DIFERENSIAL

DIFERENSIAL / TURUNAN
Diferensial membahas tentang perubahan suatu fungsi (variabel terikat) yang diakibatkan
oleh perubahan kecil dari variabel bebas.
y = f(x)
x=...  y=... ???
Penulisan diferensial:
y’ = f’(x) =
dy
dx
y’’ = f’’(x) =
 Turunan pertama
d2 y
d2 x
 Turunan kedua, dst...
Kegunaan diferensial:
1. Menentukan/Mencari titik-titik ekstrim:
- Titik maksimum/minimum
- Titik belok
2. Dalam ekonomi/bisnis:
- Laba maksimum
- Rugi minimum
- Pajak maksimal
- Biaya minimum
Beberapa ringkasan rumus diferensial adalah sebagai berikut:
1.
y = k  y’ = 0
contoh:
y = 2  y’ = 0
y = 7  y’ = 0
2. y = kx  y’ = k
contoh:
y = -2x  y’ = -2
1
1
4
4
y = x  y’ =
3. y = xn  y’ = nxn-1
contoh:
y = x2  y’ = 2x2-1 = 2x
y = x1/2  y’ = 1/2x1/2-1 = 1/2x-1/2
4. y = Un , untuk U = fungsi,  y’ = n . Un-1 . U’
contoh:
y = (2x)5
y’ = 5 (2x)5-1 . 2
y’ = 10 (2x)4
y’ = 10 (16x4)
y’ = 160x4
5. y = u  v  y’ = u’  v’
contoh:
y = 2x3 + 5x
y’ = 6x + 5
6. y = u.v  y’ = u’v + uv’
contoh:
y = (2x3)(5x)
y’ = 6x2(5x) + (2x3)(5)
y’ = 30x3 + 10x3
y’ = 40x3
7. y =
u
v
 y’ =
u’v-uv’
v2
contoh:
y=
2𝑥 3
5𝑥
y’ =
y’ =
6x2 (5x)- 2x3 (5)
5x2
30x3 - 10x3
25x2
4
y’ = x
5
Latihan soal:
Carilah diferensial dari fungsi di bawah ini:
x
7
7
x
1. y = +
2. y =
3
4
√x 3
Kegunaan Diferensial
1. Untuk menentukan titik puncak parabola
Rumus:
y’ = 0 ; untuk mendeteksi puncak max/min  cari y’’ (turunan kedua), jika:
y’’ < 0  puncak max
y’’ > 0  puncak min
2. Untuk mnentukan titik-titik ekstrim, fungsi pangkat tiga:
- Koordinat titik puncak fungsi pangkat tiga:
y’ = 0 ; untuk mendeteksi puncak max/min  cari y’’ (turunan kedua), jika:
y’’ < 0  puncak max
y’’ > 0  puncak min
-
Koordinat titik belok  y’’ = 0
Latihan soal:
Jika diketahui fungsi pangkat tiga y = x3 – 3x + 1, Carilah:
-
Koordinat titik puncak
-
Pastikan titik puncak max/min
-
Koordinat titik belok
Aplikasi diferensial dalam ekonomi
1. Marginal Cost (MC)
MC adalah tambahan biaya yang diakibatkan oleh tambahan output/produksi sebanyak
satu unit.
MC =
TC
Q
=
dTC
dQ
= TC’
MC adalah turunan pertama dari fungsi TC.
2. Marginal Revenue (MR)
MR adalah tambahan pendapatan yang diakibatkan tambahan output sebanyak satu unit.
MR =
TR
Q
=
dTR
dQ
= TR’
MR adalah turunan pertama dari fungsi TR.
3. Pajak Maksimum
D  P(n) = f(Q)
S  P(s) = f(Q)
S’  P = f(Q) + t
Ekuilibrium setelah pajak :
P(D) = P(S’)
t = f(Q)
Penerimaan pajak (T)
T = t.Q
Pajak Maksimum :
Tmax = T’ = 0
4. Laba maksimum
 = laba
 = TR – TC
max = ’ = 0
Atau
 = TR – TC
’ = TR’ – TC’
max  ’ = 0
TR’ – TC’ = 0
TR’ = TC’
max = MR = MC
Elastisitas
1. Elastisitas Permintaan (ED)
% Perubahan Jumlah barang yang diminta
ED =
% Perubahan harga barang
∆Qx /Qx
ED =
∆Px / Px
∆Qx /∆Px
ED =
Px / Qx
dQx
ED =
dPx
.
Px
Qx
2. Elastistitas Penawaran (ES)
∆Qx /Qx
=
∆Px / Px
ES =
% Perubahan Jumlah barang yang ditawarkan ∆Qx /Qx
=
% Perubahan harga barang
∆Px / Px
dQx
ES =
dPx
Px
.
Qx
Contoh soal:
Jika fungsi D adalah Px = 560 – 4Q. Carilah elastistitas harga terhadap permintaan pada
tingkat harga 10.
Penyelesaian:
Px = 10  10 = 560 – 4Qx
4Qx = 550
Qx = 137,5
Px = 560 – 4Qx
4Qx = 560 – Px
Qx = 140 – ¼ Px 
dQx
ED =
dPx
.
Px
Qx
10
= -1/4 (137.5 )
= -10 / 550
= - 0.018
dQx
dPx
= -1/4
ED = - 0.018  ED yang bernilai negatif arti bahwa terdapat hubungan yang berlawanan
antara harga dengan kuantitas. Dengan demikian, Jika harga naik 1% maka kuantitas yang
diminta akan turun sebesar 0.018%. Sebaliknya, jika harga turun 1% maka kuantitas yang
diminta akan naik 0.018%.
Diferensial Fungsi Majemuk
Fungsi majemuk adalah fungsi yang variabel bebasnya lebih dari satu. Fungsi majemuk
mempunyai turunan lebih dari satu. (tergantung pada jumlah variabel bebas).
Turunan dari fungsi majemuk :
-
Turunan parsial (bagian)
-
Turunan total
Fungsi dengan 2 variabel bebas:
Z = f(x,y)
Turunan:
Z’ =
Z’ =
dZ
dx
dZ
dy
 Z diturunkan terhadap variabel x, variabel yang lain dianggap konstan.
 Z diturunkan terhadap variabel y, variabel yang lain dianggap konstan.
Turunan total :
𝑑𝑍
Z’ = 𝑑𝑥 . 𝑑𝑥 +
𝑑𝑍
𝑑𝑦
. 𝑑𝑦
Contoh soal:
Carilah turunan total dari persamaan fungsi di bawah ini:
Z = 3x2y + xy2 – 2x + 5y – 4
Penyelesaian:
dZ
dx
dZ
dy
= 6xy + y2 – 2 + 0 – 0
= 3x2 + 2xy – 0 + 5 – 0
Turunan total:
Z’ = (6xy + y2 – 2) dx + (3x2 + 2xy + 5 dy
Aplikasi Diferensial Fungsi Majemuk
-
Laba maksimum
2 macam produk
-
Biaya  gabungan
Fungsi demand  2 macam produk adalah:
Pa = f (Qa)
Pb = f (Qb)
Fungsi biaya :
TC = f (Qa; Qb)
TRa = Pa. Qa ;
TRb = Pb. Qb; sehingga
Trtotal = TRa + TRb
 = TR – TC
 = (TRa + TRb) – TC
Laba maksimum = ’ = 0
𝑑
=0
𝑑𝑄𝑎
𝑑
=0
𝑑𝑄𝑏
Elastistitas
Fungsi demand adalah sebagai berikut  QA = f(PA, PB, I, A)
Keterangan:
QA = Jumlah barang A
PA = Harga barang A
PB = Harga barang B
I = Income
A = Advertise / Iklan
Beberapa jenis elastistitas:
a. Elastisitas harga A terhadap permintaan barang A
EDA =
dQA
dPA
PA
.
QA
b. Elastisitas Silang
EAB =
dQA
dPB
PB
.
QA
c. Elastisitas Income
EI =
dQA
dI
.
I
QA
d. Elastisitas Iklan
EA =
dQA
dA
.
A
QA
Note:
-
Elastisitas silang  Jika bertanda postif maka barang bersifat substitusi. Sebaliknya jika
bertanda negatif, maka barang bersifat komplementer.
-
Elastistitas income  Jika bertanda positif, maka barang bersifat normal. Sebaliknya,
jika bertanda negatif, maka barang bersifat inferior.
-
Elastistitas iklan  Jika hasil kurang dari 1%, maka iklan kurang efektif.