Sistem Bilangan dan Kesalahan Sistim Bilangan Metode Numerik 1 Penyajian Bilangan Bulat Bilangan bulat yang sering digunakan adalah bilangan bulat dalam sistem bilangan desimal yang didefinisikan sbb: N = (an an −1an − 2 ...a0 ) = an10 n + an −110 n −1 + an − 210 n − 2 + ... + a010 0 Sistim Bilangan Metode Numerik 2 Contoh : 267310 = 2*103 + 6*102 +7*101 + 3*100 Bilangan bulat dengan bilangan dasar c didefinisikan sebagai : N = (an an −1an − 2 ...a0 )c = an c n + an −1c n −1 + an − 2 c c − 2 + ... + a0 c 0 Sistim Bilangan Metode Numerik 3 ALGORITMA KONVERSI BILANGAN Bila diketahui koefisien-koefisien a1, a2, a3, …, an dari polinomial p( x) = a n x + a n−1 x n n −1 + a n−2 x n−2 + ... + a0 dan suatu bilangan β Maka dapat dihitung bn,bn-1,..,b0 dari β sebagai berikut : bn = an bn −1 = an −1 + bn β bn − 2 = an − 2 + bn −1β Sistim Bilangan ............................... b0 = a0 + bMetode 1β Numerik Algoritma 1.1 4 Contoh: Bilangan biner (1101)2 dapat dihitung sebagai : b3 = a3 = 1 b2 = a2 + b3 β = 1 + 1.2 = 3 b1 = a1 + b2 β = 0 + 3.2 = 6 b0 = a0 + b1β = 1 + 6.2 = 13 sehingga (1101)2 = 13 Sistim Bilangan Metode Numerik 5 Penyajian Bilangan Pecahan • Bilangan pecahan x antara 0 s/d 1 dalam sistem bilangan desimal didefinisikan : x = (a1a2a3...an ) = a110−1 + a210−2 + a310−3 +...+ an10−n • Bilangan pecahan x secara umum dalam sistem bilangan dengan bilangan dasar k didefinisikan : n (a1a 2 a3 ...a n )k = ∑ ai k −i i =1 Sistim Bilangan Metode Numerik 6 Contoh: a) 0,62510 = 6*10-1+2*10-2+5*10-3 b) (0,101)2 = 1*2-1+0*2-2+1*2-3 = 0,5 + 0,125 = 0,625 Sistim Bilangan Metode Numerik 7 Algoritma 1.2 Jika diketahui x di antara 0 dan 1 sebuah bilangan β yang lebih besar dari 1. Carilah b1, b2, b3,… c0 = x b1 = (β c0 )I c1 = (βc0 )F b2 = (βc1 )I c2 = (β c1 )F ……………………….. Maka : ∞ x = (b1b2b3 ...)β = ∑ bk β − k k =1 Sistim Bilangan Metode Numerik 8 Contoh: Jika x = (0,101)2, dengan β = 10 (atau 10102), carilah b1,b2,b3 c0 = x = 0,1012 βc0 = (1010)(0,101) 2 = (110,010) 2 sehingga b1 = (110)2 c1 = (0,01)2 β c1 = (1010 )( 0,01) 2 = (10,10 ) 2 sehingga b2 = (10 )2 c2 = (0,1)2 βc2 = (1010)(0,1) 2 = (101,0) 2 sehingga b3 = (101)2 c1 = (0,01)2 Karena bk dst sama dengan nol, dan b1 = 6, b2 = 2, b3 = 5 Maka : x = (an an −1...a0 , b1b2b3 ...) 2 = x = (an an −1...a0 , b1b2b3 ...)10 x = (0,101)2 = (0,625)10 Sistim Bilangan Metode Numerik 9 Nilai Signifikan / Angka Penting Nilai signifikan suatu nilai dimana jumlah angka ditentukan sebagai batas nilai tersebut diterima atau tidak. Terdiri dari digit 1,2 3,4,5,6,7,8,9 dan 0 untuk 0 tidak termasuk angka signifikan jika digunakan untuk menentukan titik desimal atau untuk mengisi tempat2 dari digit yang tidak diketahui/dibuang. Sistim Bilangan Metode Numerik 10 Perhatikan nilai pada penggaris 40 50 60 70 40 50 60 70 Dengan nilai signifikan = 1, maka nilai adalah 53 atau 54 Dengan nilai signifikan = 0,1, maka nilai adalah 53 atau 53,5 Sistim Bilangan Metode Numerik 11 Akurasi dan Presisi (a) (b) (c) (d) Sistim Bilangan a) b) c) d) menunjukkan hasil yang akurat dan presisi. menunjukkan hasil yang presisi tetapi tidak akurat. menunjukkan hasil yang sebenarnya akurat tetapi tidak presisi. menunjukkan hasil yang tidak akurat dan tidak presisi. Metode Numerik 12 Akurasi dan Presisi Nilai presisi mengacu pada jumlah angka signifikan yang digunakan dan sebaran bacaan berulang pada alat ukur. Pemakaian alat ukur penggaris dan jangka sorong akan mempunyai perbedaan nilai presisi.Pemakaian jangka sorong mempunyai presisi yang lebih tinggi. Nilai akurat atau akurasi mengacu pada dekatnya nilai pendekatan yang dihasilkan dengan nilai acuan atau nilai eksak. Misalkan nilai eksak diketahui ½, sedangkan hasil pendekatan adalah 0.500001 maka hasil ini dikatakan akurat bila torelansinya =10-4. Sistim Bilangan Metode Numerik 13 Aturan Pembulatan 1. Jika bilangan yang dibuang kurang dari ½ satuan dari tempat yang ke –n, maka angka yang ke-n tetap tidak dirubah 2. Jika bilangan yang dibuang lebih dari ½ satuan dari tempat yang ke –n, maka angka yang ke-n ditambah dengan 1 3. Jika bilangan yang dibuang tepat ½ satuan dalam tempat yang ke-n, maka angka yang ke-n tidak dirubah, jika angka yang ke-n adalah genap atau angka yang ke-n ditambah dengan 1 (satu) jika angka yang ke-n gasal, dengan kata lain perkataan membulatkan sedemikian hingga angka yang ke-n adalah genap. Jika suatu bilangan sudah dibulatkan menurut aturan di atas bilangan itu dikatakan betul (correct) sampai n angka yang Sistim Bilangan Metode Numerik 14 berarti Pendekatan dan Kesalahan Kesalahan dalam Metode Numerik : ¾ Kesalahan pembulatan ( round of error) Kesalahan pembulatan adalah kesalahan yang disebabkan oleh pembulatan. Contoh : 0,4 Æ 0 0,5 Æ 1 ¾ Kesalahan pemotongan ( truncation error ) Kesalahan yang ditimbulkan pada saat dilakukan pengurangan jumlah angka signifikan. Contoh : 0,4123568 Æ 0,41236 (7 angka signifikan) (5 angka signifikan) Sistim Bilangan Metode Numerik 15 ¾ Kesalahan dari perhitungan Numerik kesalahan yang timbul karena adanya proses pendekatan. Hubungan kesalahan dan penyelesaian adalah : xˆ = x + e dimana: x̂ = nilai yang sebenarnya ( nilai eksak ) x = nilai pendekatan yang dihasilkan dari metode numerik e = kesalahan numerik. Sistim Bilangan Metode Numerik 16 Kesalahan fraksional adalah prosentase antara kesalahan dan nilai sebenarnya. ⎛e⎞ ∈= ⎜ ⎟ x100% ⎝ xˆ ⎠ Kesalahan fraksional berdasarkan nilai pendekatan yang diperoleh: dimana e pada waktu ke n adalah selisih nilai pendekatan ke n dan ke n-1 ⎛ x − x ⎞ ∈= ⎜⎜ ⎝ n −1 n xn ⎟⎟ × 100% ⎠ Perhitungan kesalahan semacam ini dilakukan untuk mencapai keadaan konvergensi pada suatu proses iterasi. Sistim Bilangan Metode Numerik 17 Konvergensi Definisi Konvergensi. Suatu barisan a1 , a 2 ,... dikatakan konvergen ke α jika dan hanya jika untuk semua e>0 terdapat bilangan bulat η ∈ . 0 Sedemikian hingga untuk semua n≥ η 0 ( ) terdapat | α − α n | <∈ Sehingga penyelesaian dalam metode numerik dicari berdasarkan selisih hasil saat ini dengan hasil sebelumnya. Kriteria konvergensi ini dapat dipakai untuk mengurangi jumlah iterasi yang besar tetapi terkadang tidak akurat Sistim Bilangan Metode Numerik 18 Latihan soal : 1. Konversikan pecahan biner berikut ini menjadi pecahan desimal : (0,110101)2 (0,111111)2 2. Konversikan pecahan desimal berikut in imenjadi pecahan oktal (0,1)10 (0,86)10 3. Carilah angka biner yang mendekati Sistim Bilangan π sampai 10-3 Metode Numerik 19
