Modul Aljabar Linear: Pengantar Vektor, Norm, dan Sudut Vektor

MODUL PERKULIAHAN
Aljabar Linear
Pengantar Vektor Norm dan
Sudut Vektor
Fakultas
Program Studi
Tatap Muka
Ilmu Komputer
Teknik
Informatika
07
Abstract
Kode MK
Disusun Oleh
F061700006
Eugenius Kau Suni, ST.,MT.
Kompetensi
Materi ini membahas tentang Pengantar Vektor Mahasiswa
diharapkan
dapat
Norm dan Sudut Vektor.
memahami Pengantar Vektor Norm
dan Melakukan Perhitungan Sudut
Vektor.
Pembahasan
PENGANTAR VEKTOR
Vektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah. Kecepatan, gaya
dan pergeseran merupakan contoh – contoh dari vektor karena semuanya memiliki
besar dan arah walaupun untuk kecepatan arahnya hanya positif dan negatif.
Vektor dikatakan berada di ruang – n ( Rn ) jika vektor tersebut mengandung n
komponen. Jika vektor bearada di R2 maka dikatakan vektor berada di bidang,
sedangkan jika vektor berada di R3 maka dikatakan vektor berada di ruang. Secara
geometris, di bidang dan di ruang vektor merupakan segmen garis berarah yang
memiliki titik awal dan titik akhir. Vektor biasa dinotasikan dengan huruf kecil
tebal atau huruf kecil dengan ruas garis.
Sejumlah besaran beserta kuantitasnya seperti luas, panjang, massa, suhu,
dan sejenisnya dapat disebut sebagai skalar. Besaran-besaran yang disertai dengan
arah disebut sebagai vektor. Sehingga vektor didefinisikan sebagai besaran yang
memiliki arah.
Misalkan sebuah kendaraan bergerak dengan kecepatan 70 km/jam ke arah
barat. Kecepatan dan arah kendaraan ini membetuk sebuah vektor yang disebut
kecepatan kendaraan. Contoh lain dapat dijumpai saat sebuah meja didorong
dengan gaya tertentu sehingga mengalami pergeseran tempat. Dalam kasus seperti
ini dapat dijumpai sebuah vektor gaya dan pergeseran.
Secara simbolis, vektor dapat dinyatakan dengan huruf kecil tebal seperti a,
b, c, x, y, z, atau huruf lainnya.
Secara geometrik, sebuah vektor dapat dinyatakan sebagai ruas garis terarah
atau anak panah pada bidang dan ruang.
Contoh :
2020
2
Aljabar Linear
Eugenius Kau Suni, ST., MT.
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
Arah anak panah menunjukkan arah vektor sedangkan panjang anak panah
menunjukkan besaran vektor.
Dari gambar di atas terlihat beberapa segmen garis berarah ( vektor ) seperti
AB , AC dan AD dengan A disebut sebagai titik awal , sedangkan titik B, C dan D
disebut titik akhir.
Vektor posisi didefinisikan sebagai vektor yang memiliki titik awal O ( untuk
vektor di bidang , titik O adalah ( 0,0 )).
Operasi-operasi pada vektor antara lain :
1. Penjumlahan dua vektor
2. Perkalian vektor dengan skalar
3. Perhitungan vektor
Penjumlahan Dua Vektor
Misalkan
maka vektor (
dan
adalah vektor – vektor yang berada di ruang yang sama ,
+ ) didefinisikan sebagai vektor yang titik awalnya = titik awal
dan titik akhirnya = titik akhir
.
Contoh :
Perhatikan gambar di atas. Misalkan
didefinisikan sebagai w =
+
= AB dan
, maka w akan memiliki titik awal = A dan titik
akhir = C, jadi w merupakan segmen garis berarah AC .
2020
3
Aljabar Linear
Eugenius Kau Suni, ST., MT.
= BC , jika vektor w
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
Jumlah Vektor Metode Segitiga dapat diamati pada contoh berikut ini :
Jika v dan w adalah sebarang vektor yang diletakkan sedemikian sehingga
titik akhir v berhimpit dengan titik awal w, maka jumlah vektor v + w
direpresentasikan dengan anak panah dari titik awal v hingga titik akhir w.
Jumlah Vektor Metode Jajar Genjang dapat diamati pada contoh berikut ini :
Jika v dan w adalah sebarang vektor yang diletakkan sedemikian sehingga
titik awalnya saling berhimpit dan masing-masing ujungnya dihubungkan dengan
bayangan vektor selainnya, maka jumlah vektor v + w direpresentasikan dengan
anak panah yang berhimpit dengan garis diagonal jajar genjang.
Vektor Nol dan Negatif dapat dijelaskan sebagai berikut ini :
Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol dan dinyatakan sebagai 0.
Secara geometrik vektor nol dapat direpresentasikan dengan sebuah titik. Vektor
nol memiliki sifat :
0+v=v+0=v
Jika v sebarang vektor taknol, maka -v adalah bentuk negatif dari v dan
didefnisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan v namun memiliki arah
yang berlawanan. Vektor ini memiliki sifat :
v + (-v) = 0
2020
4
Aljabar Linear
Eugenius Kau Suni, ST., MT.
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
Perkalian Vektor dengan Skalar
Perkalian vektor adalah operasi perkalian dengan dua operand (objek yang
dikalikan) berupa vektor. Tetapi hasil operasi ini tidak selalu adalah vektor.
Terdapat tiga macam perkalian vektor, yaitu produk skalar atau perkalian titik (dot
product atau scalar product), perkalian silang (cross product atau vector product
atau directed area product) dan perkalian langsung (direct product).
Perkalian vektor ini dikaitkan dengan vektor nol. Vektor nol didefinisikan
sebagai vektor yang memiliki panjang = 0. Misalkan
skalar , k ∈ R . Perkalian vektor
vektor tak nol dan k adalah
dengan skalar k , k
vektor yang panjangnya || || kali panjang
didefinisikan sebagai
dengan arah :
Jika k > 0 --› searah dengan
Jika k < 0 --› berlawanan arah dengan
Contoh :
Perhitungan Vektor
Diketahui a dan b vektor–vektor di ruang yang komponen – komponennya
adalah = ( a1,a2,a3 ) dan
= ( b1,b2,b3 )
Maka
+ = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3 )
k.
= (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3 )
= ( ka1, ka2, ka3 )
Jika = AB kemudian titik koordinat A = ( a1,a2,a3 ) dan B = ( b1,b2,b3 )
Maka = (b1 − a1 , b2 − a2, b3 − a3 )
2020
5
Aljabar Linear
Eugenius Kau Suni, ST., MT.
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
VEKTOR PADA RUANG BERDIMENSI DUA
Diulang kembali, vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai
besar dan arah. Suatu vektor dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah.
Nilai besar vektor dinyatakan dengan panjang garis dan arahnya dinyatakan dengan
tanda panah. Notasi vektor biasanya dengan menggunakan tanda anak panah di
atasnya atau bisa juga dengan menggunakan huruf kecil yang tebal. Suatu vektor
biasanya juga bisa dinyatakan dengan pasangan terurut bilangan real atau bisa juga
dengan menggunakan matriks kolom.
Misalkan v adalah sebarang vektor yang ditempatkan sedemikian rupa
sehingga titik awalnya berhimpit dengan titik asal sistem koordinat siku-siku.
Koordinat (v1, v2) dari titik akhir v disebut komponen v, ditulis :
v = (v1, v2)
Ekuivalen
Dua vektor ekuivalen secara geometris akan diletakkan saling berhimpit pada
bidang koordinat karena mempunyai besaran dan arah yang sama.
Dua vektor :
v = (v1, v2) dan w = (w1,w2)
dikatakan akuivalen jika dan hanya jika :
v1 = w1 dan v2 = w2
Penjumlahan dan Perkalian Skalar
Jika v = (v1, v2) dan w = (w1,w2) sebarang vektor dan k adalah sebarang
skalar, maka :
v + w = (v1 + w1, v2 + w2)
kv =(kv1, kv2)
2020
6
Aljabar Linear
Eugenius Kau Suni, ST., MT.
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
Vektor pada ruang 2 dimensi dapat juga diamati pada gambar di bawah ini :
Contoh :
Jika v = (1,-2), w = (7, 6), dan k = 4, maka
v + w = (1 + 7,-2 + 6) = (8, 4)
kv = 4 (1,-2) = (4,-8)
Pengurangan Vektor
Karena v - w = v + (-1) w, maka
v - w = (v1 - w1, v2 - w2)
Buktikan bahwa hubungan ini berlaku !
Suatu vektor biasanya juga bisa dinyatakan dengan pasangan terurut bilangan
real atau bisa juga dengan menggunakan matriks kolom. Misalnya :
Maksudnya vektor tersebut 2 ke arah kanan dan 3 ke arah atas. Vektor berarti
titik A sebagai titik pangkal dan titik B sebagai ujung. Vektor dengan vektor
besarnya panjangnyapanjangnya sama, hanya arahnya saling berlawanan. Jadi jika
vektor dinyatakan dengan
2020
7
Aljabar Linear
Eugenius Kau Suni, ST., MT.
maka vektor suka dinyatakan dengan
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
.
Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. Artinya suatu
vektor letaknya bisa dimana saja asalkan besar dan arahnya sama.
Vektor Posisi
Vektor posisi yaitu vektor yang posisi letaknyaletaknya tertentu. Misalnya
merupakan vektor posisi dimana pangkalnya di titik A dan ujungnya di titik B.
Atau misalnya yaitu vektor posisi yang awalnya di titik pusat dan ujungnya di titik
A. Vektor posisi dan seterusnya biasanya diwakili oleh vektor dengan huruf kecil
misalnya
dan sebagainya. Jadi ,
Contoh :
Jika titik A1,21,2 dan B5,95,9 maka tentukan AB!
Penyelesaian :
AB = 9–2,5–19–2,5–1 = 7,4
2020
8
Aljabar Linear
Eugenius Kau Suni, ST., MT.
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
SOAL LATIHAN – 7
Kerjakanlah soal-soal berikut ini :
1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan vektor, dan jelaskan pula perbedaan
vektor dan skalar ?
2. Tentang perkalian vektor. Diketahui a = ( 1, −3 ) dan b = ( 3k, −1 )
Tentukan nilai k agar a dan b saling tegak lurus !
3. Perhatikan gambar vektor dua dimensi berikut ini :
Jelaskanlah vektor pada gambar di atas sesuai pemahaman Anda !
2020
9
Aljabar Linear
Eugenius Kau Suni, ST., MT.
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
Daftar Pustaka
[1] Anton, H. 1997. Aljabar Linear Elementer (terjemahan). Jakarta: Erlangga. Edwin J
[2] Utomo, A. S. (2018). Pengantar Metode Komputasi: Untuk sains dan Teknik. UGM
PRESS.
[3] Farida, N., & Suryadinata, N. (2017). Pengembangan Bahan Ajar Mata Kuliah
Aljabar Linear Berbasis Open Ended. AKSIOMA: Jurnal Program Studi
Pendidikan Matematika, 5(2), 145-151.
[4] Rosita, C. D., Nopriana, T., & Dewi, I. L. K. (2017). Bahan Ajar Aljabar Linear
Berbasis Kemampuan Pemahaman Matematis. Unnes Journal of Mathematics
Education Research, 6(2), 266-272.
[5] Yusuf Yahya, Suryadi HS, Agus S, 2010. Matematika Dasar Untuk Perguruan
Tinggi. Serial Matematika dan Komputer Aski, Ghalia Indonesia.
2020
10
Aljabar Linear
Eugenius Kau Suni, ST., MT.
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id