Uploaded by Awwalul Tiar

STANDART PROBLEM SOLVING new

advertisement
STANDART PROBLEM SOLVING
MAKALAH
Untukmemenuhitugasmatakuliah
KajianPembelajaranMatematika
Yang diampuolehBapak Prof. Dr. GatotMuhsetyo, M.Sc
Oleh
Kresentia Peppy Rahayu
(190311867235)
Muhammad AwwalulIkhtiar (190311767268)
Ni Putu Gita Arilaksmi
(190311867238)
Offering F
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
JURUSAN MATEMATIKA
SEPTEMBER 2019
A. Definisi Problem Solving atau Pemecahan Masalah
Babak Masyarakat Ekonomi ASEAN (MEA) telah dimulai. Persaingan di
segala aspek dimulai. Bidang ekonomi merupakan salah satu aspek yang terpenting
dari era MEA ini. Selain bidang ekonomi, aspek pendidikan juga memberikan andil
dalam ranah persiapan menghadapi MEA. Peran pendidikan dalam menyambut
datangnya pasar tunggal ASEAN sejatinya menyiapkan sumber daya manusia yang
terampil, peka dan kritis. Terampil bekerja, peka permasalahan dan kritis dalam
berperan. Keterampilan dalam berperan merupakan aspek yang seharusnya dimiliki
oleh setiap individu. Kemampuan ini diintegrasikan melalui pemecahan masalah pada
kegiatan pembelajaran matematika di sekolah. Pemecahan masalah merupakan salah
satu tujuan dalam proses pembelajaran ditinjau dari aspek kurikulum.
Pentingnya pemecahan masalah dalam pembelajaran juga disampaikan oleh
National Council of Teacher of Mathematics (NCTM). Menurut NCTM (2000) proses
berfikir matematika dalam pembelajaran matematika meliputi lima kompetensi
standar utama yaitu kemampuan pemecahan masalah, kemampuan penalaran,
kemampuan koneksi, kemampuan komunikasi dan kemampuan representasi.
Rendahnya kemampuan ini akan berakibat pada rendahnya kualitas sumber daya
manusia, yang ditunjukkan dalam rendahnya kemampuan pemecahan masalah.Hal ini
dikarenakan selama ini pembelajaran kurang memberikan kesempatan kepada siswa
untuk mengembangkan kemampuannya dalam memecahkan masalah.
Problem solving adalah suatu kegiatan penyelesaian permasalahan yang
metode solusinya tidak diketahui sebelumnya. Problem solving menuntut siswa untuk
menemukan solusi dengan menggunakan pengetahuan yang mereka miliki. Melalui
proses itu mereka akan sering mengembangkan dan menggali pemahaman
matematika baru. Memecahkan masalah bukan hanya tujuan belajar matematika tetapi
juga sarana utama untuk melakukannya. Siswa harus sering memiliki kesempatan
untuk merumuskan, bergulat dan memecahkan masalah kompleks yang memerlukan
sejumlah besar upaya dan kemudian harus didorong untuk merenungkan pemikiran
mereka. Dengan mempelajari pemecahan masalah dalam matematika, siswa harus
memperoleh cara berpikir, kebiasaan kegigihan dan rasa ingin tahu, dan kepercayaan
diri dalam situasi asing yang akan melayani mereka dengan baik di luar kelas
matematika.
Pemecahan masalah adalah bagian integral dari semua pembelajaran
matematika, dan karena itu tidak boleh menjadi bagian yang terisolasi dari program
matematika. Pemecahan masalah dalam matematika harus melibatkan semua lima
bidang konten yang dijelaskan dalam standar ini. Konteks masalah dapat bervariasi
dari pengalaman akrab yang melibatkan kehidupan siswa atau hari sekolah hingga
aplikasi yang melibatkan sains atau dunia kerja. Masalah yang baik akan
mengintegrasikan banyak topik dan akan melibatkan matematika yang signifikan.
Berdasarkan yang telah terurai di atas disebutkan bahwa pemecahan masalah
adalah bagian integral dari matematika. Bersumber pada hal itu, siswa yang akan dan
telah memasuki kelas menengah harus memiliki pandangan bahwa matematika
merupakan suatu ilmu yang melibatkan pemeriksaan pola, membuat dugaan tentang
kemungkinan generalisasi, dan mengevaluasi dugaan. Pada tahap kelas 6-8, siswa
harus mempertajam dan memperluas keterampilan penalaran mereka dengan
memperdalam evaluasi mereka terhadap pernyataan dan dugaan mereka dan
menggunakan penalaran induktif dan deduktif untuk merumuskan argumen
matematika.
B. Tahapan Problem Solving
Tahapan penggunaan metode problem solving dalam Djamarah (2013) adalah sebagai
berikut :
1) Ada masalah yang jelas untuk dipecahkan.
Masalah ini harus tumbuh dari siswa sesuai dengan taraf kemampuannya.
2) Mencari data atau keterangan yang dapat digunakan untuk memecahkan
masalah yang muncul.
Misalnya dengan jalan membaca buku-buku, meneliti, bertanya, dan berdiskusi.
3) Menetapkan jawaban sementara dari masalah tersebut.
Dugaan jawaban tentu saja didasarkan kepada data yang telah diperoleh, pada
langkah kedua di atas.
4) Menguji kebenaran jawaban sementara tersebut.
Dalam langkah ini peserta pelatihan harus berusaha memecahkan masalah
sehingga betul-betul yakin bahwa jawaban tersebut betul-betul cocok.
5) Menarik kesimpulan.
Artinya siswa harus sampai pada kesimpulan terakhir tentang jawaban dari
masalah tadi.
C. Kelebihan dan Kekurangan Problem Solving
Dalam buku yang dibuat oleh Tabrani (2008) kelebihan metode problem solving dapat
diidentifikasikan sebagai berikut :
1) Metode pemecahan masalah memungkinkan menghubungkan pengajaran
dengan kehidupan sehari-hari, karena masalah-masalah yang diangkat dalam
kegiatan belajar bias diambil dari kehidupan sehari-hari, atau dari apa yang
dialaminya.
2) Metode ini dapat merangsang kemampuan intelektual dan daya pikir peserta
didik, karena dalam berfikir menggunakan problem solving mereka menyoroti
permasalahan dari berbagai segi.
3) Metode ini dapat melatih dan membiasakan peserta didik untuk menghadapi
dan memecahkan masalah secara cermat.
4) Metode ini mampu melatih peserta didik untuk berfikir secara sistematis dan
menghubungkannya dengan masalah-masalah lainnya.
Adapun kekurangan metode problem solving dalam Djamarah, (2013) yaitu sebagai
berikut :
1) Menentukan suatu masalah yang tingkat kesulitannya sesuai dengan tingkat
berpikir siswa, tingkat sekolah dan kelasnya serta pengetahuan dan
pengalaman yang telah dimiliki siswa, sangat memerlukan kemampuan dan
keterampilan guru. Sering orang beranggapan keliru bahwa metode
pemecahan masalah hanya cocok SLTP, SLTA dan PT saja. Padahal, untuk
siswa SD sederajat juga bisa dilakukan dengan tingkat kesulitan permasalahan
yang sesuai dengan taraf kemampuan berpikir anak.
2) Proses belajar mengajar dengan menggunakan metode ini sering memerlukan
waktu yang cukup banyak dan sering terpaksa mengambil waktu pelajaran
lain.
3) Mengubah kebiasaan siswa belajar dengan mendengarkan dan menerima
informasi dari guru menjadi belajar dengan banyak berpikir memecahkan
permasalahan sendiri atau kelompok, yang kadang-kadang memerlukan
berbagai sumber belajar, merupakan kesulitan tersendiri bagi siswa.
D. Contoh Permasalahan Problem Solving dalam Matematika
1. Fungsi Kuadrat
a) Konsep Fungsi Kuadrat
Sebarang fungsi yang dapat dituliskan dalam bentuk
𝒇 𝒙 = π’‚π’™πŸ + 𝒃𝒙 + 𝒄
di mana π‘Ž, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan π‘Ž β‰  0 disebut sebagai fungsi kuadrat. Bentuk fungsi
kuadrat𝑓 π‘₯ = π‘Žπ‘₯ 2 + 𝑏π‘₯ + 𝑐 juga dapat diubah menjadi bentuk
𝒇 𝒙 = 𝒂 π’™βˆ’π’‘
𝟐
+𝒒
di mana di mana π‘Ž, 𝑝 π‘ž ∈ ℝ dan π‘Ž β‰  0 dan (𝑝, π‘ž) merupakan koordinat titik
puncak.
Grafik dari fungsi kuadrat disebut sebagai grafik parabola. Untuk
memahami grafik fungsi kuadrat, terdapat beberapa istilah-istilah penting yang
dapat diamati dalam Gambar 1.1 berikut :
Grafik fungsi kuadrat memiliki suatu titik
yang disebut sebagai titik puncak/titik balik
(vertex), dinotasikan dengan(𝑝, π‘ž). Titik
puncak tersebut dapat menjadi titik
minimum jika grafik parabola terbuka ke
Gambar 1.1
atas, dan dapat menjadi titik maksimum
jika grafik terbuka ke bawah.
Untuk mendeteksi apakah suatu grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas
atau ke bawah, dapat dilakukan dengan melihat nilai dari koefisien π‘₯ 2 yaitu
nilai dari π‘Ž. Jika π‘Ž > 0 maka grafik terbuka ke atas, dan jika π‘Ž < 0 maka
grafik terbuka ke bawah. Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 1.2
berikut :
Pada Gambar 1.2 disketsakan grafik
𝑓 π‘₯ = π‘₯ 2 , dengan π‘Ž = 1 dan 𝑓 π‘₯ = βˆ’π‘₯ 2
dengan π‘Ž = βˆ’1. Dari gambar dapat terlihat
bahwa grafik 𝑓 π‘₯ = π‘₯ 2 terbuka ke atas dan
grafik 𝑓 π‘₯ = βˆ’π‘₯ 2 tebuka ke bawah.
Gambar 1.2
Sumbu simetri(axis of symmetry) adalah garis vertikal yang membagi
parabola menjadi dua bagian yang sama. Sumbu simetri pada fungsi kuadrat
dapat dikatakan sebagai garis sumbu yang melewati titik puncak. Untuk
menentukan sumbu simetri suatu grafik fungsi kuadrat dapat dilihat melalui
bagian absis dari koordinat titik puncak. Berikut ini merupakan cara
menentukan koordinat titik puncak dari suatu fungsi kuadrat dengan
menggunakan konsep melengkapkan kuadrat :
𝑓 π‘₯ = π‘Žπ‘₯ 2 + 𝑏π‘₯ + 𝑐
𝑏
𝑓 π‘₯ = π‘Ž π‘₯2 + π‘₯ + 𝑐
π‘Ž
𝑏
𝑏2
𝑏2
𝑓 π‘₯ = π‘Ž π‘₯2 + π‘₯ + 2 + 𝑐 βˆ’
π‘Ž
4π‘Ž
4π‘Ž
2
2
𝑏
4π‘Žπ‘ βˆ’ 𝑏
𝑓 π‘₯ =π‘Ž π‘₯+
+
2π‘Ž
4π‘Ž
Dari uraian di atas diperoleh koordinat titik puncak yakni
𝑏 4π‘Žπ‘ βˆ’ 𝑏2
𝑝, π‘ž = βˆ’ ,
2π‘Ž
4π‘Ž
𝑏
dengan sumbu simetri adalah π‘₯ = βˆ’ 2π‘Ž
b) Contoh SoalProblem Solving Berkaitan dengan Fungsi Kuadrat
Seorang petani, memiliki jaring kawat sepanjang 120 π‘š. Ia ingin memagari
pekarangan di samping rumahnya yang berbentuk persegi panjang, namun
hanya tiga sisi yang dapat dipagari karena sisi yang lain dibatasi oleh sungai.
Tentukan panjang dan lebar dari pagar yang dibuat oleh petani tersebut
sehingga luasnya menjadi maksimum.
Menjawab sesuai langkah-langkah problem solving:
1) Ada masalah yang jelas untuk dipecahkan.
Masalah yang harus dipecahkan siswa adalah menentukan ukuran panjang
dan lebar dari pagar yang dibuat oleh petani tersebut sehingga luasnya
menjadi maksimum
2) Mencari data atau keterangan yang dapat digunakan untuk
memecahkan masalah yang muncul.
Siswa dapat mengumpulkan data pendukung untuk menyelesaikan
masalah tersebut. Dari soal diketahui panjang kawat yang dimiliki adalah
120 π‘š serta pekarangan rumahnya berbentuk persegi panjang, namun
hanya tiga sisi yang dapat dipagari karena sisi yang lain dibatasi oleh
sungai. Dari data tersebut, siswa dapat mengambar ilustrasi untuk
memudahkan dalam berpikir.
Perhatikan Gambar 1.3 di samping.
Gambar di samping mengilustrasikan
data yang telah diperoleh siswa.
Panjang kawat adalah 120 π‘š, dan
pekarangan berbentuk persegi panjang.
Gambar 1.3
Lebar pekarangan dinotasikan dengan varibel π‘₯ sehingga panjang
pekarangan dinotasikan dengan 120 βˆ’ π‘₯.
3) Menetapkan jawaban sementara dari masalah tersebut.
Pada tahap ini, siswa mulai menyusun agurmen untuk menetapkan
jawaban sementara. Argumen disusun dari data-data yng diperoleh dari
langkah sebelumnya, serta berdasarkan konsep yang berkaitan dengan
fungsi kuadrat.
Berdasarkan konsep luas, luas persegi panjang diperoleh dengan :
𝐿 π‘₯ = panjang × lebar
𝐿 π‘₯ = 120 βˆ’ 2π‘₯ π‘₯
𝐿 π‘₯ = βˆ’2π‘₯ 2 + 120π‘₯
Fungsi 𝐿(π‘₯) merupakan suatu fungsi kuadrat dengan π‘Ž = βˆ’2, 𝑏 = 120,
dan 𝑐 = 0. Sesuai dengan konsep sebelumnya, saat π‘Ž < 0 maka grafik
fungsi kuadrat terbuka ke bawah, sehingga titik puncaknya merupakan
titik maksimum. Untuk mendapatkan nilai π‘₯ agar luas pekarangan
maksimum, dapat menggunakan konsep sebelumnya yaitu :
π‘₯=βˆ’
𝑏
120
=βˆ’
= 30
2π‘Ž
2 βˆ’2
Sehingga panjang dan lebar pekarangan agar luasnya maksimum adalah :
Panjang = 120 βˆ’ 2π‘₯ = 120 βˆ’ 2 30 = 60 π‘š
Lebar = π‘₯ = 30 π‘š
4) Menguji kebenaran jawaban sementara tersebut
Pada tahap ini, siswa menguji jawaban sementara yang telah didapatkan
pada langkah sebelumnya. Pengujian dapat dengan menggunakan konsep-
konsep fungsi kuadrat atau dengan mecocokan dengan unsur yang
diketahui pada soal.
Dalam menguji titik puncak yang diperoleh dalam langkah sebelumnya
dapat dilihat dari nilai π‘Ž yang negatif, yang menunjukkan grafik terbuka
ke bawah sehingga titik puncaknya merupakan titik maksimum, dan tidak
ada titik yang lain yang nilainya fungsinya lebih besar dari titik puncak
tersebut.
Pada langkah sebelumnya juga diperoleh panjang dan lebar kawat agar
luasnya maksimum berturut-turut adalah 60π‘š dan 30 π‘š (ingat hanya 3
sisi pekarangan yang dipagari), sehingga jika dijumlah sesuai dengan
panjang kawat yang dimiliki yakni 120 π‘š.
5) Menarik kesimpulan.
Dari langkah-langkah yang telah dilakukan sebelumnya maka siswa dapat
menarik kesimpulan untuk menjawab permasalahan di atas yakni panjang
dan lebar pekarangan agar luasnya maksimum adalah :panjang 60 π‘š dan
lebar 30 π‘š
2. Luas Bangun Datar Lingkaran
a) Konsep Luas Bangun Datar Lingkaran
Lingkaran adalah himpunan titik-titik pada bidang datar yang memiliki
jarak yang sama dari suatu titik tertentu, yang disebut sebagai titik pusat
lingkaran. Segmen garis yang terbentuk dari titik pusat ke titik pada lingkaran
disebut sebagai jari-jari.
Seperti pengertian luas pada umumnya, yang dimaksud luas lingkaran
adalah area yang meliputi bagian dalam lingkaran. Jika keliling lingkaran
mewakili panjang lintasan bagian tepi maka luas lingkaran mewakili luas
areanya. Untuk menemukan luas lingkaran, digunakan rumus 𝐿 = πœ‹π‘Ÿ 2 dengan
π‘Ÿ adalah jari-jari lingkaran.
b) Contoh Soal Problem Solving Berkaitan dengan Luas Bangun datar Lingkaran
Suatu ladang rumput berbentuk persegi dengan panjang sisi 42 π‘š. Seekor
kambing yang akan merumput, diikat dengan tali pada salah satu sudut kebun
seperti yang disketsakan pada gambar (tampak atas). Jika panjang tali yang
digunakan untuk mengikat kambing 28 π‘š, perkirakan berapa luas ladang
maksimum yang dapat dijangkau kambing tersebut.
1) Ada masalah yang jelas untuk dipecahkan.
Masalah yang harus dipecahkan siswa adalah menentukan berapa luas
ladang yang dapat dijangkau kambing jika panjang tali yang digunakan
untuk mengikat kambing 28 π‘š
2) Mencari data atau keterangan yang dapat digunakan untuk
memecahkan masalah yang muncul.
Siswa dapat mengumpulkan data pendukung untuk menyelesaikan
masalah tersebut. Dari soal diketahui panjang tali yang digunakan untuk
mengikat kambing 28 π‘šserta ladang rumput berbentuk persegi dengan
panjang sisi 42 π‘š. Dari data tersebut, siswa dapat mengambar ilustrasi
untuk memudahkan dalam berpikir.
Perhatikan Gambar 143 di samping.
42 π‘š
Gambar di samping mengilustrasikan data
yang telah diperoleh siswa.
42 π‘š
Panjang kawat adalah 28π‘š, dan
pekarangan berbentuk persegi dengan
panjang sisi 42 π‘š
Gambar 1.4
3) Menetapkan jawaban sementara dari masalah tersebut.
Pada tahap ini, siswa mulai menyusun agurmen untuk menetapkan
jawaban sementara. Argumen disusun dari data-data yng diperoleh dari
langkah sebelumnya, serta berdasarkan konsep yang berkaitan dengan luas
lingkaran.
Permasalahan di atas dapat
diselesaikan dengan membayangkan
jangkauan wilayah ladang yang dapat
dicapai oleh kambing akan berbentuk
seperempat lingkaran dengan jari-jari
sepanjang tali yaitu 28 π‘š .
Sehingga untuk mengetahui luas ladang
rumput yang dapat dijangkau oleh kambing tersebut adalah dengan
menghitung luas daerah berbentuk seperempat lingkaran yang diuraikan
sebagai berikut :
1
πœ‹π‘Ÿ 2
4
1
𝐿 = πœ‹ 28 2
4
1
𝐿 = 784 πœ‹
4
𝐿=
𝐿 = 196πœ‹π‘š2
4) Menguji kebenaran jawaban sementara tersebut
Pada tahap ini, siswa menguji jawaban sementara yang telah didapatkan
pada langkah sebelumnya. Pengujian dapat dilakukan dengan
mempertimbangkan bahwa untuk mencapai luas maksimum, maka jarak
terjauh jangkauan kambing harus sama dengan panjang tali pengikat.
Kemudian, jika jarak dari titik asal (tempat kambing diikat) hingga ke titik
terjauh di semua daerah ladang sama (yakni panjang tali) maka panjang
tali dapat direpresentasikan sebagai jari-jari lingkaran dan daerah yang
terbentuk berupa seperempat lingkaran.
5) Menarik kesimpulan.
Dari langkah-langkah yang telah dilakukan sebelumnya maka siswa dapat
menarik kesimpulan untuk menjawab permasalahan di atas yaitu jika
panjang tali yang digunakan untuk mengikat kambing 28 π‘š, maka luas
ladang maksimum yang dapat dijangkau kambing tersebut adalah
196πœ‹π‘š2
DAFTAR PUSTAKA
Djamarah, SyaifulBahri. 2013. StrategiBelajarMengajar. CetakanKelima. Jakarta:
PT. RinekaCipta.
Kaufmann, Jerome E.& Schitters, Karen L. 2011 . Algebra for College Students 9th
Edition. Belmont : Nelson Education
Lencher, George. 2005. Creative Problem Solving in School Mathematics 2nd
Edition. New York : Mathematical Olympiads for Elementary and Middle
Schools
Tabrani, Rusyan.2008. CaraPembelajaranMatematika SeriI.
Semarang:PTBengawanIlmu.
NCTM. 2000. Principles and Standards for School Mathematics. United States of
America : The National Council of Teachers of Mathematics, Inc.
Prihatini, Elfrieda Yapita. 2018. PengembanganAsesmen Higher Order Thinking Skill
Berbasis Problem Solving padaSiswaKelas X IPA. Tesis.
Download
Random flashcards
Nomor Rekening Asli Agen De Nature Indonesia

2 Cards denaturerumahsehat

Secuplik Kuliner Sepanjang Danau Babakan

2 Cards oauth2_google_2e219703-8a29-4353-9cf2-b8dae956302e

Card

2 Cards

Tarbiyah

2 Cards oauth2_google_3524bbcd-25bd-4334-b775-0f11ad568091

Create flashcards