Bagian 6 Persoalan Penugasan Suatu perusahaan merencanakan untuk membeli m unit mesin baru yang jenisnya berbeda. Mesin-mesin baru tersebut dapat digunakan untuk memproduksi n jenis produk yang berbeda pula. Karena spesifikasi mesin- mesin tersebut berbeda satu dengan yang lain, maka walaupun dapat digunakan untuk memproduksi produk yang sama, tetapi akan menghasilkan jumlah output yang berbeda. Manajer perusahaan berkeinginan untuk menempatkan mesin-mesin tersebut untuk memproduksi jenis produk yang sesuai sehingga dapat menghasilkan output yang optimum. Untuk efisiensi, perusahaan membuat kebijakan bahwa setiap jenis produk hanya diproses pada satu mesin saja, begitu juga setiap mesin hanya boleh digunakan untuk memproses satu jenis produk. Apa yang harus dilakukan manajer perusahaan tersebut? 6.1. Kompetensi Setelah mempelajari materi ini, kompetensi yang diharapkan tercapai adalah dapat menyelesaikan persoalan penugasan dan dapat menentukan biaya atau hasil kerja optimum, baik secara manual maupun menggunakan software. 6.2. Penugasan Persoalan penugasan adalah bentuk khusus dari persoalan program linier, dimana sumber-sumber atau petugas dialokasikan satu-persatu untuk ditugasi secara khusus pada suatu kegiatan atau tugas. Tujuan umum dari persoalan penugasan adalah bagaimana menugaskan semua sumber yang ada untuk ditugasi mengerjakan tugas yang tersedia, sedemikian hingga akan dapat mengoptimumkan kontribusi yang akan diperoleh atau dikeluarkan. Oleh karena itu jika petugas i mengerjakan tugas j dimana kontribusi ( cij ) adalah biaya, maka fungsi obyektifnya adalah bentuk minimumkan. Tetapi apabila kontribusi ( cij ) adalah hasil kerja (output), maka fungsi obyektifnya berbentuk maksimumkan. Untuk menyelesaikan persoalan penugasan, maka terlebih dahulu persoalan riil tersebut dinyatakan dalam bentuk model matematis, seperti halnya model matematis pada persoalan program linier. Jika seandainya m petugas yaitu P1, P2, ….., Pi, …, dan Pm, yang akan ditugasi untuk menyelesaikan n tugas yaitu T1, T2, …, Tj, …, dan Tn dimana jika Petugas i mengerjakan Tugas j dengan kontribusi cij , suatu perusahaan mempunyai sehingga jika dibuat dalam bentuk skema, skema umum persoalan penugasan dapat dilihat pada Gambar 6.1. P1 P2 c2j, X2j c1j, X1j Pi ... ci1, Xi1 cmj, Xmj cin, Xin c12, X12 Pm ... cin, Xin cij, Xij cmn, Xmn c11, X11 c22, X22 T1 T2 c1n, X1n ... Tj ... Tn Gambar 6.1: Skema Umum Persoalan Penugasan Asumsi persoalan penugasan adalah : 1. Setiap Petugas dapat menyelesaikan semua Tugas, tetapi setiap Petugas hanya boleh menyelesaikan satu Tugas. Riset Operasi halaman 6 - 2 Persoalan Penugasan 2. Setiap Tugas dapat diselesaikan oleh semua Petugas, tetapi setiap Tugas hanya boleh dikerjakan oleh seorang Petugas. Akibat dari kedua asumsi tersebut, maka jumlah Petugas harus sama dengan jumlah tugas. 6.2.1. Model Matematis Persoalan Penugasan Dengan melihat Gambar 6.1 tampak bahwa yang menjadi masalah adalah bagaimana mengalokasikan Petugas-petugas tersebut untuk menyelesaikan Tugas-tugas dan harus memenuhi kedua asumsi diatas sedemikian hingga total kontribusi menjadi optimum. Apabila kontribusi ( cij ) adalah biaya, maka total kotribusi (fungsi obyektif) adalah maksimumkan, tetapi apabila kontribusi ( cij ) adalah hasil kerja, maka total kontribusi (fungsi obyektif) adalah meminimumkan. Untuk memformulasikan persoalan tersebut ke dalam model matematis, maka harus didefinisikan dulu variabel keputusan. Variabel xij yang bernilai (1, 0). xij = 1 jika Petugas i keputusannya adalah mengerjakan Tugas j , atau X ij = 0 yaitu jika Petugas i tidak mengerjakan Tugas j ; sehingga model matematisnya adalah: Maksimumkan / Minimumkan z c11 x11 c12 x12 ... c1 j x1 j ... c21 x21 .. cij X ij ... cmn X mn dengan fungsi batasan : a. Fungsi batasan untuk Petugas: x11 x12 .... x1 j ..... x1n 1 x21 x22 .... x2 j ..... x2n 1 …………………… xi 1 xi 2 .... xij ..... xin 1 ………………………………… xm1 xm2 .... xmj ..... xmn 1 Riset Operasi halaman 6 - 3 b. Fungsi batasan untuk Tugas: x11 x21 .... xi 1 ..... xm1 1 x12 x22 .... xi 2 ..... xm2 1 ……….. x1 j x2 j .... xij ..... xmj 1 ………………………………… x1n x2n .... xin ..... xmn 1 m n x x i 1 ij j 1 ij mn xij ( 0 , 1 ) untuk i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, n dimana m n . Dalam kondisi dunia nyata, tidak selalu dapat dijumpai bahwa jumlah petugas sama dengan jumlah tugas ( m n i 1 j 1 xij xij ); kemungkinan yang sering dijumpai adalah bahwa jumlah petugas lebih sedikit dari pada m jumlah tugas ( n x x i 1 jumlah petugas ( ij j 1 n m j 1 i 1 ij ), atau jumlah tugas lebih sedikit dari pada xij xij ). Untuk mengatasi hal tersebut, maka harus ditambahkan petugas semu jika dijumpai jumlah petugas lebih sedikit dari m pada jumlah tugas ( n x x i 1 ij j 1 ij ), atau harus ditambahkan tugas semu jika dijumpai jumlah tugas lebih sedikit dari pada jumlah petugas ( n m j 1 i 1 xij xij ), sedemikian hingga jumlah petugas sama dengan jumlah m tugas ( n x x i 1 ij j 1 ij ). Kontribusi ( cij ) yang dikeluarkan atau yang diperoleh jika Petugas semu mengerjakan Tugas tertentu adalah nol, begitu Riset Operasi halaman 6 - 4 Persoalan Penugasan juga jika Tugas semu dikerjakan oleh Petugas tertentu, maka kontribusi ( cij ) yang dikeluarkan atau yang diperoleh juga nol. Dalam dunia nyata kadang-kadang juga dijumpai suatu kondisi dimana seorang petugas tidak dapat mengerjakan tugas tertentu, sehingga kalau petugas tersebut dipaksakan untuk mengerjakan tugas tersebut, maka hasilnya malah menjadi rusak, sehingga agar Petugas tersebut tidak dipilih untuk mengerjakan pekerjaan yang tidak dikuasai maka diberikan biaya yang sangat besar (untuk kasus maximum) dan diberikan output nol (untuk kasus minimum). Biaya yang sangat besar biasanya diberi simbol M. 6.2.2. Penyelesaian Persoalan Penugasan Persoalan penugasan merupakan bentuk khusus dari persoalan transportasi, dimana si dan d j untuk persoalan penugasan sama dengan satu untuk setiap i dan j, sehingga penyelesaian basis untuk persoalan penugasan selalu bilangan integer (0, 1). Untuk menyelesaikan persoalan penugasan, maka harus diperiksa dulu apakah jumlah petugas sama dengan jumlah tugas, jika tidak, maka ditambahkan petugas semu atau tugas semu tergantung pada kebutuhan. Suatu persoalan penugasan dengan m Petugas dan m Tugas dimana matriks biaya atau kontribusi ( cij ) ditampilkan seperti pada Tabel 6.1. Tabel 6.1: Tabel Biaya Atau Kontribusi Persoalan Penugasan Petugas T1 T2 P1 c11 c12 P2 c 21 c 22 ci1 Tugas …. ... Tj …. Tn c1 j c1n ... c2 j c2 n ci 2 ... cij ... ... … … … … …. Pi …. … … Pm c m1 cm2 Riset Operasi c mj cin … c mn halaman 6 - 5 6.2.2.1 Kasus minimum Apabila kontribusi ( cij ) persoalan penugasan adalah suatu biaya, maka persoalan tersebut adalah kasus minimum, dimana langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut: Langkah 1 : Setiap elemen pada setiap baris matriks biaya dikurangi Langkah 2: dengan elemen terkecil. Setiap elemen pada setiap kolom dari matriks yang Langkah 3 : diperoleh pada langkah 1, dikurangi dengan elemen terkecil. Buat sesedikit mungkin garis vertikal atau horizontal yang melewati semua elemen nol. Apabila jumlah garis sama dengan jumlah baris atau kolom, maka tabel sudah Langkah 4 : optimum, tetapi jika belum, maka lanjutkan langkah berikut. Pilih elemen terkecil dari matriks yang diperoleh pada langkah tiga yang tidak dilewati garis, gunakan elemen tersebut untuk mengurangi elemen yang tidak dilewati garis, dan untuk menambah elemen yang dilewati garis dua kali. Langkah 5 : Ulangi langkah tiga, hingga diperoleh tabel yang optimum. Alokasikan Petugas-petugas tersebut pada Tugas yang sesuai. 6.2.2.2 Kasus maksimum Apabila kontribusi ( cij ) persoalan penugasan adalah suatu hasil kerja (output) maka persoalan tersebut adalah kasus maksimum, dimana langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut: Langkah 1 : Setiap elemen pada setiap baris matriks output dikurangi Langkah 2: dengan elemen terbesar. Setiap elemen pada setiap kolom dari matriks yang diperoleh pada langkah 1, dikurangi dengan elemen terbesar. Riset Operasi halaman 6 - 6 Persoalan Penugasan Langkah 3 : Buat sesedikit mungkin garis vertikal atau horizontal yang melewati semua elemen nol. Apabila jumlah garis sama Langkah 4 : dengan jumlah baris atau kolom, maka tabel sudah optimum, tetapi jika belum, maka lakukan langkah berikut. Pilih elemen terbesar dari matriks yang diperoleh pada langkah tiga yang tidak dilewati garis, gunakan elemen tersebut untuk mengurangi elemen yang tidak dilewati garis, dan untuk menambah elemen yang dilewati garis dua kali. Langkah 5 : Ulangi langkah tiga, hingga diperoleh tabel yang optimum. Alokasikan Petugas-petugas tersebut pada Tugas yang sesuai. Contoh 6.1 Suatu perusahaan mempunyai 3 mesin baru dengan jenis yang berbeda. Ada 4 lokasi dimana mesin-mesin baru tersebut harus di-install. Lokasi yang dipilih untuk mesin-mesin tersebut sedapat mungkin berdekatan dengan pusat kerja, sehingga dapat meminimumkan biaya pengangkutan material dari lokasi mesin ke pusat kerja. Adapun biaya pengiriman material dari mesin ke pusat kerja setiap unitnya (dalam $) seperti pada Tabel 6.2. Bantulah manajer produksi untuk mengalokasikan mesin-mesin baru tersebut. Tabel 6.2: Biaya pengiriman material dari mesin ke pusat kerja Lokasi A Lokasi B Lokasi C Lokasi D Mesin 1 13 10 12 11 Mesin 2 Mesin 3 15 7 20 5 13 10 20 6 Penyelesaian Contoh 6.1 Persoalan penugasan diatas adalah kasus minimisasi, karena kontribusinya adalah biaya pengiriman material dari mesin ke pusat kerja. Selanjutnya untuk menyelesaikan persoalan penugasan tersebut, diperiksa terlebih dahulu apakah jumlah petugas sama dengan jumlah tugas. Karena jumlah Petugas (mesin) sebanyak 3, sedangkan jumlah Tugas ( Lokasi ) ada 4, Riset Operasi halaman 6 - 7 maka tambahkan Petugas (Mesin) semu, dimana biaya untuk mesin semu adalah nol, sehingga biaya pengiriman material seperti pada Tabel 6.3 Tabel 6.3: Biaya pengiriman material dari mesin ke pusat kerja Lokasi Mesin Lokasi A Lokasi B Lokasi C Lokasi D Mesin 1 13 10 12 11 Mesin 2 15 20 13 20 Mesin 3 Mesin semu 7 0 5 0 10 0 6 0 Selanjutnya dilakukan langkah-langkah penyelesaian sebagai berikut: Langkah 1 Setiap baris pada Tabel 6.3 dikurangi dengan elemen terkecil , hasilnya disajikan pada tabel 6.4. Tabel 6.4: Tabel dari hasil langkah 1 Lokasi Mesin Lokasi A Lokasi B Lokasi C Lokasi D Mesin 1 3 0 2 1 Mesin 2 Mesin 3 2 2 7 0 0 5 7 1 Mesin semu 0 0 0 0 Langkah 2 Setiap kolom pada Tabel 6.4. dikurangi dengan elemen terkecil. Karena pada setiap kolom elemen terkecil adalah nol, maka Tabel 6.4 tidak berubah. Langkah 3 Dibuat sesedikit mungkin garis vertikal maupun horizontal yang melewati semua elemen nol pada Tabel 6.4, hasilnya terlihat pada Tabel 6.5. Riset Operasi halaman 6 - 8 Persoalan Penugasan Tabel 6.5: Tabel dari hasil langkah 3 Lokasi Mesin Lokasi A Lokasi B Lokasi C Lokasi D Mesin 1 3 0 2 1 Mesin 2 Mesin 3 2 2 7 0 0 5 7 1 Mesin semu 0 0 0 0 Karena jumlah garis ada 3 (yaitu pada mesin semu, lokasi B dan lokasi C), lebih kecil daripada jumlah baris atau kolom, maka Tabel 6.5 belum optimum. Langkah 4 Dipilih elemen terkecil yang tidak dilewati garis (elemen 1), digunakan untuk mengurangi elemen yang tidak dilewati garis dan untuk menambah elemen yang dilewati garis dua kali. Hasilnya terlihat pada Tabel 6.6 Tabel 6.5: Tabel dari hasil langkah 4 Lokasi Mesin Lokasi A Lokasi B Lokasi C Lokasi D Mesin 1 Mesin 2 2 1 0 7 2 0 0 6 Mesin 3 1 0 5 0 Mesin semu 0 1 1 0 Karena jumlah garis ( = 4 ) sama dengan jumlah baris atau kolom maka Tabel 6.5 sudah optimum. Langkah 5 Mesin-mesin tersebut dialokasikan pada lokasi yang sesuai, sehingga diperoleh alternatif seperti pada Tabel 6.6. Dari Tabel 6.6 terlihat bahwa ketiga mesin tersebut harus diletakkan pada lokasi seperti pada Tabel 6.7, atau alternatif lain yaitu Tabel 6.8 sehingga akan menghasilkan biaya pengiriman material dari mesin ke lokasi pusat kerja yang paling minimum yaitu sebesar $ 29, dimana lokasi A tidak ditempati mesin atau lokasi A menganggur (karena lokasi A ditempati mesin semu). Riset Operasi halaman 6 - 9 Tabel 6.6: Alternatif-alternatif yang mungkin Lokasi Mesin Lokasi A Lokasi B Lokasi C Lokasi D V V V - V - V V V Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Mesin semu Persoalan tersebut mempunyai dua alternatif penyelesaian, tetapi biaya pengiriman total harus tetap sama. Tabel 6.7: Alternatif alokasi 1 Mesin Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Mesin semu Pusat Kerja Lokasi B Lokasi C Lokasi D Lokasi A Biaya 10 13 6 0 Tabel 6.8: Alternatif alokasi 2 Mesin Pusat Kerja Mesin 1 Lokasi D Mesin 2 Lokasi C Mesin 3 Lokasi B Mesin semu Lokasi A Biaya 11 13 5 0 Contoh 6.2 Seorang manajer pemasaran akan mengirim 4 tim untuk mengikuti pameran di 4 kota. Karena untuk mengikuti pameran tersebut ada syarat-syarat tertentu, maka tim 2 tidak boleh mengikuti pameran di kota 3. Volume penjualan (dalam ribuan $) yang diharapkan jika tim-tim tersebut mengikuti pameran ditampilkan pada Tabel 6.8: Tabel 6.9 Volume penjualan jika tim-tim ditugasi di kota-kota Kota Tim Kota 1 Kota 2 Kota 3 Kota 4 Tim 1 9 6 5 6 Tim 2 6 8 5 Tim 3 8 7 6 8 Tim4 10 7 8 5 Bantulah manajer pemasaran tersebut untuk menyelesaikan masalahnya! Riset Operasi halaman 6 - 10 Persoalan Penugasan Penyelesaian Contoh 6.2 Persoalan penugasan pada Contoh 6.2 adalah kasus maximum, karena kontribusi (cij ) adalah volume penjualan. Jumlah petugas (tim) ada 4 sama dengan jumlah tugas ( kota ) yang juga ada 4. Tim 2 tidak boleh mengikuti pameran di kota 3, sehingga tim 2 tidak akan mendapatkan volume penjualan di kota 3; oleh karena itu c23 = 0, sehingga volume penjualan ditampilkan pada Tabel 6.10. Tabel 6.10: Volume penjualan jika tim-tim ditugasi di kota-kota Kota Tim Kota 1 Kota 2 Kota 3 Kota 4 9 6 6 8 5 0 6 5 8 10 7 7 6 8 8 5 Tim 1 Tim 2 Tim 3 Tim4 Selanjutnya dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1 Setiap baris pada Tabel 6.10 dikurangi dengan elemen terbesar, hasilnya ditampilkan pada Tabel 6.11. Tabel 6.11: Hasil dari Langkah 1 Kota Tim Tim 1 Tim 2 Tim 3 Tim4 Kota 1 Kota 2 Kota 3 Kota 4 0 -3 -4 -3 -2 0 0 -1 -8 -2 -3 0 0 -3 -2 -5 Langkah 2 Setiap kolom pada Tabel 6.11 dikurangi dengan elemen terbesar, hasilnya disajikan pada Tabel 6.12. Riset Operasi halaman 6 - 11 Tabel 6.12: Hasil dari Langkah 2 Kota Tim Tim 1 Tim 2 Tim 3 Tim4 Kota 1 Kota 2 Kota 3 Kota 4 0 -2 -3 0 -2 -6 -3 -3 0 0 -1 -3 0 0 0 -5 Langkah 3 Dibuat garis seminimum mungkin baik vertikal atau horizontal yang melewati semua elemen nol, sehingga diperoleh hasil seperti pada Tabel 6.13. Tabel 6.13: Hasil dari Langkah 3 Kota Tim Tim 1 Tim 2 Tim 3 Tim4 Kota 1 Kota 2 Kota 3 Kota 4 0 -3 -2 -3 -2 0 0 -1 -6 0 -3 0 0 -3 0 -5 Karena jumlah garis sama dengan 4, sama dengan jumlah baris atau kolom, maka Tabel 6.13 sudah optimum. Langkah 4 Tim-tim tersebut dialokasikan atau ditugaskan ke kota-kota yang sesuai, sehingga diperoleh alternatif-alternatif seperti pada Tabel 6.14. Tabel 6.14: Alternatif-alternatif yang mungkin Kota Tim Kota 1 Kota 2 Kota 3 Kota 4 Tim 1 Tim 2 V - - - - V - - Tim 3 V V - V V V - Tim4 Riset Operasi halaman 6 - 12 Persoalan Penugasan Kesimpulan Dari Tabel 6.14 terlihat bahwa ke empat tim tersebut harus ditugaskan ke kota-kota seperti pada Tabel 6.15 untuk mengikuti pameran sehingga perusahaan akan memperoleh volume penjualan yang maksimum sebesar $ 33.000 Tabel 6.15: Alokasi 4 tim ditugaskan ke kota Tim Tim 1 Tim 2 Tim 3 Tim4 Tempat Pameran Kota 1 Kota 2 Kota 4 Kota 3 Volume Penjualan 9 8 8 8 6.3 1. Latihan Soal Seorang operator produksi mempunyai 4 buah mesin yang jenisnya berbeda, akan digunakan untuk memproses 4 jenis pekerjaan yang berbeda, dimana setiap mesin hanya digunakan untuk memproses 1 jenis produk saja. Waktu proses yang diperlukan untuk ke empat mesin tersebut, jika mengerjakan jenis pekerjaan tertentu dapat dilihat pada Tabel 6.16. Operator ingin mengoptimumkan total waktu proses yang diperlukan keempat mesin terebut. Bantulah operator tersebut untuk menyelesaikan masalahnya. Tabel 6.16: Waktu proses mesin dalam jam Mesin 2. Pekerjaan1 Pekerjaan 2 Pekerjaan 3 Pekerjaan 4 1 14 5 8 7 2 3 2 7 12 8 6 3 5 7 4 2 4 6 8 Seorang pelatih arun jeram akan memilih 4 atlit untuk mengikuti kejuaraan. Arena pertandingan dibagi 4 lintasan, dimana setiap lintasan mempunyai rintangan yang berbeda. Karena ke empat atlit Riset Operasi halaman 6 - 13 tersebut mempunyai keahlian yang berbeda dalam mengatasi rintangan diarena pertandingan, maka waktu yang diperlukan untuk melintasi setiap rintangan juga berbeda. Bantulah pelatih tersebut untuk menempatkan atlitnya pada lintasan yang sesuai, sehingga waktu yang diperlukan oleh ke empat atlit tersebut melintasan keempat lintasan adalah optimum. Tabel 6.17 menunjukkan waktu yang diperlukan atlit untuk melintasi setiap lintasan. Tabel 6.17: Waktu Lintasan (dalam menit) Lintasan Nama atlet Lintasan 1 Lintasan 2 Lintasan 3 Lintasan 4 Anam 54 54 51 53 Bima Cory 51 50 57 53 52 54 52 56 Dika 56 50 55 53 3. Empat kapal pengangkut barang (kargo) akan dipakai untuk mengangkut barang-barang dari satu pelabuhan ke 4 pelabuhan lainnya, yaitu pelabuhan A, B, C, dan D. Setiap kapal dapat dipakai untuk melakukan pelayaran ini. Karena perbedaan-perbedaan dalam kapal dan kargo, biaya total dari pengangkutan dan pembongkaran barang untuk setiap kapal ke berbagai pelabuhan bervariasi seperti ditampilkan pada Tabel 6.18 (dalam $100 ). Tabel 6.18: Biaya pembongkaran kapal (dalam $100) Pelabuhan Kapal A B C D Kapal 1 5 4 6 7 Kapal 2 Kapal 3 6 7 6 5 7 7 5 6 Kapal 4 5 4 6 6 Bagaimana mengalokasikan kapal-kapal tersebut untuk berlayar ke pelabuhan, dimana kebijakan perusahaan adalah setiap kapal hanya boleh berlayar ke satu pelabuhan saja, dan setiap pelabuhan hanya boleh dilabuhi satu kapal saja. Riset Operasi halaman 6 - 14 Persoalan Penugasan 4. Dekan FMIPA akan mengirim para ketua jurusan untuk mengikuti work shop di 5 PTN. Materi workshop disetiap PTN berbeda, sehingga untuk efisiensi waktu dan biaya seorang kajur hanya dikirim ke satu PTN saja, dan setiap PTN hanya dikirim 1 kajur saja. Semua workshop tersebut menggunakan bahasa pengantar bahasa Inggris, kecuali ITB menggunakan bahasa Perancis, sedangkan Kajur Statistika dan Matematika kurang fasih berbahasa Perancis. Karena golongan dan pangkat setiap kajur berbeda, dan biaya workshop di setiap PTN berbeda, maka biaya yang harus dikeluarkan Fakultas juga berbeda. Biaya yang dikeluarkan Fakultas (dalam juta rupiah) untuk mengikuti workshop di ITB, UI, UGM, IPB, ITS masing-masing: Kajur Fisika: 10, 8, 13, 10, dan 7; Kajur Matematika: 9, 10, 10, 13, dan 8; Kajur: 10, 7, 12, 14, 8; Kajur Kimia: 12, 8, 9, 12, dan 7; Kajur Kimia: 13, 10, 11, 11, 6. Kemana para ketua jurusan tersebut akan dikirim untuk mengikuti workshop agar biaya yang dikeluarkan Fakultas akan optimum? 5. Seorang manajer pemasaran akan mengirim 4 tim untuk mengikuti pameran di 4 kota. Karena untuk mengikuti pameran tersebut ada syarat-syarat tertentu, maka tim 2 tidak boleh mengikuti pameran di kota 3. Volume penjualan ( dalam ribuan $ )yang diharapkan jika tim-tim tersebut mengikuti pameran adalah sebagai berikut : Kota Tim 1 2 3 4 Tim 1 9 6 5 6 Tim 2 Tim 3 6 8 8 7 6 5 8 Tim 4 10 7 8 5 Bantulah manajer pemasaran tersebut untuk menyelesaikan masalahnya. 6. Suatu perusahaan mempunyai 3 mesin baru dengan jenis yang berbeda. Ada 4 lokasi dimana mesin-mesin baru tersebut harus di installed. Lokasi yang dipilih untuk mesin-mesin tersebut sedapat mungkin Riset Operasi berdekatan dengan pusat kerja, sehingga dapat halaman 6 - 15 meminimumkan biaya pengangkutan material dari lokasi mesin ke pusat kerja. Adapun biaya pengiriman material dari mesin ke pusat kerja setiap unitnya (dalam $) sebagai berikut : Lokasi Mesin 1 2 3 4 1 13 10 12 11 2 15 20 13 20 3 5 7 10 6 Bantulah manajer produksi untuk mengalokasikan mesin-mesin baru tersebut. 6.4 1. 2. Jawaban Latihan Soal Mesin 1 memproses pekerjaan 2, mesin 2 memproses pekerjaan 4, mesin 3 memproses pekerjaan 3, dan mesin 4 memproses pekerjaan 1 dimana waktu total yang diperlukan selama 15 jam. Anam ditempatkan di lintasan 3, Bima ditempatkan dilintasan 4, Cory ditempatkan dilintasan 1, dan Dika ditempatkan dilintasan 2. Waktu yang diperlukan untuk melewati seluruh lintasan adalah 203 menit. Daftar Pustaka Bazaraa, M. Jarvis, J., dan Sherali, H. (2005). Linear Programming and Network Flows, Edisi Ketiga. John Wiley & Sons, New York. Hillier, F. dan Liberman, G. (1995). Introduction To Operations Research, Edisi Keenam. McGraw- Hill,Inc, New York. Ravindran, A., Philips D. T. dan Solberg, J. (1987). Operations Research Principles and Practice, Edisi Kedua. John Wiley & Sons, Canada. Taha, H. A. (2007). Operations Research: An Introduction, Edisi Kedelapan. Pearson Prentice Hall, New York. Riset Operasi halaman 6 - 16
