Modul-1. Mtk I

MODUL PERKULIAHAN
Matematika I
(Fungsi)
a. Konsep fungsi.
b. Operasi pada fungsi.
c. Fungsi komposisi dan fungsi invers.
d. Macam-macam fungsi dan grafiknya.
Fakultas
Program Studi
Fakultas Teknik
Teknik Sipil
Tatap Muka
01
Kode MK
Disusun Oleh
MK90016
Handaru Tampiko,Ir, MSc
Abstract
Kompetensi
Dalam kehidupan sehari-hari anda
sering
menjumpai
hubungan
sesuatu dengan yang lainnya, baik
hubungan antar manusia ataupun
yang lainnya. Hubungan yang ada
tersebut ada yang dapat dinyatakan
dalam notasi matematika yang
mana hal tersebut akan sangat
bermanfaat bagi anda sebagai
mahasiswa teknik sipil. Dalam
modul ini Anda akan mempelajari 4
materi yaitu :
Konsep fungsi,
operasi
pada
fungsi,
fungsi
komposisi dan fungsi invers,
Agar Mahasiswa :
1. Mengerti apa yang dimaksud
dengan
fungsi
dan
dapat
menentukan
relasii
yang
merupakan sebuah fungsi.
2. Dapat menggambarkan sebuah
fungsi pada sistim koordinat
Cartesian.
3. Mengenal macam-macam fungsi.
4. Mengenal apa yang dimaksud
dengan :fungsi komposisi, fungsi
invers, fungsi periodik, fungsi
terbatas dan fungsi monoton.
5. Dapat menentukan komposisii
fungsi.
macam-macam
fungsi
dan 6. Dapat menentukan invers sebuah
grafiknya. Pada materi 1 adalah
fungsi.
konsep fungsi, materi 2 adlah
operasi pada fungsi, materi 3 fungsi
komposisi
dan
inversnya,
selanjutnya materi ke 4 adalah
macam-macam
fungsi
dan
grafiknya
1. Konsep Fungsi
1.1 Relasi antara dua himpunan
Jika A dan B dua himpunan yang tidak kosong, maka didefinisikan:
A  B  ( x, y ) x  A dan y  B, A  B disebut hasil kali cartesian antara himpunan
A dan B. Jika R  (A  B), maka R disebut relasi dari himpunan A ke himpunan B.
Relasi dapat diartikan sebagai aturan yang mengawankan dua himpunan.
Ada beberapa cara menyatakan relasi, yaitu:
a.
diagram panah
b.
himpunan pasangan berurutan
c.
grafik kartesius
Contoh:
Diketahui himpunan A  { 1, 2, 4, 5} dan B  { 1, 2, 3, 5}, nyatakan relasi dari A ke B
dengan “dua lebihnya dari” !
Penyelesaian:
B
a. diagram panah
A
5
c. Grafik kartesius
B
4
1
2
4
5
1
2
3
5


3
2
0
11
1

2
3
4
5
A
Gb. 1.1. contoh diagram panah
Gb 1.2. contoh grafik kartesius
b. himpunan pasangan berurutan
{(1,1), (4,2), (5,3)}
1.2 Pemetaan atau fungsi
Pemetaan atau fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang
menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota pada B.
Pemetaan seperti ini biasa dinotasikan dengan
2015
2
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
f : x  y atau y  f(x)
dibaca “f memetakan x ke y ”
y
dinamakan peta atau bayangan dari x oleh fungsi f. Himpunan semua
peta/bayangan dari fungsi disebut daerah hasil (range).
Jadi untuk suatu fungsi diperlukan syarat:
a.
Himpunan A sebagai daerah asal atau daerah definisi (domain).
b.
Himpunan B sebagai daerah kawan (kodomain).
c.
Himpunan R sebagai daerah hasil (range)
d.
Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memetakan setiap anggota A
dengan tepat satu anggota pada B, atau dengan kata lain setiap anggota A
dipasangkan habis tetapi tidak boleh ada satu anggota A yang punya
pasangan lebih dari atau kurang dari satu.
Domain fungsi f biasanya dilambangkan dengan Df sedangkan range fungsi f
biasanya dilambangkan dengan Rf.
Contoh:
1) Diantara diagram panah berikut yang merupakan fungsi (pemetaan) dari A ke B
adalah
A
B
a.



b.





3







Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc








B
A
B





d.

Gb.1.3. diagram panah
2015
B
c.

A
A
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id


Penyelesaian:
b adalah jawabnya, sebab setiap anggota A dipasangkan habis dan punya
kawan tunggal
a bukan fungsi sebab ada anggota A yang tidak punya kawan
c bukan
fungsi sebab ada anggota A yang punya kawan lebih dari satu
d bukan fungsi sebab ada anggota A yang tidak punya kawan dan ada anggota A
yang punya kawan lebih dari satu.
2) Diketahui suatu fungsi yang memetakan A  {1, 8, 27} ke B  {1, 2, 3, 4} dengan
sifat “pangkat tiga dari”
a)
Buatlah diagram panahnya
b)
Tentukan domain, kodomain dan range fungsi tersebut.
Penyelesaian:
A
B
1 
1
8 
2
27
3
a)
4
Gb. 1.4. diagram panah
b)
Domain fungsi (Df ) adalah A  {1, 8, 27}
Kodomain fungsi adalah B  {1, 2, 3, 4}
Range fungsi (Rf ) adalah R  {1, 2, 3}
Diagram panah di bawah ini menunjukkan kejadian khusus dari pemetaan yang
disebut korespondensi satusatu.
A
B








Gb. 1.5. korespondensi satusatu
2015
4
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
Korespondensi satusatu adalah pemetaan yang menghubungkan setiap anggota A
dengan tepat satu anggota pada B dan menghubungkan setiap anggota B dengan
tepat satu anggota pada A.
Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama,
misalkan D maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi
tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan riil ().
Untuk fungsifungsi pada  kita kenal beberapa fungsi khusus antara lain: fungsi
linier dan fungsi kuadrat.
2. Operasi Fungsi
Seperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah
bilangan a + b, demikian juga halnya dua buah fungsi baru f dan g, walaupun fungsi
bukanlah suatu bilangan. Operasi jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi pada dua buah
fungsi didefinisikan sebagai berikut.
Misalkan f dan g terdefinisi pada himpunan D, maka :
1. (f + g) (x) = f(x) + g(x), untuk setiap x  D.
2. (f - g) (x) = f(x) - g(x), untuk setiap x  D.
3. (f . g) (x) = f(x) . g(x), untuk setiap x  D.
4. (k . f) (x) = k. f(x), untuk setiap x  D dan k adalah konstanta.
f
f ( x)
 x  
, untuk setiap x  D dan g(x)  0.
g ( x)
g
5. 
Jika domain f adalah Df dan domain g adalah Dg maka domain untuk operasi fungsi f dan g
diatas adalah Df  Dg.
Contoh :
Jika f(x) =
1 x
1 x
dan g(x) =
, dengan masing-masing domain : Df = {x | x -1} dan Dg
1 x
x
= {x | x  0}, maka dapat ditentukan operasi fungsi berikut :
1 x 1 x
 2x 2  x  1
1. (f + g) (x) = f(x) + g(x) =
+
=
, dengan Df + g = R – {-1, 0}
1 x
x
x(1  x)
2. (f - g) (x) = f(x) - g(x) =
1 x 1 x
x 1
=
, dengan Df – g = R – {-1, 0}
1 x
x
x(1  x)
 1  x   1  x  1  x 
, dengan Df . g = R – { -1, 0}
 
=
 1  x   x  x(1  x)
2
3. (f . g) (x) = f(x) . g(x) = 
2015
5
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
f

g
4. 
1 x 


x
f ( x)
1 x 

x  
=
=
, dengan Df / g = R – {-1}
g ( x)
1 x  1 x


 x 
 1  x  5  5x
, dengan D5.f = R – {-1}.
=
1 x
1 x 
5. (5. f) (x) = 5 . f(x) = 5 
3. Fungsi Komposisi
Jika diketahui dua fungsi f: A  B dan g: B  C maka fungsi komposisi g  f : A  C
ditentukan oleh rumus (g  f)(x)  g(f(x)), x  A.
g f
A
C
B
g
f
g(f(x))

f(x)

x
Gb. 2.11. fungsi komposisi
Catatan: g  f dibaca “g komposisi f ”.
Contoh:
Diketahui f(x)  x + 3 dan g(x)  5x, tentukan:
1. (f  g)(x) dan (f  g)(10)
2. (g  f)(x) dan (g  f)(10)
Penyelesaian:
1. (f  g)(x)  f(g(x))  f(5x)  5x + 3
(f  g)(10)  5.10 + 3  50 + 3  53
2. (g  f)(x)  g(f(x))  g(x + 3)  5(x + 3)  5x + 15
(g  f)(10)  5.10 + 15  50 + 15  65
Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa f  g  g  f , jadi komposisi fungsi tidak
bersifat komutatif.
Catatan:
Syarat fungsi f dan g dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi f  g adalah Df 
Rg  .
Artinya irisan antara domain fungsi f atau Df dan range fungsi g atau Rg tidak kosong.
1. Komposisi dua fungsi atau lebih
Misalkan f, g dan h adalah fungsi maka fungsi-fungsi tersebut dapat tersusun
menjadi fungsi komposisi:
2015
6
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
a. (f  g)(x) = f(g(x))
b. (f  g  h)(x) = f(g(h(x)))
Contoh:
Diketahui f(x)  4x  8 dan g(x)  3x2 dan h(x)  2x.
Tentukan
1) (f  g)(x)
2) (f  f)(x)
3) (f  g  h)(x)
Penyelesaian:
1) (f  g)(x)  f(g(x))  f(3x2)  4(3x2)  8  12x2  8
2) (f  f)(x)  f(f(x))  f(4x  8)  4(4x  8)  8  16x  40
3) (f  g  h)(x)  f(g(h(x)))
 f(g(2x))
 f(3(2x )2)
 f(12x 2)
 4(12x 2)  8
 48x 2  8
2. Sifat-sifat komposisi fungsi
a. Operasi komposisi fungsi pada umumnya tidak bersifat komutatif
f g  g f
b. Operasi komposisi fungsi pada umumnya bersifat assosiatif
f  (g  h) = (f  g)  h
c. Dalam operasi komposisi fungsi terdapat fungsi identitas, yaitu I(x)  x,
sehingga berlaku: I  f  f  I  f
Contoh:
Pada contoh sebelumnya diketahui f(x)  4x  8, g(x)  3x2 dan h(x)  2x. Tunjukkan
bahwa:
1)
(f  g)(x)  (g  f) (x)
2)
(f  (g  h))(x) = ((f  g )  h)(x)
3)
(I  f)(x)  (f  I)(x)  f(x)
Penyelesaian:
1) (f  g)(x)  f(g(x))  f(3x2)  4(3x2)  8  12x2  8
(g  f)(x)  g(f(x))
 g(4x  8)
2015
7
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
 3(4x  8)2
 3(16 x2  64x + 64)
 48 x2  192x + 192
jadi (f  g)(x)  (g  f) (x)
2) f(x)  4x  8, g(x)  3x2 dan h(x)  2x
menentukan (f  (g  h))(x)
(g  h)(x)  g(h(x))
menentukan ((f  g )  h)(x)
(f  g)(x)  f(g(x))
 g(2x)
 f(3x2)
 3(2x )2
 4(3x2)  8
 12x 2
 12x2  8
(f  (g  h))(x)  f)(g  h)(x))
((f  g)  h)(x)  (f  g)(h(x))
 f(12x 2)
 (f  g)(2x)
 4(12x 2)  8
 12(2x)2  8
 48x 2  8
 48x 2  8
Jadi terbukti bahwa (f  (g  h))(x) = ((f  g )  h)(x)
3) I(x)  x dan f(x)  4x  8
(I  f)(x)  I(f(x))  I(4x  8)  4x  8  f(x)
(f  I)(x)  f(I(x))  f(x)
Jadi terbukti bahwa (I  f)(x)  (f  I)(x)  f(x)
3. Menentukan fungsi f jika fungsi g dan f  g diketahui
Contoh:
Tentukan f(x) jika g(x)  3x + 2 dan (f  g)(x)  18x2 + 39x + 22
Penyelesaian:
(f  g)(x)  18x2 + 39x + 22

2015
8
f(g (x))  18x2 + 39x + 22
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
 f(3x + 2)  18x2 + 39x + 22
 f(3x + 2)  2(3x + 2)2  24x  8 + 39x + 22
 f(3x + 2)  2(3x + 2)2 + 15x +14
 f(3x + 2)  2(3x + 2)2 + 5(3x + 2) +4
jadi f(x)  2x2 + 5x + 4
Dengan cara sama dapat pula ditentukan fungsi g jika fungsi f dan f  g diketahui.
Contoh:
Tentukan g(x) jika diketahui f(x)  3x dan (f  g)(x) 12x + 24
Penyelesaian:
(f  g)(x)  12x + 24

f(g(x))  12x + 24

3 g(x)  12x + 24

g(x)  4x + 8
jadi g(x)  4x + 8
Catatan: dalam penyelesaian tersebut terkadang sulit untuk dikerjakan, namun
dengan pengertian fungsi invers (balikan) akan memudahkan untuk menyelesaikan
soal tersebut.
4. Fungsi invers
1. Pengertian invers suatu fungsi
Perhatikan gambar 4.1 berikut
A
B
f
f 1(y)  x

f 1
f(x)  y
Gb. 4.1. invers fungsi


Pada gambar di atas fungsi f : A  B dengan f  ( x, y ) y  f ( x ), x  A dan y  B ,


relasi g: B  A dengan g  ( y, x ) x  g( y ), x  A dan y  B maka g adalah invers
dari fungsi f dan ditulis f 1. Jika relasi f 1 merupakan fungsi maka f 1 disebut fungsi
invers, jika relasi f 1 bukan merupakan fungsi maka f 1 disebut invers dari f saja.
2015
9
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
Jika fungsi g  f 1 ada maka f dan g disebut fungsifungsi invers, g adalah invers
dari f dan f adalah invers dari g. Sehingga dapat dinyatakan dengan:
f 1( y )  x  f ( x )  y .
Contoh:
Fungsifungsi dalam himpunan pasangan berurutan berikut ini nyatakan inversnya
dan apakah merupakan fungsi invers.
a. f = {(2,4), (3,6), (5,10)}
b. g = {(2,4), (1,1), (1,1), (2,4)}
c. h = {(1,1), (3,3), (1,1), (3,3)}
Penyelesaian:
a. f
1
= {(4,2), (6,3), (10,5)}, merupakan fungsi invers
b. g 1= {(4, 2), (1, 1), (1,1), (4, 2)}, merupakan invers dari fungsi g tetapi bukan
merupakan fungsi invers.
c. h 1= {(1, 1), (1,1), (2, 4), (2, 4)}, merupakan fungsi invers
Catatan: syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers adalah jika fungsi tersebut
merupakan korespondensi satusatu.
2. Menentukan fungsi invers
Langkahlangkah untuk menentukan fungsi invers dari fungsi y  f(x) adalah:
a.
Tentukan terlebih dulu fungsi x dari y sehingga didapat x  f(y)
b.
Setelah didapat x  f(y) selanjutnya tukarkan 2 variabel tersebut menjadi y  f
1
(x)
c.
Kemudian tunjukkan bahwa (f  f 1)(x)  (f 1  f)(x)  I(x)  x
Contoh:
Tentukan fungsi invers dari y = 2x + 10
Penyelesaian:
y  2x + 10


jadi f 1(x) 
2015
10
2x  y 10
x
y  10
2
 x  f(y)
x  10 1
 x 5
2
2
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
1

x  5   10  x
2

(f  f 1)(x)  f )f 1(x))  2
(f 1  f)(x)  f 1(f(x)) 
1
(2 x  10)  5  x
2
Karena (f  f 1)(x)  (f 1  f)(x)  I(x)  x maka fungsi invers dari y = 2x + 10 adalah f
(x) 
1
1
x 5
2
Catatan: grafik fungsi f akan simetris dengan fungsi f
1
dengan sumbu simetrinya
adalah garis y  x.
3. Fungsi invers dari fungsi komposisi
g f
B
A
C
g
f
x
f 1
y
z
g 1
(g  f)1
Gb. 2.13. invers fungsi komposisi
Jika fungsi f: A  B, g: B  C dan (g  f): A  C maka (g  f) memetakkan
setiap x  A oleh fungsi f dilanjutkan oleh fungsi g ke z  C. Atau dapat
ditulis:
f(x) = y dan g(y) = z  (g  f)(x)  g(f(x)) = z
Misalkan f
-1
dan g
-1
berturut-turut invers dari fungsi f dan g maka
memetakkan setiap z  C oleh fungsi g
–1
dilanjutkan oleh fungsi f
–1
(g  f)
-1
ke x  A
sehingga dapat dinyatakan dengan (f -1  g –1). Atau dapat ditulis:
g –1(z) = y dan f –1(y) = x  (f -1  g –1)(z)  f –1(g –1(z)) = x
Jadi (g  f) –1 = f -1  g –1
Jika f 1, g 1 dan h 1 berturutturut masingmasing adalah fungsi invers dari
fungsifungsi f , g dan h maka berlaku hubungan:
2015
a.
(f  g) 1(x)  (g 1  f 1)(x)
b.
(f  g  h) 1(x)  (h1  g 1  f 1)(x)
c.
((f  g)  g 1)(x)  (g 1  (g  f ))(x) = f(x)
11
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
d.
(f 1(x)) 1  f(x)
Ada 2 cara dalam menentukan rumus invers fungsi dari fungsi komposisi, yaitu:
a.
Menentukan
dulu
rumus
fungsi
komposisi,
kemudian menentukan
inversnya.
Contoh:
Diketahui f  x  7 dan g  4x + 1, tentukan (f  g) 1(x)
Penyelesaian:
(f  g)(x)  f(g(x))  f(4x + 1)  4x + 1  7  4x  6
Misalkan y  4x  6


4x  y + 6
x
y6
4
Jadi (f  g) 1(x) 
b.
x6
4
Menentukan dulu inversnya masingmasing fungsi, kemudian dikomposisikan
Contoh: (dari contoh sebelumnya)
Diketahui f(x)  x  7 dan g(x) 4x + 1, tentukan (f  g) 1(x) Penyelesaian:
f (x)  x  7  misalkan y  x  7

xy+7
sehingga f 1(x)  x + 7
g(x)  4x + 1  misalkan y  4x + 1


4x  y  1
x
y 1
4
sehingga g1(x) 
(f  g) 1(x)  (g 1  f 1)(x)
 g 1 (f 1(x))
 g 1(x + 7)

2015
12
( x  7)  1
4
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
x 1
4

x6
4
5. Macam-macam Fungsi dan Grafiknya
5.1. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi y = f(x) dikatakan fungsi genap, jika f(- x) = f(x), untuk setiap x  Df.
Dan fungsi y = f(x) dikatakan ganjil, jika f(- x) = - f(x), dalam hal ini daerah asal f sekaligus
memuat x dan – x.
Sifat-sifat fungsi genap dan fungsi ganjil adalah :
1. Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y
2. Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik (0, 0) atau ttitik asal.
Secara geometris sifat tersebut dapat dilihat pada gambar 5.1. berikut.
y
y
y = f(x)
f(-x)= - f(x)
x
x
(a). Grafik fungsi genap
(b). Grafik fungsi ganjil
Gambar 5.1.
Contoh :
1. Fungsi f(x) = x2 adalah fungsi genap, karena f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x), x  R
2. Fungsi f(x) = sin x adalah fungsi ganjil, karena f(-x) = sin (-x) = - sin x = - f(x), untuk
setiap x  R.
3. Fungsi f(x) = x3 – x2 adalah fungsi yang tidak genap dan tidak ganjil, karena terdapat x 
Df sehingga f(-x) = (-x)3 – (-x)2 = -x3 – x2  - f(x).
4. Fungsi f(x) = 0 adalah fungsi genap dan fungsi ganjil, karena f(-x) = 0 = f(x) dan f(-x) = 0
= - f(x), untuk setiap x  Df
5. Fungsi f(x) = -
 x tidak dapat dikatakan sebagai fungsi genap maupun fungsi ganjil
Karen daerah asalnya tidak memuat x atau – x secara bersamaan (bukan himpunan
simetri).
2015
13
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
5.2 Fungsi Konstanta
Bentuk fungsi konstanta adalah f(x) = k, k adalah konstanta, Df = R dan Rf = {k}.
Grafik fungsinya diperlihatkan pada gambar 5.2.
y
f(x) = k
x
Gambar 5.2.
5.3. Fungsi Identitas
Bentuk fungsi identitas adalah f(x) = x, Df = R dan Rf = R.
Grafik fungsinya diperlihatkan pada gambar 5.3.
y
f(x) = x
x
Gambar 5.3.
5.4. Fungsi Linier
Fungsi linier mempunyai persamaan y  ax + b, a, b   dan a  0. Grafik fungsi linier
berupa garis lurus. Untuk menggambar grafik fungsi linier ada dua cara, yaitu: dengan
tabel dan dengan menentukan titik potong pada sumbu x dan sumbu y.
Contoh:
Gambarlah grafik fungsi y  2x + 2
Penyelesaian
2015
14
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
1. Dengan tabel
x
1
0
1
y  2x + 2
0
2
4
Y
Dari tabel diperoleh titiktitik berupa
4
pasangan koordinat, kita gambar titik
3
tersebut
kartesius
2
sehingga
1
dalam
kemudian
tampak
bidang
dihubungkan
membentuk
garis

1 0
lurus.

1
y  2x + 2
2
3 4
X
(gambar 2.6)
Gb. 2.6. grafik fungsi linier
2. Dengan titik potong sumbu x dan sumbu y
Persamaan garis y  2x + 2
Titik potong grafik dengan sumbu x:
syarat y  0  0  2x + 2
2x  2
x  1
sehingga titik potong grafik dengan sumbu x adalah ( 1,0)
Titik potong grafik dengan sumbu y:
syarat x  0  y  2 . 0 + 2  2
sehingga titik potong grafik dengan sumbu y adalah ( 0,2)
Kedua titik potong tersebut digambar dalam bidang kartesius kemudian dihubungkan
sehingga tampak membentuk garis lurus (gambar 2.7).
Y
y  2x + 2
4
3 
2

1 0
1
1
2 3 4
X
Gb. 2.7. Grafik fungsi linier
2015
15
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
1. Gradien
Persamaan garis biasa juga ditulis y  mx + c, dengan m, c  . Dalam hal ini m dan
c adalah konstanta, dengan m melambangkan gradien (koefisien arah) garis lurus.
Gradien adalah konstanta yang menunjukkan tingkat kemiringan garis. Dilihat dari
gambar 2.8 maka m dapat dicari sebagai berikut:
Y

y2
Δy
y1

m

y y 2  y1 f x 2   f x1 


x x 2  x1
x 2  x1
Δx
O
x1
x2
X
Gb. 2.8. Gradien
m = tan 
Pada gambar 2.8, misalkan  adalah sudut antara garis horisontal (sejajar sumbu x)
dan grafik fungsi linier dengan arah putaran berlawanan arah
dengan arah putaran jarum jam, maka gradien dapat pula didefinisikan dengan
m
y
 tan  .
x
Sebagai catatan bahwa
a)
Jika m  0 maka grafik sejajar dengan sumbu x dan ini sering disebut sebagai
fungsi konstan.
b)
Jika m  0 maka grafik condong ke kanan atas (0   90)
c)
Jika m  0 maka grafik condong ke kanan bawah (90   180)
2. Menentukan persamaan garis melalui satu titik dan bergradien m
Misalkan garis y  mx + c melalui titik P(x1,y1), setelah titik (x1,y1) disubstitusikan ke
persamaan garis tersebut diperoleh:
y  mx + c
y1  mx1 + c

y  y1  m (x  x1)
2015
16
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
Jadi rumus persamaan garis melalui titik P(x1,y1) dan bergradien m adalah
Contoh:
y  y1  m (x  x1)
Tentukan persamaan garis yang melalui P(3,9) dan bergradien 6.
Penyelesaian:
Titik P(3,9) dan gradien m  6 disubstitusikan ke persamaan diatas
y  y1  m(x  x1)
 y  9  6(x  3)

y  6x  18 +9

y  6x 9
Jadi persamaan garisnya adalah y  6x 9.
3. Menentukan persamaan garis melalui dua titik
Persamaan garis melalui dua titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) dapat dicari dengan langkah
sebagai berikut:
persamaan garis melalui titik A(x1,y1) dan dengan memisalkan gradiennya m adalah
y  y1  m (x  x1) …………………. (i)
karena garis ini juga melalui titik B(x2,y2), maka y2  y1  m (x2  x1), sehingga
diperoleh gradien
y  y1
m 2
x 2  x1
…………………. (ii)
persamaan (ii) disubstitusikan ke (i) diperoleh
y  y1
x  x1

y 2  y1 x 2  x1
Jadi persamaan garis melalui dua titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) adalah
y  y1
x  x1

y 2  y1 x 2  x1
Contoh:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1,6) dan (3,8).
Penyelesaian:
Kedua titik (1,6) dan (3,8) disubstitusikan ke persamaan garis melalui dua titik.
y  y1
x  x1
y  6 x 1



8  6 3 1
y 2  y1 x 2  x1

2015
17
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
y  6 x 1

2
2
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
 y6x1

yx+5
Jadi persamaan garisnya adalah y  x + 5
4. Menentukan titik potong antara dua garis
Misalkan dua garis g1 dan g2 saling berpotongan di titik P(x,y), maka nilai x dan y
harus memenuhi kedua persamaan garis tersebut. Titik potong dua garis dapat dicari
dengan metode substitusi atau eliminasi.
Contoh:
Tentukan titik potong dari dua garis g1: y  3x + 2 dan g2: y  x + 8
Penyelesaian:
Soal di atas dapat diselesaikan dengan 2 metode
a.
Metode substitusi
Nilai y pada persamaan g2 diganti dengan nilai y persamaan g1
yx+8
 3x + 2  x + 8

2x  6

x3
x  3 dimasukkan ke persamaan g2 diperoleh
y  x + 8  3 + 8  11
jadi titik potong g1: y  3x + 2 dan g2: y  x + 8 adalah (3,11)
b.
Metode eliminasi
Metode eliminasi dilakukan dengan menyamakan koefisien salah satu variabel
untuk menghilangkan salah satu variabel lainnya. Karena kedua persamaan
tersebut memiliki koefisien variabel y yang sama maka langsung dieliminasikan
y  3x + 2
x  3 dimasukkan ke persamaan g2
yx + 8
0  2x  6
y  x + 8  3 + 8  11
+
2x  6  x  3
jadi titik potong g1: y  3x + 2 dan g2: y  x + 8 adalah (3,11)
Catatan:
a. Garis g1 yang bergradien m1 dikatakan sejajar dengan g2 yang bergradien m2
jika memenuhi m1  m2
Contoh:
Apakah garis y  5x + 12 sejajar dengan y  5x  8
Penyelesaian:
2015
18
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
Karena m1  m2  5 maka kedua garis tersebut sejajar.
b. Garis g1 yang bergradien m1 dikatakan tegak lurus dengan g2 yang bergradien
m2 jika memenuhi m1 . m2  1
Contoh:
Apakah garis 2y  6x + 12 dan 9y  3x + 8 saling tegak lurus?
Penyelesaian:
g1: 2y  6x + 12  y  3x + 6  m1  3
g2: 9y  3x + 8  y  
1
8
1
x   m2  
3
3
9
 1
m1 . m2  3 .     1 sehingga kedua garis saling tegak lurus.
 3
5.5. Fungsi Kuadrat
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah y  ax2 + bx + c dengan
a, b, c   dan a 
0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola maka sering juga disebut fungsi parabola.
Jika a  0 , parabola terbuka ke atas sehingga mempunyai titik balik minimum (gambar
5.5.a)
Jika a  0 , parabola terbuka ke bawah sehingga mempunyai titik balik maksimum
(gambar 5.5.b)
Y
Y
O
X
P(x,y)
O
X
P(x,y)
Gb. 5.5.b. grafik parabola
Gb. 5.5.a. grafik parabola
Langkahlangkah menggambar grafik fungsi kuadrat y  ax2 + bx + c :
1. Menentukan pembuat nol fungsi  y  0 atau f(x)  0
Pembuat nol fungsi dari persamaan kuadrat y  ax2 + bx + c diperoleh jika ax2 + bx
+ c  0. Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi ax2+ bx + c 0.
2. Menentukan sumbu simetri x 
b
2a
3. Menentukan titik puncak P (x, y) dengan x 
b
D
dan y 
2a
 4a
Dengan nilai diskriminan D  b2  4ac.
Jika ditinjau dari nilai a dan D maka sketsa grafik parabola sebagai berikut:
2015
19
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
a < 0, D  0
a < 0, D > 0
a < 0, D < 0
X1  X2

X1


X2
a > 0, D  0
a > 0, D > 0

X2

X1
Definit negatif
a > 0, D < 0

X1  X2
Definit positif
Catatan:
persamaan kuadrat ax2 + bx + c  0 dapat dicari akarakarnya dengan:

Pemfaktoran

Kuadrat sempurna

Rumus abc: x12 
 b  b2  4ac
2a
Contoh:
Gambarlah sketsa grafik fungsi y  x2  6x + 8
Penyelesaian:
a. Menentukan pembuat nol fungsi
Dengan pemfaktoran diperoleh
x2  6x + 8  0
(x  2) (x  4)  0
x  2 atau x  4
b. Menentukan sumbu simetri
x
 b  (6) 6

 3
2a
2 .1
2
c. Menentukan titik puncak P (x, y)
Karena x sudah dicari maka tinggal mencari nilai y dengan substitusi
fungsi y diperoleh
y  32  6(3) + 8
 9  18 +8  1
2015
20
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
x  3 ke
Jadi puncaknya adalah titik (3,1).Sehingga sketsa grafiknya adalah
Y
0
1

1

3
2

4
X
Gb. 5.6. contoh grafik parabola
5.6 Fungsi Trigonometri
5.6.1 Trigonometri dengan perbandingan sudut segitiga siku-siku
Diketahui segitiga ABC, dengan sudut BAC = , sisi tegak (proyektor) = BC, sisi datar
(proyeksi) = AB dan sisi miring (proyektum) = AC.
C
Proyektor
B
Proyektum
Proyeksi
A
Gambar 5.6.1.
Berdasarkan segitiga siku-siku tersebut, maka trigonometri didefinisikan sebagai :
sin  
panjang BC
proyektor

, sin = sinus
proyektum panjang AC
cos  
panjang AB
proyeksi

, cos = cosinus
proyektum panjang AC
tan  
proyektor panjang BC

, tan = tangent
proyeksi
panjang AB
2015
21
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
Perhatikan lingkaran satuan pada gambar 5.6.2. dengan persamaan x2 + y2 = 1, berpusat di
titik asal dan bejari-jari satu. Nyatakan koordinat (1, 0) dengan A dan t sebarang bilangan
positif, maka terdapat tepat satu titik B(x, y) sehingga panjang busur AB adalah t.
y
B(x, y)
t
A(1, 0)
x
Gambar 5.6.2.
Karena keliling lingkaran adalah 2, sehingga jika t > 2 di perlukan lebih dari satu putaran
penuh untuk menelusuri t, jika t = 0 maka A = B, jika t < 0 maka kita juga akan memperoleh
satu titik unik B(x, y) sehingga muncul definisi sinus dan kosinus.
5.6.2. Sinus dan kosinus
Andaikan t menentukan titik B(x, y) pada keterangan gambar 5.6.2., maka
sin t = y dan cos t = x.
Dari dua rumusan tersebut diperoleh empat rumus fungsi trigonometri lainnya yaitu :
tan t =
Sin t
cos t
cotan t =
cos t
1

tan t sin t
sec t =
1
cos t
cosec t =
1
sin t
5.6.3. Sifat-sifat dasar sinus dan kosinus
Pada fungsi sinus dan kosinus berlaku sifat-sifat sebagai berikut :
1. -1  sin t  1 dan -1  cos t  1
2. sin (t + 2) = sin t dan cos (t + 2) = cos t
3. sin (- t) = - sin t dan cos (- t) = cos t




 t  = cos t dan cos   t  = sin t
2 
2 
4. sin 
5. sin2 t + cos2 t = 1
2015
22
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
Sifat-sifat dasar sinus dan kosinus memberikan sifat-sifat fungsi trigonometri lainnya, yaitu :
1. tan (- t) = - tan t
2. 1 + tan2 t = sec2 t dan 1 + cotan2 t = cosec2 t
Adapun grafik fungsi trigonometri diperlihatkan pada gambar 5.6 berikut :
y
y
x
x
(a).Grafik fungsi sinus
(b). Grafik fungsi kosinus
Gambar 5.6
y
x
(c). Grafik fungsi tangen
2015
23
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
SOAL-SOAL LATIHAN
I.
Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi yang diberikan berikut :
1. f(x) =
x
2. h(x) =
1 x
3. g(x) =
1
x
4. s(x) =
5. t(x) =
II.
2x
1 x
x 2  2x
Tentukan hasil operasi f + g, f – g, f . g, f / g, dan g / f beserta domain dari fungsi yang
diberikan berikut ini.
1. f(x) =
1 x
1 x
dan g(x) =
1 x
x
2. f(x) = x dan g(x) =
3. f(x) =
4. f(x) =
5. f(x) =
x 1
x dan g(x) =
x 1
1
1
dan g(x) =
x2
x 1
x  1 dan g(x) =
9  x2 .
III. Tentukan fog dan gof dari fungsi-fungsi:
1.
f(x) = 4x – x2 dan g(x) =
2.
f(x) =
1
dan g(x) =
x
x
x
3.
f(x) = 1 – x2 dan g(x) = 1 + 2x
4.
f(x) =
5.
f(x) =
1  x dan g(x) = 1  x
2x
dan g(x) = 1- x2.
1 x
V. Tentukan invers fungsi-fungsi berikut & gambarkan grafik f(x) dan f -1(x) !
1. f(x) = 3x – 2
2. f(x) = -3(x+5)
2015
24
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
3. f(x) = 4 – x3
4. f(x) = (7 – x)5
5. f(x) =
6. f(x) =
x4
x4
 2x 3  3
x3  8
VI. Gambarkan grafik fungsi berikut.
x2  2
1. f(x) =
2. f(x) =
x
x 1
2
VII. Tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya jika :
1. sin  = 3/5 ; /2 <  < 
2. cos  = -4/5 ;
 <  < 3/2
3. tan  = - 2 ;3/2 <  < 2
4. cot  = 4/ 6 ;
5. sec  = -6
 <  < 3/2
; /2 <  < 
6. csc  = 5/4 ;
0 <  < /2
Daftar Pustaka :
1.
2.
3.
4.
2015
Frank. Ayres J.R.,Kalkulus Diferensial dan Integral, Erlangga, Jakarta, 2004.
Purcell,Edwin J., Kalkulus jilid I, Erlangga, Jakarta, 2003
Stroud, K.A.,Matematika Teknik, Jilid I, Erlangga, jakarta, 2003
Yusuf Yahya, D.Suryadi H.S., Agus Sumin, Matematika dasar Untuk Perguruan
Tinggi, Ghalia Indonesia, 2004
25
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
2015
26
Matematika I
Handaru Tampiko, Ir, MSc
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id