Vektor

VECTOR
BAB 2
VEKTOR
2.1 BESARAN SKALAR DAN VEKTOR
Sifat besaran fisis :  Skalar
 Vektor
 Besaran Skalar
Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar
dinyatakan oleh bilangan dan satuan).
Contoh : waktu, suhu, volume, laju, energi
Catatan : skalar tidak tergantung sistem koordinat
 Besaran Vektor
z
Besaran yang dicirikan oleh besar dan arah.
Contoh : kecepatan, percepatan, gaya
Catatan : vektor tergantung sistem koordinat
y
x
2.2 PENGGAMBARAN DAN PENULISAN (NOTASI) VEKTOR
Gambar :
P
Q
Titik P
: Titik pangkal vektor
Titik Q
: Ujung vektor
Tanda panah
: Arah vektor
Panjang PQ = |PQ|
: Besarnya (panjang) vektor
Notasi Vektor
A

A
Huruf tebal
A
Huruf miring
Besar vektor A = A = |A|
(pakai tanda mutlak)
Pakai tanda panah di atas
Catatan :
Untuk selanjutnya notasi vektor yang digunakan huruf tebal
Catatan
:
a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama
A
B
b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika
A=B
:
1. Besar sama, arah berbeda
A
B
A
B
A
B
A
B
2. Besar tidak sama, arah sama
A
B
3. Besar dan arahnya berbeda
A
B
Penjumlahan Vektor Dengan Aturan Jajargenjang
Titik Ujung
Vektor 𝐴𝐵
C
D
Titik Pangkal
Vektor 𝐴𝐶
A
B
Titik Pangkal
Vektor 𝐴𝐵
Titik Ujung
Vektor 𝐴𝐵
Penjumlahan Vektor Dengan Aturan Segitiga
C
A
B
Penjumlahan Vektor Dengan Aturan Polygon
Sifat-sifat Penjumlahan Vektor:
1. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 (Sifat komutatif)
2. (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) (Sifat Asosiatif)
3. Ada vector nol sehingga 𝑎 + 0 = 𝑎
4. Jika 𝑏 = − 𝑎 maka 𝑎 + 𝑏 = 0
Perkalian Skalar dengan Vektor
𝑎
Sifat-sifat Perkalian Skalar
dengan Vektor:
3𝑎
−2𝑎
1. 𝑘 + 𝑙 𝑎 = 𝑘 𝑎 + 𝑙 𝑎
2. (𝑘𝑙)𝑎 = 𝑘(𝑙𝑎)
3. 𝑘(𝑎+𝑏) = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏
4. 1𝑏 = 𝑏
Vektor Posisi
Suatu vector A dikatakan sebagai vector posisi jika bertitik awal di O (0,0) dan titik ujung di A (a1, a2). Vektor
posisi titik A tersebut dapat ditulis dengan:
𝑎=
𝑎1
atau 𝑎 = 𝑎1 ,
𝑎2
𝑎2
Contoh:
2
atau 𝑎 = 2 , 3
3
−2
2. Vektor posisi dari titik B(-2,-8) adalah: 𝑎 =
atau 𝑎 = −2 ,
−8
1. Vektor posisi dari titik A(2,3) adalah : 𝑎 =
−8
Komponen-komponen Vektor di 𝑹𝟐
Komponen-komponen vector v adalah:
𝑥2 − 𝑥1
𝑣1
𝑣=
=
atau 𝑣 = 𝑣1 , 𝑣2 = [𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1]
𝑦2 − 𝑦1
𝑣2
Contoh:
1. Jika A(6,2) dan B(10,5), Tentukan vector 𝐴𝐵!
Jawab:
10 − 6
4
𝐴𝐵 =
=
5−2
3
2. Jika 𝑣 =
5
mempunyai titik awal (3,1), tentukan titik ujungnya!
2
Jawab:
𝑥−3
𝑣=
𝑦−1
𝑥−3
5
=
𝑦−1
2
𝑥
𝑥
8
5+3
= 𝑦 -> 𝑦 =
2+1
3
Panjang Vektor di 𝑹𝟐
Jika vector diketahui 𝑣 =
𝑣1
atau 𝑣 = 𝑣1 ,
𝑣2
Panjang vector 𝑣 adalah 𝒗 =
2. Diketahui vector 𝑎 =
𝑣2 , maka:
(𝒗𝟏)𝟐 +(𝒗𝟐)𝟐
Tentukan 𝑎 + 𝑏 !
Jawab:
𝑎+𝑏=
Contoh:
1. Diketahui vector 𝑣 = [5,12], tentukanlah Panjang 𝑣!
Jawab:
𝒗 =
(𝟓)𝟐 +(𝟏𝟐)𝟐
𝒗 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟒𝟒
𝒗 = 𝟏𝟔𝟗
𝒗 = 𝟏𝟑 satuan panjang
4
5
dan 𝑏 =
.
−2
1
4
9
5
+
=
−2
−1
1
𝑎 + 𝑏 = 92 + (−1)2 = 81 + 1 = 82 satuan
panjang
Vektor Satuan
Suatu vector yang memiliki panjang satu satuan disebut sebagai vector satuan.
Vektor satuan dari 𝑎 =
𝑎1
adalah:
𝑎2
𝑢=
𝑎
𝑎
=
1
𝑎
𝑎1
𝑎2
Contoh:
1. Misal diketahui vector 𝑎 =
Jawab:
1
. Tentukan vektor satuan dari vector 𝑎!
−5
1
𝑢=
𝑎
𝑎
=
1
12 +(−5)2
1
=
−5
1
26
1
=
−5
26
−5
26
Vektor Basis
Misalkan 𝑖 dan 𝑗 merupakan vector
yang panjangnya satu satuan, yang
berturut-turut searah dengan sumbu x
positif dan sumbu y positif dan saling
tegak lurus maka untuk vector 𝑤 =
2
berlaku:
3
𝑤 = 2𝑖 + 3𝑗
𝒋
𝒊
Perkalian scalar dua vector disebut juga
dengan hasil kali titik dua vector.
PERKALIAN
SKALAR DUA
VEKTOR
Perkalian scalar vector 𝑎 dengan vector 𝑏
ditulis dengan:
𝑎 ∙ 𝑏 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑐𝑎: 𝑎 𝑑𝑜𝑡 𝑏
Rumus: 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos 𝜃
Contoh
Diketahui Panjang vector 𝑎 = 7 dan Panjang vector 𝑏 = 10. Jika vector
𝑎 dan 𝑏 membentuk sudut 45°, maka nilai 𝑎 ∙ 𝑏 adalah …
Jawab:
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos 𝜃
= 7 . 10 . Cos 45°
= 70.
1
2
= 35 2
2