yield rate

Equation of value and yield rate
Endah RM Putri
Departemen Matematika
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
January 12, 2020
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
1 / 37
1
Persamaan tingkat yield dan nilai (Equation of value and yield rate)
Persamaan nilai investasi dengan melibatkan deposit tunggal dengan
suku bunga compound
Persamaan nilai untuk investasi dengan kontribusi berganda
Metode Newton
Metode aproksimasi waktu
Return Investasi
Pertimbangan Reinvestasi (Reinvestment Consideration)
Pendekatan tingkat yield dollar terbobot (Approximate
dollar-weighted yield rates)
Performansi fund (fund performance)
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
2 / 37
Pendahuluan
Model yang paling sederhana melibatkan investasi tunggal C untuk
interval waktu T pada fungsi jumlah AC (t ).
Jika terdapat tingkat suku bunga efektif tahunan i maka
AC (t ) = C (1 + i )t dan investasi pada saat T adalah
AC (T ) = C (1 + i )T
Jika 3 kuantitas dari C , T , i, AC (t ) diketahui maka persamaan
berikut bisa digunakan
AC (T ) = C (1 + i )T
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
(1)
January 12, 2020
3 / 37
Doubling your money - Aturan 72
Anton berencana untuk membuka rekening yang memberikan tingkat suku
bunga efektif tahunan i. Lama waktu T yang diperlukan agar rekeningnya
ln(2)
.
bernilai dua kali lipat adalah 2 = (1 + i )T sehingga T =
ln(1 + i )
ln(2)
ln(2)
i
T =
=
(2)
ln(1 + i )
i
ln(1 + i )
ln(2)
ln(2)
=
f (i ) ≈
f (0.08)
(3)
i
i
ln(2)f (0.08)
0.72
=
≈
(4)
i
i
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
4 / 37
Persamaan nilai untuk investasi dengan kontribusi
berganda
Jika terdapat barisan kontribusi {Ctk }, dengan besar kontribusi pada
waktu tk adalah Ctk .
Kontribusi negatif Ctk terjadi jika terjadi penarikan pada waktu tk .
Pertumbuhan kontribusi diatur oleh fungsi jumlah (amount function).
Barisan investasi akan dilikuidasi pada waktu ke T dan menghasilkan
saldo B.
Jika dipilih tanggal bersama τ untuk semua nilai kontribusi dan nilai
total kontribusi harus sama dengan nilai jumlah terlikuidasi ⇒
persamaan nilai investasi pada waktu τ.
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
5 / 37
Persamaan nilai untuk investasi dengan kontribusi
berganda
Mengingat bahwa jika kita akan menginvestasikan uang selama t1
tahun dari sekarang untuk memperoleh sejumlah $S pada t2 tahun
dari sekarang, maka kita harus menginvestasikan
a(t1 )
v2 )
($S × v (t2 )) × a(t1 ) = $S
= $S
.
a(t2 )
v1
Maka nilai kontribusi Ctk pada saat ini diinvestasikan sampai waktu τ
a(τ )
⇒ [Ctk v (tk )]a(τ ) = Ctk
dan nilai B ketika waktu τ pada saat
a ( tk )
a(τ )
T adalah B
a (T )
a(τ )
a(τ )
(5)
∑ Ctk a(tk ) = B a(T )
k
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
6 / 37
Contoh 1
John meminjam sebanyak $1000. Pinjaman yang ditentukan menurut bunga compound pada tingkat suku bunga efektif tahunan 10%. John membayar $600 pada
akhir satu tahun dan berencana membayar lunas dengan pembayaran P pada akhir
tahun kedua. Berapakah P?
Penyelesaian:
Figure:
Timeline keuangan John
$1000(1 + 0.1)2 = $600(1 + 0.1) + P ⇒ P = $550
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
(6)
7 / 37
Contoh 2
Catlin membuka rekening baru dengan deposit $5000. Ia menyetor lagi
$3000 setahun berikutnya dan $2000 setahun sesudahnya. Rekening tumbuh menurut bunga compound pada tingkat suku bunga efektif tahunan
konstan i. Setelah deposit yang terakhir, saldonya mencapai $11000. Hitunglah i
Penyelesaian:
$5000(1 + i )2 + $3000(1 + i ) + $2000 = $11000
5(1 + i )2 + 3(1 + i ) − 9 = 0
(8)
2
5x + 3x − 9 = 0
(9)
= 1.074772708
i = 7.4772708
x
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
(7)
January 12, 2020
(10)
(11)
8 / 37
Metode Newton
Jika persamaan kuadrat atau polinomial yang didapatkan tidak dapat diselesaikan secara analitik, maka diperlukan metode numerik antara lain metode
Newton. Metode Newton dapat dijabarkan sebagai berikut
xn+1 = xn −
f (xn )
f 0 ( xn )
(12)
Persamaan yang akan diselesaikan adalah
f (x ) = 5000(1 + x )3 + 3000(1 + x )2 + 2000(1 + x ) − 11000
f 0 (x ) = 15000(1 + x )2 + 6000(1 + x ) + 2000
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
(13)
(14)
9 / 37
Metode Newton
Jika aproksimasi awal adalah 0.03 maka x0 = 0.03 dan selanjutnya
f ( x0 )
= 0.042188557
f 0 (x0 )
f ( x1 )
x2 = x1 − 0
= 0.04207652
f (x1 )
. = .
x1 = x0 −
(15)
(16)
(17)
. = .
(18)
Oleh karena itu i ≈ 0.042076511
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
10 / 37
Metode aproksimasi waktu
Jika akan dihitung waktu T sedemikian hingga pembayaran tunggal C =
∑nk =1 Ctk pada saat T mempunyai nilai t = 0.
n
Cv T = =
vT
T ln v
T
=
∑ Ct
k
v tk
(19)
k =1
∑nk =1
C
(20)
∑nk =1
C
n ∑ k =1
ln
C
ln v
= ln
(21)
=
(22)
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
11 / 37
Metode aproksimasi waktu
Solusi aproksimasi diberikan sebagai berikut
n Ctk
∑nk =1
T =
= ∑
tk
C
C
k =1
T
(23)
≥ T
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
(24)
January 12, 2020
12 / 37
Contoh 3
Sebuah kontrak pinjaman dinegosiasikan dengan pemberi pinjaman yang
setuju menerima $12000 setelah 5 tahun dan setelah 10 tahun, selanjutnya
$30000 setelah 15 tahun untuk pembayaran penuh. Peminjam bernegosiasi
agar 3 tahap pembayaran menjadi pembayaran tunggal sejumlah $54000.
Disetujui bahwa skema pembayaran yang baru harus mempunyai nilai
sekarang yang sama dengan skema pembayaran sebelumnya pada tingkat
suku bunga efektif tahunan 4.5%. Kapan waktu eksak T pembayaran
dapat dilakukan? Hitung waktu T dengan metode aproksimasi waktu?
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
13 / 37
Contoh 3
Figure: Skema pembayaran
Didapat T ≈ 11.28621406 dan T = 11.6666
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
14 / 37
Return Investasi
Tingkat yield (yield rate) atau internal rate of return (IRR) adalah tungkat
suku bunga yang didapatkan dari
n
∑ Ct
k
(1 + i )τ −tk = B (1 + i )τ −T
(25)
k =1
Bisa juga disebut dollar-weighted yield rates.Tingkat yield bisa dianggap
sebagai tingkat suku bunga simpanan dan pinjaman yang akan
menghasilkan kontribusi Ctk yang terakumulasi sebagai B pada waktu T .
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
15 / 37
Tingkat yield tunggal
Gautam menginvestasikan $1000 pada 1 Maret 1998 dan $600 pada 1 Maret
2000. Ia menerima sejumlah $600 pada 1 Maret 1999 dan $165 pada 1
Maret 2001. Tunjukkan bahwa i = 10% adalah tingkat yield tunggal.
Penyelesaian:
Persamaan nilai investasi pada 1 Maret 2001
1000(1 + i )3 − 600(1 + i )2 + 600(1 + i ) − 1265 = 0
3
2
1000x − 600x + 600x − 1265 = 0
= 1.1
i = 10%
x
(26)
(27)
(28)
(29)
x = 1.1 adalah satu-satunya akar real.
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
16 / 37
Tidak ada tingkat yield
Ace manufacturing setuju membayar $100000 segera dan pada tahun kedua kembali melakukan pinjaman sebesar $180000 satu tahun dari sekarang.
CEO mereka menanyakan tingkat yield dari transaksi ini. Bagaimana jawaban dari pertanyaan tersebut?
Penyelesaian:
Pada akhir tahun ke-2, persamaan nilai transaksi ini adalah
100000(1 + i )2 − 180000(1 + i ) + 100000 = 0
(30)
Penyelesaian persamaan kuadrat dengan mencari akar kuadratnya
menghasilkan nilai b 2 − 4ac < 0, maka tidak ada akar real. Oleh karena
itu tidak dapat ditemukan tingkat yield untuk transaksi ini.
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
17 / 37
Contoh 4
Brian, Filemon, dan Harold adalah teman. Brian akan membayar Filemon
$1000 pada saat ini. Filemon akan membayar Brian $300 dan Harold $800
1 tahun ke depan. Dan Harold akan membayar Brian $900 dalam dua
tahun. Berapa yield tahunan Brian untuk transaksi 3 arah dalam dua tahun
tersebut?
Penyelesaian:
Persamaan nilai investasi Brian adalah
1000(1 + i )2 − 300(1 + i ) − 900 = 100[10(1 + i )2 − 3(1 + i ) − 9] (31)
Diperoleh i = 0.11046836 karena Brian menginvestasikan $1000 dan
menerima $1200 (300+900).
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
18 / 37
Contoh 4
Cara sebelumnya bisa dipandang sebagai pinjaman dua pihak sebagai berikut
Brian meminjamkan Filemon $1000 pada t = 0 dan menerima dari
Filemon $1100 pada waktu t = 1 (300+800 melalui Harold) dengan
pembayaran pinjaman penuh.
Brian meminjamkan Harold $800 pada t = 1 dan menerima $900 dari
Harold pada waktu t = 2 dengan pembayaran pinjaman penuh.
Maka tingkat suku bunga yang dibayarkan oleh Filemon adalah
1100
900
− 1 = 0.1 dan oleh Harold
− 1 = 0.125. Maka tingkat yield
1000
800
Brian berada pada dua tingkat suku bunga tersebut.
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
19 / 37
Pendekatan bottom line
Pada contoh 4, pendekatan yang dipakai disebut pendekatan bottom line.
Yang diperhatikan hanyalah waktu dan besar semua kontribusi yang dilakukan Brian.
Pendekatan bottom line
Menghitung tingkat yield yang diterima oleh seorang investor, bisa
menggunakan pendekatan bottom line. Yang diperhatikan hanyalah
waktu dan besar semua kontribusi (positif atau pun negatif) oleh investor.
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
20 / 37
Pertimbangan Reinvestasi
Jose meminjamkan Martin sejumlah $12000. Martin mengembalikan pinjaman dengan membayar $5000 pada akhir tahun kedua dan $10000 pada
akhir tahun keempat. Uang yang diterima pada t = 2 diinvestasikan kembali
segera pada tingkat suku bunga efektif tahunan 2.4%. Berapa tingkat suku
bunga Martin dan tingkat yield tahunan Jose? Penyelesaian: Persamaan
nilai investasi Martin adalah
12000(1 + i )4 − 5000(1 + i )2 − 10000 = 0
(32)
dengan x = (1 + i )2 diperoleh bahwa x = 1.144675211 sehingga
i ≈ 0.69894953
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
21 / 37
Pertimbangan Reinvestasi
Untuk menghitung tingkat yield Jose maka dengan pendekatan bottom line
Jose berkontribusi $12000 pada saat t = 0 dan akan menerima 12000
pada saat t = 4
Jose menerima $5000 pada saat t = 2 pada tingkat suku bunga
efektif 2.4% sehingga pada t = 4 nilainya 5000(1 + 2.4%)2
Jose menerima $10000 pada saat t = 4
Maka persamaan nilai investasi Jose adalah
12000(1 + iJ )4 = 5000(1 + 2.4%)2 + 10000
(33)
sehingga iJ = 0.061625755. Tingkat yield Jose lebih rendah dari tingkat
suku bunga Martin karena Jose mereinvestasikan $5000 dengan tingkat
suku bunga yang lebih rendah dari tingkat suku bunga Martin.
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
22 / 37
Pendekatan tingkat yield dollar terbobot
Terdapat sejumlah uang pada saat t = 0 dalam fund adalah A dan
sejumlah uang pada t = 1 dalam fund adalah B
Untuk t ∈ (0, 1), Ct adalah kontribusi yang masuk ke dalam fund
pada saat t, t finite dan Ct tidak nol tapi bisa positif atau negatif
Kontribusi net adalah
C =
∑
Ct
(34)
t ∈(0,1)
Jika I adalah jumlah bunga yang diperoleh dari fund dari t = 0
sampai t = 1 maka
B = A+C +I
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
(35)
23 / 37
Pendekatan tingkat yield dollar terbobot
Jika j adalah tingkat suku bunga pada periode [0, 1] dari investasi
maka
I = Aj + ∑ Ct [(1 + j )1−t − 1]
(36)
t ∈(0,1)
[(1 + j )1−t
dimana Ct
− 1] adalah besar bunga dari kontribusi Ct
Jika jumlah kontribusi banyak akan menjadi sulit untuk menghitung I
sehingga tiap kontribusi Ct diaproksimasi dengan tingkat suku bunga
sederhana j
Ct [(1 + j )1−t − 1] ≈ Ct j (1 − t ), t ∈ (0, 1)
(37)
Persamaan 36 dan 37 digabungkan menjadi
I ≈ Aj +
∑
Ct j ( 1 − t )
(38)
t ∈(0,1)
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
24 / 37
Pendekatan tingkat yield dollar terbobot
Aproksimasi untuk j adalah
j≈
I
(39)
A + ∑t ∈(0,1) Ct j (1 − t )
bagian penyebut bisa dianggap sebagai besar rata-rata uang yang
diinvestasikan.
Jika tiap t ∈ (0, 1) diaproksimasi dengan suatu konstanta k dan
Ct 6= 0 maka
j≈
I
A + ∑t ∈(0,1) Ct j (1 − k )
=
I
A + C (1 − k )
(40)
Persamaan 40 hanya membutuhkan total kontribusi C
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
25 / 37
Pendekatan tingkat yield dollar terbobot
Dengan Persamaan 35 maka
j≈
I
1
1
2 A + (1 − 2 )B
− (1 −
1
2 )I
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
=
2I
A+B −I
January 12, 2020
(41)
26 / 37
Contoh 5
Pada 1 Januari 1990 rekening investasi Martin mempunyai saldo $10210. Ia
mendepositkan $4000 pada 1 Maret 1990, menarik $3000 pada 1 Juni 1990
dan mendepositkan $1000 pada 1 Desember 1990. Pada akhir 1990, saldo
Martin adalah $12982. Hitunglah aproksimasi tingkat yield dolar terimbang
Martin pada tahun 1990.
Penyelesaian:
j
≈
I
(42)
A + ∑t ∈(0,1) Ct j (1 − t )
≈ ......
≈ 0.065
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
(43)
(44)
January 12, 2020
27 / 37
Contoh 5
Figure: Tabel investasi
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
28 / 37
Contoh 5
j
≈
I
1
1
2 A + (1 − 2 )B
− (1 −
1
2 )I
=
2I
A+B −I
≈ .......
≈ 0.069
(45)
(46)
(47)
Setelah itu dari j yang diperoleh disubstitusikan ke dalam persamaan nilai
investasi
2
10
12982 = 10210(1 + j ) + 4000(1 + j )1− 12 = 12
−3000(1 + j )
5
7
1− 12
= 12
(48)
+ 1000(1 + j )
1
1− 11
12 = 12
(49)
Nilai j yang menghasilkan nilai paling mendekati 12982 adalah
j = 0.065 ≈ 0.064985
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
29 / 37
Contoh 6
Pada 1 Januari 1995, rekening investasi Siobhan mempunyai saldo $8412.
Ia mendepositkan $1000 pada 1 November 1995 dan menarik uang $600
pada 1 November 1997. Saldo pada 1 Juli 1998 $9620. Berapakah nilai
pendekatan tingkat yield tahunan dengan dollar tertimbang untuk periode
42 bulan sejak 1 Januari 1995 sampai 1Juli 1998?
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
30 / 37
Performansi fund
Bt adalah saldo rekening pada saat t
Ct adalah kontribusi pada saat t
Hanya ada sejumlah berhingga t dalam interval waktu (0, 1).
Figure: Balance pada rekening
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
31 / 37
Performansi fund
Panah vertikal ⇒ kontribusi pada investment fund
Panah non-vertikal ⇒ pertumbuhan atau penyusutan nilai investasi di
fund terhadap waktu
Panah non-vertikal ke Btk ⇒ saldo tumbuh dengan dikalikan 1 + jk
dimana
B
t

 1,k = 1
1 + jk = B0 B
(50)
tk


, k = 2, 3, ..., r + 1
Btk −1 + Ctk −1
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
32 / 37
Performansi fund
Misalkan jk adalah tingkat yield pada interval waktu [tk −1 , tk ]
Tingkat yield waktu terbobot (time-weighted yield) jtw untuk
periode investasi didefinisikan sebagai
r +1
∏ (1 + jk )
(51)
k =1
Maka
"
jtw =
r +1
∏ ( 1 + jk )
#
−1
(52)
k =1
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
33 / 37
Performansi fund
Tingkat yield waktu terbobot tahunan itw adalah
"
#
1
itw = (1 + jtw ) T − 1 =
r +1
∏ (1 + jk )
−1
(53)
k =1
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
34 / 37
Periode investasi tidak sama dengan 1 tahun
Mohammed mempunyai 20000 di rekening investasinya pada 15 Agustus 1999.
Pada 15 Agustus 200 saldo menjadi $21200 dan ia juga mendepositkan lagi $5000
sehingga saldo terbaru menjadi $26200. Pada 15 Agustus 2001, rekening Mohammed menjadi $27300. Dengan mengasumsikan tidak ada lagi kontribusi, hitung tingkat yield tahunan waktu terbobot dengan catatan bahwa yield tersebut
sangat dekat dengan tingkat yield tahunan dolar terbobot.
Penyelesaian:
Figure: Balance Mohammed
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
35 / 37
Periode investasi tidak sama dengan 1 tahun
Maka tingkat yield tahunan waktu terbobot
"
itw
1
T
= (1 + jtw ) − 1 =
r +1
∏ (1 + jk )
#
−1
(54)
k =1
12
21200
27300
=
−1
20000
26200
≈ 0.050953765
(55)
(56)
Tingkat yield tahunan dolar terbobot adalah i yang diperoleh dari
20000(1 + i )2 + 5000(1 + i ) = 27300
(57)
Nilai yang diperoleh dari persamaan kuadrat 57 adalah i = 0.05 dimana
nilai tersebut satu-satunya yang bernilai positif.
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
36 / 37
Referensi:
Vaaler, L., Vaaler, L. J. F., & Daniel, J. (2009). Mathematical Interest
Theory (2nd edition). MAA
Endah RM Putri (Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Equation
Surabaya)
of value and yield rate
January 12, 2020
37 / 37