Pendahuluan Persamaan Diferensial Definisi dan Terminologi Masalah Nilai Awal oleh Dede Tarwidi Rencana Perkuliahan • • • • • • • • Pendahuluan persamaan diferensial - definisi dan terminologi - masalah nilai awal Persamaan diferensial (PD) orde satu Pemodelan dengan PD orde satu UTS Sistem PD orde satu Pemodelan masalah nyata Tugas UAS Referensi: Dennis G. Zill, “ A First Course in Differential Equation with Modeling Aplications”, 2009 2 Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung turunan dari satu atau lebih variabel tak-bebas, terhadap satu atau lebih variabel bebas. Contoh:. 1. dy + 5 y = ex dx y variabel tak-bebas dan x variabel bebas. 2. d2y dy − + 6y = 0 2 dx dx y variabel tak-bebas dan x variabel bebas. 3. dx dy + = 2x + y dt dt x dan y variabel tak-bebas dan t variabel bebas. 3 Persamaan Diferensial Parsial (PDP) Perbedaan: - PDB hanya mengandung satu variabel bebas - PDP mengandung dua atau lebih variabel bebas Contoh:. 1. 2u 2u + 2 =0 2 x y u variabel tak-bebas dan x dan y variabel bebas. 2. 2u 2u u = 2 −2 2 x t t 3. u v =− y x 4 Notasi Notasi Leibniz: dy d 2 y d 3 y , , , 2 3 dx dx dx Notasi aksen: y , y , y , dny , dx n , y (n) Contoh:. Notasi Leibniz: 1. dy + 5 y = ex dx 2 d y dy 2. − + 6y = 0 2 dx dx Notasi aksen: 1. y + 5 y = e x 2. y − y + 6 y = 0 5 Orde dari PD Orde dari suatu persamaan diferensial adalah orde dari turunan tertinggi dalam persamaan diferensial tersebut. Persamaan diferensial dy = 2x + 3 dx d2y dy + 3 + 9y = 0 2 dx dx 4 d 3 y dy + + 6y = 3 3 dx dx Orde 1 2 3 6 Derajat dari PD Derajat dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat dari turunan tertinggi dalam persamaan diferensial tersebut. Derajat Persamaan diferensial d2y dy +3 + y = 0 2 dx dx 1 4 d 3 y dy + + 6y = 3 3 dx dx 3 d y dy 2 + + 3 = 0 dx dx 2 1 5 3 7 Persamaan Diferensial Linear Suatu persamaan diferensial disebut linear jika: -Semua Variabel tak-bebas dan turunanannya mempunyai derajat satu - koefisien dari suatu suku turunan tidak bergantung pada variabel tak-bebas Contoh:. 1. d2y dy + 3 + 9y = 0 2 dx dx 2. d 3 y dy + + 6y = 3 dx 3 dx PD tak-linear 3. d2y dy 3 x + y = x dx dx 2 PD tak-linear 4. d2y + sin y = 0 2 dx PD tak-linear PD linear 4 2 8 Latihan no Persamaan diferensial 1 y = x + 9 y 2 y = 2 y + 3 y 2 3 d 2 y dy 3 + − 3 y = x 2 dx dx 4 y + 2 xy + 4 y = cos 2 x 5 dy x + 1 = dx y − 4 6 2u 2u =c 2 2 x t PDB / Linear/ PDP taklinear Orde Derajat Var Var takbebas bebas 9 Masalah Nilai Awal (MNA) MNA orde 1: y + p (t ) y = g (t ), y (0) = y0 dengan p (t ), g (t ) dan y0 diketahui. MNA orde 2: a (t ) y + b(t ) y + c(t ) y = h(t ), y (0) = y0 , y (0) = z0 dengan a (t ), b(t ), c(t ), h(t ), y0 dan z0 diketahui. Jika h(t ) = 0 maka disebut persamaan diferensial homogen. Jika h(t ) 0 maka disebut persamaan diferensial tak-homogen. 10 MNA Orde 1 Untuk menentukkan solusinya, kalikan setiap ruas dengan faktor integral: e P (t ) , P (t ) = p (t )dt diperoleh p ( t ) dt p ( t ) dt p ( t ) dt e y + e p (t ) y = e g (t ) dapat ditulis d P (t ) e y ) = e P (t ) g (t ) ( dx d ( e P (t ) y ) = e P (t ) g (t )dt 11 MNA Integralkan kedua ruas, diperoleh e P (t ) y = e P (t ) g (t )dt + C atau kita tuliskan sebagai 1 P (t ) y = P (t ) e g (t )dt + C e Contoh: Selesaikan MNA berikut: ty + 2 y = 4t 2 y (1) = 2. 12 MNA Jawab: Tulis dalam bentuk standar MNA orde 1: 2 y + y = 4t t sehingga p(t) = 2/t dan g(t) = 4t. Kemudian hitung faktor integral: e 2 dt t =e 2ln t = t2 Kalikan masing-masing ruas dengan t 2 , diperoleh t 2 y + 2ty = 4t 3 (t 2 y ) = 4t 3 13 MNA Sehingga diperoleh t2 y = t4 + C dengan C adalah kontanta. Maka solusi umum dari PD tersebut: C y=t + 2 t 2 Karena y(1) = 2, maka C = 1. Sehingga solusi dari MNA tersebut adalah 1 y=t + 2 t 2 14 MNA Orde 2 Contoh: Selesaikan MNA berikut: y + 5 y + 6 y = 0, y (0) = 2, y(0) = 3 Jawab: Misalkan solusi PD tersebut berbentuk y = e rt maka karena sehingga (r e rt 0 2 + 5r + 6 ) e rt = 0 r 2 + 5r + 6 = (r + 2)(r + 3) = 0 15 MNA Orde 2 diperoleh r1 = −2, r2 = −3 Jadi, solusi umum PD tersebut adalah y = c1e −2t + c2 e −3t Substitusikan nilai awal y (0) = 2, y(0) = 3 menghasilkan c1 + c2 = 2 −2c1 − 3c2 = 3. Akhirnya, kita peroleh c1 = 9 dan c2 = -7. Jadi, solusi MNA tersebut adalah y = 9e −2t − 7e −3t 16 Latihan Selesaikan masalah nilai awal berikut ini. 2t y − y = 2 te , y (0) = 1 1. 2. ty + 2 y = t 2 − t + 1, y (1) = 12 , t 0 3. y + 2t y = (cos t ) / t 2 , y (π ) = 0, t 0 4. ty + (t + 1) y = t , y (ln 2) = 1, t 0 5. y + y − 2 y = 0, y (0) = 1, y(0) = 1 6. y + 8 y − 9 y = 0, y (1) = 1, y(1) = 0 7. 4 y − y = 0, y (−2) = 1, y( −2) = −1 17
