TUGAS MANDIRI
MATEMATIKA EKONOMI
BAB 8 LIMIT DAN KESINAMBUNGAN FUNGSI
Nama : Suriani
NPM : 140610098
Dosen : Yuliadi S.Si.,M.Ak
PROGRAM STUDI MANAJEMEN
FAKULTAS BISNIS
UNIVERSITAS PUTERA BATAM
2018
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI ............................................................................................................ i
BAB 8 Limit dan kesinambungan fungsi ................................................................ 1
A. Limit ................................................................................................................... 1
1. Limit sisi-kiri sisi-kanan ..................................................................................... 2
Contoh soal limit sisi-kiri sisi-kanan.................................................................. 3
Pembahasan Contoh soal limit sisi-kiri sisi-kanan ............................................. 3
Soal-soal latihan limit sisi-kiri sisi-kanan .......................................................... 4
2. Kaidah-kaidah Limit .......................................................................................... 4
Contoh soal kaidah-kaidah limit ........................................................................ 6
Pembahasan Contoh soal kaidah-kaidah limit ................................................... 6
Soal-soal latihan kaidah limit ............................................................................. 8
B. Kesinambungan Fungsi ...................................................................................... 8
Contoh soal Kesinambungan fungsi................................................................... 9
Pembahasan Contoh soal kesinambungan fungsi .............................................. 9
Soal-soal latihan kesinambungan fungsi .......................................................... 12
C. Penerapan Ekonomi .......................................................................................... 12
PEMBAHASAN SOAL-SOAL LIMIT DAN KESINAMBUNGAN FUNGSI ...14
Limit sisi-kiri, limit sisi-kanan ......................................................................... 14
Kaidah-kaidah limit .......................................................................................... 14
Kesinambungan Fungsi .................................................................................... 16
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................. ii
i
BAB 8 LIMIT DAN KESINAMBUNGAN FUNGSI
A.
Limit
(Du, 2007) Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan
berkembang apabila variasi didalam fungsi yang bersangkutan terus menerus
berkembang mendekati suatu nilai tertentu. Sebagai gambaran dari y = f(x) akan
dapat diketahui limit dan atau batas perkembangannyaf(x) ini apabila variabel x
terus menerus berkembang hingga mendekati suatu nilai tertentu.
lim f(x) L
xa
Di baca “Limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L” artinya jika
variabel x berkembang secara terus menerus hingga mendekati bilangan tertentu a,
maka nilai fungsi f(x) pun akan berkembang pula hingga mendekati L. Misalkan
ada suatu fungsi x yang ditunjukkan oleh f(x). kemudian pada variabel x diberi
nilai dengan suatu bilangan yang besarnya tetap yaitu konstata a, sehingga nilai
f(x) tertentu dan katakanlah nilainya sama dengan A. perhatikanlah, symbol yang
diberikan untuk nilai variabel x adalah a dan symbol untuk nilai f(x) adalah A.
meskipun keduanya adalah huruf yang memberikan suara sama apabila dibaca,
akan tetapi nilai yang dikandung tidak sama karena symbol untuk nilai variabel
ditulis dengan huruf kecil, sedang nilai fungsi f(x) ditulis dengan angka huruf
besar.
Sekarang variabel x diberi nilai yang berubah-ubah yang besarnya semakin
dekat dengan a. tujuan dari mengubah-ubah nilai variabel x adalah untuk melihat
penambahan nilai f(x). tujuan dari mengubah-ubah nilai variabel x adalah untuk
melihat perubahan nilai f(x). ternyata apabila variabel x nilainya semakin dekat
dengan a, maka nilai dari fungsi f(x) akan semakin dekat dengan A. atau dapat
dikatakan bahwa f(x) mendekati limit A untuk x yang semakin dekat dengan a.
Ada dua hal yang terjadis secara bersamaan disini yaitu x dan f(x) masingmasing mendekati limitnya, yaitu a dan A. ini juga berarti bahwa baik x maupun
f(x) keduanya mempunyai limit. Limit dari x dan a dan limit dari f(x) adalah A.
Suatu variabel x dikatakan mendekati suatu bilangan sebagai limit jika nilai-nilai
1
yang diberikan kepada variabel x sedemikian rupa, sehingga harga mutlak dari
selisih I x – a I masih merupakan suatu bilangan positif meskipun sangat kecil.
Ayau dengan symbol:
1.
Limit sisi-Kiri, Limit Sisi-Kanan
(Mustafid, 2012) Analisis mengenai suatu limit sebenarnya dapat dipilah
menjadi dua bagian, tergantung pada sisi mana kita melihat gerakan
perkembangan variabellnya. Apabila kita menganalisis lim f(x) dari nilai-nilai x
yang lebih kecil daripada a ( dari x < a ), berarti kita melihatnya dari sisi kiri.
Sebaliknya jika kita menganalisis lim f(x) dari nilai nilai x yang lebih besar
daripada a ( dari x < a ), berarti kita melihatnya dari sisi kanan. Jadi,
Terdiri atas
(Analisis sisi kiri)
(Analisis sisi kanan)
X → a dilihat dari
x → a dilihat dari
nilai-nilai x < a*)
nilai-nilai x > a*)
Limit sisi kiri dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati oleh fungsi tersebut
apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang
membesar (x → a dari sisi-kiri, melalui nilai-nilai x < a ). Jadi, jika
Berarti L- merupakan limit sisi-kiri dari f(x)
2
untuk x → a
Limit sisi-kanan dari sebuah fungsi adalah nilaiyang didekati oleh fungsi tersebut
apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang mengecil
(x → a dari sisi-kanan, melalui nilai-nilai x > a). Jadi, jika
Berarti L+ merupakan limit sisi-kanan dari f(x)
untuk x → a
Limit suatu fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit sisi-kiri dan sisikanannya ada serta sama. Dalam kasus semacam ini
Contoh Soal Limit sisi-kiri sisi-kanan :
1)
Lim (1 – 2x2) = -7
X→2
2)
{
Tentukan lim
X →1-
}
g(x)
lim g(x),
lim g(x),
X → 1+
X→1
{
3)
}
Pembahasan contoh soal limit sisi-kiri sisi-kanan :
1)
Lim (1 – 2x2) = -7 (terdefinisi)
X→2
Sebab lim (1-2x2) = -7 =
X → 2-
lim (1-2x2) = -7
x → 2+
3
2)
Lim g(x) =
lim 3 x 2
lim
x →1
x→1
Karena limx →1- g x limx → g x maka limx →1 g x tidak ada
3)
Karena
Soal-soal latihan limit sisi-kiri, limit sisi-kanan
1)
g(x) = {
tentukan
2)
f(x) =
{
tentukan
Diketahui
f(x)
=
{
maka
hitunglah
limit
dari
{
3)
Tentukan
2.
Kaidah-kaidah Limit
(Bestyaoctaviyanti, 2015) Dalam pembahasan kaidah limit akan digunakan
fungsi y = f(x), mendekati nilai tertentu a sehingga nilai fungsi akan mendekati y
= f(a). kaidah limit dari fungsi y = f(x) adalah sebagai berikut:
4
1)
Untuk fungsi linear y =f(x) = ᾰ +ẞx, dimana ᾰ dan ẞ adalah konstanta, limit
dari fungsi tersebut untuk x mendekati akita dapatkan dengan memasukkan
nilai a kedalam fungsi tersebut, yaitu y = ᾰ +ẞa. limit tersebut dituliskan:
Jika y = ᾰ+ẞx maka
2)
Untuk fungsi konstan y =f(x) = ᾰ, dimana ᾰ adalah konstanta, limit dari
fungsi tersebut untuk x mendekati a adalah konstanta itu sendiru. Halini
sama dengan kaidah (1) dengan memasukkan ẞ=0. Limit tersebut dituliskan:
jika y = ᾰ maka
3)
Jika fungsi y = f(x) = x maka
Jika fungsi y = f(x) = Xn maka limx →a y an
Tiga kaidah tersebut menunjukkan bahwa limit suatu fungsi y=f(x) untuk x
mendekati a didapat secara langsung dengan memasukkan nilai a (yaitu x =
a) kedalam fungsi, y = f(a).berikut ini akan dibahas limit yang mengaitkan
dau fungsi f(x) dan y=g(x) untuk mendekati a. jika diketahu limit dua fungsi
y=f(x) dan y=g(x) untuk x mendekati adalah sama dengan sebuah angka
tertentu Lf dan Lg maka dapat dituliskan sebagai berikut:
4)
Kaidah penjualan dan pengurangan limit dua fungsi y=f(x) dan y=g(x). jika
limit dari y=f(x) dan y=g(x) sama dengan Bf dan Bg, maka penjumlahan
limit penjualan atau pengurangan dari dua fungsi y=f(x) dan y=g(x) akan
sama dengan penjualan atau pengurangan limit fungsi y=f(x) dan y=g(x)
5
akan sama dengan penjumlahan atau pengurangan limit fungsi y=f(x) dan
y=g(x), Bf dan Bg.
adalah suatu bilangan konstan,
Jika lim f(x) = A;
maka ;
1)
2)
3)
=[
.[
4)
5)
=A.B
= A/B dengan syarat B A
n
= n = An
6)
√
= A1/n
Contoh soal kaidah-kaidah limit
1)
Jika f(x) = berapakah
2)
Tentukan nilai dari
3)
Nilai dari
4)
Nilai dari
5)
Nilai dari
……
adalah ….
adalah …
Pembahasan contoh soal kaidah-kaidah limit :
1)
Untuk x = , kita berhadapan dengan bentuk dan berarti usaha mencari
limit gagal. Masalahnya berbeda kalau pembilang maupun penyebut pada
f(x) dibagi dengan x sehingga menjadi:
6
F(x) =
=
Sehingga,
2)
=1
Limit x menuju dengan pangkat tertinggi dari pembilang yang lebih
tinggi dari penyebutnya m n
=
3)
4)
5)
7
Soal-soal latihan kaidah-kaidah limit
1.
Berapakah
2.
Berapakah
3.
Bila f(x) = berapakah lim f(x)?
4.
Jika f(x) = berapakah
5.
Bila f(x) = berapakah
B.
Kesinambungan Fungsi
→3
→
→
(Akulin, 2017) Perihal kesinambungan dan ketidakseimbangan fungsi
merupakan konsep dasar penting dalam kalkulus. Konsep kesinambungan
bertalian erat dengan konsep limit. Secara visual, sebuah fungsi dikatakan
seimbang apabila gambarnya berupa sebuah kurva yang tidak terputus; yakni jika
dalam menggambarkan kurva tersebut kita tidak perlu mengangkat alat tulis,
melaikan cukup dengan menggesernya kearah yang bersesuaian.
Dalam uraian sebelumnya ini telah ditegaskan bahwa lim f(x) untuk x→a
bukanlah berarti f(x) pada x a, dalam menentukan lim f(x) untuk x→a, kita tidak
menerapkan berapa nilai f(x) pada x = a. dengan perkataan lain, limit tersebut
sesungguhnya ditentukan oleh nilai-nilai f(x) disekitar yang berkaitan dengan x =
a, tetapi bukan nilai f(x) pada x a itu sendiri. F(a). apabila lim f(x) untuk x → a
terdefinisi, dan f(x) pada x = a (atau f(a) juga terdefinisi serta sama dengan lim
f(x) untuk x → a, jadi:
Sebuah fungsif(x) dikatakan seimbang pada x = a jika
1.
F (a) terdefinisi
2.
Lim f (x) terdefinisi
x→a
3.
Lim f(x) =f(a)
x→a
8
Fungsi f(x) dikatakan sinambung dalam suatu interval b≤ x ≤ c (atau interval
b <x <c) jika ia sinanbung pada setiap titik didalam interval tersebut.
Fugsi f(x) yang tidak sinambung pada suatu titik dimana x = a dikatakan
asinambung pada x = a.
Ketidaksinambungan sebuah fungsi dapat berbentuk salah satu dari tiga
kemungkinan : asinambung tak berhingga, asinabung berhingga dan asinambung
titik. Secara geometri, penampilan kurva dari fungsi-fungsi yang berlainan bentuk
ketidaksinambungan ini sangat berbeda.
Fungsi f(x) dikatakan asinambung tak terhingga pada x = a jika f(x) menjadi
positif atau negative tak terhingga untuk x → a ; yakni jika f(a) dan lim f(x) untuk
x → a tidak terdefinisi. Kurva dari fungsi yang asinambung tak terhingga pada x
a mendekati x = a sebagai sebuah asimtot.
Contoh soal kesinambungan fungsi :
1)
Fungsi f(x) = 9/(x-3)2 asinambung tak berhingga pada x = 3 sebab f(3) dan
lim f(x) untuk x = 3 tidak terdefinisi; dalam hal ini f(3) = dan lim f(x) = .
)
2)
Fungsi f(x) = 3/x asinambung berhingga pada x = 0, karena lim f(x) untuk x
→ 0 tidak terdefinisi.
3)
Fungsi f(x) = (x2- 4)/(x – 2) asinambung titik pada x → 2 sebab f(2) tidak
terdefinisi tapi lim f(x) untuk x → 2 terdefinisi.
Pembahasan contoh soal kesinambungan fungsi :
1)
Fungsi ini sinambung pada semua nilai x selain x = 3. Kurvanya asimtotik
pada x = 3 (lihat gambar dibawah )
9
F(x)
F(x) =
(0;1)
x=3
X
0
Fungsi f(x) dikatakan asinambung berhigga pada x = a jika f(x) terdefinisi
tapi berubah secara drastic pada x = a jika f(x) terdefinisi dan lim f(x) untuk x→a
tidak terdefinisi . kurva dari fungsi yang asinambung berhingga pada x = a
mempunyai dua macam nilai f(a) untuk x → a yakni limit masing-masing sisinya.
2)
F(0) = 3/0 =
Karena limit sisi-kiri sisi-kanan maka lim f(x)
tidak terdefinisi
X→0
Perhatikan nilai f(x) untuk nilai-nilai tertentu berikut ini dan gambar
dibawah:
10
F(x)
x
-3
-2
-1 0
f(x) -1 -1,5 -3
-3
-2
-1 0
1
2
3
F(x) =
1
2
3
1,5 1
amati gambar disebelah; f(x)
menuju
untuk x
dari sisi
kiri, tetapi menuju + untuk
x 0dari sisi kanan terdapat
perubahan drastic nilai f(x) pada
x=0
Ciri khas dari fungsi yang memiliki ketidaksinambungan berhingga adalah
bahwa nilai fungsinya sama dengan limit salah satu sisinya. Dalam contoh diatas,
nilai f(0) sama dengan lim f(x) untuk x 0 dari sisi kanan yakni sama-sama + .
Fungsi f(x) dikatakan asinambung titik pada x = a jika f(a) tidak terdefinisi
tetapi lim f(x) untuk x
terdefinisi. Kurva dari fungsi yang asinambung titik
pada x = a tamak seakan-akan sinambung, namun sesungguhnya terputus pada x =
a tersebut f(x) tidak terdefinisi. Titk dimana f(x) tidak terdefinisi dinamakan “titik
yang hilang” dalam fungsi yang bersangkutan.
3)
Fungsi f(x) = (x2-4)/9x-2) asinambung titik pada x = 2 sebab f(2) tidak
terdefinisi tetapi lim f(x) untuk x terdefinisi.
F(x)
4-
0
o
2
f(x)
x
11
=
3
F(x) = (4 – 4)/ (2 – 2) = 0/0 = tak terdefinisi. Akan tetapi untuk x . F(x) bisa
disederhanakan menjadi
f(x) = (x + 2)(x – 2) – (x + 2) sehingga
Kurva dari fungsi f(X) = (x2 – 4)/(x- 2) tak lai adalah garis lurus (x + 2).
Perhatikan gambar diatas, kurva f(x) = (x2 – 4)/(x - 2) terputus pada kedudukan x
= 2. Hal ini disebabkan karena tidak terdefinisinya f(2). Titk (2,4) merupakan titk
yang hilang dalam f(x) = (x2 – 4)/(x – 2).
Soal-soal latihan kesinambungan fungsi
Tentukan apakah fungsi-fungsi f(x) berikut sinambung untuk semua nilai x
ataukah asinambung pada kedudukan x tertentu. Jika asinambung, jelaskan bentuk
ketidaksinambungannya.
1. F(x) = 18x3 -24x2- 10x
2.
F(x) = (x2-49)/(x+7)
3.
F(x) = 2x2 – 1/8)/(x-1/4)
4.
F(x) = (x2-5x + 6)/(x-3)
5.
F(x) = 18/(x – 4)2
C.
Penerapan Ekonomi
(Du, 2007) Fungsi-fungsi dalam bisnis dan ekonomi banyak yang berbentuk
fungsi asinambung. Bahkan sesungguhnya sebagian besar dari fungsi yang ada
merupakan fungsi asinambung , terutama fungsi permintaan dan fungsi penawaran
untuk jenis-jenis barang tertentu yang unit atau satuannya selalu diskrit
(merupakan bilangan bulat,tidak mungkin dipecah-pecah). Begitu pula fungsi
biaya
dan
fungsi
penerimaannya.
Penyinambungan
fungsi-fungsi
yang
sesungguhnya asinambung dan disktit memungkinkan untuk ditelaah dengan
berbagai alat analisis matematik.
Contoh kasus: andaikan pemerintah menetapkan sistem pajak pendapatan
progresif dengan ketentuan sebagai berikut;
10% atas pendapatan dibawah Rp 2juta pertahun
15% atas pendapatan antara Rp 2 – 5 juta pertahun
12
25% atas pendapatan melebihi Rp 5 juta pertahun.
Apabila pendapatan kita lambangkan dengan Y dan jumlah pajak yang dibayarkan
adalah T, maka fungsi pajak pendapatan dapat dituliskan sebagai:
{
Kurvanya ditunjukkan oleh gambar dibawah ini. Perhatikan bahwa
kurvanya asinambung di dua tempat, pada Y 1,9999 dan pada Y 5,000…1.
T (Rp juta)
1,5 -
0,8 -
Y (Rp Juta)
13
PEMBAHASAN SOAL-SOAL LIMIT DAN KESINAMBUNGAN FUNGSI
Limit sisi-kiri, limit sisi-kanan
1)
Karena
Karena
2)
a. karena aturan fungsi berubah di x=0 maka perlu dicari limit kiri dan limit
kanan di x=0
}
b. karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit
kanan di x=1
}
c. karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit
kiri dan kanan di x=2
3)
karena
maka
Kaidah-kaidah limit
1.
Untuk x=3, nilai (x-3) menjadi nol demikian pula nilai (x2-x-6), sehingga:
hal ini berarti kita gagal untuk mencari limit f(x). usaha
yang dapat dilakukan adalah mengubah pembilang sedemikian rupa
14
sehingga bentuk f(x) tidak lagi menjadi . Untuk x 3, fungsi f(x) dapat
dubah bentuknya menjadi :
=
Sekarang untuk x ;
Jadi
2.
=
=
=
3.
Dalam soal ini kita berhadapan dengan bentuk
F(x) =
= (x-1)
Sehingga
=
=1+1
=2
4.
Untuk x = , kita berhadapan dengan bentuk ⁄
dan berarti usaha
mencari limit gagal. Masalahnya berbeda kalau pembilang maupun
penyebut pada f(x) dibagi dengan x3 sehingga menjadi :
F(x) =
=
15
=1
sehingga
5.
Dalam soal ini kita berhadapan dengan bentuk untuk x = 1, maka
F(x) =
= (x+1)
Sehingga,
=
+
=1+1=2
Kesinambungan Fungsi
1.
Sinambung
2.
Asinambung titik pada x = -7
3.
Asinambung titik pada x = ⁄
4.
Asinambung titik pada x = 3
5.
Asinambung tak berhingga pada x = 4
16
DAFTAR PUSTAKA
Akulin, G. (2017). Limit dan Kontuinitas. Retrieved from
http://www.sheetmath.com/2017/03/limit-dan-kekontinuan-contoh-soaldan.html
Bestyaoctaviyanti. (2015). Kaidah Limit. Retrieved from
https://bestyaoctaviyanti.wordpress.com/2015/12/10/kaidah-limit-tugas-4/
Du, M. (2007). Matematika terapan untuk bisnis dan ekonomi (edisi ke 1).
Yogyakarta: BPFE-YOGYAKARTA.
Mustafid, A. (2012). Limit Kiri dan Limit Kanan. Retrieved from
http://t4f1d.blogspot.co.id/2012/10/limit-kiri-limit-kanan.html
Wikipedia. (2017a). Limit. Retrieved from
https://id.wikipedia.org/wiki/Limit_fungsi
Wikipedia. (2017b). Matematika Ekonomi. 2017. Retrieved from
https://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_ekonomi
ii
