5 Faktorisasi Tunggal

1
BAB III
FAKTORISASI TUNGGAL
1.
Pokok Bahasan dan Subpokok Bahasan
Pokok Bahasan
: Faktorisasi Tunggal
Sub Pokok Bahasan : a. Keprimaan
b. Teorema Utama Aritmatika
c. Identitas B´ezout’s
Alokasi Waktu
: 1 × 3 × 50 menit (1 × 3sks)
2. Capaian Pembelajaran (Learning Outcomes)
Mahasiswa menguasai materi, struktur, konsep, dan pola pikir keilmuan
Matematika tentang keprimaan, teorema Utama Aritmatika, dan identitas
B´ezout’s
.
3. Indikator
Mahasiswa mampu
- membedakan bilangan prima dan bilangan komposit,
- membuktikan teorema utama aritmatika dan menggunakannya dalam
menyelesaikan berbagai permasalahan faktorisasi bilangan bulat.
- membuktikan identitas B’ezout’s dan menggunakan dalam menyelesaikan
berbagai permasalahan kombinasi linier bilangan bulat,
S
ifat sangat populer pada pembahasan teori bilangan adalah faktorisasi
kanonoik. Setiap bilangan bulat positif selalu dapat disajikan secara tunggal
dalam bentuk faktorisasi kanonik , yaitu perkalian dari bi langan-bilangan prima.
Penyajian
seperti
ini
memberikan
kemudahan
untuk
menemukan
faktor
persekutuan terbesar dari dua atau lebih bilangan bulat takno l, begitu juga
kelipatan persekutuan terkecilnya.
A.
Keprimaan
Kajian
dan
pengembangan
sifat-sifat
bilangan
primaSeperti
yang sudah
disebutkan sebelumnya, bilangan bulat p > 1 dikatakan prima (prime) atau
bilangan prima (prime number) jika tidak ada bilangan bulat d dengan d > 1
dan d ≠ p sehingga d | p. Jadi, jika p bilangan prima dan 1 < d < p maka d∤p.
-1-
2
Setiap bilangan bulat n > 1 selalu memiliki faktor prima. Jika n adalah prima,
maka faktor primanya adalah
n sendiri. Jika n tidak prima, maka n memiliki
faktor prima terkecil a > 1. Sehingga n = ab, dimana 1 < a ≤ b. Jika a tidak
prima, maka a = a 1 a 2 dengan 1 < a 1 ≤ a 2 < a dan a 1 | n, kontradiksi dengan
keminimalan a.
Bilangan bulat positif selain 1 dan prima merupakan bilangan komposit.
Semua bilangan genap yang lebih dari 2 merupakan bilangan komposit. Jadi
bilangan 2 satu-satunya bilangan prima yang genap. Bilangan prima selain 2
merupakan bilangan ganjil.
Contoh
(1) Himpunan bilangan bulat positif terpartisi atas himpunan 1, himpunan
bilangan prima, dan himpunan bilangan komposit, yaitu
{1}, {2, 3, 5, 7, 11. 13, 17, }, {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, }
(2) Bilangan 31 adalah prima sebab faktor positifnya hanya 1 dan 31, atau
tidak ada faktor di antara 1 dan 31.
(3) Bilangan 34 adalah bukan prima atau komposit, sebab memiliki faktor
antara 1 dan 34, yaitu 17.
Dua
bilangan
prima
yang
merupakan
bilangan
ganjil
berdekatan
(consecutive) dikatakan prima kembar (twin primes), seperti: 3 dan 5, 5 dan 7,
41 dan 43. Sampai saat ini masih dipertanyakan, apakah terdapat sejumlah
takhingga bilangan prima kembar?
Sebelum dilanjutkan pada pembahasan sifat -sifat bilangan prima, kita perlu
mengkaji secara sekilas sejarah tentang bilangan prima. Berikut beberapa catatan
penting tentang sejarah bilangan prima:
(1)
Sekitar abad 4 S.M, Euclides mengembangkan konsep dasar teori
bilangan. Salah satu karyanya yang terkenal adalah, ia berhasil
membuktikan bahwa banyaknya bilangan prima adalah takhingga.
(2)
Pada abad 3 S.M, Erastosthenes membuat daftar bilangan prima, yang
disebut saringan Erastosthenes (the Sieve of Erastosthenes). Dia
menyaring bilangan prima dari 1 sampai 100, den gan cara:
1. Mencoret bilangan 1 dari daftar,
3
2. melingkari bilangan 2, dan mencoret seluruh kelipatannya,
3. melingkari bilangan 3, dan mencoret seluruh kelipatannya,
4. melingkari bilangan 5, dan mencoret seluruh kelipatannya,
5. melingkari bilangan 7, dan mencoret sel uruh kelipatannya,
6. dan seterusnya hingga semua bilangan sudah tercoret atau
terlingkari.
7. akirnya semua bilangan yang terlingkari adalah bilangan prima,
yaitu:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89, dan 97.
Saringan Erastosthenes tidak dapat menguji langsung apakah suatu
bilangan bulat tertentu prima atau bukan prima. Sehingga muncul
beberapa rumusan untuk menunjukkan bilangan prima.
(3)
f(n) = n 2  n + 41 adalah prima untuk bilangan asli n 
f(41) = 41 2 = 4141, jelas bukan prima karena memiliki faktor 41.
(4)
f(n) = n 2  79n + 1601 adalah prima untuk bilangan asli n 
f(81) = 81 2  7981 + 1601 = 1763 = 4143, jelas bukan prima karena
memiliki faktor 41.
(5)
𝑛
f(n) = 22 + 1 adalah bilangan prima untuk n= 1, 2, 3, dan 4, yang
masing-masing memberikan nilai-nilai prima, yaitu 5, 17, 257, dan
65537. Tetapi untuk n = 5 adalah bukan bilangan prima, dimana
f(5) = 4294967297 = 6700417641.
Sifat-sifat keprimaan
(a) Jika n bilangan komposit, maka ada bilangan prima p sehingga p∣n.
(b) Banyaknya bilangan prima adalah takhingga.
(c) Untuk setiap bilangan asli n memiliki prima terbesar p (untuk
mendapatkan daftar bilangan prima sampai n) sehingga p  √𝑛
4
Teorema 3.1
Misalkan a dan b dua bilangan bulat relatif prima. Jika c adalah suatu bilangan
bulat sehingga a | c dan b | c, maka ab | c.
Bukti
Karena a | c, maka c = ax untuk suatu bilangan bulat x. Karenanya b membagi ax.
Karena (a, b) = 1, maka b | x. Karena itu berlaku x = by untuk suatu bilangan
bulat y, sehingga c = aby. Jadi, ab | c.
(QED).
Teorema 3.2 (Euclid’s lemma)
Jika p prima dan p∣ab, maka p∣a atau p∣b.
Akibat 3.3
Jika
p
bilangan
prima
dan
k
adalah
bilangan
bulat
dengan
1 ≤ k < p, maka
𝑝
p∣( ),
𝑘
𝑝
dimana ( ) adalah kombinasi k dari p.
𝑘
Bukti
Karena 1 ≤ k < p, maka (p, k) = 1 dan
𝑝
k( )
𝑘
=k
=k
=
𝑝!
𝑘!(𝑝−𝑘)!
𝑝(𝑝−1)!
𝑘(𝑘−1)!(𝑝−𝑘)!
𝑝(𝑝−1)!
(𝑘−1)!((𝑝−1)−(𝑘−1))!
𝑝−1
= p(
).
𝑘−1
𝑝
𝑝
Karena itu p∣k ( ). Akibatnya, karena (p, k) = 1 maka terbukti bahwa p∣( ).
𝑘
𝑘
(QED).
5
B.
Teorema Utama Aritmatika
Hasil
fundamental dalam ilmu hitung (aritmatika ) atau dalam teori bilangan
adalah faktorisasi prima dari bilangan bulat. Bentuk pemfaktoran ini bersifat
tunggal. Sifat ini dikenal dengan nama teorema utama aritmatika.
Teorema 3.4 (The Fundamental Theorem of Arithmetic)
Setiap bilangan bulat n yang lebih dari 1 mempunyai penyajian tunggal sebagai
hasilkali dari bilangan-bilangan prima.
Bukti
Pertama akan dibuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif
n > 1 dapat
disajikan sebagai hasilkali bilangan-bilangan prima. Jika d adalah pembagi dari
n, maka 1 < d ≤ n. Jika n bilangan prima, maka n = d dan teorema terbukti. Pada
sisi lain andaikan
n bilangan komposit, maka memiliki faktor terkecil
d 1 > 1. Tetapi, kita tahu bahwa faktor taktrivial terkecil dari setiap bilangan bulat
adalah bilangan prima. Karenanya, d 1 adalah bilangan prima dan terdapat
bilangan bulat positif n 1 yang memenuhi
n = d 1n 1.
Dengan cara serupa, bilangan bulat positif n 1 memiliki faktor taktrivial terkecil
d 2 yang prima. Karena itu, terdapat bilangan bulat positif n 2 , sehingga
n = d 1d 2n 2.
Jika proses yang serupa dilanjutkan, maka akan terhenti ketika n r adalah prima.
Sehingga diperoleh penyajian n sebagai hasilkali bilangan-bilangan prima, yaitu
n = d 1 d 2 …d r .
Dari penyajian di atas, kemungkinan terdapat beberapa prima yang sama. Karena
itu dalam bentuk prima-prima berbeda, penyajian n berupa hasilkali ari pangkatpangkat dari prima berbeda, yakni,
n = p 1 a1 p 2 a2 · · · p k ak ,
diman k  ℕ.
Bentuk penyajian di atas disebut bentuk kanonik (canonical) atau bentuk
standar (standard) dari n.
Selanjutnya akan ditunjukkan ketuggalan dari bentuk kanonik ini. Misalkan
penyajian bentuk kanonik dari n ada dua cara, yaitu
6
n = p 1 a1 p 2 a2 · · · p s as = q 1 b1 q 2 b2 · · · q r br
dimana r, s  ℕ.
Maka menurut teorema Euclid, diperoleh
p i | p 1 a1 p 2 a2 · · · p s as
yang mengakibatkan
p i | q 1 b1 q 2 b2 · · · q r br
dan karena itu, untuk setiap i,dengan 1 < i < s, terdapat suatu j, dengan 1 < j < r
dimana p i | q j dan p i = q j .Jadi, itu jelas bahwa r = s dan himpunan
{p 1 , p 2 , . . . , p s }, {q 1 , q 2 , . . . , q r }
adalah identik.
Karenanya, itu cukup untuk membuktikan
a i = b i,
untuk setiap i,dimana i = 1, 2, . . . , s = r. Sekarang andaikan a i > b i . Maka
terdapat
p 1 a1 p 2 a2 … p i ai … p s as
= q 1 b1 q 2 b2 …q i bi …· q s bs
= p 1 b1 p 2 b2 …p i bi …· p s bs .
Sehingga
p 1 a1 p 2 a2 … p i ai-bi … p s as
= p 1 b1 p 2 b2 …p i-1 bi-1 p i+1 bi+1 …· p s bs .
Tetapi, a i − b i ≥ 1 dan diperoleh
p i | p 1 a1 p 2 a2 … p s as dan p i ∤ p 1 b1 p 2 b2 … p s bs
adalah kontradiksi.
Dengan cara serupa, akan terjadi pula suatu yang kontradiksi untuk kasus
ai < bi. Karena itu, ai = bi untuk setiap i = 1, 2, . . . , k. Ini melengkapi
pembuktian teorema.
Contoh
Berikut penyajian faktorisasi kanonik dari beberapa bilangan bulat positif:
1)
6 = 2  3;
2)
24 = 2 3  3;
3)
120 = 2 3  3 5;
7
7000 = 2 3  5 3  7.
4)
Untuk mendapatkan penyajian bentuk kanonik sebuah bilangan bulat positif,
dapat dilakukan dengan cara-cara seperti berikut:
Misalkan bilangan 7000 akan ditentukan bentuk kanoniknya.
Cara 1 (Pemfaktoran biasa)
7000 = 23500 = 2(21750) = 2(2(2875)) = 2(2(25175)))
= 2(2(25535)))) = 2(2(2557))))) = 2 3 5 3 7.
7000 = 7  1000 = 7  10 3 = 7  (25) 3 = 2 3 5 3  7.
Cara 2 (Proses pembagian panjang)
2
7000
2
3500
2
1750
5
875
5
175
5
35
7
Sehingga diperoleh bentuk faktorisasi kanonik
7000 = 2225557 = 2 3 5 3  7.
Cara 2 (Diagram pohon)
7000
2
7000
atau
3500
2
7
10
1750
2
1000
2
875
5
35
5
5
2
175
5
100
7
10
10
5
2
5
8
Untuk mendapatkan bentuk faktorisasi kanonik dari 7000, kalikan semua
bilangan yang ada pada ujung-ujung ranting pohon.
7000 = 2225557 = 2 3 5 3  7, atau
7000 = 5252527 = 2 3 5 3  7.
Akibat 3.5
Misalkan a dand b adalah bilangan bulat. Jika suatu prima p membagi ab, maka p
membagi a atau p membagi b.
Bukti
Karena p membagi ab, p harus berada dalam penyajian bentuk kanonik dari ab.
Faktorisasi-faktorisasi kanonik dari a, b, dan ab adalah tunggal, dan faktorisasi
kanonik dari ab adalah hasilkali faktorisasi kanonik dari a dan b. Jadi p harus
berada pada sekurang-kurangnya satu dari bentuk kanonik a dan b, itu
mengakibatkan p∣a atau p∣b.
Pada awal meletakkan konsep tentang teori bilangan, sekitar 4 abad SM, Euclid
telah membuktikan bahwa banyaknnya bilangan prima adalah takhingga.
Teorema 3.6
Jika bilangan bulat positif n adalah komposit, maka n mempunyai suatu faktor
prima p sehingga p  √𝑛 .
Contoh
(1) Misalkan n = 30. Karena 5 = √25 < √30 < √36 = 6, kita harus mencoret
(mengeluarkan) dari daftar bilangan 1 sampai 30 semua kelipatan 2, 3, dan 5:
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30.
Sehingga urutan semua bilangan prima  30 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
23, dan 29.
9
(2) Karena 9 = √81 < √100 , maka untuk mendapatkan urutan bilangan prima dari
1 sampai 100 dilakukan pencoretan semua kelipatan dari 2, 3, 5, dan 7.
Teorema 3.7
Jika bilangan bulat positif a dan b memiliki bentuk faktorisasi kanonik berikut
a
= 𝑝1 𝑥1 𝑝2 𝑥2 𝑝𝑘 𝑥𝑘 
b
= 𝑝1 𝑦1 𝑝2 𝑦2 𝑝𝑘 𝑦𝑘 
maka
(a, b) = 𝑝1 𝑛1 𝑝2 𝑛2 𝑝𝑘 𝑛𝑘 
[a, b] = 𝑝1 𝑚1 𝑝2 𝑚2 𝑝𝑘 𝑚𝑘 
dimana n i = min{x i , y i } dan m i = maks{x i , y i }.
Contoh
(1) Tentukan FPB dan KPK dari 1750 dan 2100.
Penyelesaian:
Akan dicari FPB dan KPK menggunakan teorema 3.6 dengan diawali
mentukan bentuk faktorisasi kanonik dari 1750 dan 2100.
1750 = 35510 = 57525 = 2 1 3 0 5 3 7 1 .
2100 = 37100 = 3725) 2 = 2 2 3 1 5 2 7 1 .
Sehingga diperoleh
(1050, 2100) = 2 1 3 0 5 2 7 1 = 350.
2
1
3
1
[ 1050, 2100] = 2 3 5 7 = 10500.
(2) Jika bilangan bulat a dan b memiliki bentuk faktorisasi kanonik berikut
a = 2 3 5 2 11 3 dan b = 3 2 7 3 11 2 ,
maka
(a, b) = 2 0 3 0 5 0 7 0 11 2 = 121
dan
[a, b] = 2 3 3 2 5 2 7 3 11 3 = 89253431331 = 821759400.
10
Definisi 3.9 (fully divides)
Misalkan p bilangan prima. Bilangan
pk
dikatakan membagi penuh (fully
divides) n dan ditulis p k ‖n jika k bilangan bulat positif terbesar sehingga p k |n.
Contoh
1) 5000 = 2 3 5 4 , maka 5 4 ‖5000.
2) 24 = 2 3 3, maka 2 3 ‖24.
3) 36 = 2 2 3 2 , maka 2 2 ‖36 dan 3 2 ‖36.
C.
Identitas B´ezout
Teorema 3.8 (B  ezout)
Untuk setiap bilangan bulat positif a dan b, terdapat bilangan bulat x dan y
sehingga ax + by = (a, b).
Bukti
Menggunakan algoritma Euclid berlaku
r 1 = a  bq 1 , r2 = aq 2 + b(1 + q 1 q 2 ), 
Secara umum ri = ax i  by i , untuk i = 1, , k. Karena r i+1 = r i1  ri q i+1 , maka itu
jelas bahwa
x i+1 = x i1  q i+1 x i ,
y i+1 = y i1  q i+1 y i ,
untuk i = 1, , k  1. Akhirnya, diperoleh (a, b) = r k = x k a + y k b.
Teorema 3.9 (Bezouts identity)
Persamaan linier ax + by = c memiliki penyelesaian bilangan bulat, jika
(a, b)∣c.
Identitas Bezout ini sangat berguna dalam menyelesaikan persama n linier
Diophantus, yang akan dibahas pada bab berikutnya.
11
Latihan
1. Tentukan semua bilangan prima berbentuk n 3  1, untuk bilangan bulat
n > 1.
2. Temukan semua bilangan bulat positif n sehingga 3n − 4, 4n − 5, dan
5n – 3 adalah bilangan-bilangan prima.
3. Tunjukkan, satu-satunya bilangan prima yang berbentuk n 3 – 1 adalah 7.
4. Jika p dan q adalah bilangan-bilangan prima dan
x 2 − px + q = 0
mempunyai akar-akar bilangan bulat positif berbeda, Temukan p dan q.
5. Temukan 20 bilangan berdekatan yang komposit.
6. Misalkan r adalah sisa ketika 1059, 1417 dan 2312 dibagi oleh b > 1.
Tentukan nilai dari b  r.
7. Sajikan bilangan bulat berikut dalam bentuk faktorisasi kanonik.
a) 17,
b) 144,
c) 1000,
d) 49000
8. Carilah (a, b) dan [a, b], jika diberikan:
(a) a = 32 dan b = 54,
(b) a = 1100 dan b = 3000,
(c) a = 1001 dan b = 4045,
9. Hitunglah:
a. [235, 71113],
b. [2 2 3 4 5 3 , 2 3 35 2 ]
c. [2 2 3 4 7 3 , 2 3 5 2 7 2 ]
10. Carilah (a, b, c) dan [a, b, c], jika diberikan:
(a) a = 12, b = 18, dan c = 24,
(b) a = 60, b = 115, dan c = 105,
(c) a = 110, b = 300, dan c = 240,
11. Carilah banyak faktor positif dari bilangan bulat n.
12. Carilah banyak faktor positif dari bilangan bulat n berikut:
(a) n = 1000000,
(b) n = 196000,
13. Jika p suatu bilangan prima, buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional r
sehingga r2 = p..
14. Buktikan! Jika a∣bc dan (a, b) = 1, maka a∣c.
15. Misalkan a dan b adalah bilangan relatif prima. Buktikan! Jika c suatu bilangan
12
bulat yang memenuhi a∣c dan b∣c, maka ab∣c.
𝑛
16. Diambil n adalah suatu bilangan bulat positif. Buktikan bahwa 32 + 1 dapat
dibagi oleh 2, tetapi tidak dapat dibagi oleh 4.
17. Tentukan n sedemikian sehingga 2 n ‖3 1024  1.