aplikasi inversi non linier dengan pendekatan linier

Aplikasi Inversi Non Linier Dengan Pendekatan Linier Untuk Menentukan Hiposenter (Contoh Kasus di G. Kelud) (Cecep Sulaeman)
APLIKASI INVERSI NON LINIER DENGAN PENDEKATAN LINIER UNTUK
MENENTUKAN HIPOSENTER (CONTOH KASUS DI G. KELUD)
Cecep SULAEMAN
Pusat Vulkanologi dan Mitigasi Bencana Geologi Badan Geologi
Sari
Parameter model yang tidak linier dapat didekati secara linier memakai ekspansi Taylor orde pertama di
sekitar model awal. Solusinya diperoleh memakai metoda kuadrat terkecil, yaitu meminimumkan selisih data
pengamatan dengan data perhitungan. Contoh kasus diterapkan untuk menghitung hiposenter gempa Vulkanik di
G. Kelud. Hasil perhitungan menunjukkan, bahwa gempa vulkanik di G. Kelud terdapat pada kedalaman 0,5 –
3,5 km di bawah kawah.
Pendahuluan
Hiposenter merupakan salah satu parameter
penting di dalam bidang seismik. Berdasarkan
informasi hiposenter dapat diperkirakan
penyebab gempa tersebut, apakah aktivitas
magma atau aktivitas struktur (misalnya sesar).
Berbagai metoda telah dikembangkan untuk
menentukan hiposenter. Salah satu cara
penentuan hiposenter adalah dengan metoda
inversi.
Tulisan ini membahas metoda inversi non
linier dengan pendekatan linier yang kemudian
diaplikasikan untuk menghitung hiposenter.
Sebagai contoh kasus, metoda ini diterapkan
untuk menghitung hiposenter gempa vulkanik
di G. Kelud menjelang erupsi tahun 2007.
Teori inversi didefinisikan sebagai suatu
kesatuan teknik/metoda matematika dan
statistika untuk memperoleh informasi yang
berguna mengenai suatu sistem fisika
berdasarkan observasi terhadap sistem tersebut
(Menke, 1984; di dalam Grandis, 2003).
Pemodelan inversi sering disebut sebagai
kebalikan dari pemodelan ke depan, karena
dalam pemodelan inversi, parameter model
diperoleh secara langsung dari data.
Secara umum metoda inversi dibagi
menjadi inversi linier dan inversi non linier,
bergantung
pada
permasalahan
yang
diselesaikan. Permasalahan non linier dapat
diselesaikan dengan pendekatan linier, yaitu
melalui pencarian lokal dan pencarian global.
Penyelesaian inversi adalah memperkirakan
parameter model yang memiliki respon (data
terhitung) cocok dengan data lapangan.
Solusinya diperoleh dengan menerapkan jumlah
kuadrat kesalahan minimum (least square).
Inversi non Linier dengan Pendekatan
Linier
Secara umum, hubungan antara data dengan
parameter model yang tidak linier dapat
dinyatakan dengan persamaan eksplisit
(Tarantola, 1987; Grandis, 2003), yaitu ;
d = g(m)
.......................................... (1)
dimana :
d adalah data
g merupakan fungsi pemodelan ke depan
m adalah model yang terdiri atas sejumlah
parameter model.
Huruf tebal (bold) menyatakan besaran vector.
Parameter model yang tidak linier dapat
didekati secara linier dengan memakai ekspansi
Taylor orde pertama g(m) di sekitar model awal
m0, maka persamaan (1) menjadi
d = g(m0) + J0 Δm0
……………………………
(2)
⎡ ∂g i ⎤
⎥ adalah matriks Jacobi
⎢⎣ ∂m j ⎥⎦ m 0
dengan J0 = ⎢
dengan komponen berupa turunan parsial fungsi
g(m) terhadap setiap elemen parameter model
m yang dievaluasi pada m = m0 dan
Δm0 = [ m - m0].
Bulletin Vulkanologi dan Bencana Geologi, Volume 5 Nomor 1, Januari 2010: 13-17
Hal :13
Aplikasi Inversi Non Linier Dengan Pendekatan Linier Untuk Menentukan Hiposenter (Contoh Kasus di G. Kelud) (Cecep Sulaeman)
Persamaan (2) tersebut dapat diselesaikan
memakai metoda kuadrat terkecil,
yaitu
mencari solusi Δm0 yang menghasilkan (d –
(g(m0) + J0 Δm0) minimum. Artinya kuantitas
yang diminimumkan adalah selisih data
pengamatan dengan data perhitungan dengan
menggunakan pendekatan orde pertama
ekspansi Taylor. Solusi persamaan (2) tersebut
adalah
Δm0= [J0T J0 ]-1J0T (d - g(m0)) …..……
(3)
Notasi superposisi T dalam persamaan di atas
menyatakan transpos.
Dengan memperhatikan Δm0 = [ m - m0],
maka solusi tersebut dapat diartikan sebagai
suatu pertubasi terhadap model awal m0 untuk
memperoleh model m yang lebih baik, sehingga
m =
m0 + Δm0. Model yang optimum
diperoleh melalui proses modifikasi terhadap
model awal m0 secara iteratif menggunakan
persamaan (3). Hubungan antara pertubasi
model dengan model pada dua iterasi yang
berurutan, maka model pada iterasi ke n+1,
dapat ditulis:
mn+1= mn + [JnT Jn ]-1JnT(d - g(mn)) .............(4)
Aplikasi Inversi non Linier dengan
pendekatan Linier untuk Menentukan
Hiposenter
Salah satu data yang diperoleh bila kita
melakukan pengamatan seismik adalah waktu
tiba gelombang (tobs) di stasiun seismik. Bila
gelombang seismik menjalar pada medium
yang homogen dari posisi sumber ( x0 , y 0 , z 0 ) ,
maka waktu tiba gelombangnya, misalnya
gelombang P dapat dihitung di stasiun seismik
(Gambar 1), dengan persamaan sebagai berikut
Hal :14
Gambar 1. Sumber gempa dan Stasiun seismik
t cal
pi = t 0 +
i = 1,…, N
(xsi − x0 )2 + ( ysi − y0 )2 + (zsi − z0 )2
vp
;
........... (5)
dimana :
t cal
pi = waktu tiba gelombang P di stasiun seimik
ke i
t 0 = waktu terjadi gempa
v p = kecepatan gelombang P
Dalam menentukan hiposenter memakai
metoda di atas, maka langkah yang harus
dilakukan adalah menyusun matriks sesuai
dengan persamaan (4). Matriks tersebut adalah
matriks berelemen parameter model (mn),
matriks Jacobi (Jn), dan matriks berelemen
selisih data waktu tiba dengan waktu tiba
perhitungan (Tobs – Tcal). Dalam studi ini
diasumsikan kecepatan gelombang P ( v p )
konstan dan waktu terjadi gempa t 0 diketahui
dari hubungan data waktu tiba gelombang P
dengan selisih waktu tiba gelombang S dengan
P, seperti diperlihatkan pada Gambar 2.
Bulletin Vulkanologi dan Bencana Geologi, Volume 5 Nomor 1, Januari 2010: 14-17
Aplikasi Inversi Non Linier Dengan Pendekatan Linier Untuk Menentukan Hiposenter (Contoh Kasus di G. Kelud) (Cecep Sulaeman)
∂t cal
pi
∂y0
∂tcal
pi
∂z0
Gambar 2. Hubungan (ts –tp) dengan tp untuk
memperoleh t0
Parameter model di dalam penentuan
hiposenter adalah x0 , y 0 , z 0 , ditulis dalam
bentuk matriks untuk n = 0 adalah
⎡ x0 ⎤
m0 = ⎢⎢ y0 ⎥⎥
⎢⎣ z 0 ⎥⎦
……………(6)
Matrik Jacobi Jn diperoleh dengan
menurunkan persamaan (5) terhadap parameter
model x0 , y 0 , z 0 , dan disusun dalam bentuk
matriks sesuai persamaan (4) unuk n = 0, yaitu :
cal
⎡ ∂t p1
⎢
⎢ ∂x0
cal
⎢ ∂t p2
J0 = ⎢ ∂x
⎢ 0
⎢ ...
cal
⎢ ∂t pN
⎢
⎣ ∂x0
cal
∂t p1
∂y 0
cal
∂t p2
∂y 0
...
cal
∂t pN
∂y 0
cal
⎤
∂t p1
⎥
∂z 0 ⎥
cal
⎥
∂t p2
⎥
∂y 0 ⎥
... ⎥
cal
⎥
∂t pN
⎥
∂y 0 ⎦
=−
vp
(zsi − z0 ) (xsi − x0 )2 +(ysi − y0 )2 + (zsi − z0 )2
vp
Dalam matriks Jacobi tersebut, jumlah baris
sama dengan jumlah stasiun dan jumlah kolom
sama dengan jumlah parameter model. Nilai (d
- g(m0)) adalah selisih data waktu tiba
pengamatan dengan waktu tiba perhitungan di
masing – masing stasiun seismik, dan ditulis
dalam bentuk matriks sebagai berikut :
⎡ t p1obs − t cal
⎤
p1
⎢ obs cal ⎥
t
− t p2 ⎥
(d – g(m0)) = ⎢ p 2
⎢
⎥
....
⎢ obs cal ⎥
⎢⎣ t pN − t pN ⎥⎦
……………(8)
Solusi diperoleh bilamana parameter model
memiliki kesalahan terkecil atau kesalahan
dengan kreteria yang diinginkan. Nilai
kesalahan (E) dapat dihitung dari jumlah
kesalahan kuadrat :
N
obs
E = ∑ ( t cal
pi − t pi )
………(9)
i =1
……….(7)
dengan
∂tcal
pi
=−
( ysi − y0 ) (xsi − x0 )2 + (ysi − y0 )2 + (zsi − z0 )2
(xsi −x0) (xsi −x0)2 +(ysi − y0)2 +(zsi −z0)2
=−
vp
∂x0
Contoh Kasus Menentukan Hiposenter di G.
Kelud
Metoda ini diterapkan untuk menentukan
hiposenter di G. Kelud untuk 6 data gempa
vulkanik pada tanggal 1 Nopember 2007,
beberapa hari menjelang munculnya kubah
lava. Sinyal gempa terekam di empat stasiun
seismik dengan koordinat seperti tercantum
pada Tabel 1 (Suantika, 2007). Dalam studi ini
dipakai koordinat Kartesian, dengan stasiun
KWH dijadikan referensi.
Perhitungan hiposenter memakai persamaan
(4). Dalam contoh kasus ini, matriks parameter
model awal (n = 0) terdiri atas 3 baris dan 1
kolom, baris pertama sampai ke tiga masing-
Bulletin Vulkanologi dan Bencana Geologi, Volume 5 Nomor 1, Januari 2010: 15-17
Hal :15
Aplikasi Inversi Non Linier Dengan Pendekatan Linier Untuk Menentukan Hiposenter (Contoh Kasus di G. Kelud) (Cecep Sulaeman)
Tabel 1. Koordinat stasiun seismik di G. Kelud
Stasiun
Lintang (LS)
Bujur (BT)
KLD
SUM
GJM
KWH
-07°56’36.500”
-07°56’41.700”
-07°56’04.620”
-07°56’32.800”
112°18’37.300”
112°17’55.600”
112°17’58.800”
112°18’13.900”
Elevasi
(m)
1492
1350
1400
1257
Episenter Gempa Vulkanik G. Kelud 1 Nopember 2007
3
episenter
st. seismik
Selatan - Utara (km)
2
GJM
1
Kawah
KWH
0
SUM
KLD
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
Barat - Timur (km)
1
2
3
Gambar 3a. Episenter gempa vulkanik di G. Kelud,
1 Nopember 2007
Hal :16
Hiposenter Gempa Vulkanik G. Kelud 1 Nopember 2007
3
hiposenter
St. seismik
Kawah
2
SUM
KLD
KWH
1
Kedalaman (km)
masing berisi x0 , y 0 , dan z 0 . Matriks Jacobi
terdiri atas 4 baris dan 1 kolom, matriks selisih
data
waktu
tiba
pengamatan
dengan
perhitungan terdiri atas 4 baris dan 1 kolom.
Kecepatan gelombang P dianggap tetap sebesar
3 km/detik, dan waktu terjadi gempa t 0 dicari
dari hubungan (ts –tp) dengan tp. Operasi
matriks pada persamaan (4) tersebut
diselesaikan dengan memanfaatkan perintahperintah bahasa program Matlab Versi 7.1.
Hasil perhitungan menunjukkan gempa
vulkanik tersebut berada di area kawah G.
Kelud pada kedalaman antara 0,5 0 – 3,5 km
dari kawah (Gambar 3) dengan kesalahan
bervariasi antara 0,0017 sampai dengan 0,0172.
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
Barat - Timur (km)
1
2
3
Gambar 3b. Hiposenter gempa vulkanik di G. Kelud,
1 Nopember 2007
Pembahasan
Pemakaian metoda ini memperlihatkan
hasil yang cukup baik. Banyaknya iterasi
sampai memperoleh kesalahan yang kecil
(kreteria yang diinginkan) bergantung pada
pemberian model awal. Dalam contoh kasus di
atas, banyaknya iterasi hanya sampai dua kali
dengan nilai model awal di sekitar kawah
( x0 = 0, y 0 = 0, dan z 0 = 2 km ). Bila nilai
model awal yang diberikan jauh dari kawah,
maka iterasi lebih dari dua kali. Hal ini
menunjukkan bahwa pemakaian metoda
pendekatan linier ini, memerlukan pengetahuan
mengenai struktur daerah penelitian dan atau
permasalahan yang ditinjau. Dalam contoh
kasus ini daerah penelitian adalah gunungapi
dan permasalahan yang ditinjau adalah gempa
vulkanik, maka nilai model awal yang diberikan
adalah di sekitar kawah, sehingga tidak
memerlukan banyak iterasi untuk mendapatkan
model yang optimum.
Metoda ini belum memperhatikan kualitas
data pengamatan (waktu tiba gelombang), maka
bila diberikan pembobotan terhadap data,
hasilnya akan bergantung pada kualitas data.
Bulletin Vulkanologi dan Bencana Geologi, Volume 5 Nomor 1, Januari 2010: 16-17
Aplikasi Inversi Non Linier Dengan Pendekatan Linier Untuk Menentukan Hiposenter (Contoh Kasus di G. Kelud) (Cecep Sulaeman)
Kesimpulan
Daftar Pustaka
Berdasarkan uraian di atas, maka dapat
disimpulkan sebagai berikut :
• Permasalahan non linier dapat diselesaikan
dengan pendekatan linier
• Metoda inversi non linier dengan
pendekatan linier dapat diaplikasikan untuk
menghitung hiposenter
• Hiposenter gempa vulkanik di G. Kelud
berada pada kedalaman 0,5 – 3,5 km di
bawah kawah dengan kesalahan lebih kecil
dari 0,1
• Pemberian nilai awal dalam menentukan
hiposenter
memerlukan
pengetahuan
mengenai struktur daerah penelitian.
Grandis, H., 2003, Inversi Geofisika, Buku
Ajar, Program Studi Geofisika, ITB
Menke, W., 1984, dalam Grandis, 2003,
Geophysical Data Analysis, Academic
Press
Suantika, G., 2007, Laporan Tanggap Darurat
Letusan G. Kelud, Pusat Vulkanologi dan
Mitigasi Bencana Geologi
Tarantola, A., 1987, Inverse Problem Theory,
Elsevier, 1987
Bulletin Vulkanologi dan Bencana Geologi, Volume 5 Nomor 1, Januari 2010: 17-17
Hal :17