Bab 3. Gaya-Gaya Dalam 3.1. Pendahuluan Gaya Dalam adalah gaya yang menahan gaya rambat pada konstruksi untuk mencapai keseimbangan. Misal suatu balok dijepit diujung atasnya dan dibebani oleh gaya P (gb. 3.1) searah sumbu balok, maka balok tersebut dipastikan timbul gaya dalam. Gaya dalam yang mengimbangi gaya aksi (beban) bekerja sepanjang sumbu batang, sama besar, dan berlawanan arah dengan gaya aksi. Gaya dalam tersebut dinamakan gaya normal, dan dinyatakan sebagai NX bila gaya normal terletak di titik berjarak X dari B. NX X A B P P Gambar 3.1. Gaya Normal bekerja sepanjang sumbu batang Bila terdapat beban dengan arah tegak lurus terhadap sumbu batang (gb. 3.2), maka akan timbul gaya (P`) dan momen (M`) pada jarak X dari titik B. MX A P` LX X M` P B P M Gambar 3.2. Gaya Lintang dan Momen Lentur pada jarak X dari B. Gaya dalam yang menahan aksi P` dan momen M` adalah LX dan MX. Gaya dalam yang tegak lurus terhadap sumbu batang dinamakan Gaya Lintang/Geser (Shear Force) diberi notasi LX dan momen yang mendukung lentur dinamakan Momen Lentur/Lengkung (Bending Moment) bernotasi MX. 3.1.1. Perjanjian Tanda Gaya Dalam. Gaya normal diberi tanda positif (+) apabila gaya cenderung menimbulkan sifat tarik pada batang dan negatif (-) bila gaya cenderung menimbulkan sifat tekan (gb. 3.3.a.). Gaya lintang disebut positif apabila gaya cenderung menimbulkan patah dan searah jarum jam, dan negatif bila sebaliknya. a. Gaya Normal N ki + b. Gaya Lintang N ka L ka + N ki - N ka L ki M ki M ki + L ki - - L ka Mka Mka c. Momen Lentur Gambar 3.3. Perjanjian tanda gaya-gaya dalam Momen lentur diberi tanda positif apabila gaya menyebabkan sumbu batang cekung ke atas, dan bila cekung ke bawah diberi tanda negatif. 3.2. Perhitungan Gaya Dalam. 3.2.1. Gaya Dalam pada Kantilever 3.2.1.1. Gaya Dalam pada Kantilever dengan Beban Terpusat Misal sebuah kantilever mendapat beban P1 = 10 ton dengan tg = 4/3 pada titik A, dan P2 = 12 ton pada titik C, seperti gambar 3.4. Tentukan besarnya gaya normal, gaya lintang dan momen lentur dititik I dan II. Langkah 1. Mencari keseimbangan gaya luar. P1 diuraikan menjadi X1 = P cos = 10 x 3/5 = 6 ton dan Y1 = P sin = 10 x 4/5 = 8 ton, sehingga didapat reaksi HB = 6 ton (), VB = 20 ton (), dan MB = 96 Tm. P1 P2 Y1 I X1 A 1m II C 1m 2m MB 2m HB B VB 6m Gambar 3.4. Kantilever dengan beban miring P1 dan P2 Langkah 2. Mencari keseimbangan gaya dalam. Kita lihat pada titik I, dengan menganggap A-I sebagai freebody yang seimbang, maka akan tampak gayagaya dalam yang harus mengimbangi gaya luar (lihat gambar 3.5). Y1 MI NI X1 L MI NI P2 I L I II C MB HB B VB Gambar 3.5. Keseimbangan gaya dalam pada batang A-I Dengan persamaan statik tertentu dapat dihitung: H = 0 - 6 + NI = 0 NI = 6 Ton V = 0 - 8 + LI = 0 LI = 8 Ton MI = 0 - 8 . 1 + MI = 0 MI = 8 Tm Mengingat tanda gaya dalam sesuai perjanjian maka hasil hitungan perlu dicermati: NI = - 6 Ton, LI = - 8 Ton, dan MI = - 8 Tm Begitu juga dengan titik II, dimana A-II dianggap freebody, maka akan tampak gaya-gaya dalam yang mengimbangi gaya luar (lihat gambar 3.6). Dengan persamaan statik tertentu dapat dihitung: H = 0 6 + NII = 0 NII = - 6 Ton V = 0 - 8 – 12 - LII = 0 LII = - 20 Ton MI = 0 - 8 . 4 – 12 . 2 - MII = 0 MII = - 56 Tm Y1 X1 P2 M II N II C L II L II MB N II HB B M II VB Gambar 3.6. Keseimbangan gaya dalam pada batang A-II X Nx Lx Mx 0 -6T -8T 0 1 -6T -8T - 8 Tm 2 -6T -8T - 16 Tm 2 3.2.1.2. Gaya Dalam pada Kantilever dengan Beban Terbagi Merata Bila beban merupakan terbagi rata, perlu diperhatikan bahwa gaya lintang dan momen lentur pada batang akan tergantung dari jarak beban terhadap titik tumpuan. q = 10 T/m MB A C 4m 2m HB B 6m VB Gambar 3.7. Kantilever dengan beban terbagi merata Gaya luar dari batang pada gambar 3.7 diperoleh: HB = 0, VB = q . 4 = 10 . 4 = 40 Ton, dan MB = (q . 4) (2 + 2) = (10 . 4) 4 = 160 Tm. Bila terdapat elemen kecil beban q . dx pada jarak x dari A, maka pada titik C akan mendapat reaksi gaya lintang dL = q . dx dan momen lentur dM = (q . dx) . x (gambar. 3.8). Dengan memperhatikan hal tersebut dapat disimpulkan sbb: L q dx q.x dan M q.x.dx q x.dx q 2 x (q.x) 1 2 x 2 q = 10 T/m C A x dx MC MC LC LC C MB B VB Gambar 3.8. Keseimbangan gaya dalam pada titik C - Nilai L tergantung jarak dari A ke C, misal pada jarak 1 m, maka nilai L = -10 T, sedang jarak 2 m L = -20 T dan pada jarak 4 m LC = -40 T, sehingga nilai gaya lintang L semakin jauh jarak dari A semakin besar nilai (negatif) L, namun perlu diingat nilai VB = nilai LC, sehingga gaya dalam pada batang CB sebesar LC. - Untuk nilai M, jarak selain mempengaruhi besar beban (q.x) juga mempengaruhi letak resultan beban ( x), sehingga misal pada jarak 1 m, maka M = -5 Tm, pada jarak 4 m MC = -80 Tm. Nilai MC tidak sama dengan nilai MB, berarti pada CB akan mendapat momen lentur yang berbeda. Untuk batang CB, M = (q . AC) ( AC + x) dimana x adalah jarak titik pada batang CB, sehingga diperoleh M = (-10 . 4) (2 + x) = -80 - 40.x. misal pada jarak 1 m, maka M = - 80 - 40 = -120 Tm, dan pada jarak 2 m, maka MB = - 80 - 80 = -160 Tm. 3.2.1.3. Gaya Dalam pada Kantilever dengan Beban Momen Bila beban merupakan momen, seperti gambar 3.9 dibawah ini: M MB A B Gambar 3.9. Kantilever dengan beban momen Maka gaya dalam yang ada hanya momen lentur bernilai negatif (batang cekung ke bawah). 3.2.2. Gaya Dalam pada Balok Sederhana 3.2.2.1. Gaya Dalam pada Balok Sederhana dengan Beban Terpusat Pada suatu konstruksi balok sederhana seperti gambar dibawah ini: P=2T A B 6 VA 4 VB Gambar 3.10. Konstruksi balok sederhana Dari keseimbangan gaya luar didapat VA = (4/10) x 2 = 0,8 T, dan VB = (6/10) x 2 = 1,2 T. Gaya dalam akan ditinjau pada titik P berada, serta AP dan PB dianggap sebagai freebody (lihat gambar. 3.11). Keseimbangan gaya dalam, (ditinjau dari A ke B): Untuk 0 x 6, MX = VA . x = 0.8 . x, dan LA = VA Untuk 6 x 10, MX = VB . (10 – x) = 1,2 . (10 – x) dan LB = - VB Sehingga didapat LA = 0,8 T dan LB = -1,2 T dan pada titik P gaya lintang yang terjadi adalah (LA + LB) = (0,8 – 1,2) = -0,4 T. LA A MA VA LB MB B VB Gambar 3.11. Gaya dalam pada titik pembebanan Untuk momen lentur didapat: pada jarak 0 (titik A) M0 = 0, jarak 6, M6 = 0,8 x 6 = 4,8 Tm, atau M6 = 1,2 (10 – 6) = 1,2 (4) = 4,8 Tm, dan pada jarak 10, M10 = 1,2 (10 – 10) = 0 3.2.2.2. Gaya Dalam pada Balok Sederhana dengan Beban Terbagi Merata Bila beban pada balok sederhana berupa beban terbagi merata yang berada ditengah-tengah konstruksi (gambar 3.12), maka perlu membagi balok tersebut menjadi 3 bagian, untuk ditinjau gaya-gaya dalamnya. q = 2 T/m A B 3 VA C 4 D 3 VB Gambar 3.12. Balok sederhana dengan beban terbagi merata Dari keseimbangan gaya luar diperoleh: MB = 0 VA . 10 – (q . 4) . (2 + 3) = 0, VA = ((2 . 4) . 5)/10 = 4 T MA = 0 (q . 4) . (2 + 3) - VB . 10 = 0, VB = ((2 . 4) . 5)/10 = 4 T Keseimbangan gaya dalam (ditinjau dari titik A) lihat gambar 3.13: Untuk 0 x 3, MX = VA . x dan LX = VA LA = VA = LC M0 = 0, M3 = 4 . 3 = 12 Tm dan L0 = 4 T dan L3 = 4 T LA LB MA A C B MB D VA VB MC MD LC LD Gambar 3.13. Gaya-gaya dalam yang terjadi pada balok Untuk 3 x 7, MX = VA . x – (q . (x – 3)) . (x – 3) dan LX = VA – q (x – 3) M3 = 4 . 3 – 0 = 12 Tm, M5 = 4 . 5 – (2. 2) . (2) = 16 Tm, dan M7 = 4.7 – (2 . 4) . (4) = 12 Tm, dan L3 = 4 – 0 = 4 T, L5 = 4 – 2(2) = 0, L7 = 4 – 2(4) = - 4 T. Untuk 7 x 10, MX = -VB . (x – 10) dan LX = - VB LB = - VB = LD M7 = - 4 (7 – 10) = 12 Tm, M10 = - 4 (0) = 0, dan L7 = - 4 T dan L10 = - 4 T. Jadi pada titik berjarak 5 m dari A (= L), gaya lintang = 0 dan momen lentur menjadi maksimum. Yang perlu diperhatikan adalah persamaan diatas, dimana terdapat persamaan garis linier (gaya lintang) dan persamaan garis eksponensial (parabola) (momen). 3.2.2.3. Gaya Dalam pada Balok Sederhana dengan Beban Momen Balok sederhana dengan beban momen seperti gambar 3.14. M = 10 Tm A B 6 4 VA VB Gambar 3.14. Balok dengan beban momen Dari keseimbangan luar didapat VA = - M/L = M/L () = 1 T, VB = M/L = 1 T Keseimbangan dalam: 0 x 6, MX = VA . x dan LX = VA M0 = 0, M6 = -1 . 6 = - 6 Tm, dan L0 = -1 T, L6 = -1 T 6 x 10, MX = VB . (10 – x) dan LX = - VB M6 = 1 (10 – 6) = 4 Tm, M10 = 1 (0) = 0, dan L6 = - 1 T, L10 = - 1 T 3.2.2.4. Gaya Dalam pada Balok Sederhana Berpinggul dengan Beban Terpusat Balok sederhana berpinggul dengan beban terpusat P, seperti gambar 3.15. P=4T A B 10 m VA 2m VB Gambar 3.15. Balok pinggul dengan beban terpusat Keseimbangan luar: VA = - (2/10) . P = - 0,8 T dan VB = ((10 + 2)/10) . P = 4,8 T Keseimbangan dalam: 0 x 10, MX = VA . x dan LX = VA M0 = - 0,8 . 0 = 0, M10 = - 0,8 . 10 = - 8 Tm, dan L0 = - 0,8 T, L10 = - 0,8 T 10 x 12, MX = P . (x – 12) dan LX = P M10 = 4 (10 – 12) = - 8 Tm, M12 = 0, dan L10 = 4 T, L12 = 4 T 3.2.2.5. Gaya Dalam pada Balok Sederhana Berpinggul dengan Beban Terbagi Merata Gambar 3.16 memperlihatkan balok pinggul dengan beban terbagi merata Keseimbangan luar: VA (b 2 c 2 ) (4 2 2 2 ) .q .2 1,2 ton dan 2L 2.10 ( L c) 2 a 2 (10 2) 2 6 2 VB .q .2 10,8 ton 2L 2.10 q = 2 T/m A B 6m 4m VA 2m VB Gambar 3.16. Balok berpinggul dengan beban terbagi merata Keseimbangan dalam: 0 x 6, MX = VA . x dan LX = VA M0 = 1,2 . 0 = 0, M6 = 1,2 . 6 = 7,2 Tm dan L0 = 1,2 T, L6 = 1,2 T 6 x 10, MX = VA . x – (q/2)(x - 6)2 dan LX = VA – q (x – 6) M6 = 1,2 . 6 – (2/2) (6 – 6)2 = 7,2 Tm, M8 = 1,2 . 8 – (2/2) (8 – 6)2 = 5,6 Tm, M10 = 1,2 . 10 – (2/2) (10 – 6)2 = - 4 Tm, dan L6 = 1,2 – 2 (6 – 6) = 1,2 T, L7 = 1,2 – 2 (7 – 6) = - 0,8 T, L10 = 1,2 – 2 (10 – 6) = - 6,8 T 10 x 12, MX = – (q/2)(12 - x)2 dan LX = q/2 . (12 – x) M10 = - (2/2) (12 – 10)2 = - 4 Tm, M12 = - (2/2) (12 – 12)2 = 0, dan L10 = (2/2) . (12 – 10) = 2 T, L12 = (2/2) (12 – 12) = 0 3.2.2.6. Gaya Dalam pada Balok Sederhana Berpinggul dengan Beban Momen Bila beban berupa momen pada balok berpinggul (gambar 3.17) M = 24 Tm A B 10 m 2m VA VB Gambar 3.17. Balok berpinggul dengan beban momen Keseimbangan luar: VA = - M/L = - 24/10 = - 2,4 T, dan VB = M/L = 24/10 = 2,4 T Keseimbangan dalam: 0 x 10, MX = VA . x dan LX = VA M0 = 2,4 . 0 = 0, M10 = 2,4 . 10 = 24 Tm, dan L0 = L6 = 2,4 T 10 x 12, MX = – M dan LX = 0 M10 = - 24 Tm = M12 dan L10 = L12 = 0 3.3. Soal-Soal 1. Tentukan Gaya-gaya dalam dari kantilever dibawah ini: P = 1000 kg q = 400 kg/m 45,0° 4m 3m 5m 2. Tentukan Gaya-gaya dalam dari balok sederhana dibawah ini: P = 2000 kg q = 600 kg/m 30,0° 4m 3m 3m 3. Tentukan Gaya-gaya dalam dari balok sederhana berpinggul ini: P = 2000 kg q = 600 kg/m 45,0° 3m 4m 3m 2m
