Persamaan Maxwell & Gelombang EM 10/23/2019 Hand Out Fisika II 1 Pendahuluan • bab terdahulu, kita melihat bahwa dua gejala alam magnetisme dan kelistrikan yang semula dianggap tidak berkaitan ternyata sesungguhnya sangat berkaitan erat. • Contoh : Sebuah kawat berarus memiliki medan magnet di sekitarnya, demikian juga sebaliknya bahwa perubahan fluks magnetik akan menghasilkan arus 10/23/2019 Hand Outlistrik. Fisika II 2 Pendahuluan (Contd.) • tahun 1860-an seorang Fisikawan Skotlandia James Clerk Maxwell menyusun 4 persamaan -yang sesungguhnya bentuk dasarnya telah dirumuskan sebelumnya oleh Ampere, Henry, Faraday, Biot-Savart, Lenz dll, menjadi seperangkat persamaan utama dalam Elektromagnetisme. 10/23/2019 Hand Out Fisika II 3 Pendahuluan (Contd.) Keempat persamaan matematis tersebut meliputi pernyataan bahwa: • muatan listrik menghasilkan medan listrik (Hukum Gauss medan listrik) • medan magnet tidak memiliki sumber monopol seperti halnya muatan pada listrik (Hukum Gauss medan magnet) • perubahan medan magnet menghasilkan listrik (Hukum Faraday) • Perubahan medan listrik dan arus listrik menghasilkan medan magnet (Modifikasi 10/23/2019 Hand Out Fisika II hukum Ampere) 4 Pendahuluan (Contd.) • Persamaan Maxwell seringkali ditampilkan dalam dua bentuk berbeda, yakni dalam bentuk integral dan bentuk diferensial. • Dalam ungkapan matematis keempat persamaan Maxwell ini berhubungan dengan operator-operator kalkulus seperti integral tertutup untuk bentuk integral, dan operator yang berhubungan dengn simbol del/nabla 10/23/2019 Hand Out Fisika II 5 untuk bentuk diferensial. Pendahuluan (Contd.) • Persamaan Maxwell seringkali ditampilkan dalam dua bentuk berbeda, yakni dalam bentuk integral dan bentuk diferensial. • Dalam ungkapan matematis keempat persamaan Maxwell ini berhubungan dengan operator-operator kalkulus seperti integral tertutup untuk bentuk integral, dan operator yang berhubungan dengn simbol del/nabla 10/23/2019 Hand Out Fisika II 6 untuk bentuk diferensial. Pendahuluan (Contd.) Kelistrikan & Magnetisme Muatan Listrik Elemen Rangkaian Medan Gelombang Listrik Listrik Magnet Elektromagnetik Hukum Resistor Coulomb Rangkaian Paralel & Seri Resistor Hukum Biot-Savart Persamaan Maxwell Kapasitor Medan Listrik Induktor Hukum Hukum Ohm Lorentz Hukum Hukum Kirchof Faraday Rangkaian RC Hukum Hukum Gauss Solenoida Ampere Rangkaian RL Hukum 10/23/2019 Hand Out Fisika II Lenz 7 Persamaan Maxwell • Ada dua jenis medan, yakni medan listrik E dan medan magnetik B. • Jika suatu muatan q yang bergerak dengan kecepatan v berada dalam pengaruh medan listrik dan magnet, maka menurut hukum Coulomb, muatan q akan mengalami gaya : F qE • Sedangkan medan magnet akan memberikan gaya Lorentz sebesar :F q( vxB) • dengan demikian muatan akan mengalami 10/23/2019 Hand:Out Fisika II 8 gaya total sebesar F q(E vxB) Persamaan Maxwell (Contd.) • Persamaan Maxwell meliputi : 1. Hukum Gauss pada medan listrik Q in S E dA o 2. Hukum Gauss pada medan magnetik : 3. Hukum Faraday : d L E dl dt S B dA 4. Hukum Ampere : 10/23/2019 B dA 0 S d L B dl o I o o dt S E dA Hand Out Fisika II 9 Persamaan Maxwell I : Hukum Gauss pada medan listrik E Permukaan Gauss A E 10/23/2019 Muatan Listrik Qin Hand Out Fisika II Medan Listrik E yang menembus permukaan Gauss 10 Persamaan Maxwell I : Hukum Gauss pada medan listrik (Contd.) • Inti dari persamaan Gauss adalah bahwa untuk mengetahui seberapa besar muatan yang ada dari sebuah muatan maka yang dilakukan adalah dengan melingkupi muatan tersebut dengan sebuah permukaan imajiner (yang disebut permukaan Gauss), kemudian kita hitung berapa fluks listrik yang menembus keluar dari permukaan tersebut. Dengan menjumlahkan seluruh fluks yang menembus keluar dari permukaan Gauss kita akan memperoleh besarnya muatan yang terkandung. 10/23/2019 Hand Out Fisika II 11 S Qin E dA o Total muatan yang dilingkupi permukaan Gauss Mengintegrasi (menjumlah) fluks medan listrik yang menembus permukaan A 10/23/2019 Hand Out Fisika II 12 Persamaan Maxwell II : Hukum Gauss pada medan listrik Medan Magnet B yang menemus masuk permukaan Gauss Permukaan Gauss A 10/23/2019 Medan Magnet B yang menemus keluar permukaan Gauss Hand Out Fisika II 13 S B dA 0 Mengintegrasi (menjumlah) fluks medan magnet B yang menembus keluar dan masuk permukaan A 10/23/2019 Total muatan yang dilingkupi permukaan Gauss Hand Out Fisika II 14 Persamaan Maxwell III : Hukum Faraday • telah dijelaskan penemuan Faraday B tentang perubahan L fluks magnetik terhadap waktu akan menimbulkan arus listrik (akibat beda potensial), atau secara sederhana dituliskan ungkapan matematis d 10/23/2019 15 ε i Hand Out Fisika II berikut : dt Persamaan Maxwell III : Hukum Faraday (Contd.) BA B d(B A ) εi dt d L E dl dt S B dA 10/23/2019 Hand Out Fisika II 16 Persamaan Maxwell IV : Modifikasi Hukum Ampere • kita telah membahas hukum Biot-Savart yang menyatakan bahwa di sekitar kawat yang dialiri arus listrik akan timbul medan magnet. Jika kita hitung medan magnet B sejauh r dari kawat yang dialiri arus sebesar I, maka secara matematis hal ini dituliskan dalam persamaan 2 dalam bab 6 : μ o dl x rˆ B(P) 10/23/2019 Hand Out Fisika II 4π I r2 17 dB r I L 10/23/2019 Hand Out Fisika II 18 + B dl o (I I d ) L B dl o I o o L + A2 d E dA dt S - I A1 10/23/2019 - Harus ada suatu suku tambahan pada ruas kanan dari hukum Ampere yang merupakan ”arus tambahan” selain arus konvensional (arus konduksi), Maxwell menamakan suku tambahan ini sebagai ”arus perpindahan” (Displacement Hand Out Fisika II 19 Current) Id. Gelombang Elektromagnetik Sampai saat ini, kita telah melihat penjelasan dari empat persamaan Maxwell. Sebagaimana telah disebutkan sebelumnya persamaan Maxwell adalah persamaan yang paling penting dalam elektromagnetisme. Hal penting lain dari persamaan Maxwell yang bisa kita peroleh adalah, prediksinya tentang keberadaan suatu gelombang yang dinamakan gelombang elektromagnetik (EM). Gelombang elektromagnetik saat ini sudah sangat dikenal dan bahkan aplikasinya banyak digunakan untuk membantu kehidupan manusia seperti dalam komunikasi radio, televisi, pengiriman informasi, antena, radar dll. Namun pada saat itu konsep gelombang elektromagnetik ini belumlah dikenal dan baru sebatas konsep matematik saja. Dari persamaan gelombang EM, Maxwell juga dapat memprediksi kecepatan gelombang EM sebesar : 1 v oo 10/23/2019 Hand Out Fisika II 20 Dalam gelombang EM, gangguan (osilasi) terjadi pada medan E dan B 10/23/2019 Hand Out Fisika II 21 Persamaan umum gelombang y 1 y 2 2 2 x v t 2 2 • Untuk memperoleh persamaan umum gelombang sebagaimana bentuk di atas kita harus menghubungkan turunan kedua E terhadap waktu (t) dengan turunan kedua E terhadap ruang (x). 10/23/2019 Hand Out Fisika II 22 L2 y dx Loop L yang terdiri dari L1, L2 L3 dan L4 yang di dalamnya terdapat medan listrik arah y L3 L1 E(x1) dy E(x2) x x1 x2 z L4 E dl E L 1 E L 2 E L 3 E L 4 • L E L cos 0 o E L cos(90o ) E L cos(90o ) E L cos(180o ) 1 2 E(x 1 ) dy E(x 2 ) dy E(x 1 ) - E(x 2 ) dy 10/23/2019 3 4 jika….. E(x1 ) - E(x2 ) dy dE dy Hand Out Fisika II 23 Loop L yang terdiri dari L1, L2, L3 dan L4 yang di dalamnya terdapat medan magnet arah z y dx A=dydx A d d B d A BA cos 0 o dt S dt dy B x x1 x2 dE dy z d d BA B dy dx dt dt d B dy dx dt dE dB dx dt Dengan cara yang sama seperti di atas, persamaan keempat Maxwell : B dl d E dA L dB dE o o dx dt d2E d dB dx 2 dt dx o o dt S d2E d2B o o 2 dx 2 dt v 1 oo v 1 1 oo (1,256637 x10 6 N /A 2 )( 8,854x10 12 C 2 / Nm 2 ) 2 ,997 x10 8 m / s Dengan demikian cahaya (tampak), gelombang radio, gelombang mikro (microwave) gelombang Ultra Violet (UV), gelombang Infra Merah (IR) dll tidak lain merupakan salah satu jenis gelombang EM yang panjang gelombang (wavelength) atau c frekuensinya berbeda-beda sesuai dengan hubungan : f Panjang Gelombang (m) Cahaya Tampak Panjang Gelombang (nm) Perbedaan panjang gelombang ini sangat penting dalam perbedaan karakteristik gelombang EM. • Cahaya tampak adalah cahaya yang kita lihat oleh mata telanjang memiliki rentang frekuensi 400 nm hingga 700 nm, sedikit lebih besar dari 700 nm • gelombang EM disebut infra merah dan lebih kecil dari 400 disebut ultra-ungu (ultraviolet). Lebih kecil dari UV kita peroleh sinar-X yang memiliki panjang gelombang sangat kecil sehingga dapat menembus banyak bahan dan benda. • Di atas gelombang infra merah kita dapatkan gelombang mikro (microwave) yang panjang gelombangnya dalam orde sentimeter dan frekuensinya tidak jauh berbeda dengan frekuensi alami dari air. Sehingga gelombang mikro dipakai untuk memanaskan makanan dalam pemanas mikrowave untuk menghilangkan kandungan airnya hingga makanan menjadi 26 matang. Soal Latihan • Uraikan keempat persamaan Maxwell secara fisis • Jelaskan kontribusi Maxwell dalam persamaan Maxwell • Hitunglah panjang gelombang dari frekuenasi radio berikut : – AM dengan frekunsi 1 MHz – FM dengan frekuensi 100 MHz • Hitunglah panjang gelombang sebuah pemanggang microwave dengan frekuensi 2,5 GHz • Apakah yang dimaksud dengan ”arus perpindahan” ? • Apakah gelombang listrik dan magnet selalu sefase dalam gelombang elektromagnetik ? Pada kasus apakah keduanya tidak sefase. Contoh : 1. Berapa fluks magnet yang menembus permukaan seluas 2 m2 dari sebuah medan homogen sebesar 5 Tesla jika a. Medan magnet menembus tegak lurus permukaan b. Medan magnet sejajar permukaan tersebut c. Medan magnet membentuk sudut 60o terhadap Jawab : vektor permukaan. Vektor permukaan tegak lurus terhadap permukaannya. a. Sudut yang dibentuk oleh vektor medan dengan vektor permukaan adalah 0o A B 10/23/2019 Hand Out Fisika II 28 sehingga B dA cos B dA cos 0 = 5. A = 5. 2 5. dA .1 =A 5 dA = 10 Weber b. Sudut yang dibentuk oleh vektor permukaan dengan vektor medan adalah 90o A B 10/23/2019 Hand Out Fisika II 29 sehingga B dA cos B dA cos 90 5. dA .0 =0W c. Vektor medan membentuk sudut 60o terhadap vektor permukaan. 60o B A 10/23/2019 Hand Out Fisika II 30 sehingga B dA cos =A 1 B dA cos 60 5. dA . 2,5 dA 2 = 2,5 . A = 2,5 . 2 = 5 Weber Dari contoh ini bisa disimpulkan bahwa fluks akan maksimum jika medan magnet menembus tegak lurus pada permukaannya dan akan nol jika sejajar / melintas permukaannya. Bagaimana jika medan magnetnya tidak homogen ? 10/23/2019 Hand Out Fisika II 31 2. Sebuah bidang berbentuk bujur sangkar dengan panjang sisi 8 m diletakkan sejajar bidang xz dalam sistem koordinat kartesius. Bidang memotong sumbu y di y = 2 m dan sumbu y tepat menembus titik perpotongan diagonal bujur sangkar. Jika terdapat medan magnet B ( x 2 y iˆ y ˆj )T Tentukan fluks yang menembus bidang tersebut z Jawab : y x 10/23/2019 y=2 Hand Out Fisika II 32 Permukaan sejajar bidang xz sehingga elemen luas : dA = dx dz Dan arah vektor permukaannya sejajar sumbu y sehingga Vektor permukaannya menjadi : dA dx dz ˆj Dengan demikian fluksnya : x y iˆ y ˆj . dx dz ˆj y dx dz B . dA 2 A 10/23/2019 Hand Out Fisika II 33 Dapat dilihat bahwa hanya komponen medan dalam arah vektor permukaan saja yang memberikan nilai fluks. 4 4 44 y dx dz 4 4 yx 4 dz 4 4 24 4 dz 4 4 16 dz 16 z 4 4 4 164 4 128 Jadi fluks magnet yang menembus permukaan tersebut adalah sebesar 128 Tesla 10/23/2019 Hand Out Fisika II 34
