critical book review persamaan diferensial

BAB I
PENDAHULUAN
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau
lebih turunan fungsi yang belum diketahui, dan atau persamaan itu mungkin juga
melibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta. Dari turunan yang membentuk dalam
persamaan diferensial akan menentukan jenis klasifikasi persamaan diferensial itu
sendiri.
Tujuan penulisan makalah ini adalah untuk membandingkan atau mengkiritisi
buku ajar persamaan diferensial. Satu buku utama yaitu diktat persamaan diferensial
yang menjadi buku pegangan bagi mahasiswa untuk menempuh mata kuliah
persamaan diferensial ini dengan dua buku sejenis yang menjadi pembanding. Aspek
yang dikritisi dalam membandingkan ketiga buku konsep atau definisi, variasi contoh
soal dan teorema-teorema yang ada pada masing-masing buku. Dari materi
persamaan diferensial caucy, persmaan diferensial legendre dan persamaan
diferensial homogen orde tinggi.
Pada buku utama memuat materi persamaan diferensial cauchy, persamaan
diferensial legendre, reduksi orde persamaan diferensial koefisien linear variabel,
reduksi orde persamaan diferensial linear koefisien variabel orde tinggi. Pada buku
kedua memuat materi persamaan diferensial linear orde tinggi. Dan pada buku ketiga
memuat materi fungsi legendre.
1
BAB II
PEMBAHASAN
1. Identitas buku
Buku Pertama
Judul
: Persamaan Diferensial
Penerbit
: Jurusan Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan
Tahun Terbit
: 2018
Buku Kedua
Judul
: Matematika Teknik
Pengarang
: Prayudi
Penerbit
: Graha Ilmu
Tahun Terbit
: 2006
Buku ketiga
Judul
: Kalkulus Lanjut Persamaan Diferensial dan Aplikasinya
Pengarang
: I Wayan Degeng
Penerbit
: Graha Ilmu
Tahun Terbit
: 2007
2. Penjelasan konsep/definisi
Pada buku pertama yaitu Diktat Persamaan Diferensial memuat Bab
Persamaan Diferensial Linear Orde n Dengan Koefisien Variabel dengan
 Sub Bab Pertama Persamaan Diferensial Linear Cauchy. Dituliskan bentuk
persamaannya
𝑃0 𝑥𝑛
𝑑𝑛 𝑦
𝑑 𝑛−1𝑦
𝑑𝑦
𝑛−1
+
𝑃
𝑥
+
⋯
+
𝑃
𝑥
+ 𝑃𝑛 𝑦 = 𝑄(𝑥)
1
𝑛−1
𝑑𝑥 𝑛
𝑑𝑥 𝑛−1
𝑑𝑥
Atau polinominal operator D
(𝑃0 𝑥 𝑛 𝐷𝑛 + 𝑃1 𝑥 𝑛−1 𝐷𝑛−1 + ⋯ + 𝑃𝑛−1 𝑥𝐷 + 𝑃𝑛 )𝑦 = 𝑄(𝑥)
Dimana Po, P1,...,Pn adalah konstan
Untuk menyelesaikan P.D ini, transformasikan x=ez untuk mereduksi P.D awal
menjadi P.D linear orde n dengan koefisien konstam yaitu: x = ez atau ln x = z
2
𝑑
Kemudian jika D didefinisikan oleh D=𝑑𝑧 maka:
xDy = Dy
x2D2y = D(D-1)y
x3D3y = D(D-1) (D-2)y sampai xnDny = D(D-1) (D-2) (D-3) ... (D-n+1)y
dan P.D semula tereduksi menjadi
[Po D(D-1) (D-2) (D-3) ... (D-n+1) + P1 D(D-1) (D-2) (D-3) ... (D-n+2) + ... + Pnz
1D+Pn]y = Q(e )
Langkah-langkah menghitung solusi umum P.D Cauchy.
𝑑
1. lakukan transformasi x=ez dan D=𝑑𝑧
2. P.D tereduksi menjadi P.D linear orde n dengan koefisien konstan didalam
polinominal operator D
3. selesaikan P.D baru pada Bab V
4. gunakan transformasi x = ez atau ln x = z untuk mendapatkan variabel semula
5. solusi umum P.d Cauchy ditemukan.
Sedangkan pada buku pembanding kedua yaitu Matematika Teknik dengan
pengarang Prayudi tidak memuat persamaan diferensial linear Cauchy dan juga
pada buku ketiga yaitu Kalkulus Lanjut Persamaan Diferensial dan
Aplikasinya.
 Pada Sub Bab kedua yaitu Persamaan Diferensial Legendre dituliskan persamaan
diferensialnya
𝑑2 𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
𝑑𝑦
𝑃0 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑃1(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛−1 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑃𝑛−1 (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 + 𝑃𝑛 𝑦 = 𝑄(𝑥)
Atau polinominal operator D
(𝑃𝑜 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 𝐷 𝑛 + 𝑃1 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛−1 𝐷𝑛−1 + ⋯ + 𝑃𝑛−1 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝐷 + 𝑃𝑛 )𝑦 = 𝑄(𝑥)
Dimana Po, P1, ... , Pn adalah konstan
Langkah-langkah menghitug solusi umum P.D linear Legendre :
𝑑
1. lakukanlah transformasil: ax + b = ez dan 𝐷 = 𝑑𝑧
2. P.D tereduksi menjadi P.d linear orde n dengan koefisien konstan didalam
polinomial operator D.
3
3. selesaikan P.d baru ini dengan cara pada Bab V
4. gunakan transformasi z = ln (ax+b) atau ez = ax+b untuk mendapatkan variabel
semula.
5. solusi umum P.d legendre ditemukan.
Sedangkan pada buku ketiga yaitu Kalkulus Lanjut Persamaan Diferensial
dan Aplikasinya fungsi Legendre dituliskan sebagai berikut.
𝑦 = 𝑐1 𝑃𝑛 (𝑥) + 𝑐2 𝑄𝑛 (𝑥) dengan n= 1, 2, 3,...
Dimana :
𝑃𝑛 (𝑥)= dinamakan suku banyak legendre
𝑄𝑛 (𝑥)= dinamakan fungsi legendre jenis ke dua, yang tak terbata di x ± 1
Sedangkan buku kedua yaitu Matematika Teknik dengan pengarang Prayudi
tidak memuat materi persamaan diferensial legendre.
 Pada sub Bab ke tiga yaitu Mereduksi Orde Suatu Persamaan Diferensial Linear
Orde Kedua Dengan Koefisien Variabel bentuk persamaannya ialah :
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
+ 𝑅(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑆(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)
Sedangkan pada buku kedua yaitu Matematika Teknik memuat persamaan
diferensial linear paling sederhana adalah persamaan diferensial linear orde satu,
sedangkan banyak penerapanyya adalah persamaan diferensial linear orde dua.
Persamaan linear orde dua dikatakan linear bilamana persamaan tersebut dapat
dituliskan menjadi 𝑎(𝑥)𝑦 ′′ + 𝑏(𝑥)𝑦 ′ + 𝑐(𝑥)𝑦 = 𝑟(𝑥) persamaan ini dikatakan
linear, karena pangkat tertinggi dari, y’’, y’, dan y adalah satu, sedangkan a(x),
b(x) dan r(x) merupakan fungsi-fungsi dari x, yang disebut dengan koefisien. Bila
r(x)=0, persamaan dapat ditulis menjadi, 𝑎(𝑥)𝑦 ′′ + 𝑏(𝑥)𝑦 ′ + 𝑐(𝑥)𝑦 = 0.
Persamaan diferensial orde dua homogen dengan koefisien konstan adalah
persamaan diferensial yang dapat ditulis menjadi, 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0 dengan a,
b, dan c konstan.
Sedangkan pada buku ketiga yaitu Kalkulus Lanjut Persamaan
Diferensial dan Aplikasinya tidak memuat materi reduksi orde Persamaan
Diferensial linier koefisien variabel.
 Pada Sub Bab keempat yaitu reduksi orde persamaan diferensial linier koefisien
variabel orde tinggi dalam buku utama yaitu diktat Persamaan Diferensial memuat
penjelasan.
4
Variabel tak bebas tak nampak
Jika persamaan berbentuk
𝑑𝑛 𝑦 𝑑𝑛−1 𝑦
𝑑𝑦
𝑓 (𝑑𝑥 𝑛 , 𝑑𝑥 𝑛−1 , … , 𝑑𝑥 , 𝑥) = 0 maka substitusi
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑝,
𝑑𝑛−1 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑝
𝑑𝑛−1 𝑝
= 𝑑𝑥 , … , 𝑑𝑥 𝑛 = 𝑑𝑥 𝑛−1 akan mereduksi orde dengan satu.
Jika persamaan berbentuk
𝑑𝑛 𝑦 𝑑𝑛−1 𝑦
𝑑𝑘
𝑑𝑘 𝑦
𝑥
𝑑𝑥 𝑘
𝑓 (𝑑𝑥 𝑛 , 𝑑𝑥 𝑛−1 , … , 𝑑𝑦𝑘 , 𝑥) = 0 maka substitusi :
𝑑𝑘+1 𝑦
𝑑𝑞
= 𝑞, 𝑑𝑥 𝑘+1 = 𝑑𝑥 .... akan
mereduksi orde dengan k.
Variabel bebas tak tampak
𝑑𝑛 𝑦 𝑑𝑛−1 𝑦
𝑑𝑦
𝑓 (𝑑𝑥 𝑛 , 𝑑𝑥 𝑛−1 , … , 𝑑𝑥 , 𝑦) = 0
Sedangkan pada buku kedua yaitu Matematika Teknik penyelesaian
umum persamaan diferensial homogen orde tinggi diberikan oleh
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝛾1𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝛾2𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑒 𝛾𝑛𝑥
Sedangkan pada buku ketiga yaitu Kalkulus Lanjut Persamaan Diferensial
dan Aplikasinya tidak memuat materi reduksi orde persamaan diferensial linier
koefisien variabel orde tinggi
3. Kedalaaman penjelasan konsep/definisi
Jika dilihat dari penjelasan konsep/definisi diatas dapat kita ketahui bahwa
kedalaman penjelasan konsep/definisi ada pada buku kedua yaitu Matematika
Teknik. Materi yang dimuat pada buku kedua ini yaitu Mereduksi Orde Suatu
Persamaan Diferensial Linear Orde Kedua Dengan Koefisien Variabel dan yaitu
reduksi orde persamaan diferensial linier koefisien variabel orde tinggi.
Pada buku kedua memuat persamaan diferensial linear paling sederhana adalah
persamaan diferensial linear orde satu, sedangkan banyak penerapanyya adalah
persamaan diferensial linear orde dua. Maksudnya persamaan diferensial orde dua
homogen dijelaskan asal mulanya yaitu dari persamaan diferensial biasa yang
tergolong dari persamaan linear dan non linear.
Sedangkan pada buku ketiga yaitu Kalkulus Lanjut Persamaan Diferensial
dan Aplikasinya hanya memuat satu materi yaitu fungsi legendre. Fungsi
legendre dibangun sebagai penyelesaian persamaan diferensial:
(1 − 𝑥 2 )𝑦 𝑛 − 2𝑥𝑦 ′ + 𝑛(𝑛 + 1)𝑦 = 0 yang dinamakan Persamaan Diferensial
Legendre. Penyelesaian umum persamaan diferensial legendre termuat pada
penjelasan konsep/definisi diatas.
5
4. Kesamaan dan perbedaan prinsip/teorema
 Pada sub materi pertama yaitu persamaan difernsial cauchy memuat konsep
prinsip/teorema pada buku utama persamaan diferensial sauchy sebagai
𝑑2 𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
𝑑𝑦
berikut. 𝑃0 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑃1(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛−1 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑃𝑛−1 (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 +
𝑃𝑛 = 𝑄(𝑥)
5. Muatan variasi soal
 Pada buku utama muatan variasi soalnya setiap sub bab terdiri dari 5-6 soal
latihan beserta pembahasannya. Ini cukup membantu bagi pembaca dalam
menjawab soal tersebut
 Sedangkan pada buku kedua yaitu Matematika Teknik dan buku ketiga
yaitu Kalkulus Lanjut Persamaan Diferensial dan Aplikasinya teridiri
terdiri dari contoh soal dan soal-soal latihan
6. Kelebihan dan kekurangan
 Kelebihan buku
Buku utama
Masing-masing dari ketiga buku pembanding mempunyai kelebihan.
Pada buku utama Persamaan Diferensial memuat rumus dari empat
sub bab materi persamaan diferensial cauchy, persamaan diferensial
legendre, reduksi orde persamaan diferensial koefisien linear variabel,
reduksi orde persamaan diferensial linear koefisien variabel orde
tinggi. Setiap materi dipaparkan langkah-langkah penyelesaian dan
mencari menentukan solusi umum dari setiap persamaan.
Variasi soal dikelompokkan pada tiap-tiap sub materi yaitu latihan
soal beserta jawabannya.
Buku pembanding kedua
Pada buku kedua yaitu Matematika Teknik setiap sub materi yang
telah dipaparkan di penjelasan/konsep definisi dipaparkan secara
detail dan mendalam dilengkapi dengan contoh-contoh soal dan
pembahasan serta latihan-latihan soal untuk melatih ketrampilan
dalam menjawab soal persamaan diatas.
Buku pembanding ketiga
Pada buku ketiga yaitu Kalkulus Lanjut Persamaan Diferensial
dan Aplikasinya memuat persamaan atau rumus dengan singkat
diserta sontoh soal yang terdiri dari satu sampai dua serta latihan soal
pada akhir penjelasan.
6
 Kekurangan
Buku utama
Kekurangan pada buku utama yaitu hanya memaparkan
rumus/teorema saja tanpa penurunan dan konsep terlebih dahulu
dengan bahasa yang sederhana dan sangat singkat. Tidak terdapat
contoh soal hanya soal latihan saja
Buku pembanding kedua
Pada buku kedua yaitu Matematika Teknik kekurangannya
terletah pada daftar isi. Daftar isi tidak sesuai dengan halaman
sehingga membingungkan pembaca jika mencari materi. Misalnya
pada materi Persamaan diferensial Linear Orde Duan Homogen
Koefiseien Konstan di daftar isi terdapat pada halaman 78 tetatpi saat
kita membuka halaman tersebut tidak ada materi tersebut. Materi
Persamaan diferensial Linear Orde Duan Homogen Koefiseien
Konstan terletak di halaman 80. Kebanyakan dari daftar isi tidak
sesuai dengan halaman yang dituliskannya.
Buku pembanding ketiga
Pada buku ketiga yaitu Kalkulus Lanjut Persamaan
Diferensial dan Aplikasinya sangat singkat memaparkan materi
hanya penulisan rumus tanpa definisi atau penjelasan yang
mendukung sehingga pembaca hanya disajikan rumus saja yaitu
Persamaan Diferensial Legendre.
7. Buku yang mudah dipahami
Menurut pembaca buku yang mudah dipahami ialah buku utama dengan buku
pembanding kedua.
7
BAB III
KESIMPULAN DAN SARAN
1. KESIMPULAN
Setelah dibandingkan antara ketiga buku diatas yaitu buku utama Pada buku
pertama yaitu Diktat Persamaan Diferensial pada buku pembanding kedua
yaitu Matematika Teknik dengan pengarang Prayudi dan juga pada buku
ketiga yaitu Kalkulus Lanjut Persamaan Diferensial dan Aplikasinya.
Disimpulkan bahwa buku utama lebih mudah dipahami karena materi yang
lengkap dengan bahasa yang sederhana.
Tetapi buku buku pembanding kedua yaitu Matematika Teknik dengan
pengarang Prayudi dan juga pada buku ketiga yaitu Kalkulus Lanjut
Persamaan Diferensial dan Aplikasinya juga baik dan bagus untuk dijadikan
bahan referensi setelah buku utama.
2. SARAN
Untuk lebih memahami materi Persamaan Diferensial Linear Orde n Dengan
Koefisien Variabel pembaca harus mencari sumber-sumber referensi lain, agar
tidak hanya bergantung pada buku utama saja dan menemukan pengetahuanpengetahuan baru dari berbagai sumber dan referensi misalnya buku
pembanding kedua yaitu Matematika Teknik dengan pengarang Prayudi dan
juga pada buku ketiga yaitu Kalkulus Lanjut Persamaan Diferensial dan
Aplikasinya
8