analisis stabilitas model matematika dari penyebaran

ANALISIS STABILITAS MODEL MATEMATIKA DARI PENYEBARAN PENYAKIT
MENULAR MELALUI TRANSPORTASI ANTAR DUA KOTA
ANALYSIS OF STABILITY OF SPREADING DISEASE MATHEMATICAL MODEL WITH
TRANSPORT-RELATED INFECTION BETWEEN TWO CITIES
Oleh:
Aglis Nisa Sari
(1207100023)
Dosen Pembimbing:
1. Drs.M.Setijo Winarko, M.Si
2. Drs. I Gusti Ngurah Rai Usadha, M.Si
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA
2011
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
MASALAH
Penyebaran penyakit
menular antar kota
Harus dikontrol
Harus dipahami bagaimana pertumbuhan
dan penyebaran
dari suatu penyakit menular
Terdapat banyak faktor yang mempengaruhi, diantaranya
populasi yang tidak terkontrol, meningkatnya perjalanan
internasional, dan perubahan cuaca
Untuk beberapa penyakit seperti penyakit kaki
dan mulut serta SARS, transportasi adalah faktor
utama yang mempengaruhi penyebarannya
Dalam matematika epidemologi, beberapa model yang
menggabungkan wilayah berlainan telah dipelajari. Sattenspiel
dan Dietz (1995) memperkenalkan sebuah model dengan
perjalanan diantara populasi [2]. Mereka mengidentifikasi
parameter dalam kasus perjangkitan cacar air di Pulau
Carribean, Dominika, dan secara numerik mempelajari
dinamika dari model
Pada penelitian sebelumnya, sedikit penelitian yang
membahas pengaruh dari penularan melalui
transportasi pada dinamika penyakit menular
Pada tugas akhir ini, dianalisis sebuah model
epidemik untuk menjelaskan penyebaran
penyakit menular melalui transportasi serta
dianalisis dinamika dari model untuk beberapa
kasus penting.
B. PERUMUSAN
MASALAH
Pada tugas akhir ini akan dianalisis model epidemik [2] yang mempunyai bentuk:
Dengan:
Si adalah individu Susceptible (rentan penyakit) kota i,( i =1,2)
Ii adalah individu Infective (terinfeksi penyakit) kota i, (i =1,2)
a adalah laju kelahiran
b adalah laju kematian individu rentan
d adalah laju individu terinfeksi yang kembali rentan
c adalah laju kematian individu terinfeksi, dengan
adalah laju perpindahan (dari i ke j ;
)
adalah laju penularan dalam kota j
adalah laju penularan (dari kota j ke kota i)
(1.1)
adalah incidence rate (jumlah kasus infeksi baru per satuan waktu) dalam kota j
adalah incidence rate (jumlah kasus infeksi baru per satuan waktu) dari kota j ke kota i
Adapun permasalahan dalam tugas akhir ini adalah:
a. Bagaimana menentukan basic reproduction number, analisis stabilitas dari endemic
steady state, dan disease free steady state, serta kaitannya dengan basic reproduction
number.
b. Bagaimana penyebaran melalui transportasi mempengaruhi dinamika dan
perjangkitan penyakit menular di kota berlainan.
C. BATASAN
MASALAH
Tugas akhir ini dibatasi oleh hal-hal sebagai berikut:
a. Transportasi terjadi melalui jalur darat antar dua kota yang berdekatan.
b. Model epidemik yang digunakan adalah model epidemik tipe SIS (Susceptible
Infective Susceptible).
D. TUJUAN
PENELITIAN
Tujuan dari tugas akhir ini adalah:
a. Menentukan basic reproduction number, endemic steady state, dan disease free
steady state, dan kestabilannya.
b. Menginterpretasikan hasil analisis pengaruh penyebaran penyakit menular
melalui transportasi terhadap dinamika dan perjangkitan penyakit menular di kota
berlainan.
E. MANFAAT
PENELITIAN
Manfaat dari tugas akhir ini adalah untuk memberikan informasi pengaruh
penyebaran penyakit menular melalui transportasi terhadap dinamika dan
perjangkitan penyakit menular di kota berlainan sehingga dapat diambil langkahlangkah yang tepat untuk pencegahannya.
TINJAUAN PUSTAKA
A. PENYAKIT
MENULAR
Penyakit menular adalah penyakit yang disebabkan oleh kuman yang
menjangkiti tubuh manusia [8]. Kuman dapat berupa virus, bakteri, atau jamur.
Penyakit menular disebut juga wabah. Wabah dalam lingkup yang lebih luas
disebut epidemik, yaitu wabah yang terjadi secara lebih cepat daripada yang
diduga. Adapun wabah dalam lingkup global disebut pandemik. Penyakit yang
umum yang terjadi pada laju yang konstan namun cukup tinggi pada suatu
populasi disebut sebagai endemik. Suatu infeksi penyakit dikatakan sebagai
endemik bila setiap orang yang terinfeksi penyakit tersebut menularkannya
kepada satu orang lain (secara rata-rata). Bila infeksi tersebut tidak lenyap dan
jumlah orang yang terinfeksi tidak bertambah secara eksponensial, suatu
infeksi dikatakan berada dalam keadaan endemik (endemic steady state).
B. TRANSPORTASI
Transportasi adalah pemindahan manusia atau barang dari satu tempat ke
tempat lainnya dengan menggunakan sebuah alat yang digerakkan oleh
manusia atau mesin [9]. Transportasi sendiri dibagi menjadi 3 jalur yaitu, jalur
darat, laut, dan udara. Transportasi darat menggunakan alat transportasi darat
seperti sepeda, sepeda motor, dan mobil yang disebut kendaraan pribadi serta
bis, kereta api, dan bemo yang disebut kendaraan (angkutan) umum.
C. MODEL
KOMPARTEMEN
Kompartemen adalah suatu aliran yang mendeskripsikan penyebaran penyakit dari
individu-individu. Ada beberapa fase dalam suatu kompartemen, yaitu :
S
E
I
R
: Susceptible; individu yang sehat namun rentan (tak kebal) terhadap
penyakit.
: Exposed; individu yang terjangkit penyakit namun belum tampak tanda
penyakitnya (masa inkubasi).
: Infective; individu yang terkena penyakit dan dapat menularkan
penyakitnya.
: Removed; individu yang kebal setelah terinfeksi.
D. BILANGAN
REPRODUKSI DASAR
Bilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakan banyaknya ratarata individu infektif sekunder akibat tertular individu infektif primer yang
berlangsung dalam populasi individu rentan penyakit [7]. Bilangan tersebut
diperlukan sebagai parameter untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu
penyakit. Bilangan reproduksi dasar diperoleh dengan menentukan nilai eigen
dari matriks Jacobian dari suatu sistem persamaan (model) yang dihitung pada
titik kesetimbangan bebas penyakit. Pada model yang kompleks, suatu model
mungkin mempunyai lebih dari satu bilangan reproduksi dasar. Untuk kasus
seperti ini, bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai nilai terbesar dari
beberapa bilangan reproduksi dasar. Untuk menentukan bilangan reproduksi
dasar, akan digunakan metode Driessche dan Watmough [4].
E. KESTABILAN
TITIK TETAP
Pandang persamaan diferensial
Sebuah titik
merupakan titik kesetimbangan dari persamaan (2.1) jika
memenuhi
.
Karena turunan suatu konstanta
sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan
Adalah penyelesaian kesetimbangan dari persamaan (2.1) untuk semua t.
F. STABIL ASIMTOTIS
LOKAL
Kestabilan asimtotis lokal merupakan kestabilan dari sistem linier atau kestabilan
dari linierisasi sistem tak linier. Kestabilan lokal pada titik kesetimbangan
ditentukan oleh tanda bagian real dari akar-akar karakteristik sistem dari matriks
Jacobian yang dihitung di sekitar titik kesetimbangan
Teorema 2.1
Titik setimbang stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai karakteristik matriks ,
mempunyai tanda negatif pada bagian realnya dan tidak stabil jika sedikitnya satu
dari nilai karakteristik mempunyai tanda positif pada bagian realnya.
Definisi 2.4
Jika J adalah matriks yang berukuran n×n maka vektor tak nol dinamakan
karakteristik dari J jika memenuhi :
Jx = λx
(2.2)
Untuk suatu skalar λ disebut nilai karakteristik dari J dan x dikatakan
karakteristik yang bersesuaian dengan λ.
Untuk mencari nilai karakteristik matriks J yang berukuran n×n, maka
dituliskan kembali persamaan (2.2) sebagai Jx = λIx atau ekuivalen dengan
(J - λI)x = 0, mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika | J - λI| = 0.
Jika matriks
maka (2.3) dapat ditulis:
vektor
vektor
dapat
(2.3)
2.6.3 Kriteria Kestabilan Routh – Hurwitz
Kriteria kestabilan Routh – Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan kestabilan
sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung
akar-akar karakteristik secara langsung.
Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan orde ke-n sebagai berikut :
, kemudian susun koefisien persamaan karakteristik
menjadi :
Sistem dikatakan stabil atau mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika elemenelemen pada kolom pertama (a0, a1, b1, c1, …) memiliki tanda yang sama.
METODOLOGI
Tahap-tahap yang digunakan dalam tugas akhir ini agar dapat mencapai
tujuan adalah :
a. Studi literatur, meliputi pemahaman teoritis tentang penyebaran penyakit
menular melalui transportasi, serta kestabilan.
b. Analisis kestabilan dengan menguji kestabilan asimotis lokal dari model
epidemik.
c. Simulasi menggunakan MATLAB.
d. Interpretasi hasil analisis dari model epidemik.
e. Penyusunan draft dan laporan tugas akhir.
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Model Penyebaran
Penyakit Menular
Tanpa adanya
transportasi antar dua
kota
Melalui transportasi
antar dua kota
individu
rentan
dan
terinfeksi
bepergian
antar 2 kota (
dan
Hanya individu rentan
yang bepergian
Semua individu di kota 2
bepergian ke kota 1, namun
individu terinfeksi di kota 1
dicegah dari bepergian ke
kota 2
Model Penyebaran Penyakit Tanpa Adanya Transportasi Antar Dua Kota
Jika pergerakan dari individu diabaikan,
menjadi:
, maka model (1.1)
Titik kesetimbangan bebas penyakit adalah:
P1
Titik kesetimbangan endemik adalah
Basic reproduction number untuk model (4.1) adalah
Sekarang akan dicari kestabilan lokal dari titik kesetimbangan model
(4.1). Setelah dilakukan proses linearisasi, didapat matriks Jacobian
untuk model (4.1) sebagai berikut
Matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan bebas penyakit P1
Adalah
Nilai eigen matriks diperoleh dari
Jika
, maka
sehingga titik kesetimbangan bebas penyakit
stabil. Jika
, maka
sehingga titik kesetimbangan bebas
penyakit tidak stabil.
Matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan
adalah
Nilai eigen matriks diperoleh dari
Sehingga didapat persamaan kuadrat dengan bentuk
dengan nilai
Jika
, maka
, sehingga titik kesetimbangan
endemik stabil. Jika
, maka
, sehingga titik
kesetimbangan endemik tidak stabil.
Berdasarkan hasil analisa kestabilan, jika
maka titik
kesetimbangan bebas penyakit tidak stabil dan titik kesetimbangan
endemik stabil sehingga jumlah individu terinfeksi bertambah dan
penyebaran penyakit menular meningkat. Jika
, maka titik
kesetimbangan bebas penyakit stabil dan titik kesetimbangan
endemik tidak stabil sehingga jumlah individu terinfeksi berkurang
dan penyebaran penyakit menular akan menurun. Sedangkan jika
maka jumlah penderita banyaknya tidak bertambah dan
tidak berkurang.
Model Penyebaran Penyakit Menular melalui Transportasi antar Dua Kota
Jika individu rentan dan terinfeksi bepergian antar 2 kota, maka didapat model
sebagai berikut:
Titik kesetimbangan bebas penyakit untuk model (4.9) adalah:
Selanjutnya ditentukan titik kesetimbangan koeksisten, yaitu titik kesetimbangan
yang semua variabelnya tidak bernilai nol. Jika diasumsikan kedua kota identik
(parameter demografis sama untuk setiap kota), maka
dan
Titik kesetimbangan koeksisten adalah
dengan
Basic reproduction number untuk model (4.9) adalah
Sekarang akan dicari kestabilan lokal titik kesetimbangan model (4.9).
Setelah dilakukan proses linearisasi, didapat matriks Jacobian untuk
model (4.9) sebagai berikut
Matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan bebas penyakit
Adalah
Nilai eigen dari J( ) diperoleh dari
titik kesetimbangan bebas penyakit stabil ketika
Matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan koeksisten
dengan
polinomial karakteristik dari
adalah
adalah
Pandang matriks
. Jelas
Oleh karena itu, nilai eigen
negatif.
Pandang matriks
dari
mempunyai bagian real
Kemudian,
Ketika ,
eigen
dari
mengakibatkan
didapat
, oleh karena itu, nilai
mempunyai bagian real negatif, yang
stabil ketika
Model Penyebaran Penyakit untuk Individu Rentan yang Bepergian
Pada kasus individu terinfeksi dicegah dari bepergian ke kota lain, model
(4.9) menjadi
titik kesetimbangan bebas penyakit adalah :
titik kesetimbangan endemik adalah
dengan
titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 1 adalah
dengan
titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 2 adalah
dengan
Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan
Nilai eigen matriks
adalah
diperoleh dari
Nilai eigen dari matriks di atas adalah
Oleh karena itu, titik kesetimbangan bebas penyakit stabil ketika
Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan koeksisten
Dengan
polinomial karakteristik dari
Jika
, maka
adalah
Kemudian
dan
Oleh karena itu, 2 nilai eigen dari A+B mempunyai bagian real negatif.
dan
. Nilai eigen dari
bagian real negatif. Oleh karena itu,
stabil
juga mempunyai
Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan adalah
Andaikan
Nilai eigen dari diperoleh dari
Berdasarkan perhitungan, dapat disimpulkan bahwa ada dan stabil
jika
sedangkan jika
ada tetapi tidak stabil.
Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan
adalah
Andaikan
Persamaan karakteristik dari
adalah
Dari perhitungan, dapat disimpulakan bahwa
ada dan stabil jika
sedangkan jika
ada tetapi tidak stabil.
Model Penyebaran Penyakit untuk Semua Individu di Kota 2 Bepergian ke Kota 1,
namun Individu Terinfeksi di Kota 1 Dicegah dari Bepergian ke Kota 2
Pada kasus ini, model (4.9) direduksi menjadi
titik kesetimbangan bebas penyakit pada model (4.21) adalah
.
titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 2 adalah
Dengan,
Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit
Nilai eigen dari
adalah diperoleh dari
Oleh karena itu,
stabil ketika
adalah:
Matriks Jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 2 adalah
Persamaan karakteristik dari matriks
Dengan,
adalah
Titik kesetimbangan
dari model 4.21 dikatakan stabil atau mempunyai
bagian real negatif jika dan hanya jika
Supaya ,
maka
Dari perhitungan di atas, titik kesetimbangan bebas penyakit
ada untuk
ataupun
dan stabil jika
.
Jika
dan
, model mempunyai titik kesetimbangan endemik
yang stabil.
Titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 2 yaitu
juga ada untuk ,
tetapi tidak stabil jika
menjadi stabil jika ditingkatkan,
dengan kata lain
.
Model Penyebaran Penyakit melalui Transportasi antar Dua Kota dengan
Jika
, maka didapat model sebagai berikut:
titik kesetimbangan bebas penyakit untuk model (4.23) adalah:
titik kesetimbangan koeksisten adalah
Basic reproduction number untuk model (4.23) adalah
titik kesetimbangan bebas penyakit stabil ketika
titik kesetimbangan endemik
stabil ketika
dengan
SIMULASI
Untuk kasus
Dengan mengambil parameter
Dengan nilai awal
Didapat
Maka didapat grafik kestabilan
MODEL
4.9
Untuk kasus
Dengan mengambil parameter
Dengan nilai awal
Didapat
Maka didapat grafik kestabilan
Untuk kasus
Dengan mengambil parameter
Dengan nilai awal
Didapat
Maka didapat grafik kestabilan
MODEL
4.23
Untuk kasus
Dengan mengambil parameter
Dengan nilai awal
Didapat
Maka didapat grafik kestabilan
Untuk kasus
Dengan mengambil parameter
Dengan nilai awal
Didapat
Maka didapat grafik kestabilan
MODEL
4.17
Untuk kasus
Dengan mengambil parameter
Dengan nilai awal
Didapat
Maka didapat grafik kestabilan
Untuk kasus
Dengan mengambil parameter
Dengan nilai awal
Didapat
Maka didapat grafik kestabilan
MODEL
4.21
Untuk kasus
Dengan mengambil parameter
Dengan nilai awal
Didapat
Maka didapat grafik kestabilan
KESIMPULAN DAN SARAN
KESIMPULAN
1.Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal pada model (4.9) & (4.23) adalah
a. Jika
maka titik kesetimbangan bebas penyakit stabil ada dan stabil,
sedangkan titik kesetimbangan endemik tidak ada. Hal ini berarti jumlah
individu terinfeksi berkurang sehingga penyebaran penyakit menular akan
menurun dan tidak terjadi penyebaran (endemik) pada kedua kota.
b. Jika
dan
maka titik kesetimbangan bebas penyakit ada tetapi
tidak stabil, sedangkan titik kesetimbangan endemik ada dan stabil. Hal ini
menyebabkan keadaan endemik di kedua kota sehingga jumlah indivudu
terinfeksi bertambah dan penyebaran penyakit menular meningkat.
2.Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal pada model (4.17) adalah
a.Jika
maka titik kesetimbangan bebas penyakit ada dan stabil,sedangkan
titik kesetimbangan endemik tidak ada.
b.Jika
maka titik kesetimbangan bebas penyakit ada tetapi tidak stabil,
sedangkan titik kesetimbangan endemik ada dan stabil.
3.Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal pada model (4.21) adalah
a.Titik kesetimbangan bebas penyakit kedua kota
ada untuk
ataupun
dan stabil jika
b.Jika
dan
,titik kesetimbangan endemik
stabil.
Titik kesetimbangan bebas penyakit di kota 2
juga ada untuk
,
tetapi tidak stabil jika
menjadi stabil jika
ditingkatkan,
dengan kata lain
.
SARAN
Pada pembahasan Tugas Akhir ini telah dijelaskan analisis stabilitas
model matematika dari penyebaran penyakit menular melalui
transportasi antar dua kota dengan kasus (
) dengan
serta (
) dengan
. Kasus –kasus lain seperti (
)
dengan
perlu dikembangkan lagi untuk peneletian selanjutnya.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Anton, Howard. 2000. Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 1. Batam: Interaksara
[2] Cui, J., Takeuchi, Y., Saito, Y. 2006. Spreading disease with transport-related
infection. Journal of Theoritical Biology 239 (2006) 376-390.
[3] Diekmann,O. Heesterbeek. J.A.P, Metz, J.A.J. 1990. On the definition an the
computation of the basic reproduction ratio in models for infectious disease in
heterogeneous populations. J.Math.Biology 28, 365-382
[4] Driessche,P.,Watmough,J. 2002. Reproduction Numbers and Sub-threshold
Endemic Equilibria for Compartmental Models of Disease Transmission.
Mathematical Biosciences 180 (2002) 29-48
[5] Finizio, N., Landas, G. 1988. Ordinary Differential Equations with Modern
Applications. California: Wadsworth Publishing Company.
[6] Ma, Z. dan Li, J. 2009. Dynamical Modeling and Analysis of Epidemics.
Singapore: World Scientific Publishing.
[7] Rahmalia, Dinita. 2010. Permodelan Matematika dan Analisis Stabilitas dari
Penyebaran Penyakit Flu Burung. Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS Surabaya.
[8]Wikipedia. 2 Agustus 2010. Wabah. <http://id.wikipedia.org/index.php>
[9]Wikipedia.
3
Nopember
2010.
Transportasi.
<http://id.wikipedia.org/index.php>