II. KONSEP DASAR PELUANG
Teori Peluang memberikan cara pengukuran kuantitatif tentang kemungkinan munculnya
suatu kejadian tertentu dalam suatu percobaan/peristiwa. Untuk dapat menghitung peluang
lebih dahulu akan dibahas tentang ruangcontoh dan kejadian.
2.1. Ruang contoh dan kejadian
Misalkan suatu percobaan yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan pasti, akan tetapi
himpunan semua kemungkinan yang akan muncul diketahui. Himpunan semua kemungkinan
yang muncul dari suatu percobaan dikenal dengan ruang contoh dan dinotasikan .
Teladan
1. Misalkan suatu percobaan tentang pelemparan sekeping dadu yang setimbang.
Himpunan semua kemungkinan yang muncul dari percobaan ini adalah:
.
2. Suatu percobaan sekeping mata uang dilempar dua kali. Ruang contoh percobaan ini
adalah:
.
3. Misalkan 7 ekor kuda mengikuti lomba pacuan yang diberi nomor 1,2,...7.
Percobaannya adalah mengamati nomor kuda mencapai garis akhir lomba, maka ruang
contohnya adalah:
4. Suatu percobaan pelemparan dua dadu, warna merah dan biru, maka ruang contoh
terdiri dari 36 titik :
menunjukkan pada dadu merah muncul sisi- dan dadu biru muncul sisi- .
5. Misalkan suatu percobaan mengamati umur aki mobil (dalam jam), maka ruang contoh
percobaan ini adalah:
Setiap bagian dari ruang contoh disebut dengan kejadian. Suatu kejadian merupakan sebuah
himpunan yang kemungkinan muncul dari suatu percobaan.
Dilihat dari cara penghitungannya, himpunan dapat dibedakan menjadi dua yaitu :
1.
DISKRIT (Countable) / Dapat dihitung
a.
Terhingga (finite)
Contoh : Banyaknya pohon di hutan
b.
Tak terhingga (Infinite)
Contoh : Banyaknya bilangan bulat positif.
Contoh penulisan himpunan diskrit :
A = { 1, 2, 3, …, 10 } = {x; x bilangan bulat 1 ≤ x ≤ 10 }
2.
KONTINU (Uncountable) / Tak hingga
Contoh : Banyaknya bilangan antara 0 dan 1
1
Contoh penulisan himpunan kontinu: B = {x; x himpunan bilangan 0 ≤ x ≤ 1 }
Teladan
6. Perhatikan pada teladan 1,
maka merupakan kejadian munculnya sisi
genap dari percobaan tersebut. Demikian juga bila
, maka
merupakan
kejadian munculnya sisi kelipatan 3 dari percobaan tersebut.
7. Pada teladan 2, misalkan
munculnya koin pertama selalu sisi
, maka
merupakan kejadian
.
8. Pada teladan 5, misalkan
kejadian dengan jumlah sisi bernilai 6.
, yaitu merupakan
Untuk dua kejadian dan dari suatu ruang contoh , didefinisikan kejadian baru
yang terdiri dari semua anggota di atau atau keduanya dalam dan . Kejadian
disebut dengan gabungan kejadian dan .
,
Teladan
9. Perhatikan pada teladan 1,
dan
, maka
.
10. Pada teladan 2, misalkan
dan
maka
Dari dua kejadian dan dari suatu ruang contoh dapat juga dibentuk kejadian baru
yang merupakan irisan dari dan . Anggota pada
ada di dalam dan .
Teladan
11. Perhatikan pada teladan 1,
dan
12. Pada teladan 2, misalkan
Pada dua kejadian
terpisah.
dan
, maka
dan
dengan
.
maka
.
, kedua kejadian ini disebut sebagai kejadian
Pada gabungan dan irisan dua kejadian
dan , dapat juga digeneralisasi untuk banyak
kejadian. Misalkan
merupakan kejadian pada ruang contoh , maka gabungan
kejadian-kejadian tersebut dinotasikan dengan
yang beranggotakan semua titik dalam
untuk sedikitnya satu nilai
Demikian juga irisan kejadian-kejadian
tersebut
, yang beranggotan semua titik yang ada dalam semua untuk
Untuk kejadian dapat juga didefinisikan kejadian baru
yang merupakan komplemen
kejadian , yang beranggotakan semua titik dalam ruang contoh yang tidak terdapat dalam
.
Teladan
13. Perhatikan pada teladan 1,
yang muncul bernilai ganjil
14. Pada teladan 2, misalkan
sisi pertama yang muncul adalah
, maka
, maka
, yaitu sisi dadu
, yaitu
.
2
Pada dua kejadian
dan , bila semua titik
berada di
dari dan dinotasikan dengan
atau ekivalen dengan
kejadian dan adalah sama dan ditulis dengan
.
, maka dikatakan
. Jika
dan
bagian
maka
Penyajian secara grafis dari hubungan antara kejadian dapat menggunakan diagram Venn
seperti pada aljabar himpunan. Ruang contoh digambarkan sebagai semua titik dalam
persegi-panjang, dan kejadian ,
digambarkan sebagai semua titik dalam lingkaran di
dalam persegi-panjang. Kejadian-kejadian yang menjadi perhatian dapat ditandai dengan
arsiran pada daerah tertentu. Diagram Venn pada Gambar, daerah yang diwarnai berturutturut menunjukkan
,
,
,
, dan
(a)
(d)
(b)
(c)
(e)
Gambar Diagram Venn
Hubungan yang sangat berguna antara gabungan, irisan, dan komplemen dikenal dengan
hukum DeMorgan, yaitu:
Operasi gabungan, irisan, dan komplemen pada kejadian sama dengan aturan pada aljabar
himpunan. Beberapa aturannya adalah:
a. Komutatif :
b. Asosiatif :
c. Distribusi :
;
;
;
3
PELUANG
(Aljabar Kejadian)
HIMPUNAN
Tindakan (Trial)/
Eksperimen
Unsur (Element)
Unit Pengamatan
x
Peristiwa (Outcome)
Himpunan (Set) /
Gabungan dari Unsur
A
Kejadian (Event)
Himpunan Semesta
(Universum)
Himpunan meliputi semua
unsur yang diperhatikan
“Ada Pembatasan”
S
Ruang Contoh
(Sample Space)
Himpunan hasil yang
mungkin dari percobaan
Himpunan Kosong
(Empty Set)
Himpunan yang tidak ada
anggotanya
Kejadian Mustahil
(Impossible Event)
2.2. Cara Menghitung Ruang Contoh dan Ruang Kejadian
Beberapa cara yang dapat digunakan untuk mencacah dan menghitung banyaknya anggota
ruang contoh dan kejadian adalah :
2.2.1. Kaidah Penggandaan
Bila suatu percobaan menghasilkan kemungkinan hasil dan bila percobaan kedua dapat
menghasilkan kemungkinan hasil, maka kedua percobaan tersebut menghasilkan
kemungkinan hasil.
Prinsip dasar mencacah
Misalkan dilakukan dua percobaan. Bila percobaan ke-1 menghasilkan kemungkinan hasil
dan bila untuk setiap hasil dari percobaan ke-1 terdapat kemungkinan hasil dari percobaan
ke-2, maka secara bersama-sama terdapat
kemungkinan hasil dari kedua percobaan
tersebut.
Prinsip dasar mencacah secara umum
Misalkan dilakukan percobaan. Bila percobaan ke- menghasilkan kemungkinan hasil
dan bila untuk setiap hasil dari percobaan ke- erdapat
kemungkinan hasil dari percobaan
ke- , dan seterusnya bila untuk setiap hasil dari percobaan keterdapat
kemungkinan hasil dari percobaan ke- , maka secara bersama-sama terdapat
kemungkinan hasil dari percobaan tersebut.
Prinsip perhitungan banyaknya cara pada percobaan ini didasarkan atas penggandaan dari
banyaknya cara dari masing-masing tahap maka prinsip ini disebut Hukum Penggandaan.
4
Teladan
15. Suatu panitia beranggotakan 4 orang akan dibentuk untuk kegiatan peringatan hari
kemerdekaan Republik Indonesia di kampus. Calon yang dipilih terdiri dari: 3 orang
mahasiswa tingkat-1, 4 orang tingkat-2 , 3 orang tingkat-3, dan 5 orang tingkat akhir.
Setiap tingkat diwakili satu orang. Berapa kemungkinan hasil yang berbeda dalam
membentuk panitia tersebut ?
Solusi: Banyaknya kemungkinan memilih mahasiswa tingkat-1 sebanyak 3, tingkat-2
sebanyak 4, tingkat-3 sebanyak 3, dan tingkat-4 sebanyak 5. Maka banyaknya
kemungkinan panitia adalah :
16. Berapa banyaknya kemungkinan yang berbeda dari nomor plat kendaraan terdiri atas
7 digit, dengan 3 digit pertama merupakan huruf dan sisanya angka?
Solusi: Banyaknya kemungkinan nomor plat kendaraan dihitung dengan prinsip
penggandaan yatu
2.2.2. Permutasi
Berapa banyak susunan yang berbeda dapat dibentuk dari huruf A, B, dan C ? Semua
kemungkinan susunannya adalah: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Jumlah susunan
yang berbeda sebanyak 6. Susunan ini disebut dengan permutasi. Hasil ini dapat juga
diperoleh dengan menggunakan prinsip penggandaan, yaitu obyek pertama dari permutasi
ada 3 kemungkinan, obyek kedua dapat dipilih dari sisanya yaitu 2, dan obyek ketiga dari
permutasi diperoleh dari sisanya yaitu 1. Sehingga terdapat
permutasi.
Misalkan ada
obyek yang berbeda, maka banyaknya permutasi adalah:
Bila dari huruf A, B, dan C dipilih dua secara acak dan diperhatikan susunannya.
Kemungkinan susunannya adalah: AB, AC, BC, BA, CB, CA. Jumlah susunan yang berbeda
permutasi.
Secara umum bila terdapat obyek yang berbeda dan diambil secara acak
banyaknya permutasi adalah:
obyek, maka
Teladan
17. Seseorang mempunyai 10 buku berbeda yang terdiri atas matematika, kimia,
biologi, dan kamus. Buku-buku tersebut akan disusun sesuai kelompoknya. Berapa
banyaknya kemungkinan susunan berbeda ?
Solusi : banyaknya susunan buku matematika , kimia , biologi , dan kamus .
Sehingga banyaknya permutasi dengan kelompok matematika, diikuti kimia, biologi,
dan kamus ada sebanyak
. Sedangkan banyaknya permutasi
kelompok buku sebanyak
. Sehingga banyaknya susunan
keseluruhan adalah
18. Suatu panitia yang terdiri dari 3 orang dengan rincian seorang sebagai ketua, seorang
sebagai sekretaris, dan seorang sebagai bendahara akan dipilih dari 6 orang kandidat
dengan ketentuan jabatan tidak boleh dirangkap. Berapa banyaknya kemungkinan
susunan panitia berbeda yang dapat dibentuk ?
5
Solusi: Banyaknya kemungkinan memilih ketua sebanyak 6, memilih sekretaris
sebanyak 5, dan memilih bendahara sebanyak 4 kemungkinan. Maka banyaknya
kemungkinan memilih panitia adalah:
kemungkinan
19. Berapa banyaknya susunan yang dapat dibentuk dari kata
?
Solusi: Banyaknya permutasi
ada sebanyak , bila 3
berbeda. perhatikan untuk susunan
, antar huruf
dipermutasikan, akan dihasilkan susunan:
semuanya merupakan susunan
, yaitu sebanyak
banyaknya susunan
susunan yang berbeda dari
dan 2
dan
permutasi. maka
.
Secara umum permutasi dari obyek yang terdiri dari jenis yang berbeda, dengan
obyek jenis- ,
obyek jenis ke- , dan
obyek jenis- adalah:
Teladan
20. Misalkan terdapat 3 orang, katakanlah namanya A, B, dan C. Mereka akan duduk
mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa banyaknya kemungkinan susunan ?
Solusi : Permutasi melingkar hanya mempertimbangkan perbedaan posisi relatif suatu
obyek yang berada di samping kiri dan kanannya. Perhatikan ketiga gambar di
bawah ini:
Ketiga gambar memiliki posisi relatif yang sama, walaupun secara sekilas tampak
seperti susunan yang berbeda.
Banyaknya kemungkinan susunan duduk dari A, B, dan C adalah 2, yaitu :
Secara umum bila ada
susunannya adalah
obyek yang berbeda disusun dalam melingkar, maka banyaknya
6
2.2.3. Kombinasi
Pada permutasi susunan/urutan benda diperhatikan. Kita sering tertarik hanya dalam
penentuan banyaknya grup yang beranggotakan obyek yang dapat dibentuk dari obyek.
Sebagai contoh, berapa banyaknya grup beranggota 3 yang dipilih dari 5 obyek A, B, C, D,
dan E? Untuk menjawabnya perhatikan uraian ini, karena ada 5 cara memilih obyek yang
pertama, berikutnya ada 4 cara, dan 3 cara untuk memilih obyek ketiga. Sehingga ada
kemungkinan susunan. Akan tetapi, perhatikan pada setiap grup tersebut, misalkan
obyek yang terpilih A, B, C, dihitung 6 kali (yaitu semua permutasi: ABC, ACB, BAC, BCA,
CAB, CBA). Sehingga banyaknya grup yang terbantuk adalah
Pemilihan obyek tanpa memperhatikan urutan disebut kombinasi.
Secara umum bila ada obyek yang berbeda, kemudian dipilih secara acak grup obyek,
maka banyaknya susunan
. Setiap grup akan
dihitung
. Sehingga banyaknya grup obyek yang dapat dibentuk dari
obyek yang
berbeda adalah:
Notasi untuk kombinasi adalah
untuk
banyaknya kemungkinan memilih grup beranggota
dari
. Sehingga
menyatakan
obyek yang berbeda.
Teladan
21. Suatu panitia yang terdiri atas 3 orang tanpa diperhatikan jabatannya, dipilih dari 20
orang. Berapa kemungkinan cara memilih panitia tersebut ?
Solusi: Banyaknya cara memilih 3 orang dari 20 orang tanpa memperhatikan
susunanya adalah:
kemungkinan.
22. Suatu tim dipilih dari 5 wanita dan 7 laki-laki. Berapa banyaknya cara memilih tim
yang terdiri dari 2 wanita dan 3 laki-laki, bila ada 2 orang laki-laki yang menolak
berada dalam satu grup ?
Solusi : Banyaknya memilih 2 wanita dar 5 wanita adalah
laki dari 7 laki-laki sebanyak
, dan memilih 3 laki-
, sehingga banyaknya cara memilih tim adalah
kemungkinan.
Perhatikan batasan bahwa 2 orang laki-laki menolak dalam satu tim. Cara memilihnya
ada 2 kemungkinan yaitu:
a. Dua orang laki-laki yang menolak, keduanya tidak dipilih dalam tim,
banyaknya kemungkinan:
b. Dari 2 orang laki-laki yang menolak dipilih satu orang dalam tim, banyaknya
kemungkinan:
7
Sehingga banyaknya cara memilih laki-laki dengan persyaratan tersebut sebanyak
, dan banyaknya cara memilih tim sebanyak
kemungkinan.
23. Misalkan dalam satu kotak antena televisi, terdapat
rusak dan siasanya
yang berfungsi dengan baik dan diasumsikan semua yang rusak dan yang berfungsi
tidak dapat dibedakan. Berapa banyaknya susunan linier yang dapat dibentuk dengan
ketentuan tidak ada 2 antena rusak berturutan letaknya.
Solusi : Bayangkan ada
yang berfungsi dengan baik diletakkan dalam satu
baris. Bila tidak boleh ada 2 antena rusak yang terletak bersebelahan, maka pada
setiap ruang antara antena yang berfungsi baik hanya dapat diletakkan satu antena
rusak. Ruang yang mungkin meletakkan antena rusak sebanyak
posisi, dan
dipilih
untuk menempatkan antena yang rusak (perhatikan Gambar...). Maka
banyaknya kemungkinan susunan linier dengan ketentuan tidak ada 2 antena rusak
berturutan letaknya sebanyak:
Identitas kombinasi yang sangat berguna adalah:
dengan
.
Pembuktian analitik sebagai berikut: perhatikan anggota grup dengan r obyek. Pada grup
yang terbentuk ada yang beranggotakan obyek ke-1, dan ada yang tidak beranggota obyek ke1. Cara memilih grup dengan anggota
grup dengan anggota
Nilai
yang mengandung obyek ke-1 sebanyak
yang tidak mengandung obyek ke-1 sebanyak
dan
.
disebut dengan koefisien binomial yang sangat terkenal dalam teorema binomial.
Teorema binomial :
2.2.4. Koefisien Multinomial
Misalkan dari obyek yang berbeda dibagi dalam grup dengan anggota masing-masing
grup adalah
,
, ...,
dengan
. Berapa banyaknya kemungkinan
membaginya? Untuk menjawabnya, perhatikan banyaknya kemungkinan membagi dalam
grup-1 sebanyak
, untuk setiap pilihan grup-1 banyaknya kemungkinan membagi grup-2
8
sebanyak
, dan seterusnya sampai grup-r sebanyak
.
Sehingga banyaknya kemungkinan semuanya adalah:
Notasi
Jika
, didefinisikan
Sehingga
sebagai:
menunjukkan banyaknya membagi
obyek yang berbeda dalam
grup yang berbeda dengan anggota masing-masing grup bertutut-turut
Teladan
24. Bila 10 orang anak akan dibagi dalam 2 tim, yaitu A dan B, dengan masing-masing
beranggotakan 5 orang. Berapa kemungkinan cara membagi tim tersebut ?
Solusi: Banyaknya kemungkinan membagi :
2.2.5. Sebaran bola dalam wadah
Misalkan terdapat bola yang berbeda dan akan disebarkan dalam
Banyaknya kemungkinan sebanyak .
wadah yang berbeda.
Teladan
25. Misalkan ada 3 buah benda yang akan ditempatkan pada dua tempat, yaitu A dan B.
Cara penempatan benda tersebut adalah: A berisi 0 dan B berisi 3, A berisi 1 dan B
berisi 2, A berisi 2 dan B berisi 1, atau A berisi 3 dan B berisi 0. Banyaknya
kemungkinan :
26. Misalkan ada 2 buah benda akan ditempatkan pada tiga buah tempat misalkan A, B,
dan C. Cara penempatan benda tersebut adalah:
,
,
,
,
,
Banyaknya kemungkinan :
9
Bila
bola tersebut tidak dapat dibedakan satu sama lain. Pada kasus ini ada berapa
kemungkinan ? Penempatan
benda ke dalam wadah dapat dinyatakan dalam vektor
dengan
menyatakan banyaknya bola dalam wadah- . Sehingga
permasalahan ini dapat disederhanakan menjadi:
.
Untuk menghitungnya perhatikan terdapat satu baris benda yang tidak dapat dibedakan, dan
akan dibagi dalam yang tidak kosong (perhatikan Gambar)
Kita dapat memilih
tempat dari
tempat yang tersedia. Sebagai contoh misalkan
dan
dan salah satu pemilihan pembagi tempat sebagai berikut:
maka nilai
,
, dan
.
Sehingga banyaknya kemungkinan membagi
yang tidak dapat dibedakan ke dalam
wadah
adalah
Preposisi 1
Terdapat
memenuhi:
nilai bulat positif yang berbeda dari vektor
dengan
yang
,
Untuk mendapatkan solusi taknegatif (sebagai lawan positif), banyaknya solusi taknegatif
sama dengan banyaknya solusi positif dari
(yaitu dengan menyatakan
, ,
), sehingga dari preposisi di atas
diperoleh preposisi 2 berikut ini:
Preposisi 2
Terdapat
nilai bulat taknegatif yang berbeda dari vektor
yang
memenuhi:
Teladan
27. Berapa banyaknya solusi bilangan bulat taknegatif dari
Solusi :
, yaitu
,
,
, dan
?
.
28. Seorang investor mempunyai 20 ribu $ yang akan diinvestasikan dalam 4 macam
proyek. Setiap investasi dalam satuan ribu $. Jika 20 ribu $ diinvestasikan semuanya,
ada berapa kemungkinan cara menginvestasikan? Berapa cara bila tidak semua uang
diinvestasikan?
10
Solusi: Misalkan
proyek- dengan
memenuhi
menyatakan jumlah uang (ribu $) yang diinvestasikan pada
, maka banyaknya kemungkinan nilai
yang
dengan
adalah:
kemungkinan investasi.
Bila tidak semua uang diinvestasikan, maka tambahkan
sebagai cadangan, maka
banyaknya kemungkinan nilai
yang memenuhi
dengan
adalah:
kemungkinan investasi.
3. Aksioma Peluang
Definisi klasik peluang suatu kejadian adalah frekuensi relatif antara banyaknya kejadian
yang muncul terhadap semua kemungkinan yang muncul dari suatu percobaan. Misalkan
suatu percobaan tentang pelemparan sekeping dadu yang setimbang. Ruang contoh dari
percobaan ini adalah
. Banyaknya anggotanya sebesar
. Suatu
kejadian
didefinisikan sebagai sisi genap yang muncul dari percobaan tersebut, maka
himpunan kejadian adalah
. Peluang kejadian muncul sebesar
Pada definisi klasik ini setiap anggota ruang contoh
mempunyai peluang yang sama untuk
muncul atau mempunyai peluang yang seragam, yaitu
.
Pada percobaan di atas, bila yang diperhatikan adalah munculnya sisi genap dan ganjil dari
dadu tersebut maka ruang contoh dapat dinyatakan sebagai
. Sehingga
penulisan anggota ruang contoh tidak unik, akan tetapi banyaknya anggota
unik.
Pada definisi peluang klasik memiliki beberapa kelemahan. Pada percobaan di atas
diasumsikan dadu tersebut setimbang sehingga setiap sisi mempunyai peluang yang sama
untuk timbul. Pada kenyataannya persyaratan ini tidak mudah dipenuhi. R. Von Mises
(1883-1953) dan R.A Fisher (1890-1962) mengemukakan definisi Empirik/Frekuensi Nisbi
suatu kejadian. Peluang suatu kejadian berkaitan dengan sekuens hasil percobaan yang
diulang takhingga kali.
dengan adalah frekuensi kejadian
muncul dalam percobaan bebas yang dilakukan.
Untuk yang sangat besar, nilai
akan konvergen ke suatu nilai tertentu maka nilai ini
disebut peluang kejadian .
Misalkan pada percobaan di atas, dadu dilempar sebanyak 1000 kali.
sebagai berikut :
sisi
Frekuensi
1
166
2
169
3
165
4
167
5
169
Hasil percobaan
6
164
11
maka peluang untuk masing-masing sisi sebuah dadu adalah :
sisi
1
2
3
4
5
6
Peluang
sehingga peluang kejadian
adalah
Batasan peluang dikemukakan oleh Kolmogorov dikenal dengan defini peluang secara
aksiomatik. Peluang adalah suatu fungsi yang memetakan anggota ruang contoh
ke suatu
gugus bilangan nyata dan memenuhi ketiga aksioma peluang, yaitu :
1. Bernilai tak negatif,
;
2. Bernorma satu,
;
3. Bersifat aditif, yaitu
, jika
untuk
4. Beberapa preposisi sederhana
Pada subbab ini akan dibahas tentang beberapa preposisi sederhana yang terkait dengan peluang.
Kejadian dan
bersifat saling terpisah dan
. dengan menggunakan Pada
aksioma 2 dan 3, yaitu
.
Preposisi 3
Teladan
29. Perhatikan pada Teladan 1, peluang mendapatkan sisi ganjil adalah
Proposisi keempat menyatakan bahwa jika kejadian berada di dalam kejadian , maka
peluang kejadian tidak lebih besar dari peluang kejadian .
Preposisi 4
Jika
, maka
Preposisi dapat dibuktikan sebagai berikut: Nyatakan kejadian
sehingga kejadian dan
bersifat saling terpisah, maka
sedangkan
sebagai
.
, sehingga
Preposisi 5 menyatakan hubungan peluang dari gabungan dua kejadian sebagai peluang
masing-masing kejadian dan irisannya.
Preposisi 5
12
Untuk mendapatkan formula
dua kejadian yang terpisah, yaitu
sedangkan
terlebih dulu nyatakan
sebagai gabungan dari
dan diperoleh
, dari aksioma 3 diperoleh
atau ekivalen dengan
maka
Teladan
30. Misalkan
dua
uang
logam
masing . Misalkan kejadian
pertama
dan
Dengan proposisi 3 diperoleh:
Peluang
dilempar dan setiap anggota ruang contoh
mempunyai peluang yang sama yaitu masingmenyatakan sisi pada uang logam
menyatakan sisi pada uang logam kedua .
dapat juga dihitung langsung, yaitu:
Proposisi 5 dapat dikembangkan untuk 3 kejadian misalkan , , dan .
dengan preposisi 3 diperoleh
dengan menggunakan aturan distribusi kejadian
, sehingga
sama dengan
Preposisi 6
Penjumlahan
kemungkinan
diberlakukan
dengan ukuran dari
dari bilangan
untuk
semua
.
13
5. Ruang contoh dengan peluang sama
Percobaan secara alamiah mengasumsikan semua hasi yang muncul dalam ruang contoh
mempunyai peluang yang sama untuk terjadi. Misalkan suatu percobaan dengan ruang contoh
merupakan himpunan berhingga, dinyatakan
. Peluang setiap titik
contohnya adalah
. Menurut aksioma 3, untuk
kejadian
, maka
, dengan
menyatakan banyaknya anggota ruang contoh dan
menyatakan banyaknya anggota kejadian.
Teladan
31. Pada teladan 5, tentukan peluang kejadian dengan jumlah kedua sisi dadu bernilai 6.
Solusi :
, maka
32. Sebuah wadah berisi 6 bola putih dan 5 bola hitam, 3 bola diambil secara acak.
Berapa peluang bola yang terambil satu berwarna putih dan sisanya warna hitam?
Solusi :
Bila bola diambil satu persatu, maka
, dan
. Sehingga peluang terpilihnya 1 bola putih dan 2 bola hiatm sebesar:
.
Peluang tersebut dapat juga diperoleh dengan cara pengambilan 3 bola sekaligus
tanpa memperhatikan susunannya, maka
, dan
, sehingga peluang kejadian tersebut sebesar:
33. Sebuah komite terdiri atas 5 orang dipilih secara acak dari suatu grup yang terdiri dari
6 laki-laki dan 9 wanita. Bila pemilihan dilakukan secara acak, berapa peluang komite
tersebut terdiri dari 3 laki-laki dan 2 wanita?
Solusi :
dan
,
sehingga peluang terpilihnya 3 laki-laki dan 2 wanita dalam komite tersebut sebesar:
34. Diketahui pada kotak I (K1) terdapat 4 bola merah dan 3 bola hitam dan pada kotak kedua
(K2) terdapat 3 bola Merah dan 4 bola hitam. Suatu percobaan dilakukan sebagai berikut:
ambil satu bola secara acak dari K1 dan bola tersebut dimasukkan ke dalam K2. Kemudian
satu bola diambil secara acak
berwarna hitam?
Solusi:
dari K2. Berapa peluang bola dari K2 tersebut
14
Bola yang terplih dari K1 ada dua kemungkinan : hitam atau merah. Bila dari K1
terambil bola merah maka pada K2 bola merah menjadi 4 dan bila yang terambil dari
K1bola hitam maka pada K2 bola hitam menjadi 5.
35. Rombongan tur yang terdiri dari 5 orang memilih tempat untuk menginap pada 3
hotel yang berbeda. Berapa peluang kelimanya menginap di hotel yang sama ?
Berapa peluang ada 1 hotel yang tidak dipilih?
Solusi :
a. Ruang contoh = 35= 243. Peluang kelimanya menginap di hotel yang sama sebesar:
b. Peluang bahwa ada 1 hotel yang tidak dipilih adalah:
6. Peluang Bersyarat
Subbab ini merupakan bagian penting dari teori peluang yaitu peluang bersyarat. Konsep ini
sangat bermanfaat untuk menghitung peluang bila sebagian tentang sebagian hasil percobaan
diketahui dan dapat digunakan untuk menghitung peluang yang diinginkan menjadi lebih
mudah.
Peluang bersyarat digunakan untuk menghitung peluang suatu kejadian bila kejadian lain
telah terjadi. Misalkan dua dadu digulirkan dan misalkan hasil percobaan mempunyai
peluang yang sama, sehingga peluangnya masing-masing ialah . Misalkan pada dadu
pertama sisi yang muncul mata 3. Dengan diketahuinya informasi ini, berapa peluang bahwa
jumlah kedua mata dadu yang muncul sama dengan 8? Bila diketahui bahwa pada dadu
pertama muncul mata 3, maka kemungkinan sisi yang muncul pada kedua dadu ada 6
kemungkinan, yaitu (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), dan (3,6). Dengan kata lain, bila dadu
pertama muncul mata 3, maka peluang (bersyarat) masing-masing hasil-percobaan (3,1),
(3,2), (3,3), (3,4), (3,5), dan (3,6) ialah , Sedangkan peluang (bersyarat) 30 titik lainnya di
dalam ruang contoh ialah 0. Jadi peluang yang diinginkan ialah .
Jika menyatakan kejadian jumlah dua sisi dadu 8, sedangkan
adalah kejadian bahwa
dadu pertama muncul mata 3, maka peluang yang baru diperoleh di atas disebut sebagai
peluang bersyarat terjadinya
bila diketahui
telah terjadi, dan dilambangkan sebagai
Bila kejadian
telah terjadi, maka agar kejadian
terjadi, maka kejadian yang
sesungguhnya merupakan sebuah titik yang sekaligus berada di dan , atau harus berada
15
di dalam
. Karena kejadian
telah terjadi, haruslah
menjadi ruang contoh yang
baru. Sehingga peluang terjadinya kejadian
sama dengan peluang
relatif
terhadap peluang kejadian , dan dirumuskan sebagai:
untuk
.
Peluang Bersyarat
Peluang bersyarat terjadinya kejadian
sebagai
didefinisikan sebagai:
bila diketahui
telah terjadi, dan dilambangkan
untuk
Teladan
36. Sekeping uang logam dilemparkan dua kali. Jika diasumsikan bahwa keempat titik di
dalam ruang contoh
berpeluang muncul sama,
berapakah peluang bersyarat kedua lemparan itu menghasilkan sisi gambar, bila
diketahui lemparan pertama menghasilkan sisi gambar?
Solusi: Jika
menyatakan kejadian bahwa kedua lemparan menghasilkan
sisi gambar, dan
kejadian bahwa lemparan pertama
menghasilkan sisi gambar, maka peluang kedua lemparan itu menghasilkan sisi
gambar adalah:
Formula peluang bersyarat juga dapat ditulis sebagai:
Peluang kejadian
setelah kejadian
sama dengan peluang kejadian dikalikan dengan peluang kejadian
terjadi. Formula ini disebut sebagai kaidah penggandaan.
Teladan
37. Misalkan sebuah kantung berisi 8 kelereng merah dan 4 kelereng putih. Dari kantung
tersebut diambil secara acak 2 kelereng tanpa pengembalian. Jika diasumsikan bahwa
peluang setiap kelereng terambil mempunyai peluang yang sama, berapa peluang
bahwa kedua kelerang yang terambil berwarna merah?
Solusi:
Misalkan
dan
masing-masing menyatakan kejadian terambilnya kelereng
berwarna merah pada ambilan pertama dan ambilan kedua. Bila telah diketahui
kelereng merah pada ambilan pertama, maka dalam kantung tersebut tersisa ialah 7
16
kelereng merah dan 4 kelereng putih, sehingga
. Sedangkan peluang
kelereng merah pada ambilan pertam adalah
dua kelerang warna merah adalah
, maka peluang terpilihnya
=
Peluang ini juga dapat dihitung dengan rumus:
38. Jika ada pesawat datang, maka radar mampu mendeteksi secara tepat dengan peluang
0.99. Jika tidak ada pesawat, radar salah mendeteksi (menyatakan ada pesawat)
dengan peluang 0.1. Diasumsikan bahwa peluang sebuah pesawat asing masuk ke
wilayah kita sebesar 0.05. Tentukan besarnya peluang salah sinyal (tidak ada pesawat
tetapi radar mendeteksinya) dan salah deteksi (ada pesawat tapi radar menyatakan
tidak ada).
Solusi:
Misalkan adalah kejadian pesawat asing memasuki wilayah dan
radar mendeteksi adanya pesawat. Diketahui
,
= 0.1. Peluang salah sinyal yaitu:
adalah kejadian
dan
;
dan peluang salah deteksi yaitu:
Misalkan kita mengambil secara acak 3 kartu dari seperangkat kartu bridge yang terdiri atas
52 kartu. Berapa peluang tidak satupun dari ketiganya merupakan kartu hati? Misalkan
adalah kejadian kartu pertama bukan hati,
adalah kejadian kartu kedua bukan hati, dan
adalah kejadian kartu ketiga bukan hati. Maka
Misalkan
adalah kejadian-kejadian sedemikian sehingga
, maka
Teladan
39. Murid kelas X terdiri dari 12 siswi dan 4 siswa. Kelas tersebut dibagi menjadi 4
kelompok yang masing-masing beranggotakan 4 orang. Berapa peluang setiap
kelompok memiliki seorang siswa?
Solusi:
Misalkan didefinisikan kejadian-kejadian berikut:
= {siswa pertama dan kedua berada pada grup yang berbeda}
= {siswa pertama, kedua, dan ketiga berada pada grup yang berbeda}
= {siswa pertama, kedua, ketiga, dan keempat berada pada grup yang berbeda}
17
Peluang masing-masing kejadian adalah:
adalah kejadian siswa pertama dan kedua berada pada grup yang berbeda.
Andaikan kita tetapkan posisi salah satunya. Maka siswa kedua memiliki 15 tempat
yang mungkin, dan 12 diantaranya berbeda grup dengan siswa pertama. Jadi
.
Sekarang asumsikan bahwa siswa pertama dan kedua sudah berada pada kelompok
yang berbeda. Untuk siswa yang ketiga ada 14 tempat, dan 8 tempat untuk kelompok
yang berbeda. Jadi
.
Selanjutnya orang keempat punya 13 tempat kosong, dan 4 diantaranya berbeda grup
dengan tiga lainnya. Jadi
Dengan demikian peluang setiap kelompok memiliki seorang siswa adalah:
40. Kotak A berisi 3 kelereng merah dan 4 kelereng biru. Kotak B berisi 4 kelereng merah
dan 3 kelereng biru, sedangkan Kotak C berisi 2 kelereng merah dan 3 kelereng biru.
Percobaan dilakukan sebagai berikut: pertama ambil satu kelereng dari kotak A dan
dimasukkan ke kotak B, kedua ambil satu kelereng dari kotak B dan dimasukkan ke
kotak C, ketiga ambil satu kelereng dari Kotak C. Berapa peluang mendapatkan
kelereng merah dari ketiga ambilan tersebut?
Solusi:
Pada saat awal kotak A berisi 3 kelereng merah dan 4 biru sehingga
.
Kotak B mendapatkan tambahan 1 kelereng merah dari kotak A, sehingga ada 5
kelerang merah dan 3 kelereng biru, sehingga
. Akhirnya Kotak C
mendapatkan tambahan 1 kelereng merah sehingga ada 3 kelerang merah dan 3
kelereng biru, sehingga
. Sehingga
7. Formula Bayes
Misalkan kejadian dan . Kejadian dapat dinyatakan sebagai
,
Kejadian
dan
bersifat terpisah, sehingga dengan menggunakan aksioma ke
3 dari peluang diperoleh
(1)
Formula ini menyatakan bahwa peluang kejadian
bersyarat dari kejadian setelah terjadi.
merupakan rataan terboboti peluang
18
Teladan
41. Sebuah perusahaan asuransi mengetahui bahwa masyarakat terbagi dalam kelompok,
yaitu kelompok cenderung mengalami kecelakaan dan kelompok yang tidak
mengalami kecelakaan. Statistik perusahaan menunjukkan bahwa orang yang
cenderung mengalami kecelakaan akan mengalami kecelakaan pada suatu waktu
dalam kurun waktu 1 tahun dengan peluang 0.4, sedangkan peluang ini turun menjadi
0.2 untuk yang tidak cenderung mengalami kecelakaan. Bila diasumsikan bahwa 30
persen populasi cenderung mengalami kecelakaan, berapa peluang bahwa seorang
pemegang polis baru akan mengalami kecelakaan dalam waktu setahun sejak ia
membeli polis tersebut.
Solusi: Misalkan kejadian
menyatakan kejadian bahwa pemegang polis akan
mengalami kecelakaan dalam periode satu tahun sejak membeli polis, dan misalkan
adalah kejadian bahwa pemegang polis itu cenderung mengalami kecelakaan. Maka
peluang
sebesar:
42. Kantung I berisi 2 kelereng putih dan 4 kelereng merah, sedangkan kantung II berisi 1
kelereng putih dan 1 kelereng merah. Sebuah kelereng diambil secara acak dari
kantung I dan dimasukkan ke dalam kantung II, dan kemudian sebuah kelereng di
ambil secara acak dari kantung II. Berapa peluang terambilnya kelereng putih dari
kantung II?
Solusi:
Misalkan
adalah kejadian terambilnya kelereng putih dari kantung I, dan
kejadian terambilnya kelereng putih dari kantung II. Maka
Persamaan (1) dapat digeneralisasi untuk kejadian
sehingga
adalah
yang saling terpisah
.
Suatu kejadian dalam ruang contoh
terpisah, yaitu:
Maka peluang kejadian
Misalkan kejadian
dapat dinyatakan sebagai gabungan kejadian yang
adalah:
telah terjadi, peluang salah satu kejadian
yang juga muncul adalah
Persamaan ini dikenal sebagai rumus Bayes, yang diberi nama mengikuti penemunya
Thomas Bayes, seorang filsuf berkebangsaan Inggris.
19
Teladan
43. Tiga anggota sebuah organisasi telah dicalonkan sebagai ketua. Peluang tuan Adam
terpilih adalah 0.3, peluang tuan Brown terpilih adalah 0.5, dan peluang Nyonya
Cooper terpilih adalah 0.2. Seandainya Tuan Adams terpilih, peluang terjadinya
kenaikan iuran anggota naik adalah 0.8. Seandainya Tuan Brown atau Nyonya Cooper
terpilih peluang kenaikan iuran anggota masing-masing adalah 0.1 dan 0.4. Ternyata
iuran anggota naik, berapa peluang Nyonya Cooper menjadi ketua terpilih bagi
organisasi tersebut ?.
Solusi:
Peluang Adam terpilih =P(A)=0.3
Peluang Brown terpilih = P(B) = 0.5
Peluang Cooper terpilih = P(C) = 0.2
Peluang iuran naik bila Adam terpilih = P(N|A)= 0.8
Peluang iuran naik bila Brown terpilih= P(N|B)= 0.1
Peluang iuran naik bila Cooper terpilih = P(N|C) = 0.4
Peluang Cooper terpilih bila ternyata iuran telah naik= P(C|N) ?
44. Jika ada pesawat datang, radar mampu mendeteksi secara tepat dengan peluang 0.9.
Jika tidak ada pesawat, radar salah mendeteksi (menyatakan ada pesawat) dengan
peluang 0.1. Asumsikan bahwa peluang sebuah pesawat asing masuk ke wilayah kita
sebesar 0.05. Diketahui bahwa P(A) = 0.05 P(R|A) = 0.9 dan P(R|Ac) = 0.1. Jika
diketahui bahwa radar mendeteksi adanya pesawat, berapa peluang pesawat tersebut
benar-benar telah memasuki wilayah yang bersangkutan?
Solusi:
8. Kejadian Bebas
adalah peluang bersyarat dari kejadian bila kejadian
telah terjadi, secara umum
tidak sama dengan
, peluang kejadian (tidak bersyarat) kejadian . Dengan kata lain,
informasi tentang kejadian
telah terjadi, akan mengubah peluang terjadinya kejadian .
Dalam kasus bila
sama dengan
, dikatakan bahwa kejadian bebas dengan
kejadian . Artinya, kejadian bebas terhadap kejadian bila informasi tentang telah
terjadi tidak mengubah peluang terjadinya kejadian .
Kejadian
bebas dengan kejadian
bila
20
Dua kejadian
Jika kejadian
Misalkan
dengan
dan
dan
dan
dan
dikatakan bebas, jika
bebas, maka kejadian
dan
juga bebas.
bebas. Kejadian
dapat dinyatakan sebagai :
merupakan kejadian yang saling terpisah, sehingga
atau dapat dinyatakan bahwa
Teladan
45. Perhatikan pelemparan dadu bersisi-6 setimbang sebanyak 2 kali. Jika
adalah
kejadian mendapatkan mata dadu 2 pada pelemparan pertama dan adalah kejadian
mendapatkan mata dadu 3 pada pelemparan kedua. Apakah kejadian dan bersifat
bebas?
Solusi:
dan
Dengan demikian
dan
maka
Ternyata
maka kejadian
dan
bersifat saling bebas
46. Percobaan sama dengan teladan 31. Misalkan
adalah kejadian nilai maksimum
mata dadu yang muncul dari dua kali lemparan adalah 2. Kejadian adalah kejadian
nilai minimum mata dadu yang muncul dari dua kali lemparan adalah 2. Apakah
kejadian dan bersifat bebas?
Solusi:
dan
.
maka
Ternyata
maka kejadian
Tiga kejadian ,
dan
dan
bersifat saling bebas
dikatakan bebas jika dipenuhi
a.
b.
c.
d.
21
Secara umum kejadian
anak gugus
dikatakan saling bebas jika untuk sembarang
berlaku
Teladan
47. Misalkan sebuah dadu bersisi enam dilemparkan dua kali. Kejadian adalah angka
yang muncul pada dadu pertama adalah 1, 2, 3, kejadian adalah angka yang muncul
pada dadu pertama adalah 3, 4, 5 dan adalah kejadian jumlah angka kedua dadu
bernilai 9. Apakah kejadian , dan bebas ?
Solusi:
Maka kejadian ,
dan
tidak bebas.
48. Misalkan sebuah percobaan melemparkan sebuah mata uang yang setimbang dua kali.
Kejadian adalah munculnya sisi muka lemparan pertama, adalah munculnya sisi
muka lemparan kedua, dan
adalah kejadian sisi yang muncul berbeda. Apakah
kejadian , dan bebas ?
Solusi:
,
,
,
,
,
22
