model pertumbuhan populasi predator

MODEL PERTUMBUHAN POPULASI PREDATOR-PREY DENGAN
EFEK ALLEE DAN FUNGSI RESPON HOLLING TIPE II
R.Y.Artha, W.Muharini, Marjono
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya, Malang, Indonesia
Email : [email protected]
Abstrak. Artikel ini membahas model predator-prey kontinu dengan efek Allee. Laju pertumbuhan Allee mengikuti model
logistik. Efek Allee pada model ini terjadi pada laju pertumbuhan populasi prey. Model dengan efek Allee mempunyai empat
titik kesetimbangan. Analisis dinamik model meliputi perhitungan titik kesetimbangan, syarat eksistensi titik kesetimbangan,
analisis kestabilan lokal titik kesetimbangan dan kestabilan global titik kesetimbaangan. Pada model ini, kedua spesies
dapat hidup berdampingan apabila syarat eksistensi titik kesetimbangan interior terpenuhi. Analisis kestabilan
diilustrasikan dengan melakukan simulasi numerik untuk menguji hasil analisis yg telah diperoleh.
Kata kunci : analisis kestabilan, efek Allee, Holling tipe II, model predator prey
1. PENDAHULUAN
Model dinamika populasi merupakan model matematika yang menggambarkan peristiwa
perubahan yang terjadi pada suatu populasi, seperti pertumbuhan. Salah satu model yang merupakan
sistem dinamik adalah model interaksi populasi yakni interaksi antara dua spesies atau lebih. Interaksi
ini dapat berbentuk predasi, seperti pada model predator prey. Predator merupakan populasi yang
memakan, sedangkan prey adalah populasi yang dimakan. Berbagai teori dan eksperimen telah
dilakukan untuk menyelidiki analisis kestabilan sistem predator prey tetapi tidak banyak yang
membahas analisis kestabilan sistem predator prey terkena efek Allee.
Efek ini merupakan fenomena penting yang cukup menarik perhatian dari ahli ekologi. Efek
Allee adalah hubungan positif antara kepadatan populasi dan laju pertumbuhan. Efek Alle mengurangi
laju pertumbuhan populasi ketika kepadatan populasi rendah sehingga individu-individu sukar untuk
berinteraksi. Penyebab utama efek ini adalah kesulitan dalam menemukan pasangan antar individu dari
suatu spesies dengan kepadatan populasi rendah. Penyebab lainnya adalah disfungsi sosial, depresi
penangkaran sanak dan eksploitasi makanan. Efek ini dapat berkurang jika ukuran populasi meningkat
(Courchamp et al,1999). Model predator-prey dengan efek Allee ini ditulis oleh Jian, Zu dan
Masayasu, Mimura. Pada artikel ini membahas tentang sifat kestabilan dengan efek Allee.
2. MODEL MATEMATIKA
Model predator prey dengan efek Allee adalah
(
Disini
( )
)
dan
masing-masing menyatakan kepadatan populasi prey dan predator, sedangkan
berturut-turut menyatakan tingkat kelahiran maksimum prey, tingkat pencarian
efektif, banyaknya prey yang dimangsa, tingkat kematian rata-rata prey dan predator, kompetisi
populasi prey, waktu pemangsaan dan Allee.
Untuk menyederhanakan sistem ( ) dilakukan penskalaan paramater sistem dengan
menggunakan persamaan-persamaan berikut.
sehingga diperoleh,
(
)
(
)
( )
dengan,
364
3. ANALISIS DINAMIK MODEL
Titik kesetimbangan sistem ( ) diperoleh ketika
(3)
Dari persamaan ( ) diperoleh
(
)
(
)
Dari
perhitungan, dapat dibentuk kombinasi dari keempat solusi sehingga menghasilkan 4 kemungkinan
) ( ),
(
),
(
) dan
(
). Dimana,
titik kesetimbangan, yaitu (
(
) √(
)
(
(
Titik kesetimbangan
Titik kesetimbangan
(
dan
) dan (
) eksis jika
) eksis jika
dan
(
dan (
(
).
)
)
)
.
Kestabilan titik kesetimbangan diperoleh dengan linearisasi sistem ( ) menggunakan matriks
Jacobi (Boyce dan DiPrima, 2008). Matriks Jacobi untuk persamaan ( ) adalah
(
)
(
[
Titik kesetimbangan
Jacobi
(
)
(
(
[
)
(4)
)
]
) disubstitusikan ke dalam matriks ( ) maka diperoleh matriks
], dengan nilai eigen
dan
. Jelas titik
kesetimbangan
stabil karena
dan
. Hal ini menunjukkan bahwa
populasi predator dan prey akan punah.
) disubstitusikan ke dalam matriks ( ) maka diperoleh matriks
Titik kesetimbangan (
(
)
Jacobi ( ) [
(
) dan
], dengan nilai
(
. Nilai
√(
) bernilai positif karena
(
)
)
.
Titik kesetimbangan
tak stabil karena salah satu nilai eigennya bernilai positif maka titik
kesetimbangan
tak stabil.
) disubstitusikan ke dalam matriks ( ) maka diperoleh matriks
Titik kesetimbangan (
(
)
Jacobi ( ) [
(
) dan
], dengan nilai
(
. Nilai
Sedangkan nilai
akan bernilai positif jika
. Dari penjelasan diatas, kestabilan titik kesetimbangan
titik
√(
) bernilai negatif karena
akan stabil jika
. Pada titik kesetimbangan
(
)
)
.
dan akan bernilai negatif jika
bergantung pada nilai
dan
dan
menunjukkan bahwa
predator yang punah sehingga hanya ada populasi prey.
Titik kesetimbangan (
) disubstitusikan ke dalam matriks ( ) maka diperoleh matriks
((
(
[
Jacobi
)
(
(
(
((
)
(
)
))
] Persamaan karakteristik matriks (
) adalah
sehingga
diperoleh
)
)
))
(
)
365
((
)
(
) √(
)
((
)
(
)
))
(
)
.
(
kesetimbangan
) akan stabil asimtotik jika
(
Menurut
)
(
syarat
kestabilan
titik
. Hal ini menunjukkan
)
bahwa kedua spesies akan hidup berdampingan.
4. KESTABILAN GLOBAL
Untuk menganalisa kestabilan di titik endemik digunakan Kriteria Dulac dalam Teorema Dulac.
Dalam bahasan ini titik kesetimbangan endemik
berada dalam suatu daerah . Jika di sekitar titik
kesetimbangan tidak terdapat orbit periodik, maka titik kesetimbangan bersifat stabil global.
Keberadaan orbit periodik dapat ditunjukkan dengan menggunakan kriteria Dulac, dengan suatu fungsi
Dulac yang berada di daerah
adalah
(
)(
)
( )
(
)
Dari persamaan ( ) diperoleh
(
)
(
)
Teorema 3.1
(
{
Jika
)
}, maka tidak terdapat orbit periodik.
Bukti :
(
{
Jika
diperoleh bahwa
(
)
)
(
)
}, maka
(
dan
)
.
. Berdasarkan Teorema Dulac, apabila
Oleh karena itu,
(
)
(
)
dan tidak terdapat perubahan tanda, maka dapat disimpulkan bahwa tidak ditemukan orbit periodik
pada sistem ( ) sehingga bentuk dari orbit solusi yang terjadi adalah menuju ke suatu titik
kesetimbangan.
5. SIMULASI NUMERIK
Untuk mengilustrasikan hasil analisis, maka dilakukan simulasi numerik dengan menggunakan
nilai parameter yang diberikan pada Tabel 1. Hasil simulasi ditunjukkan pada Gambar (a), (b), dan (c).
Tabel 1. Nilai-nilai parameter simulasi model dengan dengan efek Allee
Parameter
No.
1
0.016 11.25
0.5
0.2
2.5
2
0.02
7.8
0.5
0.2
2.5
3
0.05
7.8
0.5
0.2
2.5
Gambar (a) menunjukkan bahwa titik kesetimbangan
,
dan
eksis. Simulasi ini
menggunakan parameter seperti yang tertera pada Tabel 1 bagian pertama. Dengan parameter yang
(
diberikan, jelas bahwa syarat eksistensi
dan
√ ) terpenuhi karena hasil yang
diperoleh
dan
. Titik kesetimbangan
stabil,
bersifat tidak stabil
dan
bersifat stabil dengan syarat
sehingga
menunjukkan bahwa titik kesetimbangan
akan stabil jika (
)
(
)
kestabilan pada titik kesetimbangan
,
dan
stabil lokal. Gambar (b)
eksis. Sesuai dengan hasil analisis, titik kesetimbangan
. Dengan parameter seperti Tabel 1 bagian kedua, bahwa syarat
terpenuhi karena hasil dari syarat kestabilan
Sesuai dengan hasil analisis, Gambar (c) akan tak stabil jika
(
)
(
.
)
. Dengan
366
parameter seperti Tabel 1 bagian ketiga, bahwa syarat kestabilan pada titik kesetimbangan
terpenuhi karena hasil dari syarat kestabilan
, sehingga
membentuk orbit periodik.
1
0.8
0.4
0.9
0.7
0.35
0.8
0.6
0.3
0.5
0.25
Y(t)
P(t)
0.6
0.5
0.4
Y(t)
0.7
0.4
0.3
0.2
0.15
0.3
0.2
0.1
0.1
0.05
0.2
0.1
E0
0
0
E1
0.05
E2
0.1
0.15
0.2
0.25
N(t)
0.3
0.35
0.4
0.45
0
0.5
0
0.05
0.1
0.15
(a)
Potret fase model (a) potret fase untuk kondisi
0.2
0.25
X(t)
0.3
(b)
dan
0.35
0.4
0.45
0.5
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
X(t)
(c)
(b) dan (c) potret fase untuk kondisi
.
6. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
1. Pada model predator-prey dengan efek Allee diperoleh masing-masing 4 titik kesetimbangan,
(
) (
) dan (
).
yakni ( )
2. Pada model predator-prey dengan efek Allee pada titik kesetimbangan (0,0) stabil karena efek
Allee dapat menyebabkan kepunahan.
3. Simulasi numerik untuk model predator- prey kontinu dengan efek Allee sesuai dengan hasil
analisis. Untuk beberapa nilai parameter yang diambil sesuai kondisi yang diperlukan.
DAFTAR PUSTAKA
Boyce, W. dan R.C.DiPrima., (2008), Elementary Differential Equations and Boundary Value
Problems, Ninth Edition, John Willey & Sons, Inc. New York, hal. 511.
Chourchamp, F., Cluthon, T., dan Grenfell, B., (1999), Inverse Density Dependence and the Allee
Effects, Trends Ecol, 14, hal. 405-410.
Jian, Zu dan Masayasu, Mimura., (2010), The Impact of Allee Effect on a predator prey system
Holling tipe II functional response, Jurnal Applied Mathematics and Computaion 217, Japan,
hal. 3542-3556.
367