z14466981740aad72f9391036ade4c523b564cc2c9c

Ruang Vektor Euclid Rn
Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016
MZI
Fakultas Informatika
Telkom University
FIF Tel-U
Oktober 2015
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
1 / 38
Acknowledgements
Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:
1
Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.
2
Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.
3
Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.
4
Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan Siti
Aminah.
Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus.
5
Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan
untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda
memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim
email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
2 / 38
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
Ruang Vektor Euclid Rn
3
Vektor-vektor Basis Standar di Rn
4
Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn
5
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
6
Beberapa Sifat-sifat Penting
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
3 / 38
Pendahuluan dan Motivasi
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
Ruang Vektor Euclid Rn
3
Vektor-vektor Basis Standar di Rn
4
Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn
5
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
6
Beberapa Sifat-sifat Penting
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
4 / 38
Pendahuluan dan Motivasi
Sejarah Perkembangan Vektor
Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x; y) untuk merepresentasikan posisi
suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula
halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x; y; z) untuk
merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
5 / 38
Pendahuluan dan Motivasi
Sejarah Perkembangan Vektor
Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x; y) untuk merepresentasikan posisi
suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula
halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x; y; z) untuk
merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3.
Pada akhir abad ke-19 matematikawan dan …sikawan mulai menyadari bahwa kita
tidak harus hanya berhenti pada tripel bilangan. Kita membutuhkan “alat” yang
dapat merepresentasikan keadaaan pada dimensi yang lebih tinggi.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
5 / 38
Pendahuluan dan Motivasi
Sejarah Perkembangan Vektor
Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x; y) untuk merepresentasikan posisi
suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula
halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x; y; z) untuk
merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3.
Pada akhir abad ke-19 matematikawan dan …sikawan mulai menyadari bahwa kita
tidak harus hanya berhenti pada tripel bilangan. Kita membutuhkan “alat” yang
dapat merepresentasikan keadaaan pada dimensi yang lebih tinggi.
Kuadrupel bilangan (w; x; y; z) dapat digunakan untuk merepresentasikan
posisi suatu benda pada “ruang berdimensi 4”.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
5 / 38
Pendahuluan dan Motivasi
Sejarah Perkembangan Vektor
Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x; y) untuk merepresentasikan posisi
suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula
halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x; y; z) untuk
merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3.
Pada akhir abad ke-19 matematikawan dan …sikawan mulai menyadari bahwa kita
tidak harus hanya berhenti pada tripel bilangan. Kita membutuhkan “alat” yang
dapat merepresentasikan keadaaan pada dimensi yang lebih tinggi.
Kuadrupel bilangan (w; x; y; z) dapat digunakan untuk merepresentasikan
posisi suatu benda pada “ruang berdimensi 4”.
5-tupel bilangan (v; w; x; y; z) dapat digunakan untuk merepresentasikan
posisi suatu benda pada “ruang berdimensi 5”.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
5 / 38
Pendahuluan dan Motivasi
Sejarah Perkembangan Vektor
Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x; y) untuk merepresentasikan posisi
suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula
halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x; y; z) untuk
merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3.
Pada akhir abad ke-19 matematikawan dan …sikawan mulai menyadari bahwa kita
tidak harus hanya berhenti pada tripel bilangan. Kita membutuhkan “alat” yang
dapat merepresentasikan keadaaan pada dimensi yang lebih tinggi.
Kuadrupel bilangan (w; x; y; z) dapat digunakan untuk merepresentasikan
posisi suatu benda pada “ruang berdimensi 4”.
5-tupel bilangan (v; w; x; y; z) dapat digunakan untuk merepresentasikan
posisi suatu benda pada “ruang berdimensi 5”.
n-tupel bilangan (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) dapat digunakan untuk merepresentasikan
posisi suatu benda pada “ruang berdimensi n”.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
5 / 38
Pendahuluan dan Motivasi
Motivasi
Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi,
Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di
antaranya adalah kajian mengenai:
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
6 / 38
Pendahuluan dan Motivasi
Motivasi
Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi,
Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di
antaranya adalah kajian mengenai:
Pemrosesan citra digital (image processing ).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
6 / 38
Pendahuluan dan Motivasi
Motivasi
Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi,
Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di
antaranya adalah kajian mengenai:
Pemrosesan citra digital (image processing ).
Teori pengkodean (coding theory ): cara untuk mengkompresi data dan
mentransmisikan data.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
6 / 38
Pendahuluan dan Motivasi
Motivasi
Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi,
Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di
antaranya adalah kajian mengenai:
Pemrosesan citra digital (image processing ).
Teori pengkodean (coding theory ): cara untuk mengkompresi data dan
mentransmisikan data.
Kriptogra…: cara untuk merahasiakan suatu data.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
6 / 38
Pendahuluan dan Motivasi
Motivasi
Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi,
Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di
antaranya adalah kajian mengenai:
Pemrosesan citra digital (image processing ).
Teori pengkodean (coding theory ): cara untuk mengkompresi data dan
mentransmisikan data.
Kriptogra…: cara untuk merahasiakan suatu data.
Pada bidang-bidang di atas, suatu data dapat direpresentasikan menjadi suatu
vektor (a1 ; a2 ; : : : ; an ).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
6 / 38
Pendahuluan dan Motivasi
Motivasi
Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi,
Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di
antaranya adalah kajian mengenai:
Pemrosesan citra digital (image processing ).
Teori pengkodean (coding theory ): cara untuk mengkompresi data dan
mentransmisikan data.
Kriptogra…: cara untuk merahasiakan suatu data.
Pada bidang-bidang di atas, suatu data dapat direpresentasikan menjadi suatu
vektor (a1 ; a2 ; : : : ; an ).
Tujuan utama dari bahasan ini adalah untuk memperkenalkan operasi dan sifat
vektor yang terdapat pada ruang berdimensi n.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
6 / 38
Pendahuluan dan Motivasi
Vektor dan Array
Vektor berdimensi n yang ditulis (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) analog dengan array yang telah
Anda pelajari di kuliah-kuliah pemrograman. Kadang-kadang vektor dapat
dipandang sebagai array yang komponen-komponennya adalah bilangan-bilangan.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
7 / 38
Pendahuluan dan Motivasi
Vektor dan Array
Vektor berdimensi n yang ditulis (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) analog dengan array yang telah
Anda pelajari di kuliah-kuliah pemrograman. Kadang-kadang vektor dapat
dipandang sebagai array yang komponen-komponennya adalah bilangan-bilangan.
Vektor berdimensi n dapat dipandang sebagai array dengan n komponen. Suatu
vektor ~v yang berdimensi 5, yaitu ~v = (v1 ; v2 ; v3 ; v4 ; v5 ) dapat dipandang sebagai
array V = v1 v2 v3 v4 v5 .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
7 / 38
Pendahuluan dan Motivasi
Vektor dan Array
Vektor berdimensi n yang ditulis (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) analog dengan array yang telah
Anda pelajari di kuliah-kuliah pemrograman. Kadang-kadang vektor dapat
dipandang sebagai array yang komponen-komponennya adalah bilangan-bilangan.
Vektor berdimensi n dapat dipandang sebagai array dengan n komponen. Suatu
vektor ~v yang berdimensi 5, yaitu ~v = (v1 ; v2 ; v3 ; v4 ; v5 ) dapat dipandang sebagai
array V = v1 v2 v3 v4 v5 .
Jika pada kuliah-kuliah yang terkait pemrograman Anda akan mempelajari operasi
array terkait struktur data dan algoritmanya, contohnya searching dan sorting,
pada perkuliahan Aljabar Linier Anda akan mengkaji struktur dan operasi
matematika yang dapat dilakukan pada suatu vektor (array ).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
7 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
Ruang Vektor Euclid Rn
3
Vektor-vektor Basis Standar di Rn
4
Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn
5
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
6
Beberapa Sifat-sifat Penting
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
8 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
De…nisi Ruang Vektor Euclid Rn
De…nisi
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka suatu vektor ~v adalah n tupel terurut
(ordered n-tuple)
(v1 ; v2 ; : : : ; vn ) ,
dengan vi 2 R untuk 1 i n. Himpunan seluruh n tupel terurut disebut ruang
vektor Euclid berdimensi n dan ditulis dengan Rn . Untuk meringkas, kita katakan
ruang vektor Euclid berdimensi n sebagai ruang Euclid berdimensi n (tanpa kata
vektor).
Vektor pada Rn dapat dinyatakan dalam bentuk
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
9 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
De…nisi Ruang Vektor Euclid Rn
De…nisi
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka suatu vektor ~v adalah n tupel terurut
(ordered n-tuple)
(v1 ; v2 ; : : : ; vn ) ,
dengan vi 2 R untuk 1 i n. Himpunan seluruh n tupel terurut disebut ruang
vektor Euclid berdimensi n dan ditulis dengan Rn . Untuk meringkas, kita katakan
ruang vektor Euclid berdimensi n sebagai ruang Euclid berdimensi n (tanpa kata
vektor).
Vektor pada Rn dapat dinyatakan dalam bentuk
1
n tupel terurut, contohnya ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn )
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
9 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
De…nisi Ruang Vektor Euclid Rn
De…nisi
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka suatu vektor ~v adalah n tupel terurut
(ordered n-tuple)
(v1 ; v2 ; : : : ; vn ) ,
dengan vi 2 R untuk 1 i n. Himpunan seluruh n tupel terurut disebut ruang
vektor Euclid berdimensi n dan ditulis dengan Rn . Untuk meringkas, kita katakan
ruang vektor Euclid berdimensi n sebagai ruang Euclid berdimensi n (tanpa kata
vektor).
Vektor pada Rn dapat dinyatakan dalam bentuk
1
2
n tupel terurut, contohnya ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn )
vn , notasi ini jarang dipakai
matriks baris, contohnya ~v = v1 v2
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
9 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
De…nisi Ruang Vektor Euclid Rn
De…nisi
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka suatu vektor ~v adalah n tupel terurut
(ordered n-tuple)
(v1 ; v2 ; : : : ; vn ) ,
dengan vi 2 R untuk 1 i n. Himpunan seluruh n tupel terurut disebut ruang
vektor Euclid berdimensi n dan ditulis dengan Rn . Untuk meringkas, kita katakan
ruang vektor Euclid berdimensi n sebagai ruang Euclid berdimensi n (tanpa kata
vektor).
Vektor pada Rn dapat dinyatakan dalam bentuk
1
2
3
n tupel terurut, contohnya ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn )
vn , notasi ini jarang dipakai
matriks baris, contohnya ~v = v1 v2
2
3
v1
6 v2 7
6
7
matriks kolom, contohnya ~v = 6 . 7
4 .. 5
vn
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
9 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Kesamaan Dua Vektor di Rn
De…nisi
Dua vektor ~u; ~v 2 Rn dengan ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn )
dikatakan sama jika
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
10 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Kesamaan Dua Vektor di Rn
De…nisi
Dua vektor ~u; ~v 2 Rn dengan ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn )
dikatakan sama jika
(u1 = v1 ) ^ (u2 = v2 ) ^
^ (un = vn ) .
Jika ~u dan ~v sama, kita dapat menuliskan ~u = ~v .
Catatan
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
10 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Kesamaan Dua Vektor di Rn
De…nisi
Dua vektor ~u; ~v 2 Rn dengan ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn )
dikatakan sama jika
(u1 = v1 ) ^ (u2 = v2 ) ^
^ (un = vn ) .
Jika ~u dan ~v sama, kita dapat menuliskan ~u = ~v .
Catatan
Kesamaan dua vektor di Rn juga dapat dipandang sebagai kesamaan dua matriks
kolom dengan n baris, atau kesamaan dua matriks baris dengan n kolom.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
10 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Operasi Vektor di Rn
Kita perlu mende…nisikan operasi pejumlahan dan perkalian skalar untuk vektor di
Rn .
De…nisi
Jika ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : vn ) adalah dua vektor di Rn dan
2 R, maka
~u + ~v
MZI (FIF Tel-U)
=
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
11 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Operasi Vektor di Rn
Kita perlu mende…nisikan operasi pejumlahan dan perkalian skalar untuk vektor di
Rn .
De…nisi
Jika ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : vn ) adalah dua vektor di Rn dan
2 R, maka
~u + ~v
=
(u1 + v1 ; u2 + v2 ; : : : ; un + vn )
~u =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
11 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Operasi Vektor di Rn
Kita perlu mende…nisikan operasi pejumlahan dan perkalian skalar untuk vektor di
Rn .
De…nisi
Jika ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : vn ) adalah dua vektor di Rn dan
2 R, maka
~u + ~v
=
~u =
(u1 + v1 ; u2 + v2 ; : : : ; un + vn )
( u1 ; u2 ; : : : ; un )
~u =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
11 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Operasi Vektor di Rn
Kita perlu mende…nisikan operasi pejumlahan dan perkalian skalar untuk vektor di
Rn .
De…nisi
Jika ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : vn ) adalah dua vektor di Rn dan
2 R, maka
~u + ~v
~u
MZI (FIF Tel-U)
=
(u1 + v1 ; u2 + v2 ; : : : ; un + vn )
~u =
( u1 ; u2 ; : : : ; un )
~u =
( u1 ; u2 ; : : : ; un )
~v
=
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
11 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Operasi Vektor di Rn
Kita perlu mende…nisikan operasi pejumlahan dan perkalian skalar untuk vektor di
Rn .
De…nisi
Jika ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : vn ) adalah dua vektor di Rn dan
2 R, maka
~u + ~v
~u
=
(u1 + v1 ; u2 + v2 ; : : : ; un + vn )
~u =
( u1 ; u2 ; : : : ; un )
~u =
( u1 ; u2 ; : : : ; un )
~v
= ~u + ( ~v ) = (u1
v1 ; u2
v2 ; : : : ; u n
vn )
De…nisi
Vektor ~0 di Rn dide…nisikan sebagai ~0 = (0; 0; : : : ; 0). Vektor ~0 di Rn juga dapat
dipandang sebagai suatu matriks kolom (matriks baris) yang seluruh entrinya 0.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
11 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Catatan
Penjumlahan dua vektor di Rn dapat dipandang sebagai penjumlahan dua matriks
kolom dengan n baris. Perkalian suatu vektor dengan suatu skalar di Rn juga
dapat dipandang sebagai perkalian suatu matriks kolom dengan n baris dan suatu
skalar di R.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
12 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Aritmetika Vektor di Rn
Teorema
Jika ~u; ~v ; w
~ 2 Rn dan ;
MZI (FIF Tel-U)
2 R, maka
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
13 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Aritmetika Vektor di Rn
Teorema
Jika ~u; ~v ; w
~ 2 Rn dan ;
1
2 R, maka
~u + ~v = ~v + ~u
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
13 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Aritmetika Vektor di Rn
Teorema
Jika ~u; ~v ; w
~ 2 Rn dan ;
2 R, maka
1
~u + ~v = ~v + ~u
2
(~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
13 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Aritmetika Vektor di Rn
Teorema
Jika ~u; ~v ; w
~ 2 Rn dan ;
2 R, maka
1
~u + ~v = ~v + ~u
2
(~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~
~
~
~u + 0 = 0 + ~u = ~u
3
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
13 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Aritmetika Vektor di Rn
Teorema
Jika ~u; ~v ; w
~ 2 Rn dan ;
2 R, maka
1
~u + ~v = ~v + ~u
2
(~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~
~
~
~u + 0 = 0 + ~u = ~u
3
4
~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
13 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Aritmetika Vektor di Rn
Teorema
Jika ~u; ~v ; w
~ 2 Rn dan ;
2 R, maka
1
~u + ~v = ~v + ~u
2
(~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~
~
~
~u + 0 = 0 + ~u = ~u
3
4
5
~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0
(~u + ~v ) = ~u + ~v
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
13 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Aritmetika Vektor di Rn
Teorema
Jika ~u; ~v ; w
~ 2 Rn dan ;
2 R, maka
1
~u + ~v = ~v + ~u
2
(~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~
~
~
~u + 0 = 0 + ~u = ~u
3
4
5
6
~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0
(~u + ~v ) = ~u + ~v
( + ) ~u = ~u + ~u
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
13 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Aritmetika Vektor di Rn
Teorema
Jika ~u; ~v ; w
~ 2 Rn dan ;
2 R, maka
1
~u + ~v = ~v + ~u
2
(~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~
~
~
~u + 0 = 0 + ~u = ~u
3
4
5
6
7
~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0
(~u + ~v ) = ~u + ~v
( + ) ~u = ~u + ~u
( ~u) = (
MZI (FIF Tel-U)
) ~u
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
13 / 38
Ruang Vektor Euclid Rn
Aritmetika Vektor di Rn
Teorema
Jika ~u; ~v ; w
~ 2 Rn dan ;
2 R, maka
1
~u + ~v = ~v + ~u
2
(~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~
~
~
~u + 0 = 0 + ~u = ~u
3
4
~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0
(~u + ~v ) = ~u + ~v
5
6
( + ) ~u = ~u + ~u
( ~u) = (
7
8
) ~u
1~u = ~u
Bukti
Cukup mudah. Tinjau ~u , ~v , dan w
~ sebagai suatu matriks kolom berukuran n 1.
Sifat-sifat yang dijelaskan pada teorema analog dengan sifat yang dimiliki matriks
kolom berukuran n 1.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
13 / 38
Vektor-vektor Basis Standar di Rn
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
Ruang Vektor Euclid Rn
3
Vektor-vektor Basis Standar di Rn
4
Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn
5
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
6
Beberapa Sifat-sifat Penting
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
14 / 38
Vektor-vektor Basis Standar di Rn
Vektor-vektor Basis Standar di Rn
Kita telah melihat bahwa ^{ = (1; 0) dan |^ = (0; 1) adalah vektor-vektor basis
standar di R2 , sedangkan ^{ = (1; 0; 0), |^ = (0; 1; 0), dan k^ = (0; 0; 1) adalah
vektor-vektor basis standar di R3 .
De…nisi
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
15 / 38
Vektor-vektor Basis Standar di Rn
Vektor-vektor Basis Standar di Rn
Kita telah melihat bahwa ^{ = (1; 0) dan |^ = (0; 1) adalah vektor-vektor basis
standar di R2 , sedangkan ^{ = (1; 0; 0), |^ = (0; 1; 0), dan k^ = (0; 0; 1) adalah
vektor-vektor basis standar di R3 .
De…nisi
Vektor-vektor basis standar di Rn adalah ~e1 ; ~e2 ; : : : ; ~en dengan
~ei =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
15 / 38
Vektor-vektor Basis Standar di Rn
Vektor-vektor Basis Standar di Rn
Kita telah melihat bahwa ^{ = (1; 0) dan |^ = (0; 1) adalah vektor-vektor basis
standar di R2 , sedangkan ^{ = (1; 0; 0), |^ = (0; 1; 0), dan k^ = (0; 0; 1) adalah
vektor-vektor basis standar di R3 .
De…nisi
Vektor-vektor basis standar di Rn adalah ~e1 ; ~e2 ; : : : ; ~en dengan
~ei =
0; : : : ; 0;
1
; 0; : : : ; 0 .
posisi ke-i
Jika ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn , maka kita memiliki sifat
~v
=
e1
1~
+
e2
2~
+
+
en
n~
,
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
15 / 38
Vektor-vektor Basis Standar di Rn
Vektor-vektor Basis Standar di Rn
Kita telah melihat bahwa ^{ = (1; 0) dan |^ = (0; 1) adalah vektor-vektor basis
standar di R2 , sedangkan ^{ = (1; 0; 0), |^ = (0; 1; 0), dan k^ = (0; 0; 1) adalah
vektor-vektor basis standar di R3 .
De…nisi
Vektor-vektor basis standar di Rn adalah ~e1 ; ~e2 ; : : : ; ~en dengan
~ei =
0; : : : ; 0;
1
; 0; : : : ; 0 .
posisi ke-i
Jika ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn , maka kita memiliki sifat
~v
=
,
MZI (FIF Tel-U)
e1
1~
(
1
+
e2
2~
+
= v1 ) ^ (
+
2
en
n~
= v2 ) ^
Ruang Vektor Rn
^(
n
= vn ) .
Oktober 2015
15 / 38
Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
Ruang Vektor Euclid Rn
3
Vektor-vektor Basis Standar di Rn
4
Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn
5
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
6
Beberapa Sifat-sifat Penting
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
16 / 38
Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn
Norm dari Vektor di Rn
Norm dari vektor di Rn merupakan perumuman dari norm vektor di R2 dan R3 .
De…nisi
Misalkan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn , norm Euclid atau panjang Euclid (Euclidean
norm/ Euclidean length) dari ~v dinotasikan dengan k~v k dan dide…nisikan sebagai
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
17 / 38
Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn
Norm dari Vektor di Rn
Norm dari vektor di Rn merupakan perumuman dari norm vektor di R2 dan R3 .
De…nisi
Misalkan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn , norm Euclid atau panjang Euclid (Euclidean
norm/ Euclidean length) dari ~v dinotasikan dengan k~v k dan dide…nisikan sebagai
q
k~v k = v12 + v22 +
+ vn2
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
17 / 38
Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn
Jarak Dua Titik (Vektor) di Rn
Jarak dari dua titik (vektor) di Rn merupakan perumuman dari jarak dua titik
(vektor) di R2 dan R3 .
De…nisi
Misalkan P1 (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) dan P2 (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) adalah dua titik di Rn . Jarak
!
dari P1 ke P2 tidak lain merupakan panjang dari vektor P1 P2 .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
18 / 38
Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn
Jarak Dua Titik (Vektor) di Rn
Jarak dari dua titik (vektor) di Rn merupakan perumuman dari jarak dua titik
(vektor) di R2 dan R3 .
De…nisi
Misalkan P1 (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) dan P2 (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) adalah dua titik di Rn . Jarak
!
dari P1 ke P2 tidak lain merupakan panjang dari vektor P1 P2 .
d (P1 ; P2 )
!
P1 P2
q
2
(y1 x1 ) + (y2
=
=
2
x2 ) +
+ (yn
2
xn ) .
Jika ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) adalah dua titik di Rn , maka
jarak dari ~u ke ~v (yang sama dengan jarak dari ~v ke ~u) adalah panjang dari vektor
~u ~v
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
18 / 38
Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn
Jarak Dua Titik (Vektor) di Rn
Jarak dari dua titik (vektor) di Rn merupakan perumuman dari jarak dua titik
(vektor) di R2 dan R3 .
De…nisi
Misalkan P1 (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) dan P2 (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) adalah dua titik di Rn . Jarak
!
dari P1 ke P2 tidak lain merupakan panjang dari vektor P1 P2 .
d (P1 ; P2 )
!
P1 P2
q
2
(y1 x1 ) + (y2
=
=
2
x2 ) +
+ (yn
2
xn ) .
Jika ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) adalah dua titik di Rn , maka
jarak dari ~u ke ~v (yang sama dengan jarak dari ~v ke ~u) adalah panjang dari vektor
~u ~v
d (~u; ~v )
MZI (FIF Tel-U)
= k~u ~v k
q
2
=
(v1 u1 ) + (v2
Ruang Vektor Rn
2
u2 ) +
+ (vn
2
un ) .
Oktober 2015
18 / 38
Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn
Vektor Satuan di Rn
De…nisi vektor satuan di Rn analog dengan de…nisi vektor satuan (unit vector ) di
R2 maupun R3 .
De…nisi
Suatu vektor ~u di Rn dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector ) apabila
k~uk = 1.
Teorema
Misalkan ~v adalah suatu vektor tak nol di Rn , maka
satuan yang searah dengan ~v .
1
v
k~
vk ~
adalah sebuah vektor
Bukti
Jelas bahwa
1
v
k~
vk ~
MZI (FIF Tel-U)
searah dengan ~v .
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
19 / 38
Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn
Vektor Satuan di Rn
De…nisi vektor satuan di Rn analog dengan de…nisi vektor satuan (unit vector ) di
R2 maupun R3 .
De…nisi
Suatu vektor ~u di Rn dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector ) apabila
k~uk = 1.
Teorema
Misalkan ~v adalah suatu vektor tak nol di Rn , maka
satuan yang searah dengan ~v .
1
v
k~
vk ~
adalah sebuah vektor
Bukti
Jelas bahwa
1
v
k~
vk ~
searah dengan ~v . Kemudian perhatikan bahwa
1
1
k~v k
~v =
k~v k =
= 1. (Q.E.D)
k~v k
k~v k
k~v k
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
19 / 38
Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn
Catatan
Untuk memperingkas, kita akan menulis
MZI (FIF Tel-U)
~
v
k~
vk
untuk menyatakan
Ruang Vektor Rn
1
v.
k~
vk ~
Oktober 2015
20 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
Ruang Vektor Euclid Rn
3
Vektor-vektor Basis Standar di Rn
4
Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn
5
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
6
Beberapa Sifat-sifat Penting
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
21 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Hasil Kali Titik di Rn
Hasil kali titik dua vektor di Rn merupakan perumuman dari hasil kali titik dua
vektor di R2 dan R3 .
De…nisi
Misalkan ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) adalah dua vektor di Rn ,
maka
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
22 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Hasil Kali Titik di Rn
Hasil kali titik dua vektor di Rn merupakan perumuman dari hasil kali titik dua
vektor di R2 dan R3 .
De…nisi
Misalkan ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) adalah dua vektor di Rn ,
maka
~u ~v = u1 v1 + u2 v2 +
+ un vn
Catatan
Hasil kali titik (dot product) di Rn selanjutnya juga akan dinamakan sebagai hasil
kali dalam Euclid (Euclidean inner product).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
22 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Sudut di Rn
Berbeda dengan sudut antara dua vektor di R2 maupun R3 yang memiliki
representasi geometris, sudut antara dua vektor di Rn untuk n 4 tidak memiliki
representasi geometris. Jadi kita perlu mende…nisikan sudut antara dua vektor di
Rn melalui de…nisi yang jelas dan tidak bertentangan dengan kaidah matematis
yang sudah ada sebelumnya. Ingat kembali bahwa jika adalah cosinus sudut
antara dua vektor, maka haruslah
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
23 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Sudut di Rn
Berbeda dengan sudut antara dua vektor di R2 maupun R3 yang memiliki
representasi geometris, sudut antara dua vektor di Rn untuk n 4 tidak memiliki
representasi geometris. Jadi kita perlu mende…nisikan sudut antara dua vektor di
Rn melalui de…nisi yang jelas dan tidak bertentangan dengan kaidah matematis
yang sudah ada sebelumnya. Ingat kembali bahwa jika adalah cosinus sudut
antara dua vektor, maka haruslah
1
MZI (FIF Tel-U)
cos
Ruang Vektor Rn
1.
Oktober 2015
23 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz di Rn
Jika ~u; ~v 2 Rn , maka
MZI (FIF Tel-U)
j~u ~v j
k~uk k~v k
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
24 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Bukti
Misalkan t 2 R, tinjau bahwa
0
MZI (FIF Tel-U)
2
kt~u + ~v k (norm selalu tak negatif)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
25 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Bukti
Misalkan t 2 R, tinjau bahwa
2
0
=
MZI (FIF Tel-U)
kt~u + ~v k (norm selalu tak negatif)
(t~u + ~v ) (t~u + ~v ) =
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
25 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Bukti
Misalkan t 2 R, tinjau bahwa
2
0
=
kt~u + ~v k (norm selalu tak negatif)
2
2
(t~u + ~v ) (t~u + ~v ) = k~uk t2 + 2 (~u ~v ) t + k~v k
(1)
Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat
f (x) = ax2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
25 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Bukti
Misalkan t 2 R, tinjau bahwa
2
0
=
kt~u + ~v k (norm selalu tak negatif)
2
2
(t~u + ~v ) (t~u + ~v ) = k~uk t2 + 2 (~u ~v ) t + k~v k
(1)
Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat
f (x) = ax2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong
sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
25 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Bukti
Misalkan t 2 R, tinjau bahwa
2
0
=
kt~u + ~v k (norm selalu tak negatif)
2
2
(t~u + ~v ) (t~u + ~v ) = k~uk t2 + 2 (~u ~v ) t + k~v k
(1)
Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat
f (x) = ax2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong
sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x. Akibatnya
nilai dari disriminannya, yaitu D = b2 4ac, selalu non positif. Pertidaksamaan
(1) memberikan
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
25 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Bukti
Misalkan t 2 R, tinjau bahwa
2
0
=
kt~u + ~v k (norm selalu tak negatif)
2
2
(t~u + ~v ) (t~u + ~v ) = k~uk t2 + 2 (~u ~v ) t + k~v k
(1)
Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat
f (x) = ax2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong
sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x. Akibatnya
nilai dari disriminannya, yaitu D = b2 4ac, selalu non positif. Pertidaksamaan
(1) memberikan
2
4 (~u ~v )
MZI (FIF Tel-U)
2
2
4 k~uk k~v k
0, atau
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
25 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Bukti
Misalkan t 2 R, tinjau bahwa
2
0
=
kt~u + ~v k (norm selalu tak negatif)
2
2
(t~u + ~v ) (t~u + ~v ) = k~uk t2 + 2 (~u ~v ) t + k~v k
(1)
Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat
f (x) = ax2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong
sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x. Akibatnya
nilai dari disriminannya, yaitu D = b2 4ac, selalu non positif. Pertidaksamaan
(1) memberikan
2
4 (~u ~v )
2
2
0, atau
2
(k~uk k~v k)
4 k~uk k~v k
(~u ~v )
j~u ~v j
MZI (FIF Tel-U)
2
k~uk k~v k , karena k~uk ; k~v k
Ruang Vektor Rn
0 (Q.E.D).
Oktober 2015
25 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Sudut antara Dua Vektor Tak Nol di Rn
Teorema
Jika ~u; ~v 2 Rn adalah dua vektor tak nol, maka maka
1
~u ~v
k~uk k~v k
1
Bukti
Dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita memiliki j~u ~v j
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
k~uk k~v k, yang berarti
Oktober 2015
26 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Sudut antara Dua Vektor Tak Nol di Rn
Teorema
Jika ~u; ~v 2 Rn adalah dua vektor tak nol, maka maka
~u ~v
k~uk k~v k
1
1
Bukti
Dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita memiliki j~u ~v j
k~uk k~v k
~u ~v
k~uk k~v k, yang berarti
k~uk k~v k .
(2)
Jika ~u dan ~v keduanya tak nol, maka k~uk k~v k > 0, akibatnya membagi
ketaksamaan (2) dengan k~uk k~v k memberikan
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
26 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Sudut antara Dua Vektor Tak Nol di Rn
Teorema
Jika ~u; ~v 2 Rn adalah dua vektor tak nol, maka maka
~u ~v
k~uk k~v k
1
1
Bukti
Dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita memiliki j~u ~v j
k~uk k~v k
k~uk k~v k, yang berarti
k~uk k~v k .
~u ~v
(2)
Jika ~u dan ~v keduanya tak nol, maka k~uk k~v k > 0, akibatnya membagi
ketaksamaan (2) dengan k~uk k~v k memberikan
1
MZI (FIF Tel-U)
~u ~v
k~uk k~v k
1. (Q.E.D)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
26 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
De…nisi (Sudut antara dua vektor tak nol di Rn )
Jika ~u; ~v 2 Rn adalah dua vektor tak nol, maka cosinus sudut
dide…nisikan sebagai
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
antara ~u dan ~v
Oktober 2015
27 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
De…nisi (Sudut antara dua vektor tak nol di Rn )
Jika ~u; ~v 2 Rn adalah dua vektor tak nol, maka cosinus sudut
dide…nisikan sebagai
~u ~v
cos =
.
k~uk k~v k
Akibatnya, jika
MZI (FIF Tel-U)
antara ~u dan ~v
adalah sudut antara dua vektor tak nol ~u; ~v 2 Rn , maka
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
27 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
De…nisi (Sudut antara dua vektor tak nol di Rn )
Jika ~u; ~v 2 Rn adalah dua vektor tak nol, maka cosinus sudut
dide…nisikan sebagai
~u ~v
cos =
.
k~uk k~v k
Akibatnya, jika
antara ~u dan ~v
adalah sudut antara dua vektor tak nol ~u; ~v 2 Rn , maka
= arccos
~u ~v
k~uk k~v k
.
Catatan
De…nisi di atas juga sesuai dengan kondisi di R2 dan R3 , yaitu
~u ~v = k~uk k~v k cos .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
27 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Catatan
Kita tidak mende…nisikan sudut antara sebuah vektor dengan vektor nol. Hal ini
terjadi karena vektor nol merupakan vektor yang “tidak memiliki arah yang jelas”.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
28 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Latihan 1: Sudut Vektor di Rn
Latihan
Tentukan nilai terkecil untuk
jika
adalah sudut antara vektor
1
~u = (1; 1; 0; 0) dan ~v = (0; 1; 0; 1).
2
~u = (1; 0; 1; 0) dan ~v = (0; 1; 0; 1).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
29 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Solusi: karena kita memiliki ~u ~v = k~uk k~v k cos , dengan
~
v
vektor tak nol ~u dan ~v , maka cos = k~u~ukk~
vk .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
adalah sudut antara
Oktober 2015
30 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Solusi: karena kita memiliki ~u ~v = k~uk k~v k cos , dengan adalah sudut antara
~
v
vektor tak nol ~u dan ~v , maka cos = k~u~ukk~
vk .
p
p
1
Kita memiliki k~uk = k(1; 1; 0; 0)k = 2, k~v k = k(0; 1; 0; 1)k = 2,
~u ~v = (1; 1; 0; 0) (0; 1; 0; 1) = 1, akibatnya
cos
MZI (FIF Tel-U)
=
~u ~v
=
k~uk k~v k
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
30 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Solusi: karena kita memiliki ~u ~v = k~uk k~v k cos , dengan adalah sudut antara
~
v
vektor tak nol ~u dan ~v , maka cos = k~u~ukk~
vk .
p
p
1
Kita memiliki k~uk = k(1; 1; 0; 0)k = 2, k~v k = k(0; 1; 0; 1)k = 2,
~u ~v = (1; 1; 0; 0) (0; 1; 0; 1) = 1, akibatnya
cos
=
1
~u ~v
p =
= p
k~uk k~v k
2
2
1
2
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
30 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Solusi: karena kita memiliki ~u ~v = k~uk k~v k cos , dengan adalah sudut antara
~
v
vektor tak nol ~u dan ~v , maka cos = k~u~ukk~
vk .
p
p
1
Kita memiliki k~uk = k(1; 1; 0; 0)k = 2, k~v k = k(0; 1; 0; 1)k = 2,
~u ~v = (1; 1; 0; 0) (0; 1; 0; 1) = 1, akibatnya
cos
MZI (FIF Tel-U)
=
1
~u ~v
p =
= p
k~uk k~v k
2
2
=
arccos
1
2
Ruang Vektor Rn
=
1
2
2
rad = 120 .
3
Oktober 2015
30 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Solusi: karena kita memiliki ~u ~v = k~uk k~v k cos , dengan adalah sudut antara
~
v
vektor tak nol ~u dan ~v , maka cos = k~u~ukk~
vk .
p
p
1
Kita memiliki k~uk = k(1; 1; 0; 0)k = 2, k~v k = k(0; 1; 0; 1)k = 2,
~u ~v = (1; 1; 0; 0) (0; 1; 0; 1) = 1, akibatnya
cos
2
=
1
~u ~v
p =
= p
k~uk k~v k
2
2
=
arccos
1
2
=
1
2
2
rad = 120 .
3
p
p
Kita memiliki k~uk = k(1; 0; 1; 0)k = 2, k~v k = k(0; 1; 0; 1)k = 2,
~u ~v = (1; 0; 1; 0) (0; 1; 0; 1) = 0, akibatnya
cos
MZI (FIF Tel-U)
=
~u ~v
=
k~uk k~v k
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
30 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Solusi: karena kita memiliki ~u ~v = k~uk k~v k cos , dengan adalah sudut antara
~
v
vektor tak nol ~u dan ~v , maka cos = k~u~ukk~
vk .
p
p
1
Kita memiliki k~uk = k(1; 1; 0; 0)k = 2, k~v k = k(0; 1; 0; 1)k = 2,
~u ~v = (1; 1; 0; 0) (0; 1; 0; 1) = 1, akibatnya
cos
2
=
1
~u ~v
p =
= p
k~uk k~v k
2
2
=
arccos
1
2
=
1
2
2
rad = 120 .
3
p
p
Kita memiliki k~uk = k(1; 0; 1; 0)k = 2, k~v k = k(0; 1; 0; 1)k = 2,
~u ~v = (1; 0; 1; 0) (0; 1; 0; 1) = 0, akibatnya
cos
=
~u ~v
0
p =0
= p
k~uk k~v k
2
2
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
30 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Solusi: karena kita memiliki ~u ~v = k~uk k~v k cos , dengan adalah sudut antara
~
v
vektor tak nol ~u dan ~v , maka cos = k~u~ukk~
vk .
p
p
1
Kita memiliki k~uk = k(1; 1; 0; 0)k = 2, k~v k = k(0; 1; 0; 1)k = 2,
~u ~v = (1; 1; 0; 0) (0; 1; 0; 1) = 1, akibatnya
cos
2
=
1
~u ~v
p =
= p
k~uk k~v k
2
2
=
arccos
1
2
=
1
2
2
rad = 120 .
3
p
p
Kita memiliki k~uk = k(1; 0; 1; 0)k = 2, k~v k = k(0; 1; 0; 1)k = 2,
~u ~v = (1; 0; 1; 0) (0; 1; 0; 1) = 0, akibatnya
cos
MZI (FIF Tel-U)
=
~u ~v
0
p =0
= p
k~uk k~v k
2
2
=
arccos (0) =
Ruang Vektor Rn
2
rad = 90 .
Oktober 2015
30 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Hasil Kali Titik Dua Vektor dan Perkalian Matriks
Misalkan
2 u 3dan v adalah
2 dua3vektor yang dinyatakan sebagai matriks kolom,
u1
v1
6 u2 7
6 v2 7
6
7
6
7
u = 6 . 7 dan v = 6 . 7. Bila matriks 1 1 dipandang sebagai bilangan
.
.
4 . 5
4 . 5
un
vn
real (tanda kurung “[ ]” diabaikan), maka kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
31 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Hasil Kali Titik Dua Vektor dan Perkalian Matriks
Misalkan
2 u 3dan v adalah
2 dua3vektor yang dinyatakan sebagai matriks kolom,
u1
v1
6 u2 7
6 v2 7
6
7
6
7
u = 6 . 7 dan v = 6 . 7. Bila matriks 1 1 dipandang sebagai bilangan
.
.
4 . 5
4 . 5
un
vn
real (tanda kurung “[ ]” diabaikan), maka kita memiliki
2
3
v1
6 v2 7
6
7
un 6 . 7 = u1 v1 + u2 v2 +
uT v = u1 u2
+ un vn = u v.
.
4 . 5
vn
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
31 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Hasil Kali Titik dan Norm
Teorema
2
6
6
Jika ~v = 6
4
v1
v2
..
.
vn
3
7
7
7 2 Rn , maka
5
MZI (FIF Tel-U)
2
k~v k = ~v ~v = ~v T ~v .
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
32 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Bukti
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
33 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Bukti
Tinjau bahwa
2
k~v k
MZI (FIF Tel-U)
=
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
33 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Bukti
Tinjau bahwa
2
k~v k
MZI (FIF Tel-U)
=
v12 + v22 +
+ vn2
=
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
33 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Bukti
Tinjau bahwa
2
k~v k
=
v12 + v22 +
+ vn2
=
(v1 ; v2 ; : : : ; vn ) (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) = ~v ~v
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
33 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Bukti
Tinjau bahwa
2
k~v k
=
v12 + v22 +
=
(v1 ; v2 ; : : : ; vn ) (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) = ~v ~v
2
3
v1
6 v2 7
6
7
v1 v2
vn 6 . 7 = ~v T ~v (Q.E.D)
4 .. 5
vn
=
MZI (FIF Tel-U)
+ vn2
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
33 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Keortogonalan di Rn
Ingat kembali bahwa pada R2 maupun R3 , dua vektor ~u dan ~v dikatakan
ortogonal bila ~u ~v = 0.
De…nisi
Dua vektor ~u; ~v 2 Rn dikatakan ortogonal bila ~u ~v = 0.
Teorema (Teorema Phytagoras di Rn )
Jika ~u; ~v 2 Rn saling ortogonal, maka
2
2
2
k~u + ~v k = k~uk + k~v k
Bukti
Tinjau bahwa
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
34 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Keortogonalan di Rn
Ingat kembali bahwa pada R2 maupun R3 , dua vektor ~u dan ~v dikatakan
ortogonal bila ~u ~v = 0.
De…nisi
Dua vektor ~u; ~v 2 Rn dikatakan ortogonal bila ~u ~v = 0.
Teorema (Teorema Phytagoras di Rn )
Jika ~u; ~v 2 Rn saling ortogonal, maka
2
2
2
k~u + ~v k = k~uk + k~v k
Bukti
Tinjau bahwa
k~u + ~v k
MZI (FIF Tel-U)
2
=
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
34 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Keortogonalan di Rn
Ingat kembali bahwa pada R2 maupun R3 , dua vektor ~u dan ~v dikatakan
ortogonal bila ~u ~v = 0.
De…nisi
Dua vektor ~u; ~v 2 Rn dikatakan ortogonal bila ~u ~v = 0.
Teorema (Teorema Phytagoras di Rn )
Jika ~u; ~v 2 Rn saling ortogonal, maka
2
2
2
k~u + ~v k = k~uk + k~v k
Bukti
Tinjau bahwa
k~u + ~v k
MZI (FIF Tel-U)
2
=
(~u + ~v ) (~u + ~v )
=
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
34 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Keortogonalan di Rn
Ingat kembali bahwa pada R2 maupun R3 , dua vektor ~u dan ~v dikatakan
ortogonal bila ~u ~v = 0.
De…nisi
Dua vektor ~u; ~v 2 Rn dikatakan ortogonal bila ~u ~v = 0.
Teorema (Teorema Phytagoras di Rn )
Jika ~u; ~v 2 Rn saling ortogonal, maka
2
2
2
k~u + ~v k = k~uk + k~v k
Bukti
Tinjau bahwa
k~u + ~v k
2
=
(~u + ~v ) (~u + ~v )
=
k~uk + 2 (~u ~v ) + k~v k
=
MZI (FIF Tel-U)
2
2
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
34 / 38
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
Keortogonalan di Rn
Ingat kembali bahwa pada R2 maupun R3 , dua vektor ~u dan ~v dikatakan
ortogonal bila ~u ~v = 0.
De…nisi
Dua vektor ~u; ~v 2 Rn dikatakan ortogonal bila ~u ~v = 0.
Teorema (Teorema Phytagoras di Rn )
Jika ~u; ~v 2 Rn saling ortogonal, maka
2
2
2
k~u + ~v k = k~uk + k~v k
Bukti
Tinjau bahwa
k~u + ~v k
2
=
(~u + ~v ) (~u + ~v )
=
k~uk + 2 (~u ~v ) + k~v k
=
MZI (FIF Tel-U)
2
2
2
2
k~uk + k~v k (karena ~u ~v = 0). (Q.E.D)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
34 / 38
Beberapa Sifat-sifat Penting
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
Ruang Vektor Euclid Rn
3
Vektor-vektor Basis Standar di Rn
4
Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn
5
Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn
6
Beberapa Sifat-sifat Penting
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
35 / 38
Beberapa Sifat-sifat Penting
Beberapa Sifat Terkait Norm
Teorema
Jika ~v 2 Rn dan
1
2
3
4
k~v k
2 R, maka
0
k~v k = 0 jika dan hanya jika ~v = ~0.
k ~v k = j j k~v k.
k~u + ~v k
k~uk + k~v k (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality untuk norm)
Bukti untuk sifat nomor 1–3 analog dengan bukti untuk vektor di R2 yang sudah
kita buktikan di slide sebelumnya.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
36 / 38
Beberapa Sifat-sifat Penting
Bukti (Bukti sifat 4)
Tinjau bahwa
2
k~u + ~v k
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
37 / 38
Beberapa Sifat-sifat Penting
Bukti (Bukti sifat 4)
Tinjau bahwa
2
k~u + ~v k
=
(~u + ~v ) (~u + ~v )
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
37 / 38
Beberapa Sifat-sifat Penting
Bukti (Bukti sifat 4)
Tinjau bahwa
2
k~u + ~v k
=
(~u + ~v ) (~u + ~v )
=
k~uk + 2 (~u ~v ) + k~v k
MZI (FIF Tel-U)
2
2
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
37 / 38
Beberapa Sifat-sifat Penting
Bukti (Bukti sifat 4)
Tinjau bahwa
2
k~u + ~v k
=
(~u + ~v ) (~u + ~v )
=
k~uk + 2 (~u ~v ) + k~v k
2
2
2
2
k~uk + 2 j~u ~v j + k~v k (sifat nilai mutlak)
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
37 / 38
Beberapa Sifat-sifat Penting
Bukti (Bukti sifat 4)
Tinjau bahwa
2
k~u + ~v k
=
(~u + ~v ) (~u + ~v )
=
k~uk + 2 (~u ~v ) + k~v k
2
2
2
2
k~uk + 2 j~u ~v j + k~v k (sifat nilai mutlak)
2
=
MZI (FIF Tel-U)
2
k~uk + 2 k~uk k~v k + k~v k (ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
Ruang Vektor Rn
Oktober 2015
37 / 38
Beberapa Sifat-sifat Penting
Bukti (Bukti sifat 4)
Tinjau bahwa
2
k~u + ~v k
=
(~u + ~v ) (~u + ~v )
=
k~uk + 2 (~u ~v ) + k~v k
2
2
2
2
k~uk + 2 j~u ~v j + k~v k (sifat nilai mutlak)
2
=
k~u + ~v k
MZI (FIF Tel-U)
2
k~uk + 2 k~uk k~v k + k~v k (ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
2
(k~uk + k~v k) Jadi
k~uk + k~v k (karena k~u + ~v k
Ruang Vektor Rn
0). (Q.E.D)
Oktober 2015
37 / 38
Beberapa Sifat Terkait Jarak
Teorema
Jika ~u; ~v ; w
~ 2 Rn , dan d (~u; ~v ) menyatakan jarak dari ~u ke ~v , maka
1
2
d (~u; ~v ) 0
d (~u; ~v ) = 0 jika dan hanya jika ~u = ~v
3
d (~u; ~v ) = d (~v ; ~u)
4
d (~u; ~v ) d (~u; w)
~ + d (w;
~ ~v ) (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality
untuk jarak)
Bukti untuk sifat nomor 1–3 analog dengan bukti untuk norm pada teorema
sebelumnya.
Bukti (Bukti sifat 4)
Tinjau bahwa
d (~u; ~v )
=
Beberapa Sifat Terkait Jarak
Teorema
Jika ~u; ~v ; w
~ 2 Rn , dan d (~u; ~v ) menyatakan jarak dari ~u ke ~v , maka
1
2
d (~u; ~v ) 0
d (~u; ~v ) = 0 jika dan hanya jika ~u = ~v
3
d (~u; ~v ) = d (~v ; ~u)
4
d (~u; ~v ) d (~u; w)
~ + d (w;
~ ~v ) (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality
untuk jarak)
Bukti untuk sifat nomor 1–3 analog dengan bukti untuk norm pada teorema
sebelumnya.
Bukti (Bukti sifat 4)
Tinjau bahwa
d (~u; ~v )
=
k~u
~v k =
Beberapa Sifat Terkait Jarak
Teorema
Jika ~u; ~v ; w
~ 2 Rn , dan d (~u; ~v ) menyatakan jarak dari ~u ke ~v , maka
1
2
d (~u; ~v ) 0
d (~u; ~v ) = 0 jika dan hanya jika ~u = ~v
3
d (~u; ~v ) = d (~v ; ~u)
4
d (~u; ~v ) d (~u; w)
~ + d (w;
~ ~v ) (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality
untuk jarak)
Bukti untuk sifat nomor 1–3 analog dengan bukti untuk norm pada teorema
sebelumnya.
Bukti (Bukti sifat 4)
Tinjau bahwa
d (~u; ~v )
=
k~u
~v k = k~u
w
~ +w
~
~v k
Beberapa Sifat Terkait Jarak
Teorema
Jika ~u; ~v ; w
~ 2 Rn , dan d (~u; ~v ) menyatakan jarak dari ~u ke ~v , maka
1
2
d (~u; ~v ) 0
d (~u; ~v ) = 0 jika dan hanya jika ~u = ~v
3
d (~u; ~v ) = d (~v ; ~u)
4
d (~u; ~v ) d (~u; w)
~ + d (w;
~ ~v ) (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality
untuk jarak)
Bukti untuk sifat nomor 1–3 analog dengan bukti untuk norm pada teorema
sebelumnya.
Bukti (Bukti sifat 4)
Tinjau bahwa
d (~u; ~v )
=
=
k~u
k~u
~v k = k~u
wk
~ + kw
~
w
~ +w
~ ~v k
~v k (ketaksamaan segitiga untuk norm)
Beberapa Sifat Terkait Jarak
Teorema
Jika ~u; ~v ; w
~ 2 Rn , dan d (~u; ~v ) menyatakan jarak dari ~u ke ~v , maka
1
2
d (~u; ~v ) 0
d (~u; ~v ) = 0 jika dan hanya jika ~u = ~v
3
d (~u; ~v ) = d (~v ; ~u)
4
d (~u; ~v ) d (~u; w)
~ + d (w;
~ ~v ) (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality
untuk jarak)
Bukti untuk sifat nomor 1–3 analog dengan bukti untuk norm pada teorema
sebelumnya.
Bukti (Bukti sifat 4)
Tinjau bahwa
d (~u; ~v )
=
=
k~u
k~u
~v k = k~u
wk
~ + kw
~
w
~ +w
~ ~v k
~v k (ketaksamaan segitiga untuk norm)
d (~u; w)
~ + d (w;
~ ~v ) (Q.E.D)