Perfect resonance
Modul Praktikum
MA2271 Pengantar Persamaan Diferensial
Solution of heat equation
Dosen
Kelompok Keahlian
Matematika Industri & Keuangan
FMIPA, INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
Januari, 2020
Kata Pengantar
Rekan-rekan mahasiswa, praktikum ini dilaksanakan bersamaan dengan perkuliahan
MA2271 Pengantar Persamaan Diferensial. Pada sesi praktikum ini, mahasiswa akan mempelajari
software Maple dengan fokus penggunaannya pada persamaan diferensial. Jika pada kuliah
dibahas metoda analitik penyelesaian persamaan diferensial, maka pada sesi praktikum, Maple
bisa digunakan untuk mengecek kebenaran solusi eksak tersebut. Maple juga dapat digunakan
untuk mensketsakan kurva solusi tersebut. Penting untuk diingat, dalam menggunakan software
seperti Maple, kita harus selalu kritis terhadap solusi yang dihasilkan. Tak jarang salah ketik yang
sepele akan memberikan hasil yang keliru dan bisa menyesatkan. Jadi saat bekerja dengan Maple,
tetap harus mempertahankan sikap kritis. Pemahaman yang kokoh akan teori tentunya juga harus
terus ditumbuhkan.
Dengan bantuan Maple, Anda dapat melakukan operasi-operasi simbolik fungsi seperti
menentukan fungsi turunan serta anti-turunannya. Manfaat Maple tidak terbatas di situ saja, pada
kenyataannya Maple dapat menangani nyaris semua teknik-teknik Matematis, baik dari tingkatan
sederhana, sampai ke tingkat yang cukup advanced. Dengan demikian, penguasaan Maple yang
cukup tentunya akan sangat bermanfaat, tidak saja di kuliah ini, melainkan juga untuk tahapan
selanjutnya, termasuk juga saat mengerjakan project atau penelitian. Melalui rangkaian modul
praktikum MA2271 ini, Anda akan dibimbing untuk membiasakan diri bekerja dengan Maple
khususnya terkait persamaan diferensial, melalui tugas-tugas terstruktur. Perlu diperhatikan
bahwa mahasiswa perlu mengetik sendiri perintah-perintah yang diberikan, serta mencermati cara
kerja dari perintah-perintah Maple tersebut. Dengan cara seperti inilah Anda belajar cara kerja
Maple, sehingga akhirnya Anda dapat menggunakan Maple untuk menyelesaikan problem
masing-masing.
Sebagai penutup, penulis berharap praktikum terstruktur ini dapat bersinergi baik dengan
pelaksanaan perkuliahan MA2271, dan dapat memberikan bekal yang kokoh di bidang persamaan
diferensial, suatu bidang ilmu yang memiliki aplikasi sangat luas.
>
Praktikum 1 MA 2271 PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Plot kurva
Tujuan: Membuat plot beberapa fungsi dalam satu sumbu koordinat
> restart:with(plots):
> f:=x->sin(x)+sin(2*x);eval(f(Pi));
0
(1.1)
> plot(f(x),x=0..3*Pi);
(1.2)
Masing-masing fungsi diplot dan hasilnya disimpan dengan nama tertentu, kemudian diplot
sekaligus dengan menggunakan perintah 'display'
> plot_f:=plot(f(x),x=0..2*Pi):
>
> coba:=plot(1,x=1..5,color=black):
> display(coba,plot_sinx,plot_f);
Memplot beberapa fungsi dengan tipe kurva yang berbeda, serta menampilkan legend & title.
> plot([1/x,exp(x)],x=0..5,y=0..10,color=[red,blue], style=
>
[point,line],title="Kurva eksponensial & hiperbola",legend=["y
(x)=1/x","y(x)=exp(x)"]);
Cara mudah untuk mencari bantuan untuk suatu routine di Maple adalah dengan mengetik '?kata
kunci", misalnya `?plot'
Anda dipersilakan untuk mengeksplorasi sendiri fasilitas plot dari Maple, sekaligus memplot
beberapa fungsi yang sudah Anda ketahui.
Soal:
Perhatikan masalah tabungan berbunga majemuk (compound interest) dengan bunga r% per bulan.
Misalkan S(t) menyatakan jumlah tabungan saat t dan tabungan saat awal adalah
. Plot
grafik
bersama-sama dengan grafik
dan
dalam satu sumbu koordinat. Bandingkan! Parameter-parameter
, r, dan m
dapat dipilih sebarang.
Solusi Persamaan Diferensial Biasa Orde satu
Tujuan: Menggunakan `dsolve' untuk mencari solusi eksak persamaan diferensial
Hampir semua routine yang akan dibahas pada praktikum ini menggunakan fasilitas DEtools.
> restart:with(DEtools):
> ode:=diff(p(x),x)-p(x); init:=p(0)=2;
(2.1)
>
(2.2)
>
(2.3)
Tentukan solusi umum dan solusi khusus persamaan diferensial berikut.
a.
Tujuan: Menggunakan 'DEplot' untuk membuat medan gradien dari suatu persamaan
diferensial
> restart:with(DEtools):
> PD := diff(y(t),t) = y(t)^2-t*y(t);
(2.4)
Dua baris berikut adalah dua cara mendefinisikan syarat awal. Syarat awal pertama adalah manual,
sedangkan yang kedua adalah cara mendefinisikan beberapa syarat awal berurutan, masing-masing
berselisih 0.5.
> IVs1 := [y(0)=-1,y(0)=-0.5,y(0)=0,y(0)=0.5];
(2.5)
> IVs2 := [{y(0)=0.5*i} $ i=-2..1];
(2.6)
Menggambar medan gradien beserta beberapa kurva solusi menggunakan perintah DEplot
> DEplot(PD, y(t), t=0..3,IVs2,arrows=medium,linecolor=black);
Soal 3
Gambarkan medan gradien persamaan diferensial berikut beserta beberapa kurva solusinya.
(a)
(b)
(c)
(d)
>
Persamaan diferensial biasa orde satu
Tujuan: Mencari solusi persamaan diferensial, kemudian memplot hasilnya.
> restart:with(DEtools):
'.
> ode:=diff(p(x),x)-p(x): init:=p(0)=2:
> solp:=dsolve({ode,init},p(x));
(1.1)
.
yang dilakukan dengan cara mengetik 'unapply' dan menamainya sebagai fungsi p1(x). Setelah p1
(x) merupakan fungsi, maka dapat dievaluasi ataupun di plot seperti biasa.
> p1:=unapply(rhs(solp),x):
> eval(p1(0));plot({p1(x)},x=0..10);
2
Untuk mengecek kebenaran p1(x) sebagai solusi persamaan diferensial semula, maka p1(x) yang
merupakan fungsi dari x disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial semula. Coba eksekusi
perintah berikut.
> simplify(diff(p1(x),x)-p1(x));
Soal 1
Carilah solusi masalah nilai awal (disingkat mna) berikut menggunakan perintah dsolve.
Kemudian buktikan bahwa solusi yang diperoleh memang benar solusi dengan cara substitusi
langsung.
(a)
(b)
(c)
(d)
Eksistensi dan ketunggalan solusi persamaan diferensial orde satu
Tujuan: memanfaatkan Maple untuk memahami konsep eksistensi & ketunggalan solusi.
Teorema: Untuk masalah nilai awal (m.n.a.) berikut
berlaku:
(a) Jika
kontinu di suatu persegi panjang yang memuat (a,b) maka m.n.a. di atas mempunyai
solusi (eksistence)
(b) Jika
kontinu di suatu persegi panjang yang memuat (a,b) maka m.n.a. di atas mempunyai
solusi tunggal (uniqueness)
Misalkan selang I adalah proyeksi dari persegi panjang di atas pada sumbu-x.
Solusi tersebut dijamin terdefinisi pada selang yang merupakan subset
> restart:with(DEtools):
pd:= diff(y(x),x) = (y(x))^(1/3):init:=y(0)=0:
>
(2.1)
> dsolve({pd,init},y(x));
(2.2)
> DEplot(pd, y(x), x=0..3,y=0..3,[init],arrows=medium,linecolor=
black);
>
Cermati medan gradien dari persamaan diferensial tersebut. Khususnya di sekitar syarat awal y(0)=
0.
Gunakan area plot yang berbeda-beda untuk meyakini apa benar hanya terdapat satu kurva solusi
yang memenuhi
Bagaimanakah dengan fungsi
Apakah solusi ada/eksis?
Apakah solusi tunggal/unique?
Apakah hal ini bertentangan dengan teorema eksistence & uniqueness di atas?
Jika g(x) merupakan solusi mna (2.1), bisakah Maple memunculkan fungsi g(x)?
Pada langkah berikut, ditambahkan syarat awal
apa yang dihasilkan.
> init2 := [y(0)=0,y(0)=0.001]:
DEplot(PD, y(x), x=0..3,init2,arrows=medium,linecolor=black);
Soal 2
Periksa apakah masalah nilai awal berikut memiliki solusi? apakah solusinya tunggal?
a.
untuk
d.
Answers (buram)
Praktikum 3 MA 2271 PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan Diferensial Orde-n
Tujuan: Menggunakan 'dsolve' untuk mencari solusi persamaan diferensial orde-n.
Perhatian bagaimana cara mendefinisikan turunan orde-n, beserta syarat awalnya.
> restart:with(DEtools):
>
(1.1)
>
(1.2)
Menggunakan 'dsolve' untuk mencari solusi khusus pd orde-2 koefisien konstan.
> pd2:= diff(y(t),t$2)+2*diff(y(t),t)+y(t)=1; init2 := y(0) = 0, (D(y))(0) =
1;
(1.3)
>
Resonansi
Persamaan diferensial homogen
sistim pegas-massa-redaman dengan parameter-parameter: m massa benda, c
koefisien redaman, k konstanta pegas.
Solusi umum persamaan (1) bergantung pada nilai parameter-parameter m, c, k,
Jika pada sistim pegas-massa-redaman tersebut diberikan gaya luar
, maka persamaan yang
sesuai adalah
Jadi persamaan diferensial
merupakan model bagi sistim pegas massa tanpa
redaman dengan gaya luar
Dalam kasus ini resonansi akan terjadi. Hal ini dapat dilihat dengan gamblang pada solusi analitik
serta grafiknya.
> restart:with(DEtools):
> ode:= diff(y(t),t$2)+y(t)=cos(t):init:= y(0)=0,D(y)(0)=1:
> solusi:=dsolve({ode,init},y(t));
(1.4)
Memplot solusi khusus, setelah terlebih dahulu mengubah output Maple menjadi fungsi 'y' yang siap
untuk diplot.
> y:=unapply(rhs(solusi),t);
plot({y(t)},t=0..50);
Perhatikan bahwa fungsi
membesar menuju tak hingga untuk t menuju tak hingga. Hal ini
dikenal sebagai resonansi.
Fenomena ini terjadi jika suku tak homogen persamaan diferensial berupa gelombang
monokromatik yang sama dengan solusi persamaan diferensial homogennya.
Soal 1:
Persamaan diferensial bagi sistim pegas-massa-redaman tanpa gaya luar adalah
Bergantung pada hubungan antara
dan , solusi (1) dapat mempunyai tiga kemungkinan, yaitu
overdamped, crittically damped dan underdamped.
Gunakan Maple untuk memplot solusi
pilih sendiri parameter-parameter
dan untuk
ketiga kasus di atas.
Untuk tiap kasus gunakan tiga syarat awal yang berbeda-beda. Interpretasikan hasilnya.
Soal 2: Perhatikan persamaan diferensial
Untuk berbagai fungsi F(t) berikut, plot solusi m.n.a bersama-sama dengan F(t) dalam satu sumbu
koordinat.
(a)
(b)
(c)
Manakah diantara ketiga kasus di atas yang menghasilkan gejala resonansi? Jelaskan jawab Anda.
Answers
Praktikum 4 MA 2271 PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Metode nilai eigen untuk solusi sistim persamaan diferensial
Tujuan: Memanfaatkan fasilitas linear algebra 'with(linalg)' pada Maple
untuk mendefinisikan matriks, mencari nilai eigen & vektor eigen.
> restart:with(linalg):
> A:=array([[0,1,1],[1,0,1],[1,1,0]]);
(1.1)
> e:=eigenvalues(A);
(1.2)
> v:=[eigenvectors(A)];
(1.3)
> v[1][1]; #Nilai eigen yang pertama
2
> v[1][2]; #multiplisitasnya
1
> v[1][3];#eigenvektornya
(1.4)
(1.5)
(1.6)
> v[2][1];#Nilai eigen yang kedua
(1.7)
> v[2][2];#multiplisitasnya
2
(1.8)
> v[2][3];#eigenvektornya
(1.9)
> solusi_linalg:=c1*v[1][3][1]*exp(v[1][1]*t)+c2*v[2][3][1]*exp(v
[2][1]*t)+c3*v[2][3][2]*exp(v[2][1]*t);
(1.10)
Mendefinisikan sistem persamaan diferensial, kemudian mencari solusinya dengan perintah 'dsolve'.
Bandingkan solusi yang diperoleh melalui dsolve dengan solusi yang disusun menggunakan nilai dan
vektor eigen matriks koefisien A.
> spd1:={diff(x(t),t)=y(t)+z(t),diff(y(t),t)=x(t)+z(t),diff(z(t),
t)=x(t)+y(t)};
(1.11)
> solusi_dsolve:=dsolve(spd1);
(1.12)
Soal 1:
Terapkan dua cara di atas untuk menentukan solusi sistim persamaan diferensial homogen
dengan matriks koefisien.
(a).
Soal 2: Gunakan dsolve untuk menentukan solusi sistim persamaan diferensial homogen
dengan
Phase plane (Bidang fase)
Tujuan: Menggambarkan solusi sistim persamaan diferensial pada bidang fase (phase plane)
serta medan gradiennya.
> restart:with(DEtools):with(plots):
> ivp:={diff(x(t),t)=x(t)+y(t),diff(y(t),t)=4*x(t)+y(t),x(0)=a,y
(0)=b};
(2.1)
Menggunakan 'dsolve' untuk mencari solusi dan syarat awal
> solivp:=dsolve(ivp,{x(t),y(t)});
(2.2)
Mendefinisikan solusi spd dan syarat awal di atas menjadi fungsi dari waktu
agar nantinya
bisa diplot.
> paramet:=unapply(subs(solivp,[x(t),y(t),t=trange]),a,b,trange);
(2.3)
Memberikan batasan bagi parameter dan
> phase:=trange->plot({seq(seq(paramet(a,b,trange),a=-2..2),b=-2.
.2)});
(2.4)
Plot solusi ini pada bidang phase -xy untuk selang waktu
> phase(-1..0.4);
Menggambar medan gradien dari spd
> f := (x,y)-> x+y: g := (x,y)-> 4*x+y:
medan:=fieldplot( [f,g],-5..5,-9..9,fieldstrength = fixed):
>
> display(medan,plot_traj,title='Saddle_Point');
Soal: (Pilih dua soal)
Sketsakan phase-portrait dari spd homogen
dengan matriks koefisien A berikut.
Jelaskan hasil yang Anda peroleh. Tentukan jenis dan kestabilan titik equilibrium (0,0).
1.
5.
Answers
Praktikum 5 MA 2271 PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Matriks fundamental
Tujuan: Mencari solusi sistim persamaan diferensial dengan memanfaatkan exp(At)
> restart;with(linalg,exponential):
> A:=array([[4,2],[3,-1]]):
> exponential(A,t);
(1.1)
Solusi dari spd
dengan syarat awal x(0)=1,y(0)=-1 dapat diperoleh dari
perkalian matriks. Yakini kebenaran solusi ini dengan cara membandingkannya dengan solusi yang
didapat dengan 'dsolve'.
> exponential(A,t).<<1,-1>>;
(1.2)
> spd:={diff(x(t),t)=4*x(t)+2*y(t),diff(y(t),t)=3*x(t)-y(t),x(0)=
1,y(0)=-1}:
> dsolve(spd,{x(t),y(t)});
Soal (Pilih salah satu):
Tentukan solusi spd dengan syarat awal berikut menggunakan rumus
exp(At) jika
diketahui
2.
,
Berbagai jenis ekulibrium beserta kestabilannya
Menggambar medan gradien sistim persamaan diferensial, beserta kurva-kurva solusinya.
Perhatikan bahwa contoh berikut berlaku juga untuk spd tak linier. Maple menyelesaikan spd tak
linier secara numerik, oleh karena itu pencarian solusi yang semula menggunakan perintah dsolve(...)
berubah menjadi dsolve(..., numeric).
> restart:with(DEtools):with(plots):
Menggambar medan gradien dari spd
> f := (x,y)-> x+y: g := (x,y)-> 4*x+y:
medan:=fieldplot( [f,g],-5..5,-9..9,fieldstrength = fixed):
> ivp:=diff(x(t),t)=x(t)+y(t),diff(y(t),t)=4*x(t)+y(t):
Mencari solusi SPD dan syarat awal
menggunakan dsolve(..., numeric)
> numsol:=(a,b)->dsolve({ivp,x(0)=a,y(0)=b},{x(t),y(t)},numeric):
Karena output dari dsolve(..., numeric) bukan berupa fungsi s(t), y(t), maka untuk memplot
diperlukan comment berikut.
> curve:=(a,b,range)->odeplot(numsol(a,b),[x(t),y(t)],range,
color=blue):
> nphase:=range->display({seq(seq(curve(a,b,range),a=-2..2),b=-2.
.2)},view=[-5..5,-9..9]):
> plot_traj:=nphase(-1..0.4):
> display(medan,plot_traj,title='Saddle_Point');
Ulangi perintah di atas untuk sistim persamaan diferensial yang memiliki titik ekuilibrium tipe lain,
misal center, proper node, atau improper node.
Aplikasi Lotka - Volterra
Latar belakang: Sekitar tahun 1920 terdapat penurunan dan kenaikan jumlah ikanikan di Laut Adriatic yang terjadi
secara berkala. Saat terjadi penurunan jumlah ikan, nelayan di daerah tersebut sangat
dirugikan.Penjelasan akan fenomena tersebut diberikan pertamakali oleh Vito
Volterra, di tahun 1926 melalui model predator-prey atau model mangsa-pemangsa.
Ikan-ikan di laut Adriatic merupakan mangsa, sedangkan ikan hiu sebagai pemangsa.
Model tersebut juga dikenal sebagai model Lotka-Volterra.
Bayangkan suatu lingkungan yang tertutup dimana terdapat sejumlah ikan kecil
(mangsa) dan hiu (pemangsa).
Andaikan di lingkungan itu terdapat berlimpah plankton makanan ikan kecil, namun
bagi hiu sumber makanannya hanya ikan-ikan kecil. Misalkan x(t) dan y(t) berturutturut menyatakan jumlah mangsa dan pemangsa di lingkungan tersebut saat t. Jika
mangsa dan pemangsa tidak saling berinteraksi maka model pertumbuhannya masingmasing adalah
Jika mangsa dan pemangsa saling berinteraksi, maka jumlah mangsa
akan berkurang karena dimakan pemangsa.Laju berkurangnya mangsa sebanding
dengan jumlah pertemuan mangsa dan pemangsa, dimisalkan sebagai -pxy, dengan p
suatu bilangan positif. Sebaliknya jumlah pemangsa akan bertambah dengan laju q xy.
Sehingga model mangsa-pemangsa menjadi
Terapkan rutin di atas untuk memplot medan gradien beserta kurva solusi dari model
tak linier Predator-Prey:
dan dapatkan hasil serupa yang berikut.
Model di atas mempunyai dua titik equilibrium (0,0), dan (3,2). Tampak dari bidang
phase bahwa titik equilibrium (3,2) stabil, sedangkan titik (0,0) tidak stabil. Ini berarti
bahwa di alam akan terjadi kesetimbangan antara jumlah mangsa dan pemangsa. Jika
diamati lebih detail terdapat lintasan berupa kurva tertutup di sekitar (3,2). Hal ini
yang menjelaskan munculnya fenomena penurunan dan kenaikan jumlah ikan secara
periodik di Laut Adriatic.
Soal
Berikut ini adalah model-model interaksi dua spesies tipe lain. Kerjakan salah
satunya, berikan kesimpulan.
1.
2.
Answer
Praktikum 6 MA 2271 PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Transformasi Laplace
Tujuan: Menghitung transformasi Laplace berbagai fungsi
Menghitung transformasi Laplace dari f(t) menggunakan dua cara: menggunakan definisi, dan
Maple, kemudian kedua hasil dibandingkan.
> restart:with(inttrans):
> assume(s>0):F_A(s):=int(exp(-s*t)*(2*t+6),t=0..infinity);
> F_M(s):=laplace(2*t+6,t,s);
Transformasi Laplace dari fungsi yang kontinu bagian demi bagian.
> restart:with(inttrans):
> p(t):=piecewise(t>0 and t<2,1-t,0);plot(p(t),t=-1..3);
> assume(s>0):P(s):=laplace(p(t),t,s);
Yakinilah bahwa hasil berikut tak lain adalah fungsi p(t) semula.
> invlaplace(P(s),s,t);
(1.1)
Apakah yang dihasilkan ini fungsi p(t) semula? sesuai seperti yang diharapkan.
Soal-soal: (Kerjakan semua soal)
Gunakan Maple untuk menentukan transformasi Laplace dari fungsi-fungsi berikut.Kemudian
periksa hasilnya dengan cara melakukan transformasi balikan
1.
3.
Solusi persamaan diferensial linier dengan gaya luar
Tujuan: Menggunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak
homogen
Kemudian membandingkan hasilnya dengan solusi yang diperoleh dengan perintah 'dsolve'.
Terakhir menggambarkan solusinya.
> restart:with(inttrans):
Mendefinisikan persamaan diferensial sistim pegas-massa-redaman dengan gaya luar
> m:=1:k:=4:c:=0:f(t):=cos(2*t)*(1-Heaviside(t-2*Pi)):plot(f(t),
t=0..10):
> pd:=m*diff(x(t),t$2)+c*diff(x(t),t)+k*x(t)=f(t);
(2.1)
Mula-mula mencari solusi dengan perintah 'dsolve'
> with(DEtools):dsolve_x(t):=dsolve({pd,x(0)=0,D(x)(0)=0},x(t));
(2.2)
Menenetukan persamaan (aljabar) yang diperoleh dengan cara mentransform-Laplacekan persamaan
diferensial di atas.
> pers_aljabar:=laplace(pd,t,s);
(2.3)
Menyelesaikan persamaan (aljabar) dengan variabel
> X(s):=solve(pers_aljabar,laplace(x(t),t,s));
dengan perintah 'solve'.
(2.4)
Mensubstitusikan syarat awal yang merepresentasikan sistim pegas-massa dalam keadaan diam
> X(s):=simplify(subs(x(0)=0,D(x)(0)=0,X(s)));
(2.5)
Solusi pd semula diperoleh dengan menentukan invers transform Laplace dari
> x(t):=invlaplace(X(s),s,t);
(2.6)
Memplot solusi pd dengan syarat awal di atas. Perhatikan bahwa frekuensi gaya luar f(t) sama
dengan frekuensi natural sistim pegas-massa, sehingga kondisi ini akan menimbulkan resonansi.
Namun karena gaya luar f(t) hanya ada untuk waktu yang relatif singkat, yaitu
maka
getaran sistim pegas-massa tidak membesar tanpa batas.
> ampl(t):= piecewise(t<2*Pi,t/4,Pi/2):
> plot([ampl(t),x(t)],t=0..30,title="Getaran pegas-massa dengan
gaya luar berfrekuensi natural",legend=["envelope","solusi x(t)
"]);
>
Soal-soal:
Gunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak homogen dengan
syarat awal berikut.
1.
Interpretasikan hasilnya.
2.
(Petunjuk: Terapkan transf. Laplace pada masing-masing persamaannya.
Misalkan juga X(s) dan Y(s) berturut-turut adalah transf Laplace dari x(t) dan y(t))
Tujuan: Menyelesaikan persamaan diferensial tak homogen dengan gaya luar berupa fungsi
Dirac & fungsi periodik
> restart:with(inttrans):with(DEtools):
> dsolve({diff(x(t),t$2)+4*x(t)=0,x(0)=0,D(x)(0)=v_0},x(t));
(2.7)
>
>
>
>
pd:=diff(x(t),t$2)+4*x(t)=v_0*Dirac(t):
X(s):=solve(laplace(pd,t,s),laplace(x(t),t,s)):
X(s):=simplify(subs(x(0)=0,D(x)(0)=0,X(s))):
sol(t):=invlaplace(X(s),s,t);
(2.8)
Soal-soal:
Gunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan masalah nilai awal berikut. Selanjutnya
interpretasikan hasilnya.
1.
(a)
(b)
Interpretasikan kedua hasil di atas.
Interpretasikan hasilnya.
Answers
Praktikum 7 MA 2271 PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Deret Fourier
Deret Fourier sebagai aproksimasi bagi fungsi periodik.
Sejak SMU Anda telah mengenal deret geometri yang konvergen berikut
Di Kalkulus Anda belajar bahwa ruas kiri merupakan deret Maclaurin bagi fungsi
.
Deret tersebut konvergen ke fungsi f(x) jika |x|<1.
Di sini Anda akan belajar bahwa fungsi periodik
yang kontinu bagian demi bagian dapat
dinyatakan sebagai jumlahan tak hingga dari fungsi-fungsi
sinus dan cosinus, yang disebut deret Fourier. Selanjutnya deret Fourier tersebut konvergen ke
Tujuan: menentukan deret Fourier dari suatu fungsi periodik
Definisi: Jika f(t) adalah
dari f(t) adalah
Rumus bagi koefisien-koefisien deret Fourier
,
akan diberikan berikut ini.
> restart:with(plots):
Mendefinisikan
> f(t):=-Heaviside(t+Pi)+2*Heaviside(t):plot(f(t),t=-Pi..Pi);#atau
f(t):=piecewise(0<t and t<Pi, 1, -1):
Rumus
> a:=n -> (1/Pi)*int(f(t)*cos(n*t),t=-Pi..Pi);
(1.1)
Rumus
> b:=n -> (1/Pi)*int(f(t)*sin(n*t),t=-Pi..Pi);
(1.2)
(1.2)
Perhatikan bahwa pada rumus
> dFourier4:=a(0)/2+sum(a(n)*cos(n*t)+b(n)*sin(n*t),n=1..4);
(1.3)
> dFourier10:=a(0)/2+sum(a(n)*cos(n*t)+b(n)*sin(n*t),n=1..10);
(1.4)
Perhatikan pula bahwa deret Fourier dari f(t), hanya memuat suku-suku sinus saja. Ingat bahwa
suku-suku sinus merupakan fungsi-fungsi ganjil, dan ini sesuai karena fungsi semula f(t) juga fungsi
ganjil..
> plot([f(t),dFourier4,dFourier10],t=-Pi..Pi,color=black);
> dFourier40:=a(0)/2+sum(a(n)*cos(n*t)+b(n)*sin(n*t),n=1..40):
> plot([dFourier40],t=-5..5,color=black);
Perhatikan bahwa untuk n yang cukup besar, maka kurva dfn akan semakin mendekati kurva f. Hal
ini menunjukkan bahwa deret Fourier suatu fungsi f(t) merupakan hampiran bagi fungsi f(t).
PIKIRKAN, bagaimana kita menformulasikan rumus deret Fourier sinus dan cosinus.
Soal A: Tentukan n-suku pertama deret Fourier dari fungsi berperiode berikut. Yakini kebenaran
jawab Anda dengan memplot secara bersamaan
jumlahan n-suku deret Fourier yang diperoleh bersama-sama dengan grafik fungsi f(t).
Amati apakah sifat genap dan ganjil dari fungsi asal tetap dipertahankan oleh suku-suku deret
Fouriernya.
1.
2.
3.
Yakini kebenaran jawab Anda dengan memplot secara bersamaan jumlahan n-suku deret Fourier
yang diperoleh bersama-sama dengan grafik fungsi f(t).
Deret Fourier Sinus dari f(t) adalah deret Fourier biasa dari perluasan f(t) sebagai fungsi ganjil.
1.
2.
3,
Answers
untuk 0 < t < 2
untuk
Praktikum 8 MA 2271 PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan panas
Masalah perambatan panas pada batang penghantar 1-D
Misalkan
menyatakan suhu tiap titik pada batang tiap saat.
Maka
memenuhi persamaan diferensial parsial
pada
Jika tiap saat kedua ujung batang suhunya dipertahankan
maka berlaku syarat batas:
untuk
Jika saat awal suhu batang
maka berlaku syarat awal : u
untuk
..............(3)
Dengan metoda separasi variabel diperoleh solusi dalam bentuk deret dari (1),(2) dan (3) sebagai
Dengan menggunakan Maple akan kita animasikan solusi tersebut selama selang waktu tertentu.
> restart:with(plots):
> u:=(x,t)->4*u0/Pi*sum(1/(2*n+1)*exp(-(2*n+1)^2*Pi^2*k*t/L^2)*
sin((2*n+1)*Pi*x/L),n=0..30):
> L:=50:k:=1:u0:=100:
> plot3d(u(x,t),x=0..50,t=0..3000, axes=normal);Grafik permukaan u(x,t)
menunjukkan bahwa suhu yang semula berkisar 100 derajat berkurang dan menuju nol seiring
dengan bertambahnya waktu.
> animate(plot,[u(x,t),x=0..50],t=0..2500);
Soal-soal:
1. Plot suhu titik tengah batang tiap saat. Jelaskan hasil yang Anda peroleh.
2. Perhatikan masalah perambatan panas pada batang sama seperti di atas, namun dengan kedua
ujung terisolasi.
Syarat batas (2) berubah menjadi:
untuk
Jika diberikan syarat awal
maka solusinya adalah
solusi
Gunakan Maple untuk menganimasikan
untuk
Bagaimanakah
Jelaskan hasil yang Anda peroleh.
Persaman gelombang
Masalah getaran senar 1-D
Senar sebuah gitar panjang L
T. Misalkan
menyatakan simpangan senar dari posisi setimbang saat t. Persamaan diferensial parsial
beserta syarat batas dan syarat awal yang sesuai adalah
, pada
dengan
Kedua ujung senar diikat, berarti berlaku syarat batas:
untuk
Jika saat awal senar diberi simpangan awal
syarat awalnya:
untuk
Jika diketahui
dan
dan dilepaskan dengan kecepatan awal
maka
...........................................................................(6)
maka metoda separasi variabel akan menghasilkan
solusi
.
Gunakan Maple untuk mensimulasikan solusi tersebut selama selang waktu tertentu. Jelaskan hasil
yang Anda peroleh.
Info: perhatikan bahwa solusi di atas dapat dituliskan sebagai
Rumusan seperti ini dikenal sebagai solusi d'Alembert.
Answers
.
>
>
1
y
0
1
x
>
1
y
0
1
x
Yang terakhir ini jangan sampai tidak dicoba! dan bersiaplah untuk memberikan kejutan
untuk si dia :)
>
>
