28 BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 2.2. GAYA DALAM Tujuan Pembelajaran Umum Setelah membaca bab ini mahasiswa bisa mengetahui apa yang dimaksud dengan gaya dalam dan bisa mengetahui bagaimana cara mengitungnya. Tujuan Pembelajaran Khusus Mahasiswa dapat menggunakan teori yang telah diberikan untuk menghitung gaya dalam suatu struktur serta bisa menggambarkan gaya-gaya tersebut secara rinci pada struktur statis tertentu. 2.2.1. Pendahuluan Bangunan teknik sipil pada umumnya terbuat dari kayu, baja, beton. Dalam pembuatan struktur tersebut perlu terlebih dahulu diketahui ukuran/dimensi dari masing-masing elemen strukturnya (balok, kolom, pelat dan lain sebagainya). Untuk menentukan ukuran/dimensi elemen-elemen struktur tersebut perlu diketahui gaya dalamnya. Contoh : 1. P A B Dua struktur seperti contoh 1 dan 2 dengan beban yang berbeda dan L dengan bentang yang sama. Gaya dalam yang diterima pada P 2. A struktur (1) berbeda dengan gaya B L dalam yang diterima oleh struktur (2), dengan demikian dimensi antara struktur 1 dan 2 akan berbeda pula 29 BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 2.2.2. Pengertian tentang Gaya Dalam Ada 2 orang yang mempunyai bentuk tubuh yang berbeda yang (A) pendek kecil, yang (B) tinggi P = 5 kg besar. Jika keduanya membawa beban yang sama sebesar P = 5 P = 5 kg kg maka kedua tangan orang tersebut tertegang. A B Untuk A yang kecil pendek, dalam membawa beban P tersebut uraturat yang ada tertegang dan menonjol keluar. Sedangkan pada orang B hal itu tidak terjadi karena dia tinggi besar.. Untuk kasus A uratnya sampai menonjol keluar karena ada gaya dalam akibat beban P = 5 kg, apabila beban tersebut ditambah terus pada suatu saat si A tidak mampu lagi membawa beban tersebut, demikian juga untuk B. Beban maksimum A lebih kecil dari beban B karena ukuran/diameter A lebih kecil dari ukuran/diameter tangan B. 2.2.3. Macam-macam Gaya Dalam P1 HA = P Suatu balok diatas dua tumpuan P dengan maka RA L RB beban balok seperti akan gambar, menderita beberapa gaya dalam yaitu : Balok tersebut menderita gaya tekan karena mendapat beban HA = P dari kiri dan dari kanan sebesar P. Balok yang menerima gaya yang searah dengan sumbu balok / batang, maka akan menderita beban gaya dalam yang disebut dengan gaya Normal diberi notasi N. 30 BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 Balok tersebut menderita gaya lintang akibat adanya reaksi perletakan. Balok yang menerima gaya yang tegak lurus dengan sumbu balok / batang maka akan menderita beban gaya dalam yang disebut gaya Lintang diberi notasi D. Balok tersebut menderita beban lentur yang menyebabkan balok berubah bentuk (melentur). Gaya dalam yang menyebabkan balok melentur disebut dengan Momen diberi notasi M. 2.2.4. Gaya Normal Gaya normal adalah gaya-gaya yang arahnya sejajar sumbu batang. T N N N N N N Jika kita mengadakan potongan di T , maka : Harus ada gaya yang menarik ujung kanan bagian kiri ke kanan sebesar N Dan ujung kiri bagian kanan ditarik gaya ke kiri N Gaya tersebut bekerja sentris / berimpit pada sumbu batang. Perjanjian Tanda () Jika arah gayanya menarik Gaya Tarik balok maka tanda gaya normal positif ( + ) Jika arah gayanya menekan ( ) Gaya Tekan balok maka tanda normal negatif ( - ) gaya 31 BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 2.2.5. GAYA GESER ATAU GAYA LINTANG P2 P1 A T2 B T1 A Q B Q Q T2 T1 Q Jika kita mengadakan potongan melintang di titik T1 Resultan gaya pada bagian batang yang kiri , sebesar Q = 0’ 1 = A - P1 ( bekerja keatas melalui titik ini ) Resultan gaya pada bagian batang yang kanan , Q = I O’ = P2 - B ( bekerja kebawah ) Jika kita mempelajari tampang T1 Tampang yang kiri akan bergerak keatas oleh gaya yang keatas Q. Tampang kanan akan bergerak kebawah oleh gaya yang keatas Q. ( kedua tampang bergeser satu terhadap yang lain ) Perjanjian Tanda ( ) (-) Jika pada potongan melintang bagian kiri bergeser keatas kanan bergeser kebawah maka Bidang Geser ( ) & bagian Jika pada potongan melintang bagian kiri bergeser kebawah bagian kanan bergeser keatas maka bidang geser ( ) & 32 BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 Contoh: Balok AB terletak diatas dua tumpuan P(t) q (t/m’) I menerima lurus A B I RA L gaya-gaya sumbu yang batang. tegak Gaya-gaya tersebut adalah RA, RB, P dan beban RB terbagi rata disebut gaya lintang pada balok A-B. Apabila balok A-B dipotong di I-I kemudian kita tinjau kiri potongan, maka gaya lintang yang terjadi q (t/m’) I QX1 = q * X1 DX = RA – QX1 A QX = RA – q * X1 I RA X Apabila balok A-B dipotong di I - I kemudian kita tinjau kanan potongan, maka gaya lintang yang terjadi : I q (t/m’) P QX2 = q * X2 DX = - RB + QX2 + P B I X2 = - RB + q * X2 + P QX2 RB 2.2.6. GAYA MOMEN LENTUR M M B A T Mendatar M M 33 BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 Balok lurus AB dilentur oleh Momen M yang bekerja pada kedua ujung balok A & B ( Seperti gambar ). Untuk memenuhi syarat keseimbangan tentu saja kedua momen harus sama besar serta arah kerjanya berlawanan Tampang T menerima Momen Lentur luar sebesar M & menahannya . maka menghasilkan Momen Lentur Dalam , supaya tetap dalam keadaan seimbang. Perjanjian Tanda : Momen Lentur ( ) , jika balok melengkung kebawah () () Momen Lentur ( ) , jika balok melengkung keatas ( ) (-) Contoh : I q (t/m’) A RA Momen adalah perkalian antara B I L RB gaya dengan jarak. Balok A – B menderita momen akibat beban merata (q) 34 BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 Apabila balok A-B dipotong di I-I kemudian kita tinjau kiri potongan, maka momen yang terjadi adalah : q (t/m’) I QX1 = q * X1 MX = RA*X1 – QX1* 1/2 X1 A X1 QX = RA*X1 – q * X1 * 1/2 X1 I RA = RA*X1 – 1/2 * q * X12 Apabila balok A-B dipotong di I-I kemudian kita tinjau kanan potongan, maka momen yang terjadi adalh : I q (t/m’) QX2 = q * X2 MX = RB * X2 - QX2 * 1/2 X2 B I X2 = RB * X2 - q * X2 * 1/2 X2 QX2 = RB * X2 - 1/2 * q * X22 RB 2.2.7. Contoh Soal : 1) P1 = 6 V2 t 6t 3t 45O 6t α A B C tg α = 3/4 P2 = 5 t E D 4t P3 = 4 t 2m 2m 4m Hitung & gambar Bidang N, D & M Hitungan : P1 sin 45 = 6 √2 * 1/2 √2 = 6 t 3m 35 BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 P1 cos 45 = 6 √2 * 1/2 √2 = 6 t P2 sin = 5 ( 3/5 ) = 3 t P2 cos = 5 ( 4/5 ) = 4 t MD 0 , misal VB ( ) P1 sin 45O (8) VB (6) P2 sin (4) P3 (3) VB VB 72 / 6 = 12 ton ( MB 0 0 0 6 (8) + 3 (4) + 4(3) 6 , misal VD ( ) ) P1 sin 45O (2) - VD (6) + P2 sin (2) P3 (9) VD VD - 42 / 6 = - 7 ton ( - 6 (2) + 3 (2) - 4(9) 6 ) Karena tandanya minus, maka arah VD kebawah (tidak sesuai arah pemisalan) Check apakah V 0 VB - VD P1 sin 45 P2 sin P3 12 - 7 - 6 - 3 + 4 = 0 OK H 0 , missal HD HD P1 cos 45 P2 cos 0 HD = 6 4 HD 0 ( ) = 2 ( arah HD tidak sesuai pemisalan ), maka = 2 ton ( ) BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 Menghitung Bidang Normal ( N ) : Batang A – B, 0< X < 2 Tinjau kiri Potongan N X = - P1 sin 45O NX=–6 Untuk X = 0 NA= –6 t Untuk X = 2 NB= –6 t Batang B – C , 0 < X < 2 Tinjau kiri Potongan N X = - P1 sin 45O NX= –6 Untuk X = 0 NB= –6 t Untuk X = 2 NC= –6 t Batang E – D , 0 < X < 3 Tinjau kanan Potongan N X = 0 ( tidak ada gaya yang sejajar sumbu batang E – D) Batang D – C , 0 < X < 4 Tinjau kanan Potongan. N X = - HD NX =–2 Untuk X = 0 ND= –2 t Untuk X = 4 NC= –2 t Menghitung Bidang Lintang ( D ) : Batang A – B , 0 < X < 2 Tinjau kiri Potongan DX = – P1 sin 45 = –6 Untuk X = 0 D Akn = – 6 t Untuk X = 2 D Bkr = – 6 t Batang B – C , 0 < X < 2 Tinjau kiri Potongan DX = – P1 sin 45 + VB = – 6 + 12 = +6 36 37 BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 Untuk X = 0 D Bkn = + 6 t Untuk X = 2 D Ckr = + 6 t Batang E – D , 0 < X < 3 Tinjau kanan pot. DX = – P3 = – 4 Untuk X = 0 DE= –4 t Untuk X = 4 D Dkn = – 4 t Batang D – C , 0 < X < 4 Tinjau kanan pot. DX = – P3 + VD = –4 + 7 = 3 Untuk X = 0 D Dkr = 3 t Untuk X = 4 D Ckn = 3 t Batang C – B , 0 < X < 4 DX Tinjau kanan pot. ( hasilnya harus sama dengan yang ditinjau dari kiri potongan ) = – P3 + VB + P2 sin = –4 + 7 + 3 =6 Untuk X = 0 D Ckr = 6 t Untuk X = 2 D Bkn = 6 t Menghitung Bidang Momen ( M ) : Batang A – B , 0 < X < 2 Tinjau kiri potongan variable X berjalan dari A sampai B X A P1 cos 45O MX P1 sin 45O P1 = – P1 sin 45 ( X ) = –6(X) Untuk X = 0 MA= 0 Untuk X = 2 MB= –6(2) = – 12 t.m B 38 BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 Batang B – C , 0 < X < 2 Tinjau kiri potongan P1 sin 45O variabel X berjalan dari B sampai C P1 M X = – P1 sin ( X+2 ) + VB ( X ) X A = – 6 ( X+2 ) + 12 ( X ) B C P1 cos 45O = 6 X – 12 2m VB = 12 t Untuk X = 0, M B = 6 ( 0 ) – 12 t. m Untuk X = 2 M C = 6 ( 2 ) – 12 = 0 Batang E – D , 0 < X < 3 Tinjau kanan Variabel X berjalan dari E sampai D MX E D X P3 = 4 t = P3 (X) Untuk X = 0 ME= 0 Untuk X = 3 M D = 4(3) = 12 t. m Untuk X = 1 M I = 4(1) = 4 t.m Batang D – C , 0 < X < 4 Tinjau Kanan X Variabel X berjalan dari D sampai C P3 = 4 t MX = P3 (X+3) - VD (X) VD = 7 t = 4 (X+3) - 7 (X) = - 3 X + 12 Untuk X = 0 M D = 12 t.m Untuk X = 4 M C = – 3(4) + 12 = 0 Untuk X = 2 M 2M = – 3(2) + 12 = 6 t.m 39 BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 Gambar bidang N, D dan M : P1 = 6√2 6t 3t 45O tg α = 3/4 P2= 5 t α 6t 4t VB = 12 t VD = 7 t Bidang N : 6t ( - ) 2t 6t Bidang D : 3t ( +) (-) 4t ( - ) 6t 12 t.m Bidang M : ( - ) (+) 12 t.m 4t 40 BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 2. q =1 t/m’ 6t A C B Q=6t VA = 1 t VB = 11 t 2m 6m Hitung & gambar Bidang M & D Hitungan : Q =1 x 6 = 6 t. MB 0, misal VA ( VA (6) Q (3) P (2) 0 VA (6) 6 (3) 6 (2) VA VA MA 0, misal VB ( ) – 12 + 18 6 1 ton ( 0 ) ) - VB (6) + Q (3) P (8) 0 - VB (6) + 6 (3) 6 (8) VB VB = 11 ton ( 0 48 + 18 6 ) Check : V 0 VA VB Q P 0 11 6 0 1 6 OK 41 BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 Menghitung Bidang Lintang ( D ) : X1 Bidang D : Batang A – B, 0 > X < 6 , (Tinjau Kiri Potongan) QX = 1(X1) D X1 = V A - Qx D X1 = VA - 1. X1 = 1 VA = 1 t - X1 Untuk X = 0, DA = 1 - 0 =1t Untuk X = 6, DBkr = 1 – 1 ( 6 ) = -5 t P=6t Batang C – B, 0 > X < 2 , (Tinjau Kanan Potongan) X DX = P =6t B Untuk X = 0 DC = 6 t Untuk X = 2 DBkn = 6 t C P=6t X Batang B – A, 0 > X < 6 , (Tinjau Kanan Potongan) B QX = q X DX = P - VB +QX C VB = 11 t DX = 6 – 11 + 1 X DX = - 5 + 1 X Untuk X = 0 DBkr = - 5 + 1 ( 0 ) =-5t Untuk X = 6 DA = - 5 + 1 ( 6 ) =1t X Menghitung Bidang Momen ( M ) : Batang A – B, 0 > X < 6, Tinjau kiri potongan Variabel X berjalan dari A sampai B A q QX VB= 1 t 42 BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 M X = VA (X) - Q X. (1/2 . X) = 1 (X) - 1(X). (1/2 . X) = X – 1/2 X2 Untuk X = 0, MA = 0 – 1/2 ( 0 )2 = 0 Untuk X = 6, MB = 6 – 1/2 ( 6 )2 = 12 t.m P=6t X Batang C – B, 0 > X < 2, Tinjau kanan potongan Variabel X berjalan dari C sampai B MX B C = –P.X = –6.X Untuk X = 0 MC = - 6 (0) = 0 Untuk X = 2 MC = - 6 (2) = - 12 t.m Batang B – A, 0 > X < 6, Tinjau kanan potongan Hasilnya harus sama dengan kalau ditinjau dari kiri potongan P=6t X M X = - P (X +2) + VB (X) - Q X. (1/2 . X) B = - 6 (X + 2) + 11(X) - 1X(1/2X) = - 12 + 5 X – 1/2 X2 QX = q X Untuk X = 0, MB = -12 + 5 (0) – 1/2 ( 0)2 = -12 tm Untuk X = 0, MA = -12 + 5 (6) – 1/2 ( 6)2 =0 VB = 11 t C 43 BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 Menghitung M Max : dM X 0 dX dM X V A X 1 / 2qX dX 2 0 1X 1/ 2(1) X 2 0 1 + 2/2 ( 1 ) X = 0 X=1m Letak MMax terjadi di Dx = 0 (antara titik A – B, lihat gambar dibawah) M MAX = X 1 - 1/2 ( X1 ) 2 = 1 - 1/2 ( 1 ) 2 = 0.5 t m. Gambar Bidang D & M q = 1 t/m’ 6t 1t’ C B 6t 6m Bid. D 2m 6t () 1t () () 5t 12 t m () Bid. M () 0.5 t m. 44 BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 2.2.8. Latihan Balok diatas 2 tumpuan Soal 1. P2 = 4√2 t P1 = 4 t A C 45O D Balok A-B dengan beban seperti B gambar. A = sendi dan B = Rol P1 = 4 t dan P2 = 4√2 2m 3m Ditanyakan : 3m a. Reaksi perletakan b. Bidang N, D dan M Balok ADBC diatas perletakan A = Soal 2. P = 3√2 t q = 1 t/m’ sendi B = Rol dengan beban 45O A 2m seperti gambar D C B 4m 2m P = 3 √2 t dan q = 1 t/m’ Ditanyakan : 1. Reaksi perletakan 2. Bidang N, D dan M 2.2.9. Rangkuman dalam suatu konstruksi ada gaya dalam sebagai berikut : N (gaya normal) dengan tanda : D (gaya lintang) dengan tanda : M (momen) dengan tanda : N- N+ D+ D- M+ M- 45 BAHAN AJAR MEKANIKA REKAYASA 1 2.2.10. Penutup Jawaban Soal no 1. Uraian Reaksi Vertikal Reaksi Horisontal Gaya Normal (N) Gaya Lintang (D) Momen (M) Titik A : VA B : VB A : HA A–D D-B A–C C–D D-B A C D B Nilai 4.5 ton 3.5 ton 4 ton 4 ton 0 4.5 ton 0.5 ton 3.5 ton 0 9 t.m 10.5 t.m 0 Tanda/arah Titik A : VA B : VB A : HA A–D D-B A – D kr D kn B kr B kn A D B C 2m kanan D Nilai 3 ton 6 ton 3 ton 3 ton 0 3 ton 0 ton 4 ton 2 ton 0 6 t.m 2 t.m 0 4 t.m Tanda/arah tekan + + + + + Jawaban Soal no 2. Uraian Reaksi Vertikal Reaksi Horisontal Gaya Normal (N) Gaya Lintang (D) Momen (M) tekan + + + + + + 2.2.11. Daftar Pustaka 1. Soemono “Statika” ITB 2. Suwarno “Mekanika Teknik Statis Tertentu “ UGM 3. Triwulan “Mekanika Teknik I” ITS 2.2.12. Senarai Bidang Normal = gaya dalam yang sejajar sumbu batang Bidang Lintang = gaya dalam yang tegak lurus sumbu batang Bidang Momen = gaya dalam yang menyebabkan batang terlentur
