Materi I. Review Definisi Dasar Fungsi Variabel Turunan/Derivatif Beberapa aturan pada operasi turunan Latihan Soal Integral Beberapa sifat pada operasi integral Beberapa sifat trigonometri yang perlu diperhatikan Latihan Soal II Persamaan Diferensial Biasa Pengertian persamaan diferensial Pembentukan persamaan diferensial Orde persamaan diferensial Persamaan diferensial biasa Solusi persamaan Diferensial Solusi umum Solusi khusus Masalah nilai awal dan nilai batas Latihan Soal III. Persamaan Diferensial Orde 1 Bentuk Sederhana persamaan diferensial orde pertama Pemisahan Variabel Contoh Soal Cerita IV. Persamaan Diferensial Linear Orde 1 Ciri-ciri sifat linearitas pada Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial Eksak Metode Faktor Pengintegralan Solusi Persamaan Diferensial Non Eksak Dengan Faktor Pegintegaralan V. Persamaan Diferensial Orde 2 Persamaan Diferensial linear Orde 2 Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan (Second Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients) Akar-akarnya adalah bilangan riil dan sama Akar-akarnya adalah bilangan riil dan berbeda Akar-akarnya adalah bilangan kompleks Persamaan Diferensial Linear Non-Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan (Second Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients) VI. Aplikasi Persamaan Diferensial Dalam Bidang Teknik Elektro Definisi Dasar Fungsi Secara mudah, fungsi dapat dipandang sebagai “aturan” yang menghubungkan input dan output. Input yang diberikan akan dilewatkan ke sebuah blok fungsi, dan menghasilkan output sesuai dengan karakteristik blok fungsi. Hal ini dapat diilustrasikan sebagai berikut : aturan nput output Gambar 1. Hubungan antara input, output, dan blok fungsi Sebuah fungsi “pengali input dua kali” akan menghasilkan nilai output dua kali dari nilai nput. fungsi tersebut apabila dituliskan secara matematis adalah sebagai berikut : f : x 2x , atau ditulis secara lebih kompak f ( x ) 2x dan digambarkan sebagai berikut : Fungsi input kalikan 2 input f output x 2x Gambar 2. Sebuah fungsi dengan blok fungsi “input kalikan 2” Input suatu fungsi disebut sebagai argumen. Pada fungsi f ( x ) 2x , yang menjadi argumen adalah x. Jika x diganti dengan nilai 3, maka : f (3) 2.3 6 , dengan nilai argumen adalah 3. Sebuah fungsi dapat digambarkan secara grafik dengan memakai kordinat kartesius. Fungsi f ( x ) 2x dapat digambarkan dengan menguji nilai f ( x) untuk beberapa nilai x sebagai berikut. x = 2, x = 1, x = 0, x = -1, x = -2, f ( x) = 4 4 f ( x) = 2 f ( x) = 0 2 f ( x) = -2 -2 -1 f ( x) = -4 012 -2 -4 dst. Gambar 3. koordinat kartesius fungsi f ( x ) 2x Variabel Pada fungsi y f ( x ) 2x , x dan y dapat memiliki kemungkinan sejumlah nilai tertentu, sehingga x dan y dinamakan sebagai variabel. x adalah variabel independent (variabel 3 bebas) dan y adalah variabel dependent (variabel tak-bebas), mengingat nilai y ditentukan oleh ilai variabel x. Contoh I.1 a. y x 4 5x2 , variabel dependent = y. variabel independent = x b. dq dt 6q 3t 2 , variabel dependent d2y t = q. variabel independent = t c. 9x e , variabel dependent = y, variabel independent = x, t dt 2 pada contoh b dan c terlihat bahwa pada persamaan differensial, variabel dependent-nya adalah variabel dalam bentuk turunannya. TURUNAN/DERIVATIF Berikut ini adalah turunan dari beberapa fungsi. Tabel I.1. Beberapa fungsi yang sering digunakan beserta turunannya Fungsi, y(x) Konstanta Turunan, y’ 0 xn Fungsi, y(x) sin 1 (ax b) cos1 (ax b) nxn1 Turunan, y’ a 1 ( ax b )2 a 1 ( ax b )2 a 1 ( ax b)2 a cosh( ax b) a sinh( ax b) a sec h 2 (ax b) ex tan1 (ax b) sinh( ax b) cosh( ax b) tanh( ax b) sin x ex aeax 1 x cos x cos x sin x sec h( ax b) a s ech( ax b) tanh( ax b) sin( ax b) cos( ax b) a cos( ax b) a sin( ax b) coth( ax b) sinh1 (ax b) a cos ech 2(ax b) a ex e x eax ln x cos ech( ax b) a cos ech( ax b) coth( ax b) cosh1 (ax b) (ax b )2 1 a cos ec ( ax b) a cos ec ( ax b) cot( ax b) tanh1 (ax b) (ax b )2 1 a tan( ax b) a sec2 (ax b) 1 ( ax b )2 sec( ax b) a sec( ax b) tan( ax b) 4 Beberapa Aturan Pada Operasi Turunan Jika u dan v adalah sebuah fungsi, dan c adalah konstanta, maka : 1. (u v ) ' u ' v ' 2. (uv ) ' u ' v uv ' 3. (cu ) ' cu ' 4. (u ) ' u 'v uv ' v 5. v2 Jika y y ( z) , dan z z ( x) , maka : Contoh I.2 Carilah turunan dari fungsi y berikut ini : 1. y ( x 2 sin x) jawab : y ' d (x 2 ) d (sin x) dxdx y ' 2 x cos x dy dy dz dx dz * dx y x sin x . 2. misalkan : u x, v sin x u ' 1, dan v ' cos x maka y menjadi y uv . y ' (uv) ' y ' u ' v uv ' y sin x x cos x 3. y 10 cos x Jawab : y ' 10sin x t 4. y 2 . 2t 1 Jawab : Misalkan u t 2 dan v 2t 1 . u ' 2t , dan v ' 2 u y ( ) , maka y ' ( vvv2 u )' u 'v uv ' 2t (2t 1) t 2 .2 y ' (2t 1)2 4t 2 2t 2t 2 2t 2 2t 2t (t 1) y ' (2t 1) 2 (2t 1)2 (2t 1)2 5. y z6 , z x2 1. Carilah dy ! dx 5 Jawab : y ( x2 1)6 , dy dy dz dx dz * dx 6 z 5.2x 12 x. z5 12x (x2 1)5 Latihan Soal I.1 Temukan turunan dari 1. 2. y e7 x y tan(3 x 2) 3. 4. y x5 y sin( x ) 5. yt 6. 7. y cos(4 t) y 8. y cos1 (4t 3) 1 5 9. y sin1 (2t 3) 1 10. y sin(5x 3) 4t 11. y 3sin(5t ) 2e 3t 12. y 2e 17 4sin(2t) 13. y 1 cos5t 2 t3 3 14. y 2w e4w 3 2 15. y x ln( x ) 1 1 16. y 3sin (2t ) 5cos (3t) 1 1 1 17. y 2 tan (t 2) 4cos (2t 1) 2 3 18. Sebuah fungsi : y (t ) t 5t 4t 1 3 (a) tentukan 2 dy dt (b) jika turunan pertama fungsi tersebut adalah nol, berapa nilai t ? 6 Latihan Soal I. 2 Carilah turunan dari fungsi berikut ini : 1. y sin x cos x 2. y xex 3. y et sin t cos t 4. y et sin t cos t (nomor 1-4, gunakan aturan perkalian) 5. y cos x sin x 2t 6. y 3e t 1 7. y 3x 2 2x 9 x3 1 8. y ln(x2 1) 9. y sin3 (3t 2) 10. y t 1 INTEGRAL 1 Proses mengintegralkan suatu fungsi merupakan kebalikan turunan/derivatif. Suatu fungsi f(x) dapat kita turunkan menjadi : d ( fx) . Apabila kita ingin mencari suatu fungsi f(x) dx dari turunan/derivatif-nya, maka dinamakan : integral Tabel I.2. Beberapa fungsi yangs sering digunakan beserta integral fungsi tersebut Fungsi, f(x) K, Konstanta n x f ( x )dx kx c xn1 Fungsi, f(x) tan ax tan( ax b) n 1 c , n 1 x e e x c cos ec ( ax b) f ( x )dx ln | sec ax | c a ln | sec(ax b) | c a 1 ln | co sec(ax b) cot(ax b) | c a e x e x c s ec ( ax b) eax eax cot( ax b) a c x1 ln | x | c 1 a x 2 2 1 ln | sec(ax b) tan(ax b) | c a 1 a ln | sin(ax b ) | c sin 1 x c a 7 sin x cos x c sin ax cos ax c a cos(ax b) c a sin x c sin ax c a sin(ax b) c a ln | sec x | c sin( ax b) cos x cos ax cos( ax b) tan x 1 a 2 x2 1 tan1 x c a a Contoh I.3 Temukan fungsi y jika : (a) y ' 6x (b) y ' 4x3 (c) y ' cos x x jawab : 1. y 6xdx y 3x 2 c , dengan c adalah suatu konstanta sembarang. Perlu diingat, bahwa turunan dari suatu konstanta adalah nol. 2. y 4x 3dx y 4 x (3 1) , y x 4 c (3 1) 3. y (cos x x )dx y sin x 1 2x2c Beberapa sifat pada operasi integral (sifat linearitas): 2. Afdx A fdx 3. ( Af Bg )dx A f dx B gdx 1. ( f g )dx fdx gdx (sifat 1-3 dinamakan sifat linearitas) 4. uv ' dx uv vu ' dx 8 Beberapa sifat trigonometri yang perlu diingat : 1. sin 2 t cos 2 t 1 1 cos 2t 2. cos2 t 2 3. sin2 t 1 cos 2t 2 4. tan t 5. sin 2t 2sin t cos t 6. cos 2t 1 2sin 2 t 2 cos 2 t 1 cos 2 t sin2 t 7. tan 2 t 1 sec2 t 8. 1 cot 2t co sec2 t 9. sin( A B) sin A cos B sin B cos A 10. cos( A B) cos A cos B sin A sin B tan( A B) 11. tan( A B) 1 tan A tan B 12. 2sin A cos B sin( A B) sin( A B) 13. 2sin A sin B cos( A B) cos( A B) 14. 2 cos A cos B cos( A B) cos( A B) Latihan Soal I.3 Temukan fungsi y jika : 1. y sin(3 x 2) 2. y 5.9 3. y e3t 4. yx 1 5 nomor 5 dst, gunakan sifat linear integral 5. y 3t 2 t 6. y sin x cos x 2 7. y 7 cos ec( 2) 8. y 4 cos(9 x 2) nomor 9 dst. Carilah : 9. 10. 11. 12. 13. cos2 tdt sin2 tdt xe 2 x dx e t sin tdt (3 x 1)5 dx sin t cos t 14. 2 sin t cos2 tdt 1 15. (5x47)dx II. Persamaan Diferensial Biasa (Ordinary Differential Equations) II. 1 Pengertian Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial/PD adalah persamaan yang di dalamnya berisi turunan (derivative atau differential) satu atau lebih variabel. Persamaan diferensial orde 1 dengan y sebagai variabel independent dan x sebagai variabel dependent ditulis secara matematis sebagai berikut : dy f (x, y) . Sedangkan persamaan diferensial dalam orde 2 ditulis secara matematis dx 2 sebagai : d y f (x, y, dy ) dengan catatan, tidak semua variabel dari fungsi f harus muncul dx 2 dx dalam persamaan. Contoh dari persamaan diferensial antara lain: (1) dy dx e x sin x (x adalah variabel independent, y adalah variabel dependent yang nilainya tergantung x) (2) y"2 y'y cos x (3) 2u 2u u x 2 y 2 t (4) 3x2 dx 2 ydy 0 II Pembentukan persamaan diferensial Persamaan diferensial muncul ketika terjadi perubahan pada suatu besaran, yang biasanya dinyatakan dalam suatu fungsi matematis. Contoh (1), (2), (3) dan (4 ) merupakan persamaan diferensial yang secara matematis diekspresikan tanpa mengetahui latar belakang pembentukan/terjadinya persamaan diferensial tersebut. Contoh pembentukan persamaan diferensial dalam dunia riil adalah persamaan differensial yang terbentuk dari suatu objek yang sedang bergerak. Dimisalkan objek tersebut bergerak dengan karakteristik persamaan : x menyatakan jarak d2x 6 dx 2x 3t dengan : 2 dt dt d2x dt 2 (yaitu turunan kedua fungsi jarak) menyatakan percepatan, dan dx dt (turunan pertama) menyatakan kecepatan. Contoh yang lain adalah muatan listrik yang bergerak, dimisalkan memiliki persamaan : dq dq diistilahkan sebagai aliran arus listrik). Contoh lain pembentukan persamaan diferensial adalah pada rangkaian listrik yang terdiri dari komponen RC sebagaimana diperlihatkan dalam gambar berikut : 10 R Vs + VR i C - Vc Gambar II.1 Suatu Rangkaian listrik dengan saklar Berdasarkan hukum kirchof, jumlah tegangan pada loop tertutup dari suatu rangkaian listrik adalah nol. Jika dituliskan :VS VR VC , atau VR VS VC . Vs = tegangan sumber Vc = tegangan pada kapasitor VR = tegangan pada resistor Berdasarkan hukum Ohm, arus yang mengalir pada resistor (pada rangkaian tertutup) dapat dicari dengan rumus : i Vs Vc . R Arus yang mengalir pada kapasitor adalah : i C dVc dt . Oleh karena arus yang mengalir pada kapasitor = arus yang mengalir pada resistor, maka : Vs Vc C dVc . R dt Sehingga didapatkan : RC dVc dt Vc Vs .Persamaan ini merupakan persamaan diferensial dengan Vc adalah variabel dependent, dan t merupakan variabel independent. Lebih lanjut tentang aplikasi persamaan diferensial dalam bidang elektro, dapat dipelajari di bagian akhir bab ini. Orde Persamaan Diferensial Orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi dari turunan yang ada di dalam persamaan diferensial tersebut. R dq q dt C 3 , adalah persamaan diferensial orde pertama dalam q d dt sin( ) , adalah persamaan diferensial orde pertama dalam θ x '' 4t 2 0 , adalah persamaan diferensial orde kedua dalam x d 3u du dt 3 dt u 4t 2 , adalah persamaan diferensial orde ketiga dalam u Persamaan Diferensial Biasa Persamaan diferensial yang hanya melibatkan satu variabel independent disebut sebagai persamaan diferensial biasa. Sehingga contoh (1), (2), dan (4) di muka merupakan contoh persamaan diferensial biasa, sedangkan contoh (3) bukan merupakan persamaan diferensial biasa. Selanjutnya, (3) merupakan persamaan diferensial parsial (partial differential equation,PDE). 11 Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan dua atau lebih variabel independent. Contoh : persamaan diferensial parsial orde 1 dengan 2 variabel independent : x1 dan x2 ditulis dalam bentuk : y f (x1, x 2, y) , dan bukan x1 dy dx 1 f (x1, x 2, y) . Solusi Persamaan Diferensial Solusi persamaan differensial adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensial yang dimaksudkan. Pada kedua kasus di atas adalah dimaksudkan untuk mencari nilai x(t) dan q(t). Solusi persamaan differensial dapat berupa solusi analitis, dimana jawaban dari persamaan differensial tersebut dapat dinyatakan dalam fungsi-fungsi dasar seperti et, sin t, cos t, dst. Tidak semua persamaan diferensial dapat dicari solusinya secara analitis. Solusi persamaan differensial dapat juga dicari dengan menggunakan metode numerik yang menghasilkan solusi dengan nilai pendekatan. Contoh II.1: Tunjukkan bahwa x = t3 adalah solusi dari persamaan diferensial : dx dt 3t 2 Jawab : Untuk membuktikan bahwa x = t3 adalah solusi dari persamaan diferensial dx 3t 2 , maka dt substitusikan x = t3 kedalam persamaan dx 3t 2 . dt 3 d (t ) 3t 2 , 3t 2 3t2 , berlaku untuk semua nilai t, sehingga x = t3 adalah solusi dari dt dx 3t 2 . dt Contoh II.2 : Tunjukkan bahwa y t 2 3t 3.5 adalah solusi dari persamaan diferensial y '' 3y ' 2 y 2t2 . Jawab : y t 2 3t 3.5 , y ' 2t 3 , y '' 2 . Substistusikan ke dalam persamaan diferensial y '' 3y ' 2 y 2t2 , sehingga : 2 3(2t 3) 2(t 2 3t 3.5) 2t2 2t 6t 9 2t 2 6t 7 2t2 2t 2 2t2 Solusi ini berlaku untuk semua nilai t. Sehingga y t 2 3t 3.5 merupakan solusi dari persamaan diferensial y '' 3y ' 2 y 2t2 Solusi Umum dan Khusus Persamaan diferensial boleh jadi memiliki banyak solusi. Sebagai contoh, persamaan dx dt 3t 2 dapat memiliki solusi x = t3, x = t3+9, x = t3-6, dst. Solusi solusi ini disebut dx sebagai solusi khusus, sedangkan x = t3 + C merupakan solusi umum dari dt 3t 2 . diferensial 12 Persamaan differensial dalam bidang teknik umumnya digunakan untuk memodelkan sistem dinamis, yaitu sistem yang berubah terhadap waktu. Contoh dari beberapa sistem dinamis antara lain: 1. Rangkaian listrik dengan arus/tegangan yang merupakan fungsi waktu. 2. Dalam produksi kimia, dimana tekanan, laju aliran, dst selalu berubah terhadap waktu. 3. Peralatan semikonduktor, dimana kerapatan hole dan elektron selalu berubah. Masalah Nilai Awal dan Nilai Batas Jika dalam suatu persamaan diferensial diberikan suatu kondisi tambahan dengan sebuah nilai yang sama pada variabel independent-nya (baik fungsi maupun turunannya), maka dikatakan bahwa persamaan diferensial tersebut sebagai masalah nilai-awal (initial-value problem). Jika kondisi tambahan yang diberikan merupakan nilai yang berbeda pada variabel independent-nya, maka dikatakan sebagai masalah nilai-batas (boundary-value problem). Contoh II.3 : Sebuah persamaan diferensial : y 2 y ex ;y( ) 1,y( ) 2 merupakan bentuk initial-value problem, karena terdapat dua kondisi tambahan yaitu pada x , dengan y (π) = 1 dan y’ (π) = 2. Sedangkan pada persamaan diferensial : y 2 y e x ;y( 0 ) 1,y(1) 1 merupakan bentuk boundary-value problem, karena dua kondisi tambahan diberikan pada nilai x yang berbeda, yaitu pada x 0 and x 1. Latihan Soal II.1: 1. Tunjukkan bahwa : y 3sin 2x adalah solusi dari persamaan diferensial : 2 d y 4y0 dx2 2x adalah solusi umum dari dy 2 y , carilah solusi khusus yang memenuhi 2. Jika y Ae dx y(0) = 3. 3. Identifikasi variabel dependent dan independent dari persamaan diferensial berikut ini. Dan sebutkan orde persamaan diferensial tersebut! 3 (a) d y 5 dy cos x dx 3 dx (b) dy 9 y 0 dx 2 (c) ( dy )( d y ) 9 dy 0 dx dx 2 dx 2 x x 4. Solusi umum dari : ( d y ) 2 dy y 0 adalah : y Axe Be . Carilah solusi 2 dx dx dy (0) 1 khusus yang memenuhi : y(0) = 0, dx 13 III. Persamaan Diferensial Orde 1 Sebelum membahas persamaan diferensial orde tinggi, akan dibahas terlebih dahulu persamaan diferensial orde 1. Bentuk Sederhana Bentuk sederhana persamaan diferensial orde 1 adalah : dy dx f (x) . Fungsi y dapat dicari dengan cara mengintegralkan f(x), yaitu : y f ( x )dx . Namun d, kebanyakan pada demikian, persamaan diferensial yang dijumpai dalm soal umumnya tidak sesederhana itu bentuknya.. Contoh III.1 dy dx 5sin 2x . Untuk mencari fungsi y (x), persamaan tersebut diintegralkan : 5 Maka y 5sin 2xdx , y 2 cos 2x C Pemisahan Variabel Jika persamaan diferensial memiliki bentuk : dy dx f (x )g ( y) , maka penyelesaian persamaan diferensial tersebut dapat dicari dengan metode pemisahan variabel, yaitu : 1g ( y )dy f (x )dx . Berikut ini adalah contoh penyelesaian persamaan diferensial dengan metode pemisahan variabel. Perhatikan bahwa variabel dikelompokkan sesuai dengan variabel sejenisnya, yaitu variabel x dengan dx, variabel y dengan dy. Contoh III.2 Temukan solusi persamaan diferensial berikut dengan metode pemisahan variabel : (a) dy x 2 dx y (b) dy x 2 dx y 1 x 3 (c) (d) dy x dx y , y(0) = 1 dm 2 m sin t , m(0) 4 dt Jawab : dy x 2 menjadi ydy x 2 d x sehingga (a) Persamaan diferensial dx y 14 yd y x 2 d x 3 x 3 C y 2x 2C , cukup ditulis: 2 3 3 y2 3 y 2x C 3 (b) Persamaan diferensial dy dx x2 yd y 1 x 3 d x (c) y1x y2 2 d x sehingga menjadi ydy x 1 x 3 x2 3 1 2 2 3 ln 1 x 3 C y 3 ln 1 x 3 C' Pisahkan variabel yang sama sehingga persamaan diferensialnya menjadi : ydy xdx , integralkan kedua ruas : ydy xdx 12 y 2 1 2 x 2 c , Kalikan kedua ruas dengan 2 sehingga menjadi : y 2 x 2 c ( seharusnya adalah 2c, namun karena masih bersifat konstanta, cukup ditulis c saja). Untuk mencari nilai c, substitusikan nilai y(0) = 1. 12 02 c , c 1 2 2 Sehingga solusi persamaan diferensial dy x adalah : x y 1 dx y (d) dm 2 m sin t , m(0) 4 . Pisahkan variabel yang sama sehingga : dt dm 2sin tdt , m dm 2sin t dt , m 1 m 2 dm 2 sin t dt , 1 2m 2 2cos t c , oleh karena c = 3, maka m 3 cos t Latihan Soal 1. 2. dx dt 10 dy dx e2 x dy e2 x 3. dx 4. y2 dx 9cos 4t dt x2 2 m cos t c 15 dx 3cos 2t 8sin 4t x2x dt dy 3sin t 5. 6. , y(0) = 2 dty 7. dy 6 x dx y 2 8. x2 , y(0) = 1 dy dx 2 y 2 yx dy y dx sin x 9. 10. temukan solusi umum dari persamaan diferensial : khusus yang memenuhi : x(0) = 5 Contoh Soal Cerita dx (x2 1) dt . Tentukan solusi t Contoh III.3 Laju pertumbuhan penduduk suatu negara adalah 1,3 kali jumlah penduduk saat ini. Jika jumlah penduduk saat ini adalah 80, berapakah jumlah penduduk setelah 100 minutes ? Jawab : Langkah 1 Langkah 2 Pemodelan menjadi persamaan diferensial dN dt 1.3N Integralkan dNN 1.3dt , ln | N | 1.3t c Langkah 3 Langkah 4 Langkah 5 Jadikan N sebagai subjek : N e1.3t c Susun kembali persamaan N dengan konstanta yang bersangkutan: 1.3t c 1.3t c Ne e , N Ae Cari nilai konstanta : 0 80 Ae A 80 Langkah 6 Temukan solusinya : N 80e1.3100 , dengan A = e (didapat dari N(0) = 80) N 2.2981058 individu Contoh III.4 Jawab : Blok es deng berat 10kg meleleh dalam lingkungan yang temperaturnya naik. Laju pengurangan berat es per detik adalah sebanding dengan 20 dikurangi berat es yang tersisa. Setelah 60 detik, berat es adalah 9.5 kg. berapa berat es setelah 120 detik ? Langkah 1 Susun persamaan diferensialnya : dM k (20 M ) , M(0) = 10, M(60) = 9.5 dt 16 dM dM dt k (20 M ) , 20 M k dt Langkah 3 Langkah 4 Langkah 5 ln | 20 M | kt c Jadikan M sebagai subjek : ln | 20 M | kt c , 20 M ekt c , M 20 ekt c Susun kembali persamaan M dengan konstanta yang bersangkutan: M 20 e kt ec , M 20 Aekt , dengan A = ec Cari nilai konstanta Gunakan nilai kondisi awal : M(0) = 10, M(60) = 9.5 10 20 Ae0 A 10 , 9.5 20 Ae60k , 10e60k 10.5 , e60k 1.05 , 60k ln1.05 , k 0.000813 maka M 20 10e0.000813t Langkah 6 Temukan solusinya : M 20 10e0.000813t , M (120) 20 10e0.000813120 , M (120) 8.975 kg Contoh III.5 Jawab : Laju pertumbuhan suatu kultur bakteri adalah sebanding (proporsional) dengan fungsi eksponensial pangkat t, dengan t adalah waktu (dalam jam). Disebabkan karena pertumbuhan bakteri yang sangat cepat, maka terjadi overcrowding, sehingga laju pertumbuhan bakteri juga berbanding terbalik dengan pangkat empat dari jumlah bakteri saat itu. Lewat eksperimen diketahui bahwa konstanta proporsionalnya adalah 1. Jika pada awalnya hanya terdapat 1 bakteria, berapa banyak bakteria dalam waktu 5 jam ? Solusi : dn et , n(0) 1 , ditanyakan : n(5) = ??? dt n4 4 cos 0 c 2 1 c n5 4 t 4 t n dn e d , n dn e dt , 5 e t c , n5 5et c pemodelan matematis : evaluasi nilai c :15 5e 0 c 1 5 c c 4 n5 5et 4 , n 5 5et 4 , n (5) 5 5e5 4 4 IV. Persamaan Linear Orde Pertama Adakalanya persamaan diferensial memiliki bentuk : dy dx P (x ) y Q (x) , maka dikatakan bahwa persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial linear orde pertama. P(x) dan Q(x) merupakan fungsi x. Contoh persamaan diferensial linear orde pertama adalah 17 dy 2 dx 5xy 7x , dy 2 y x dx x 4e , P(x) = 5x Q(x) = 7x2 2 P(x) = x Q(x) =4ex Metode Faktor Pengintegralan Persamaan linear orde pertama dapat dicari solusinya dengan metode : faktor pengintegralan, yaitu dengan cara mengalikan persamaan diferensial linear tersebut dengan μ sehingga : dy dx Py Q , dengan P dan Q merupakan fungsi dengan variabel x. sisi kiri persamaan diferensial Faktor pengintegralan/ μ dapat dicari dengan rumus : Pdx e . Ide dari penggunaan faktor pengintegaralan ini adalah menjadikan persamaan diferensial tersebut bersifat eksak, yakni Ingat bahwa : dy d dx ( y ) d d dx Py y dx Py dx P , dy dx Py Q dy d dx y dx ( dari rumus dy d dx y dx d dx P , disederhanakan menjadi : d ( y ) Q (x) . maka akan didapatkan : e dapat ditulis sebagai : dx d ( y ) Q (x) , y Qdx dx 1 y Qdx Contoh IV.1 Tentukan penyelesaian dari : dy y 5 dengan faktor pengintegralan dx x Jawab : dari persamaan diferensial dy y 5 , terlihat bahwa P 1 dan Q 5 . dx 1 Maka : y Qdx , dengan e y 1 x x 1 x dx e ln x x x 5xdx 18 y 1 5 2 5 x 2x C,y 2xC Latihan Soal : 1. Buktikan bahwa solusi dari persamaan diferensial 2. 3. 4. 5. dy dx 4 y 8, y(0) 1 dx dt 3x 8 dy dx y 2x 8 dy x dx y x3 Persamaan Diferensial Eksak Sebuah persamaan diferensial dengan bentuk : d dx P adalah : e Pdx . M(x, y)dx N (x, y)dy 0 dinamakan persamaan diferensial eksak (exact differential equation) jika terdapat sebuah fungsi f sedemikian rupa sehingga M f f x and N y pada daerah tertentu. Oleh karenanya, persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi : f f x dx y dy 0 . Solusi dari persamaan ini adalah f (x, y) k , k adalah nilai konstanta tertentu. f f dan N ( x, y) x y Apabila M ( x, y) maka persamaan diferensial dalam bentuk M(x, y)dx N (x, y)dy 0 dikatakan eksak jika dan hanya jika M N . y x Contoh IV.2 Buktikan bahwa persamaan diferensial berikut bersifat eksak dan tentukan solusi persamaan diferensial tersebut : (b) ex sin y 2 y sin xdx ex cos y 2 cos xdy 0 (a) 9x 2 y 1 dx 4 y xdy 0 jawab : (a) Untuk persamaan diferensial 19M ( x, y) 9x 2 y 1 M y 1 N ( x, y) 4 y x N 1 x oleh karenanya, persamaan diferensial tersebut eksak. Fungsi diferensialnya adalah : f 9x 2 y 1 f (x, y) x 9x 2 f 4 y x f ( x, y) 2 y 2 x y C ( x) 2 y dengan membandingkan kedua persamaan di atas maka didapatkan : f (x, y) 3x3 x y x 2 y2 Oleh karenanya, solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah : 3x3 x y x 2 y2 k (b) Untuk persamaan diferensial ini : M(x, y) e x sin y 2 y sin x 1 y 1 dx 3x 3 x y x C ( y) M e x cos y 2 sin x y N (x, y) e x cos y 2 cos x N e x cos y 2 sin x x adalah merupakan persamaan diferensial bersifat eksak. Fungsi diferensialnya adalah : f e x sin y 2 y sin x f (x, y) e x sin y 2 y cos x C ( y) 1 x f e x cos y 2 cos x f (x, y) e x sin y 2 y cos x C (x) 2 y dengan membandingkan kedua persamaan di atas maka didapatkan : f (x, y) e x sin y 2 y cos x Oleh karenanya, solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah : e x sin y 2 y cos x k Solusi Persamaan Diferensial Non Eksak Dengan Faktor Pegintegaralan Apabila persamaan diferensial dalam bentuk : M(x, y)dx N (x, y)dy 0 jika tidak eksak, faktor integralnya dicari terlebih dahulu. Pedoman mencari faktor pengintegralannya adalah sebagai berikut : 1 M 20 a. jika N y N f ( x) , dengan f(x) adalah fungsi dalam x, maka faktor x integralnya adalah : e f ( x )dx 1 M b. jika N N y g ( y) , dengan g(y) adalah fungsi dalam y, faktor integralnya x adalah e g ( y )dy Contoh IV.3 Temukan faktor pengintegralan dari persamaan diferensial biasa berikut dan tentukan solusinya : 3x 2 y 2x y y 3 dx x 2 y 2 dy 0 solusi: M ( x , y ) 3 x 2 y 2x y y3 M M 3 x 2 2 x 3 y 2 dan 6xy2y y x N (x, y ) x 2 y 2 terlihat bahwa 1 M N y N 2x x dan N 2y y N 3. Oleh x karenanya, faktor pengintegralannya adalah : exp 3d x e3x sehingga persamaan diferensial-nya menjadi 3x2 y 2x y y 3 e3x e3x x 2 y 2 dy 0 dx fungsi diferensialnya adalah f (x, y) f e3x 3x 2 y 2x y y 3 x f e3x x 2 y 2 y y 3 3 y 3 C( x) f ( x, y) e x y 3x 2 f e3x 2x y 3e3x x 2 y x C'( x) 3 f 3x x e 2x y 3x 2 y y 3 C'( x) dengan membandingkan kedua persamaan di atas, didapatkan : C '( x) 0, C ( x) constant sehingga solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah : 21 f ( x, y ) e x y 3x 2 y 3 k 3 Contoh IV.3 Selesaikan : (2xy 4 e y 2xy 3 y )dx ( x 2 y 4 e y x 2 y 2 3x )dy 0Jawab : Kita periksa terlebih dahulu apakah persamaan diferensial tersebut bersifat eksak ataukah tidak. M 3 y 4 y 2 8xy e 2xy e 6xy 1 y N 2xy 4 e y 2xy2 3 x N M . Selanjutnya dicari faktor integralnya : x y M N M N 8xy 3 e y 8xy2 4 , dan y x 4 g ( y) y x N y dy 1 4 y 4 ln y maka faktor integralnya adalah : e e y4 persamaannya tidak eksak karena kalikan persamaan diferensial (2xy 4 e y 2xy 3 y )dx ( x 2 y 4 e y x 2 y 2 3x )dy 0 1 , sehingga persamaan diferensialnya berbentuk : y4 2 (2 xe y 2 x 1 ) dx ( x 2ey x 3 x ) 0 dan persamaan diferensial ini eksak. y2 y3 y y3 dengan faktor integralnya, yaitu : Selanjutnya : ambil = Mdx (2xe y 2 x x 2e y x2 y x y ( y) y3 1 )dx y 3 x 2 y x 2 x e 2 3 4 '( y) = N y y y x x x2 x2 x 2 e y 2 3 4 '( y ) x 2ey 2 3 4 y y y y sehingga '( y) 0 , maka ( y) konstanta sehingga : oleh karenanya, solusi persamaan diferensial (2xy 4 e y 2xy 3 y )dx ( x 2 y 4 e y x 2 y 2 3x )dy 0 adalah : x 2e y x2 x C y y3 Soal latihan periksalah apakah persamaan diferensial di bawah ini eksak atau tidak, kemudian carilah solusinya. 1. ( x 2 y 2 x) dx ( xy ) dy 0 2. (2x 3 y 2 4x 2 y 2xy 2 xy 4 2 y )dx 2( y 3 x 2 y x )dy 0 23 V. Persamaan Diferensial Orde 2 Persamaan Diferensial linear Orde 2 Persamaan diferensial linear orde 2 memiliki bentuk umum sebagai berikut : : d2y q (x ) dy r (x ) y f (x) dx 2 dx dengan p ( x ), q ( x ), r ( x) dan f ( x) adalah fungsi dengan variabel x. Apabila f ( x) = 0, maka persamaan diferensial ini dikatakan homogen. Sebaliknya, jika f ( x) 0 , maka dikatakan p (x ) sebagai persamaan diferensial linear tidak homogen orde 2. d2y dy p (x ) dx 2 q (x ) dx r (x ) y 0 , homogen 2 p (x ) d y q (x ) dy r (x ) y sin x , tidak homogen dx 2 dx contoh persamaan diferensial linear orde 2 antara lain : x2 d2y x dy 1 y sin x dx 2dx x Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan (Second Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients) Orde 2 : pangkat tertinggi dari turunan (derivatif) yang terdapat pada persamaan diferensial : 2 dContoh x: dt 2 Homogen : tiap elemen mengandung unsur : 2 Contoh : x d x 3 dx x 0 dt 2 dt t d 2 x 3 dx t 3 dt 2 dt d2x , dx ,x dt 2 dt homogen tidak homogen Linear : tiap elemen persamaan mengandung setidaknya satu unsur : d 2 x ,dx , x dan dt 2 dt tidak dx 2 terdapat unsur : dt atau x d2x 2 . dt Persamaan diferensial dikatakan linear jika : dx 2 1. Variabel dependent dan turunannya berpangkat satu. Jadi bentuk dt adalah non linear (mengapa ??) d2 x 2. Tidak ada perkalian antara varibel dependent dan turunannya. Sehingga bentuk x dt 2 adalah non-linear (mengapa??) 3. Variabel dependent tidak berbentuk fungsi non-linear, seperti fungsi sinus, cosinus, 24 eksponensial, dst. Contoh : dx dt 4t d2x 4t dt 2 2 Linear, karena syarat (1),(2),(3) terpenuhi t d x 3 dx x 0 2 dt t dt d t x 22 3 x dx 2 0,Tidak linear karena menyalahi syarat (2)dt dt t d 2 y y2 0 , Tidak linear karena menyalahi syarat (1) 2 dx dy dx cos y 0 , Tidak linear karena menyalahi syarat (3) d 2 x dx Koefisien Konstan : koefisien , , x adalah konstanta dt 2 dt Solusi Umum Contoh dari persamaan diferensial linear homogen orde 2 dengan koefisien konstan antara lain : : d 2 x dx 6x 0 , d 2 x 4x 0 , dst dt 2 dt dt 2 Berikut ini contoh dalam mencari solusi umum persamaan diferensial linear homogen orde 2 dengan koefisien konstan Contoh V.1 Carilah solusi dari persamaan diferensial : d 2 x 4 dx 3x 0 . dt 2 dt Jawab : 2 t t 2 t Misalkan x Ce , maka dx C e , dan d x C e dt Substitusikan sehingga menjadi : C 2 e t dt 2 4C e t 3Cet 0 , 2 430 Bentuk 2 4 3 0 merupakan persamaan karakteristik. Selanjutnya substitusikan 2 x Cet ke persaman d x 4 dx 3x 0 menghasilkan persamaan 2 4 3 0 , dengan dt 2 dt = -3, -1. oleh karenanya terdapat 2 solusi, yaitu x Ce 3t dan x Cet . Oleh karenanya, 2 3t C et solusi umum persamaan diferensial d x 4 dx 3x 0 adalah : x C e dt 2 dt 1 2 Contoh V.2 Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut : 25 2 d x 2 dx 15x 0 dt 2 dt dx d2x t jawab : misalkan x Ce , maka C e , dan 2 C 2et dt dt 2 t t t 2 C e 2C e 15Ae 0 , 2 15 0 Didapatkan = 5, -3. Solusi umum : x C e5 t C e3t t 1 2 Catatan : d 2 x 4 dx 3x 0 memiliki persamaan karakteristik 2 4 3 0 dt dt 2 2 d x 2 dx 15x 0 memiliki persamaan karakteristik 2 2 15 0 dt 2 dt 2 2 jadi : d x , dx , x 1 2 dt dt 2 d x dx 6x 0 2 5 6 0 maka : 2 5 dt dt Akar-akar persamana karakteristik dapat memiliki 3 kemungkinan : 1. Akar-akarnya adalah bilangan riil dan berbeda 2. Akar-aknya adalah bilangan kompleks dan sama 3. Akar-akarnya adalah bilangan kompleks 4. Akar-aknya adalah bilangan riil dan sama Latihan Soal : Tuliskan persamaan karakteristik dari : d2x 3 dx x 0 2 dt dt 2 d x dx (b) 0 2 dt dt (a) (c) d2x 3x 0 dt 2 Akar-akarnya adalah bilangan riil dan berbeda Jika akar persamaan karakteristik adalah dan , maka solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah : y C1e x C2 e x , jika y adalah variabel dependent dan x adalah variabel independent. Contoh V.3 Temukan solusi dari persamaan diferensial : d 2 x 4 dx 3x 0 x(0) 1, x(0) 0 dt 2 dt 3 langkah penyelesaian : 26 1. Tuliskan persamaan karakteristik dan cari nilai 2. Tuliskan solusi umum 3. Cari nilai konstanta dari solusi umum Jawab : (1) 2 4 3 0 ( 3)( 1) 0 3,1 (2) x C1e 3t C2 et (3) (i) x (0) 1 1 C1 C2 (ii) x 3C e 3t C et , 1 x(0) 0 0 3C C 2 1 2 maka dicari nilai C1 dan C2 dari persamaan : 1 = C1 + C2 dan 0 = -3C1 -C2 C1 1C2 , 03(1C2)C2 C2 3 2, C1 1 2 d2x dx 3 1 3t t 2 e 4 3x 0, x(0) 1, x(0) 0 adalah x sehingga solusi dari dt dt 2 2e apabila digambar dalam grafik akan terlihat seperti gambar berikut : 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 1 2 Gambar. Grafik dari x 2 3 4 3 e 3t 2 et Contoh V.4 Temukan solusi dari persamaan diferensial : d2x dt 2 dx 7 dt 12x 0 x(0) 1 x( 0 ) 0 Jawab : (1) 2 7120 (3)(4)0 3,4 (2) x C1e3t C2 e4t , x(0) 0 0 3C1 4C2 (3) 1 = C1 + C2 dan 0 = 3 C1 + 4 C2 C2 3 , Jadi solusi selengkapnya C14 dari persamaan diferensial x(0) 1 x( 0 ) 0 adalah : x 4e3t 3e4t dx d2x 2 7 dt dt 12x 0 . Grafik x 4e3t 3e4t dengan ditunjukkan pada gambar 27 50 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 -50 -100 -150 -200 -250 -300 -350 -400 Gambar V.1 grafik fungsi x 4e3t 3e4t Jika akar-akar persamaan karakteristik merupakan bilangan kompleks dan sama. Jika akar persamaan karakteristik adalah , maka solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah : y C1 cos x C2 sinx Perhatikan contoh soal 290, 3 berikut : Contoh V.5 d2y Tentukan solusi dari : 4y0 2 dx Jawab : Persamaan karakteristik dari d2y 4y 0 adalah : 2 dx 4 0 , 4 , maka 2 2 2 oleh karenanya, solusi umum yang didapatkan adalah : y C1e 2 jx C2 e2 jx berdasarkan sifat trigonometri : e 2 jx cos 2x j sin 2x e 2 jx cos 2x j sin 2x maka didapatkan : y C1 (cos 2x j sin 2x ) C2 (cos 2x j sin 2x) jika C1 C2 A C1 j C2 j B maka : y A cos 2 x B sin 2x Jika akar-akar persamaan karakteristik merupakan bilangan kompleks Jika akar persamaan krakteristik adalah a bj , maka solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah : y e ax (C1 cos bx C2 sin bx) Contoh V.6 Tentukan solusi dari persamaan diferensial : y '' 2 y ' 4 y 0 28 jawab : Persamaan karakteristik : 2 2 4 0 Akar persamaan dicari dengan menggunakan rumus abc : b b2 4ac 2a 2 22 4.1.4 2.1 2 4 16 , 1 3j 2 maka solusi umumnya adalah : y e x ( A cos 3 x B sin 3 x) Jika akar persamaan karakteristik berupa bilangan riil dan sama maka solusi umumnya berbentuk : y x.ex Contoh V.6 y '' 9 0 Persamaan karakteristik : Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah : y x.e3x Latihan Soal 2 1. tentukan persamaan karakteristik dari : L di R di 1 i 0 dt 2 dt C 2. tentukan solusi dari persamaan diferensial homogen orde 2 berikut : a. d 2 y dy b. d 2 y dy c. d2x d. d 2 x 5dx e. d 2 y dy 8 y 0 dx 2 dx 2 y 0 dx 2 dx 16x 0 dt 2 2 6x 0 dt dt 2 y 0 dx dx Persamaan Diferensial Linear Non-Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan (Second Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients) Dari bentuk umum persamaan diferensial linear orde 2 d y p (x ) 2 dx 2 q (x ) dx dy r (x ) y f (x) 29 jika f ( x) 0 , maka solusi khusus persamaan diferensial tersebut dicari dengan mencobanya dengan menggunakan ketentuan sebagai berikut : : f(x) Konstanta Polinomial x dengan derajat n cos kx sin kx aekx Solusi coba-coba Konstanta Polinomial x dengan derajat n a cos kx b sin kx a cos kx b sin kx aekx Solusi total merupakn penjumlahan dari solusi khusus dan solusi umum. Solusi_total = Solusi_Umum + Solusi_Khusus Contoh V.7 Carilah solusi dari persamaan diferensial : d 2 y 6 dy 8 y 3cos x dx 2 dx (1). Mencari solusi umum 2 2 Persamaan karakteristik dari d y 6 dy 8 y 0 adalah : 6 8 0 ( 4)( 2) 0 dx 2 dx 12,2 4 Sehingga solusi umumnya adalah : C1e 2 x C2 e4 x (2) Mencari solusi khusus Beberapa langkah yang harus dilakukan dalam mengerjakan solusi khusus : 1. Cari fungsi yang merupakan solusi khusus berdasarkan tabel Berdasarkan tabel, maka solusi khusus dimisalkan adalqh fungsi : y p ( x ) a cos x b sin x 2. Cari turunan pertama dan kedua, kemudian substitusikan ke dalam persamaan diferensial Turunan pertamanya : y ' p ( x ) a sin x b cos x Turunan keduanya : y '' p ( x ) a cos x b sin x d2y 6 dy 8 y 3cos x 2 dx dx ( y '' p ( x ) a cos x b sin x )–6( y ' p ( x) a sin x b cos x )+ Selanjutnya substitusikan ke persamaan diferensial y p ( x ) a cos x b sin x ) = 3cos x 2. Kelompokkan koefisien- koefisien yangs sejenis, dan cari nilai konstantanya Untuk koefisien cos x : ( a 6b 8a ) cos x ( b 6a 8b) sin x 3cos x ( a 6b 8a) cos x 3cos x (7 a 6b) 3 30 Untuk koefisien sin x : ( b 6a 8b) sin x 0 ( ( b 6a 8b) 0 (6a 7b) 0 Maka dapat dicari nilai a dan b, yaitu : a 85 21 ,b 85 18 3. Substitusikan nilai konstanta yang didapat ke dalam solusi khusus persamaan diferensial Solusi khusus : y p ( x ) a cos x b sin x adalah : y (x ) 21 cos x 18 sin x p 85 85 solusi_total = Solusi_Umum + Solusi_Khusus 21 = C1e 2 x C2 e4 x + 85 cos x 18 85 sin x
