KAPITA SELEKTA KELAS 3D KELOMPOK 5 SEGITIGA DAN SEGIEMPAT Oleh: Fakhrur Rozi Mi’a Aprilliani Hanif Jauhar Noor (NIM: 1808105127) (NIM: 1808105141) (NIM: 1808105154) JURUSAN TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI(IAIN) SYEKH NURJATI 2019 DAFTAR ISI DAFTAR ISI ............................................................................................................ i DAFTAR GAMBAR ............................................................................................. iii A. SEGITIGA ................................................................................................... 1 1. Jenis-Jenis Segitiga .......................................................................................... 1 a. Jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi-sisinya ......................................... 1 b. Jenis Segitiga Ditinjau dari Besar Sudutnya ............................................ 3 c. Jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi-Sisinya dan Besar SudutSudutnya .......................................................................................................... 4 d. Contoh Soal .............................................................................................. 4 2. Jumlah Sudut-Sudut Segitiga ........................................................................... 5 3. Sifat-Sifat Segitiga ........................................................................................... 7 4. Keliling dan Luas Daerah Segitiga ................................................................ 10 a. Keliling Segitiga ..................................................................................... 10 b. Luas Daerah Segitiga .............................................................................. 11 c. Contoh Soal ............................................................................................ 13 5. Melukis Segitiga ............................................................................................ 14 B. SEGIEMPAT ............................................................................................. 22 1. JAJAR GENJANG......................................................................................... 22 2. 3. a. Definisi Jajar Genjang ............................................................................ 22 b. Sifat – Sifat Jajar Genjang ...................................................................... 23 c. Keliling dan Luas Jajar Genjang ............................................................ 23 d. Contoh Soal ............................................................................................ 23 BELAH KETUPAT ....................................................................................... 24 a. Definisi Belah Ketupat ........................................................................... 24 b. Sifat – sifat Belah Ketupat ...................................................................... 24 c. Keliling dan Luas Belah Ketupat ........................................................... 25 d. Contoh Soal ............................................................................................ 25 PERSEGI PANJANG .................................................................................... 26 a. Definisi Persegi Panjang......................................................................... 26 b. Sifat – Sifat Persegi Panjang .................................................................. 26 i Persegi panjang memiliki sifat sebagai berikut ............................................. 26 4. 5. 6. C. c. Luas dan Keliling Persegi Panjang ......................................................... 26 d. Contoh Soal ............................................................................................ 28 PERSEGI ....................................................................................................... 28 a. Definisi Persegi ...................................................................................... 28 b. Sifat – Sifat Persegi ................................................................................ 29 c. Luas dan Keliling Persegi....................................................................... 29 d. Contoh Soal ............................................................................................ 30 LAYANG – LAYANG .................................................................................. 31 a. Definisi Layang - Layang ....................................................................... 31 b. Sifat – Sifat Layang – Layang ................................................................ 31 c. Keliling dan Luas Layang – Layang ...................................................... 31 d. Contoh Soal ............................................................................................ 32 TRAPESIUM ................................................................................................. 33 a. Definisi Trapesium ................................................................................. 33 b. Jenis – Jenis Trapesium .......................................................................... 34 c. Sifat – Sifat Trapesium ........................................................................... 34 d. Keliling dan Luas Trapesium ................................................................. 35 e. Contoh Soal ............................................................................................ 36 LAMPIRAN SOAL ................................................................................... 37 ii DAFTAR GAMBAR Gambar A-1. Segitiga.............................................................................................. 1 Gambar A-2.Jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi-sisinya ............................... 1 Gambar A-3. Segitiga Sama kaki ............................................................................ 2 Gambar A-4. Sifat-Sifat Segitiga Sama Sisi ........................................................... 3 Gambar A-5. Jenis Segitiga Ditinjau dari Besar Sudutnya ..................................... 3 Gambar A-6. Jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi-Sisinya dan Besar SudutSudutnya.................................................................................................................. 4 Gambar A-7. Segitiga Sama Kaki 1 ........................................................................ 4 Gambar A-8. Segitiga Sama Kaki 2 ........................................................................ 5 Gambar A-9. Jumlah Sudut-Sudut Segitiga ............................................................ 5 Gambar A-10. Segitiga Siku – Siku 1 ..................................................................... 9 Gambar A-11 Keliling Segitiga ............................................................................ 10 Gambar A-12. Luas Segitiga ................................................................................. 11 Gambar A-13. Segitiga Siku – Siku 2 ................................................................... 11 Gambar A-14. Gabungan 2 Segitiga Sama Kaki .................................................. 13 Gambar A-15. Segitiga Sama Kaki 3 .................................................................... 14 Gambar A-16. Hasil Lukis Segitiga Sama Sisi ..................................................... 15 Gambar A-17. Sisi Segitiga................................................................................... 15 Gambar A-18. Segitiga 4....................................................................................... 15 Gambar A-19. Sisi dan Sudut Segitiga ................................................................. 16 Gambar A-20. Hasil Lukis Segitiga Sisi Sudut Sisi .............................................. 16 Gambar A-21. Hasil Lukis Segitiga Sudut Sisi Sudut .......................................... 17 Gambar A-22. Sisi, Sisi, Sudut ............................................................................. 17 Gambar A-23. Hasil Lukis Segitiga Sisi, Sisi, Sudut ............................................ 17 Gambar A-24. Penyelesaian Contoh 1 .................................................................. 18 Gambar A-25. Penyelesaian Contoh 2 .................................................................. 18 Gambar A-26. Hasil Lukis Garis Bagi Segitiga .................................................... 19 Gambar A-27. Hasil Lukis Garis Berat Segitiga ................................................... 20 Gambar A-28. Hasil Lukis Garis Sumbu Segitiga ................................................ 20 Gambar A-29. Garis Tinggi Segitiga Contoh 1 .................................................... 21 Gambar A-30. Garis Sumbu Segitiga Contoh 2 .................................................... 21 Gambar B-1. Berbagai Jenis Bentuk Segiempat ................................................... 22 Gambar B-2. Jajar Genjang 1 ................................................................................ 22 Gambar B-3. Jajar Genjang 2 ................................................................................ 23 Gambar B-4. Jajar Genjang 3 ................................................................................ 23 Gambar B-5. Jajar Genjang 4 ................................................................................ 24 Gambar B-6. Belah Ketupat 1 ............................................................................... 25 Gambar B-7. Belah Ketupat 2 ............................................................................... 25 Gambar B-8. Persegi Panjang 1 ............................................................................ 26 Gambar B-9. Persegi Panjang 2 ............................................................................ 27 Gambar B-10.Persegi Panjang Contoh 1 .............................................................. 28 Gambar B-11. Persegi 1 ........................................................................................ 29 iii Gambar B-12. Persegi 2 ........................................................................................ 29 Gambar B-13. Persegi Contoh 2 ........................................................................... 30 Gambar B-14. Layang – Layang 1 ........................................................................ 31 Gambar B-15. Layang – laying 2 .......................................................................... 31 Gambar B-16. Layang – Layang 3 ........................................................................ 32 Gambar B-17. Layang -Layang Contoh 2 ............................................................. 32 Gambar B-18. Trapesium 1 ................................................................................... 33 Gambar B-19. Trapesium 2 ................................................................................... 34 Gambar B-20. Trapesium 3 ................................................................................... 34 Gambar B-21. Trapesium 4 ................................................................................... 34 Gambar B-22. Trapesium 5 ................................................................................... 34 Gambar B-23. Trapesium 6 ................................................................................... 35 Gambar B-24. Trapesium 7 ................................................................................... 35 Gambar B-25. Trapesium Contoh 2 ...................................................................... 36 Gambar C-1. Segitiga Soal 1 ................................................................................ 37 Gambar C-2. Kesebangunan Dua Segitiga ............................................................ 37 Gambar C-3. Jajar Genjang Soal 2 ........................................................................ 37 Gambar C-4. Belah Ketupat Soal 3 ....................................................................... 39 iv A. SEGITIGA Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan mempunyai tiga buah titik sudut. Segitiga biasanya dilambangkan dengan “Δ”. Gambar A-1. Segitiga Unsur-unsur yang terdapat dalam Δ ABC adalah 1. Titik A , B , dan C yang disebut titik sudut. 2. AB , BC , dan CA yang disebut sisi segitiga. 1. a. Jenis-Jenis Segitiga Jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi-sisinya Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisinya ada 3 macam, yaitu segitiga sama kaki, segitiga sama sisi dan segitiga sebarang. Gambar A-2.Jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi-sisinya 1) Gambar 2a, AC = BC , maka Δ ABC disebut segitiga sama kaki 2) Gambar 2b, DE = EF = FD , maka Δ DEF disebut segitiga sama sisi 3) Gambar 2c, ketiga sisinya mempunyai panjang yang berbeda-beda, maka Δ GHI disebut segitiga sembarang. 1 (a) Segitiga Sama kaki Gambar A-3. Segitiga Sama kaki Segitiga sama kaki mempunyai dua sisi yang sama panjang, maka segitiga itu juga mempunyai dua sudut sama besar, yaitu sudut saling berhadapan. Sifat-sifat segitiga sama kaki (1) Segitiga sama kaki, apabila diputar satu putaran penuh akan menempati bingkainya dengan tepat satu cara, maka segitiga sama kaki mempunyai simetri putar tingkat satu. (2) Segitiga sama kaki mempunyai satu sumbu simetri. Pada uraian di atas sumbu simetrinya adalah CD (b) Segitiga Sama Sisi Segitiga sama sisi mempunyai tiga buah sisi yang sama panjang, maka ketiga sudutnya juga sama besar, yaitu 60º (Jumlah ketiga sudut Δ= 180º). Sifat-sifat segitiga sama sisi yaitu mempunyai simetri putar tingkat 3, tiga sumbu simetri, tiga sisi sama panjang, tiga sudut sama besar yaitu 60º, dan dapat menempati bingkainya dengan 6 cara. 2 Gambar A-4. Sifat-Sifat Segitiga Sama Sisi Pada Gambar 4(b) – (d) terlihat bahwa segitiga ABC dapat menempati bingkainya tepat dengan 3 cara yaitu, diputar sejauh 120º dengan pusat titik O (lihat arah putaran) Gambar 4b, kemudian diputar sejauh 240º dengan pusat putaran O (Gambar 4c) dan diputar 360º (1 putaran penuh) dengan titik pusat O (Gambar 4d). Jadi segitiga ABC mempunyai simetri putar tingkat 3. Sedangkan Gambar e, f, dan g dengan cara membalik dapat menempati bingkai secara tepat. Dalam hal ini segitiga ABC mempunyai 3 sumbu simetri. Pada gambar di atas, sumbu simetrinya adalah CD , BF , dan AE . Jadi, segitiga sama sisi dapat menempati bingkainya secara tepat dengan 6 cara. b. Jenis Segitiga Ditinjau dari Besar Sudutnya Gambar A-5. Jenis Segitiga Ditinjau dari Besar Sudutnya Pada Gambar 5a besar ketiga sudutnya 90 , jadi ABC disebut segitiga lancip. Pada Gambar 5b, besar salah satu sudutnya siku-siku yaitu 3 PQR , sehingga PQR disebut segitiga siku-siku. Sedangkan, Gambar 5c, besar salah satu sudutnya tumpul, yaitu segitiga LKM , sehingga LKM disebut segitiga tumpul. Segitiga dengan ketiga sudutnya lancip disebut segitiga lancip. Segitiga dengan salah satu sudutnya 90 disebut segitiga siku-siku. Segitiga dengan salah satu sudutnya tumpul disebut segitiga tumpul. c. Jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi-Sisinya dan Besar Sudut-Sudutnya Gambar A-6. Jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang SisiSisinya dan Besar Sudut-Sudutnya Suatu segitiga dengan besar salah satu sudutnya 90 dan sisi-sisi siku-sikunya sama panjang disebut segitiga siku-siku sama kaki. Suatu segitiga dengan sudut lancip dan dua sisinya sama panjang disebut segitiga lancip sama kaki. Segitiga dengan salah satu sudutnya tumpul dan kedua sisinya sama panjang disebut segitiga tumpul sama kaki. d. 1. Contoh Soal Diketahui ABC samakaki, BAC 67 dan panjang AC 12 cm . Tentukan ABC dan panjang BC . Penyelesaian: BAC ABC BAC 67 ABC 67 AC CB AC 12 cm CB 12 cm Gambar A-7. Segitiga Sama Kaki 1 4 2. ABC sama kaki, AC 12 cm dan AD 9 cm Tentukan: a. Sepasang segitiga yang sama dan jenisnya b. 3 pasang sudut yang sama besar c. Panjang BC, BD, dan AB Gambar A-8. Segitiga Sama Kaki 2 Penyelesaian: a. Sepasang segitiga yang sama yaitu ADC dan BDC ADC dan BDC merupakan segitiga siku-siku b. Karena ADC = BDC maka 3 pasang sudut yang sama besarma yaitu CAD CBD, ADC BDC, dan ACD BCD c. AC BC AC 12 cm BC 12 cm AD BD AD 9 cm BD 9 cm AB AD BD = 9 cm 9 cm 18 cm 2. Jumlah Sudut-Sudut Segitiga Gambar A-9. Jumlah Sudut-Sudut Segitiga 5 a. Buat gambar ABC pada selembar kertas Gambar a. b. Gunting sudut-sudut segitiga itu menurut garis putus-putus seperti Gambar b. c. Susunlah ketiga sudut itu sehingga bersisian satu dengan yang lain, seperti Gambar c. d. Jumlah sudut-sudut suatu segitiga adalah 180 (membentuk sudut lurus). Contoh Soal 1) Diketahui besar sudut ABC , A (4x 9) , B (6x) , dan C (x 6) . Tentukan nilai x , besar masing-masin sudut, dan jenis ABC Penyelesaian: Nilai x A B C 180 (4x 9) (6x) (x 6) 180 (11x) 15 180 (11x) 180 15 (11x) 165 165 x 11 x 15 Besar masing-masing sudut yaitu A (4x 9) ((4 15 ) 9) 69 B (6x) 6(15 ) 90 C (x 6) 15 6 21 Jenis ABC adalah segitiga siku-siku, karena salah satu sudutnya 90 . 6 2) Besar sudut-sudut suatu segitiga berbanding sebagai 5 : 3 : 7. Tentukan besar masingmasing sudut dan jenisnya. Penyelesaian: Misalkan besar sudut-sudut itu 5a, 3a, dan 7a 5a 3a 7a 180 15a 180 180 a 15 a 12 Jadi besar sudut-sudutnya adalah 60 , 36 , dan 84 . Jenisnya adalah segitiga lancip, karena besar masing-masing sudutnya lancip. 3. Sifat-Sifat Segitiga a. Ketidaksamaan Sisi Segitiga Sifat 1: Jumlah panjang dua sisi segitiga lebih dari sisi yang lainnya. Sifat 2: Selisih panjang dua sisi segitiga kurang dari panjang sisi lainnya. b. Hubungan Sudut dan Sisi Segitiga Sebuah segitiga, ukuran sudut terkecil berhadapan dengan ukuran sisi terpendek, dan ukuran sudut terbesar berhadapan dengan sisi terpanjang. Buatlah sebarang segitiga, misalnya segitiga ABC seperti gambar berikut ini. Gambar A-10. Hubungan Sudut dan Sisi Segitiga Dengan menggunakan busur derajat, ukurlah panjang setiap sudutnya, yaitu sudut A, sudut B, dan sudut C. Kemudian dengan menggunakan penggaris, ukurlah masing-masing panjang sisinya, yaitu AB, BC, dan AC. Amatilah besar sudut dan 7 panjang sisi dari segitiga tersebut maka akan diperoleh bahwa: sudut B merupakan sudut terbesar dan sisi di hadapannya, yaitu sisi AC merupakan sisi terpanjang, dan sudut C merupakan sudut terkecil dan sisi di hadapannya, yaitu sisi AB merupakan sisi terpendek. c. Hubungan Sudut Dalam dan Sudut Luar Segitiga Sudut dalam suatu segitiga adalah sudut yang berada di dalam segitiga, sedangkan sudut luar suatu segitiga adalah sudut pelurus dari sudut dalam segitiga tersebut. Gambar A-11. Segitiga 1 PQR adalah salah satu sudut dalam PQR . PQR berpelurus dengan PQT , maka PQT merupakan sudut luar PQR , demikian juga RSP berpelurus dengan QPR, dan PRU berpelurus dengan PRQ, maka, SPR dan PRU juga disebut sudut luar PQR . Titik S ada di perpanjangan QP sehingga QS adalah garis lurus dan QPR dan SPR saling berpelurus. Hal ini dapat dituliskan QPR SPR 180 SPR 180 QPR PQR , PRQ, dan PQR sudut - sudut …(1) dalam QPR PQR 180 PRQ PQR 180 QPR PQR , maka …(2) Persamaan (1) sama dengan persamaan (2), sehingga SPR PRQ PQR Dapat disimpulkan bahwa sudut luar dari salah satu sudut dalam segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang lainnya. 8 d. Contoh Soal 1. Pada sebuah ABC perbandingan besar sudut-sudutnya adalah A : B : C 5 : 3 : 2 . Tentukan: a. Besar masing-masing sudut b. Sisi terpanjang dan sisi terpendek Penyelesaian: a. Misalkan besar sudut-sudut itu 5a, 3a, dan 2a 5a 2a 3a 180 10a 180 180 a 10 a 18 Jadi besar sudut-sudutnya adalah 90 , 36 , dan 54 . b. Sebuah segitiga, ukuran sudut terkecil berhadapan dengan ukuran sisi terpendek, dan ukuran sudut terbesar berhadapan dengan sisi terpanjang. Gambar A-10. Segitiga Siku – Siku 1 Jadi sisi terpendek dari ABC adalah AC dan sisi terpanjang adalah BC . 2. Gambar A-13. Segitiga 2 9 Berdasarkan segitiga diatas tentukan nilai p, dan besar BCD, ACB Penyelesaian Sudut luar dari salah satu sudut dalam segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang lainnya. BCD 7 p 36 4 p 7 p 7(12 ) 36 7 p 4 p 84 ACB 180 BCD 36 3 p 36 p 3 180 84 p 12 96 Jadi besar BCD 84 dan ACB 96 . 4. Keliling dan Luas Daerah Segitiga a. Keliling Segitiga Keliling segitiga adalah jumlah panjang ketiga sisinya. Keliling segitiga dinotasikan dengan K. Gambar A-11 Keliling Segitiga Keliling PQR K PQ QR PR (r p q)cm Jika p q , maka K r 2 p r 2q (segitiga sama kaki) Jika p q r , maka K 3r 3 p 3q (segitiga simlletri) 10 b. Luas Daerah Segitiga Apabila berbicara tentang luas daerah suatu segitiga, maka perlu dipahami atau dipelajari mengenai alas dan tinggi suatu segitiga. Gambar A-12. Luas Segitiga Pada ABC, AB a sebagai alas dan AC t sebagai tinggi (Gambar 8) Pada PQR Jika PQ sebagai alas, maka tinggi adalah RS Jika PR sebagai alas, maka tinggi adalah TQ Jika QR sebagai alas, maka tinggi adalah PU Menentukan rumus luas daerah segitiga Misalkan akan mencari luas DABC siku-siku. Gambar A-13. Segitiga Siku – Siku 2 Sebelum mempelajari luas segitiga, ingat kembali tentang luas persegi panjang. Luas persegi panjang = panjang lebar = AB BC Lpl 11 Luas ABC =luas ABD 1 Jadi luas ABC = luas persegi panjang ABCD 2 1 LABC p l 2 1 Jika p a dan l t , maka luas ABC a t 2 Gambar A-17. Segitiga Siku – Siku 3 Dari Gambar 11a LABC luas AFC + luas BFC 1 = (luas AFCE )+ (luas BFCD ) 2 1 1 = (luas ABDE )= AB BD 2 2 1 = a t (BD EA t) 2 Dari Gambar 11b ABC adalah tumpul, BC a dan BE b LABC luas AEC + luas AEB 1 1 = (a b) t b t 2 2 1 1 1 = at bt bt 2 2 2 1 Jadi luas ABC = a t 2 12 Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa luas segitiga adalah 1 L at 2 Dengan a = alas segitiga b = tinggi segitiga c. Contoh Soal 1. Keliling sebuah segitiga adalah 160 cm dan perbandingan sisi-sisinya adalah 2 : 6 : 8. Tentukan panjang sisi-sisi segitiga tersebut. Penyelesaian Misalkan besar sudut-sudut itu 2a, 6a, dan 8a 2a 6a 8a 160 16a 160 160 a 16 a 10 Maka panjang sisi segitiga adalah 20 cm, 60 cm, dan 80 cm. 2. Gambar A-14. Gabungan 2 Segitiga Sama Kaki Diketahui AC 8 cm dan BD 12 cm . Tentukan luas daerah ABCD. Penyelesaian AE EC t 4 cm BD a 12 cm 13 Luas daerah ABCD L BDA L BDC 1 1 BD AE BD CE 2 2 1 1 12 4 12 4 2 2 24 24 48 cm2 Jadi, luas daerah ABCD = 48 cm2 . 5. Melukis Segitiga Untuk melukis segitiga dapat dilakukan dengan menggunakan jangka, busur derajat, dan penggaris. a. Melukis segitiga sama kaki dan sama sisi dengan menggunakan jangka dan penggaris Melukis segitiga sama kaki Langkah-langkah 1. Dengan menggunakan penggaris tariklah garis AB . 2. Buat busur dengan jari-jari sebarang yang berpusat dititik A dan B , ngan jarijari sebarang yang berpusat dititik A dan B, sehingga berpotongan di satu titik di luar garis AB dan beri nama titik C . 3. Hubungkan titik A dan B dengan titik C , maka terjadi ABC . Gambar A-15. Segitiga Sama Kaki 3 Melukis segitiga sama sisi Langkah-langkah 1. Tarik garis AB dengan panjang sebarang. 2. Buat busur dengan panjang jari-jarinya adalah AB danpusatnya di titik A dan B , kedua busur itu berpotongandi satu titik dan beri nama titik C . 14 3. Hubungkan titik A dan B ke titik C , maka diperoleh ABC sama sisi yang diminta, Gambar A-16. Hasil Lukis Segitiga Sama Sisi b. Melukis sebuah segitiga apabila diketahui ketiga sisinya (S – S – S) Gambar A-17. Sisi Segitiga Pada gambar diketahui tiga potong garis, yaitu: AB = 5 cm, BC = 6 cm, dan AC = 3 cm. Lukislahsegitiga ABC. Gambar A-18. Segitiga 4 Lukis 1. Tarik garis l 2. Ukurkan panjang AB pada l 3. Buat busur berpusat di B dengan jari-jari 6 cm 4. Buat busur berpusat di A dengan jari-jari 3 cm, sehingga kedua busur itu berpotongan di titik C 5. Hubungkan titik A dan B dengan C 6. ABC selesai dilukis. 15 c. Melukis segitiga jika diketahui sisi, sudut, sisi (sisi-sudut-sisi) Lukislah ABC , jika diketahui panjang sisi AB 7 cm , sisi AC 5 cm , dan besar A 60 . Gambar A-19. Sisi dan Sudut Segitiga Lukis tarik garis l 1. Ukurkan panjang AB pada l 2. Ukur besar sudut A (diketahui) di titik A 3. Ukurkan panjang AC 4. Hubungkan titik A dan B dengan titik C 5. ABC selesai dilukis. Gambar A-20. Hasil Lukis Segitiga Sisi Sudut Sisi d. Melukis segitiga jika diketahui sudut, sisi, dan sudut (sudut-sisi-sudut) Lukislah ABC , jika diketahui panjang AB = 8 cm, A 60 , dan B 30 Lukis 1. Tarik garis AB panjangnya 8 cm, A 60 2. Pindahkan A 60 3. Pindahkan B 30 4. kaki sudut A dan B berpotongan di C 5. ABC selesai dilukis. 16 Gambar A-21. Hasil Lukis Segitiga Sudut Sisi Sudut e. Melukis segitiga jika diketahui sisi, sisi, dan sudut (s, s, sd) Lukis ABC , jika diketahui panjang AB =5 cm, AC = 4 cm, dan B 45 Lukis Gambar A-22. Sisi, Sisi, Sudut 1. ukur panjang AB =5 cm 2. pindahkan B 45 buat busur dengan pusat A dan jari-jari 4 cm,busur tersebut memotong kaki sudut B di C1 dan C2 3. hubungkan titik B dengan C1 dan C2 4. ABC selesai dilukis. Gambar A-23. Hasil Lukis Segitiga Sisi, Sisi, Sudut 17 f. Contoh Soal 1. Lukislah ABC siku-siku di B, untuk panjang AB 5 cm dan panjang AC 8 cm . Penyelesaian Gambar A-24. Penyelesaian Contoh 1 2. Lukislah ABC jika diketahui ABC 35 , BC 5 cm, ACB 45 Gambar A-25. Penyelesaian Contoh 2 5. Melukis Garis-garis Istimewa pada Segitiga a. Melukis garis tinggi pada segitiga Garis tinggi adalah garis yang ditarik dari suatu titik sudut segitiga dan tegak lurus dengan sisi di depannya. Misalkan kita mau melukis garis tinggi segitigaABC yang melalui titik C. Untuk itu, ikutilah langkah-langkah berikut: 1. buat busur lingkaran berpusat di C denganjari-jari sebarang hingga memotong garis AB di titik P dan Q, 2. buat busur berpusat di titik P dan Q denganjari-jari tetap, sehingga kedua busur ituberpotongan di S, 18 3. hubungkan titik C dan S sehingga memotong AB di titik D. Garis CD adalah garis tinggimelalui ABC titik C. Gambar A-30. Hasil Lukis Garis Tinggi Segitiga b. Melukis garis bagi pada segitiga Garis bagi adalah garis yang ditarik dari suatu titik sudut segitiga yang membagi duasama besar sudut tersebut.Untuk melukis garis bagi pada segitiga gunakan cara-cara melukis garis bagi sudut. Misalkan kita akan melukis garis bagi segitiga ABC yang melalui titik C. Untuk ini ikutilah langkah-langkah berikut: 1. Buat busur berpusat di titik C dengan jari-jari sebarang, sehingga memotong sisi CA dan CB di titik P dan Q. 2. Buat busur berpusat di titik P dan Q denganjari-jari tetap, sehingga kedua busur ituberpotongan di titik T. 3. ubungkan C dengan T, sehingga memotong AB di titik D. Garis CD adalah garis bagi yang ditarik dari titik C, sehingga ACD BCD. Gambar A-26. Hasil Lukis Garis Bagi Segitiga 19 c. Melukis garis berat pada segitiga Garis berat adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga yang membagi duasama besar sisi yang di hadapannya. Misalkan kita akan melukis garis berat pada ABC melalui C. Perhatikanlah langkahlangkah untuk melukisnya. 1. Gambar ABC 2. Buatlah busur berpusat di A dan B dengan panjangjari-jari tetap. Kedua busur lingkaran itu berpotongandi M dan N. Garis MN memotong AB di D. 3. Hubungkan titik C dan D, yaitu garis CD . Garis CD adalah garis bagi 'ABC dari titik C,sehingga AD BD. Gambar A-27. Hasil Lukis Garis Berat Segitiga d. Melukis garis sumbu pada segitiga Garis sumbu adalah garis yang ditarik tegak lurus pada suatu sisi yang membagi duasama panjang sisi tersebut. Untuk melukis garis sumbu sisi-sisi suatu segitiga, digunakan cara-cara menulis sumbusebuah ruas garis. Buat busur lingkaran yang berpusat di titik A danB dengan jari-jari tetap. Kedua busur lingkaranberpotongan di titik M dan N (Gambar 8.24).Hubungkan titik M dan N, sehingga memotong AB di titik O. Garis MN adalah garis sumbu AB . Gambar A-28. Hasil Lukis Garis Sumbu Segitiga 20 e. Contoh Soal 1. Diketahui ABC, ABC 75 a. Gambarlah ABC b. Lukis garis tingggi melalui titik A, B, C Penyelesain Gambar A-29. Garis Tinggi Segitiga Contoh 1 Garis BD adalah garis tinggi melalui ABC titik B. 2. Diketahui KLM, L 100 . Lukislah dan tentukan garis-garis sumbunya. Penyelesaian Gambar A-30. Garis Sumbu Segitiga Contoh 2 Garis AB adalah garis sumbu KM . 21 B. SEGIEMPAT JENIS – JENIS SEGIEMPAT Perhatikan berbagai jenis bentuk segiempat berikut : Gambar B-1. Berbagai Jenis Bentuk Segiempat Pada gambar tersebut terdapat berbagai macam bentuk segi empat yaitu : 1. Pada gambar segi empat yang mempunyai dua pasang sisi berhadapan saling sejajar, semua sudutnya sama besar, dan semua sisinya sama panjang disebut dengan bangun datar persegi. 2. Pada gambar segi empat yang mempunyai dua pasang sisi berhadapan sejajar dan semua sisinya sama panjang disebut dengan belah ketupat. 3. Pada gambar segi empat yang mempunyai dua pasang sisi berhadapan sejajar dan semua sudutnya sama besar disebut dengan persegi panjang. 4. Pada gambar segi empat yang mempunyai dua pasang sisi yang berhadapan sejajar disebut dengan jajar genjang. 5. Pada gambar segi empat yang tepat sepasang sisi yang sejajar disebut dengan trapesium. 1. JAJAR GENJANG a. Definisi Jajar Genjang Jajar genjang adalah segi empat dengan sisi-sisi yang berhadapan sama panjang atau sejajar Gambar B-2. Jajar Genjang 1 22 b. Sifat – Sifat Jajar Genjang Jajar genjang memiliki ciri – ciri sebagai berikut : 1. sudut-sudut berhadapan sama besar 2. jumlah sudut yang berdekatan 180 0 3. kedua diagonalnya saling berpotongan di tengah-tengah c. Keliling dan Luas Jajar Genjang 1. Keliling Jajar Genjang Keliling jajar genjang adalah jumlah panjang keempat sisinya. Dari gambar disamping dapat diperoleh keliling jajar genjang ABCD adalah K AB BC CD DA Panjang AB CD dan AD BC , maka keliling jajar genjang ABCD Gambar B-3. Jajar Genjang 2 adalah: K AB BC CD DA K AB DA AB DA K 2( AB DA) 2. Luas jajar Genjang Jajar genjang ABCD terdiri dari dua segitiga yang kongruen, yaitu ABD dan CDB. Jadi, luas jajar genjang ABCD adalah jumlah luas ABD dan CDB. Jika luas jajar genjang = L, maka Gambar B-4. Jajar Genjang 3 L luasABD luasCDB 1 1 L at at 2 2 Lat d. Contoh Soal 1. Luas jajar genjang ABCD adalah 63 cm2 dan tingginya 7 cm. Tentukan panjang alasnya! 23 Penyelesaian: Lat 63 a 7 63 a 7 a 8cm Jadi panjang alasnya adalah 8 cm. 2. AB: BC = 4 : 3 Diketahui jajar genjang ABCD dengan AB = 12 cm dan Ditanya: a. kelilingnya b. luasnya, jika tinggi = 6 cm. Penyelesaian : AB 12 AB : BC 4 : 3 3 3 BC AB 12 9 4 4 K 2 AB BC 212 9 42 L a t 12 6 72 Gambar B-5. Jajar Genjang 4 2. BELAH KETUPAT a. Definisi Belah Ketupat Belah ketupat memenuhi semua sifat jajar genjang, dengan demikian belah ketupat adalah jajar genjang yang kempat sisinya sama panjang, b. Sifat – sifat Belah Ketupat Belah Krtupat memiliki sifat -sifat berikut: 1. setiap sudut dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya, 2. diagonal-diagonalnya berpotongan saling tegak lurus, 24 c. Keliling dan Luas Belah Ketupat 1. Keliling Belah Ketupat Keliling belah ketupat adalah jumlah keempat sisinya. Keliling belah ketupat ABCD adalah PQ + QR = RS + SP karena PQ = QR = RS = SP , maka keliling belah ketupat PQRS adalah K AB BC CD DA 2. Gambar B-6. Belah Ketupat 1 Luas Belah Ketupat Gambar 8.34 adalah belah ketupat ABCD dengan AC dan BD diagonal yang berpotongan saling tegak lurus di titik O. Untuk menghitung luas belah ketupat ABCD coba kamu perhatikan BDA dan BDC yang kongruen, yang masingmasing tingginya AC dan CO sedangkan alas kedua segitiga itu adalah BD . Luas daerah ABCD = L LBDA LBDC 1 1 L BD OA BD OC 2 2 1 L BD OA OC 2 1 L BD AC 2 Gambar B-7. Belah Ketupat 2 dengan BD dan AC adalah diagonal belah ketupat atau luas belah ketupat adalah hasil kali diagonal dibagi dua. d. Contoh Soal 1. Diketahui panjang diagonal-diagonal sebuah belah ketupat berturut - turut 10 dan 8 cm. Tentukan luas belah ketupat itu. Penyelesaian d1 10 cm dan d2 8 cm, Maka Luas Belah Ketupat , 25 L L 1 2 1 dxd 1 2 10 8 2 L 40cm2 2. KLMN adalah suatu jajar genjang. Jika KN 4x 3 dan KL 3x 3 , tentukanlah nilai x agar KLMN merupakan belah ketupat! Kemudian tentukan pula keliling ketupat tersebut. KLMN adalah belah ketupat jika KL KN KL KN 3x 3 4x 3 K 4 KN K 24 6 3 3 3 4x 3x 6x K 2 21 3. PERSEGI PANJANG a. Definisi Persegi Panjang : K 41 Persegi panjang adalah segi empat dimana sisi - sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang serta semua sudutnya membentuk sudut 900. Jadi, persegi panjang adalah jajar genjang yang semua sudutnya membentuk sudut 900. b. Sifat – Sifat Persegi Panjang Persegi panjang memiliki sifat sebagai berikut : 1. Sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang. 2. Setiap sudutnya sama besar yaitu 900. 3. Memiliki dua buah diagonal bidang yang sama panjang. c. Luas dan Keliling Persegi Panjang 1. Keliling Persegi Panjang Keliling persegi panjang adalah jumlah sisisisi persegi. panjang atau jumlah panjang keempat sisinya. Pada Gambar diatas keliling 26 Gambar B-8. Persegi Panjang 1 ABCD adalah K AB BC CD DA . Pada persegi panjang, sisi yang lebih panjang disebut panjang yang dinotasikan dengan p, dan sisi yang lebih pendek disebut lebar, yang dinotasikan dengan l. Jadi AB = CD = p dan BC= AD = l Dengan demikian keliling persegi panjang ABCD, dirumuskan dengan K p p l l 2 p 2l 2p l p = panjang l = lebar K = keliling 2. Luas Persegi Panjang Luas ABCD dapat diperoleh dengan membuat diagonal bidang sehingga terbentuk 4 segitiga. LADO LCBO dan LDOC LAOB . Maka Luas ABCD Gambar B-9. Persegi Panjang 2 adalah LABCD LDOC LAOB LBOC LCOD LABCD 2LDOC LBOC 1 1 LABCD 2 DA t AB t ' 2 2 1 1 1 1 LABCD 2 DA AB AB ' 2 2 1 LABCD 2 AB DA 2 2 DA 2 LABCD AB DA Karena persegi panjang merupakan jajar genjang, pembuktian luas persegi panjang juga dapat menggunkan rumus luas jajar genjang. Lat L AB DA 27 Jika AB. panjang dan DA adalah lebar maka Luas ABCD yang diperoleh itu sama dengan hasil kali, panjang, dan lebarnya. Lpxl dengan p = panjang l = lebar L = luas persegi panjang d. Contoh Soal 1. Tentukan Luas dan Keliling persegi panjang ABCD dengan panjang AB adalah 4 cm dan CD adalah 5 cm! Penyelesaian : AB p 4cm CD l 5cm Maka L ABCD adalah Gambar B-10.Persegi Panjang Contoh 1 L p l 45 20cm2 2. Tentukan panjang bangun segiempat jika diketahui Luas persegi panjang adalah 50 cm2 dan lebarnya adalah 10 cm! Penyelesaian: Lpl 50 p 10 50 p 10 p 5cm 4. PERSEGI a. Definisi Persegi Persegi adalah suatu segi empat dengan semua sisinya sama panjang dan semua sudut – sudutnya sama besar dan siku-siku (90), dengan kata lain, persegi adalah persegi panjang yang semua sisinya sama panjang atau belah ketupat yang sisi berpotongannya saling tegak lurus yaitu membentuk sudut 900. 28 b. Sifat – Sifat Persegi Gambar B-11. Persegi 1 Sifat – sifat persegi adalah sebagai berikut : 1. Memiliki empat sisi yang sama panjang. Pada Gambar B-5, sisi AB, BC, CD, dan DA adalah sama. 2. Memiliki dua pasang sisi sejajar dan sama panjang. 3. Mempunyai empat buah sudut siku – siku. 4. Memiliki dua diagonal bidang yang sama panjang. Pada gambar diagonal AC = BD. c. Luas dan Keliling Persegi 1. Keliling Persegi Persegi merupakan persegi panjang yang sema sisinya sama panjang sehingga p = l Karena p = l, maka keliling persegi adalah K 2p l 2p p 4 p . Misalkan p l s , maka K 4s dengan s = panjang sisi persegi Gambar B-12. Persegi 2 2. Luas Persegi Suatu persegi mempunyai ukuran panjang = lebar atau p = l = s, maka rumus luas persegi adalah L = s x s = s2 dengan s = panjang sisi persegi. 29 Karena persegi adalah belah ketupat, pembuktian rumus persegi bisa menggunakan rumus belah ketupat 1 L d d2 2 1 1 L AC BD 2 L 2 1 L 2 AB 2 L L L 2 2 1 2 1 4AB 2 AB AB AB 2 2 2 AB 2 2 2 L AB s 2 d. Contoh Soal 1. Hitunglah Luas dan Keliling persegi jika diketahui panjang sisinya adalah 2 cm ! Penyelesaian L s s 2 2 4cm2 K 4 s 4 2 8cm 2. Hitunglah Luas persegi disamping jika panjang BD 3 2cm ! Gambar B-13. Persegi Contoh 2 30 Penyelesaian 2 2 2 BD BC CD 2 BD 2 BC 3 2 2 Jadi BC s 3cm 2 2 BC Jadi Luas ABCD = s s 3 3 9cm2 2 2 18 2 BC 18 BC 2 3 BC 5. LAYANG – LAYANG a. Definisi Layang - Layang Laying – laying adalah segiempat yang dibentuk dari 2 segitiga sama kaki yang memiliki panjang sisi yang berbeda. b. Sifat – Sifat Layang – Layang Sifat-sifat layang-layang yaitu : 1. sisinya sepasang-sepasang sama panjang 2. sepasang sudut yang berhadapan sama Gambar B-14. Layang – Layang 1 panjang 3. salah satu diagona membagi dua sama panjang diagonal lainnya, maka kedua diagonal tersebut saling tegak lurus. c. Keliling dan Luas Layang – Layang 1. Keliling Layang – Layang Keliling layang-layang sama halnya dengan keliling segi empat lainnya, yaitu jumlah keempat sisinya. Keliling layang-layang ABCD adalah K AB BC CD DA Gambar B-15. Layang – laying 2 31 Karena AB BC dan CD DA , maka keliling laying – laying K 2 AB CD 2. Luas Layang – Layang Gambar menunjukkan layang-layang PQRS dengan diagonal AC dan BD saling berpotongan tegak lurs di titik O. L LABC LADC 1 1 L AC OB AC OD 2 2 1 L AC OB OD 2 1 L AC BD 2 Gambar B-16. Layang – Layang 3 d. Contoh Soal 1. Suatu layang-layang, panjang diagonalnya masing-masing 40 cm dan 18 cm. Hitunglah luas layang-layang tersebut. Penyelesaian: d1 30 cm dan d2 15 cm 1 L d d2 2 1 1 L 30 15 2 L 225 cm2 Jadi, luas layang-layang adalah 225 cm2. 2. ABCD adalah sebuah layang-layang dengan panjang AC 24 cm, dan . Jika luasnya 300 cm2, maka tentukanlah panjang AD ! Gambar B-17. Layang -Layang Contoh 2 32 Penyelesaian : L 1 BD AC 2 300 1 BD 24 2 300 BD 12 300 BD 25cm 12 AC 24 cm maka OC OA 1 AC 2 1 24 12 cm 2 OB BC OC 2 2 OB 20 12 OD BD OB OB 400 144 OD 25 16 9cm OB 256 16cm AD Jadi panjang AD 3 6. TRAPESIUM a. Definisi Trapesium 3 cm. Perhatikan gambar di samping. Gambar ini menunjukkan suatu segi empat yang memiliki sepasang sisi yang sejajar, yaitu AB // CD. Segi empat seperti ini Gambar B-18. Trapesium 1 disebut trapesium. Pada trapesium ABCD, AB dan CD disebut sisi sejajar sedangkan AD dan BC disebut kaki trapesium. Sisi sejajar yang terpanjang, yaitu AB disebut alas trapesium. 33 b. Jenis – Jenis Trapesium 1. Trapesium Sebarang Pada trapesium ABCD di samping, AB // DC , panjang kakinya tidak sama ( AD ≠ BC) dan kakikakinya juga tidak ada yang tegak lurus ke sisi sejajarnya. Trapesium seperti ini disebut trapesium sebarang. Gambar B-19. Trapesium 2 2. Trapesium Sama Kaki Trapesium ABCD (Gambar 8.41) memiliki kaki yang sama panjang, yaitu AD = BC . Trapesium seperti ini disebut trapesium sama kaki. Gambar B-20. Trapesium 3 3. Trapesium Siku – Siku Trapesium ABCD terlihat salah satu kakinya tegak lurus pada sisi sejajarnya, yaitu AD ⊥ AB dan AD ⊥ DC. Trapesium seperti ini disebut trapesium siku-siku. Gambar B-21. Trapesium 4 c. Sifat – Sifat Trapesium Gambar B-22. Trapesium 5 Sifat-sifat trapesium sebagai berikut : 1. memiliki sepasang sisi sejajar, 34 2. jumlah dua sudut berdekatan (sudut dalam sepihak) adalah 180 0 3. trapesium siku-siku, salah satu kakinya tegak lurus terhadap sisi sejajarnya. d. Keliling dan Luas Trapesium 1. Keliling trapesium Misalkan trapesium ABCD. Sama halnya segi empat lainnya, untuk menghitung keliling adalah jumlah keempat sisinya. Pada trapesium ABCD, maka K AB BC CD DA Gambar B-23. Trapesium 6 2. Luas trapesium Untuk mengetahui Luas Trapesium dapat membagi trapesium menjadi tiga bagian yaitu bagian I yang berbentuk segitiga PQU dan bagian II berbentuk persegi panjang QRTU, dan bagian III berbentuk segitiga RST. Gambar B-24. Trapesium 7 L LPQU LQRTU LRST 1 1 L PQ QU QR RT RS ST 21 2 1 L PQ QU QR QU RS QU 2 2 1 L QU PQ 2QR RS 2 1 L QU PQ QR QR RS 2 1 L QU PQ QR UT RS 2 1 L QU PQ QR RS UT 2 1 L QU PS UT 2 35 Misal QU adalah tinggi trapesium yang disimbolkan t, PS sisi bawah trapesium yang disimbolkan b, dan UT adalah sisi atas trapesium yang disimbolkan dengan a, maka Luas trapesium adalah L 1 ab ta b t 2 2 e. Contoh Soal 1. Sebuah trapesium, panjang sisi-sisi sejajar adalah 12 cm dan 8 cm serta tinggi 5 cm. Hitunglah luas trapesium tersebut. Penyelesaian: a = 12 cm, b = 8 cm, dan t = 5 cm L L L 1 2 1 2 1 a bt (12 8)5 20 5 2 L 50cm 2 2. Diketahui trapesium ABCD, Diketahui CD 8 cm, t 4 cm dan AE 3 cm. Tentukan keliling dan luas segiempat disamping! Gambar B-25. Trapesium Contoh 2 Penyelesaian AD K AD AB BC CD AD K AD AE EF FB BC CD K538358 K 32cm AD 25 AD 5 36 C. LAMPIRAN SOAL 1. Perhatikan gambar dibawah ini, jika BE 2 cm, EF 6 cm, dan FC 4 cm , maka ppanjang DE adalah... Penyelesaian: AC 2 CF CB AC 2 4 12 AC 2 48 AC 48 AC 4 Gambar C-1. Segitiga Soal 1 DE BE AC BC DE 2 4 3 12 12DE 8 3 8 3 DE 12 2 3 DE 3 Gambar C-2. Kesebangunan Dua Segitiga 2. Diketahui ABCD jajargenjang. Titik P dan Q berada secara berurutan di sisi 1 1 AB dan DP sehingga AP AB , DQ DP . Jika luas jajar genjang ABCD 3 3 adalah 36 cm2, maka luas segitiga QBC adalah... Penyelesaian: Gambar C-3. Jajar Genjang Soal 2 37 Perhatikan gambar, SR dan TP sejajar dengan AD dan BC . 1 Dari DQ DP maka dengan menggunakan konsep kesebangunan 3 1 didapatkan AR AP . Karena diketahui AP 1 AB , akibatnya 3 3 AR 1 AP 3 11 33 1 AB 9 AB Perhatikan bahwa AB AR RB dan dikarenakan AR 1 3 AP maka RB AB AR 1 AB AB 9 8 AB 9 Ini ekivalen dengan RB 8 AB 9 Karena RB 8 dan SR dan TP sejajar BC . AB 9 luas RBCS 8 , sehingga diperoleh Maka diperoleh perbandingan luas ABCD 9 8 luas RBCS luas ABCD 9 32 cm2 Pada segiempat dengan sisi-sisi yang berhadapan sejjar, apabila terdapat segitiga yang dibuat oleh salah satu sisi segiempat dan sebuah titik yang terletak pada sisi yang berhadapan dengan sisi tersebut, maka luas dari segitiga tersebut adalah setengah dari luas segiempat tersebut. Dikarenakan Q terletak pada SR , dan diketahui SR sejajar BC , maka diperoleh: 38 1 luas segitiga BCQ luas RBCS 2 16 cm2 3. Gambar diatas menunjukkan sebuah belah ketupat FGHI dan sebuah segitiga samakaki FGJ dengan GF GJ . Besar FJI 111 . Tentukan besar JFI ! Penyelesaian: Gambar C-4. Belah Ketupat Soal 3 Diketahui FJI 111 Karena FJI dan FJG membentuk garis lurus, maka FJG 180 FJG 180 111 69 Perhatikan sebuah segitiga samakaki FGJ dengan GF GJ . Maka JFG FJG FGJ 180 FJG FJG 69 180 69 69 42 IG membagi FGJ sama besar, maka FGH 2 FGJ 2 42 84 Sudut yang bersebelahan dalam belah ketupat jumlahnya adalah 180o , maka JFI IFG JFG IFG FGH 180 96 69 IFG 180 FGH 27 180 84 96 Jadi besar sudut JFI adalah 27o . 39 DAFTAR PUSTAKA Kebudayaan, K. P. (2014). Matematika Buku Guru. Jakarta: Kemendikbud. Manik, D. R. (2009). Penunjang Belajar Matematikia Untuk SMP/MTS. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. 40
