BAB 12 ELEKTRODINAMIKA DAN RELATIVITAS 12.1 TEORI KHUSUS RELATIVITAS 12.1.1 Postulat Einstein Mekanika klasik mematuhi prinsip relativitas: hukum yang sama berlaku dalam kerangka acuan inersia. Maksudnya “inersia” adalah sistem dalam keadaan diam atau bergerak dengan kecepatan konstan. Bayangkan, misalnya, Anda telah memuatkan meja biliar ke gerbong kereta api, dan kereta berjalan dengan kecepatan konstan ke jalur lurus yang mulus. Permainan akan berjalan sama persis seperti jika kereta diparkir di stasiun; Anda tidak perlu "memperbaiki" bidikan Anda karena fakta bahwa kereta sedang bergerak , jika Anda menarik semua tirai, Anda tidak akan mengetahui apakah kereta itu bergerak atau tidak. Perhatikan sebaliknya bahwa Anda tahu apakah kereta melaju cepat, atau melambat, atau berbelok di tikungan, atau melewati gundukan bola biliar bergulung dalam lintasan melengkung, dan Anda sendiri merasakan tergelincir dan kopi yang tumpah di baju Anda. Maka hukum mekanika tentu saja tidak sama dalam mempercepat kerangka acuan. Dalam penerapannya pada mekanika klasik, prinsip relativitas bukanlah hal yang baru; itu dinyatakan dengan jelas oleh Galileo. Pertanyaan: apakah itu juga berlaku untuk hukum elektrodinamika? Sekilas, jawabannya sepertinya tidak. Bagaimanapun, muatan yang bergerak menghasilkan medan magnet, sedangkan muatan yang diam tidak. Muatan yang dibawa kereta akan menghasilkan medan magnet, tetapi seseorang di kereta, yang menerapkan hukum elektrodinamika dalam sistem itu, akan memprediksi tidak ada medan magnet. Bahkan, banyak persamaan elektrodinamika, dimulai dengan hukum gaya Lorentz, membuat referensi eksplisit untuk " itu " kecepatan muatan. Oleh karena itu, tentu saja muncul bahwa teori elektromagnetik mengandaikan adanya kerangka referensi stasioner yang unik, sehubungan dengan yang semua kecepatan harus diukur. Namun ada kebetulan luar biasa yang memberi kita jeda. Misalkan kita memasang loop kawat pada mobil angkut, dan memiliki lintasan kereta api di antara kutub magnet raksasa (Gbr. 12.1). Sebagai loop naik melalui medan magnet, ggl gerak dibuat; sesuai dengan aturan fluks (Persamaan 7.13), ππ Ζ=− ππ‘ Ingat, ggl ini disebabkan oleh gaya magnet pada muatan di loop kawat, yang bergerak bersama kereta. Di sisi lain, jika seseorang di kereta naif menerapkan hukum elektrodinamika dalam sistem itu, apa yang akan menjadi prediksi? Tidak ada gaya magnet, karena loop diam. Tetapi ketika magnet berlalu, medan magnet dalam mobil angkutan berubah, dan medan magnet yang berubah menyebabkan medan listrik, oleh hukum Faraday. Gaya listrik yang dihasilkan akan menghasilkan ggl dalam loop yang diberikan oleh Persamaan. 7.14 : ππ Ζ=− ππ‘ Karena hukum Faraday dan aturan fluks memprediksi ggl yang sama persis, orang-orang di kereta akan mendapatkan jawaban yang benar, meskipun interpretasi fisik mereka tentang proses itu sepenuhnya salah! Einstein tidak bisa percaya ini hanya kebetulan; dia menganggapnya, sebagai petunjuk bahwa fenomena elektromagnetik, seperti fenomena mekanis, mematuhi prinsip relativitas. Dalam pandangannya, analisis oleh pengamat di kereta sama validnya dengan pengamat di lapangan. Jika interpretasinya berbeda (yang satu menyebut prosesnya elektrik, yang lainnya magnetik), maka jadilah itu; prediksi mereka yang sebenarnya dalam perjanjian. Inilah yang ia tulis di halaman pertama makalah 1905nya yang memperkenalkan teori relativitas khusus: “Diketahui bahwa elektrodinamika Maxwell seperti biasanya dipahami” waktu sekarang ketika diterapkan pada benda bergerak, mengarah ke asimetri yang tampaknya tidak melekat pada fenomena. Ambil, misalnya, aksi elektrodinamik timbal balik dari magnet dan konduktor. Fenomena yang dapat diamati di sini hanya tergantung pada gerakan relatif dari konduktor dan magnet, sedangkan pandangan adat menarik perbedaan yang tajam antara dua kasus di mana salah satu atau kedua badan ini bergerak. Karena jika magnet bergerak dan konduktor dalam keadaan diam, maka di lingkungan magnet akan muncul medan listrik menghasilkan arus di tempat-tempat di mana bagian konduktor berada. Tetapi jika magnet itu diam dan konduktor bergerak, tidak ada medan listrik yang muncul di sekitar magnet. Namun, dalam konduktor, kami menemukan gaya gerak listrik. . . yang memunculkan dengan asumsi persamaan gerakan relatif dalam dua kasus yang dibahas terhadap arus listrik dengan lintasan dan intensitas yang sama dengan yang dihasilkan oleh gaya listrik pada kasus sebelumnya. Contoh-contoh semacam ini, bersama-sama dengan upaya yang gagal untuk menemukan setiap gerakan bumi relatif terhadap "medium cahaya," menunjukkan bahwa fenomena elektrodinamika serta mekanika tidak memiliki sifat yang sesuai dengan ide istirahat absolut. Tapi saya sudah mengedepankan cerita. Bagi para pendahulu Einstein, kesetaraan kedua emf hanya kebetulan yang beruntung; mereka tidak ragu bahwa satu pengamat benar dan yang lainnya salah. Mereka menganggap medan listrik dan medan magnet sebagai galur dalam medium seperti jeli yang disebut eter, yang merembes ke seluruh ruang. Kecepatan muatan diukur berdasarkan eter hanya dengan demikian hukum elektrodinamika berlaku. Pengamat kereta salah, karena kerangka itu bergerak relatif terhadap eter. Bagaimana kita tahu pengamat darat tidak bergerak relatif terhadap eter juga? Lagi pula, bumi berputar pada porosnya sekali sehari dan berputar mengelilingi matahari setahun sekali; tata surya beredar di sekitar galaksi, dan yang saya tahu galaksi itu sendiri bergerak dengan kecepatan tinggi melalui kosmos. Semua mengatakan, kita harus bepergian dengan kecepatan lebih dari 50 km / s sehubungan dengan eter. Seperti seorang pengendara sepeda motor di jalan terbuka, kita menghadapi "angin eter" berkecepatan tinggi kecuali dengan kebetulan yang kebetulan, kita kebetulan menemukan diri kita berada di belokan angin dengan kekuatan yang tepat, atau bumi memiliki semacam "kaca depan" dan menyeret pasokan eter lokalnya bersamaan dengan itu. Tibatiba itu menjadi masalah yang sangat penting untuk menemukan kerangka eter, secara eksperimen, atau semua perhitungan kita akan tidak valid. Masalahnya, kemudian, adalah menentukan gerak kita melalui eter untuk mengukur kecepatan dan arah “angin eter.” Bagaimana kita melakukannya? Pada pandangan pertama, Anda mungkin mengira bahwa hampir semua eksperimen elektromagnetik akan cukup: Jika persamaan Maxwell hanya valid sehubungan dengan kerangka eter, setiap perbedaan antara hasil eksperimen dan prediksi teoritis akan dianggap berasal dari angin eter. Sayangnya, seperti yang segera disadari oleh fisikawan abad ke-19, kesalahan yang diantisipasi dalam eksperimen tipikal sangat kecil; seperti pada contoh di atas, "kebetulan" sepertinya selalu berkonspirasi untuk menyembunyikan fakta bahwa kita menggunakan kerangka referensi "salah". Untuk itu diperlukan eksperimen yang rumit dan tidak biasa. Sekarang, di antara hasil elektrodinamika klasik adalah prediksi bahwa gelombang elektromagnetik berjalan melalui ruang hampa dengan kecepatan : 1 = 3.00 × 108 m/s, √πβμβ relatif (mungkin) ke eter. Maka pada prinsipnya, seseorang harus mampu mendeteksi angin eter hanya dengan mengukur kecepatan cahaya di berbagai arah. Seperti perahu motor di sungai, kecepatan bersih "hilir" harus maksimum, karena di sini cahaya disapu oleh eter; dalam arah yang berlawanan, di mana ia melawan arus, kecepatannya harus minimum (Gbr. 12.2). Walaupun gagasan percobaan ini tidak bisa lebih sederhana, pelaksanaannya adalah masalah lain, karena cahaya berjalan sangat cepat dan tidak nyaman. Jika bukan karena "detail teknis", Anda bisa melakukannya dengan senter dan stopwatch. Ketika itu terjadi, percobaan yang rumit dan indah dirancang oleh Michelson dan Morley, menggunakan interferometer optik presisi yang fantastis. Saya tidak akan membahas detailnya di sini, karena saya tidak ingin mengalihkan perhatian Anda dari dua poin penting: (1) yang coba dilakukan Michelson dan Morley adalah membandingkan kecepatan cahaya dalam arah yang berbeda, dan (2) apa mereka sebenarnya menemukan bahwa kecepatan ini persis sama di semua arah. Saat ini, ketika para siswa diajar di sekolah menengah untuk mencibir pada naif model eter, dibutuhkan imajinasi untuk memahami betapa membingungkannya hasil ini pada saat itu. Semua gelombang lain (gelombang air, gelombang suara, gelombang pada tali) bergerak dengan kecepatan yang ditentukan relatif terhadap media perambatan (hal-hal yang melambai), dan jika media ini bergerak sehubungan dengan pengamat, kecepatan bersih selalu "hilir" lebih besar dari "hulu." Selama 20 tahun ke depan, serangkaian skema yang mustahil disusun untuk menjelaskan mengapa hal ini tidak terjadi dengan cahaya. Michelson dan Morley sendiri menafsirkan percobaan mereka sebagai konfirmasi dari hipotesis "eter drag", yang menyatakan bahwa bumi entah bagaimana menarik eter bersama dengannya. Tetapi ini ditemukan tidak konsisten dengan pengamatan lain, terutama penyimpangan cahaya bintang. 3 Berbagai teori yang disebut "emisi" diusulkan, yang dengannya kecepatan gelombang elektromagnetik diatur oleh gerakan sumbernya - sebagaimana akan terjadi. dalam teori corpuscular (memahami cahaya sebagai aliran partikel). Teori-teori semacam itu menyerukan modifikasi yang tidak masuk akal dalam persamaan Maxwell, tetapi dalam hal apa pun mereka didiskreditkan oleh eksperimen menggunakan sumber cahaya ekstraterestrial. Sementara itu, Fitzgerald dan Lorentz menyarankan bahwa angin eter secara fisik menekan semua materi (termasuk peralatan Michelson-Morley itu sendiri) dengan cara yang tepat untuk mengkompensasi, dan dengan demikian menyembunyikan, variasi dalam kecepatan dengan arah. Ternyata, ada butiran kebenaran dalam hal ini, meskipun gagasan mereka tentang alasan kontraksi cukup salah. Bagaimanapun, tidak sampai Einstein bahwa siapa pun mengambil hasil Michelson- Morley pada nilai nominal, dan menyarankan bahwa kecepatan cahaya adalah konstanta universal, sama di semua arah, terlepas dari gerak pengamat atau sumbernya. Tidak ada angin eter karena tidak ada eter. Setiap sistem inersia adalah kerangka acuan yang cocok untuk penerapan persamaan Maxwell, dan kecepatan muatan harus diukur tidak sehubungan dengan kerangka istirahat absolut (tidak ada), atau berkenaan dengan eter (tidak ada), tetapi hanya dengan sehubungan dengan sistem inersia tertentu yang kebetulan Anda pilih. Terinspirasi, kemudian, baik oleh petunjuk teoritis internal (fakta bahwa hukum elektrodinamika sedemikian rupa untuk memberikan jawaban yang benar bahkan ketika diterapkan dalam sistem "salah") dan dengan bukti empiris eksternal (percobaan Michelson- Morley4), Einstein mengusulkan dua postulat terkenalnya: 1. Prinsip relativitas. Hukum fisika berlaku di semua sistem referensi inersia. 2. Kecepatan cahaya universal. Kecepatan cahaya dalam ruang hampa adalah sama untuk semua pengamat inersia, terlepas dari gerakan sumbernya. Teori relativitas khusus berasal dari dua dalil ini. Yang pertama mengangkat pengamatan Galileo tentang mekanika klasik ke status hukum umum, berlaku untuk semua fisika. Ini menyatakan bahwa tidak ada sistem istirahat absolut. Yang kedua mungkin dianggap sebagai tanggapan Einstein terhadap percobaan Michelson-Morley. Itu berarti tidak ada eter. (Beberapa penulis menganggap postulat kedua Einstein redundan — tidak lebih dari kasus khusus yang pertama. Mereka berpendapat bahwa keberadaan eter akan melanggar prinsip relativitas, dalam arti bahwa itu akan menentukan kerangka referensi stasioner yang unik. Saya pikir ini adalah omong kosong. Keberadaan udara sebagai media suara tidak menyangkal teori relativitas. Eter tidak lebih merupakan sistem istirahat absolut daripada air dalam mangkuk ikan mas — yang merupakan sistem khusus, jika Anda adalah ikan mas, tetapi hampir tidak "absolut."). Tidak seperti prinsip relativitas, yang berakar pada beberapa abad yang lalu, kecepatan cahaya universal secara radikal baru — dan, pada permukaannya, tidak masuk akal. Karena jika saya berjalan 5 mil / jam di koridor kereta berjalan 60 mil / jam, kecepatan bersih saya relatif terhadap tanah adalah "jelas" 65 mil / jam kecepatan A (saya) sehubungan dengan C (tanah) adalah sama dengan kecepatan A relatif ke B (kereta) ditambah kecepatan B relatif ke C : VAC = VAB + VBC (12.1) Namun, jika A adalah sinyal cahaya (apakah itu berasal dari senter di kereta atau lampu di tanah atau bintang di langit) Einstein ingin kita percaya bahwa kecepatannya adalah c relatif terhadap kereta dan c relatif terhadap tanah : VAC = VAB = C (12.2) Jelas, Persamaan. 12.1, yang sekarang kita sebut aturan penambahan kecepatan Galileo (tidak ada yang sebelum Einstein mau repot-repot memberi nama sama sekali) tidak sesuai dengan postulat kedua. Dalam relativitas khusus, seperti yang akan kita lihat, ia digantikan oleh aturan penambahan kecepatan Einstein : π + ππ΅πΆ VAC = π΄π΅ (12.3) ππ΄π΅ ππ΅πΆ 1+ πΆ2 Untuk kecepatan "biasa" (VAB βͺ C, VBC βͺ C), penyebutnya mendekati 1 sehingga perbedaan antara formula Galileo dan formula Einstein dapat diabaikan. Di sisi lain, rumus Einstein memiliki properti yang diinginkan yaitu jika VAB = C, maka secara otomatis VAC = C : VAC = πΆ + ππ΅πΆ =C πΆπ 1+ πΆ 2π΅πΆ Tetapi bagaimana bisa pemerintahan Galileo, yang tampaknya hanya mengandalkan akal sehat, mungkin salah? Dan jika itu salah, apa hubungannya dengan semua fisika klasik? Jawabannya adalah bahwa relativitas khusus memaksa kita untuk mengubah gagasan kita tentang ruang dan waktu itu sendiri, dan karena itu juga dari kuantitas turunan seperti kecepatan, momentum, dan energi. Meskipun secara historis dikembangkan dari kontemplasi Einstein tentang elektrodinamika, teori khusus ini tidak terbatas pada kelas fenomena tertentu — melainkan, ini adalah deskripsi dari "arena" ruang-waktu di mana semua fenomena fisik terjadi. Dan meskipun mengacu pada kecepatan cahaya dalam postulat kedua, relativitas tidak ada hubungannya dengan cahaya: c adalah kecepatan fundamental, dan kebetulan cahaya bergerak dengan kecepatan itu, tetapi sangat mungkin untuk membayangkan alam semesta di mana tidak ada muatan listrik, dan karenanya tidak ada medan atau gelombang elektromagnetik, namun relativitas masih akan menang. Karena relativitas mendefinisikan struktur ruang dan waktu, ia mengklaim otoritas tidak hanya atas semua fenomena yang diketahui saat ini, tetapi juga atas yang belum ditemukan. Ini, seperti yang akan dikatakan Kant, “ramalan bagi fisika masa depan.” 12.1.2 Geometri Relativitas Pada bagian ini saya menyajikan serangkaian eksperimen gedanken (pemikiran) yang berfungsi untuk memperkenalkan tiga konsekuensi geometris yang paling mencolok dari postulat Einstein: pelebaran waktu, kontraksi Lorentz, dan relativitas simultan. Serangga. 12.1.3 hasil yang sama akan diperoleh secara lebih sistematis, menggunakan transformasi Lorentz. (i) Relativitas simultanitas. Bayangkan sebuah gerbong barang, melaju dengan kecepatan konstan di sepanjang lintasan lurus yang mulus (Gbr. 12.4). Di tengah-tengah mobil ada lampu gantung. Ketika seseorang menyalakannya, lampu menyebar ke segala arah dengan kecepatan c. Karena lampu berjarak sama dari kedua ujungnya, seorang pengamat di kereta akan menemukan bahwa cahaya mencapai ujung depan pada saat yang sama ketika mencapai ujung belakang: Dua peristiwa yang dipertanyakan— (a) cahaya mencapai ujung depan ( dan mungkin bel berbunyi) dan (b) lampu mencapai bagian belakang (bel lain berbunyi) —terjadi secara bersamaan. Namun, bagi seorang pengamat di lapangan dua peristiwa yang sama ini tidak simultan. Karena ketika cahaya bergerak keluar dari bohlam (melaju dengan kecepatan c di kedua arah — itu adalah dalil kedua), kereta itu sendiri bergerak maju, sehingga sinar yang menuju ujung belakang memiliki jarak yang lebih pendek untuk dilalui daripada yang melaju ke depan ( Gbr. 12.5). Menurut pengamat ini, oleh karena itu, peristiwa (b) terjadi sebelum peristiwa (a). Seorang pengamat yang lewat di kereta ekspres, sementara itu, akan melaporkan bahwa (a) didahului (b). Kesimpulan : Dua peristiwa yang simultan dalam satu sistem inersia tidak, secara umum, simultan di yang lain. Secara alami, kereta harus berjalan sangat cepat sebelum ketidaksesuaian menjadi terdeteksi itu sebabnya Anda tidak memperhatikannya sepanjang waktu. Tentu saja, selalu mungkin bagi saksi naif untuk keliru tentang simultanitas: seseorang yang duduk di sudut belakang mobil akan mendengar bel b sebelum bel a, hanya karena dia lebih dekat dengan sumber suara, dan seorang anak mungkin menyimpulkan bahwa b sebenarnya berdering sebelum a. Tetapi ini adalah kesalahan sepele, tidak ada hubungannya dengan relativitas khusus jelas, Anda harus mengoreksi waktu sinyal (suara, cahaya, merpati pos, atau apa pun) yang diperlukan untuk mencapai Anda. Ketika saya berbicara tentang seorang pengamat, yang saya maksud adalah seseorang yang memiliki akal untuk melakukan koreksi ini, dan pengamatan adalah apa yang dia catat setelah melakukannya. Oleh karena itu, apa yang Anda dengar atau lihat tidak sama dengan apa yang Anda amati. Pengamatan adalah rekonstruksi buatan setelah fakta, ketika semua data masuk, dan itu tidak tergantung di mana pengamat berada. Bahkan, seorang pengamat yang bijak akan menghindari seluruh masalah dengan menempatkan asisten di lokasi strategis, masing-masing dilengkapi dengan arloji yang disinkronkan dengan jam utama, sehingga pengukuran waktu dapat dilakukan tepat di tempat kejadian. Saya mengulangi poin ini untuk menekankan bahwa relativitas simultanitas adalah perbedaan asli antara pengukuran yang dilakukan oleh pengamat yang kompeten dalam gerakan relatif, bukan kesalahan sederhana yang timbul dari kegagalan untuk memperhitungkan waktu perjalanan sinyal cahaya. (ii) Pelebaran waktu. Sekarang mari kita pertimbangkan sinar cahaya yang meninggalkan bola lampu dan menabrak lantai mobil tepat di bawah. Pertanyaan: Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk melakukan perjalanan ini? Dari sudut pandang pengamat di kereta, jawabannya mudah: Jika ketinggian mobil h, waktunya adalah : βπ‘ = β (12.4) π (Saya akan menggunakan overbar untuk menunjukkan pengukuran yang dilakukan di kereta.) Di sisi lain, seperti yang diamati dari tanah, sinar yang sama ini harus bergerak lebih jauh, karena kereta itu sendiri bergerak. Dari Gambar 12.7, saya melihat bahwa jarak ini adalah √β2 + (π£βπ‘)², jadi : βπ‘ = Pemecahan untuk βt, kita punya : βπ‘ = √β2+(π£βπ‘)² π β 1 π √1− π 2 πΆ2 dan oleh karena itu : βπ‘ = √1 − π2 πΆ2 βπ‘ (12.5) Jelas waktu yang berlalu antara dua peristiwa yang sama— (a) bola lampu meninggalkan, dan (b) garis cahaya pusat lantai berbeda untuk kedua pengamat. Bahkan, interval yang direkam pada jam kereta api, βπ‘, lebih pendek oleh faktornya : β 1 πΎ≡ (12.6) π2 π √1− πΆ2 Kesimpulan : “Jam yang bergerak berjalan lambat”. Ini disebut pelebaran waktu. Itu tidak ada hubungannya dengan mekanisme jam; itu adalah pernyataan tentang sifat waktu, yang berlaku untuk semua arloji yang berfungsi dengan baik. Dari semua prediksi Einstein, tidak ada yang menerima konfirmasi yang lebih spektakuler dan persuasif daripada pelebaran waktu. Sebagian besar partikel elementer tidak stabil: mereka hancur setelah masa hidup yang khas, yang bervariasi dari satu spesies ke spesies berikutnya. Umur neutron adalah 15 menit; dari muon, 2 × 10−6 s; dan dari pion netral, 9 × 10−17 dtk. Tapi ini adalah masa hidup partikel saat istirahat. Ketika partikel bergerak dengan kecepatan mendekati C , mereka bertahan lebih lama, karena jam internal mereka (apa pun yang memberitahu mereka ketika waktunya habis) berjalan lambat, sesuai dengan rumus pelebaran waktu Einstein. Mungkin mengejutkan Anda bahwa pelebaran waktu tidak sesuai dengan prinsip relativitas. Karena jika pengamat darat mengatakan jam kereta berjalan lambat, pengamat kereta bisa dengan adil mengklaim bahwa jam tanah berjalan lambat — dari sudut pandang kereta, itu adalah tanah yang bergerak. Siapa yang benar Jawab: Keduanya benar! Pada pemeriksaan lebih dekat, "kontradiksi," yang tampaknya sangat kejam, menguap. Biarkan saya jelaskan: Untuk memeriksa laju jam kereta api, pengamat darat menggunakan dua jamnya sendiri (Gbr. 12.8): satu untuk membandingkan waktu di awal interval, ketika jam kereta melewati titik A, yang lain untuk membandingkan waktu di akhir interval, ketika jam kereta melewati titik B. Tentu saja, dia harus berhati-hati untuk menyinkronkan jamnya sebelum percobaan. Apa yang dia temukan adalah bahwa sementara jam kereta api berdetak, katakanlah, 3 menit, jeda antara keduanya pembacaan jam adalah 5 menit. Dia menyimpulkan bahwa jam kereta berjalan lambat. Sementara itu, pengamat di kereta sedang memeriksa laju jam tanah dengan prosedur yang sama: Dia menggunakan dua jam kereta yang disinkronkan dengan hati-hati, dan membandingkan waktu dengan satu jam tanah saat dilewati oleh masing-masing secara bergantian (Gbr. 12.9) . Dia menemukan bahwa sementara jam ground berdentang 3 menit, interval antara jam kereta adalah 5 menit, dan menyimpulkan bahwa jam ground berjalan lambat. Apakah ada kontradiksi? Tidak, karena dua pengamat telah mengukur hal yang berbeda. Pengamat darat membandingkan satu jam kereta dengan dua jam tanah; pengamat kereta membandingkan satu jam tanah dengan dua jam kereta. Masing-masing mengikuti prosedur yang masuk akal dan benar, membandingkan satu jam bergerak dengan dua jam diam. "Jadi apa," kata Anda, "jam stasioner disinkronkan dalam setiap contoh, jadi tidak masalah bahwa mereka menggunakan dua yang berbeda." Tetapi ada intinya: Jam yang disinkronkan dengan benar dalam satu sistem tidak akan disinkronkan ketika diamati dari sistem lain. Mereka tidak bisa, karena mengatakan bahwa dua jam disinkronkan adalah dengan mengatakan bahwa mereka membaca 12 siang secara bersamaan, dan kami telah belajar bahwa apa yang simultan untuk satu pengamat tidak simultan dengan yang lain. Jadi, sementara masingmasing pengamat melakukan pengukuran suara yang sempurna, dari sudut pandangnya sendiri, pengamat lain (menonton TV, proses) menganggap bahwa dia membuat kesalahan paling mendasar dalam buku, dengan menggunakan dua jam yang tidak disinkronkan. Begitulah, terlepas dari kenyataan bahwa jamnya "sebenarnya" berjalan lambat, ia berhasil menyimpulkan bahwa jamnya berjalan lambat (dan sebaliknya). Karena jam bergerak tidak disinkronkan, penting ketika memeriksa pelebaran waktu untuk memusatkan perhatian pada satu jam bergerak. Semua jam bergerak berjalan lambat dengan faktor yang sama, tetapi Anda tidak dapat memulai penghitungan waktu pada satu jam dan kemudian beralih ke jam lain karena mereka tidak dalam langkah untuk memulai. Tetapi Anda dapat menggunakan jam stasioner sebanyak (stasioner berkenaan dengan Anda, pengamat) sesuka Anda, karena mereka disinkronkan dengan benar (pengamat bergerak akan membantah ini, tapi itu masalah mereka). (iii) kontraksi Lorentz. Untuk percobaan gedanken ketiga, Anda harus membayangkan bahwa kami telah memasang lampu di salah satu ujung gerbong dan cermin di ujung lainnya, sehingga sinyal cahaya dapat dikirim turun dan kembali (Gbr. 12.10). Pertanyaan: Berapa lama sinyalnya untuk menyelesaikan perjalanan pulang pergi? Bagi seorang pengamat di kereta, jawabannya adalah : βπ‘ = 2 βπ₯ (12.7) π di mana βπ₯ adalah panjang mobil (overbar, seperti sebelumnya, menunjukkan pengukuran yang dilakukan di kereta). Bagi seorang pengamat di lapangan, prosesnya lebih rumit karena gerakan kereta. Jika βπ‘β adalah waktu bagi sinyal cahaya untuk mencapai ujung depan, dan βπ‘β adalah waktu pengembalian, maka (lihat Gambar 12.11) : βπ₯+π£βπ‘β βπ₯+π£βπ‘β βπ‘β = βπ‘β = π atau, pemecahan untuk βπ‘β dan βπ‘β : Jadi waktu pulang pergi adalah : π βπ‘β = βπ₯ βπ‘β = π−π£ βπ‘ = βπ‘β + βπ‘β = 2 β π₯ 1 π 1− βπ₯ π−π£ π2 πΆ2 Tetapi interval ini terkait dengan rumus pelebaran waktu, Persamaan. 12.5 : βπ‘ = √1 − π2 πΆ2 βπ‘ (12.8) Menerapkan ini ke Persamaan. 12.7 dan 12.8, saya menyimpulkan itu : βπ₯ = √1 − π2 πΆ2 βπ₯ (12.9) Panjang gerbong tidak sama ketika diukur oleh pengamat di tanah, seperti saat diukur oleh pengamat di kereta — dari sudut pandang tanah, itu agak lebih pendek. Kesimpulan : Benda bergerak dipersingkat. Kami menyebutnya kontraksi Lorentz. Perhatikan bahwa faktor yang sama, π2 πΆ2 muncul dalam rumus pelebaran waktu dan rumus kontraksi Lorentz. Ini membuatnya sangat mudah untuk diingat: Jam bergerak berjalan lambat, tongkat bergerak dipersingkat, dan faktornya selalu γ. Tentu saja, pengamat di kereta tidak berpikir mobilnya dipersingkat — meterannya dikontrak oleh faktor yang sama, jadi semua pengukurannya keluar sama seperti ketika kereta berdiri di stasiun. Bahkan, dari sudut pandangnya itu adalah benda-benda di tanah yang disingkat. Ini menimbulkan lagi masalah paradoks: Jika A mengatakan tongkat B pendek, dan B mengatakan tongkat A pendek, siapa yang benar Jawab: Keduanya! Tetapi untuk merekonsiliasi klaim saingan kita harus mempelajari dengan cermat proses aktual dimana panjang diukur. Misalkan Anda ingin menemukan panjang papan. Jika diam (sehubungan dengan Anda), Anda cukup meletakkan penggaris di samping papan, catat bacaan di setiap ujung, dan kurangi (Gbr. 12.12). (Jika Anda benar-benar pintar, Anda akan menyejajarkan ujung kiri penggaris dengan ujung kiri papan — maka Anda hanya perlu membaca satu nomor.) πΎ ≡ √1 − Tetapi bagaimana jika papan bergerak? Kisah yang sama, hanya kali ini, tentu saja, Anda harus berhati-hati untuk membaca kedua ujungnya pada saat yang bersamaan. Jika Anda tidak melakukannya, dewan akan bergerak di jalur pengukuran, dan jelas Anda akan mendapatkan jawaban yang salah. Tapi di situlah masalahnya: Karena relativitas simultan, kedua pengamat tidak setuju tentang apa yang merupakan "momen waktu yang sama." Ketika orang di tanah mengukur panjang gerbong, ia membaca posisi kedua ujungnya secara bersamaan di sistemnya. Tetapi orang di kereta, mengawasinya melakukannya, mengeluh bahwa ia membaca ujung depan terlebih dahulu, lalu menunggu sebentar sebelum membaca ujung belakang. Secara alami, dia keluar pendek, terlepas dari kenyataan bahwa (bagi dia) dia menggunakan meteran berukuran kecil, yang jika tidak menghasilkan angka terlalu besar. Kedua pengamat mengukur panjang dengan benar (dari sudut pandang masing-masing bingkai inersia mereka), dan masing-masing menemukan tongkat yang lain dipersingkat. Namun tidak ada ketidakkonsistenan, karena mereka mengukur hal-hal yang berbeda, dan masing-masing menganggap metode yang lain tidak tepat. Satu komentar terakhir tentang kontraksi Lorentz. Objek yang bergerak dipersingkat hanya sepanjang arah gerakannya : Dimensi yang tegak lurus terhadap kecepatan tidak dikontrak. Memang, dalam memperoleh formula pelebaran waktu saya menerima begitu saja bahwa ketinggian kereta adalah sama untuk kedua pengamat. Sekarang saya akan membenarkan ini, menggunakan eksperimen gedanken yang indah yang disarankan oleh Taylor dan Wheeler.8 Bayangkan bahwa kita membangun dinding di samping rel kereta api, dan 1 m di atas rel (seperti diukur di tanah), kita melukis garis biru horizontal . Ketika kereta melintas, seorang penumpang mencondongkan tubuh ke luar jendela dengan memegang kuas basah 1 m di atas rel, yang diukur di kereta, meninggalkan garis merah horizontal di dinding. Pertanyaan: Apakah garis merah penumpang terletak di atas atau di bawah garis biru kita? Jika aturannya adalah bahwa arah kontrak tegak lurus, maka orang yang berada di darat akan memperkirakan bahwa garis merah lebih rendah, sedangkan orang di kereta akan mengatakan itu garis biru (untuk yang terakhir, tentu saja, tanah bergerak). Prinsip relativitas mengatakan bahwa kedua pengamat sama-sama dibenarkan, tetapi keduanya tidak bisa benar. Tidak ada kehalusan simultan atau sinkronisasi yang dapat merasionalisasi kontradiksi ini; entah garis biru lebih tinggi atau garis merah kecuali jika mereka benar-benar bertepatan, yang merupakan kesimpulan yang tak terhindarkan. Tidak mungkin ada hukum kontraksi (atau perluasan) dimensi tegak lurus, karena itu akan mengarah pada prediksi yang tidak konsisten dan tidak dapat dipertemukan. 12.1.3 Transformasi Lorentz Setiap proses fisik terdiri dari satu peristiwa atau lebih. "Peristiwa" adalah sesuatu yang terjadi di lokasi tertentu (x, y, z), pada waktu yang tepat (t). Ledakan petasan, misalnya, adalah peristiwa; tur Eropa tidak. Misalkan kita mengetahui koordinat (x, y, z, t) dari peristiwa E tertentu dalam satu sistem inersia S, dan kami ingin menghitung koordinat (π₯, π¦Μ , π§Μ , π‘) dari peristiwa yang sama dalam beberapa sistem inersia lainnya πΜ . Yang kita butuhkan adalah "kamus" untuk menerjemahkan dari bahasa S ke bahasa πΜ . Kita juga bisa mengarahkan sumbu kita seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 12.16, sehingga πΜ meluncur sepanjang sumbu x dengan kecepatan v. Jika kita "memulai jam" (t = 0) pada saat asalusulnya (O dan π) bertepatan, maka pada waktu t, πakan menjadi jarak vt dari O, dan karenanya. x = d + vt (12.10) di mana d adalah jarak dari π ke π΄ pada waktu t (π΄ adalah titik pada sumbu π₯ yang bahkan dengan E ketika peristiwa terjadi). Sebelum Einstein, siapa pun akan segera mengatakan itu : d=π₯ (12.11) dan dengan demikian membangun "pengertian" : (i) π₯ = x- vt (ii) π¦Μ = y (iii) π§Μ = z (iv) π‘=t (12.12) Ini sekarang disebut transformasi Galilea, meskipun mereka hampir tidak layak mendapatkan gelar yang begitu bagus - yang terakhir, khususnya, tidak perlu dikatakan lagi, karena semua orang menganggap aliran waktu adalah sama untuk semua pengamat. Namun, dalam konteks relativitas khusus, kita harus berharap (iv) digantikan oleh aturan yang menggabungkan pelebaran waktu, relativitas simultanitas, dan sinkronisasi jam bergerak yang tidak sinkron. Demikian juga, akan ada modifikasi dalam (i) untuk memperhitungkan kontraksi Lorentz. Adapun (ii) dan (iii), mereka, setidaknya, tetap tidak berubah, karena kita telah melihat bahwa tidak ada modifikasi panjang yang tegak lurus terhadap gerakan. Tetapi di mana derivasi klasik dari (i) rusak? Jawab: Dalam Persamaan. 12.11. Untuk d adalah jarak dari π ke π΄ yang diukur dalam S, sedangkan π₯ adalah jarak dari π ke π΄ yang diukur dalam πΜ . Karena π dan π΄ diam di πΜ , π₯ adalah "tongkat penggerak," yang tampaknya dikontrakkan ke S : π= 1π₯ (12.13) πΎ Saat ini dimasukkan dalam Persamaan. 12.10 kami mendapatkan versi relativistik dari (i) : π₯ = πΎ(π₯ − π£π‘) (12.14) Tentu saja, kita bisa menjalankan argumen yang sama dari sudut pandang πΜ . Diagram (Gbr. 12.17) terlihat serupa, tetapi dalam kasus ini menggambarkan adegan pada waktu π‘, sedangkan Gambar. 12.16 menunjukkan adegan pada waktu t. (Perhatikan bahwa t dan π‘ mewakili instan fisik yang sama pada E, tetapi tidak di tempat lain, karena relativitas simultan.) Jika kita mengasumsikan bahwa πΜ juga memulai jamnya ketika asal-usulnya bertepatan, maka pada waktu π‘, O akan jauhkanlah vπ‘ dari π, dan karenanya : π₯ = π − π£π‘ (12.15) di mana π adalah jarak dari O ke A pada waktu π‘, dan A adalah titik pada sumbu x yang bahkan dengan E ketika peristiwa itu terjadi. Fisikawan klasik akan mengatakan bahwa x = π, dan, menggunakan (iv), pulih (i). Tapi, seperti sebelumnya, relativitas menuntut kita mengamati perbedaan yang halus: x adalah jarak dari O ke A di S, sedangkan π adalah jarak dari O ke A di πΜ . Karena O dan A diam di S, x adalah "tongkat penggerak," dan, : π= 1x (12.16) πΎ Karena itu : π₯ = πΎ(π₯ + π£π‘) (12.17) Persamaan terakhir ini tidak mengherankan, karena simetri situasi menentukan bahwa rumus untuk x, dalam hal π₯ dan π‘, harus identik dengan rumus untuk π₯ dalam hal x dan t (Persamaan 12.14) , kecuali untuk saklar dalam tanda v. (Jika πΜ pergi ke kanan dengan kecepatan v, sehubungan dengan S, maka S akan ke kiri dengan kecepatan v, sehubungan dengan πΜ .) Namun demikian, ini adalah hasil yang bermanfaat, karena jika kita mengganti π₯ dari Persamaan. 12.14, dan selesaikan untuk π‘, kami menyelesaikan "kamus" relativistik : (12.18) Ini adalah transformasi Lorentz yang terkenal, dengan mana Einstein menggantikan yang Galilea. Mereka mengandung semua informasi geometris dalam teori khusus, seperti contoh-contoh berikut menggambarkan. Kamus terbalik, yang membawa Anda dari πΜ kembali ke S, dapat diperoleh secara aljabar dengan memecahkan (i) dan (iv) untuk x dan t, atau, lebih sederhana, dengan mengganti tanda v : (12.19) 12.1.4 Struktur Ruang waktu (i) Empat vektor. Transformasi Lorentz mengambil tampilan yang lebih sederhana ketika dinyatakan dalam jumlah π£ π₯0 ≡ ππ‘ , π½ ≡ (12.21) π Menggunakan π₯0 (bukan t) dan β (bukan v) sama dengan mengubah satuan waktu dari detik ke meter — 1 meter π₯0 sesuai dengan waktu yang dibutuhkan cahaya untuk menempuh 1 meter (dalam ruang hampa udara). Jika, pada saat yang sama, kami beri angka koordinat x, y, z, sehingga π₯1 = x, π₯2 = y, π₯3 = z (12.22) kemudian transformasi Lorentz terbaca : (12.23) Atau, dalam bentuk matriks : (12.24) Membiarkan indeks Yunani berjalan dari 0 hingga 3, ini dapat disaring menjadi satu persamaan : di mana Λ matriks transformasi Lorentz dalam Persamaan. 12.24 (superscript μ memberi label pada baris, subscript ν memberi label pada kolom). Salah satu keutamaan menulis hal-hal dengan cara abstrak ini adalah bahwa kita dapat menangani dalam format yang sama transformasi yang lebih umum, di mana gerakan relatif tidak sepanjang sumbu x π₯ yang umum; matriks Λ akan lebih rumit, tetapi struktur Persamaan. 12.25 tidak berubah. Jika ini mengingatkan Anda tentang rotasi yang kami pelajari di Sect. 1.1.5, ini bukan kebetulan. Di sana kami khawatir dengan perubahan komponen ketika Anda beralih ke sistem koordinat yang diputar; di sini kami tertarik pada perubahan komponen ketika Anda pergi ke sistem yang bergerak. Dalam Bab 1 kita mendefinisikan vektor (3) sebagai setiap set dari tiga komponen yang mengubah di bawah rotasi dengan cara yang sama (x, y, z) lakukan; dengan ekstensi, kami sekarang mendefinisikan 4-vektor sebagai setiap set empat komponen yang bertransformasi dengan cara yang sama seperti (π₯0, π₯1, π₯2, π₯3) di bawah transformasi Lorentz : Untuk kasus tertentu dari transformasi sepanjang sumbu x, Ada analog 4-vektor ke produk titik (A · B ≡ Ax Bx + Ay By + Az Bz), tetapi itu bukan hanya jumlah produk dari komponen sejenis; sebaliknya, komponen nol memiliki tanda minus : ini adalah produk skalar empat dimensi; Anda harus memeriksa sendiri (Prob. 12.17) bahwa ia memiliki nilai yang sama di semua sistem inersia: sama seperti produk titik biasa adalah invarian (tidak berubah) di bawah rotasi, kombinasi ini tidak berubah di bawah transformasi Lorentz. Untuk melacak tanda minus, lebih mudah untuk memperkenalkan vektor kovarian aμ, yang berbeda dari kontravarian aμ hanya pada tanda komponen zeroth: Anda harus sangat berhati-hati tentang penempatan indeks dalam bisnis ini: indeks atas menunjuk vektor-vektor contravarian; indeks yang lebih rendah adalah untuk vektor kovarian. Meningkatkan atau menurunkan indeks temporal membutuhkan tanda minus (a0 = −a0); menaikkan atau menurunkan indeks spasial tidak mengubah apa pun (a1 = a1, a2 = a2, a3 = a3). Secara formal, : adalah metrik (Minkowski). ∑3π=0 ππππ Produk skalar sekarang dapat ditulis dengan simbol penjumlahan, atau, lebih kompak lagi, π π ππ (12.32) (Penjumlahan disiratkan setiap kali indeks Yunani diulang dalam suatu produk — sekali sebagai indeks kovarian dan sekali sebagai contravarian. Ini disebut konvensi penjumlahan Einstein, setelah penemunya, yang menganggapnya sebagai salah satu kontribusi terpentingnya.) Tentu saja, kita bisa juga merawat tanda minus dengan beralih ke kovarian b: ππππ = ππππ = −π0π0 + π1π1+ π 2π2+ π3π3 (12.33) (ii) Interval tidak tetap. Produk skalar dari 4-vektor dengan itu sendiri, ππππ = −(π0)2 + (π1)2+ (π2)2+ (π3)2, bisa positif (jika istilah "spasial" mendominasi) atau negatif (jika istilah "temporal" mendominasi) atau nol : (i) Jika ππππ > 0, ππ disebut spacelike. π (ii) Jika π ππ < 0, ππ disebut timelike. (iii) Jika ππππ = 0, ππ disebut lightlike. Misalkan peristiwa A terjadi pada (π₯0, π₯1, π₯2, π₯3), dan acara B di (π₯0, π₯1 , π₯2, π₯3). π΄ Perbedaan, π΄ π΄ βπ₯π ≡ π₯π − π₯π π΄ π΅ π΄ π΅ π΅ π΅ π΅ (12.35) adalah perpindahan 4-vektor. Produk skalar βπ₯π dengan dirinya sendiri disebut interval invarian antara dua peristiwa : l ≡ (βπ₯)π(βπ₯)π= −(βπ₯0)2 + (βπ₯1)2+ (βπ₯2)2+ (βπ₯3)2 = −π 2π‘2 + π2 (12.36) di mana t adalah perbedaan waktu antara dua peristiwa dan d adalah pemisahan spasial mereka. Ketika Anda mentransformasikannya ke sistem yang bergerak, waktu antara A dan B diubah (π‘ ≠ t), dan begitu juga pemisahan spasial (π ≠ d), tetapi interval I tetap sama. Jika perpindahan antara dua peristiwa adalah seperti waktu (I <0), ada sistem inersia (dapat diakses oleh transformasi Lorentz) di mana mereka terjadi pada titik yang sama. Karena jika saya naik kereta pergi dari (A) ke (B) pada kecepatan v = d / t, meninggalkan peristiwa A ketika itu terjadi, saya akan tepat waktu untuk melewati B ketika itu terjadi; dalam sistem kereta, A dan B terjadi pada titik yang sama. Anda tidak dapat melakukan ini untuk interval seperti ruang angkasa, tentu saja, karena v harus lebih besar dari c, dan tidak ada pengamat yang dapat melebihi kecepatan cahaya (γ akan menjadi imajiner dan transformasi Lorentz akan menjadi omong kosong). Di sisi lain, jika perpindahannya seperti spacelike (I> 0), maka ada sistem di mana dua peristiwa terjadi pada waktu yang sama (lihat Prob. 12.21). Dan jika perpindahannya seperti cahaya (I = 0), maka dua peristiwa tersebut dapat dihubungkan oleh sinyal cahaya. (iii) Diagram ruang-waktu. Jika Anda ingin merepresentasikan gerakan partikel secara grafis, praktik normal adalah memplot posisi versus waktu (yaitu, x berjalan secara vertikal dan t secara horizontal). Pada grafik seperti itu, kecepatannya dapat dibaca sebagai kemiringan kurva. Untuk beberapa alasan, konvensi ini terbalik dalam relativitas: semua orang merencanakan posisi secara horizontal dan waktu (atau, lebih baik, x 0 = ct) secara vertikal. Kecepatan kemudian diberikan oleh kebalikan dari kemiringan. Partikel yang diam diwakili oleh garis vertikal; foton, bergerak dengan kecepatan cahaya, dijelaskan oleh garis 45β¦; dan sebuah roket dengan kecepatan sedang mengikuti garis kemiringan c / v = 1 / β (Gbr. 12.21). Kami menyebutnya plot seperti diagram Minkowski. Lintasan partikel pada diagram Minkowski disebut garis dunia. Misalkan Anda berangkat dari asal pada waktu t = 0. Karena tidak ada objek material yang dapat bergerak lebih cepat dari cahaya, garis dunia Anda tidak akan pernah memiliki kemiringan kurang dari 1. Oleh karena itu, gerakan Anda terbatas pada wilayah berbentuk baji yang dibatasi oleh dua garis 45β¦ (Gbr. 12.22). Kami menyebutnya "masa depan" Anda, dalam arti bahwa itu adalah lokus dari semua titik yang dapat Anda akses. Tentu saja, seiring berjalannya waktu, dan Anda bergerak di sepanjang garis dunia pilihan Anda, pilihan Anda semakin sempit: "masa depan" Anda setiap saat adalah "irisan" maju yang dibangun pada titik mana pun yang Anda temukan sendiri. Sementara itu, irisan mundur mewakili "masa lalu" Anda, dalam arti bahwa itu adalah lokus dari semua titik dari mana Anda mungkin datang. Adapun sisanya (wilayah di luar irisan maju dan mundur), ini adalah "hadiah" umum. Anda tidak bisa sampai di sana, dan Anda tidak datang dari sana. Faktanya, tidak mungkin Anda dapat memengaruhi peristiwa apa pun di masa kini (pesan tersebut harus bergerak lebih cepat dari cahaya); ini adalah bentangan luas ruangwaktu yang benar-benar tidak dapat diakses oleh Anda. Saya telah mengabaikan arah y dan z. Jika kita memasukkan sumbu y yang keluar dari halaman, "wedges" menjadi kerucut — dan, dengan sumbu z yang tidak dapat ditarik, hypercones. Karena batas mereka adalah lintasan sinar cahaya, kami menyebutnya kerucut cahaya ke depan dan kerucut cahaya ke belakang. Masa depan Anda, dengan kata lain, terletak di dalam kerucut cahaya depan Anda, masa lalu Anda dalam kerucut cahaya mundur Anda. Perhatikan bahwa kemiringan garis yang menghubungkan dua peristiwa pada diagram ruangwaktu memberi tahu Anda secara sekilas apakah perpindahan di antara keduanya adalah seperti waktu (kemiringan lebih besar dari 1), spacelike (kemiringan kurang dari 1), atau mirip cahaya (kemiringan 1). Misalnya, semua titik di masa lalu dan masa depan adalah seperti waktu sehubungan dengan lokasi Anda saat ini, sedangkan titik di masa sekarang adalah seperti ruang, dan titik pada kerucut cahaya seperti cahaya. Hermann Minkowski, yang adalah orang pertama yang mengakui signifikansi geometris penuh relativitas khusus, memulai ceramah terkenal pada tahun 1908 dengan kata-kata, "Mulai sekarang ruang dengan sendirinya, dan waktu dengan sendirinya, ditakdirkan untuk memudar menjadi sekadar bayangan, dan hanya sebuah jenis persatuan keduanya akan melestarikan realitas independen. " Itu pemikiran yang indah, tetapi Anda harus berhati-hati untuk tidak terlalu banyak membaca. Karena sama sekali tidak demikian halnya bahwa waktu adalah “hanya koordinat lain, dengan pijakan yang sama dengan x, y, dan z” (kecuali bahwa untuk alasan yang tidak jelas kita mengukurnya pada jam bukan pada penggaris). Tidak: Waktu benar-benar berbeda dari yang lain, dan tanda pembedaannya adalah tanda minus dalam interval invarian. Tanda minus itu memberi ruangwaktu geometri hiperbolik yang jauh lebih kaya daripada geometri melingkar ruang 3. Di bawah rotasi tentang sumbu z, titik P dalam bidang xy menggambarkan lingkaran: lokus semua titik jarak tetap r = √π₯2+π¦Μ 2dari titik asal (Gbr. 12.23). Namun, di bawah transformasi Lorentz, interval I = (π₯2 − π2π‘2 ) yang dipertahankan, dan lokus semua titik dengan nilai I yang diberikan adalah hiperbola atau, jika kita memasukkan sumbu y, hiperboloid revolusi. Ketika perpindahannya seperti timel, itu adalah "hiperboloid dua lembar" (Gbr. 12.24a); ketika perpindahannya seperti pesawat ruang angkasa, itu adalah "hiperboloid satu lembar" (Gbr. 12.24b). Ketika Anda melakukan transformasi Lorentz (yaitu, ketika Anda masuk ke sistem inersia bergerak), koordinat (x, t) dari peristiwa yang diberikan akan berubah menjadi (π₯, π‘), tetapi koordinat baru ini akan terletak pada hiperbola yang sama dengan (x, t). Dengan kombinasi transformasi dan rotasi Lorentz yang tepat, suatu tempat dapat digerakkan sesuka hati di atas permukaan hiperboloid yang diberikan, tetapi tidak ada jumlah transformasi yang akan membawanya, katakanlah, dari lembar atas hiperboloid mirip-waktu ke lembar bawah, atau untuk hiperboloid seperti ruang angkasa. Ketika kami membahas simultan, saya menunjukkan bahwa pemesanan waktu dari dua peristiwa dapat, setidaknya dalam kasus-kasus tertentu, dibalik, hanya dengan masuk ke sistem bergerak. Tetapi kita sekarang melihat bahwa ini tidak selalu mungkin: Jika perpindahan 4-vektor antara dua peristiwa adalah seperti waktu, urutannya mutlak; jika intervalnya seperti spacel, urutannya tergantung pada sistem inersia tempat mereka diamati. Dalam hal diagram ruang-waktu, peristiwa pada lembaran atas hiperboloid mirip-waktu pasti terjadi setelah (0, 0), dan satu pada lembar bawah pasti terjadi sebelumnya; tetapi suatu peristiwa pada hiperboloid seperti ruang angkasa terjadi pada t positif, atau t negatif, tergantung pada kerangka referensi Anda. Ini bukan keingintahuan kosong, karena itu menyelamatkan gagasan kausalitas, di mana semua fisika didasarkan. Jika selalu memungkinkan untuk membalik urutan dua peristiwa, maka kita tidak akan pernah bisa mengatakan "A menyebabkan B," karena pengamat saingan akan menjawab bahwa B mendahului A. Rasa malu ini dihindari, asalkan kedua peristiwa itu mirip waktu atau seperti cahaya dipisahkan. Dan peristiwa-peristiwa yang berhubungan dengan sebab-akibat adalah — jika tidak, tidak ada pengaruh yang dapat berpindah dari satu ke yang lain. Kesimpulan: Perpindahan antara peristiwa yang berhubungan dengan sebab-akibat selalu seperti waktu, dan urutan waktu mereka adalah sama untuk semua pengamat inersia.
