APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE UNTUK SOLUSI FUNGSI

APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE UNTUK SOLUSI FUNGSI
ALIH SISTEM PADA REFRIGERATOR
ABSTRAK
Refrigerator yang ada disetiap rumah-tinggal, dipandang dari sudut termal dapat dibagi
menjadi dua bagian: bagian utama refrigerator dan bagian yang lebih dingin disebut freezer. Selain
itu, terdapat rak untuk menaruh benda dari luar yang suhunya panas dan hendak didinginkan, disebut
pot roast. Jadi, kondisi termal sistem akan tidak stabil karena adanya pot roast yang mengganggu
sirkulasi termal dalam sistem. Berdasarkan pada diagram benda-bebas, dilakukan analisis termal
untuk ketiga komponen: refrigerator, freezer, dan pot roast, serta penurunan fungsi alih yang
dilakukan dengan bantuan MATLAB sehingga diperoleh gambaran perubahan suhu pada ketiga
komponen sistem. Hasilnya adalah suhu pot roast akan terus-menerus turun mendekati suhu dari
refrigerator saat diset sedangkan suhu dalam freezer konstan, tidak banyak terpengaruh oleh adanya
gangguan pot roast.
PENDAHULUAN
Panas dan termal adalah dua istilah yang dapat digunakan ‘saling tukar’, walaupun ada hal
prinsip yang membedakan keduanya (Holman, 1981). Kondisi saling-tukar itu digunakan pula dalam
artikel ini. Selain itu, hendaknya dibedakan antara panas dan suhu, yaitu panas adalah besaran energi
(satuannya Joule) sedangkan suhu merupakan besaran yang menunjukkan derajat atau tinggi
rendahnya kondisi termal (satuannya derajat Celsius).
Refrigerator adalah mesin yang memanfaatkan konsep pengaliran termal (Sumanto, 1989).
Dengan mengisikan pot roast dalam refrigerator berarti telah terjadi gangguan kesetimbangan termal
di dalam refrigerator. Secara garis besar, sebuah refrigerator dapat dipilah menjadi tiga titik bersuhu
berbeda, yaitu ruang dengan suhu sangat rendah yang umum disebut freezer, ruang dengan suhu agak
lebih ‘panas’ dibandingkan freezer disebut ruang refrigerator, dan pot roast adalah tempat menaruh
benda yang hendak didinginkan. Benda pot roast asal-muasalnya dari luar dan bersuhu ‘tinggi’
sehingga keberadaannya di dalam refrigerator diduga mengganggu kestabilan setting suhu yang ada
di freezer maupun di ruang refrigerator.
Artikel membahas solusi fungsi alih sistem perubahan kesetimbangan suhu dalam freezer
maupun ruang refrigerator, dengan metode transformasi Laplace serta diberikan contoh aplikasinya.
SISTEM TERMAL PADA REFRIGERATOR
Dipandang dari dinamika sistem maka sistem termal adalah sistem yang menyajikan
persamaan diferensial yang merelasikan perpindahan panas dari satu lokasi ke lokasi lainnya di dalam
sistem. Contohnya adalah sebuah refrigerator (kulkas). Refrigerator beroperasi dengan memindahkan
panas dari bagian-dalam dan mengalirkannya keluar lewat sistem koil menggunakan pompa
kompresor dan katup ekspansi (lihat Gambar 1).
Refrigerator umumnya terbangun atas dua bagian terpisah - saling terisoliris: bagian utama
refrigerator dan bagian pendingin (freezer). Bagian itu didinginkan oleh 5 komponen sistem
refrigerator: kompresor, koil penukar panas yang ada di luar, katup ekspansi, koil penukar panas yang
ada di dalam, dan refrigeran. Kompresor mengompres refrigeran ke dalam koil yang ada di luar.
Disini panas yang dihasilkan dari kompresi menyebar ke sekeliling. Dari koil yang ada di luar
refrigerant disemprotkan lewat katup ekspansi yang menjadikan refrigerant sangat dingin (supercool), ke dalam koil yang ada di dalam di bagian pendingin (freezer). Lalu refrigerant disirkulasi
balik ke kompresor. Untuk mendinginkan refrigetor menyeluruh, sebuah kipas menghembuskan udara
dari bagian pendingin (freezer) melalui ventilasi yang dapat diatur masuk ke dalam bagian
refrigerator. Suhu bagian refrigerator dikendalikan oleh thermostat yang dapat diatur sehingga
meregulasi aktivitas kompresor. Suhu dalam freezer dikendalikan oleh udara yang lewat ventilasi
yang dapat diatur antara freezer dan bagian refrigerator.
Gambar 1 Komponen Utama Pemindah Panas dalam Refrigerator
Atas : tampak sisi dan perbesaran bagiannya
Bawah : tampak belakang dan perbesaran bagiannya
Pada sistem ini, ventilasi mengontrol rasio suhu freezer dengan refrigerator. Saat vent
tertutup, banyak udara dingin dalam freezer menrunkan rasio suhu. Ketika vent terbuka lebar, udara
mengalir ke dalam refrigerator mengurangi selisih suhu antara kedua bagian ini. Thermostat akan
berusaha memindahkan panas sehingga mengeset suhu refrigerator ke nilai setting yang diinginkan.
Dalam contoh ini akan dipertimbangkan refrigerator yang pot roast panas baru saja ditaruh. Panas
dari pot roast ini bertindak sebagai pengganggu pada sistem termal. Keluaran yang dikontrol adalah
suhu pada bagian refrigerator. Akan ada 3 persamaan diferensial untuk sistem ini, pertama
mengontrol dinamika bagian refrigerasi, kedua mengontrol dinamika termal pada bagian freezer, dan
ketiga mengontrol dinamika pertukaran panas pada koil-luar.
Diagram Benda Bebas
Diagram benda-bebas merepresentasikan interaksi antara pot roast, ruang, dan sekitar (situs:
http://www.me.cmu.edu). Perpindahan panas terjadi secara konduksi dan konveksi. Perpindahan
panas lewat dinding refrigerator terjadi secara konduksi. Konveksi antara refrigerator dan bagian
freezer dicapai dengan aliran udara dua-arah lewat vent diantara dua ruang. Beberapa variabel
variabel penting dan persamaan yang berhubungan adalah sebagai berikut.
Variabel
Persamaan
Perpindahan panas q
Perpindahan panas lewat permukaan :
: q = 1/R * (t1-t2)
Tahanan Termal R
Laju aliran ω
Perpindahan panas dari adanya aliran
: q = ω*ρ*σ*t
Densitas ρ
Panas Jenis σ
Suhu θ
Kapasitansi Termal C
Laju Perubahan Suhu θ'
Kapacitansi : C = ρ*σ * V
Laju Perubahan Suhu : θ' = (1/C) * q
Variabel dibedakan oleh subscript, misalnya Qr2f_v untuk mengindikasikan variabel yang
merepresentasikan perpindahan termal dari bagian refrigerator "r" ke bagian freezer "f" dengan cara
pemindahan konveksi "v". Hal yang serupa, Rc2f adalah tahanan termal saat pemindahan termal dari
koil "c" ke bagian freezer "f". Akhirnya, Cr untuk merepresentasikan kapasitansi pada bagian
refrigerator.
r = bagian refrigerator
f = bagian freezer
p = pot roast
c = koil
e = sekitar/sekeliling
2 = menuju ke
d = secara konduksi
v = secara konveksi
Freezer
Ekspresi matematik perpindahan panas pada ruang freezer dalam tulisan, dapat ditunjukan
sebagai berikut.
Pertukaran termal
Koil Pendingin
Aliran udara dari refrigerator ke freezer
Termal dari lingkungan
Termal dari refrigerator
Aliran udara dari freezer ke refrigerator
Notasi
Qf2c d
Qr2f v
Qe2f d
Qr2f d
Qf2r v
Bentuk matematis
1/Rc2f * (θc-θf)
ω*ρ*σ*θr
1/Re2f * (θe-θf)
1/Rr2f * (θr-θf)
ω*ρ*σ*θf
Gambaran pertukaran panas diagram tersebut sebagai berikut.
Arah
Keluar
Keluar
Masuk
Masuk
Masuk
Jumlahan seluruh pertukaran panas pada badan secara bersama-sama dalam persamaan
matematis menghasilkan persamaan termal berikut.
𝐶𝑓 θf = Q e2f d + Q r2f d + Q r2f v − Q f2c v − Q f2r v
Refrigerator
Ekspresi matematik perpindahan panas pada refrigerator, dapat ditunjukan seperti berikut ini.
Pertukaran termal
Panas ke freezer
Aliran udara dari freezer ke refrigerator
Panas dari lingkungan
Panas dari Pot Roast
Aliran udara dari refrigerator ke freezer
Notasi
Qr2f d
Qf2r v
Qe2r d
Qp2r d
Qr2f v
Bentuk matematik
1/Rr2f (θr-θf)
ω*ρ*σ*θf
1/Re2r (θe-θr)
1/Rp2r (θp-θr)
ω*ρ*σ*θr
Penggambaran pertukaran panas dari diagram sebagai berikut.
Jumlah pertukaran panas memberikan persamaan termal berikut.
Cr θr = Q e2r d + Q p2r d + Q f2r v − Q r2f d − Q r2f v
Pot Roast
Penukaran panas pot roast dijelaskan dengan uraian berikut.
Pertukaran termal
Panas ke freezer
Notasi
Qp2r d
Bentuk matematis
1/Rp2r (θp-θr)
Arah
Keluar
Gambaran penukaran panas sebagai berikut.
Arah
Keluar
Keluar
Masuk
Masuk
Masuk
Persamaan termal sebagai berikut.
Cp θp = −Q p2r d
Persamaan Diferensial Ketiga Komponen
Setelah analisis diagram benda-bebas, selanjutnya persamaan diferensial untuk pertukaran
panas dari bagian freezer, bagian refrigerator, dan pot roast disatukan kembali, dan hasilnya adalah
sebagai berikut.
𝐶𝑓 θf = Q e2f d + Q r2f d + Q r2f v − Q f2c v − Q f2r v
Cr θr = Q e2r d + Q p2r d + Q f2r v − Q r2f d − Q r2f v
Cp θp = −Q p2r d
APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE
Fungsi Alih
Bagian ini memanfaatkan transformasi Laplace (Dawkins, P., 2005) untuk menentukan
perubahan suhu dari pot roast, dari bagian refrigerator, dan dari bagian freezer untuk kondisi suhu
awal sebagai berikut.
𝜃𝑓 (0) = −9℃
𝜃𝑟 (0) = 4℃
𝜃𝑝 (0) = 25℃
Terdapat satu set suhu yang akan diasumsikan tetap konstan selama siklus refrigerasi, yaitu
suhu sekitar dan suhu koil freezer, seperti terlihat berikut ini.
𝜃𝑒 = 25℃
𝜃𝑐 = −10℃
Transformasi Laplace dari Persamaan yang Terbentuk
Sasarannya adalah mendapatkan ekspresi transformasi Laplace dari masing-masing variabel
yang merepresentasikan suhu dari pot roast, dari bagian refrigerator dan dari bagian freezer dalam
kondisi awalnya. Dari diagram benda-bebas, didapatkan persamaan diferensial dalam domain waktu
sebagai berikut.
𝐶𝑓 𝜃𝑓 =
𝐶𝑟 𝜃𝑟 =
1
𝑅𝑒2𝑓
1
𝑅𝑒2𝑟
(𝜃𝑒 − 𝜃𝑓 ) +
(𝜃𝑒 − 𝜃𝑟 ) +
1
𝑅𝑟2𝑓
1
𝑅𝑝2𝑟
(𝜃𝑟 − 𝜃𝑓 ) + 𝜔𝜌𝜎𝜃𝑟 −
(𝜃𝑝 − 𝜃𝑟 ) + 𝜔𝜌𝜎𝜃𝑓 −
𝐶𝑟 𝜃𝑟 = −
1
𝑅𝑝2𝑟
1
𝑅𝑓2𝑐
1
𝑅𝑟2𝑐
(𝜃𝑓 − 𝜃𝑐 ) − 𝜔𝜌𝜎𝜃𝑓
(𝜃𝑟 − 𝜃𝑓 ) − 𝜔𝜌𝜎𝜃𝑟
(𝜃𝑝 − 𝜃𝑟 )
Ketiga persamaan tersebut bila dibagi oleh masing-masing kapasitansinya, lalu digabung
berdasar koefisien dari masing-masing variabel suhu, didapatkan rumus berikut.
𝜃𝑓 =
𝜃𝑟 =
1
𝜔𝜌𝜎
1
1
1
1
𝜔𝜌𝜎
𝜃𝑒 + (−
−
−
−
+
) 𝜃𝑓 + (
) 𝜃𝑟
𝐶𝑓 𝑅𝑒2𝑓
𝐶𝑓
𝐶𝑓 𝑅𝑟2𝑓 𝐶𝑓 𝑅𝑒2𝑓 𝐶𝑓 𝑅𝑓2𝑐
𝐶𝑓 𝑅𝑟2𝑓
𝐶𝑓
1
+
𝜃
𝐶𝑓 𝑅𝑓2𝑐 𝑐
1
1
𝜔𝜌𝜎
𝜔𝜌𝜎
1
1
1
𝜃𝑒 + (
+
−
−
−
) 𝜃𝑓 + (−
) 𝜃𝑟
𝐶𝑟 𝑅𝑒2𝑟
𝐶𝑓 𝑅𝑟2𝑓
𝐶𝑓
𝐶𝑟
𝐶𝑟 𝑅𝑒2𝑟 𝐶𝑟 𝑅𝑝2𝑟 𝐶𝑟 𝑅𝑟2𝑓
1
+
𝜃
𝐶𝑟 𝑅𝑝2𝑟 𝑝
𝜃𝑝 =
1
1
𝜃𝑟 −
𝜃
𝐶𝑝 𝑅𝑝2𝑟
𝐶𝑝 𝑅𝑝2𝑟
Hubungan antara transformasi Laplace dan turunan variabel adalah sebagai berikut.
𝐿{𝜃(𝑡)} = Θ(s)
𝐿{𝜃(t)} = 𝑠. Θ(s) − 𝜃(0)
Lakukan transformasi Laplace terhadap persamaan dan susun berdasar masing-masing theta
besar (uppercase), dihasilkan rumus berikut.
(𝑠. 𝐶𝑓 + 𝜔𝜌𝜎 +
1
+
1
+
1
) Θf (s) − (
𝑅𝑟2𝑓 𝑅𝑝2𝑟 𝑅𝑓2𝑐
𝜃𝑒
𝜃𝑐
=
+
+ 𝐶𝑓 𝜃𝑓 (0)
𝑠𝑅𝑒2𝑓 𝑠𝑅𝑓2𝑐
−(
1
𝑅𝑟2𝑓
+ 𝜔𝜌𝜎) 𝛩𝑓 (𝑠) + (𝑠. 𝐶𝑟 + 𝜔𝜌𝜎 +
=
1
𝑅𝑒2𝑟
+
1
𝑅𝑝2𝑟
1
𝑅𝑟2𝑓
+
+ 𝜔𝜌𝜎) Θ𝑟 (𝑠)
1
𝑅𝑟2𝑓
) Θ𝑟 (𝑠) −
1
𝑅𝑝2𝑟
Θ𝑝 (𝑠)
𝜃𝑒
+ 𝐶𝑟 𝜃𝑟 (0)
𝑠𝑅𝑒2𝑟
−
1
𝑅𝑝2𝑟
Θr (s) + (s. Cp +
1
R p2r
) Θp (s) = Cp θp (0)
Langkah berikutnya adalah memanfaatkan aturan Cramer (Kreyszig, 1986) untuk
menyelesaikan tiga persamaan simultan. Untuk menjaga organisasi matematika substitusikan
koefisien
Θf(s), Θr(s), dan Θp(s) menjadi: a11, a12, dan a13 dengan koefisien Θf(s), Θr(s), and Θp(s) pada
persamaan pertama; a21, a22, dan a23 dengan koefisien Θf(s), Θr(s), dan Θp(s) pada persamaan kedua;
a31, a32, dan a33 menjadi koefisien Θf(s), Θr(s), dan Θp(s) pada persamaan ketiga.
Selanjutnya, substitusikan b1, b2, dan b3 ke ruas-kanan dari persamaan pertama, kedua, dan
ketiga. Notasi kompak dihasilkan pada set persamaan berikut.
LANJUTKAN LUM
Hal 78 sampe 79
SOLUSI PERSAMAAN LINIER
Untuk penyelesaian persamaan linier simultan, dalam artikel ini diawali dengan perintah s =
tf('s'), lalu tentukan konstanta seperti di bawah ini. Selanjutnya, tentukan variabel Laplace aij dan bk.
Langkah itu harus dilakukan di M-file karena panjangnya kode.
s = tf('s');.
Tf = -9; % derajat_C
Tr = 4; % derajat_C
Tp = 25; % derajat_C
Te = 25; % derajat_C
Tc = -10; % derajat_C
w = .0001; % m/s
p = 1.2; % kg/m^3
sig = 1000; % kJ*derajat_C/kg
Cp = 240; % J/derajat_C
Cr = 700; % J/derajat_C
Cf = 200; % J/derajat_C
Rf2c = .1; % derajat_C*s/J
Rp2r = 1; % derajat_C*s/J
Re2r = 4.7; % derajat_C*s/J
Re2f = 6.25; % derajat_C*s/J
Rr2f = 4.5; % derajat_C*s/J
a11 = (s + (w*p*sig/Cf) + (1/(Cf*Rr2f)) + (1/(Cf*Re2f)) + (1/(Cf*Rf2c)));
a12 = - (w*p*sig/Cf) - (1/(Cf*Rr2f));
a13 = 0;
a21 = - (w*p*sig/Cr) - (1/(Cr*Rr2f));
a22 = (s + (w*p*sig/Cr) + (1/(Cr*Re2r)) + (1/(Cr*Rp2r)) + (1/(Cr*Rr2f)));
a23 = - (1/(Cr*Rp2r));
a31 = 0;
a32 = -(1/(Cp*Rp2r));
a33 = s + (1/(Cp*Rp2r));
b1 = (Te/(s*Cf*Re2f)) + (Tc/(s*Cf*Rf2c)) + Tf;
b2 = (Te/(s*Cr*Re2r)) + Tr;
b3 = Tp;
detA = a11*(a22*a33-a23*a32)-a21*a12*a33;
det1 = b1*(a22*a33-a23*a32)-b2*(a12*a33)+b3*(a12*a23);
det2 = a11*(b2*a33-a23*b3)-a21*(b1*a33);
det3 = a11*(a22*b3-a32*b2)-a21*(a12*b3-a32*b1);
Thetaf = det1/detA
Thetar = det2/detA
Thetap = det3/detA
Solusinya adalah (dituliskan diantara dua tanda >>) :
>>
Fungsi alih untuk Freezer :
-7.403e008 s^5 - 4.365e007 s^4 - 2.462e005 s^3 - 126 s^2
--------------------------------------------------------8.225e007 s^6 + 4.844e006 s^5 + 2.779e004 s^4 + 13.98 s^3
Fungsi alih untuk Refrigerator:
3.29e008 s^5 + 2.185e007 s^4 + 2.408e005 s^3 + 56.33 s^2
--------------------------------------------------------8.225e007 s^6 + 4.844e006 s^5 + 2.779e004 s^4 + 13.98 s^3
Fungsi alih untuk Pot roast :
2.056e009 s^5 + 1.139e008 s^4 + 3.112e005 s^3 + 56.33 s^2
--------------------------------------------------------8.225e007 s^6 + 4.844e006 s^5 + 2.779e004 s^4 + 13.98 s^3
>>
Perhatikan bahwa pada setiap kasus ada faktor umum. Penggunaan perintah minreal() dapat
digunakan untuk mengeliminir faktor umum ini. Kode dan hasilnya adalah sebagai berikut.
Thetaf = minreal(Thetaf)
Thetar = minreal(Thetar)
Thetap = minreal(Thetap)
>>
Fungsi alih untuk Freezer :
-9 s^3 - 0.5306 s^2 - 0.002993 s - 1.532e-006
--------------------------------------------s^4 + 0.0589 s^3 + 0.0003379 s^2 + 1.7e-007 s
Fungsi alih untuk Refrigerator :
4 s^3 + 0.2656 s^2 + 0.002928 s + 6.848e-007
--------------------------------------------s^4 + 0.0589 s^3 + 0.0003379 s^2 + 1.7e-007 s
Fungsi alih untuk Pot roast :
25 s^3 + 1.385 s^2 + 0.003784 s + 6.848e-007
--------------------------------------------s^4 + 0.0589 s^3 + 0.0003379 s^2 + 1.7e-007 s
>>
Gunakan perintah impulse untuk mem-plot fungsi. Hal itu akan memberikan Laplace invers dari
fungsi. Beri label agar segala sesuatunya nampak teratur.
clf
figure(1)
tt = linspace(0,3600,361);
impulse(Thetaf, Thetar, Thetap, tt)
legend('Freezer temp', 'Refrigerator temp', 'Pot roast temp')
title('Time evolution of refrigerator model')
xlabel('Time (sec)')
ylabel('Temperature (derajat C)')
HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil
Program yang panjang tersebut bila dieksekusi akan memberikan hasil berupa kurva
pergerakan suhu dari ketiga komponen: refrigerator, freezer, dan pot roast. Adapun hasil yang
dimaksud seperti ditunjukan pada grafik dalam Gambar 2.
Gambar 2 Grafik Kurva Pergerakan Suhu Ketiga Komponen:
Refrigerator, Freezer, dan Pot Roast
Pembahasan
Di bidang rekayasa, sering kali analisis sistem memberikan bentuk model matematis yang
terkandung di dalamnya turunan variabel bebas. Persamaan seperti itu umum dikenal dengan sebutan
persamaan diferensial atau lengkapnya persamaan diferensial biasa (ODE = Ordinary Differential
Equation). Mendapatkan solusi sebuah persamaan diferensial dapat dilakukan dengan memanfaatkan
transformasi Laplace yang mengubah domain waktu t ke domain s.
Keseimbangan termal pada sistem refrigerator telah dianalisis sebelumnya dan memberikan
persamaan diferensial untuk tiga komponen refrigerator. Bentuknya cukup rumit sehingga solusi
dalam bentuk fungsi alih serta inversinya telah dilakukan dengan bantuan MATLAB yang sekaligus
memberikan plot kurva pergerakan suhu ketiga komponen. Analisis kurva menunjukkan adanya
kenaikan suhu pada ruang-refrigerator sebagai pengaruh adanya panas dari pot roast. Akan tetapi,
suhu dalam freezer tidak nampak dipengaruhi oleh adanya panas dari pot roast. Hal itu ditunjukkan
oleh kurva suhu yang terus mendatar selang waktu 3500 sekon, kecuali sedikit perubahan tak berarti
pada selang waktu sekitar antara 200 sekon hingga 1200 sekon.
PENUTUP
Telah dilakukan penurunan persamaan termal dari sebuah mesin refrigerator dengan cara
mendapatkan fungsi-alih tiga komponen: freezer, ruang-refrigerator, dan pot roast. Diawali dengan
mengurai diagram benda-bebas, analisis, dan eksplorasi dilakukan dengan bantuan MATLAB. Hasil
berupa fungsi-alih ketiga komponen tersebut diplot dengan memberikan simulasi suhu-masukan
berupa sebuah impuls maka dihasilkan kurva perubahan termal, baik dalam freezer, ruangrefrigerator,
dan pot roast. Analisis kurva menunjukkan adanya kenaikan suhu pada ruangrefrigerator
sebagai pengaruh adanya panas dari pot roast. Akan tetapi, suhu dalam freezer tidak
nampak dipengaruhi oleh adanya panas dari pot roast. Hal itu ditunjukkan oleh kurva suhu yang terus
mendatar selang waktu 3500 sekon, kecuali sedikit perubahan tak berarti pada selang waktu sekitar
antara 200 sekon hingga 1200 sekon.
DAFTAR PUSTAKA
Dawkins, P. 2005. “Differential Equations.” Diakses dari http://tutorial.math.lamar.edu
Holman, J.P. 1981. Heat Transfer. Singapore: McGraw-Hill Inc.
Kreyszig, E. 1986. Advanced Engineering Mathematics. New York, USA: McGraw-Hill Book Co.
Sumanto, M.A.1989. Dasar-dasar Mesin Pendingin. Yogyakarta: Andi Offs