakan hanya karena ia menjadi dasar dalam
pengembangan teknik transportasi. Namun setiap persoalan transportasi dapat
dibuat seimbang dengan cara memasukkan variabel semu. Jika jumlah demand
melebihi jumlah supply akan dibuat suatu sumber dummy yang akan mensupply
kekurangan tersebut, demikian juga sebaliknya.
7. Referensi
a. Modul praktikum optimisasi, 2017, Prodi Teknik Industri STTA,
Yogyakarta.
b. Modul praktikum optimisasi, 2019, Prodi Teknik Industri STTA,
Yogyakarta.
c. P. Siagian, 1987, Penelitian Operasional, Penerbit Universitas Indonesia,.
d. Tjutju Tarliah Dimyati, Ahmad Dimyati, 1994, Operations Research, Sinar
Baru Algensindo.
e. Winston, Wayne L., 2004, Operations Research Applications and
Algorithm, 4th ed, Thomson Brooks Cole, USA.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 55
8. Tugas
PT Nusantara yang memproduksi mebel, memiliki fasilitas produksi di Jakarta
dan Yogyakarta. Untuk memasarkan produknya ke seluruh Indonesia, PT
Nusantara memiliki cabang di Palembang, Makasar, dan Denpasar. Kapasitas
produksi di Jakarta adalah 300 unit dan kapasitas di Yogyakarta adalah 500 unit.
Permintaan untuk Palembang, Makasar, dan Denpasar, masing-masing adalah
150, 300, dan 350 unit.
Biaya kirim per unit dari Jakarta ke Palembang, Makasar, dan Denpasar
masing-masing adalah Rp.10, Rp.12, dan Rp.9. Biaya kirim per unit dari
Yogyakarta ke Palembang, Makasar, dan Denpasar, masing-masing adalah Rp.7,
Rp.10, dan Rp.14. PT Nusantara ingin mengetahui berapa banyak produk yang
harus dikirim dari Jakarta dan Yogyakarta ke Palembang, Makasar, dan Denpasar,
agar diperoleh biaya kirim paling minimum. Bila dinyatakan dalam bentuk tabel,
akan tampak seperti pada Tabel 6 sebagai berikut :
Tabel 6. Contoh masalah transportasi
Dari/Ke
Palembang Makasar Denpasar Pasokan
Jakarta
10
12
8
300
Yogyakarta
7
10
14
500
Permintaan
150
300
350
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 56
MODUL 4 PENUGASAN
1. Deskripsi
Penugasan merupakan suatu kasus khusus dalam masalah linear programming
pada umumnya. Persoalan penugasan merupakan kasus khusus dari persoalan
transportasi. Dengan kata lain kita dapat memecahkan suatu persoalan penugasan
dengan menggunakan metode transportasi.
Masalah penugasan dapat dijelaskan dengan mudah oleh suatu matrik
segiempat, dimana baris-barisnya menunjukkan sumber-sumber dan kolomnya
menunjukkan tugas-tugas.
2. Tujuan
a. Praktikan dapat memahami data-data yang dibutuhkan dalam kasus
penugasan yang berasal dari kehidupan nyata dan memformulasikan
data tersebut dalam model matematik.
b. Praktikan dapat memahami manfaat metode penugasan dalam rangka
mengambil keputusan optimal dari bermacam-macam sumber daya
produktif yang mempunyai tingkat efisiensi yang berbeda-beda.
3. Alat dan Bahan
PC dan Software pengolah data (Win QSB)
4. Prosedur Pelaksanaan Praktikum
Untuk menyelesaikan masalah penugasan ke dalam modul Network yang ada
di program WinQSB, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1.
Jalankan program WinQSB, lalu pilih Network Modelling. Di layar akan
tampak seperti pada Gambar berikut ini :
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 57
Gambar 40. Tampilan awal model Networking
2.
Buatlah definisi masalah baru, dengan memilih menu File, New Problem,
lalu isikan berbagai keterangan dan pilihan, sehingga di layar tampak seperti
tampilan seperti Gambar 41 berikut ini. Beberapa isian telah diubah sebagai
berikut :
• Problem type dipilih Assigment Problem
• Problem title diisi dengan Masalah Penugasan
• Number of Objects diisi dengan 3
• Number of Assigments diisi dengan 3
Gambar 41. Tampilan untuk mengatur masalah penugasan
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 58
3.
Kliklah Ok sehingga muncul tampilan untuk meng-input data masalah
network seperti tampak pada Gambar 42.
Gambar 42. Tampilan untuk meng-input masalah penugasan
4.
Ubahlah tulisan Assignee 1, Assignee 2, dan Assignee 3 dengan nama
karyawan (masing-masing Bima, Kusno, dan Timbul). Ubahlah tulisan
Assigment 1, Assigmnet 2, dan Assigmen t3 di kolom paling kiri dengan nama
produk (masing-masing adalah Kursi, Meja, dan Produk Baru). Untuk itu
gunakan menu Edit, Node Names, lalu gantilah berbagai nama lokasi.
Sebelum dan sesudah diubah, akan tampak seperti pada gambar berikut.
Kalau sudah selesai meng-input, kliklah Ok.
Gambar 43. Tampilan untuk mengubah nama variabel
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 59
5.
Input-kan data yang ada sub bab tugas (Tabel 12) ke dalam layar tersebut,
sehingga tampak seperti berikut ini :
Gambar 44. Tampilan untuk mengubah nama variabel
6.
Simpanlah (dengan File, Save Problem) dengan nama ASS-01.NET
7.
Setelah masalah penugasan di-input (dan disimpan), selanjutnya harus
ditemukan solusinya. Muatlah masalah (bila di layar belum tampak model
Anda) dengan menu File, Load Problem (nama file pada contoh ini adalah
ASS-01.NET).
8.
Kliklah menu Solve and Analyze, lalu pilih Solve the Problem, sehingga di
layar muncul tampilan seperti tampak pada Gambar 45.
Gambar 45. Tampilan masalah penugasan
Dari hasil tersebut terlihat bahwa pembuatan kursi ditugaskan kepada
Timbul, meja kepada Bima, dan Produk baru kepada Kusno. Masing-masing
akan mengakibatkan perusahaan mengeluarkn biaya sebesar Rp2 per unit
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 60
untuk membuat kursi, Rp4 untuk membuat meja, dan Rp6 untuk membuat
produk baru.
9. Untuk menampilkan solusi dalam bentuk grafik, kliklah menu Results,
Graphic Solution, maka WinQSB akan menampilkan hasil berupa diagram
seperti tampak pada Gambar 46.
Gambar 46. Menu Results modul penugasan
Anda masih dapat melakukan analisis yang lain, dengan menggunakan
menu Results.
Gambar 47. Tampilan solusi akhir masalah penugasan dalam bentuk grafik
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 61
5. Output
Solusi akhir masalah penugasan dalam bentuk diagram dan grafis.
6. Landasan Teori
Penugasan merupakan suatu kasus khusus dalam masalah linear programming
pada umumnya. Persoalan penugasan merupakan kasus khusus dari persoalan
transportasi. Dengan kata lain kita dapat memecahkan suatu persoalan penugasan
dengan menggunakan metode transportasi.
Masalah penugasan dapat dijelaskan dengan mudah oleh suatu matrik segiempat,
dimana baris-barisnya menunjukkan sumber-sumber dan kolomnya menunjukkan
tugas-tugas.
Tujuan / Tugas-tugas
1
2
3
...........................
n
Sebelum model dapat dipecahkan dengan teknik penugasan terlebih
dahulu diseimbangkan dengan menambah pekerjaan-pekerjaan atau obyek semu
(dummy) bergantung pada apakah n atau m tersebut. Dengan demikian
diasubsikan bahwa m = n. Secara matematis, model penugasan ini dapat
dinyatakan sebagai berikut :
Minimumkan ( maksimumkan ) :
Dengan batasan :
Metode penugasan, juga dikenal sebagai fload teknik atau metode penugasan
Hungarian yang didasari 3 langkah sebagai berikut :
1. Menentukan tabel biaya kesempatan ( opportunity cost )
Biaya setiap macam tindakan atau keputusan meliputi kesempatan yang
dikorbankan dalam tindakan tersebut. Sebagai contoh, kalau kita membeli rumah
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 62
baru, kita terpaksa melupakan mobil baru. Ini adalah contoh analisis biaya
kesempatan, bila kita melakukan sesuatu, kita tidak dapat mengerjakan yang lain.
Contoh :
Tabel 7. Opportunity cost
Pekerjaan\mesin
X
Y
Z
A
$25
$31
$35
B
$15
$20
$24
C
$22
$19
$17
Dari tabel diatas apabila kita secara sembarang menugaskan pekerjaan A
ke mesin X maka kita akan mengorbankan kesempatan untuk menghemat $10
($25 - $15) pengorbanan inilah yang disebut biaya kesempatan.
2. Menentukan bisa tidaknya penugasan optimal dibuat.
Tujuan langkah 2 adalah untuk merumuskan penugasan pekerjaan untuk
mesin agar meminimumkan total biaya . Melalui tabel total biaya kesempatan,
tujuan ini dapat dicapai dengan menugaskan pekerjaan untuk mesin sedemikian
rupa hingga didapat total biaya kesempatan nol, Jadi kemungkinan penugasan
pekerjaan pada mesin yang paling baik akan mengandung biaya kesempatan nol .
Ada metode yang cocok untuk menentukan apakah suatu penugasan optimal dapat
dibuat atau tidak. Metode ini meliputi penarikan garis lurus (vertikal atau
horizontal). Pada tabel biaya kesempatan sedemikian rupa sehingga
meminimumkan jumlah garis yang diperlukan untuk menutupi semua segi empat
nol. Bila jumlah garis sama dengan jumlah baris dalam tabel maka penugasan
dapat dibuat dan persoalan dapat dipecahkan. Dilain pihak, suatu penugasan
optimal tidak dapat dibuat bila jumlah garis lebih kecil dari jumlah baris.
Tabel 8. Penentuan Penugasan Optimal
Pekerjaan\mesin
X
Y
Z
A
0
2
6
B
0
1
5
C
7
0
0
Pengujian atas penugasan optimal yang diterapkan pada tabel diatas hanya
membutuhkan dua garis (garis C dan kolom X ) untuk menutupi bidang segi
empat nol. Karena masih ada baris maka suatu penugasan optimal tidak mungkin
dilakukan.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 63
3. Memperbaiki total biaya kesempatan.
Bila suatu penugasan optimal tidak bisa dilakukan, kita harus mengubah
tabel total biaya kesempatan dengan memasukan beberapa penugasan yang tidak
berada dalam baris atau kolom yang dilalui garis.
Prosedur pelaksanaannya adalah sebagai berikut :
a. Pilih jumlah terkecil dalam tabel yang tidak dilalui oleh garis dan kekurangan
jumlah ini dari semua nilai yang tidak dilalui oleh garis lurus.
b. Tambahkan angka terkecil yang sama keangka yang terletak pada perpotongan
antara dua garis lurus.
Dari tabel 8 yang diperbaiki didapat tabel berikut :
Pekerjaan\mesin
Tabel 9. Perbaikan Total Biaya
X
Y
Z
A
0
2
7
B
0
0
6
C
7
0
0
Dari tabel 9 diatas dapat dilihat jumlah minimum dari garis yang
diperlukan menutupi semua nol adal tiga, dan jumlah ini sama dengan jumlah
baris, maka penugasan optimal dapat dibuat.
Masalah-masalah pada kasus penugasan meliputi masalah biaya dan
masalah keuntungan. Untuk masalah biaya berarti kita mempunyai masalah
minimasi yang langsung dapat kita pecahkan dengan langkah-langkah diatas.
Sedangkan untuk masalah maksimasi langkah pertama yang harus dilakukan
adalah merubah matrik keuntungan menjadi suatu matrik opportunity cost yang
dijelaskan pada tabel berikut:
Pekerjaan\mesin
Tabel 10. Matrik Keuntungan
X
Y
Z
A
13
14
13
B
16
9
10
C
12
13
8
Untuk mendapatkan matrik opportunity loss seluruh elemen dalam setiap baris
dikurangi dengan nilai maksimum dalam baris yang sama. Prosedur ini
menghasilkan matrik opportunity loss yang ditunjukkan pada tabel 11 berikut
dimana nilai sebenarnya adalah negatif.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 64
Pekerjaan\mesin
Tabel 11. Matrik Opportunity Loss
X
Y
Z
A
1
0
1
B
0
7
6
C
1
0
5
Dari matrik opportunity loss ini selanjutnya dapat diselesaikan dengan langkahlangkah yang sama pada kasus minimasi.
7. Referensi
a. Modul praktikum optimisasi, 2017, Prodi Teknik Industri STTA,
Yogyakarta.
b. Modul praktikum optimisasi, 2019, Prodi Teknik Industri STTA,
Yogyakarta.
c. P. Siagian, 1987, Penelitian Operasional, Penerbit Universitas Indonesia,.
d. Tjutju Tarliah Dimyati, Ahmad Dimyati, 1994, Operations Research, Sinar
Baru Algensindo.
e. Winston, Wayne L., 2004, Operations Research Applications and
Algorithm, 4th ed, Thomson Brooks Cole, USA.
8. Tugas
PT. Nusantara memiliki tiga orang karyawan yang ditugasi untuk
merancang kursi, meja, dan produk lainnya. Ketiga karyawan tersebut adalah
Bima, Kusno, dan Timbul. Bima memerlukan waktu 4 hari untuk merancang
sebuah kursi, 4 hari untuk merancang meja, dan 3 hari untuk merancang produk
baru. Kusno memerlukan 8 hari, 7 hari, dan 6 hari untuk merancang kursi, meja,
dan produk baru. Sedangkan Timbul memerlukan waktu 2 hari, 3 hari, dan 1 hari
untuk merancang kursi, meja, dan produk baru.
Tabel 12. Ringkasan masalah penugasan
Produk/Orang
Bima
Kusno
Timbul
Kursi
4
8
2
Meja
4
7
3
Produk baru
3
6
1
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 65
Manajemen PT. Nusantara ingin mencari waktu tersingkat dalam merancang
produk-produknya. Untuk itu, siapa saja yang perlu ditugasi untuk membuat
masing-masing produk; kursi, meja, dan produk baru. Masalah ini dapat
dipecahkan dengan modul Assigment.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 66
MODUL 5 PATH PROBLEM
1. Deskripsi
Setiap path dalam digraph mempuanyai nilai yang dihubungkan dengan nilai
path tersebut, yang nilainya adalah jumlah dari nilai edge path tersebut.dari
ukuran dasar ini dapat dirumuskan masalah seperti mencari lintasan terpendek
antara dua verteks dan meminimumkan biaya.
Banyak bidang penerapan mensyaratkan untuk menentukan lintasan terpendek
berarah dari asal ke tujuan di dalam suatu distribusi aliran berarah. Algoritma
yang diberikan dapat dimodifikasi dengan mudah untuk mrnghadapi lintasan
berarah pada setiap iterasinya.
2. Tujuan
Praktikan dapat menyelesaikan kasus path problem dengan menggunakan
software dan melakukan analisis.
3.
Alat dan Bahan
PC dan Software pengolah data (Win QSB)
4.
Prosedur Pelaksanaan Praktikum
Untuk penyelesaian masalah jalur terpendek dengan program WinQSB, ikuti
langkah-langkahnya sebagai berikut.
1.
Jalankan program WinQSB, lalu pilihlah Network Modeling. Di layar akan
tampak seperti pada gambar berikut.
Gambar 48. Tampilan awal modul Networking
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 67
2.
Buatlah definisi masalah baru, dengan memilih menu File, New Problem,
lalu isikan berbagai keterangan dan pilihan, sehingga di layar tampak seperti
gambar berikut ini:
Gambar 49. Tampilan pemilihan problem networking
Anda klik shortest path problem, isikan judul dengan ,masalah jalur
terpendek, dan jumlah lingkaran (nodes) sebanyak 6.
3. Kliklah Ok sehingga muncul tampilan untuk meng-input data masalah jalur
terpendek seperti tampak berikut ini :
Gambar 50. Tampilan modul Networking Jalur Terpendek
4. Ubahlah nama masing-masing lokasi (node) dengan menu Edit, Nodes Name,
lalu klik Ok, sehingga tampilannya seperti berikut ini.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 68
Gambar 51. Tampilan modul Jalur Terpendek setelah nama lokasi diubah
5. Inputkan data yang ada pada sub bab TUGAS (tabel 13) ke dalam model
sehingga tampak seperti berikut:
Gambar 52. Data yang sudah di-input pada jalur terpendek
6. Simpanlah masalah Anda dengan File, Save Problem dengan nama file
(PATH-01.NET).
7. Setelah masalah jalur terpendek di-input (dan disimpan), selanjutnya akan
ditemukan solusinya. Muatlah masalah (bila di layar belum tampak model
Anda) dengan menu File, Load Problem (nama file pada contoh ini adalah
PATH-01.NET).
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 69
Gambar 53. Mencari solusi jalur terpendek
8. Kliklah menu Solve and Analyze sehingga di layar muncul tampilan seperti tapak pada
gambar 53. sebagai contoh, Anda akan menemukan jalur tependek dari Cirebon ke
Denpasar, maka kliklah lokasi tujuan di sisi kiri dan loasi tujuan di sisi kanan, lalu klik
Solve, sehingga di layar akan ditampilkan hasil seperti pada gambar 54.
Gambar 54. Tampilan solusi jalur tependek
Dari tampilan tersebut terlihat bahwa dari Cirebon menuju Denpasar akan melewati
lokasi lain, yaitu Yogyakarta. Jarak dari Cirebon ke Yogyakarta adalah 200 dan dari
Yogyakarta ke Denpasar 800, sehingga jarak seluruhnya adalah 1.020.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 70
9. Untuk menampilkan solusi dalam grafik, kliklah menu Result, Graphic Solution.
Hasilnya tampak seperti pada gambar 55.
Tampilan dan solusinya memang terlihat sederhana, karena memang contoh yang
digunakan hanya terdiri dari enam kota. Dalam masalah pengiriman yang sesungguhnya,
bisa saja jumlah kotanya ada puluhan, atau bahkan ratusan, yang tentu akan sangat
memerlukan waktu lama bila harus dilakukan analisis secara manual.
.
Gambar 55. Tampilan solusi jalur terpendek dalam bentuk grafik
5. Output
Solusi permasalahan jalur terpendek dalam bentuk grafis dan non grafis.
6. Landasan Teori
6.1 Konsep Dasar Graph
Sebelum sampai pada pendefinisian masalah lintasan terpendek, terlebih dahulu pada
bagian ini akan diuraikan mengenai konsep-konsep dasar dari model graph dan
representasinya dalam memodelkan masalah lintasan terpendek.
Sebuah graph G terdiri dari himpunan V= V(G) yang memiliki elemen-elemen yang
disebut verteks, dan kumpulan E= E(G) yang merupakan pasangan tak berurut dari verteks
yang berbeda yang disebut edge.
Secara umum graph dapat digambarkan dengan suatu diagram dimana verteks
ditunjukkan sebagai titik yang dinotasikan dengan vi, i = 1, 2, …, P dan edge digambarkan
dengan sebuah garis lurus atau garis lengkung yang menghubungkan dua verteks (vi, vj) dan
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 71
dinotasikan dengan ek. sebagai ilustrasi dapat dilihat gambar 56. yaitu suatu graph yang
mempunyai lima verteks dan enam edge.
Gambar 56. Graph 5 Verteks dan 6 Edge
Suatu digraph G terdiri dari himpunan verteks-verteks V(G): {v1, v2,…}, himpinan
edge-edge E(G): {e1, e2, …}, dan suatu fungsi yang mengawankan setiap edge dalam E(G)
ke suatu pasangan berurutan verteks (vi, vj).
Jika ek = (vi , vj) adalah suatu edge dalam G, maka vi disebut verteks awal ek dan vj disebut
verteks akhir ek. Arah edge adalah dari vi ke vj. Perhatikan digraph G pada gambar 57
dibawah ini. Jika G adalah graph (berarah atau tidak) dengan verteks V dan edge E, maka
dapat ditulis G = (V,E).
Gambar 57. Digraph G
6.2 Path Minimum
Salah satu aplikasi graph berarah berlabel yang sering dipakai adalah mencari path
terpendek diantara 2 verteks. Apabila masalahnya adalah mencari jalur terpendek tetap dapat
digunakan dengan cara mengganti nilai edge.
Definisi : misalkan G adalah suatu graph, dimana v dan w adalah verteks dalam G.
suatu Walk dari v ke w adalah barisan verteks – verteks berhubungan dan edge secara
berselang-seling, diawali dari verteks v dan diakhiri pada verteks w. walk dengan panjang n
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 72
dari v ke w ditulis : v0 e1 v1 e2 v2 … vn-2 en vn dengn v0 = v: vn = w; vi-1 dan vi adalah
verteks-verteks ujung edge ei.
Path dengan panjang n dari v ke w adalah walk dari v ke w yang semua edgenya
berbeda. Path dari v ke w dituliskan sebagai v = v0 e1 v1 e2 v2 … vn-1 en vn = w dengan ei
# ej untuk i # j.
6.3 Shortest Path
Setiap path dalam digraph mempuanyai nilai yang dihubungkan dengan nilai path
tersebut, yang nilainya adalah jumlah dari nilai edge path tersebut.dari ukuran dasar ini dapat
dirumuskan masalah seperti “mencari lintasan terpendek antara dua verteks dan
meminimumkan biaya.
Banyak bidang penerapan mensyaratkan untuk menentukan lintasan terpendek
berarah dari asal ke tujuan di dalam suatu distribusi aliran berarah. Algoritma yang diberikan
dapat dimodifikasi dengan mudah untuk mrnghadapi lintasan berarah pada setiap iterasinya.
Suatu versi yang lebih umum dari masalah lintasan terpendek adalah menentukan
lintasan terpendek dari sembarang verteks menuju ke setiap verteks lainnya. Pilihan lainnya
adalah membuang kendala tak negatif bagi “jarak”. Suatu kendala lain dapat juga
diberlakukan dalam suatu masalah lintasan terpendek. Definisi : lintasan terpendek antara
dua verteks dari s ke t dalam jaringan adalah lintasan graph berarah sederhana dari s ke t
dengan sifat dimana tidak ada lintasan lain yang memiliki nilai terendah.
Gambar 58. Shortest path (garis tebal)
Pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa setiap edge terletak pada path-path dari titik 1
ke titik 5. Edge merepresentasikan saluran dengan kapasitas tertentu (contohnya, air) dapat
dialirkan melalui saluran. Sedangkan verteks merepresentasikan persimpangan saluran. Air
mengalir melalui verteks pada verteks yang dillalui Lintasan terpendek dari verteks pada
graph diatas adalah P = {1 – 4, 4 – 5} dengan kapasitas 4.
7. Referensi
a.
b.
c.
d.
Modul praktikum optimisasi, 2017, Prodi Teknik Industri STTA, Yogyakarta.
Modul praktikum optimisasi, 2019, Prodi Teknik Industri STTA, Yogyakarta.
P. Siagian, 1987, Penelitian Operasional, Penerbit Universitas Indonesia,.
Tjutju Tarliah Dimyati, Ahmad Dimyati, 1994, Operations Research, Sinar Baru
Algensindo.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 73
e. Winston, Wayne L., 2004, Operations Research Applications and Algorithm, 4th ed,
Thomson Brooks Cole, USA.
8. Tugas
PT. Nusantara memiliki armada kendaraan yang berpusat di Cirebon, yang setiap saat
diperlukan bisa menjangkau kota-kota produksi (Jakarta dan Yogyakarta) dan cabang-cabang
perusahaan (yaitu Palembang, Makasar dan Denpasar). Rute yang dapat ditempuh terlihat
pada gambar 59.
Dari gambar tersebut terlihat bahwa dari Cirebon tidak dapat langsung menuju Denpasar,
karena harus melewati Yogyakarta terlebih dahulu. Demikian juga untuk menuju Palembang,
harus melalui Jakarta dulu. Namun untuk ke Makasar bisa langsung.
Gambar 59. Tampilan solusi akhir masalah penugasan dalam bentuk grafik
Dari/Ke
Cirebon
Cirebon
Jakarta
Tabel 13. Jarak antarlokasi
Jakarta
Palembang
30
30
Palembang
Yogyakarta
Makasar
220
900
1100
1100
1300
Denpasar
1300
Yogyakarta
1000
Makasar
Denpasar
900
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
1000
800
800
1200
1200
Page 74
MODUL 6 MAXIMAL FLOW PROBLEM
1.
Deskripsi
Masalah aliran maksimum dalam suatu jaringan transportasi merupakan suatu jaringan
yang menghubungkan tempat asal ke tempat tujuan melalui rute-rute tertentu, dimana setiap
rute-rute perjalanan tersebut diberikan bobot atau nilai arus yang mengalir pada lintasan
tersebut.
2. Tujuan
Praktikan dapat menyelesaikan kasus maximal flow problem dengan menggunakan
software dan melakukan analisis.
3. Alat dan Bahan
PC dan Software pengolah data (Win QSB).
4. Prosedur Pelaksanaan Praktikum
Untuk penyelesaian masalah arus terbanyak dengan program WinQSB, ikuti langkahlangkahnya sebagai berikut.
1. Jalankan program WinQSB, lalu pilihlah Network Modeling. Di layar akan tampak
seperti gambar 60 berikut ini:
Gambar 60. Tampilan awal modul Networking
2. Buatlah definisi masalah baru, dengan memilih menu File, New Problem, lalu isikan
berbagai keterangan dan pilihan, sehingga di layar tampak seperti gambar 61 berikut ini.
Beberpa hal yang perlu Anda lakukan adalah :
- Problem type dipilih Maximal Flow Problem
- Problem title diisi dengan Masalah arus terbanyak
- Number of nodes diisi dengan 6
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 75
Gambar 61. Menentukan model arus terbanyak
3. Kliklah Ok sehingga muncul tampilan untuk meng-input data masalah Network seperti
tampak pada gambar 62 berikut ini.
Gambar 62. Tampilan untuk input model arus terbanyak
4. Inputkan data yang ada di sub bab tugas (gambar 67) ke dalam model sehingga tampak
seperti pada gambar 63 berikut ini.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 76
Gambar 63. Data model arus terbanyak yang sudah selesai di-input
5. Simpanlah masalah anda dengan File, Save Problem dengan nama file ARUS-01.NET.
6. Setelah masalah arus terbanyak di-input (dan disimpan), selanjutnya akan disampaikan
solusinya. Muatlah masalah (bila di layar belum tampak model anda) dengan menu File,
Load Problem (nama file pada contoh ini adalah ARUS-01.NET).
7. Kliklah menu Solve and Analyze, sehingga di layar muncul tampilan seperti tampak pada
gambar 64. anda diminta menentukan lokasi awal dan lokasi akhir pemindahan
barang/orang. Sebagai contoh, anda ingin menghitung arus terbanyak dari lokasi 1 (Node
1) ke lokasi 6 (Node 6), maka kliklah lokasi tujuan di sisi kiri dan lokasi tujuan di sisi
kanan, lalu kliklah Solve, sehingga di layar akan ditampilkan hasil seperti pada gambar
64.
Gambar 64. Pemilihan lokasi asal dan lokasi tujuan masalah arus terbanyak
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 77
8. Kliklah tombol Solve dan WinQSB akan segera menampilkan hasil yang menunjukkan
arus maksimum dari kedua titik yang telah anda tentukan. Lihat gambar 65 untuk
mengetahui hasilnya.
Gambar 65. Hasil akhir masalah arus terbanyak
9. Untuk menampilkan masalah dalam grafik, kliklah menu Result, Graphic Solution.
Hasilnya tampak seperti pada gambar 66 berikut ini.
Gambar 66. Hasil akhir masalah arus terbanyak dalam bentuk grafik
5. Output
Solusi masalah maximal flow dalam bentuk grafis dan non grafis.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 78
6. Landasan Teori
6.1 Terminologi dalam Graf
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dalam hal ini V adalah
himpunan tak kosong dari simpul-simpul dan E adalah himpunan sisi yang menghubungkan
sepasang simpul. Atau dapat ditulis dengan notasi G = (V, E).
Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda, yaitu sisi yang menghubungkan
sepasang simpul lebih dari satu buah. Graf semu adalah graf yang mengandung gelang (Loop)
yaitu sisi yang simpul ujungnya sama.
Berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau gelang pada suatu graf, maka secara umum
graf dapat dibagi menjadi 2 jenis:
a. Graf sederhana (simple graph) : Graf yang tidak mengandung sisi ganda maupun
gelang.
b. Graf tidak sederhana (unsimple graph) : Graf yang memuat sisi ganda atau
gelang.
Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dapat dibedakan
menjadi 2 jenis :
1. Graf tak-berarah (undirected), yaitu graf yang setiap sisinya tidak mempunyai
orientasi arah.
2. Graf Berarah (directed graph), yaitu graf yang setiap sisinya mempunyai
orientasi arah. Sisi pada graf berarah dinamakan busur (arc).
6.2 Terminologi Masalah Aliran Maksimum
Flow (aliran) didefinisikan sebagai suatu cara untuk mengirim benda - benda dari satu
tempat ke tempat lain. Sedangkan maximum flow problem ( Masalah Aliran Maksimum)
didefinisikan sebagai masalah pencarian untuk mencari arus maksimum yang dapat mengalir
pada sebuah network. Maximum flow problem akan diberikan sebuah network-graph
berbobot dan berarah. Yang mana disetiap sisinya terdapat suatu kapasitas, simpul awal, dan
simpul akhir.
7. Referensi
a.
b.
c.
d.
Modul praktikum optimisasi, 2017, Prodi Teknik Industri STTA, Yogyakarta.
Modul praktikum optimisasi, 2019, Prodi Teknik Industri STTA, Yogyakarta.
P. Siagian, 1987, Penelitian Operasional, Penerbit Universitas Indonesia,.
Tjutju Tarliah Dimyati, Ahmad Dimyati, 1994, Operations Research, Sinar Baru
Algensindo.
e. Winston, Wayne L., 2004, Operations Research Applications and Algorithm, 4th ed,
Thomson Brooks Cole, USA.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 79
8. Tugas
Pemerintah Nusantara sedang merancang suatu arus lalu lintas. Pemerintah ingin membuat
arus kendaraan sebanyak-banyaknya di masing-masing jalan yang menghubungkan dua
lingkaran, sehingga arus kendaraan dari lokasi 1 sampai ke lokasi 6 menjadi lancar.
Banyaknya kendaraan dinyatakan dengan ratusan mobil per menit (angka 5 berarti 500 per
menit).
Gambar 67. Grafik arus kendaraan dari dan ke suatu lokasi
Angka yang ada di dekat suatu lingkaran menunjukkan banyaknya kendaraan yang dapat
keluar dari titik tersebut per menit. Dari lokasi 1 ke lokasi 2 tertulis 5 (berarti ada 500
kendaraan yang menuju ke lokasi 2 per menit), 7 (berarti ada 700 kendaraan yang menuju ke
lokasi 4 per menit), dan 3 (berarti ada 300 kendaraan yang menuju ke lokasi 3 per menit).
Contoh lain perhatikan lokasi 6, disana ada angka 0 (berarti tidak ada kendaraan yang bisa
menuju ke lokasi 3, karena jalan searah) dan angka 3 (berarti ada 300 kendaraan per menit
menuju lokasi 5).
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 80
MODUL 7 PROGRAM DINAMIS
1. Deskripsi
Program dinamis adalah merupakan teknik matematis yang sering digunakan untuk
membuat serangkaian keputusan yang saling berkaitan dengan suatu prosedur yang sistematis
untuk menetukan kombinasi keputusan yang mengoptimasi efektivitas keseluruhan
keputusan.
2. Tujuan
a. Praktikan dapat memahami dan mengerti cara-cara pengumpulan data dan mengetahui
data-data yang dibutuhkan model program dinamis yang berasal dari kehidupan nyata
dan memformulasikan data yang diperoleh tersebut.
b. Praktikan dapat mengetahui dan memahami solusi yang dihasilkan dari model
program dinamis dalam rangka pengambilan keputusan yang optimal.
3. Alat dan Bahan
PC dan Software pengolah data (Win QSB)
4. Prosedur Pelaksanaan Praktikum
4.1 Metode Stagecoach
Beberapa metode yang digunakan dalam program dinamis untuk memecahkan masalah
yaitu: metode stagecoach, knapsack, dan penjadwalan persediaan produksi.
Masalah yang dapat dipecahkan dengan metode ini diantaranya adalah pemilihan rute
terpendek, pemuatan produk untuk dikirim melalui kendaraan, dan penentuan jumlah
produksi untuk dijadikan persediaan. Langkah-langkah penyelesaian masalah dengan
stagecoach:
1. Jalankan program WinQSB, lalu pilihlah Dynamic Programing, di layar akan tampak
tampilan seperti berikut ini.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 81
Gambar 68. Tampilan awal modul Dynamic Programming (DP)
2. Buatlah definisi masalah baru, dengan memilih menu File, New Problem, lalu isikan
berbagai keterangandan pilihan sehingga di layar tampak tampilan seperti Gambar 69
berikut.
Gambar 69. Tampilan pengaturan konfigurasi model DP
Kliklah Ok dari tampilan di atas sehingga akan muncul seperti Gambar 70 pada judul
masalah, isikan jalur terpendek dengan stagecoach, sedang jumlah nodes isikan 6
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 82
Gambar 70. Tampilan input data jarak pada stagecoach
3. Ubahlah masing-masing nama nodes dengan nama kota yang sesuai. Perintahnya dengan
Menu Edit, Nodes Name. Bila sudah kliklah Ok.
Gambar 71. Tampilan untuk mengubah nama lokasi
4. Inputlah data jarak yang ada pada sub bab tugas (Gambar 84) ke dalam model.
Tampilannya seperti pada gambar berikut ini.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 83
Gambar 72. Tampilan setelah data jarak di-input
5. Simpanlah (dengan file, save problem) dengan nama SC-01.DPP.
6. Mencari solusi metode stagecoach, Muatlah masalah (bila di layar belum tampak model
anda) dengan menu File, Load Problem (dalam contoh di atas, nam file anda SC-01.DPP)
7. Klik menu Solve and Analyze, lalu pilih Solve the Problem. WinQSB akan menawari
anda untuk memilih lokasi asal dengan lokasi tujuan yang akan dihitung jaraknya. Seperti
pada contoh pilihlah jakarta sebagai lokasi asal dan denpasar sebagai lokasi tujuan, lalu
kliklah solve dan hasilnya akan tampak seperti pada gambar 74.
Dari hasil tersebut diketahui bahwa jarak terpendek dari jakarta ke denpasar adalah
1050 (anggap saja dengan kilometer). Rutenya adalah jakarta-cirebon-yogyakartadenpasar. Sebenarnya ada rute lain yang bisa ditempuh, yaitu jakarta-palembang-denpasar
atau jakarta-palembang-yogyakarta-denpasar, tetapi jaraknya lebih jauh dari jarak yang
telah ditemukan.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 84
Gambar 73. Tampilan memilih lokasi awal dan tujuan
Gambar 74. Hasil analisis metode stagecoach
8. Apabila anda ingin melihat hitungan rincinya, gunakan menu result, show solution detail,
sehingga di layar akan ditampilkan hasil seperti tampak pada gambar 75 berikut ini.
Perhatikan baris dengan status optimal.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 85
Gambar 75. Hasil rincian analisis metode stagecoach
4.2 Metode Knapsack
Langkah-langkah penyelesaian masalah dengan knapsack:
1. Jalankan program WinQSB, lalu pilihlah Dynamic Programing, di layar akan tampak
tampilan seperti berikut ini.
Gambar 76.Tampilan awal modul Dynamic Programming
2. Buatlah definisi masalah baru, dengan memilih menu File, new problem, lalu isikan
berbagai keterangan dan pilihan, sehingga di layar tampak tampilan seperti gambar 77.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 86
Gambar 77. Pendefinisian masalah knapsack
Perhatikan bahwa anda harus memilih pilihan knapsack problem, mengisikan judul
masalah dengan masalah knapsack, dan jumlah item sebanyak 8.
3. Kliklah Ok, sehingga di layar muncul tampilan berikut.
Gambar 78. Tampilan untuk meng-input masalah knapsack
4. Inputkan data pada sub bab tugas (tabel 14) ke dalam software. Nama-nama barang dapat
langsung anda timpa dengan nama kursi1, kursi2, dan seterusnya. Demikian juga dengan
unit yang tersedia dan kapasitas unit yang diperlukan (unit capacity required). Fungsi
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 87
laba juga harus anda tulis seperti pada tabel 14. bila sudah selesai, di layar akan tampak
seperti pada gambar 79.
5. Simpanlah masalah knapsack ini dengan nama 07KS-01.DPP.
6. Setelah model diiput dan disimpan, kini saatnya menemukan solusi dan menampilkannya.
Muatlah masalah (bila di layar belum tampak model anda) dengan menu File, Load
Problem (dalam contoh di atas, nam file anda 07KS -01.DPP)
7. Jalankan menu Solve and Analyze, lalu pilih Solve the Problem, di layar akan
ditampilkan hasil seperti tampak pada gambar 80.
Gambar 79. Tampilan setelah input masalah knapsack
Gambar 80. Tampilan solusi masalah knapsack
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 88
Dari hasil di atas terlihat banyaknya masing-masing barang yang harus dimuat ke
dalam truk di kolom decision quantity (x). Kursi1 sebanyak 7 unit, kursi2 sebanyak 4
unit,dan seterusnya. Kursi1 akan mendatangkan keuntungan Rp70 (berasal dari 7 unit
yang dikirim dan masing-masing memberi laba Rp10 seperti pada fungsi 10 kursi1).
Jumlah laba seluruh barang yang dimuat ke dalam trukadalah Rp 468.
Kolom terakhir menunjukkan kapasitas yang tersedia setelah item baris tersebut
dimuat ke dalam truk. Ingat bahwa kapasitas truk adalah 35 m3. Misalnya pada baris
pertama, setelah dimuat 7 unit kursi, maka kapasitas yang tersisa tinggal 35-7 = 28 unit.
Demikian seterusnya hingga setelah baris terakhir dimuat menjadi tidak ada sisa lagi.
5. Output
Solusi masalah program dinamis dalam bentuk grafis dan non grafis.
6. Landasan Teori
Pada umumnya model-model penyelidikan operasional bertujuan mencari solusi
pemecahan masalah yang optimal dari nilai-nilai variabel keputusan. Variabel keputusan
adalah variabel yang dapat diubah dan dikendalikan oleh pengambil keputusan. Dalam dunia
nyata kita mungkin menghadapi berbagai jenis masalah yang dapat diformulasikan kedalam
berbagai jenis model. Salah satu model dari masalah yang dapat dipecahkan secara bertahap
dengan membagi masalah menjadi bagian-bagian yang lebih kecil (dekomposisi) dan pada
solusi dapat terjawab pada tahap akhir dengan menyatukan keputusan-keputusan pada tahaptahap yang ada (komposisi). Pendekatan ini disebut “ multi stage problem solving ”. Program
dinamis adalah teknik pemecahan yang sistematis untuk memperoleh jawaban dari masalah
multi stage problem solving ini.
Program dinamis adalah merupakan teknik matematis yang sering digunakan untuk
membuat serangkaian keputusan yang saling berkaitan dengan suatu prosedur yang sistematis
untuk menetukan kombinasi keputusan yang mengoptimasi efektivitas keseluruhan
keputusan.
Dibanding dengan teknik pemecahan masalah dalam penyelidikan operasional yang lain,
program dinamis hanya memiliki satu bentuk umum pemecahan masalah bertahap. Suatu
masalah yang akan diformulasikan secara program dinamis memerlukan suatu modifikasi
bentuk umum program dinamis sehingga sesuai dengan masalah yang dihadapi. Disini
terlihat bahwa program dinamis tidak memiliki sifat unik dalam formulasi matematis.
6.1 Karakteristik Program Dinamis
Suatu masalah dapat diformulasikan kedalam model program dinamis akan memiliki
karakteristik sebagai berikut :
1. Permasalahan dapat dibagi menjadi tahap-tahap (stage) dengan sebuah keputusan
pada setiap tahap.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 89
2. Setiap tahap memiliki sejumlah status (state) yang berhubungan dengan tahap
tersebut. Secara umum, status merupakan berbagai kemungkinan masukan yang ada
pada sistem tertentu. Jumlah status bisa terbatas (finite) atau tidak terbatas (infinite).
3. Pilihan keputusan setiap tahap adalah keputusan yang dapat dipilih untuk tahap
tertentu.
4. Solusi optimal dari masalah program dinamis adalah sama dengan keputusan
pemilihan status dari tahap
5. yang terakhir.
6. Hubungan rekrusif yang mengidentifikasi pilihan optimal untuk setiap status pada
tahap n, memberikan pilihan optimal untuk setiap status pada tahap n+1.
6.2 Deskripsi Matematik Program Dinamis
Permasalahan program dinamis dapat dibagi menjadi beberapa bagian yang masingmasing bagian terdiri dari beberapa pilihan yang harus dipilih sebagai keputusan. Bagian
tertentu dimana pengambilan keputusan dilakukan disebut sebagai tahap (stage) dari
permasalahan yang memiliki parameter-parameter masukan yang disebut sebagai status
(state). Keputusan yang diambil pada setiap tahap memperhatikan parameter masukan
(status) yang dikendalikan dengan suatu fungsi transformasi.
Pada setiap tahap harus dibuat satu keputusan pilihan status. Keputusan pemilihan
status menghasilkan nilai yang besarnya ditentukan oleh suatu fungsi transformasi, nilai ini
biasa disebut sebagai fungsi perolehan (return function). Fungsi perolehan ini akan
bergantung pada varibel status dan keputusan yang diambil pada tahap n tertentu.
Jadi suatu keputusan yang diambil pada tahap n tertentu akan memberikan fungsi
perolehan yang nilainya optimal untuk tahap yang ke-n tersebut artinya bila fungsi tujuan
maksimasi dan demikian sebaliknya bila tujuan minimasi.
Gambar 81. Fungsi transformasi program dinamis
Dimana :
Sn
= Status masukan
Sn
= Status keluaran
n
= Nomor tahap
Xn
= Keputusan
Rn
= Fungsi persoalan = fn (Sn, Xn)
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 90
Pada persoalan program dinamis tahap majemuk, masing-masing ada keputusan
optimalnya maka hubungan fungsi peralihan Sn (variabel keluaran sistem tahap n) dengan
Sn (variabel masukan sistem tahap n) dan Xn (keputusan pada tahap n). Secara umum pada
program dinamis dapat dicarikan beberapa definisi sebagai berikut :
a. Tahap adalah bagian dari program dinamis yang menggambarkan sistem secara
keseluruhan dimana keputusan harus dibuat.
b. Status adalah bagian yang menggambarkan variabel masukan yang ada pada tahaptahap tertentu. Status merupakan penghubung antara dua tahap karena masukan bagi
tahap tertentu merupakan keluaran tahap sebelumnya.
c. Alternatif adalah variabel keputusan pada setiap tahap yang berhubungan dengan
fungsi perolehan. Variabel keputusan ini bersifat mutually exlusive.
6.3 Program Dinamis Deterministik
Pendekatan program dinamis sebagai persoalan deterministik, dimana state pada stage
berikutnya sepenuhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada stage saat ini. Dapat
diterangkan dengan diagram berikut:
Gambar 82. Program dinamis sebagai persoalan deterministik
6.4 Program Dinamis Probabilistik
Pada program dinamis probabilistik, tahap (stage) berikutnya tidak dapat seluruhnya
ditentukan oleh state dan keputusan pada stage saat ini, tetapi ada suatu distribusi
kemungkinan mengenai apa yang akan terjadi. Namun, distribusi kemungkinan ini masih
seluruhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada stage saat ini. Struktur dasar program
dinamis probabilistik ini dapat digambarkan sbb:
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 91
Gambar 83. Program dinamis probabilistik
Dimana:
 N adalah banyaknya state yang mungkin pada stage (n+1)
 (p1,p2,…, pn) adalah distribusi kemungkinan dari terjadinya suatu state berdasarkan
state Sn dan keputusan Xn pada stage n
 ci adalah kontribusi dari stage n terhadap fungsi tujuan, jika state berubah menjadi state
i.
7. Referensi
a. Modul praktikum optimisasi, 2017, Prodi Teknik Industri STTA, Yogyakarta.
b. Modul praktikum optimisasi, 2019, Prodi Teknik Industri STTA, Yogyakarta.
c. P. Siagian, 1987, Penelitian Operasional, Penerbit Universitas Indonesia,.
d. Tjutju Tarliah Dimyati, Ahmad Dimyati, 1994, Operations Research, Sinar Baru
Algensindo.
e. Winston, Wayne L., 2004, Operations Research Applications and Algorithm, 4th ed,
Thomson Brooks Cole, USA.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 92
8. Tugas
8.1 Metode Stagecoach
Untuk memecahkan masalah dengan metode stagecoach, akan menggunakan contoh
masalah jalur terpendek (shortest path) diagramnya sebagai berikut
Gambar 84. Diagram jalur pendek
Manajemen perusahaan nusantara ingin mengetahui jarak terpendek dari jakarta ke denpasar.
Untuk menjawab pertanyaan tersebut dapat menggunakan program dinamis dengan metde
stagecoach.
8.2 Metode Knapsack
Masalah knapsack berkaitan dengan penentuan jumlah barang yang akan diangkut dalam
suatu kendaraan (bisa juga kapal atau pesawat udara). Barang yang dikirim memiliki bentuk
dan ukuran yang berbeda, demikian juga dengan biaya kirim dan keuntungan dengan harga
jualnya. Perusahaan ingin agar dalam suatu pengiriman, didapat laba paling banyak.
Tabel 14. Data barang yang tersedia untuk dikirim
No
Barang
Banyak (unit)
Kapasitas
1
2
Kursi1
Kursi2
10
4
1
1
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Fungsi laba
per unit
10 Kursi1
12 Kursi2
Page 93
3
4
5
6
7
8
Meja1
Meja2
Meja3
Lemari1
Lemari2
Lemari3
Kapasitas truk
4
2
8
2
2
4
35 m3
2
1
0,5
2
1
1
30 Meja1
10 Meja2
5 Meja3
30 Lemari1
25 Lemari2
15 Lemari3
Sebagai contoh PT. Nusantara memiliki produk yang harus diirim ke berbagai agennya
di beberapa kota. Produk-produk tersebut diberi kode kursi1, kursi2, meja1,meja2, meja3,
lemari1, lemari2, lemari3.
Perusahaan ingin mengirim produknya dengan jumlah (cacah) seperti yang tercantum
pada tabel 14. Pada tabel tersebut juga terlihat volume masing-masing barang dan laba per
unit (perhatikan cara menulis fungsi laba yang tidak biasa).
Namun tidak semua barang bisa diangkut, karena kapasitas truk yang terbatas (hanya 35
m3). Perusahaan harus memilih barang apa saja yang harus dikirim, agar diperoleh laba
maksimum.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 94
MODUL 8 RANTAI MARKOV
1. Deskripsi
Markov Chain adalah sebuah Proses Markov dengan populasi yang diskrit ( dapat
dihitung) yang berada pada suatu discrete state (position) dan diizinkan utk berubah state
pada time discrete.
2. Tujuan
a. Praktikan dapat memahami data-data yang dibutuhkan dalam model rantai markov
yang berasal dari kehidupan nyata serta memformulasikan data yang diperoleh
tersebut
b. Praktikan dapat memahami dan mengetahui solusi yang dihasilkan oleh rantai
markov mengenai permasalahan yang berhubungan dengan variable pada masa
sekarang yang didasarkan pada sifat-sifatnya di masa lalu dalam usaha untuk
menafsirkan sifat-sifat variable yang sama di masa mendatang.
3. Alat dan Bahan
PC dan Software pengolah data (Win QSB)
4. Prosedur Pelaksanaan Praktikum
Untuk penyelesaian masalah markov dengan program WinQSB, ikuti langkah-langkahnya
sebagai berikut:
1. Jalankan program WinQSB, lalu pilihlah markov proses, di layar akan tampak tampilan
seperti pada gambar berikut ini.
Gambar 85. Tampilan awal modul Markov Process
2. Buatlah definisi masalah baru, dengan memilih menu File, New Problem, sehingga
muncul tampilan seperti berikut. Pada problem title, isikan judul misalnya masalah proses
markov. Pada number of states isikan banyaknya merek yang dianalisis, dalam contoh ini
adalah 3, lalu kliklah Ok. Di layar akan muncul tampilan seperti tampak pada gambar 87.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 95
Gambar 86. Tampilan untuk menentukan Markov Process
3. Isikan data di tabel 8.1 ke daam layar seperti pada gambar berikut ini
Gambar 87. Input data untuk process Markov
4. Gantilah nama state1, state2, state3 masing-masing dengan merah, hijau, kuning. Menu
yang digunakan adalah Edit, State Name.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 96
Gambar 88. Mengubah nama state
5. Simpanlah masalah anda dengan nama 14MP-01.MPP.
6. Setelah model di-input dan disimpan, kini saatnya untuk menemukan solusi dan
menampilkannya. Muatlah masalah (bila d layar belum tampak model anda) dengan menu
File, Loaad Problem (dalam contoh di atas, nama file anda 14MP01.MPP).
7. Jalankan menu Solve and Analyze, lalu pilih Solve Steady State. Hasilnya akan tampak
seperti pada gambar 89.
Gambar 89. Hasil analisis Process Markov
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 97
Dari hasil di atas terlihat bahwa pelanggan akan tetap bertahan dengan merek merah
sebesar 54,35% dengan merek hijau sebesar 28,26%, dan dengan merek kuning 17,39%
8. Bila anda ingin terlihat rincian masing-masing merek kliklah Result, Show First Passage
Time. Hasilnya tampak pada gambar 90.
9. Anda dapat melakukan analisis time parametric. Caranya adalah dengan menutup jendela
hasil yang sekarang muncul (seperti di gambar 88). Bisa dengan cara mengklik tanda X
atau juga dengan memutar lagi problem proses markov ini, sehingga di layar tampak
tampilan seperti gambar 87.
Pilihlah pilihan kedua (probability of state merah) seperti tampak pada gambar 91.
biarkan saja isian yang lain. Lalu kliklah ok. WinQSB akan segera menampilkan hasilnya
seperti tampak pada Gambar 92.
Gambar 90. Rincian analisis Proses Markov terhap tiap-tiap merek
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 98
Gambar 91. Persiapan menampilkan analisis time parametric
Gambar 92. Hasil analisis time parametric
10. Anda dapat menampilkan grafik hasil analisisdi atas dengan menu result, shot time
parametic analysis – graph, hasilnya seperti tampak pada gambar berikut.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 99
Gambar 93. Grafik hasil analisis time parametric
5. Output
Solusi masalah antrian dalam bentuk grafis dan non grafis.
6. Landasan Teori
6.1 Pengenalan Markov Chain
Markov Chain baru diperkenalkan sekitar tahun 1907, oleh seorang Matematisi Rusia
Andrei A. Markov (1856-1922). Andrey Markov menghasilkan hasil pertama (1906) untuk
proses ini, murni secara teoritis. Sebuah generalisasi ke bentuk tak terbatas dalam ruang
diskrit diberikan oleh Kolmogorov (1936). Rantai Markov terkait dengan gerakan
Brown dan ergodic hipotesis, dua topik dalam fisika yang penting dalam tahun-tahun awal
abad ke-20, tetapi tampaknya Markov lebih fokus pada perluasan hukum bilangan
besar dalam percobaaan-percobaaan. Model ini berhubungan dengan suatu rangkaian proses
dimana kejadian akibat suatu suatu eksperimen hanya tergantung pada kejadian yang
langsung mendahuluinya dan tidak tergantung pada rangkaian kejadian sebelum-sebelumnya
yang lain. Pada 1913, ia menerapkan temuannya untuk pertama kalinya untuk 20.000 pertama
Pushkin huruf "Eugene Onegin".
Pengelompokkan tipe populasi dari proses acak bisa digambarkan sebagai jika X
adalah proses acak, maka populasi dari proses acak adalah semua nilai yang mungkin yang
bisa dimasukkan dalam suatu proses contohnya
Jika X adalah proses acak yang menggambarkan suatu persamaan, maka populasi dari
X dapat digambarkan sebagai suatu nilai yang memenuhi persamaan tersebut. Jika populasi
dari S dari suatu proses acak X dapat dihiting (contoh S={1,2,3,...}), dalam hal ini X
disebut Discrete Time Random Process perubahan state terjadi pada titik-titik integer. Jika
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 100
populasi dari S dari suatu proses acak X tidak dapat dihitung (contoh S = ∞) maka X
disebut Continuous Time Random Process perubahan state (discrete state) terjadi pada
sembarang waktu.
Markov Chain merupakan proses acak di mana semua informasi tentang masa depan
terkandung di dalam keadaan sekarang (yaitu orang tidak perlu memeriksa masa lalu untuk
menentukan masa depan). Untuk lebih tepatnya, proses memiliki properti Markov, yang
berarti bahwa bentuk ke depan hanya tergantung pada keadaan sekarang, dan tidak
bergantung pada bentuk sebelumnya. Dengan kata lain, gambaran tentang keadaan
sepenuhnya menangkap semua informasi yang dapat mempengaruhi masa depan dari proses
evolusi. Suatu Markov Chain merupakan proses stokastik berarti bahwa semua transisi adalah
probabilitas (ditentukan oleh kebetulan acak dan dengan demikian tidak dapat diprediksi
secara detail, meskipun mungkin diprediksi dalam sifat statistik), (www.wikipedia.org).
6.2 Konsep Dasar Markov Chain
Apabila suatu kejadian tertentu dari suatu rangkaian eksperimen tergantung dari
beberapa kemungkinan kejadian , maka rangkaian eksperimen tersebut disebut Proses
Stokastik.
Gambar 94. Klasifikasi Proses Stokastik
Sebuah
rantai
Markov
adalah
suatu
urutan
dari variabel-variabel
acak X 1, X 2, X 3,...... dengan sifat Markov yaitu, mengingat keadaan masa depan dan masa lalu
keadaan yang independen, dengan kata lain:
Nilai yang mungkin untuk membentuk Xi S disebut ruang keadaan rantai.
Markov Chain adalah sebuah Proses Markov dengan populasi yang diskrit (dapat
dihitung) yang berada pada suatu discrete state (position) dan diizinkan utk berubah state
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 101
pada time discrete. Ada beberapa macam variasi dari bentuk rantai markov. Continuous
Markov memiliki indeks kontinu.
Sisa rantai Markov homogen (rantai Markov stasioner) adalah proses di mana untuk
semua n. Probabilitas transisi tidak tergantung dari n. Sebuah rantai Markov orde m di
mana m adalah terbatas,
Dengan
kata
lain,
keadaan
selanjutnya
tergantung
pada
memiliki 'klasik'
Markov
keadaan m selanjutnya. Sebuah
rantai (Y n) dari (X n) yang
properti sebagai berikut: Biarkan Yn = (X n, X n -1, ..., X n - m 1 ), yang memerintahkan mtupel dari nilai-nilai X. Maka Y n adalah sebuah rantai Markov dengan ruang keadaan S m dan
memiliki klasik properti Markov. Sebuah aditif rantai Markov order m di mana m adalah
terbatas
adalah untuk semua n> m.
Status-statusnya adalah:
1. Reachable State
Status j reachable dari status i apabila dalam rantai dpat terjadi transisi dari
status i ke status j melalui sejumlah transisi berhingga; Terdapat n, 0 ≤ n ≤ ∞,
sehingga Pnij > 0.
2.
Irreduceable Chain
Jika dalam suatu rantai Markov setiap status reachable dari setiap status lainnya,
rantai tersebut adalah irreduceable.
3.
Periodic State
Suatu status i disebut periodic dengan peroda d > 1, jika pnii > 0, hanya untuk n =
d, 2d, 3d,... ; sebaliknya jika pnii > 0, hanya untuk n = 1, 2, 3,...maka status tersebut
disebut aperiodic.
4.
Probability of First Return
Probabilitas kembali pertama kalinya ke status i terjadi dalam n transisi setelah
meninggalkan i.
5.
(note: fi(0) didefinisikan = 1 untuk semua i)
Probability of Ever Return
Probabilitas akan kembalimya ke status i setelah sebelumnya meninggalkan i.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 102
6.
7.
8.
Transient State
Suatu status disebut transient jika probabilitas fi < 1; yaitu bahwa setelah dari
i melalui sejumlah transisi terdapat kemungkinan tidak dapat kembali ke i.
Recurrent State
Suatu status disebut recurrent jika probabilitas fi = 1; yaitu bahwa setelah dari
i melalui sejumlah transisi selalu ada kemungkinan untuk kembali ke i.
Mean Recurrent Time of State
Untuk suatu status recurrent, jumlah step rata-rata untuk kembali ke status i
9.
Null Recurrent State
Suatu Recurrent State disebut recurrent null jika mi = ∞
10. Positive Recurrent State
Suatu recurrent state disebut positive recurrent atau recurrent nonnull jika mi < ∞
11. Communicate State
Dua status, i dan j, dikatakamn berkomunikasi jika i reachable dari j dan juga
12.
reachable dari i ; ditulis dengan notasi
Ergodic
Rantai Markov disebut ergodic jika, irreduceable, aperiodic, dan seluruh
status positive recurrent
6.3 Teorema-Teorema
1. Teorema mengenai Relasi Ekovalensi
a.
Relasi i <—> j merupakan relasi ekuivalen
1. untuk setiap status i , berlaku i <—> i
2. jika i <—> j, maka juga j <—> i
3. jika i <—> j dan j <—> k maka i <—> k
b.
Status-status suatu Rantai Markov dapat dipartisi kedalam kelas-kelas ekivalensi
sehingga i <—> j, jika dan hanya jika i dan j berada dalam kelas ekivalensi yang sama.
c.
Suatu Rantai Markov irreducible jika dan hanya jika didalamnya hanya terdiri atas
tepat satu kelas ekivalensi.
d.
Jika i <—> j, maka i dan j memiliki periode yang sama.
e.
Untuk i <—> j, jika i recurrent maka juga j recurrent.
2. Teorema mengenai Irreducible
jika {Xn}suatu rantai Markov, maka tepat salah satu kondisi berikut ini terjadi:
a. Semua status adalah positif recurrent
b.
Semua status recurrent null
c.
Semua status trancient
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 103
3. Teorema mengenai Limiting Probability
Definisi: πj(n) adalah probabilitas suatu Rantai Markov { Xn}berada dalam
status j pada step ke n. Maka πj(n) = P[ Xn = j]
Distribusi awal ( initial ) dari masing-masing status 0, 1, 2, …… dinyatakan
sebagaiπj(0) = P[ X0 = j], untuk j = 0, 1, 2,...
Suatu rantai Markov memiliki distribusi probabilitas stasioner π = (π0, π1, π2, ...., πn )
apabila terpenuhi persamaan π = π P asalkan setiap πi ≥ 0 dan ∑i πi =1.
Jika suatu rantai Markov homogen waktu (stasioner dari waktu ke waktu)
yang irreducible, aperiodic, maka limit probabiltasnya
, untuk j = 0, 1, ......
selalu ada dan independent dari distribusu probabilitas status awal π (0) = (π0(0) , π1(0) , π2(0),
…..).
Jika seluruh status tidak positif recurrent (jadi seluruhnya recurrent null atau
seluruhnya transient), maka πj = 0 untuk semua j dan tidak terdapat distribusi probabilitas
stasioner.
Syarat - syarat yang harus dipenuhi dalam menerapkan Rantai Markov pada suatu kasus :
1. jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari system sama dengan 1
2. Probabilitas - probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisan dalam system
3. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu
4. Kondisi merupakan independent.
7. Referensi
a. Modul praktikum optimisasi, 2017, Prodi Teknik Industri STTA, Yogyakarta.
b. Modul praktikum optimisasi, 2019, Prodi Teknik Industri STTA, Yogyakarta.
c. P. Siagian, 1987, Penelitian Operasional, Penerbit Universitas Indonesia,.
d. Tjutju Tarliah Dimyati, Ahmad Dimyati, 1994, Operations Research, Sinar Baru
Algensindo.
e. Winston, Wayne L., 2004, Operations Research Applications and Algorithm, 4th ed,
Thomson Brooks Cole, USA.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 104
8. Tugas
PT Nusantara meminta lembaga konsultan manajemen untuk melakukan survei mengenai
kesetian pelanggannya terhadap tiga merek produk mebel, yaitu merah, kuning, hijau.
Matriksnya terlihat pada tabel 15 berikut ini.
Merek yang
Tabel 15. Studi Kasus Rantai Markov
Merek yang Akan Dibeli Berikutnya
Sekarang
Merah
Kuning
Hijau
Jumlah
Merah
0,80
0,15
0,05
1,00
Kuning
0,20
0,65
0,15
1,00
Hijau
0,30
0,10
0,60
1,00
Biaya
Rp200
Rp185
Rp160
Dari tabel tersebut terlihat pelanggan yang saat ini memilih produk merah, tetap akan
memilih produk merah dengan kemungkinan 80%, kemungkinan memilih produk merek
kuning 15% dan memilih hijau dengan kemungkinan 5%. Demikian juga dengan merek yang
kuning dan hijau. Manajemen PT Nusantara ingin mengetahui karakteristik konsumennya
dengan metode analisis Markov.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 105
MODUL 9 ANTRIAN
1. Deskripsi
Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian-antrian atau
baris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan ini tentu saja merupakan suatu
fenomena biasa yang terjadi apabila kebutuhan suatu pelayanan melebihi kapasitas yang
tersedia untuk menyelenggarakan pelayanan. Sebuah sistem pelayanan mencakup fasilitas
pelayanan yang terdiri dari satu atau lebih pelayan, yang akan memberikan jenis-jenis
pelayanan khusus kepada pelanggan yang datang pada fasilitas pelayanan tersebut.
2. Tujuan
a. Praktikan dapat memahami data-data yang dibutuhkan dalam kasus antrian yang
berasal dari kehidupan nyata dan memformulasikan data tersebut dalam model
matematik.
b. Praktikan dapat memahami manfaat dari analisa antrian dalam rangka mengambil
keputusan yang optimal.
3. Alat dan Bahan
PC dan Software pengolah data (Win QSB)
4. Prosedur Pelaksanaan Praktikum
Untuk penyelesaian masalah antrian dengan program WinQSB, ikuti langkah-langkahnya
sebagai berikut.
1. Jalankan program WinQSB, lalu pilih Queuing Analysis. Di layar akan tampak tampilan
seperti pada Gambar 95 berikut ini.
Gambar 95. Tampilan awal model antrian WinQSB
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 106
2. Buatlah definisi masalah baru dengan memilih menu file, new problem lalu isikan
berbagai keterangan dan pilihan, sehingga di layar tampak tampilan seperti pada gambar
96.
Gambar 96. Isian untuk membuat model antrian
3. Kliklah Ok dan isikan informasi yang sudah di sampaikan di ataske dalam layar dan
hasilnya tampak seperti pada gambar 97 berikut ini.
Gambar 97. Input Data pada modul antrian
Penjelasan untuk beberapa isian adalah sebagai berikut :
• Item service rate diisi 4, karena menurut informasi di atas, setiap pelanggan butuh
waktu 15 detik. Dengan kata lain dalam satu menit, ada 4 pelanggan yang
masalahnya dapat diselesaikan.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 107
• Item custumer arrival rate diisi 3, karena ada 3 pelanggan yang menelpon dalam
setiap menitnya.
• Item busy server cost per menit adalah Rp20, sama dengan gaji seorang operator.
Demikian juga idle server cost per menit Rp20 karena meskipun tidak menjawab
telpon pelanggan, operator tetap digaji.
• Item customer waiting cost per menit adalah Rp50, baik ketika sedang dijawab oleh
operator maupun oleh mesin, sehingga pada item customer being served cost per
menit juga diisi Rp50 ( tanpa tanda Rp).
4. Simpanlah masalah anda dengan nama file 09Q-01.QQA.
5. Setelah model di-input dan disimpan, kini saatnya untuk menemukan solusi dan
menampilkannya. Muatlah masalah (bila di layar belum tampak model anda) dengan
menu file, load problem ( dalam contoh di atas nama file anda 09Q-01.QAA)
6. Jalankan menu Solve and Analyze, lalu pilih Solve the Performance. Hasilnya akan
tampak seperti berikut ini.
Gambar 98. Hasil analisis masalah antrian 1
Dari informasi tersebut diketahui berbagai informasi sebagai berikut
a. Biaya total per menit sistem tersebut adalah Rp170
b. Diketahui λ = 3, μ = 4 (4 orang per menit atau satu orang per 15 detik)
𝜆𝜆
c. L ( baris 7, banyaknya pelanggan yang dilayanidalam satu antrian) = 𝜇𝜇−𝜆𝜆 =
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
3
4−3
=3
Page 108
𝜆𝜆2
32
d. . Lq (baris 8, banyaknya pelanggan dalam antrian) = 𝜇𝜇 (𝜇𝜇−𝜆𝜆) = 4(4−3) = 2,25
e. .W (baris 10, rata-rata pelanggan menghabiskan waktu dalam antrian dan ketika
1
1
dilayani) = 𝜇𝜇−𝜆𝜆 = 4−3 = 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
f. .Wq (baris 11, rata-rata pelanggan menunggu dilayani) =
0,75 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 45 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑)
𝜆𝜆
𝜆𝜆
𝜇𝜇(𝜇𝜇−𝜆𝜆)
3
= 4(4−3) =
3
g. .P0 (baris 13, kemungkinan sistem menggangur) = 1 − 𝜇𝜇 = 1 − 4 = 25%
h. .PW (baris 14, kemungkinan pelanggan harus menunggu) atau Pb (kemungkinan
𝜆𝜆
3
sistem sibuk) = 𝜇𝜇 = 4 = 75 %
Analisis tambahan layanan
Analisis antrian dapat digunakan untuk mengevaluasi apakah titik pemberian layanan
perlu ditambah. Dalam contoh yang sudah dijelaskan sebelumnyan hanya terdapat satu
operator. Bagaimanakah bila perusahaan ingin menambah satu operator lagi, apakah
menguntungkan bagi perusahaan? Langkah-lamgkahnya adalah sebagai berikut :
1. Masih ditampilan seperti pada gambar 98, kliklah Window, lalu angka 1 untuk kembali
ke tampilan seperti gambar 97.
2. Ubahlah Number of serve dari 1 menjadi 2.
3. Jalankan menu Solve and Analyze, lalu pilih Solve the Performance. Di layar akan
ditampilkan hasil seperti tampak pada gambar 99.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 109
Gambar 99. Hasil analisis antrian 2
Hasil tersebut menunjukkan perbaikan pada rata-rata waktu tunggu oleh pelanggan
(menjadi lebih singkat dibanding sebelumnya). Demikian juga dengan biaya total sistem
juga turun Rp170 menjadi Rp 83,6364. Namun, apakah bila titik layanan ditambah satu
lagi (sehingga total ada 3), kinerja sistem akan semakin baik? Untuk itu perlu dilakukan
analisis sensitivitas pada langkah 4 berikut ini.
4. Untuk melakukan analisis sensitivitas, ulangi langkah 1 di atas (untuk kembali ke
tampilan seperti pada gambar 97.
5. Kliklah menu Solve and Analyze, Perform Sensitivity Analysis, sehingga di layar tampak
seperti gambar 100 berikut:
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 110
Gambar 100. Hasil analisis antrian 3
6. Pada isian start from isikan angka 1, pada isian End at isikan 5, dan pada isian Step isikan
1. Kliklah Ok untuk segera menampilkan hasilnya, seperti tampak pada Gambar 101.
Gambar 101. Analisis sensitivitas model antrian dalam bentuk tabel
Perhatikan kolom paling kanan, yaitu pada kolom total cost, biaya yang paling sedikit
ada di baris ke-2, yaitu Rp83,6364. Dengan demikian, dari berbagai pilihan (dari 1
hingga 5 operator), yang paling hemat dan sekaligus memiliki kinerja yang baik adalah 2
operator. Oleh karena itu, manajemen tidak perlu menambah operator menjadi 3 dan
seterusnya.
7. Bila anda ingin menampilkan analisis sensitivitas dalam bentuk grafik, kliklah Results,
Sensitivity Analysis-Graph, lalu pilih salah satu item yang ingin anda buatkan grafiknya.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 111
Sebagai contoh, pilihlah total cost (ada di paling bawah) lalu kliklah Ok, sehingga akan
tampak hasilnya seperti berikut ini :
Gambar 102. Analisis sensitivitas model antrian dalam bentuk grafik
Dari tampilan grafik di atas juga terlihat bahwa biaya yang paling rendah terjadi pada
saat sistem diisi dengan dua operator. Anda dapat melakukan analisis sensitivitas
lainnya, berdasarkan berbagai item yang anda ingin evaluasi.
5. Output
Solusi masalah antrian dalam bentuk grafis dan non grafis.
6. Landasan Teori
6.1 Pengenalan teori antrian
Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian-antrian atau
baris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan ini tentu saja merupakan suatu
fenomena biasa yang terjadi apabila kebutuhan suatu pelayanan melebihi kapasitas yang
tersedia untuk menyelenggarakan pelayanan. Sebuah sistem pelayanan mencakup fasilitas
pelayanan yang terdiri dari satu atau lebih pelayan, yang akan memberikan jenis-jenis
pelayanan khusus kepada pelanggan yang datang pada fasilitas pelayanan tersebut.
Keputusan-keputusan yang berkenaan dengan jumlah kapasitas fasilitas pelayanan harus
dapat ditentukan, walaupun sebenarnya tidak mungkin dapat dibuat suatu prediksi yang tepat
mengenai kapan unit-unit yang membutuhkan pelayanan itu akan datang dan atau berapa
lama waktu yang diperlukan untuk menyelenggarakan pelayanan itu.
6.2 Struktur Dasar Model Antrian
Proses yang terjadi pada model antrian dapat digambarkan sebagai berikut :
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 112
Gambar 103. Struktur dasar antrian
Unit-unit yang memerlukan pelayanan yang diturunkan dari suatu sumber input
memasuki sistem antrian dan ikut dalam antrian. Dalam waktu-waktu tertentu, anggota
antrian ini dipilih untuk dilayani. Pemilihan ini didasarkan pada suatu aturan tertentu yang
diebut disiplin pelayanan. Pelayanan yang diperlukan dilaksanakan dengan suatu mekanisme
pelayanan tertentu. Setelah itu, unit-unit tersebut meninggalkan sistem antrian.
Sistem antrian memiliki beberapa komponen sebagai berikut :
1. Populasi Masukan
2. Distribusi Kedatangan
3. Disiplin Pelayanan
4. Fasilitas Pelayanan
5. Distribusi Pelayanan
6. Kapasitas Sistem Pelayanan
7. Keluar
8. Karakteristik Sistem Lainnya
6.3 Klasifikasi Struktur Model Antrian
Berdasarkan proses pelayanannya, dapat diklasifikasikan fasilitas-fasilitas pelayanan
dalam susunan saluran dan fasa yang akan membentuk suatu struktur antrian yang berbedabeda. Ada empat struktur antrian dasar menurut Buffa dan Sarin yang menggambarkan
kondisi umum di sustu fasilitas layanan:
1. Saluran Tunggal Fasa Tunggal (Single Channel Single Phase)
Struktur antrian ini merupakan struktur yang paling sederhana dimana hanya memiliki
satu jalur (saluran) untuk memasuki sistem pelayanan yang ada dan hanya ada satu stasiun
pelayanan, sehingga setelah menerima pelayanan pelanggan (individu-individu) keluar dari
sistem.
2. Saluran Berganda Fasa Tunggal (Multiple Channel Phase Single)
Struktur antrian ini terjadi jika jumlah stasiun pemrosesan (pelayanan) ditambah atau
lebih dari satu tetapi tetap menggunakan satu antrian tunggal.
3. Saluran Tunggal Fasa Berganda (Single Channel Multiple Phase)
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 113
Struktur antrian ini pada dasarnya memiliki sejumlah fasilitas layanan secara serial,
menunjukkan dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan.
4. Saluran Berganda Fasa Berganda
Struktur antrian ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap,
sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada suatu waktu.
6.4 Sistem Antrian Dasar Pendatang Tetap dan Waktu Pelayanan
Dalam kasus dimana tingkat kedatangan dan tingkat pelayanan bersifat tetap, maka
ada tiga kemungkinan yang terjadi yaitu :
1. Tak ada antrian, waktu menganggur.
Kondisi ini terjadi apabila waktu pelayanan lebih kecil daripada waktu antar
kedatangan, sehingga sebelum terjadi kedatangan berikutnya fasilitas pelayanan telah
selesai melayani unit sebelumnya, karena hal tersebutlah fasilitas pelayanan akan
menganggur sampai kedatangan pelanggan berikutnya.
2. Tak ada antrian, Tak ada waktu menganggur.
Kondisi ini terjadi apabila waktu pelayanan sama dengan waktu antar kedatangan,
sehingga ketika unit (pelanggan) berikutnya datang kepada fasilitas pelayanan pada
waktu itu pula fasilitas pelayanan selesai melayani unit sebelumnya, sehingga dapat
langsung dilayani.
3. Ada antrian, Tak ada waktu menganggur.
Kondisi ini terjadi apabila waktu pelayanan lebih besar daripada waktu antar
kedatangan, sehungga ketika unit berikutnya datang fasilitas pelayanan belum selesai
melayani unit sebelumnya, hal ini mengakibatkan unit yang datang berikutnya harus
menunggu sampai fasilitas pelayanan tersebut selesai melayani unit sebelumnya.
Jika suatu sistem antrian telah mulai berjalan, keadaan sistem (jumlah unit dalam sistem)
akan sangat dipengaruhi oleh state (keadaan) awal dan waktu yang telah dilalui. Dalam
keadaan seperti ini, sistem dikatakan dalam kondisi transien. Tetapi, lama kelamaan keadaan
sistem akan independen terhadap terhadap state awal tersebut, dan juga terdapat waktu yang
dilaluinya. Keadaan sistem seperti ini dikatakan berada dalam kondisi steady state. Teori
antrian cenderung memusatkan pada kondisi steady state, sebab kondisi transien lebih sukar
dianalisis.
7. Referensi
a. Modul praktikum optimisasi, 2017, Prodi Teknik Industri STTA, Yogyakarta.
b. Modul praktikum optimisasi, 2019, Prodi Teknik Industri STTA, Yogyakarta.
c. P. Siagian, 1987, Penelitian Operasional, Penerbit Universitas Indonesia,.
d. Tjutju Tarliah Dimyati, Ahmad Dimyati, 1994, Operations Research, Sinar Baru
Algensindo.
e. Winston, Wayne L., 2004, Operations Research Applications and Algorithm, 4th ed,
Thomson Brooks Cole, USA.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 114
8. Tugas
PT Nusantara memiliki sistem layanan pelanggan melalui telpon dan dilayani oleh seorang
petugas. Menurut catatan, rata-rata tiap menit ada tiga telpon dari pelanggan ( bisa dinyatakan
dalam λ atau lamda) dan masing-masing memerlukan waktu 15 detik untuk mendapat solusi (
biasa dinyatakan dalam μ atau myu).
Jumlah penelpon yang harus menunggu tidak dibatasi, karena untuk sementara dapat
dilayani oleh komputer dan mesin penjawab otomatis. Gaji seorang operator adalah Rp20 per
menit. Biaya seorang penelpon adalah Rp50 per menit (baik penelpondijawab langsung oleh
operator maupun oleh mesin, tarif ini sama besarnya.
Perusahaan ingin mengetahui apakah perlu menambah operator atau tidak. Bahkan
manajer perusahaan ingin mengetahui, berapakah jumlah operator yang optimal untuk
kondisi sekarang ini.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 115
LAMPIRAN
FORMAT LAPORAN
1. Tiap kelompok mengumpulkan satu laporan akhir.
2. Laporan akhir dikumpulkan dalam bentuk CD ( Compact Dsc) dan dibuat dalam Format
Website (Homepage) dengan file berextention htm atau html
3. Desain Laporan sangat mempengaruhi penilaian Akhir.
MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI
Program Studi Teknik Industri ITDA Yogyakarta
Page 116