Kalkulus[1]

MAKALAH
KONSEP DASAR PROBABILITAS
NAMA MAHASISWA : DODI RMPUNA BOANGMANALU
MICHAEL HUTAHURUK
FHANSZOY A. NAIBAHO
DOSEN PENGAMPU : OLNES YOSEFA HUTAJULU, S.Pd., M.eng.
MATA KULIAH
: PROBABILITAS DAN STATISTIKA
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2020
Limit Fungsi
A. Pengertian Limit
Jika f(x) adalah fungsi real dan c adalah bilangan real, maka:
berarti f(x) dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan L dengan
cara membuat nilai x dekat dengan c. Dalam contoh ini, "limit dari f(x),
bila x mendekati c, adalah L". Perlu diingat bahwa kalimat sebelumnya berlaku,
meskipun f(c)
L. Bahkan, fungsi f(x) tidak perlu terdefinisikan pada titik c.
Pengertian tentang limit dapat diperoleh dengan melihat contoh berikut ini.
Contoh: Perhatikan fungsi
untuk nilai x yang mendekati 1
X
0
0,9
0,95
0,98
…
1,0001
1,0005
1,05
1,1
f(x)
…
2,0001
2,0005
2,05
2,1
1
1,9
1,95
1,98
Gambar grafiknya
Dari gambar dan tabel dapat disimpulkan:
→ Jika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 2
→ Jika x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2
→ Jadi, jika x mendekati 1, maka nilai f(x) mendekati 2
B. Teorema :
Jika limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya tidak ada
Hasil limit tidak boleh bentuk tak tentu:
C. Sifat-Sifat Limit
D. Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:
1. Substitusi langsung
Contoh:
2. Pemfaktoran (biasanya untuk bentuk 0/0)
Contoh:
Ingat:
(a2 – b2) = (a – b)(a + b)
(a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)
(a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)
3. Dikali sekawan (jika ada bentuk akar)
Contoh:
4. Untuk limit tak terhingga:
→ Jika bentuknya sudah pecahan: dibagi pangkat tertinggi
→ Jika bentuknya belum pecahan: dikali sekawan, baru dibagi pangkat
tertinggi
Sifat operasi dengan ∞:
Contoh:
Cara cepat!
→ Untuk bentuk pecahan:



Jika pangkat pembilang (atas) > penyebut (bawah), hasil =∞
Jika pangkat pembilang (atas) < penyebut (bawah), hasil =0
Jika pangkat pembilang (atas) = penyebut (bawah), hasil =koefisien pangkat
tertinggi atas : koefisien pangkat tertinggi bawah
Contoh 1:
Contoh 2:
Contoh 3:
→ Untuk bentuk
Contoh:
5. Limit trigonometri:
Untuk cosinus:
1 – cos ax = 2 sin2 ½ ax (dari rumus cos 2x)
cos ax – 1 = –2 sin2 ½ ax
(dari rumus cos 2x)
1 – cos2ax = sin2ax
(dari sin2x + cos2x = 1)
6. Bilangan e
Bilangan e didapat dari:
e = 2,718281828…
Rumus-rumus pengembangannya:
7. Kontinuitas
Suatu fungsi kontinu di x = a jika:
1. f(a) ada (dapat dihitung/real)
2.
3.
Ilustrasi:
TURUNAN
A. Pengertian
Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya,
misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan.
Jika suatu fungsi dinyatakan dengan y=f(x), maka laju perubahan nilai
fungsi dinyatakan dengan:
Laju perubahan nilai fungsi ini disebut fungsi turunan yang dilambangkan f’(x)
(dibaca f aksen x). Jadi,
B. Rumus turunan fungsi
d
1
1.
(ln x) 
dx
x
d x
(a )  a x . ln a
dx
2.
3.
d x
(e )  e x
dx
d
(sin x)  cos x
4. dx
d
(cos x)   sin x
5. dx
6.
d
1
(tan x) 
dx
cos2 x
7.
d
1
(ctgx)   2
dx
sin x
8.
d
d
1
(arcsin x)   (arccos x)  
dx
dx
1 x2
9.
d
d
1
(arctgx)   (arc cot gx) 
dx
dx
1 x2
Turunan Fungsi Aljabar
Turunan Fungsi Khusus




Aturan Rantai
 Jika f(x) = [u(x)]n dengan u(x) adalah fungsi dari x yang mempunyai
turunan u’(x) dan n adalah bilangan real, maka:
Contoh :
Carilah turunan dari:
a.
b.
Jawab :
a. Misalkan u(x) = x3 + 4, sehingga u’(x) = 3x2 , diperoleh:
b.
C. Persamaan Garis Singgung pada Kurva
Telah Anda ketahui bahwa kemiringan (gradien) garis singgung kurva
y = f(x) di titik A(a, f(a)) adalah :
Persamaan garis lurus yang melalui titik P(x1, y1) dengan gradien m adalah :
y – y1 = m(x – x1)
Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titik A(a, f(a)) pada kurva adalah
:
y – f(a) = f '(a) (x – a)
Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut.
a. f(x) = x2 di titik (–2, 4)
b. y = x3 di titik yang memiliki absis x = 1 dan x = 2.
Penyeelesaian :
a. Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 di titik (–2, 4) adalah
y – 4 = f '(–2) (x – (–2)).
f(x) = x2 maka f '(x) = 2x sehingga f '(–2) = 2(–2) = –4
Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 di titik (–2, 4) adalah y
– 4 = –4 (x + 2) ↔ y = –4 x – 4.
b. Untuk absis x = 1.
Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 adalah :
y – f (1) = f '(1) (x – 1)
f(1) dan f '(1) ditentukan sebagai berikut: f(x) = x3 maka :
f(1) = 13 = 1.
f '(x) = 3x2 sehingga f '(1) = 3 . 12 = 3
Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 di titik (1, 1) adalah y –
1 = 3 (x – 1) ↔ y = 3x – 2.
Untuk absis x = 2.
Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 adalah :
y – f(2) = f '(2) (x – 2)
f(2) dan f '(2) ditentukan sebagai berikut: f(x) = x3 maka :
f(2) = 23 = 8.
f '(x) = 3x2 sehingga f '(2) = 3 . 22 = 12
Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 di titik (2,8) adalah y –
8 = 12(x – 2) ↔ y = 12x – 16.
Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Kurva jika Gradien Garis
Singgung Diketahui
Untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva apabila gradien garis
singgung diketahui, pelajari beberapa contoh berikut.
Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut.
a. y = f(x) di titik (1, 4) jika f '(x) = 3x2 + 6x
b. y=f(x) dengan f(x) = 2x3 yang tegak lurus terhadap garis y =
penyelesaian :
a. Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (1, 4), menurut rumus
adalah y – f (1) = f '(1) (x – 1). Diketahui f(1) = 4 dan f '(x) = 3x2 + 6x maka :
f '(1) = 3 . 12 + 6 . 1 = 9.
Jadi, persamaan garis singgung di titik (1, 4) adalah
y – 4 = 9 (x – 1) ↔ y = 9x – 5.
b. Jika g: y = mx + n adalah garis singgung pada kurva y = 2x3 dan tegak lurus
terhadap garis h: y =
maka m (
) = –1
↔ m = 24.
Persamaan garis singgung pada kurva y = 2x3 adalah y – f(x1) = f '(x1) (x –
x1 dengan x1 absis titik singgung pada kurva y = 2x3 .
Selanjutnya, nilai x1 ditentukan sebagai berikut.
f '(x) = 6x2 maka f '(x1) = 6x12.
Diketahui f '(x1) = 24 sehingga 6x12 = 24 ↔ x1
2 = 4 ↔ x1 = ± 2.
Untuk x1 = 2, diperoleh f (x1) = 2 . 23 = 16. Persamaan garis singgung yang
tegak lurus terhadap garis y =
adalah :
y – 16 = 24 (x – 2) ↔ y = 24x – 32.
D. Turunan Kedua
Anda telah mempelajari turunan pertama fungsi yang dinotasikan dengan :
atau y' atau
atau f '(x)
Fungsi turunan dari turunan pertama dinamakan fungsi turunan kedua yang
dinotasikan dengan :
atau ditulis y"
atau ditulis f "(x)
Turunan kedua fungsi f(x)
atau y" atau
atau f "(x)
Contoh :
Tentukan turunan kedua untuk fungsi berikut.
a. f(x) = 2x4 – 5x
b. f(x) = x sin x
Penyelesaian :
a. f(x) = 2x4 – 5x
f ‘(x) = 8x3 – 5
f “(x) = 24x2
Turunan kedua fungsi f(x) = 2x4 – 5x adalah f''(x) = 24x2.
b. f(x) =
sin x
f '(x) =
sin x +
f "(x) = f "(x) = -
cos x =
sin x +
sin x +
cos x =
cos x -
sin x +
cos x -
sin x
sin x
Turunan kedua dari f(x) =
sin x adalah :
f "(x) = -
cos x -
sin x +
cos x
sin x
E. Teorema L’ Hopital
Jika x = a disubstitusikan ke bentuk
diperoleh bentuk tak
tentu atau
, Anda dapat menggunakan teorema L' Hopital. Teorema ini
dikemukakan kali pertama oleh Marquis L' Hopital, seorang matematikawan
Prancis (1661–1704 M).
Perluasan teorema L'Hopital adalah :
(Proses berakhir jika hasil akhir tidak berbentuk
).
Contoh :
Tentukan limit fungsi berikut.
a.
b.
Penyelesaian:
a. Jika dengan menggunakan substitusi langsung, diperoleh :
(bentuk tak tentu)
Dengan teorema L' Hopital, diperoleh :
b. Jika menggunakan substitusi langsung diperoleh :
F. Aturan Menentukan Turunan Fungsi
Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk itu di rancang teorama
tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pad dua fungsi, aturan rantai
untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsis invers.
1. Turunan dasar
Aturan - aturan dalam turunan fungsi adalah:
1.
2.
3.
4.
5.
f(x), maka f'(x) = 0
Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
Aturan pangkat : Jika f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)
Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))
2. Turunan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi
Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi
f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan:
1.
2.
3.
4.
3.
( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
( f – g )’ (x) = f’ (x) - g’ (x)
(fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)
((f)/g )’ (x) = (g(x) f' (x)- f(x) g' (x))/((g(x)2)
Turunan fungsi trigonometri
1.
2.
3.
4.
d/dx ( sin x ) = cos x
d/dx ( cos x ) = - sin x
d/dx ( tan x ) = sec2 x
d/dx ( cot x ) = - csc2 x
5. d/dx ( sec x ) = sec x tan x
6. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x
4. Turunan fungsi invers
(f-1)(y) = 1/(f' (x)), atau dy/dx = 1/(dx/dy)
G. Kaidah Penurunan Umum
1. Kaidah Penurunan Umum Kelinearan
2. Kaidah darab
3. Kaidah timbalbalik
4. Kaidah hasil-bagi
5. Kaidah rantai
6. Turunan fungsi invers
untuk setiap fungsi terdiferensialkan f dengan argumen riil dan dengan nilai
riil, bila komposisi dan invers ada.
7. Kaidah pangkat umum
KESIMPULAN
Limit atau sering disebut nilai batas adalah pendekatan terhadap suatu nilai
atau harga tertentu. Jadi harga batas (limit) bukanlah harga yang sebenarnya
melainkan harga yang mendekati.
Bentuk umum limit sebuah fungsi yaitu
f (x) =
Turunan merupakan adalah jika suatu fungsi dinyatakan dengan y=f(x),
maka laju perubahan nilai fungsi dinyatakan dengan:
Laju perubahan nilai fungsi ini disebut fungsi turunan yang dilambangkan f’(x)
(dibaca f aksen x). Jadi,
DAFTAR PUSTAKA
Purcell, Edwin J. 2003. Kalkulus jilid 1. Jakarta: Erlangga
Sari, Intan. 2009. Penggunaan turunan.
Setiawan. 2004. PDF Pengantar kalkulus.
http://Depdiknas.yogyakarta.com/
http://nengintanmsari.wordpress.com/2009/03/15/penggunaan-turunan/