Uploaded by faruqammar

Matematika Terapan

advertisement
Materi
I. Review Definisi
Dasar
Fungsi
Variabel
Turunan/Derivatif
Beberapa aturan pada operasi turunan
Latihan Soal
Integral
Beberapa sifat pada operasi integral
Beberapa sifat trigonometri yang perlu diperhatikan
Latihan Soal
II Persamaan Diferensial Biasa
Pengertian persamaan diferensial
Pembentukan persamaan diferensial
Orde persamaan diferensial Persamaan
diferensial biasa Solusi persamaan
Diferensial
Solusi
umum
Solusi khusus
Masalah nilai awal dan nilai batas
Latihan Soal
III. Persamaan Diferensial Orde 1
Bentuk Sederhana persamaan diferensial orde pertama
Pemisahan Variabel
Contoh Soal Cerita
IV. Persamaan Diferensial Linear Orde 1
Ciri-ciri sifat linearitas pada Persamaan Diferensial
Persamaan Diferensial Eksak
Metode Faktor Pengintegralan
Solusi Persamaan Diferensial Non Eksak Dengan Faktor Pegintegaralan
V. Persamaan Diferensial Orde 2
Persamaan Diferensial linear Orde 2
Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan (Second
Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients)
Akar-akarnya adalah bilangan riil dan sama
Akar-akarnya adalah bilangan riil dan berbeda
Akar-akarnya adalah bilangan kompleks
Persamaan Diferensial Linear Non-Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan (Second Order
Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients)
VI. Aplikasi Persamaan Diferensial Dalam Bidang Teknik Elektro
Definisi Dasar
 Fungsi
Secara mudah, fungsi dapat dipandang sebagai “aturan” yang menghubungkan input dan
output. Input yang diberikan akan dilewatkan ke sebuah blok fungsi, dan menghasilkan output sesuai
dengan karakteristik blok fungsi. Hal ini dapat diilustrasikan sebagai berikut :
aturan
nput
output
Gambar 1. Hubungan antara input, output, dan blok fungsi
Sebuah fungsi “pengali input dua kali” akan menghasilkan nilai output dua kali dari nilai
nput. fungsi tersebut apabila dituliskan secara matematis adalah sebagai berikut :
f : x  2x ,
atau ditulis secara lebih kompak
f ( x )  2x
dan digambarkan sebagai berikut :
Fungsi
input kalikan 2
input
f
output
x
2x
Gambar 2. Sebuah fungsi dengan blok fungsi “input kalikan 2”
Input suatu fungsi disebut sebagai argumen. Pada fungsi f ( x )  2x , yang menjadi
argumen adalah x. Jika x diganti dengan nilai 3, maka :
f (3)  2.3  6 , dengan nilai argumen
adalah 3.
Sebuah fungsi dapat digambarkan secara grafik dengan memakai kordinat kartesius.
Fungsi f ( x )  2x dapat digambarkan dengan menguji nilai f ( x) untuk beberapa nilai x sebagai
berikut.
x = 2,
x = 1,


x = 0,
x = -1,
x = -2,
f ( x) = 4
4
f ( x) = 2



f ( x) = 0
2
f ( x) = -2
-2 -1
f ( x) = -4
012
-2
-4
dst.
Gambar 3. koordinat kartesius fungsi f ( x )  2x

Variabel
Pada fungsi y  f ( x )  2x , x dan y dapat memiliki kemungkinan sejumlah nilai
tertentu, sehingga x dan y dinamakan sebagai variabel. x adalah variabel independent (variabel
3
bebas) dan y adalah variabel dependent (variabel tak-bebas), mengingat nilai y ditentukan oleh ilai
variabel x.
Contoh I.1
a. y  x 4  5x2 , variabel dependent = y. variabel independent = x
b.
dq
dt  6q  3t 2 , variabel dependent
d2y
t
= q. variabel independent = t
c.
 9x  e , variabel dependent = y, variabel independent = x, t dt 2
pada contoh b dan c terlihat bahwa pada persamaan differensial, variabel dependent-nya adalah
variabel dalam bentuk turunannya.
TURUNAN/DERIVATIF
Berikut ini adalah turunan dari beberapa fungsi.
Tabel I.1. Beberapa fungsi yang sering digunakan beserta turunannya
Fungsi, y(x)
Konstanta
Turunan, y’
0
xn
Fungsi, y(x)
sin
1
(ax  b)
cos1 (ax  b)
nxn1
Turunan, y’
a
1 ( ax  b )2
a
1 ( ax  b )2
a
1 ( ax  b)2
a cosh( ax  b)
a sinh( ax  b)
a sec h 2 (ax  b)
ex
tan1 (ax  b)
sinh( ax  b)
cosh( ax  b)
tanh( ax  b)
sin x
ex
aeax
1
x
cos x
cos x
sin x
sec h( ax  b)
a s ech( ax  b) tanh( ax  b)
sin( ax  b)
cos( ax  b)
a cos( ax  b)
 a sin( ax  b)
coth( ax  b)
sinh1 (ax  b)
 a cos ech 2(ax  b)
a
ex
e x
eax
ln x
cos ech( ax  b) a cos ech( ax  b) coth( ax  b)
cosh1 (ax  b)
(ax  b )2 1
a
cos ec ( ax  b) a cos ec ( ax  b) cot( ax  b) tanh1 (ax  b)
(ax  b )2 1
a
tan( ax  b)
a sec2 (ax  b)
1 ( ax  b )2
sec( ax  b)
a sec( ax  b) tan( ax  b)
4
Beberapa Aturan Pada Operasi Turunan
Jika u dan v adalah sebuah fungsi, dan c adalah konstanta, maka :
1.
(u  v ) '  u ' v '
2. (uv ) '  u ' v  uv '
3. (cu ) '  cu '
4.
(u ) '  u 'v  uv '
v
5.
v2
Jika y  y ( z) , dan z  z ( x) , maka :
Contoh I.2
Carilah turunan dari fungsi y berikut ini :
1. y  ( x 2  sin x)
jawab :
y '  d (x 2 )  d (sin x)
dxdx
y '  2 x  cos x
dy
dy
dz
dx  dz * dx
y  x sin x
.
2. misalkan : u  x, v  sin x
u ' 1, dan v '  cos x
maka y menjadi y  uv .
y '  (uv) '
y '  u ' v  uv '
y  sin x  x cos x
3. y 10 cos x
Jawab :
y ' 10sin x
t
4. y  2 . 2t 1
Jawab :
Misalkan u  t 2 dan v  2t 1 .
u '  2t , dan v '  2
u
y  ( ) , maka y '  (
vvv2
u
)'
u 'v  uv '
2t (2t  1)  t 2 .2
y ' 
(2t 1)2
4t 2  2t  2t 2 2t 2  2t 2t (t 1)
y ' 


(2t  1) 2
(2t 1)2 (2t 1)2
5. y  z6 , z  x2 1. Carilah
dy
!
dx
5
Jawab :
y  ( x2 1)6 ,


dy
dy
dz
dx  dz * dx
 6 z 5.2x
 12 x. z5
 12x (x2 1)5
Latihan Soal I.1
Temukan turunan dari
1.
2.
y  e7 x
y  tan(3 x  2)
3.
4.
y  x5
y  sin( x )
5.
yt
6.
7.
y  cos(4 t)
y
8.
y  cos1 (4t 3)
1
5
9.
y  sin1 (2t 3)
1
10. y  sin(5x  3)
4t
11. y  3sin(5t )  2e
3t
12. y  2e  17  4sin(2t)
13. y  1  cos5t
2
t3
3
14. y  2w  e4w
3
2
15. y  x  ln( x )
1
1
16. y  3sin (2t ) 5cos (3t)
1
1
1
17. y  2 tan (t  2)  4cos (2t 1)
2
3
18. Sebuah fungsi : y (t )  t  5t  4t 1
3
(a) tentukan
2
dy
dt
(b) jika turunan pertama fungsi tersebut adalah nol, berapa nilai t ?
6
Latihan Soal I. 2
Carilah turunan dari fungsi berikut ini :
1. y  sin x cos x
2. y  xex
3. y  et sin t cos t
4. y  et sin t cos t
(nomor 1-4, gunakan aturan perkalian)
5. y 
cos x
sin x
2t
6. y  3e
t 1
7. y  3x 2  2x  9
x3 1
8. y  ln(x2 1)
9. y  sin3 (3t  2)
10. y  t 
1
INTEGRAL
1
Proses mengintegralkan suatu fungsi merupakan kebalikan turunan/derivatif. Suatu
fungsi f(x) dapat kita turunkan menjadi :
d ( fx)
. Apabila kita ingin mencari suatu fungsi
f(x) dx
dari turunan/derivatif-nya, maka dinamakan : integral
Tabel I.2. Beberapa fungsi yangs sering digunakan beserta integral fungsi tersebut
Fungsi, f(x)
K,
Konstanta
n
x
 f ( x )dx
kx  c
xn1
Fungsi, f(x)
tan ax
tan( ax  b)
n 1  c , n 1
x
e
e x  c
cos ec ( ax  b)
 f ( x )dx
ln | sec ax |  c
a
ln | sec(ax  b) |  c
a
1 

ln | co sec(ax  b)  cot(ax  b) |  c
a
e x
e x  c
s ec ( ax  b)
eax
eax
cot( ax  b)
a c
x1
ln | x | c
1
a x
2
2
1 ln | sec(ax  b)  tan(ax  b) |  c
a 

1 

a
ln | sin(ax  b ) |  c
sin 1 x  c
a
7
sin x
 cos x  c
sin ax
cos ax  c
a
 cos(ax  b)  c
a
sin x  c
sin ax  c
a
sin(ax  b)  c
a
ln | sec x | c
sin( ax  b)
cos x
cos ax
cos( ax  b)
tan x
1
a 2  x2
1 tan1 x  c
a
a
Contoh I.3
Temukan fungsi y jika :
(a) y '  6x
(b) y '  4x3
(c) y '  cos x  x
jawab :
1.
y  6xdx
y  3x 2  c , dengan c adalah suatu konstanta sembarang.
Perlu diingat, bahwa turunan dari suatu konstanta adalah nol.
2.
y  4x 3dx
y  4 x (3 1) ,  y  x 4  c
(3 1)
3.
y  (cos x  x )dx
y  sin x 
1
2x2c
Beberapa sifat pada operasi integral (sifat linearitas):



2.  Afdx  A fdx
3.  ( Af  Bg )dx  A f dx  B  gdx
1. ( f  g )dx  fdx  gdx
(sifat 1-3 dinamakan sifat linearitas)


4. uv ' dx  uv  vu ' dx
8
Beberapa sifat trigonometri yang perlu diingat :
1. sin 2 t  cos 2 t 1
1 cos 2t
2. cos2 t  
2
3. sin2 t 
1 cos 2t

2
4. tan t 
5. sin 2t  2sin t cos t
6. cos 2t  1  2sin 2 t  2 cos 2 t  1  cos 2 t sin2 t
7. tan 2 t  1  sec2 t
8. 1  cot 2t  co sec2 t
9. sin( A  B)  sin A cos B sin B cos A
10. cos( A  B)  cos A cos B sin A sin B

 tan( A  B)

11. tan( A B)
1 tan A tan B
12. 2sin A cos B  sin( A  B)  sin( A  B)
13. 2sin A sin B  cos( A  B)  cos( A  B)
14. 2 cos A cos B  cos( A  B)  cos( A  B)
Latihan Soal I.3
Temukan fungsi y jika :
1.
y  sin(3 x  2)
2.
y  5.9
3.
y  e3t
4.
yx
1
5
nomor 5 dst, gunakan sifat linear integral
5.
y  3t 2  t
6.
y  sin x  cos x 2
7.
y  7 cos ec(

2)
8.
y  4 cos(9 x  2)
nomor 9 dst. Carilah :
9.
10.
11.
12.
13.
cos2 tdt
sin2 tdt
 xe 2 x dx
e t sin tdt
(3 x 1)5 dx
sin t
cos t
14.
2 sin t cos2 tdt
1
15.
(5x47)dx
II. Persamaan Diferensial Biasa
(Ordinary Differential Equations)
II. 1 Pengertian Persamaan Diferensial
Persamaan Diferensial/PD adalah persamaan yang di dalamnya berisi turunan (derivative
atau differential) satu atau lebih variabel. Persamaan diferensial orde 1 dengan y sebagai variabel
independent dan x sebagai variabel dependent ditulis secara matematis sebagai
berikut : dy
 f (x, y) . Sedangkan persamaan diferensial dalam orde 2 ditulis secara matematis
dx
2
sebagai : d y  f (x, y, dy ) dengan catatan, tidak semua variabel dari fungsi f harus muncul
dx 2
dx
dalam persamaan. Contoh dari persamaan diferensial antara lain:
(1)
dy
dx  e x
 sin x
(x adalah variabel independent, y adalah variabel dependent yang nilainya tergantung x)
(2) y"2 y'y  cos x
(3)
 2u  2u u


x 2 y 2 t
(4) 3x2 dx  2 ydy  0
II Pembentukan persamaan diferensial
Persamaan diferensial muncul ketika terjadi perubahan pada suatu besaran, yang biasanya
dinyatakan dalam suatu fungsi matematis. Contoh (1), (2), (3) dan (4 ) merupakan persamaan
diferensial yang secara matematis diekspresikan tanpa mengetahui latar belakang
pembentukan/terjadinya persamaan diferensial tersebut.
Contoh pembentukan persamaan diferensial dalam dunia riil adalah persamaan differensial
yang terbentuk dari suatu objek yang sedang bergerak. Dimisalkan objek tersebut
bergerak dengan karakteristik persamaan :
x menyatakan jarak
d2x
 6 dx  2x  3t dengan :
2
dt
dt
d2x
dt 2
(yaitu turunan kedua fungsi jarak) menyatakan percepatan, dan
dx
dt (turunan pertama) menyatakan kecepatan.
Contoh yang lain adalah muatan listrik yang bergerak, dimisalkan memiliki persamaan :
dq
dq
diistilahkan sebagai aliran arus listrik).
Contoh lain pembentukan persamaan diferensial adalah pada rangkaian listrik yang terdiri
dari komponen RC sebagaimana diperlihatkan dalam gambar berikut :
10
R
Vs
+
VR
i
C
-
Vc
Gambar II.1 Suatu Rangkaian listrik dengan saklar
Berdasarkan hukum kirchof, jumlah tegangan pada loop tertutup dari suatu rangkaian listrik adalah
nol. Jika dituliskan :VS  VR VC , atau VR  VS VC .
Vs = tegangan sumber
Vc = tegangan pada kapasitor
VR = tegangan pada resistor
Berdasarkan hukum Ohm, arus yang mengalir pada resistor (pada rangkaian tertutup) dapat dicari
dengan rumus : i 
Vs Vc
.
R
Arus yang mengalir pada kapasitor adalah : i  C
dVc
dt .
Oleh karena arus yang mengalir pada kapasitor = arus yang mengalir pada resistor, maka :
Vs Vc  C dVc .
R
dt
Sehingga didapatkan : RC
dVc
dt  Vc  Vs .Persamaan ini merupakan persamaan diferensial
dengan Vc adalah variabel dependent, dan t merupakan variabel independent.
Lebih lanjut tentang aplikasi persamaan diferensial dalam bidang elektro, dapat dipelajari di
bagian akhir bab ini.
Orde Persamaan Diferensial
Orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi dari turunan yang ada di dalam persamaan
diferensial tersebut.
R
dq
q
dt  C  3 , adalah persamaan diferensial orde pertama dalam q
d 
dt  sin( ) , adalah persamaan diferensial orde pertama dalam θ x '' 4t
2
 0 , adalah persamaan diferensial orde kedua dalam x
d 3u du

dt 3 dt
 u  4t 2 , adalah persamaan diferensial orde ketiga dalam u
Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial yang hanya melibatkan satu variabel independent disebut sebagai
persamaan diferensial biasa. Sehingga contoh (1), (2), dan (4) di muka merupakan contoh persamaan
diferensial biasa, sedangkan contoh (3) bukan merupakan persamaan diferensial biasa. Selanjutnya,
(3) merupakan persamaan diferensial parsial (partial differential equation,PDE).
11
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan dua atau lebih
variabel independent. Contoh : persamaan diferensial parsial
orde 1 dengan 2 variabel
independent : x1 dan x2 ditulis dalam bentuk
:
 y  f (x1, x 2, y) , dan bukan
 x1
dy
dx 1  f (x1, x 2, y) .
Solusi Persamaan Diferensial
Solusi persamaan differensial adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensial
yang dimaksudkan. Pada kedua kasus di atas adalah dimaksudkan untuk mencari nilai x(t) dan q(t).
Solusi persamaan differensial dapat berupa solusi analitis, dimana jawaban dari persamaan
differensial tersebut dapat dinyatakan dalam fungsi-fungsi dasar seperti et, sin t, cos t, dst. Tidak
semua persamaan diferensial dapat dicari solusinya secara analitis. Solusi persamaan differensial
dapat juga dicari dengan menggunakan metode numerik yang menghasilkan solusi dengan nilai
pendekatan.
Contoh II.1: Tunjukkan bahwa x = t3 adalah solusi dari persamaan diferensial :
dx
dt  3t 2
Jawab :
Untuk membuktikan bahwa x = t3 adalah solusi dari persamaan diferensial
dx  3t 2 , maka
dt
substitusikan x = t3 kedalam persamaan dx  3t 2 .
dt
3
d (t )  3t 2 ,  3t 2  3t2 , berlaku untuk semua nilai t, sehingga x = t3 adalah solusi dari
dt
dx  3t 2 .
dt
Contoh II.2 : Tunjukkan bahwa y  t 2  3t  3.5 adalah solusi dari persamaan diferensial
y '' 3y ' 2 y  2t2 .
Jawab : y  t 2  3t  3.5 , y '  2t 3 , y ''  2 . Substistusikan ke dalam persamaan diferensial
y '' 3y ' 2 y  2t2 , sehingga :
2  3(2t  3)  2(t 2  3t  3.5)  2t2
 2t  6t  9  2t 2  6t  7  2t2
 2t 2  2t2
Solusi ini berlaku untuk semua nilai t. Sehingga y  t 2  3t  3.5 merupakan solusi dari
persamaan diferensial y '' 3y ' 2 y  2t2
Solusi Umum dan Khusus
Persamaan diferensial boleh jadi memiliki banyak solusi. Sebagai contoh, persamaan
dx
dt  3t 2 dapat memiliki solusi x = t3, x = t3+9, x = t3-6, dst. Solusi solusi ini disebut
dx
sebagai solusi khusus, sedangkan x = t3 + C merupakan solusi umum dari
dt  3t 2 .
diferensial
12
Persamaan differensial dalam bidang teknik umumnya digunakan untuk memodelkan sistem
dinamis, yaitu sistem yang berubah terhadap waktu. Contoh dari beberapa sistem dinamis antara lain:
1. Rangkaian listrik dengan arus/tegangan yang merupakan fungsi waktu.
2. Dalam produksi kimia, dimana tekanan, laju aliran, dst selalu berubah terhadap waktu.
3. Peralatan semikonduktor, dimana kerapatan hole dan elektron selalu berubah.
Masalah Nilai Awal dan Nilai Batas
Jika dalam suatu persamaan diferensial diberikan suatu kondisi tambahan dengan sebuah
nilai yang sama pada variabel independent-nya (baik fungsi maupun turunannya), maka dikatakan
bahwa persamaan diferensial tersebut sebagai masalah nilai-awal (initial-value problem). Jika kondisi
tambahan yang diberikan merupakan nilai yang berbeda pada variabel independent-nya, maka
dikatakan sebagai masalah nilai-batas (boundary-value problem).
Contoh II.3 :
Sebuah persamaan diferensial :
y 2 y ex ;y( ) 1,y( )  2
merupakan bentuk initial-value problem, karena terdapat dua kondisi tambahan yaitu pada x  
, dengan y (π) = 1 dan y’ (π) = 2.
Sedangkan pada persamaan diferensial :
y 2 y e x ;y( 0 )  1,y(1)  1
merupakan bentuk boundary-value problem, karena dua kondisi tambahan diberikan pada nilai x
yang berbeda, yaitu pada x  0 and x  1.
Latihan Soal II.1:
1. Tunjukkan bahwa
:
y  3sin 2x
adalah solusi
dari persamaan diferensial :
2
d y
4y0
dx2
2x
adalah solusi umum dari dy  2 y , carilah solusi khusus yang memenuhi
2. Jika y  Ae
dx
y(0) = 3.
3. Identifikasi variabel dependent dan independent dari persamaan diferensial berikut ini.
Dan sebutkan orde persamaan diferensial tersebut!
3
(a) d y  5 dy  cos x
dx 3
dx
(b) dy  9 y  0
dx
2
(c) ( dy )( d y )  9 dy  0
dx dx 2
dx
2
x
x
4. Solusi umum dari : ( d y )  2 dy  y  0 adalah : y  Axe  Be . Carilah solusi
2
dx
dx
dy (0) 1
khusus yang memenuhi : y(0) = 0,
dx
13
III. Persamaan Diferensial Orde 1
Sebelum membahas persamaan diferensial orde tinggi, akan dibahas terlebih dahulu
persamaan diferensial orde 1.
Bentuk Sederhana
Bentuk sederhana persamaan diferensial orde 1 adalah :
dy
dx  f (x)
. Fungsi y dapat

dicari dengan cara mengintegralkan f(x), yaitu : y  f ( x )dx . Namun d, kebanyakan pada
demikian, persamaan diferensial yang dijumpai dalm soal umumnya tidak sesederhana itu
bentuknya..
Contoh III.1
dy
dx  5sin 2x . Untuk mencari fungsi y (x), persamaan tersebut diintegralkan :
5
Maka y  5sin 2xdx ,  y  2 cos 2x  C
Pemisahan Variabel
Jika persamaan diferensial memiliki bentuk :
dy
dx
 f (x )g ( y) , maka penyelesaian
persamaan diferensial tersebut dapat dicari dengan metode pemisahan variabel, yaitu :
 1g ( y )dy   f (x )dx .
Berikut ini adalah contoh penyelesaian persamaan diferensial dengan metode pemisahan variabel.
Perhatikan bahwa variabel dikelompokkan sesuai dengan variabel sejenisnya, yaitu variabel x dengan
dx, variabel y dengan dy.
Contoh III.2
Temukan solusi persamaan diferensial berikut dengan metode pemisahan variabel :
(a)
dy  x 2
dx
y
(b)
dy  x 2
dx y 1  x 3
(c)
(d)
 
dy
 x
dx  y , y(0) = 1
dm  2
m sin t , m(0)  4
dt
Jawab :
dy x 2
menjadi ydy  x 2 d x sehingga
(a) Persamaan diferensial
dx  y
14
 yd y   x 2 d x

3
 x 3  C  y  2x  2C , cukup ditulis:
2
3
3
y2
3
y  2x  C
3
(b) Persamaan diferensial
dy 
dx
x2
 yd y   1  x 3 d x
(c)

y1x
y2

2
d x sehingga
menjadi ydy  x
1 x 3
x2
3

1

2

2 3 ln 1  x 3 C 


y  3 ln 1  x 3 C'
Pisahkan variabel yang sama sehingga persamaan diferensialnya menjadi :
 ydy  xdx , integralkan kedua ruas :

 ydy   xdx  12 y 2

1
2 x 2  c ,
Kalikan kedua ruas dengan 2 sehingga menjadi : y 2  x 2  c ( seharusnya
adalah 2c, namun karena masih bersifat konstanta, cukup ditulis c saja). Untuk mencari nilai
c, substitusikan nilai y(0) = 1.
12  02  c , c 1
2
2
Sehingga solusi persamaan diferensial dy  x adalah : x  y 1
dx
y
(d) dm  2 m sin t , m(0)  4 . Pisahkan variabel yang sama sehingga :
dt
dm  2sin tdt , 
m
dm  2sin t dt ,
m
1
 m 2 dm  2 sin t dt ,
1

2m
2
2cos t  c ,
oleh karena c = 3, maka m   3  cos t 
Latihan Soal
1.
2.
dx
dt 10
dy
dx  e2 x
dy  e2 x
3.
dx
4.
y2
dx  9cos 4t
dt
x2
2

m  cos t  c
15
dx 3cos 2t  8sin 4t

x2x
dt
dy 3sin t
5.

6.
, y(0) = 2
dty
7.
dy
6 x
dx  y 2
8.
x2
, y(0) = 1
dy
dx  2 y 2  yx
dy
y dx  sin x
9.
10. temukan solusi umum dari persamaan diferensial : khusus yang memenuhi : x(0) = 5
Contoh Soal Cerita
dx (x2 1)

dt
. Tentukan solusi
t
Contoh III.3
Laju pertumbuhan penduduk suatu negara adalah 1,3 kali jumlah penduduk saat ini. Jika jumlah
penduduk saat ini adalah 80, berapakah jumlah penduduk setelah 100 minutes ?
Jawab :
Langkah 1

Langkah 2
Pemodelan menjadi persamaan diferensial

dN
dt 1.3N
Integralkan
 dNN   1.3dt , ln | N | 1.3t  c

Langkah 3
Langkah 4
Langkah 5


Jadikan N sebagai subjek :
N  e1.3t c
Susun kembali persamaan N dengan konstanta yang bersangkutan:
1.3t c
1.3t
c
Ne
e , N  Ae
Cari nilai konstanta :
0
80  Ae  A  80
Langkah 6  Temukan solusinya :
N  80e1.3100 ,
dengan A = e
(didapat dari N(0) = 80)
N  2.2981058
individu
Contoh III.4
Jawab :
Blok es deng berat 10kg meleleh dalam lingkungan yang temperaturnya naik. Laju pengurangan berat
es per detik adalah sebanding dengan 20 dikurangi berat es yang tersisa. Setelah 60 detik, berat es
adalah 9.5 kg. berapa berat es setelah 120 detik ?
Langkah 1

Susun persamaan diferensialnya :
dM
 k (20  M ) , M(0) = 10, M(60) = 9.5
dt
16
dM
dM
dt  k (20  M ) ,  20 M k dt

Langkah 3
Langkah 4

Langkah 5
 ln | 20  M | kt  c
Jadikan M sebagai subjek :
ln | 20  M | kt  c , 20  M  ekt c , M  20  ekt c
Susun kembali persamaan M dengan konstanta yang bersangkutan:

M  20  e kt ec , M  20  Aekt , dengan A = ec
Cari nilai konstanta
Gunakan nilai kondisi awal : M(0) = 10, M(60) = 9.5
10  20  Ae0  A 10 ,
9.5  20  Ae60k , 10e60k 10.5 , e60k 1.05 ,
60k  ln1.05 , k  0.000813
maka M  20 10e0.000813t
Langkah 6

Temukan solusinya :
M  20 10e0.000813t , M (120)  20 10e0.000813120 ,
M (120)  8.975 kg
Contoh III.5
Jawab :
Laju pertumbuhan suatu kultur bakteri adalah sebanding (proporsional) dengan fungsi eksponensial
pangkat t, dengan t adalah waktu (dalam jam). Disebabkan karena pertumbuhan bakteri yang sangat
cepat, maka terjadi overcrowding, sehingga laju pertumbuhan bakteri juga berbanding terbalik
dengan pangkat empat dari jumlah bakteri saat itu. Lewat eksperimen diketahui bahwa konstanta
proporsionalnya adalah 1. Jika pada awalnya hanya terdapat 1 bakteria, berapa banyak bakteria dalam
waktu 5 jam ? Solusi :
dn et , n(0) 1 , ditanyakan : n(5) = ???

dt n4
4  cos 0  c  2 1  c
n5
4
t
4
t
n dn  e d ,  n dn  e dt , 5  e t  c , n5  5et  c
pemodelan matematis :
evaluasi nilai c :15  5e 0  c  1  5  c
 c 4
n5  5et  4 , n  5 5et  4 , n (5)  5 5e5  4
4
IV. Persamaan Linear Orde Pertama
Adakalanya persamaan diferensial memiliki bentuk :
dy
dx  P (x ) y  Q (x) , maka dikatakan
bahwa persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial linear orde pertama. P(x) dan
Q(x) merupakan fungsi x. Contoh persamaan diferensial linear orde pertama adalah
17
dy
2
dx  5xy  7x ,
dy 2 y
x
dx  x  4e ,



P(x) = 5x
Q(x) = 7x2
2
P(x) =  x
Q(x)
=4ex
Metode Faktor Pengintegralan
Persamaan linear orde pertama dapat dicari solusinya dengan metode : faktor pengintegralan,
yaitu dengan cara mengalikan persamaan diferensial linear tersebut dengan μ
sehingga : 
dy
dx   Py  Q , dengan P dan Q merupakan fungsi dengan variabel x.
sisi kiri persamaan diferensial
Faktor pengintegralan/ μ dapat dicari dengan rumus :
Pdx
e
. Ide dari penggunaan
faktor pengintegaralan ini adalah menjadikan persamaan diferensial tersebut bersifat eksak, yakni
Ingat bahwa :
dy

d
dx ( y )
d 
d 

dx   Py  y dx  Py dx  P , 
dy
dx  Py  Q
dy
d 
  dx  y dx ( dari rumus



dy
d 
dx  y dx
d 
dx  P
, disederhanakan menjadi :

d
( y )  Q (x) .
maka akan didapatkan :   e
dapat ditulis sebagai :
dx
d ( y )  Q (x) ,   y  Qdx
dx
1
y   Qdx
Contoh IV.1
Tentukan penyelesaian dari : dy  y  5 dengan faktor pengintegralan
dx
x
Jawab :
dari persamaan diferensial dy  y  5 , terlihat bahwa P  1 dan Q  5 .
dx
1
Maka : y   Qdx , dengan   e
y
1
x
x

1
x dx
 e ln x  x
x  5xdx
18
y
1 5 2
5
x 2x C,y 2xC
Latihan Soal :
1. Buktikan bahwa solusi dari persamaan diferensial
2.
3.
4.
5.
dy
dx  4 y  8, y(0) 1
dx
dt  3x 8
dy
dx  y  2x  8
dy
x dx  y  x3
Persamaan Diferensial Eksak
Sebuah persamaan diferensial dengan bentuk :
d 

dx  P adalah :   e Pdx .
M(x, y)dx  N (x, y)dy  0
dinamakan persamaan diferensial eksak (exact differential equation) jika terdapat sebuah
fungsi f sedemikian rupa sehingga M 
 f
 f
 x and N   y pada daerah tertentu. Oleh
karenanya,
persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi :
 f
 f
 x dx   y dy  0 . Solusi dari
persamaan ini adalah f (x, y)  k , k adalah nilai konstanta tertentu.
f
f
dan N ( x, y) 
x
y
Apabila M ( x, y) 
maka persamaan diferensial dalam bentuk
M(x, y)dx  N (x, y)dy  0 dikatakan eksak jika dan hanya jika  M  N .
y
x
Contoh IV.2
Buktikan bahwa persamaan diferensial berikut bersifat eksak dan tentukan solusi
persamaan diferensial tersebut :


(b) ex sin y  2 y sin xdx  ex cos y  2 cos xdy  0
(a) 9x 2  y 1 dx  4 y  xdy  0
jawab :
(a) Untuk persamaan diferensial
19M ( x, y)  9x 2  y  1

M
y
1
N ( x, y) 4 y  x  N  1
x
oleh karenanya, persamaan diferensial tersebut eksak. Fungsi diferensialnya adalah :
f
 9x 2  y  1  f (x, y) 
x

9x

2
 f 4 y  x  f ( x, y) 2 y 2  x y  C ( x)
2
y
dengan membandingkan kedua persamaan di atas maka didapatkan :
f (x, y)  3x3  x y  x  2 y2
Oleh karenanya, solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah :
3x3  x y  x  2 y2  k
(b) Untuk persamaan diferensial ini :
M(x, y)  e x sin y  2 y sin x 
1
 y  1 dx  3x 3  x y  x  C ( y)
M
 e x cos y  2 sin x
y
N (x, y)  e x cos y  2 cos x  N  e x cos y  2 sin x
x
adalah merupakan persamaan diferensial bersifat eksak. Fungsi diferensialnya adalah :
 f  e x sin y  2 y sin x  f (x, y)  e x sin y  2 y cos x  C ( y)
1
x
 f  e x cos y  2 cos x  f (x, y)  e x sin y  2 y cos x  C (x)
2
y
dengan membandingkan kedua persamaan di atas maka didapatkan :
f (x, y)  e x sin y  2 y cos x
Oleh karenanya, solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah :
e x sin y  2 y cos x  k
Solusi Persamaan Diferensial Non Eksak Dengan Faktor
Pegintegaralan Apabila persamaan diferensial dalam bentuk :
M(x, y)dx  N (x, y)dy  0
jika tidak eksak, faktor integralnya dicari terlebih dahulu. Pedoman mencari faktor
pengintegralannya adalah sebagai berikut :
1  M
20

a. jika
N  y

 N 

 f ( x) , dengan f(x) adalah fungsi dalam x, maka faktor
 x 

integralnya adalah : e f ( x )dx
1  M
b. jika

 N 

N   y
g
( y) , dengan g(y) adalah fungsi dalam y, faktor integralnya
 x 
adalah e
g ( y )dy
Contoh IV.3
Temukan faktor pengintegralan dari persamaan diferensial biasa berikut dan tentukan
solusinya :




3x 2 y  2x y  y 3 dx  x 2  y 2 dy  0
solusi:
M ( x , y )  3 x 2 y  2x y  y3
M
M
 3 x 2  2 x  3 y 2 dan
6xy2y

y
x
N (x, y )  x 2  y 2 
terlihat bahwa


1 M

N  y

N
 2x
x
dan
N
2y
y
N 
 3. Oleh
x 
karenanya,
faktor pengintegralannya adalah :
exp 3d x  e3x sehingga persamaan diferensial-nya menjadi
3x2 y  2x y  y 3   e3x 

e3x
x 2  y 2 dy  0
dx
fungsi diferensialnya adalah
f (x, y)


f
 e3x 3x 2 y  2x y  y 3
x
f

 e3x x 2  y 2
y




y 3 

3
y 
3 
 C( x)
f ( x, y)  e  x y 
3x
2
f

 e3x 2x y  3e3x  x 2 y 
x

  C'( x)
3
 f 3x
x  e 2x y  3x 2 y  y 3  C'( x)
dengan membandingkan kedua persamaan di atas, didapatkan :
C '( x)  0,
C ( x)  constant
sehingga
solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah :
21
f ( x, y )  e  x y 
3x
2

y 3 
  k


3 
Contoh IV.3
Selesaikan : (2xy 4 e y  2xy 3  y )dx  ( x 2 y 4 e y  x 2 y 2  3x )dy  0Jawab :
Kita periksa terlebih dahulu apakah persamaan diferensial tersebut bersifat eksak ataukah
tidak.
M
3 y
4 y
2
 8xy e 2xy e  6xy 1
y
N
 2xy 4 e y  2xy2  3
x
N  M . Selanjutnya dicari faktor integralnya :
x
y
M N
M  N  8xy 3 e y  8xy2  4 , dan y x  4 g ( y)
y
x
N
y
dy
1
4 y

4
ln
y

maka faktor integralnya adalah : e
e
y4
persamaannya tidak eksak karena
kalikan persamaan diferensial
(2xy 4 e y  2xy 3  y )dx  ( x 2 y 4 e y  x 2 y 2  3x )dy  0
1 , sehingga persamaan diferensialnya berbentuk :
y4
2
(2 xe y  2 x  1 ) dx  ( x 2ey  x  3 x )  0 dan persamaan diferensial ini eksak.
y2
y3
y y3
dengan faktor integralnya, yaitu :
Selanjutnya : ambil  =

 Mdx   (2xe y  2 x 
 x 2e y 
x2
y
x
y
  ( y)
y3
1 )dx
y
3
x
 2 y x 2
 x e  2  3 4  '( y) = N
y
y
y
x
x
x2
x2
x 2 e y  2  3 4   '( y )  x 2ey  2  3 4
y
y
y
y
sehingga  '( y)  0 , maka ( y)  konstanta
sehingga :
oleh karenanya, solusi persamaan diferensial
(2xy 4 e y  2xy 3  y )dx  ( x 2 y 4 e y  x 2 y 2  3x )dy  0
adalah : x 2e y 
x2 x
 C
y y3
Soal latihan
periksalah apakah persamaan diferensial di bawah ini eksak atau tidak, kemudian carilah
solusinya.
1. ( x 2  y 2  x) dx  ( xy ) dy  0
2. (2x 3 y 2  4x 2 y  2xy 2  xy 4  2 y )dx  2( y 3  x 2 y  x )dy  0
23
V. Persamaan Diferensial Orde 2
Persamaan Diferensial linear Orde 2
Persamaan diferensial linear orde 2 memiliki bentuk umum sebagai berikut : :
d2y
 q (x ) dy  r (x ) y  f (x)
dx 2
dx
dengan p ( x ), q ( x ), r ( x) dan f ( x) adalah fungsi dengan variabel x. Apabila f ( x) = 0, maka
persamaan diferensial ini dikatakan homogen. Sebaliknya, jika f ( x)  0 , maka dikatakan
p (x )
sebagai persamaan diferensial linear tidak homogen orde 2.
d2y
dy

p (x ) dx 2  q (x ) dx  r (x ) y  0 , homogen

2
p (x ) d y  q (x ) dy  r (x ) y  sin x , tidak homogen
dx 2
dx
contoh persamaan diferensial linear orde 2 antara lain :

x2
d2y
x
dy 1
 y  sin x
dx 2dx x
Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan (Second
Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients)
Orde 2 : pangkat tertinggi dari turunan (derivatif) yang terdapat pada persamaan diferensial :
2
dContoh
x:
dt 2
Homogen : tiap elemen mengandung unsur :
2
Contoh : x d x  3 dx x  0
dt 2
dt t
d 2 x  3 dx  t  3
dt 2
dt


d2x
,
dx
,x
dt 2 dt
homogen
tidak homogen
Linear : tiap elemen persamaan mengandung setidaknya satu unsur :
d 2 x ,dx , x dan
dt 2 dt
tidak
 dx 2

terdapat unsur : 
 dt 
atau x
d2x
2
.
dt
Persamaan diferensial dikatakan linear jika :
 dx 2
1. Variabel dependent dan turunannya berpangkat satu. Jadi bentuk


 dt 
adalah non
linear (mengapa ??)
d2 x
2. Tidak ada perkalian antara varibel dependent dan turunannya. Sehingga bentuk x dt
2 adalah non-linear (mengapa??)
3. Variabel dependent tidak berbentuk fungsi non-linear, seperti fungsi sinus, cosinus,
24
eksponensial, dst.
Contoh :
dx
dt  4t
d2x
 4t
dt 2

2
Linear, karena syarat (1),(2),(3) terpenuhi
t d x  3 dx  x  0
2
dt t
dt
d
t
x
22 3
x
 dx  2
    0,Tidak linear
karena menyalahi syarat (2)dt  dt  t
d 2 y y2 0


, Tidak linear karena menyalahi syarat (1)
2
dx
dy
dx  cos y  0 , Tidak linear karena menyalahi syarat (3)
d 2 x dx
Koefisien Konstan : koefisien
,
, x adalah
konstanta dt 2 dt
Solusi Umum
Contoh dari persamaan diferensial linear homogen orde 2 dengan koefisien konstan antara lain :
:
d 2 x  dx  6x  0 , d 2 x  4x  0 , dst
dt 2 dt
dt 2
Berikut ini contoh dalam mencari solusi umum persamaan diferensial linear homogen orde 2
dengan koefisien konstan
Contoh V.1
Carilah solusi dari persamaan diferensial :
d 2 x  4 dx  3x  0 .
dt 2
dt
Jawab :
2
t
t
2 t
Misalkan x  Ce , maka dx  C e , dan d x  C  e
dt
Substitusikan sehingga menjadi : C  2 e  t
dt 2
 4C e t  3Cet  0 , 2 430
Bentuk  2  4  3  0 merupakan persamaan karakteristik. Selanjutnya substitusikan
2
x  Cet ke persaman d x  4 dx  3x  0 menghasilkan persamaan  2  4  3  0 , dengan
dt 2
dt
 = -3, -1. oleh karenanya terdapat 2 solusi, yaitu x  Ce 3t dan x  Cet . Oleh karenanya,
2
3t
 C et
solusi umum persamaan diferensial d x  4 dx  3x  0 adalah : x  C e
dt 2
dt
1
2
Contoh V.2
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut :
25
2
d x  2 dx  15x  0
dt 2
dt
dx
d2x
t
jawab : misalkan x  Ce , maka
 C e , dan 2  C 2et
dt
dt
2 t
t
t
2
C  e  2C e  15Ae  0 ,   2  15  0
Didapatkan  = 5, -3.
Solusi umum : x  C e5 t  C e3t
t
1
2
Catatan :
d 2 x  4 dx  3x  0 memiliki persamaan karakteristik  2  4  3  0
dt
dt 2
2
d x  2 dx  15x  0 memiliki persamaan karakteristik  2  2  15  0
dt 2
dt
2
2
jadi : d x  , dx   , x 1
2
dt
dt
2
d x
dx
 6x  0   2  5  6  0
maka :
2 5
dt
dt
Akar-akar persamana karakteristik dapat memiliki 3 kemungkinan :
1. Akar-akarnya adalah bilangan riil dan berbeda
2. Akar-aknya adalah bilangan kompleks dan sama
3. Akar-akarnya adalah bilangan kompleks
4. Akar-aknya adalah bilangan riil dan sama
Latihan Soal :
Tuliskan persamaan karakteristik dari :
d2x
 3 dx  x  0
2
dt
dt
2
d
x
dx
(b)
  0
2
dt
dt
(a)
(c)
d2x

3x  0
dt 2
Akar-akarnya adalah bilangan riil dan berbeda
Jika akar persamaan karakteristik adalah  dan  , maka solusi dari persamaan diferensial
tersebut adalah : y  C1e x  C2 e x , jika y adalah variabel dependent dan x adalah variabel
independent.
Contoh V.3
Temukan solusi dari persamaan diferensial :
d 2 x  4 dx  3x  0
x(0)  1, x(0)  0
dt 2
dt
3 langkah penyelesaian :
26
1. Tuliskan persamaan karakteristik dan cari nilai 
2. Tuliskan solusi umum
3. Cari nilai konstanta dari solusi umum
Jawab :
(1) 2 4 3 0  ( 3)( 1)  0  3,1
(2) x  C1e 3t  C2 et
(3) (i) x (0)  1  1 C1  C2
(ii) x 3C e 3t C et ,
1
x(0)  0  0 3C C
2
1
2
maka dicari nilai C1 dan C2 dari persamaan : 1 = C1 + C2 dan 0 = -3C1 -C2
C1 1C2 , 03(1C2)C2
 C2 
3
2,
C1
 1
2 
d2x
dx
3
1
3t

t
2
e

4

3x

0,
x(0)

1,
x(0)

0
adalah
x

sehingga solusi dari dt
dt
2
2e
apabila digambar dalam grafik akan terlihat seperti gambar berikut :
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
1
2
Gambar. Grafik dari x  2
3
4
3
e 3t 2 et
Contoh V.4
Temukan solusi dari persamaan diferensial :
d2x
dt 2
dx
7
dt
 12x  0  x(0)  1 x( 0 )  0
Jawab :
(1) 2 7120  (3)(4)0   3,4
(2) x  C1e3t  C2 e4t , x(0)  0  0  3C1  4C2
(3) 1 = C1 + C2 dan 0 = 3 C1 + 4 C2
C2 3 ,
Jadi solusi selengkapnya
C14
dari persamaan diferensial
x(0)  1 x( 0 )  0 adalah : x  4e3t 3e4t
dx
d2x
2  7
dt
dt  12x  0
. Grafik x  4e3t 3e4t
dengan
ditunjukkan pada gambar
27
50
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-50
-100
-150
-200
-250
-300
-350
-400
Gambar V.1 grafik fungsi x  4e3t 3e4t
Jika akar-akar persamaan karakteristik merupakan bilangan kompleks dan sama.
Jika akar persamaan karakteristik adalah  , maka solusi dari persamaan diferensial tersebut
adalah : y  C1 cos x  C2 sinx
Perhatikan contoh soal 290, 3
berikut :
Contoh V.5
d2y
Tentukan solusi dari :
4y0
2
dx
Jawab :
Persamaan karakteristik dari
d2y 4y 0


adalah :
2
dx
  4  0 ,  4 , maka  2
2
2
oleh karenanya, solusi umum yang didapatkan adalah :
y  C1e 2 jx  C2 e2
jx
berdasarkan sifat
trigonometri :
e 2 jx  cos 2x  j sin 2x
e 2 jx  cos 2x  j sin 2x
maka didapatkan :
y  C1 (cos 2x  j sin 2x )  C2 (cos 2x  j
sin 2x) jika C1  C2  A
C1 j  C2 j  B
maka : y  A cos 2 x  B sin 2x
Jika akar-akar persamaan karakteristik merupakan bilangan kompleks
Jika akar persamaan krakteristik adalah   a  bj , maka solusi dari persamaan diferensial
tersebut adalah :
y  e ax (C1 cos bx  C2 sin bx)
Contoh V.6
Tentukan solusi dari persamaan diferensial :
y '' 2 y ' 4 y  0
28
jawab :
Persamaan karakteristik :  2  2  4  0
Akar persamaan dicari dengan menggunakan rumus abc :
  b 
b2

4ac
2a
  2 
22  4.1.4
2.1
 
2  4 16

,
 1 
3j
2
maka solusi umumnya adalah :
y  e x ( A cos 3 x  B sin 3 x)
Jika akar persamaan karakteristik berupa bilangan riil dan
sama maka solusi umumnya berbentuk : y  x.ex
Contoh V.6
y '' 9  0
Persamaan karakteristik :
Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah : y  x.e3x
Latihan Soal
2
1. tentukan persamaan karakteristik dari : L di  R di  1 i  0
dt 2
dt
C
2. tentukan solusi dari persamaan diferensial homogen orde 2 berikut :
a.
d 2 y dy
b.
d 2 y dy
c.
d2x
d.
d 2 x 5dx
e.
d 2 y dy


8 y  0 dx 2
dx


2 y  0 dx 2
dx

16x  0
dt 2


2
6x  0 dt dt


2
y  0 dx dx
Persamaan Diferensial Linear Non-Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan (Second
Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients)
Dari bentuk umum persamaan diferensial linear orde 2
d y
p (x ) 2
dx 2
 q (x )
dx
dy
 r (x ) y  f (x)
29
jika f ( x)  0 , maka solusi khusus persamaan diferensial tersebut dicari dengan mencobanya
dengan menggunakan ketentuan sebagai berikut : :
f(x)
Konstanta
Polinomial x dengan derajat n
cos kx
sin kx
aekx
Solusi coba-coba
Konstanta
Polinomial x dengan derajat n
a cos kx b sin kx
a cos kx b sin kx
aekx
Solusi total merupakn penjumlahan dari solusi khusus dan solusi umum.
Solusi_total = Solusi_Umum + Solusi_Khusus
Contoh V.7
Carilah solusi dari persamaan diferensial :
d 2 y  6 dy  8 y  3cos x
dx 2
dx
(1). Mencari solusi umum
2
2
Persamaan karakteristik dari d y  6 dy  8 y  0 adalah :   6  8  0
( 4)( 2) 0
dx 2
dx
12,2 4
Sehingga solusi umumnya adalah : C1e 2 x  C2 e4 x
(2) Mencari solusi khusus
Beberapa langkah yang harus dilakukan dalam mengerjakan solusi khusus :
1. Cari fungsi yang merupakan solusi khusus berdasarkan tabel
Berdasarkan tabel, maka solusi khusus dimisalkan adalqh fungsi
:
y p ( x )  a cos x  b sin x
2. Cari turunan pertama dan kedua, kemudian substitusikan ke dalam
persamaan diferensial
Turunan pertamanya : y ' p ( x )  a sin x  b cos x
Turunan keduanya : y '' p ( x ) a cos x b sin x
d2y
 6 dy  8 y  3cos x
2
dx
dx
( y '' p ( x ) a cos x b sin x )–6( y ' p ( x) a sin x b cos x )+
Selanjutnya substitusikan ke persamaan diferensial
y p ( x )  a cos x  b sin x )
= 3cos x
2. Kelompokkan koefisien- koefisien yangs sejenis, dan cari nilai
konstantanya Untuk koefisien cos x :
( a  6b  8a ) cos x  ( b  6a  8b) sin x
 3cos x ( a  6b  8a) cos x  3cos x (7 a
 6b)  3
30
Untuk koefisien sin x :
( b  6a  8b) sin x  0
(
( b  6a  8b)  0
(6a  7b)  0
Maka dapat dicari nilai a dan b, yaitu : a  85
21
,b

85
18
3. Substitusikan nilai konstanta yang didapat ke dalam solusi khusus persamaan
diferensial
Solusi khusus : y p ( x )  a cos x  b sin x adalah :
y (x ) 21 cos x 18 sin x
p
85
85
solusi_total
= Solusi_Umum + Solusi_Khusus
21
= C1e 2 x  C2 e4 x + 85
cos x 
18
85 sin x
Download
Random flashcards
hardi

0 Cards oauth2_google_0810629b-edb6-401f-b28c-674c45d34d87

Rekening Agen Resmi De Nature Indonesia

9 Cards denaturerumahsehat

Rekening Agen Resmi De Nature Indonesia

9 Cards denaturerumahsehat

sport and healty

2 Cards Nova Aulia Rahman

Create flashcards