MATA4432-M1-dikonversi

Mo D u L 1
Transformasi Laplace
Bagian 1
Prof. S.M. Nababan, Ph.D
PENDAHULUAN
M
etode matematika adalah salah satu cabang ilmu matematika yang
mempelajari berbagai metode untuk menyelesaikan masalah-masalah
fisis yang dimodelkan oleh persamaan diferensial biasa atau parsial.
Salah satu metode yang digunakan ialah transformasi Laplace.
Transformasi Laplace adalah suatu transformasi dari fungsi yang
menggunakan integral tak wajar. Konsep integral tak wajar dan
kekonvergenannya dibutuhkan untuk mempelajari transformasi Laplace.
Transformasi Laplace banyak digunakan dalam meyelesaikan masalah nilai
awal suatu persamaan diferensial biasa dan masalah-masalah syarat batas
khususnya transformasi Laplace sangat ampuh untuk menyelesaikan
persamaan gelombang dan persamaan panas dimensi satu.
Dalam modul ini Anda akan mempelajari sebagian dari transformasi
Laplace yang menyangkut konsep transformasi Laplace, eksistensi
transformasi Laplace dan transformasi Laplace dari turunan dan integral
suatu fungsi. Contoh-contoh akan diberikan untuk mematangkan pengertian
dan penguasaan Anda.
Dalam Kegiatan Belajar 1 Anda akan mempelajari konsep transformasi
Laplace, sifat kelinearan transformasi Laplace dan inversnya beserta
eksistensi transformasi Laplace. Kegiatan Belajar 2 akan membahas
transformasi Laplace turunan dan integral suatu fungsi beserta aplikasinya
dalam menyelesaikan suatu persamaan diferensial.
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat memahami
konsep transformasi Laplace dan terampil menggunakannya untuk
menentukan transformasi Laplace suatu fungsi serta untuk menyelesaikan PD
linear sebarang.
1.2
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
MEtoDE MAtEMAtis II 
Secara khusus, setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
menentukan rumus transformasi Laplace dan menggunakannya secara
langsung untuk menentukan transformasi Laplace fungsi-fungsi
sederhana,
menentukan rumus invers transformasi Laplace fungsi-fungsi tertentu;
menerangkan
sifat
kelinearan
transformasi
Laplace
dan
menggunakannya untuk menentukan transformasi Laplace suatu fungsi
yang merupakan kombinasi dari fungsi-fungsi yang diketahui
transformasi Laplacenya,
menerangkan sifat kelinearan invers transformasi Laplace dan
menggunakannya untuk menentukan invers transformasi Laplace suatu
fungsi yang dapat dipisah atas fungsi-fungsi yang diketahui invers
transformasi Laplacenya,
memeriksa apakah suatu fungsi mempunyai transformasi Laplace atau
tidak,
menentukan rumus transformasi Laplace turunan dan integral suatu
fungsi dan menggunakannya untuk menentukan transformasi Laplace
fungsi-fungsi tertentu,
menggunakan transformasi Laplace dari turunan fungsi untuk
menentukan solusi PD linear homogen dengan koefisien konstanta yang
disertai syarat awal (masalah nilai awal PD),
menentukan invers transformasi Laplace dengan menggunakan sifat-sifat
yang diketahui dan bantuan tabel yang sederhana.
1.3
 MATA4432/MODUL 1
K E gi A t A n B E L AJ AR 1
Pengertian Transformasi Laplace dan
Invers Transformasi Laplace
D
alam Kegiatan Belajar 1 ini akan dibahas konsep transformasi Laplace,
invers transformasi Laplace, sifat kelinieran transformasi Laplace dan
inversnya beserta eksistensi transformasi Laplace. Juga diberikan tabel dari
transformasi Laplace dan inversnya untuk fungsi-fungsi yang penting.
Definisi 1.1
Misalkan f (t) suatu fungsi yang didefinisikan untuk t  0 . Bila integral tak

wajar
0
e st f (t) dt konvergen ke suatu fungsi F (s) , maka F (s) disebut
transformasi Laplace dari F (t) dan dinyatakan dengan L  f (t) .
Jadi transformasi Laplace dari f(t) adalah
L  f (t)  F (s) 
Selanjutnya

0
e st f (t) dt .
f (t) disebut invers transformasi Laplace dari
1
dinyatakan dengan L
F (s)
dan
F (s) .
Jadi
f (t)  L1 F (s)
.
Contoh 1.1
Tentukan L  f (t) apabila f (t) 1, t 0 .
Penyelesaian:
L
 f (t)  L 1  


b 0
est .1dt  lim
0
b
est dt
 1
 lim  est   lim 1 ebs 1

b s
b 
 s
0
1
1
Karena lim e bs 0 untuk s0 , maka L 1   (1) 
untuk s  0 .
b
s
s
b


1.4
MEtoDE MAtEMAtis II 
Jadi
L 1 
1
,s0.
s
Contoh 1.2
Tentukan L  f (t) apabila f (t)  t  ,   0, t  0 .
Penyelesaian:
L{ f (t)}  L{ t  } 


s  1 0
1


 1 0
s
Di sini

1



0
 ( 1)
s  1
e st t  dt
est st11d  st  , substitusi u  st
e uu  11du
.
   memenuhi sifat
  1     . Khususnya untuk
  n, n bilangan asli, didapat  (n 1)  n!
Jadi
L{ t n } 
 (n 1)  n!
s n1

s n1
Kesimpulan
L{ t  } 
 ( 1)
s
 1
,  0
dan
L(t n ) 
Contoh 1.3
Bila diketahui f (t)  e at , t  0, maka tentukan L
n!
,s0
s n1
 f (t) .
1.5
 MATA4432/MODUL 1
Penyelesaian:
L  f (t)  L{eat } 

0

e

0
t (sa)
e st e at dt
dt  lim
b 0

b
 1
t (sa) 
 lim 

e

 s  a

b
b
e t (sa)dt
1
e b(sa) 1 .
b s  a

 lim
t 0

Untuk s  a > 0 atau s > a, maka lim e b( sa)  0 .
b

Jadi
L{ e at } 
1
,s a
sa
Contoh 1.4
Untuk f (t)  cos at, t  0, tentukan L
Penyelesaian:

0
L cos at
 f (t) .

b 0
est cos at dt  lim
b
est cos at dt
Dengan melakukan integrasi parsial dua kali, didapat
 est cos at dt   est d (sin at) 
1
e st sin at  s e st sin at dt 


1a 
s a 

 est sin at  e st d (cos at) 



a1
as
 est sin at  est cos at  s est cos at dt 

a



1

s2 

st
1 st
e
a

a 2 
2
s
sin at  e st cos at  s e
2
2
a
1 st
s st a


st
cos at dt
cos at dt  e
1
e
cos at  c
 a2 
a 1 sin at  2 e

 st
a estasin at  s est cos at   c.
e cos at dt 


s2  a2 

1.6
MEtoDE MAtEMAtis II 

Selanjutnya karena
sin at 1 ,
cos at 1
maka dengan mudah dapat
diperlihatkan bahwa untuk s0
lim e st sin at 0 dan lim est cos at 0 .
t
t
Jadi


b
1
st
st
(a
e
sin
at

s
e
cos
at)
2
2
t 0
b s  a
1
 lim
[(a e sb sin ab  s e sb cos ab)  s] 
L{cos at}  lim
b
untuk s  0 .
s 2 a
s
s2a2
2
Dengan demikian diperoleh rumus:
L{cos at} 
s
s a2
2
, s 0
Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa
L{sin at} 
a
s a2
2
, s 0
Sifat Kelinearan Transformasi Laplace
Teorema 1.1
Bila F (s)  L  f (t) dan
G(s)  L g(t) maka untuk setiap
konstanta-konstanta  ,  berlaku
L  f (t)   g(t)   F (s)   G(s)  L  f (t)  L g(t) .
1.7
 MATA4432/MODUL 1
Bukti:
L  f (t)   g(t) 

0

e st  f (t)   g(t)dt

0
e st f (t) dt  

0
e st g(t) dt
  L  f (t)  L g(t)
  F (s)   G(s).
Contoh 1.5
Untuk f t  cosh at , tentukan L  f t .
Penyelesaian:
Kita telah mengetahui bahwa cosh at 
e at  eat
.
2
Jadi dari Teorema 1.1 dan Contoh1. 3 didapat
1
 e at  e at  1
at
at
L
e

L
e




L cosh at   L 
2
2

 2


1
 1

 . 1  1 . 1  1 
 1   s
2

2 s  a 2 s  a 2  s  a s  a  s  a
 



untuk s > a dan s > a atau s  a .
Jadi
L cosh at 
s
s2 a2
,sa
Dengan cara yang sama dapat diperlihatkan bahwa
L sinh at 
a
s a2
2
,
sa
2
.
1.8
MEtoDE MAtEMAtis II 
Contoh 1.6
Tentukan L
 3cos 4t  6t  .
2
Penyelesaian: Dari Teorema 1.1 dan hasil-hasil di atas, didapat


 
L 3 cos 4t  6t 2  3 L cos 4t   6 L t 2

 3.
s
s 16
2
 6.
2!

3
s
3s
s 16
2

12
S3
Dari rumus-rumus yang dihasilkan dalam contoh-contoh di atas,
diperoleh tabel transformasi berikut
TABEL TRANSFORMASI LAPLACE
f (t)
L  f (t)  F (s)
1
1
t n , n  1, 2, 3, L
t, 0
e at
cos at
sin at
cosh at
sinh at
s
n!
s
, s 0
,s  0
n1
 ( 1)
s  1
1
sa
s
s2a2
a
s2a2
s
s2 a2
a
s2 a2
,sa
, s a
, s 0
, s 0
,sa
,sa
1.9
 MATA4432/MODUL 1
TABEL INVERS TRANSFORMASI LAPLACE
1
F (s)
L1  (s)  F (t)
1
s
1
n  1, 2, 3, ...
tn
n!
,
s n1
1
s  1
,n0
e at
1
sa
1
s a
2
,
2
a 0
s
s2a2
sin at
a
cos at
s a2
1
 ( 1)
e at
2
s2a2
s
t 
,
a 0
sinh at
a
,
a 0
cosh at
Sifat Kelinearan Invers Transformasi Laplace
Teorema 1.2
Bila L  f (t)  F (s) dan L  g(t)   G(s), maka untuk setiap konstantakonstanta  dan  ,
L1  F (s)   G(s)  L1 F (s)  L1 G(s)  f (t)   g(t) .
Bukti:
Dari Teorema 1.1 telah diketahui bahwa
L  f (t)   g(t)  L  f (t)  L g (t)  F (s)   G(s) .
Jadi
 f (t)   g (t)  L1  F (s)   G(s)
atau
1.10
MEtoDE MAtEMAtis II 

L1  F (s)   G(s)  f (t)   g(t) .
Contoh 1.7 
Tentukan L 1 
4


 2s  7
4s  6

s2 9
12 
.

s 5 
Penyelesaian: Dari Tabel Invers Transformasi Laplace, didapat
 4
 4s  6 
 1 
 1 
4s  6 12 
1 
L 1 
 L 1 
12L 1  
 2s 7  s 2  9  5  4L  

 2

 5 
s 
 2s  7 


 
s 
 s  9 

 1 








1 
1  1 

  4s  2

 1 
 4L 1 
L7 1
 2s 
 s  9  6L  s 2  9 12L  5 
2 
 s 












s 
1 
 1 
1 
1 
1 
4 1  1 

5



 2L 
s  7 

 s 2  9
6L
 s 2  9
12L
 4L 


 s 





 2 







7
sin 3t
t
 2e 2  4 cos 3t  6

7
t
2
2e
3
12
t4
4!
1
 4 cos 3t  2 sin 3t  t 4.
2
Contoh 1.8  

Tentukan L 1  5s  7  .
2
 s  3s  2 




Penyelesaian: Kita melakukan pemisahan variabel seperti berikut:
5s  7

A
B A(s  2)  B (s 1)
5s  7




2
(s
1)(s

2)
s
1
s2
(s 1)(s  2)
s  3s  2

5s  7  A(s  2)  B (s 1)
Untuk s  1
s  2


2
 A(1 2)  A

 3  B(2 1)
 B

 A  2

 B  3.
1.11
 MATA4432/MODUL 1
Jadi
5s  7
 2  3


, dan dari tabel diperoleh
s  3s  2 s 1 s  2


 2
L 1  2 5s  7    L 1 
 3 
 s 1 s  2 
s  3s  2 





 1 
 1   2e t  3e 2t .
1

 2L 1 




3L
 s 1
s  2 





2

Contoh 1.9
Tentukan L


 2s 2  3s 14 
.

2
(s

2)(s

4)




1 
Penyelesaian: Kita melakukan pemisahan variabel seperti berikut:
2s 2  3s 14
A
Bs  C A(s 2  4) (Bs  C)(s  2)



s2 s 24
(s  2)(s 2  4)
(s  2)(s 2  4)
2s 2  3s 14  A(s 2  4) (Bs  C)(s  2)
( A  B)s 2 (2B  C)s (4 A  2C).
Dari prinsip identitas diperoleh
AB2
2B  C  3
4 A  2C  14
Penyelesaian ketiga persamaan ini menghasilkan
A  2, B  0 dan C  3 .
Jadi
2s 2  3s 14
(s  2)(s  4)
2

2
3

2
s2 s 4
dan dari
 tabel didapat 
1  2s 2  3s 14 

 2
3 
1 
 





L 

L 
2
 s  2 s 2  4 

 (s  2) (s  4)

 1 
 1 
3
1 
2t
 2 L 1 
 3 L  2
  2e  sin 2t.
 s  2
 s  4
2





1.12
MEtoDE MAtEMAtis II 
Eksistensi Transformasi Laplace
Sebelum memberikan syarat cukup agar transformasi Laplace dari fungsi
f (t) ada, terlebih dahulu kita memberikan konsep fungsi kontinu bagian
demi bagian.
Definisi 1.2
Fungsi f (t) , a  t  b, dikatakan kontinu bagian demi bagian pada selang
[a, b], apabila banyaknya titik-titik diskontinuitas dari
f (x)
adalah
berhingga dan limit-limit kiri dan kanan di titik-titik diskontinuitas ada dan
berhingga, yaitu f tidak mempunyai titik diskontinuitas tak hingga.
Contoh 1.10
Fungsi-fungsi
 berikut, yaitu:

, 0  x 1
(a) f (x)   2

 x 1 , 1 x  2
adalah kontinu bagian demi bagian pada selang [0, 2]
 0 , 0  x  2
 1
g(x)

(b)
 , 2  x  4

x
adalah kontinu bagian demi bagian pada selang [0, 4]
 0 , 1 x  0
(c) h(x)  
1
 , 0  x 1

x
tidak kontinu bagian demi bagian pada selang [1, 1], karena
1
diskontinu tak hingga di x = 0, yaitu lim h(x)  lim   .
x0 
x0 x
h(x)
Catatan: Setiap fungsi yang kontinu bagian demi bagian pada selang [a, b]
adalah terintegralkan (dapat diintegralkan)
Sekarang kita memberikan teorema eksistensi transformasi Laplace berikut.
1.13
 MATA4432/MODUL 1
Teorema 1.3
Misalkan f (t) , t  0, suatu fungsi yang kontinu bagian demi bagian
pada selang [0, a] untuk setiap a > 0, dan memenuhi
f (t)  Me  t , t  0 ,
(1)
untuk suatu konstanta M  0 dan  . Maka transformasi Laplace dari
f (t) , F (s) ada untuk setiap s   .
Bukti:
Karena f (t) kontinu bagian demi bagian pada selang [0, a],
0a e st f (t) dt
a  0, maka
ada untuk setiap a > 0.
Selanjutnya, dari (1) didapat
L  f (t) 
0 est f (t) dt

a 0
 lim
 lim M
a0

0

est f t dt
a
 Meste  t dt
a 0
a
e st f (t) dt  lim

a
e
ts

t (s )
dt  lim M e
a  (s   )
a
t 0
 lim
a 
M
a(s )
e
 s 
M
, untuk s  
1  
 s  
Jadi L  f (t) ada untuk setiap s   .
Contoh 1.11
(a) L{cosh t} dan L (t n ) ada karena
et  et
t
e t  et

 e , t  0, dan
cosh t  cosh t 
2
2
n
n
t
t  t  n! e , t  0, n  0, 1, 2, 3, L
1.14
MEtoDE MAtEMAtis II 

 dan L  e

(b) L t n sin  t
t
sin  t
 ada, karena
t n sin  t  t n  n! e t , t  0, n  0, 1, 2, 3, L
et sin  t  et , t  0.
dan
LATIHAN
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
1) Tentukan transformasi Laplace dari fungsi-fungsi berikut, dimana k dan c
konstanta- konstanta.
(a)
(b)
f(t)
f(t)
k
k
c
t
(c)
1
2
1
2
t
(d)
f (t)
f (t)
1
1
1
2
t
t
2) Tentukan L  f (t) apabila f (t) masing-masing fungsi berikut
(a)
f (t)  at 2  bt  c ; a, b, c konstanta-konstanta
(b)
f (t)  3e2t  t t
(c)
f (t)  cos (t  ),  suatu konstanta
(d)
f (t)  e it
1.15
 MATA4432/MODUL 1
3) Tentukan L  f (t) apabila f (t) masing-masing fungsi berikut
f (t)  cos 2 2t
(a)
(b) f (t)  5t 3  6sin 2t  4e 4t
(c)
f (t)  3t 2 t  4sinh 4t
(d)
f (t)  2 sinh t cosh 2t  4e 3t  2 sin 2 t
4) Tentukan
f (t)  L 1 F (s) apabila
F (s)
masing-masing fungsi
berikut
2
3s  4

s4 s2 4

(b) F (s)  4  2s  5  3
2s  4 s 2  9 s 4
5s 5
3s 2  5s  3

(c) F (s)  2
s  s 6 (s 2 1)(s 2  4)
3s 2  2s 15
3s 3  3s 2  9s  6

(d) F (s)  3
s  s 2  9s 9
s 2 (s 1)
(a) F (s) 
5) Manakah di antara fungsi-fungsi
f (t)
berikut yang mempunyai
transformasi Laplace dan jelaskan jawab Anda?
sin t
(a) f (t) 
t
(b) f (t)  e t
2
(c) f (t)  t 2 e 2t
(d) f (t)  e t ln (t 1)
Petunjuk Jawaban Latihan
k
1) (a)
s
(1 ecs )
(b)
k s
(e  e2s )
s
1.16
MEtoDE MAtEMAtis II 
1
(c) 
es 
s
1
2) (a)
s

(1es )
(d)
2
1
s 2  2
1
s
3
(2a  bs  cs )
s3

s
2
1
(c)
1
(b)
(s cos  sin )
(d)
s2
1
(e s 1)
2

 (5 )
s 2  2
2
5
s2
(s  i)
1 1
1  1
1 
2
 2

cos 2t   cos 4t ; L  f (t)  
2 2
2 s s 16 
3) (a) Tulis

(b) 30  12  4
s4 s 2 4 s  4


(c) 3
 (72)

16

s 2 16
 1
4
1
s
(d) 


 
s 2 9 s 2 1
s 3 s s 2  4
s
3
7
2

4) (a) 2 e4t  3 cos 2t  2 sin 2t
(b) 2 e 52 t  2 cosh 3t  5 sinh 3t  1 t 3
3
(c) 2 e
3t
3e
2t
2
 2  3t  e
t
(d) 2 e t cos 3t sin 3t  2 cos t sin t cos 2t sin 2t
5) (a)
sin t
 M e t , untuk suatu M, t > 0. Jadi
t
L  f (t) ada.
2
(b) e t  e  t , untuk setiap  > 0 berapapun besarnya untuk t >  ,
karena t 2   t untuk
(c)
t   . Jadi L  f (t) tidak ada.
f (t)  t 2 e 2t  2et . e 2t  2e 3t , t  0 . Jadi L  f (t) ada.
f (t)  e t ln(t 1)  e t . 2t  4e 2t , t  0 . Jadi L
 f (t) ada.
1.17
 MATA4432/MODUL 1
RANGKUMAN
Transformasi Laplace dari fungsi f (t) , t  0 adalah
L  f (t)  F (s) 

0
e st f (t) dt ,
dan invers transformasi Laplace dari F (s) adalah
L1 F (s)  f (t) .
Transformasi Laplace dan inversnya memenuhi sifat kelinearan:
L  f (t)   g(t)   L  f (t)  L g(t)
L1  F (s)   G(s)   L1 F (s)  L1 G(s)

Selanjutnya L{F (t)} ada apabila f (t) kontinu bagian demi bagian
a  0 f (t)  Me  t
pada selang [0, a],
untuk suatu M dan  .
L F (t)  F (s) terdefinisi untuk s >  .
TES FORM ATIF 1
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1) Transformasi Laplace dari fungsi f (t) berikut
f (t)
1
1
2
t
adalah ….
1
A. F (s)  e s  (s 1) e 2 s 

s12 

s
2s 
e
(s
1)
e

B. F (s) 

s 2 




1.18
MEtoDE MAtEMAtis II 


1  s
e  (s 1) e 2s 

s12 

s
2s 
F (s) 
e  (s 1) e 

2 
s
F (s) 
C.


D.
2)
 2t
L
2
 4sin 2 t
 adalah ….
12s 2 16
A.
12s 2 16
B.
s 3 (s 2  4)
12s 2 16
C.
s 3 (s 2  4)
D.
3)
s 3 (s 2  4)
12s 2 16
s 3 (s 2  4)
 4e
L
2t
 adalah ….
 7 cosh 2t 8sinh 3t
11s  8  32

s 2  4 s 2 9
11s  8  32
B.

s 2  4 s2 9
11s 8  32
C.

s 2  4 s 2 9
11s 8  32
D.

s 2  4 s2 9
A.
4)
L


2
 adalah ….
 3s  4s 12

2

 (s  2) (s 12) 

1 
A.
f (t)  2e2t  2 cos 2t  2sin 2t
B.
f (t)  2e2t cos 2t  2sin 2t
C.
f (t)  2e2t  2 cos 2t sin 2t
D.
f (t)  2e2t cos 2t sin 2t
1.19
 MATA4432/MODUL 1
5) Fungsi f (t) yang tidak mempunyai transformasi Laplace ialah ….
A.
f (t)  2e2t sin 3t, t  0
B.
f (t)  2t 4 cos 2t, t  0
C.
f (t)  5sin t cosh 2t, t  0
D.
f (t)  2e t,
3
t0
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.
Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar
100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang
belum dikuasai.
1.20
MEtoDE MAtEMAtis II 
K E gi A t A n B E L AJ A R 2
Transformasi Laplace Turunan dan Integral
Suatu Fungsi
D
alam Kegiatan Belajar 2 ini akan dibahas transformasi Laplace turunan
dan integral suatu fungsi. Hasil ini banyak digunakan dalam
menyelesaikan persamaan diferensial.
Teorema 1.4 [Turunan f (t) ]
Misalkan f (t) kontinu untuk setiap t  0 dan memenuhi (1) (di
Kegiatan Belajar 1) untuk suatu konstanta  dan M. Misalkan pula
f (t) kontinu bagian demi bagian demi bagian pada selang [0, a], a >
0. Maka transformasi Laplace dari f (t) ada untuk s >  dan berlaku
L  f (t)  s L  f (t)  f (0)
(2)
f (t)
Bukti: Kita meninjau kasus
kontinu untuk
t  0 . Dari definisi
transformasi Laplace dan pengintegralan parsial, didapat
L  f (t) 

0

b
e st f (t) dt  lim
 st 
 lim e
b 
 lim e bt
b 
b
e st f (t) dt
0

f (t)
e
f (t)dt 
s
0
0

f (b)  f (0)  lim s b est f (t) dt
 b 0
  f (0)  s
b st
b



0
e st f (t) dt  s L{ f (t)} f (0)
untuk s > .
Untuk kasus f (t)
kontinu bagian demi bagian, pembuktian seperti di
atas, hanya pengintegralan dipecah atas selang-selang dimana
diskontinu.
f (t)
1.21
 MATA4432/MODUL 1
Perhatikan bahwa Teorema 1.4 dapat digunakan untuk
f (t)
dan
diperoleh
L{ f (t)}  s L  f (t)  f (0)
 s  s L{ f (t)} f (0)  f (0)
(3)
 s 2 L  f (t)  sf (0)  f (0).
Dengan cara yang sama, didapat
L{ f (t)}  s L  f (t)  f (0)


 s s 2 L{ f (t)} sf (0)  f (0)  f (0)
(4)
 s 3 L{ f (t)} s 2 f (0)  sf (0)  f (0)
asalkan f (t), f (t) memenuhi persyaratan seperti di Teorema 1.4.
Dengan proses induksi akan diperoleh teorema berikut.
Teorema 1.5 [Turunan ke-n]
Misalkan f (t) dan turunan-turunannya
f (t), f (t) ,L , f (n1) (t)
kontinu untuk t  0 dan memenuhi kondisi (1) di kegiatan belajar 1 untuk
f (n) (t) kontinu
suatu konstanta  dan M. Misalkan pula turunan
bagian demi bagian pada selang [0, a], a > 0, maka transformasi
Laplace dari f (n) (t) ada untuk s >  berlaku

L f
(n)
Contoh 1.12

(t)  s n L  f (t)  s n1 f (0)  L  f
 
Tentukan L t 2
(n1)
(0)
(5)
1.22
MEtoDE MAtEMAtis II 

f (t)  t 2 dan gunakan rumus (3). Jelas bahwa
2
f (0)  0 , f (0)  0, f (t)  2 dan L 2  2L 1  . Jadi dari rumus
s
2
2
2
2
(3) didapat L  f (t)  L 2   s L  f (t)  s L{t }.
s
2
2
Ini memberikan L{t }  , sesuai dengan tabel transformasi Laplace.
s3
Penyelesaian: Ambil
Contoh 1.13
Tentukan L{ sin 2 t}.
Penyelesaian: Ambil f (t)  sin 2 t , maka f (t)  2 sin t cos t  sin 2t ;
f (0) 0 dan L  f (t)  L sin 2t  
2
.
s24
Dari rumus (2), didapat
L{ f (t)}  s L  f (t)  f (0)
2
s 4
2
sL
 f (t) 0.
Jadi
L  f (t)  L{sin 2 t} 
2
s(s  4)
2
.
Contoh 1.14
Tentukan L  t sin t.
Penyelesaian: Ambil f (t)  t sin t , maka f (0)  0
f (t) sin t  t cos  t ; f (0) 0
dan
f (t)   cos t   cos  t  2 t sin  t  2  cos t  2 f (t)
L  f (t)  2  L cos t    2 L  f (t)

2s
 2 L  f (t).
s  2
2
1.23
 MATA4432/MODUL 1
Dari rumus (3) didapat
L  f  t   s 2 L  f t   sf 0  f  0  s 2 L  f t 
2s
s 
2
 2L  f t  s 2L  f t
2
2s
 2  s L  f t s   2
2
2
Jadi
L{ f (t)}  L{t sin t} 
2s
(s 2   2 ) 2
Contoh 1.15
Tentukan solusi Masalah Nilai Awal
y   4 y   3y  0, y(0)  3, y  (0)  1.
Penyelesaian: Dengan mengambil transformasi Laplace dari PD dan dengan
menggunakan rumus (2)(3) maka didapat
L  y   4 y   3y  L{0}  0
L  y (t)  4L  y (t)  3L  y(t)  0
s 2 L  y(t)  s y(0)  y (0)  4  sL  y(t)  y(0)  3L  y(t)  0
s
2

 4s  3 L  y(t)  s y(0)  y (0)  4 y(0)  3s 112  3s 13
L  y(t)  
Jadi
3s 13
 2  5

.



s  4s  3 (s  3) (s 1) s  3 s 1
3s 13
2
 2




5 
1  1 
1  1 
y t   L 1 


 2L 
 5L
 s  3 s 1
 s  3


s  

 1





 2 e3  5 et .

Solusi masalah nilai awal di atas adalah
y(t)  5 et  2 e3t .
1.24
MEtoDE MAtEMAtis II 
Sekarang kita memberikan teorema tentang pengintegralan.
Teorema 1.6 [Pengintegralan f (t) ]
Misalkan f (t) suatu fungsi kontinu bagian demi bagian yang memenuhi
ketidaksamaan (1) di Kegiatan Belajar 1, untuk semua  dan M, maka

L



t
0
 1
1
f (u)du  L  f (t)  F (s),

s
 s

s  0, s  
(6)
atau
 F (s) 
L 1


 s 


t
f (u)
(7)
0
Bukti: Sebut g{t} 
0
t
t0.
f (u)du,
t  0, Maka g (t) kontinu

untuk t  0 Selanjutnya g (t)  f (t), kecuali dititik-titik diskontinuitas dari
Karena f(t) kontinu bagian demi bagian untuk
f (t) yang banyaknya berhingga. Jadi
g (t) kontinu bagian demi bagian
untuk selang [0, a], a > 0.
Karena f (t)  Me  t , t  0 , untuk suatu  dan M, maka untuk  yang
diambil positif berlaku
g(t) 
t
f (u) du  M
0
t

e  u du 
0

M
(e  t 1) 
2M
et.


Jadi fungsi g(t) memenuhi semua persyaratan di Teorema 1.1 dan
berdasarkan Teorema 1.1 tersebut, L g (t) ada dan berlaku
L  g (t)  s L  g(t)  g(0)
 t

L  f (t)  s L 
f (u)du  0



 0



atau
1.25
 MATA4432/MODUL 1


L



t
0
 1
f (u) du   L  f (t) .

 s
Contoh 1.16 

Tentukan L






sin 2u du  .

0

t
Penyelesaian: Ambil f (t) sin 2t , maka
L  f (t)  L sin 2t 
2
s 4
2
.
Dari Teorema
 t 1.3, diperoleh
 1
2
L  sin 2u du   L sin 2t  
.


 0
 s
s(s 2  4)


Contoh 1.17 

Tentukan L





u sin 4u du .

0


t

Penyelesaian: Sebut f (t)  t sin 4t , maka dari Contoh 1.14 dengan
mengambil   4 , didapat
L t sin 4t 
8s
(s 16) 2
2
.
Selanjutnya
 t dari Teorema
 1.3
1 didapat
8s
8
L
u sin 4u du   L{t sin 4t} 



 0

 s
s(s 2 16) 2
(s 2 16) 2


Contoh 1.18  

1  s 1 
Tentukan L 
 .
2
 s (s 1) 
1.26
MEtoDE MAtEMAtis II 

Penyelesaian:



 1

1

L 1  s 1  L 1 

 s(s 1) s 2 (s 1) 
 s 2 (s 1) 


 1

 1 
  L 1 
 L 1 
.






2
s(s 1) 


 s (s 1) 
 1 
1
t
, maka L 1  F (s)  L 1 
Sebut F (s) 
 e .


s 1
s 1 



Jadi

 1 
t
1 
u

u t
t

1e
L 

e
du

e

s(s 1) 
0
0

dan 


t
t 
1 

 
1e u du  u  e u
 t  et 1 .
L  1
2
0
0
 s (s 1) 




 



Ini memberikan


1
1 

  (1 e t ) ( t  e t 1)  2 t  2e
L 
2
 s (s 1) 
t
.

Contoh 1.19

1
Tentukan L 1 

 s 2 s 2  2



,  0 .




1
Penyelesaian: Ambil F (s) 
2
s  2


selanjutnya kita menggunakan dua
kali berturut-turut Teorema 1.6, seperti Contoh 1.18 maka

  sin t
1
1 


.
L1 F (s)  L 

2
2

 s   
Jadi
1.27
 MATA4432/MODUL 1

L
 F (s) 
 1

1
1  



L 

2
2
 s 
 s(s   )  
1 
dan
0
sin  u du  
cosu
2
1cost
t

0
2



t
1 
t 1cos  u
1  u sin u 
 2 2

2 
2
2 


0


L
du 
 

 
 s (s   ) 
0
1  sin t  1

(t sin t) .
3

t 
2

 


1

t


Perhatian
Teorema 1.4 dapat diperluas untuk fungsi f(t) yang diskontinu untuk t 0 .
Bila f(t) diskontinu loncat di t = a, a > 0, maka
L  f (t)  s L{ f } f (0) [ f (a  0)  f (a  0)] e as ,
(7)
di mana f (a  0) adalah limit kanan f di a dan f (a 0) adalah limit kiri f(t)
di a.
Pembuktian serupa seperti di Teorema 1.1, hanya berbeda dalam cara
b
mengevaluasi est f (t)
, mengingat f(t) diskontinu loncat di t = a, yaitu
0
est f (t)
a0
0
b
 e st f (t)


a0
Contoh 1.20
Tentukan L  f (t) apabila
1 ,
f (t)  

0 ,
Penyelesaian:
f (t)  0, t  0,
0t 2
t2
t  2,
f (0)  1
f(2 + 0) = 0 dan f(2  0) = 1.
Dari hubungan
L  f (t)  s L  f (t)  f (0) [ f (2  0)  f (2  0)] e 2s
1.28
MEtoDE MAtEMAtis II 
didapat
0  s L  f (t)1[0 1] e 2s
L  f (t) 


1
1 e 2s .
s
Contoh 1.21
t ; 0t 1
Tentukan L  f (t) apabila f (t)  

0; t 1
Penyelesaian:
1 ; 0  t  1
f (t)  

t 1
0 ;
dan
0 ; 0  t  1
f (t)  
t 1
0 ;
Dengan menggunakan (8) untuk f (t) , maka diperoleh
L  f (t)  s L  f (t)  f (0)   f (1 0)  f (10) e s
0  s L  f (t) 1 (0 1) e s
L  f (t) 


1
1e s .
s
Dengan menggunakan (8) kembali untuk f(t), maka diperoleh
L  f (t)  s L  f (t)  f (0)  f (1 0)  f (10) e s


1
1 e s  s L  f (t) 0  e s .
s
Jadi
L  f (t) 
1
1e   e

2
1
s
s
s
s
.
1.29
 MATA4432/MODUL 1
LATIHAN
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
1) Tunjukkan bahwa
(a) L  t cos  t 
s 2  2
s
(b) L  t cosh  t 

(c) L  t sinh at 


(d) L t e at 
2
 2

2
s 2  2
s
2
 2

2
2 as
s
2
a2

2
1
s  a  2
2) Tentukan L  f (t) apabila

(a) f (t)  1 ; 1  t  2
0 ; t 1, t  2
t ; 0  t 1

(b) f (t)  1 ; 1  t  2

0 ; t lainnya
t 1 ; 1  t  2
(c)
f (t) 
lainnya

 0 ; t
3) Dengan menggunakan transformasi Laplace, tentukan solusi masalah
nilai awal berikut.
(a) y   9 y  0, y(0)  0, y (0)  2
(b) y   y   2 y  0,
y(0)  0, y (0)  3
1.30
MEtoDE MAtEMAtis II 
(c) y   2 y  3y  0,
y(0)  1, y (0)  7
4) Tentukan:
t
(a) L  cos
3u du 


 0

 t

(b) L sin u 2du 


 0

 t 2u

(c) L
e du




 0
 t

2u
(d) L
u e du


 0






5) Gunakan Teorema 1.6 untuk menentukan L 1 F (s) , apabila
(a) F (s) 

(b) F (s) 
(c) F (s) 
(d) F (s) 
1
s(s  2)
(e) F (s) 
1
(f) F (s) 

s(s 2 1)
54
2s 

(g) F (s) 
s 3 (s 3)

s 2 (s  )
1
(s 2   2 ) 2
s2
(s 2   2 ) 2
s2
s (s 2  4)
2
Petunjuk Jawaban Latihan
1) Gunakan rumus untuk L  f (t) untuk soal-soal (a), (b), (c) dan (d).



1 s
L  f (t) 
e  e2s
s
1
(b) L  f (t)  2 1e s  s e 2 s
s
2) (a)


1.31
 MATA4432/MODUL 1


(c) L  f (t)  1 e s  e 2s  1 e 2s
s
s2
3) (a)
y(t) 
2
sin 3t
3
(b) y(t)  e t  e2t
(c) y(t)  2e 3t et
4) (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
s 9
2
2
s 2 (s 2  4)
1
s(s  2)
1
s(s  2) 2
2
s 2 (s 2  4)
1
(e 2t 1)
2
(b) cosh t 1
5) (a)
(c) 2e 3t 9t 2  6t  2
1
1
1
1
(d) sin 2t  cos 2t  t 
4
4
2
4
1 t
(e) (e 1)  t

1
[sin t t cost] (Gunakan Contoh 1.14)
2 3
1
1
(g) t cost 
sin t . [Petunjuk : Gunakan Latihan 1(a) dan
2
2
5(f)].
(f)
1.32
MEtoDE MAtEMAtis II 
RANGKUMAN
Transformasi Laplace dari turunan diberikan oleh

L f
(n)

(t)  s n L  f (t)  s n1 f (0)  s n2 f (0)  L
 f (n1) (0)
Khususnya:
L  f (t)  s L  f (t)  f (0)
L  f (t)  s 2 L  f (t)  s f (0)  f (0)
L  f (t)  s 3 L  f (t)  s 2 f (0)  s f (0)  f (0)
Bila f (t) diskontinu loncat di t = a, a  0 , maka
L  f (t)  s L  f (t)  f (0)  f (a  0)  f (a  0) e as .
Persamaan tersebut dapat diperluas untuk titik diskontinuitas loncat yang
banyaknya berhingga.
Transformasi
 t Laplace
 dari
1 Integral: 1
L
f (u) du   L  f (t)  F (s)


 s
s
 0
dan inversnya
t
 F (s)adalah

L 1 

f (u) du .


0
 s 



TES FORMATIF 2
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1)
L
cos t adalah ….
2
s24
A.
B.
s(s 2  4)
s24
s(s 2  4)
1.33
 MATA4432/MODUL 1
s22
C.
s(s 2  4)
D.
s22
s(s 2  4)
2 ; 0t 3

, maka L  f (t) adalah ….
2) Bila f (t)  

t

3
0
;

2
A.
1 e 3s
s
2
B.
1 e 3s
s
2
C.
1 e 3s
s
2
D.
1 e 3s
s








3) Solusi masalah nilai awal:
adalah ….
A. y(t)  e 2t  2e 4t
B.
y(t)  3e 2t  2e 4t
C.
y(t)  2e 2t  3e 4t
D. y(t)  2e 2t e 4t
4)

L



A.


cos 2 u du adalah ….

0


s
t
s2 4
B.
1
C.
D.
s2 4
s
s2 4
2s
s24
y   2 y  8 y  0,
y(0)  1, y (0)  8
1.34
5)
MEtoDE MAtEMAtis II 
L


 2s  4 
 adalah ….
2
2
 s (s  4) 
1 
A.
B.
C.
D.
1
(1 2t cos 2t sin 2t)
2
1
1 2t cos 2t sin 2t
2
1
1 2t cos 2t sin 2t
2
1
1 2t cos 2t sin 2t
2
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3.
Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar
100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang
belum dikuasai.
1.35
 MATA4432/MODUL 1
Kunci Jawaban Tes Formatif
Tes Formatif 1
1) B
2) A
3) C
4) D
5) D
Tes Formatif 2
1) C
2) A
3) D
4) B
5) A
1.36
MEtoDE MAtEMAtis II 
Daftar Pustaka
Kreyszig E., (1993). Advanced Engineering Mathematics , John Willey and
Sons, 7th edition.
Willey C.R. and Barret L.C., (1985). Advanced Engineering Mathematics,
Mc.Graw Hill Co.