BAB I PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan berdasarkan ilmu turunan. Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan . teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensalan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan. Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif.Turunan sangat berguna dalam bidang fisika. Seperti para penemu-penemu rumus-rumus baru menemukan rumus baru tersebut juga banyak seperti Newton yang menemukan hukum gerak kedua Newton dengan menggunakan Turunan. Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda. Banyak proses fisika yang dapat dideskripsikan dengan turunan, disebut sebagai persamaan diferensial. Fisika secara spesifik mempelajari perubahan kuantitas terhadap waktu, dan konsep "turunan waktu"laju perubahan terhadap perubahan waktu, sangatlah penting sebagai definisi yang tepat pada beberapa konsep penting. • kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu. • percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua posisi benda terhadap waktu. Matematika merupakan ilmu dasar dari segala ilmu yang lain,sekarng ini matematika digunakan sebagai alat penting di berbagai bidang ilmu pengetahuan,salah satunya dalam bidang pengetahuan fisika dengan menghubungkan fungsi suatu turunan parsial dalam bidang tersebut. Sebelum diperjelas apa saja hubungan diatas kita harus tahu dulu definisi dari turunan parsial itu sendiri. Turunan parsial itu adalah suatu proses melakukan differensial dari suatu fungsi yang hanya melibatkan satu macam variabel dari keseluruhan variabel yang berkontribusi terhadap perubahan fungsi tersebut. Berikut ini adalah contoh turunan parsial yang menggunakan 3 variabel. Dalam bidang fisika saya mengambil contoh rumus jarak yang ditempuh oleh benda yaitu: y = ½gx2+v0x+y0 dimana y0 menyatakan jarak awal dari titik 0. Apabila rumus ini diturunkan menjadi turunan yang pertama y’ = dy/dx maka akan menjadi y= gx+v0, dimana v0 menyatakan kecepatan awal. Rumus ini masih bisa diturunkan menjadi turunan yang kedua yaitu d2y/dx2, menjadi y=g(konstan), sehingga menjadi rumus percepatan, dimana jika suatu benda dijatuhkan dari ketinggian tertentu di atas permukaan bumi. 1 Sehingga kita dapat mengetahui bahwa dengan turunan parsial, kita dapat membuktikan rumus-rumus dari turunan sebelumnya. Seperti rumus diatas dari rumus jarak,hingga dapat rumus percepatan. Rumus-rumus itu didapat hanya dari satu rumus saja. Dengan demikian turunan parsial dibilang sebagai hubungan yang mengaitkan suatu fungsi dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. Banyak proses fisika yang dapat dideskripsikan dengan turunan, disebut sebagai persamaan diferensial. Fisika secara spesifik mempelajari perubahan kuantitas terhadap waktu, dan konsep "turunan waktu"—laju perubahan terhadap perubahan waktu— sangatlah penting sebagai definisi yang tepat pada beberapa konsep penting. Sebagai contohnya, turunan waktu terhadap posisi benda sangat penting dalam fisika Newtonan: ๏ท ๏ท kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu. percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua posisi benda terhadap waktu. Turunan Parsial adalah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi yang memiliki lebih dari satu variable ke turunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri. Sebagai contoh, Hukum kedua Newton yang menggambarkan hubungan antara percepatan dengan posisi dapat dimulai dengan persamaan diferensial biasa: F (t) = m Persamaan kalor di variable satu ruang yang menggambarkan bagaimana kalor dapat berdifusi melalui satu tongkat yang lurus adalah persamaan diferensial parsia = ∂2 α Di sini u(x, t) adalah temperatur tongkat pada posisi x dan waktu t dan α adalah sebuah tetapan yang bergantung pada seberapa cepat kalor tersebut berdifusi. Sehingga dapat disimpulkan bahwa Turunan Parsial dapat diterapkan dalam fenomena fisika yang luas seperti: gerak berputar benda, gerak benda dalam cairan, projektil, gerak dalam bidang miring, gerak pendulum, pasang-surut, bahkan orbit bulan dan dengan demikian, walaupan terkadang kita tidak menyadarinya, Turunan Parsial telah kita kenal dalam kehidupan sehari - hari seperti gerak ban mobil, bandul, dan lain – lain. 2. Rumusan Masalah Penerapan turunan dalam bidang fisika yaitu pada matei GLB yang meliputi kecepatan sesaat, percepatan sesaat, torsi benda tegar. 3. Tujuan Penulisan 1) Mengetahui aplikasi turunan dalam bidang fisika 2) Mengetahui apa-apa saja materi dalam fisika yang menggunakan konsep turunan. 2 4. Manfaat Penulisan Manfaat dari penulisan makalah ini pembaca diharapkan mengetahui bahwa turunan dalam matematika berlaku juga dalam bidang fisika, dan dapat menambah wawasannya tentang turunan. 3 BAB II TINJAUAN TEORITIS Persamaan diferensial adalah hubungan antara sekelompok fungsi dengan turunanturunannya. Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannya terhadap variabel itu sendiri. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi yang memiliki lebih dari satu variable ke turunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri. Sebagai contoh, Hukum kedua newton yang menggambarkan hubungan antara percepatan dengan posisi dapat dimulai dengan persamaan diferensial biasa Fisika secara spesifik mempelajari perubahan kuantitas terhadap waktu, dan konsep "turunan waktu"—laju perubahan terhadap perubahan waktu— sangatlah penting sebagai definisi yang tepat pada beberapa konsep penting. Sebagai contohnya, turunan waktu terhadap posisi benda sangat penting dalam fisika Newtonan: • kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu. • percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua posisi benda terhadap waktu. Pada sebuah kajian mengenai torsi benda tegar pendiferensialan menjadi salah satu cara untuk menemukan rumusnya. Dari rumus mencari jarak rotasi benda (s) jika diturunkan maka akan diperoleh rumus Usaha yang dilakukan gaya F untuk gerak rotasi dW = F . ds ,jika diturunkan lagi maka akan diperoleh daya dW/dt = t dq/dt. Mencari momentum sudut benda tegar juga merupakan hasil dari pendeferensialan dW/dt = dK/dt . 4 BAB III PEMBAHASAN 1. Aplikasi Turunan dalam fisika Dalam bidang fisika dibahas mengenai gerak lurus berubah beraturan, yang berarti bahwa kecepatan benda selama bergerak tidaklah tetap. Misalnya benda bergerak menempuh jarak s dalam waktu t. Kecepatan rata-rata dapat ditentukan dengan : ๐๐๐๐ข๐๐โ๐๐ ๐๐๐๐๐ โs Kecepatan rata-rata : ๐๐๐๐ข๐๐โ๐๐ ๐ค๐๐๐ก๐ข = โt Jika kecepatan pada saat t dinotasikan dengan v(t) maka kecepatan dirumuskan dengan : V(t) = ๐๐ ๐๐ก Jika fungsi kecepatan terhadap waktu v(t) diturunkan lagi maka akan diperoleh percepatan ๐๐ฃ a(t) = ๐๐ก Dengan kata lain, percepatan pada waktu t adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan. Percepatan juga diartikan sebagai turunan kedua dari fungsi jaraknya yaitu ๐๐ฃ ๐ ๐๐ ๐2๐ a(t) = ๐๐ก = = ๐๐ก( ๐๐ก ) = ๐๐ก2 = s”t Aplikasi turunan dalam bidang fisika digunakan untuk menurunkan suatu rumus Berikut contoh penerapan turunan dalam fisika : 1.1 Momentum Sudut Didefinisikan l = r x p (p = mv). Besarnya momentum sudut : l = r p sin ๏ฑ. Rumusan ini dapat diubah menjadi : l = r (p sin๏ฑ) = r p๏ atau l = p (r sin๏ฑ) = p r๏ . Dari definisi momentum sudut l = r x p, bila dideferensialkan diperoleh : dl/dt = d (r x p)/dt dl/dt = (r x dp/dt) + (dr/dt x p) dl/dt = (r x F) + (v x mv) dl/dt = ๏ด dp/dt = F 1.2 Torsi Sebuah benda berotasi dengan sumbu putar adalah sumbu z. Sebuah gaya F bekerja pada salah satu partikel di titik P pada benda tersebut. Torsi yang bekerja pada partikel tersebut adalah : ๏ด=rxF Arah torsi ๏ด searah dengan sumbu z. Setelah selang waktu dt partikel telah berputar menempuh sudut d๏ฑ dan jarak yang ditempuh partikel ds, dimana ds = r d๏ฑ. Usaha yang dilakukan gaya F untuk gerak rotasi ini dW = F . ds dW = F cos ๏ฆ ds dW = (F cos ๏ฆ) (r d๏ฑ) dW = ๏ด d๏ฑ dW = F . ds 5 Laju usaha yang dilakukan (daya) adalah : dW/dt = ๏ด d๏ฑ/dt P=๏ด๏ท P=Fv Untuk benda yang benar-benar tegar, tidak ada disipasi tenaga, sehingga laju dilakukannya usaha pada benda tegar tersebut sama dengan laju pertambahan tenaga kinetik rotasinya. dW/dt = dK/dt dW/dt = d(1/2 I ๏ท2)/dt ๏ด ๏ท = 1/2 I d๏ท2/dt ๏ด ๏ท = I๏ท d๏ท/dt ๏ด ๏ท = I๏ท ๏ก ๏ด =I๏ก F=ma 2. Contoh Soal dan Pembahasannya Posisi partikel ditunjukkan oleh persamaan s=f(t)=t3-6t2+9t (t dalam detik dan s dalam meter). Tentukan : a. Kecepatan pada waktu t? b. Kecepatan setelah 2 detik? c. Kapan partikel berhenti? d. Kapan partikel bergerak maju ? Jawab : a. Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi. s=f(t)=t3-6t2+9t v(t)= =3t2-12t+9 b. Kecepatan setelah 2 detik bermakna sebagai kecepatan sesaat pada t=2 v(t)= =3t2-12t+9 v(2)= 3(2)2-12(2)+9=-3m/dt c. Partikel berhenti jika v(t)=0 v(t)= 3t2-12t+9=0 ๏ณ3t2-12t+9 ๏ณ3(t2-4t+3) ๏ณ3(t-1)(t-3)=0 ๏ณ t1=1 dan t2=3 Partikel berhenti setelah t=1 atau t=3 d. Partikel bergerak maju (dalam arah positif) jika v(t)>0 3t2-12t+9=3(t-1)(t-3)>0 ๏ฎ Partikel bergerak maju jika t<1 atau t>3 (dari mana ?) ๏ฎ Partikel bergerak mundur jika 1<t<3 “Laju perubahan momentum sudut terhadap waktu sebesar torsi yang bekerja pada partikel tersebut” 6 BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan Diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajaribagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Dengan kata lain diferensial mengoptimalkan cara perhitungan hanya pada penurunan suatu nilai. Diferensial juga sangat berguna untuk menemukan rumus-rumus dalam ilmu fisika. Sebagian besar rumus pada fisika menggunakan konsep turunan ,salah satunya dalah GLB, juga Torsi.Newton adalah salah satu fisikawan yang menggunakan turunan untuk menemukan rumus pada hukum nya yang ke dua.Ia mendapatkan bahwa kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu dan percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua posisi benda terhadap waktu. Beberapa rumus Torsi untuk benda tegar juga menggunakan konsep diferensial. B. Saran Dengan adanya makalah fisika tentang momen inersia ini diharapkan kita dapat lebih memahami dan mengetahui secara mendalam tentang praktikum ini. Dengan mempelajari makalah ini mudah-mudahan pengetahuan kita bisa bertambah luas dan bermanfaat bagi kehidupan kita. 7 Daftar Pustaka Donald A. McQuarrie .2003.Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books. James Stewart .2002. Calculus: Early Transcendentals. 5th ed. Brooks Cole. http://info-toyou.blogspot.com/2011/05/aplikasi-turunan-dalam-bidang-fisika.html http://www.ittelkom.ac.id/admisi/elearning/prog3.php?proses=1&kd=Fis010202&bab=Gerak%20Lurus&judul=Fisika&rincian=Kelajuan%20dan%20Kecepatan&kd_ judul=Fis-01&kode_bab=02&kode_sub=02 8
