Lanjutan Gerak Harmonik Teredam (DHM) Dari pembahasan DHM diatas, dapat disimpulkan: • Persamaan gerak harmonik teredam : • Rumusan energi pada gerak harmonik teredam : • Definisi faktor kualitas, Q redaman : • Solusi umum dari persamaan gerak harmonik teredam : Osilasi Listrik Terendam Dalam kasus osilator listrik itu adalah resistansi dalam rangkaian yang menghalangi aliran arus. VC = q/C, dan ketika saklar ditutup, sesuai hukum Kirchoff diperoleh: Solusinya: Untuk redaman ringan ( Tegangan osilasi pada frekuensi sudut ω yang diberikan oleh : Faktor kualitas rangkaian: GERAK HARMONIK TERPAKSA (FHM) 1. Osilasi paksa yang tidak diredam • Untuk mempertahankan suatu sistem teredam agar tetap berosilasi, energi harus diberikan ke dalam sistem. Bila ini dilakukan, osilator dikatakan digerakkan atau dipaksa. • Osilator mengalami gaya eksternal: • : frekuensi sudut gaya paksa (yang umumnya tidak berhubungan dengan frekuensi sudut alami sistem 0). Gambar (a) Plot amplitudo osilasi A(ω) dari osilator paksa terhadap frekuensi penggerak ω, bila tidak ada redaman. (b) Variasi sudut fase δ dengan frekuensi penggerak. δ adalah sudut fase antara gaya penggerak dan perpindahan resultan yang tertinggal di belakang gaya penggerak. Grafik osilator paksa tanpa redaman 2. Osilasi paksa dengan redaman Asumsi bahwa gaya redam berbanding lurus dengan kecepatan massa. Sebuah benda bermassa m dipasang pada pegas dengan konstanta gaya k dan dikenai gaya redaman –bv dan gaya yang diberikan oleh persamaan Persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang terdiri dari dua bagian penyelesaian: keadaan tunak dan penyelesaian transien. Bagian penyelesaian transien identik dengan penyelesaian untuk osilator teredam. Kita substitusi: Maka diperoleh persamaan gerak harmonik terpaksa : Resonansi merupakan fenomena jika frekuensi paksa sama atau hampir sama dengan frekuensi alami sistem, sistem akan berosilasi dengan suatu amplitudo yang jauh lebih besar dari pada amplitudo gaya paksa. Konstanta dalam bagian penyelesaian ini menjadi diabaikan karena penurunan eksponensial amplitudo. Untuk penyelesaian keadaan tunak dapat ditulis: dengan frekuensi sudut sama seperti frekuensi sudut gaya paksa dan amplitudo A dan konstanta fase dan ingat diberikan oleh persamaan berikut, Gambar osilator paksa dengan redaman Faktor kualitas, Q Jika frekuensi paksa sama atau hampir sama dengan frekuensi alami sistem, sistem akan berosilasi dengan suatu amplitudo yang jauh lebih besar dari pada amplitudo gaya paksa. resonansi. Bila frekuensi paksa sama dengan frekuensi alami osilator, amplitudo bernilai maksimum. Dengan demikian, frekuensi alami disebut frekuensi resonansi sistem Persamaan di atas menyatakan faktor Q untuk redaman kecil yang merupakan ukuran langsung dari ketajaman resonansi. • faktor kualitas Q dari sistem oleh • yaitu sebagai rasio frekuensi alami ωo dengan istilah redaman γ, pada dasarnya adalah ukuran jumlah osilasi lengkap sebelum osilasi mati. Q juga memiliki arti penting dalam deskripsi osilasi paksa. • Sementara itu, kita menggunakan substitusi Q = ωo/γ dalam persamaan ωmaks dan Amaks, sbb: Untuk kasus redaman ringan, ketika Q >>1, ωmax = ωo dan A = aQ menjadi aproksimasi yang baik. Jadi dalam kondisi ini, amplitudo osilasi maksimum, yaitu resonansi, terjadi untuk semua tujuan praktis pada frekuensi alami osilasi bebas ωo. Selain itu, pada frekuensi ini, osilator paksa bertindak seperti penguat dengan faktor penguat sama dengan Q. Nilai Faktor Q untuk Oscillator Mekanik Oscillator Critically damped door Mass on spring Simple Pendulum Oscillating quartz crystal Q Factor 0.5 50 200 30000 Contoh soal: Jam pendulum listrik memiliki periode 1,0 detik. Catu daya listrik 25 mW mempertahankan amplitudo yang konstan. Saat bandul melewati posisi kesetimbangannya, bandul memiliki energi kinetik 40,0 mJ. Berbalik dan bicara: bagaimana besaran ini berlaku untuk hubungan faktor Q? Hitung faktor Q untuk jam pendulum ini. • Solusinya: Jam pendulum listrik memiliki periode 1,0 detik. Catu daya listrik 25 mW mempertahankan amplitudo yang konstan. Saat bandul melewati posisi kesetimbangannya, bandul memiliki energi kinetik 40,0 mJ. Free Vibration • Massa bebas berosilasi • Tidak ada gaya eksternal yang bekerja pada massa • Amplitudo, frekuensi, periode… semuanya konstan • Frekuensi Alami (fo) • Frekuensi getaran bebas suatu sistem Forced Vibrations • Getaran yang terjadi ketika gaya eksternal diterapkan pada frekuensi reguler sehingga sistem bergetar pada frekuensi yang sama dengan gaya • Jika frekuensi gaya yang diterapkan sama dengan (atau mendekati) frekuensi alami sistem osilasi, amplitudo akan meningkat • Jika frekuensi gaya yang diterapkan berbeda secara signifikan dari frekuensi osilasi, amplitudo kemungkinan akan berkurang • Kekuatan eksternal = Kekuatan Penggerak Resonance • Resonansi terjadi ketika gaya penggerak yg diterapkan pada frekuensi yang sesuai dengan frekuensi alami sistem osilasi. • Saat redaman terjadi, efek diminimalkan. • Jika tidak terjadi redaman, amp maksimum. • Destructive Resonance Examples • Good (beneficial) Resonance • Musical instruments • Earthquake counter-balance (damping to minimize effects!) • Quartz crystals in precision timing devices • LASERs • Cooking in microwave ovens • Building destruction during earthquakes • Tacoma Narrows Bridge collapse • Airplane wings (esp. small aircraft) when strong winds pass over them: https://www.youtube.com/ watch?v=iTFZNrTYp3k • https://www.youtube.com/ watch?v=ImSuZjvkATw • Ground Resonance: • https://www.youtube.com/ watch?v=-LFLV47VAbI • https://www.youtube.com/ watch?v=vTRuWgoEFxo What if there’s a resistive external force? • Gaya resistif cenderung meningkat besarnya dengan peningkatan kecepatan sistem • Selalu bertindak dalam arah gerakan yang berlawanan • Gaya resistif maksimum pada titik ekuilibrium (kecepatan tertinggi) • Gaya resistif nol pada amplitudo (kecepatan = 0) • Untuk melawan gaya resistif, sistem osilasi berfungsi, mentransfer energi keluar dari sistem • Amplitudo menurun 1. RESONANCE IN ELECTRICAL CIRCUITS (hal 64 – 66) 2. TRANSIENT PHENOMENA Diskusi kita sejauh ini telah menekankan bahwa frekuensi osilasi dari osilator paksa sama dengan frekuensi ω dari gaya penggerak yang diterapkan. Saat gaya penggerak pertama kali diterapkan dan sistem terganggu dari posisi kesetimbangannya, sistem akan cenderung berosilasi pada frekuensi osilasi bebasnya. Untuk kasus redaman ringan, ini pada dasarnya adalah frekuensi natural ωo. Selama periode awal ini, kita mendapatkan jumlah dari dua osilasi frekuensi ω dan ωo, masing-masing. Namun osilasi frekuensi ω menghilang bergantung pada derajat redaman. Sistem kemudian dibiarkan berosilasi pada frekuensi gaya yang diterapkan dan ini adalah kondisi tunak. Perilaku awal osilator, sebelum mengendap ke kondisi-tunak, disebut sebagai respons transiennya. • Contoh osilasi paksa yang dimulai pada waktu t = 0 ditunjukkan pada Gambar 3.11. Setelah respons transien awal, sistem kembali ke kondisi mapannya. Efek analogi terjadi di sirkuit AC. Ketika tegangan AC pertama kali diterapkan ke rangkaian, akan ada respons transien. Hal ini dapat menghasilkan tegangan dan arus yang sangat tinggi, yang memerlukan ketentuan khusus dalam desain teknik. Gambar Contoh respon transien dari osilator paksa. Akhirnya, osilasi menetap ke kondisi mapan (steady-state). Osilator Gabungan (Coupled Oscillators) Dalam bab ini, kita bahas sistem yang terdiri dari dua (atau lebih) osilator yang digabungkan bersama dalam beberapa cara dan yang memiliki lebih dari satu frekuensi osilasi. Penggandengan ini menghasilkan efek fisik yang baru dan penting. Masing-masing frekuensi berhubungan dengan cara berbeda di mana sistem dapat berosilasi. Cara yang berbeda ini disebut mode normal dan frekuensi yang terkait disebut frekuensi normal. Mode normal suatu sistem dicirikan oleh fakta bahwa semua bagian sistem berosilasi dengan frekuensi yang sama. Gerakan berpasangan penting karena osilator jarang ada dalam isolasi lengkap dan sistem fisik nyata biasanya mampu berosilasi dalam berbagai cara. Misalnya, mobil tua yang berisik akan memiliki banyak komponen berpasangan yang mungkin terdengar bergetar dan berderak saat mesin dijalankan! Pada tingkat mikroskopis, atom yang bergetar dalam kristal memberikan contoh osilator berpasangan. Osilator berpasangan juga penting karena mereka membuka jalan untuk memahami gelombang di media kontinu seperti tali yang kencang. Gerakan gelombang bergantung pada sistem getar di sekitarnya yang digabungkan bersama sehingga dapat mengirimkan energinya dari satu ke yang lain. PHYSICAL CHARACTERISTICS OF COUPLED OSCILLATORS Kita dapat melihat ciri fisik utama osilator berpasangan dengan mengamati gerakan dua bandul sederhana yang dirangkai pada Gambar 4.1. Kedua bandul memiliki panjang l yang sama sehingga periode osilasinya sama. Tali pendukung menyediakan kopling antara dua pendulum. Saat masing-masing bandul berosilasi, ia menarik tali penyangga dan menyebabkan titik suspensi pendulum lainnya bergerak maju mundur. Gerakan masingmasing pendulum mempengaruhi satu sama lain sehingga gerakan mereka tidak dapat dianggap terpisah. Perhatikan gerakan kedua bandul searah dengan sudut siku-siku bidang halaman. (I) Pertama, dengan asumsi, gaya redaman dapat diabaikan. kita pindahkan kedua massa pendulum dengan jumlah dan arah yang sama. Ketika dilepaskan, teramati kedua massa bergerak maju mundur dalam arah yang sama satu sama lain dengan frekuensi dan amplitudo yang sama. (I) Selanjutnya, kita geser kedua massa dengan jumlah yang sama tetapi dalam arah yang berlawanan. Saat dilepaskan, kedua massa bergerak maju mundur ke arah yang berlawanan. Sekali lagi, mereka berdua berosilasi dengan frekuensi yang sama satu sama lain tetapi pada frekuensi yang sedikit berbeda dari saat mereka bergerak ke arah yang sama. Kedua cara osilasi yang sangat berbeda ini adalah mode normal sistem. Kami mengamati bahwa setelah sistem dimasukkan ke salah satu mode normal ini, ia tetap dalam mode itu dan tidak berevolusi ke mode lainnya. (iii) Sekarang kita memindahkan hanya satu massa meninggalkan yang lain pada posisi kesetimbangannya. Ketika dilepaskan, massa yang dipindahkan bergerak bolakbalik tetapi melakukannya dengan amplitudo yang terus menurun. Pada saat yang sama, massa yang awalnya diam mulai berosilasi dan secara bertahap amplitudo osilasinya meningkat. Akhirnya, massa pertama untuk sementara berhenti berosilasi setelah mentransfer semua energinya ke massa kedua yang sekarang berosilasi dengan amplitudo yang awalnya diberikan ke massa pertama. Proses ini kemudian berulang dengan amplitudo massa kedua terus menurun dan amplitudo massa pertama terus meningkat. Siklus berlanjut dengan energi yang berulang kali dipindahkan di antara dua massa. Apa yang kita amati adalah superposisi dari dua mode normal yang dijelaskan di atas. 2 NORMAL MODES OF OSCILLATION A B C D E A. Dua bandul sederhana yang digabungkan oleh pegas horizontal ringan dengan konstanta pegas k. Perpindahan dua massa pendulum dari posisi kesetimbangannya adalah xa dan xb. B. Mode osilasi normal pertama dari sistem yang digabungkan di mana Xa = Xb. C. Osilasi dua massa dalam mode normal pertama. Osilasi ini memiliki frekuensi dan amplitudo yang sama dan berada dalam fase satu sama lain. D. Mode osilasi normal kedua dari sistem yang digabungkan di mana Xa = - Xb. E. Osilasi dua massa dalam mode normal kedua. Osilasi ini memiliki frekuensi dan amplitudo yang sama tetapi anti-fasa, yaitu 180◦ keluar fasa satu sama lain. Persamaan kedua benda (Gambar B) adalah: dengn frekwensi Massa berosilasi dalam fase dengan frekuensi dan amplitudo yang sama. Ini adalah mode osilasi normal pertama (Gambar C). Kasus (ii). Kita pindahkan setiap massa dengan jumlah yang sama tetapi dalam arah yang berlawanan (Gambar D), dan kemudian melepaskannya. Saat kedua pendulum berayun maju mundur, pegas diregangkan dan dikompresi secara bergantian dan ini memberikan gaya pemulihan tambahan pada massa. Kesimetrian susunannya memberi tahu kita bahwa gerakan massa akan menjadi bayangan cermin satu sama lain, yaitu xa = −xb. Maka persamaan resultan gerak massa a adalah untuk sudut simpangan kecil diperoleh, Dengan frekwensi • Kedua massa tersebut berosilasi pada frekuensi yang sama (Gambar E). • Masing-masing massa melakukan SHM dengan amplitudo konstan. • Ada perbedaan fase yang terdefinisi dengan baik antara dua massa; nol atau pi. • Setelah dimulai dalam mode normal tertentu, sistem tetap dalam mode itu dan tidak berevolusi ke mode lainnya. 3 SUPERPOSITION OF NORMAL MODES Gaya pemuli pada massa a: Gaya pemuli pada massa b: Resultan Gaya pada massa a dan b: Resultan keduanya: Dengan mengsubstitusi kedua persamaan di atas, diperoleh Dengan frekwensi Dengan variabel baru dengan definisi : q1 dan q2 sbb: Persamaan di atas ditulis ulang sbb, Representasi moda normal masingmasing dengan variabel tunggal, q1 dan q2 serta w1 dan w2. Fungsi masing-masing sbb, • Variabel q1 dan q2 disebut koordinat normal dan w1 dan w2 disebut frekuensi normal. Jika q1 = 0, maka xa = −xb setiap saat, dan jika q2 = 0 maka xa = xb setiap saat. • Perpindahan dua massa bisa kita nyatakan dalam koordinat normal. • Independensi dua mode normal ditunjukkan dengan jelas jika kita menuliskan energi sistem. Dalam hal koordinat posisi, xa dan xb energi diberikan oleh : • Dua suku pertama dalam pernyataan ini adalah energi kinetik dari dua massa, suku ketiga adalah energi potensial karena gravitasi dan suku terakhir adalah energi yang tersimpan pada pegas. Dinyatakan dalam koordinat normal q1 dan q2 energi E menjadi Persamaan ini mewakili energi dari dua osilator harmonik sederhana independen dengan frekuensi ω1 = √g / l dan ω2 = √ (g / l + 2k / m) Contoh lain kasus: 1. OSCILLATING MASSES COUPLED BY SPRINGS, hal 87 2. FORCED OSCILLATIONS OF COUPLED OSCILLATORS, hal 93 3. TRANSVERSE OSCILLATIONS, hal 96 Contoh soal DHM Contoh soal FO Couple
