Model of A Heated Rod Tugas Project PAM 252 Metode Numerik Jurusan Matematika Universitas Andalas Muhammad Rafif Fajri 1, Luthfi Hadiyan Fajri, Berliani Nasran, Lidya Trisna Ayu, & Lestari Utama Jurusan Matematika, Universitas Andalas, Padang, Indonesia 1email: [email protected] Abstrak. Konduksi persamaan panas merupakan salah satu cara perpindahan panas tanpa disertai perpindahan bagian-bagian zat perantaranya, dimana energi panasnya berpindah dari satu molekul ke molekul lain pada benda tersebut. Salah satu contoh konduksi pada praktikum metode numerik ini adalah pada sebuah batang logam yang diapit diantara dua buah dinding. Dimana batang logam tersebut diberi temperatur yang konstan, gelombang panas mengaliri batang logam diruangan yang tidak hampa udara. Dari salah satu contoh aplikasi ini lah pemahaman mengenai model persamaan panas perlu diketahui. Dalam model ini pada dasarnya adalah menggunakan sebuah batang logam yang diapit oleh dua dinding dan diberi temperatur yang konstan, kemudian dihitung perbedaan termperaturnya pada 5 titik yang telah ditentukan. Pengambilan data pun dilakukan mulai dari temperatur T(0) = 40ºC..T(10) = 200Cº,Dengan koefisien pengantar panas pada logam adalah 0.01 (m2 ), dan panjang batang yang diapit ke dinding adalah 10m serta jeda waktu adalah 0.8s untuk waktu disetiap perpindahan temperatur.Dari model ini didapatkan data berupa T=Temperatur(ºC), x=Panjang batang, h’=Koefisien pengantar panas pada batang didalam ruangan yang tidak hampa udara, dan Ta= adalah temperatur udara(ºC). Sehingga didapatkan T=f(x) , temperatur fungsi posisi thermocouple dari setiap titik dan didapatkan grafik perbandingan perbandingan temperatur pada kasus Model of Heated Rod. Kata Kunci: konduksi, persamaan panas, temperature, batang, panas 1. Pendahuluan 1.1 Latar Belakang Perpindahan panas yang terjadi di dalam bumi merupakan masalah kompleks karena melibatkan banyak parameter. Sehingga penyelesaian persoalan perpindahan panas di alam ini memerlukan asumsi-asumsi untuk menyederhanakan permasalahan. Perpindahan panas adalah ilmu mengamati perpindahan energi yang terjadi karena adanya perbedaan suhu diantara benda atau material. Dimana di dalam kasus ini, kami perpindahan panas yang jenisnya konduksi yaitu penghantaran panas, dengan menghitung setiap titik panas di bagian tertentu yang nantinya akan dijelaskan lebih lanjut di dalam makalah. 1.2 Rumusan Masalah 1.2.1 Bagaimana cara menyelesaikan kasus “Model of Heated Rod”? 1.2.2 1.2.3 1.3 Tujuan 1.3.1 1.3.2 1.3.3 Bagaimana cara mengubah “Model of Heated Rod “menjadi bentuk sistem tridiagonal pada persamaan linier aljabar? Bagaimana cara menyelesaikan “Model of Heated Rod” dengan matlab dan model grafiknya ? Dapat menyelesaikan kasus “Model of Heated Rod”? Dapat mengubah “Model of Heated Rod “menjadi bentuk sistem tridiagonal pada persamaan linier aljabar Dapat cara menyelesaikan “Model of Heated Rod” dengan matlab dan model grafiknya 2. Landasan Teori Panas adalah suatu elemen yang penting yang dibutuhkan oleh manusia. Panas merupakan salah satu energy yang dapat berpindah-pindah . Perpindahan panas adalah ilmu yang menjelaskan tentang perpindahan energy yang bisa terjadi karema adanya perbedaan suhu antara material. Proses perpindahan material mengalir dari daerah dengan suhu yang tinggi ke suhu yang rendah. Perpindahan panas dapat terjadi dengan 3 cara, yaitu : konduksi, konveksi, dan radiasi. Konduksi adalah proses perpindahan panas dari daerah yang bersuhu itnggi ke daerah bersuhu rendah dalam satu medium ( padat, cair, gas) secara hantaran. Konveksi adalah perpindahan panas yang terjadi karena adanya aliran. Radiasi adalah perpindahan dari benda bersuhu tinggi ke benda yang bersuhu rendah secara pancaran. Mekanisme perpindahan panas sendiri dapat terjadi secara konduksi, konveksi, dan radiasi. Perpindahan panas secara konduksi adalah prose perpindahan panas dari daerah bersuhu tinggi ke derah bersuhu rendah dala satu medium (padat, cair atau gas), atau antara mediummedium yang berlainan yang bersinggungan secara langsung. Perpindahan panas secara konveksi adalah perpindahan energi dengan kerja gabungan dari konduksi panas, penyimpangan, energi dan gerakan mencampur. Proses terjadi pada permukaan padat (lebih panas atau dingin) terhadap cairan atau gas(lebih dingin atau panas). Perpindahan panas secara radiasi adalah proses perpindahan panas dari benda bersuhu tinggi ke benda yang bersuhu lebih rendah, bila benda-benda itu terpisah didalam ruang (bahkan dalam ruang hampa sekalipun). Persamaan linier Aljabar dapat muncul ketika model sistemnya terdistribusi. Sebagai contoh kasus “model of heated rod”,pada gambar dibawah ini,menunjukan panjang batang yang diposisikan diantara dua dinding pada suhu yang konstan. Kemudian dialirkan panas antara batang dan suhu udara disekitarnya. Sehingga pada kasus ini,persamaan diferensial dapat ditulis sebagai berikut: 𝑑2 𝑇 𝑑𝑥 2 + ℎ′ ( 𝑇𝑎 − 𝑇 ) = 0 (1) Dalam kasus(model of heated rod) ini akan menggunakan perbedaan terbatas untuk mengubah persamaan diferensial menjadi system tridiagonal dari persamaan linier aljabar yang dapat diselesaikan dengan metode numerik. Hot Equation ( Persamaan Panas) adalah persamaan yang merepresentasikan fenomena difusi, atau lebih dikenal dengan persamaan difusi. Nama persamaan difusi ini lebih umum karena persamaan ini tidak hanya berlaku pada perpindahan panas saja, namun juga bergantung pada waktu. Jadi, ada perubahan waktu dari detik ke detik dimana ∝ adalah koefisien difusi suatu bahan. Persamaan differensial 1 dimensi dapat ditulis sebagai berikut : 𝜕𝑇 𝜕𝑡 𝜕2 𝑇 =∝ 𝜕𝑥 2 (2) Gambar 1. Posisi batang yang tidak terinsulasi berada diantara 2 dinding yang konstan dengan suhu yang berbeda. Perwujudan perbedaan terbatas ditunjukkan oleh 4 titik didalamnya. dimana 𝑇 = suhu (0C ), 𝑥 = jarak batang (m), ℎ′ = Koefisien perpindahan panas antara batang dan udara sekitarnya (m-2), dan 𝑇𝑎 = suhu udara (0C ). Dalam kasus(model of heated rod) ini akan menggunakan perbedaan terbatas untuk mengubah persamaan diferensial menjadi system tridiagonal dari persamaan linier aljabar yang dapat diselesaikan dengan metode numerik. 3. Hasil & Kesimpulan Diberikan nilai untuk parameter, fungsi paksaan, dan kondisi terbatas, kakulus dapat digunakan untuk mengembangkan solusi analitik. Sebagai contoh Jika ℎ′ = 0.01, 𝑇𝑎 = 20, 𝑇(0) = 40, dan 𝑇(5) = 200, solusinya adalah : 𝑇= 73.4523𝑒 0.1𝑥 −53.4523𝑒 −0.1𝑥 + 20 (3) Meskipun solusinya disediakan, kalkulus tidak bekerja untuk setiap masalah seperti ini. Dalam hal seperti ini, metode numerik menyediakan alternatif berharga. Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan differensial adalah dengan menggunakan metode beda hingga atau yg lebih dikenal dengan finite difference method. Metode ini menggunakan pendekatan ekspansi Taylor di titik acuannya (x). 𝑑𝑇 𝑑 2 𝑇 ∆𝑥 2 2 + 𝑑𝑥 3 𝑑 2 𝑇 ∆𝑥 2 2 − 𝑑𝑥 3 𝑇(𝑥 + ∆𝑥) = 𝑇(𝑥) + 𝑑𝑥 ∆𝑥 + 𝑑𝑥 2 𝑑𝑇 ∆𝑥 𝑑𝑥 = 𝑇(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) − 𝑑𝑥 2 𝑑𝑇 𝑑𝑥 = 𝑇(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥 − 𝑑 2 𝑇 ∆𝑥 𝑑𝑥 2 2 − 𝑑 3 𝑇 ∆𝑥 3 6 + ⋯ + 𝑑𝑥 𝑛 𝑑 3 𝑇 ∆𝑥 3 6 − ⋯ − 𝑑𝑥 𝑛 𝑑 3 𝑇 ∆𝑥 2 𝑑𝑥 3 6 𝑑 𝑛 𝑇 ∆𝑥 𝑛 𝑛! − ⋯− 𝑑 𝑛 𝑇 ∆𝑥 𝑛 𝑛! 𝑑 𝑛 𝑇 ∆𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥 𝑛 𝑛! (4) Secara umum, symbol 𝜕𝑇 ∆x 𝑑𝑥 menunjukkan kemiringan (gradient) nilai fungsi T pada 𝑑2 𝑇 T(x). jika x digeser sebesar ∆x. Sementara symbol 𝑑𝑥 2 menunjukkan lengkungan (curvature) dari titik T(x) tersebut jika T digeser sebesar ∆x. Olehkarena itu nilai hanya signifikan untuk nilai n=2 saja. Sehingga : Dalam kasus ini, kita menggunakan metode beda hingga untuk mentransformasikan persamaan diferensial ini menjadi system tridiagonal atas persamaan aljabar linear yang bisa diselesaikan menggunakan metode numerik yang diselesaikan pada kasus ini. Selanjutnya kita turunkan persamaan tersebut untuk mendapatkan rumus pendekatan orde 2. Dari persamaan (4) kita turunkan sehingga diperoleh : (5) 𝑑𝑇 𝑑𝑥 𝑑2 𝑇 𝑑𝑥 2 Substitusikan 𝑑2𝑇 𝑑𝑥 2 𝑑2𝑇 𝑑𝑥 2 𝑑𝑇 𝑑𝑥 = = 𝑇(𝑥+∆𝑥)−𝑇(𝑥) 𝑑 2 𝑇 ∆𝑥 − ∆x 𝑑𝑥 2 2 =[ 𝑇(𝑥+∆𝑥)−𝑇(𝑥) 𝑑𝑇 2 − 𝑑𝑥] ∆𝑥 ∆x 𝑇(𝑥)−𝑇(𝑥+∆𝑥) 𝑑 2 𝑇 ∆𝑥 + 2 ∆x 𝑑𝑥 2 (𝐵𝑎𝑐𝑘𝑤𝑎𝑟𝑑 𝐷𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒) 𝑇(𝑥+∆𝑥)−𝑇(𝑥) 𝑇(𝑥)−𝑇(𝑥+∆𝑥) 𝑑 2 𝑇 ∆𝑥 2 − + [ ]} ∆𝑥 ∆x ∆x 𝑑𝑥 2 2 ={ = 𝑇(𝑥+∆𝑥)−𝑇(𝑥) 2 ∆x ∆𝑥 𝑑2 𝑇 2 𝑑𝑥 2 = 2 𝑑2 𝑇 𝑑𝑥 2 = − 𝑇(𝑥)−𝑇(𝑥+∆𝑥) 2 ∆x ∆𝑥 𝑇(𝑥+∆𝑥)−𝑇(𝑥) − ∆x2 2 𝑑 2 𝑇 2 ∆𝑥 2 − 𝑑𝑥 2 ∆𝑥 𝑇(𝑥)−𝑇(𝑥+∆𝑥) ∆x2 𝑇(𝑥+∆𝑥)−2𝑇(𝑥)+𝑇(𝑥+∆𝑥) ∆x2 Dalam Menghitung solusinya, kita bisa menggunakan metode beda hingga untuk menghitung solusi persamaan diferensialnya, Dari pers (7) kita peroleh : 𝑑2 𝑇 𝑑𝑥 2 = 𝑇𝑖+1 − 2𝑇𝑖 + 𝑇𝑖−1 ∆𝑥 2 (6) dimana 𝑇𝑖 adalah suhu di titik i. Persamaan (1) bisa ditransformasikan menjadi persamaan aljabar linear dengan membagi batang menjadi beberapa titik. Batang di gambar (1) dibagi menjadi 6 titik dengan jarak seperti pada gambar dengan batang yang panjangnya 10 m dengan jarak antara titiknya yaitu ∆𝑥=2m. Jika kita mesubtitusikan persamaan (6) ke persamaan (2), maka diperoleh : 𝑇𝑖+1 − 2𝑇𝑖 + 𝑇𝑖−1 ∆𝑥 2 + ℎ′ ( 𝑇𝑎 − 𝑇 ) = 0 (7) Dengan menginput nilai yang sudah diberikan di awal kasus tadi, maka dapat diuraikan menjadi : 𝑇𝑖+1 − 2𝑇𝑖 + 𝑇𝑖−1 ∆𝑥 2 𝑇𝑖+1 − 2𝑇𝑖 + 𝑇𝑖−1 4 + ℎ′ ( 𝑇𝑎 − 𝑇 ) = 0 + 0,01 ( 20 − 𝑇 ) = 0 0,01 ( 20 − 𝑇 ) = −𝑇𝑖+1 + 2𝑇𝑖 − 𝑇𝑖−1 4 0,04 ( 20 − 𝑇 ) = −𝑇𝑖+1 + 2𝑇𝑖 − 𝑇𝑖−1 0,8 – 0,04𝑇𝑖 = −𝑇𝑖+1 + 2𝑇𝑖 − 𝑇𝑖−1 0,8 = −𝑇𝑖+1 + 2, 04𝑇𝑖 − 𝑇𝑖−1 (8) Lalu disubstitusikan nilai 𝑖 yang berada di antara titik awal dan akhir. Karena kita membagi batang menjadi 5 bagian, maka terdapat 6 titik partisi antar bagian seperti gambar berikut : Perhatikan bahwa untuk I = 0 adalah titik awal batang tersebut dan i=5 adalah titik akhir batang tersebut. Sehingga kita dapat mengetahui bahwa nilai I yang berada diantara titik awal dan akhir ialah i = 1, 2, 3 dan 4. Sehingga : Untuk 𝑖 = 1, Diperoleh −𝑇2 + 2, 04𝑇1 − 𝑇0 = 0,8 Untuk 𝑖 = 2, Diperoleh −𝑇3 + 2, 04𝑇2 − 𝑇1 = 0,8 Untuk 𝑖 = 3, Diperoleh −𝑇4 + 2, 04𝑇3 − 𝑇2 = 0,8 Untuk 𝑖 = 3, Diperoleh −𝑇5 + 2, 04𝑇4 − 𝑇3 = 0,8 Maka didapat sistem persamaan linier seperti berikut : −𝑇0 + −𝑇1 + −𝑇2 + −𝑇3 + 2, 04𝑇1 − 2, 04𝑇2 − 2, 04𝑇3 − 2, 04𝑇4 − 𝑇2 𝑇3 𝑇4 𝑇5 = 0,8 = 0,8 = 0,8 = 0,8 (9) Dari data, didapatkan 𝑇0 = 40 dan 𝑇5 = 200, sehingga bisa disubsitusikan dan dipindahkan ke ruas kanan. Hasilnya adalah 4 persamaan dengan 4 pernyataan yang tidak diketahui dalam bentuk matriks sebagai berikut : 𝑇1 2.04 −1 40.8 0 0 𝑇 −1 2.04 2 −1 0 [ ] { } = { 0.8 } 0.8 0 −1 2.04 −1 𝑇3 200.8 0 0 −1 2.04 𝑇4 (10) Untuk menyelesaikan permasalahan diatas, kita bisa menggunakan Matlab dengan 2 cara. Pertama dengan menggunakan manual dengan sintak-sintak yang digunakan dan cara kedua dengan bantuan scrib yang pastinya kita tinggal menginput data yang kita gunakan di script. Cara pertama eperti yang ada di lampiran dan cara kedua kita bisa menggunakan bantuan dengan function. Functionnya sebagai berikut : function x=tridiag(e,f,g,r) n=length(f); for k=2:n factor=e(k)/f(k-1); f(k)=f(k)-factor*g(k-1); r(k)=r(k)-factor*r(k-1); end x(n)=r(n)/f(n); for k=n-1:-1:1 x(k)=(r(k)-g(k)*x(k+1))/f(k); end dan cara pemanggilannya seperti pada lampiran pada matlab. Hasil dari plot nya adalah : Gambar 2. Plot dari hasil persamaannya. 4. Kesimpulan Pada kasus menghitung perpidahan panas (menghitung suhu panas yang melalui sebuah balok serta suhu panas antara balok batangan dengan udara sekitarnya) dengan diferensial panas , metode yang digunakan adalah metode tridiagonal. Hasil yang diperoleh dengan T=[A\b]’ pada command window dan hasil yang diperoleh dengan menggunakan fungsi tridiagonal di m-file pada MATLAB sama dan hampir medekati nilai analitik atau eksaknya. Hal ini dapat kita lihat dengan memplot kurva dari masing-masing hasil serta nilai analitiknya, dimana kurva hasil yang diperoleh dengan menset T=[A\b]’ pada command window dan kurva hasil yang diperoleh dengan menggunakan fungsi tridiagonal di m-file pada MATLAB hampir berimpitan dan hampir mendekati kurva nilai analitik atau eksaknya. 5. Ucapan Terimakasih Terima kasih kami ucapkan kepada semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan makalah “Model of A Heated Rod”, mulai dari Tuhan Yang Maha Esa, Buk Susila Bahri, Buk Radhiatul Husna, dan Pak Budi Rudianto, Uda Uni Asisten Labor SCL FMIPA Universitas Andalas, dan pihak-pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan masalah ini. Semoga makalah ini bisa dapat dimanfaatkan dengan baik kedepannya. Amin. 6. Lampiran Lampiran Matlab : Cara Pertama : Cara Kedua : Plot : Referensi [1] Chapra, Stevem C. 2012 . Aplied Numerical Methods. New York: The Mc Graw Hill Companies [2] Stefandi, Andrias. 2017.Kumpulan Proyek Fisika Dasar dengan Menggunakan Matlab. Jakarta : Fivehertas [3] Fransisca Amelis Putri. 2018. “Penyelesaian Persamaan Panas Satu dan Dua Dimendi dengan Menggunakan Metode Beda Hingga”. Yogyakarta ( PDF Online), diunduh tanggal 6 Mei 2020
