Makalah Pengolahan Sinyal Digital
Representasi Low Pass dari Sinyal Bandpass
Disusun oleh
Kelompok 12
Muhammad Ikram Permadhi (180402094)
Boby Pranatha (180402087)
Representasi Lowpass dari Sinyal Bandpass
Sinyal Bandpass
Sinyal Bandpass adalah suatu sinyal yang rentang frekuensi-frekuensinya tidak
sama dengan 0, seperti sinyal yang keluar dari bandpass filter. Bandpass filter
merupakan kombinasi antara lowpass filter dan highpass filter, yang
memungkinkan beberapa rentang frekuensi lewat dan menghambat sinyal yang
lain, seperti jika kita menggunakan bandpass filter yang memiliki passband
(100khz-500khz) , maka sinyal yang diterima berkisar dari sinyal yang
berfrekuensi 100khz hingga 500khz. Jika kurang dari 100 khz ataupun lebih dari
500khz, maka sinyal tersebut ditolak oleh filter. Selisih antara frekuensi cut-off
atas dan bawah disebut dengan bandwidth. Salah satu contoh bandpass filter adalah
rangkaian RLC. Pada bidang telekomunikasi, band pass filter yang digunakan pada
range frekuensi audio untuk modem dan pemrosesan suara adalah 0 – 20 kHz.
Atau pengertian lain dari sinyal bandpass adalah sinyal x(t) yangmana perubahan
Fourier X(f) nya tidak sama dengan 0 jika hanya pada rentang kecil sekitar suatu
frekuensi "sentral" fo.
Filter bandpass memiliki gain response dengan rentang frekuensi dari
ωC1 hingga ωC2 . Input apapun yang memiliki frekuensi yang berkisar antara
ωC1 hingga ωC2 akan masuk, dan input" lainnya yang tidak memenuhi hal ini akan
ditolak. Sinyal input dari filter yang ditunjukkan dibawah memiliki amplitudo yang
sama pada frekuensi-frekuensi ω1, ω2, dan ω3. Setelah melewati filter bandpass,
output" amplitudo pada ω1 dan ω3 berkurang secara signifikan dikarenakan
frekuensi-frekuensi tersebut melewati batas rentang frekuensi pada filter,
sedangkan frekuensi pada ω2 tidak berubah, karena frekuensinya masih termasuk
batas rentang frekuensi pada filter. Sebuah filter bandpass terbentuk dari filter
lowpass dengan frekuensi ωC2 dan filter highpass dengan frekuensi ωC1 yang
dihubung secara kaskade atau seri.
Filter band-pass dapat digolongkan sebagai narrowband atau broadband. Filter
narrowband adalah sebuah filter yang mempunyai bandwidth lebih kecil dari
sepersepuluh frekuensi resonansinya (B < 0,1 ωr). Jika bandwidthnya lebih besar
sepersepuluh dari frekuensi resonansi maka (B > 0,1 ωr), filter tersebut merupakan
sebuah filter broadband. Perbandingan antara frekuensi resonansi dan lebar band
dikenal sebagai faktor kualitas (Q) dari rangkaiannya. Q menunjukan selektifitas
dari rangkaian, makin tinggi nilai Q makin selektif rangkaian filter tersebut.
Pada umumnya, Bandwidth didefinisikan sebagai rentang frekuensi yang berada
diantara dua titik batas frekuensi yang ditentukan (fc), yaitu 3dB dibawah pusat
maksimum atau puncak resonansi dan melemahkan frekuensi lain yang berada
diluar dua titik batas ini. Frekuensi yang tersebar luas yang biasanya disebut
dengan istilah Bandwidth atau BW ini pada dasarnya adalah perbedaan antara
Frekuensi Cut Off yang lebih rendah (fc lower) dan poin Frekuensi Cut Off yang
lebih tinggi (fc higher). Dengan kata lain, BW = fH – fL. Agar penyaring atau filter
bandpass ini dapat berfungsi dengan benar, Frekuensi cut off lowpass filter harus
lebih tinggi daripada frekuensi cut off highpass filter.
Band Pass Filter yang ideal juga dapat digunakan untuk mengisolasi atau
menyaring (filter) frekuensi tertentu yang berada dalam pita frekuensi tertentu,
misalnya untuk pembatalan derau (noise cancellation). Band Pass Filter umumnya
juga dikenal dengan SECOND-ORDER FILTER atau dua kutub, ini dikarenakan
Band Pass Filter memiliki dua komponen reaktif yaitu kapasitor dalam desain
rangkaiannya. Satu Kapasitor di rangkaian lowpass dan satunya lagi di rangkaian
highpass.
Sinyal-sinyal bandpass ditemui pada saat menerima sinyal-sinyal frekuensi radio
(RF) seperti sinyal-sinyal radar. Dalam analisa dan actual processing sinyal
bandpass, lebih mudah menggunakan suatu sinyal representasi, yang dinamakan
representasi sinyal lowpass, yang menggunakan ide fasor dalam
pengaplikasiannya.
Ada beberapa bentuk umum untuk mendapatkan representasi sinyal lowpass
(Equivalent Lowpass) (ELP) dari sinyal bandpass, yaitu :
Pertama, sinusoida
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑜 𝑡 + 𝜃) =
𝐴
2
𝑒 𝑗(2𝜋𝑓𝑜𝑡+𝜃) +
𝐴
2
𝑒 −𝑗(2𝜋𝑓𝑜𝑡+𝜃)
direpresentasikan oleh sinyal yang bernilai kompleks yang dinamakan sinyal
analytic :
𝑥𝑎 (𝑡) = 𝐴 exp{𝑗(2𝜋𝑓𝑜 𝑡 + 𝜃)} = 𝐴 cos(2𝜋𝑓𝑜 𝑡 + 𝜃) + 𝑗 𝐴𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑓𝑜 𝑡 + 𝜃)
Lalu untuk mendapatkan fasornya, geser frekuensi sinyal analytic ke 𝑓𝑜 untuk
mendapatkan :
𝑥1 = exp{ − 𝑗(2𝜋𝑓𝑜 𝑡 + 𝜃)𝑥𝑎 (𝑡) = 𝐴𝑒 𝑗𝜃
Perlu diingat bahwa nilai reprentasi sinyal lowpass berupa kompleks, dimana
sinyal bandpass bernilai real.
Lalu yang kedua dengan domain frekuensi :
1. Hilangkan bagian frekuensi negatif pada sinusoida
2. Geser frekuensi positif ke nilai DC :
Lalu interpretasi hasilnya dalam domain waktu.
1.Transformasi Fourier sinyal bandpass
2.Untuk mendapatkan transformasi Fourier dari sinyal analytic maka kita
hilangkan frekuensi negatifnya :
Terdapat cara lain untuk mendapatkan sinyal analytic yaitu dengan transformasi
Hilbert. Transformasi Hilbert adalah suatu operator linear spesifik yang mengambil
satu fungsi, u(t) dan membuat suatu fungsi dari variabel real H(u)(t) dengan bentuk
umum :
1 ∞ 𝑢(𝜏)
𝐻(𝑢)(𝑡) = ∫
𝑑𝜏
𝜋 −∞ 𝑡 − 𝜏
Namun pada domain frekuensi, transformasi Hilbert memiliki representasi yang
sederhana, yaitu terjadi perubahan fasa sebesar -90° untuk setiap komponen
Fourier pada suatu fungsi.
3. Untuk mendapatkan transformasi Fourier dari representasi sinyal lowpass, geser
frekuensi sinyal analytic ke 𝑓𝑜 untuk mendapatkan :
Perhatikan bahwa |X1(f)| tidak simetris, maka nilai representasi sinyal lowpass
(ELP) bernilai kompleks, sedangkan sinyal bandpass bernilai real.
Untuk mendapatkan sinyal ELP pada domain waktu :
misal invers transformasi Fourier H(f)X(f) :
𝑥𝑎 (𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑗𝑥̂(𝑡)
(a)
Lalu misalkan xl(t) adalah sinyal domain-waktu yang berkorespondensi terhadap
xl(f). Karena xl(t) adalah versi frekuensi geser dari 𝑥𝑎 (𝑡) maka kita gunakan
properti frekuensi geser terhadap transformasi Fourier yang memberikan :
xl(t) = 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑜𝑡 𝑥𝑎 (𝑡)
(b)
Atau dapat juga ditulis sebagai berikut :
xl(t) = 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑜𝑡 [𝑥(𝑡) + 𝑗𝑥̂(𝑡)]
Kita juga dapat mencari ELP dengan bentuk I&Q (in phase and quadrature) :
Karena xl(t) bernilai kompleks, maka kita dapat menulis bagian-bagian imajiner
dan realnya, yangmana akan kita notasikan sebagai berikut :
xl(t) =𝑥𝑖 (𝑡) + 𝑗𝑥𝑞 (𝑡)
(c)
dimana subskrip i menunjukkan in-phase dan subskrip q menunjukkan quadrature.
Berikut merupakan hubungan-hubungan antara sinyal bandpass x(t) dan
komponen-komponen I-Q dari representasi sinyal lowpass.
Jika kita ganti nilai (b) untuk sinyal analyticnya maka:
𝑥𝑎 (𝑡) = 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑜 𝑡 𝑥𝑙 (𝑡)
(d)
Lalu jika kita menggunakan bentuk I-Q pada (c) :
𝑥𝑎 (𝑡) = 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑜 𝑡 [𝑥𝑖 (𝑡) + 𝑗𝑥𝑞 (𝑡)]
= [cos(2𝜋𝑓𝑜 𝑡) + 𝑗𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑓𝑜 𝑡)][𝑥𝑖 (𝑡) + 𝑗𝑥𝑞 (𝑡)]
= [𝑥𝑖 (𝑡) 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑜 𝑡) − 𝑥𝑞 (𝑡)𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑓𝑜 𝑡)] + 𝑗[𝑥𝑖 (𝑡)𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑓𝑜 𝑡)
+ 𝑥𝑞 (𝑡)𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑜 𝑡)]
𝑥𝑎 (𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑗𝑥̂(𝑡)
Hal diatas menunjukkan bagaimana komponen-komponen I dan Q berhubungan
dengan sinyal bandpass :
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑖 (𝑡) 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑜 𝑡) − 𝑥𝑞 (𝑡)𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑓𝑜 𝑡)
Atau dapat juga dinyatakan dengan:
𝑥̂(𝑡) = 𝑗[𝑥𝑖 (𝑡)𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑓𝑜 𝑡) + 𝑥𝑞 (𝑡)𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑜 𝑡)]
Bentuk fasa/envelope dari sinyal ELP
Perhatikan dalam rumus (c), bentuk I&Q merupakan bentuk rectangular untuk nilai
kompleks sinyal ELP.
Jika kita rubah ke dalam bentuk polar :
𝑥𝑙 (𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑒 𝑗𝜃(𝑡)
dimana
𝐴(𝑡) = √𝑥𝑖2 (𝑡) + 𝑥𝑞2 (𝑡) ≥ 0
𝑥𝑞 (𝑡)
𝜃(𝑡) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 {
}
𝑥𝑖 (𝑡)
(e)
Seringkali kita butuh mengkonversi antara dua bentuk polar dan rectangular. Jika
kita lakukan ekspansi pada eksponensial kompleks pada rumus (e) maka :
𝑥𝑙 (𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑒 𝑗𝜃(𝑡)
𝑥𝑙 (𝑡) = 𝐴(𝑡) cos[𝜃(𝑡)] + 𝑗𝐴(𝑡)𝑠𝑖𝑛[𝜃(𝑡)]
𝑥𝑙 (𝑡) = 𝑥𝑖 (𝑡) + 𝑥𝑞 (𝑡)
Maka :
𝑥𝑖 (𝑡) = 𝐴(𝑡) 𝑐𝑜𝑠[𝜃(𝑡)]
𝑥𝑞 (𝑡) = 𝐴(𝑡)sin [𝜃(𝑡)]
Dengan rumus (d) dan (e) didapatkan :
𝑥𝑎 (𝑡) = 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑜 𝑡 [𝐴(𝑡)𝑒 𝑗𝜃(𝑡) ]
= 𝐴(𝑡)𝑒 𝑗𝜃[2𝜋𝑓𝑜 𝑡+𝜃(𝑡)]
= 𝐴(𝑡) cos[2𝜋𝑓𝑜 𝑡 + 𝜃(𝑡)] + 𝑗𝐴(𝑡) sin[2𝜋𝑓𝑜 𝑡 + 𝜃(𝑡)]
= 𝑥(𝑡) + 𝑗𝑥̂(𝑡)
𝑥(𝑡) = 𝐴(𝑡)cos [2𝜋𝑓𝑜 𝑡 + 𝜃(𝑡)]
(f)
Jadi dari rumus diatas dapat ditunjukkan bahwa :
Sinyal bandpass apapun dapat diekspresikan sebagai berikut
𝒙(𝒕) = 𝑨(𝒕)𝒄𝒐𝒔 [𝟐𝝅𝒇𝒐 𝒕 + 𝜽(𝒕)]
dimana A(t) ≥0
Sinyal representasi lowpass memiliki envelope dan fasa yang sama dengan sinyal
bandpass, seperti yang ditunjukkan dibawah :
𝑥𝑙 (𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑒 𝑗𝜃(𝑡)
𝑥(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑐𝑜𝑠 [2𝜋𝑓𝑜 𝑡 + 𝜃(𝑡)]
Generasi Komponen-komponen I&Q Secara Analog
Seperti yang dikatakan sebelumnya, pengolahan sinyal untuk radar dan komunikasi
diimplementasikan menggunakan sinyal representasi lowpass (sinyal ELP), maka
kita harus mencari suatu cara untuk mendapatkan sinyal ELP dari sinyal bandpass
yang diterima, dan umumnya bentuk I&Q yang sering digunakan.
Maka, kita misalkan ada sinyal bandpass berikut :
𝑥(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑐𝑜𝑠 [2𝜋𝑓𝑜 𝑡 + 𝜃(𝑡)]
kita harus dapat mengambil nilai 𝑥𝑖 (𝑡) dan 𝑥𝑞 (𝑡) dari sinyal tsb.
𝑥𝑖 (𝑡) = 𝐴(𝑡) 𝑐𝑜𝑠[𝜃(𝑡)]
𝑥𝑞 (𝑡) = 𝐴(𝑡)sin [𝜃(𝑡)]
Rumus diatas memberi suatu cara mengambil sinyal-sinyal I-Q dengan cara
analog. Jika kita gunakan identitas" trigonometri, maka:
2𝑥(𝑡) cos(2𝜋𝑓𝑜 𝑡) = 2[𝐴(𝑡) 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑜 𝑡 + 𝜃(𝑡))] cos(2𝜋𝑓𝑜 𝑡)
= 𝐴(𝑡) 𝑐𝑜𝑠[𝜃(𝑡)] + 𝐴(𝑡) 𝑐𝑜𝑠[2𝜋(2𝑓𝑜 )𝑡 + 𝜃(𝑡)]
Atau dapat juga sebagai berikut :
2𝑥(𝑡) 𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑓𝑜 𝑡) = 2[𝐴(𝑡) 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑜 𝑡 + 𝜃(𝑡))] 𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑓𝑜 𝑡)
= 𝐴(𝑡) 𝑠𝑖𝑛[𝜃(𝑡)] + 𝐴(𝑡) 𝑠𝑖𝑛[2𝜋(2𝑓𝑜 )𝑡 + 𝜃(𝑡)]
Rangkaian Analog untuk Menghasilkan I&Q
Berikut kegunaan-kegunaan konsep yang digunakan pada makalah ini:
Model Sinyal Bandpass
Model sinyal bandpass biasanya digunakan untuk memodelkan sinyal-sinyal RF
pada radar dan komunikasi, dan juga untuk memodelkan sinyal-sinyal akustik pada
sonar. Model sinyal bandpass jarang digunakan untuk sinyal-sinyal audio/speech.
Representasi Sinyal Lowpass
Sinyal ELP ini biasa digunakan sebagai alat konseptual untuk analisis atau desain,
dan juga digunakan sebagai representasi aktual dalam pengolahan nyata.
Sinyal Analytic
Biasanya digunakan sebagai alat konseptual untuk membuktikan hasil-hasil
analisis, diaplikasikan langsung pada sinyal kontinu bandpass RF.
Transformasi Hilbert suatu Sinyal
Sama seperti sinyal analytic, transformasi Hilbert biasa digunakan sebagai konsep
atau dasar untuk membuktikan hasil analisa.
