VEKTOR OLEH KELOMPOK IX : MONICA YULIANTI (4153111046) NINDIA NANDA RIATI (4153111048) NITA KUSUMA SARI (4153111049) Mata Kuliah Dosen Matakuliah : Aljabar Linier Elementer I : ERLINAWATY SIMANJUNTAK S.Pd, M.Si a b 1. PENDAHULUAN Ukuran fisis suatu benda dinyatakan secara kuantitas yaitu: Skalar : menyatakan besar. Vektor : menyatakan besar dan arah. Pada bagian ini vektor di ruang-2 dan di ruang-3 akan diperkenalkan secara geometris, operasi ilmu hitung (aritmatik) pada vektor tersebut akan didefinisikan, dan membahas beberapa sifat dasar . 2. ISTILAH DALAM VEKTOR Vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen-segmen garis terarah atau panah-panah di ruang-2 atau ruang-3. Arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya vektor (magnitude). Ekor panah dinamakan titik awal (initial point) dari vektor Ujung panah dinamakan titik terminal (terminal point) Vektor-vektor yang mempuyai panjang dan arah yang sama dinamakan ekuivalen Vektor dinyatakan dengan: huruf kecil tebal, misal u, v, w, dan x Dua huruf kapital cetak tebal yang melambangkan titik awal dan titik ujung vektor tersebut, misal AB (vektor yang memanjang dari titik A dan titik B) Bilangan dalam vektor dinyatakan sebagai skalar. Semua sklaar merupakan bilangan riil dan dinyatakan dengan huruf kecil biasa, misalnya a, b, k, v, dan x (b) (a) (c) Gambar 1. (a) vektor a (b) vektor AB (c) vektor-vektor ekivalen 3. VEKTOR Definisi 3.1 Jika u dan v adalah vektor maka jumlah kedua vektor itu diperoleh dengan menggeser v sedemikian sehingga ekornya berimpit dengan kepala vektor u dan kemudian mendefinisikannya u + v sebagai vektor yang memanjang dari titik awal vektor u ke ujung vektor v. Definisi. Jika u dan v adalah sebarang dua vektor, maka jumlah u + v adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut. Tempatkanlah vektor v sehingga titik awalnya berhimpit dengan titik terminal u. Vektor u + v dinyatakan oleh panah dari titik awal u terhadap titik terminal v. Definisi Untuk mencari jumlah , atau resultan, vektor u dan v , gerakkanlah v tanpa mengubah besarnya atau arahnya hingga pangkalnya berimpit dengan kepala u. Cara ini (disebut Hukum Segitiga) (a) (b) Gambar 2 (a) dan (b) penjumlahan vektor u + v Dalam gambar 2 (b) jelas bahwa u+v=v+u Definisi 3.1 dikenal dengan hukum jajaran-genjang untuk penjumlahan vektor. Sebab, dalam gambar 3.2, u + v adalah diagonal jajar genjang, dengan sisi-sisi u dan v. Untuk sembaran vektor v, kita mendefinisikan –v sebagai vektor yang di peroleh dari v dengan cara menukarkan ekor dan kepalanya. v + (-v) = 0 Vektor yang panjangnya nol dinamakan vektor nol (zero vektor) dan dinyatakan dengan 0. Kita definisikan : 0+v=v+0=v Definisi Jika u dan v adalah sebarang dua vektor, pengurangan v dari u didefinisikan oleh: u – v = u + (-v) Gambar 3 (a) dan (b) selisih u - v Definisi Untuk sembarang vektor v dan skalar k, mendefinisikan vektor kv sebagai vektor yang panjangnya adalah 𝑘 kali panjang vektor v dan yang arahnya sama dengan arah v jika 𝑘 > 0 atau arahnya sama dengan arah –v jika k < 0. Vektor kv dinamakan kelipatan skalar vektor v. Definisi Jika v adalah vektor tak nol dan k bilangan riil tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya 𝑘 kali panjang v dan yang arahnya sama seperti arah v jika 𝑘 > 0 dan berlawanan dengan arah v jika k < 0. Kita definisikan kv = 0 jika k = 0 dan v = 0. 1 Gambar 4. melukiskan hubungan di antara vektor dan vektor 2 𝒗, −1 𝒗, 2𝒗, −3 𝒗 CONTOH: Nyatakan w dalam bentuk u dan v. Penyelesaian: Oleh kerena u + w = v , maka menyusul bahwa w = v – u 2 Dalam gambar 𝐴𝐵 = 3 𝐴𝐶. Nyatakan m dalam bentuk u dan v. Penyelesaian: 2 2 m = u + 𝐴𝐵 = u + 3 𝐴𝐶 = u + 3 𝐯 − 𝐮 1 = 3𝐮 + 2 𝐯 3 Secara lebih umum, jika 𝐴𝐵 = t𝐴𝐶, dimana 0 < 𝑡 < 1, maka m = (1 – t) u + tv Ekspresi yang baru saja diperoleh untuk m dapat pula dituliskan sebagai u + t(v – u) Jika diketahui vektor-vektor u, v, dan w pada gambar 5. Tunjukkan bagaimaa cara menentukan konstanta a dan b sehingga w = au + bv Penyelesaian : pertama-tama gambarkan sebuah garis yang melalui kepala vektor w, sejajar dengan v, sampai memotong perpanjangan u. Selanjutnya kita tarik garis melalui kepala w, sejajar dengan u sampai memotong v atau perpanjangannya. Karena OA + OB = w = au + bv, maka OA dan OB masing-masing tidak lain adalah au + bv. Skalar a sekarang dapat ditentukan dengan cara membandingkan panjang u dengan panjang au, begitu pula dapat ditentukan dengan cara membandingkan panjang v dengan panjang bv. (a) (b) Gambar 5 4. SISTEM KOORDINAT VEKTOR 4.1. Sistem koordinat vektor ruang-2 Misalkan v sebarang vektor pada bidang, v telah di tempatkan sehingga titik awalnya berada di titik asal sistem koordinat siku-siku. Koordinat (𝑣1 , 𝑣2 ) dari titik terminal v merupakan komponen-komponen v. Ditulis: v = (𝑣1 , 𝑣2 ) Operasi penjumlahan vektor dan operasi perkalian vektor dengan skalar sangat mudah dilakukan dalam komponen-komponen. Jika v = (𝑣1 , 𝑣2 ) dan w = (𝑤1 , 𝑤2 ) maka: v + w = (𝑣1 + 𝑤1 , 𝑣2 + 𝑤2 ) ..............................................................(1) Jika v = (𝑣1 , 𝑣2 ) dan k adalah sebarang skalar, maka kv = (𝑘𝑣1 , 𝑘𝑣2 ) ..............................................................(2) Karena v – w = v + (-w), diikuti rumus (1) dan (2) maka : v – w = (𝑣1 − 𝑤1 , 𝑣2 − 𝑤2 ) 4.2. Sistem koordinat vektor ruang-3 Vektor v dilokasikan sehingga titik awalnya berada di titik asal sisetm koordinat siku-siku, maka koordinat-koordinat titik terminal dinamakan komponen-komponen v. Ditulis: v = (𝑣1 , 𝑣2, 𝑣3 ) Jika v = (𝑣1 , 𝑣2, 𝑣3 ) dan w = (𝑤1 , 𝑤2, 𝑤3 ) , maka v + w = (𝑣1 + 𝑤1 , 𝑣2 + 𝑤2, 𝑣3 + 𝑤3 ) v – w =(𝑣1 − 𝑤1 , 𝑣2 − 𝑤2, 𝑣3 − 𝑤3 ) Jika v = (𝑣1 , 𝑣2, 𝑣3 ) dan k sebarang skalar, maka kv = (𝑘𝑣1 , 𝑘𝑣2, 𝑘𝑣3 ) Tiga vektor khas di ruang-3 adalah 𝐢 = 1, 0, 0 , 𝐣 = 0, 1, 0 , dan 𝐤 = (0, 0, 1) Ini disebut vektor satuan baku atau vektor basis. Setiap vektor v = (𝑣1 , 𝑣2, 𝑣3 ) dapat di tulis dalam bentuk i, j, dan k sebagai berikut : v = (𝑣1 , 𝑣2, 𝑣3 ) = 𝑣1 𝒊 + 𝑣2 𝐣 +𝑣3 𝐤 Jika vektor 𝑃1 𝑃2 mempunyai titik awal 𝑃1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 dan titik terminal 𝑃2 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 , maka 𝑃1 𝑃2 = 𝑂𝑃1 − 𝑂𝑃2 = 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 − 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 = 𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1 Contoh: Komponen – komponen vektor v = 𝑃1 𝑃2 dengan titik awal 𝑃1 (2, -1, 4) dan titik terminal 𝑃2 = ( 7, 5, −8) adalah v = (7 − 2, 5 − (−1), (−8) − 4) = (5, 6, −12) Teorema 1. Jika 𝒖, 𝒗, 𝒘 adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k serta 1 adalah skalar, maka hubungan berikut berlaku. a. 𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖 b. (𝒖 + 𝒗) + 𝒘 = 𝒖 + (𝒗 + 𝒘) c. 𝒖 + 0 = 0 + 𝒖 = 𝒖 d. 𝒖 + (−𝒖) = 0 e. 𝑘(𝑙𝒖) = (𝑘𝑙)𝒖 f. 𝑘(𝒖 + 𝒗) = 𝑘𝒖 + 𝑘𝒗 g. (𝑘 + 𝑙)𝒖 = 𝑘𝒖 + 𝑙𝒖 h. 1𝒖 = 𝒖 i. k𝒖 = k 𝒖 b. (𝒖 + 𝒗) + 𝒘 = 𝒖 + (𝒗 + 𝒘) Bukti b (analitik) Misalkan 𝒖 = 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝒗 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ), dan 𝒘 = (𝑤1 , 𝑤2 , 𝑤3 ) Maka ∶ 𝒖 + 𝒗 + 𝒘 = [(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) + (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) + (𝑤1 , 𝑤2 , 𝑤3 )] = (𝑢1 +𝑣1, 𝑢2 +𝑣2 , 𝑢3 +𝑣3 )+ (𝑤1 , 𝑤2 , 𝑤3 ) = ([𝑢1 +𝑣1 ]+𝑤1 , [𝑢2 +𝑣2 ]+𝑤2 , [𝑢3 +𝑣3 ]+𝑤3 ) = (𝑢1 +[𝑣1+𝑤1 ], 𝑢2 +[𝑣2 +𝑤2 ], 𝑢3 +[𝑣3 +𝑤3 ]) = 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 + (𝑣1+𝑤1 , 𝑣2 +𝑤2 , 𝑣3 +𝑤3 ) = 𝒖 + (𝒗 + 𝒘) Bukti b (geometris) Misalkan u, v, w dinyatakan oleh 𝑃𝑄, 𝑄𝑅. 𝑑𝑎𝑛 𝑅𝑆 seperti gambar di bawah ini: 𝒗 + 𝒘 = 𝑄𝑆 dan 𝒖 + (𝒗 + 𝒘) = 𝑃𝑆 dan (𝒖 + 𝒗) + 𝒘 = 𝑃𝑆 Juga 𝒖 + 𝒗 = 𝑃𝑅 Maka 𝐮 + (𝐯 + 𝐰) = (𝐮 + 𝐯) + 𝐰 f. 𝑘(𝒖 + 𝒗) = 𝑘𝒖 + 𝑘𝒗 Bukti: 𝑘(𝒖 + 𝒗) = 𝑘( 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 + (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 )) = 𝑘(𝑢1 +𝑣1 , 𝑢2 +𝑣2 , 𝑢3 +𝑣3 ) = (𝑘𝑢1 + 𝑘 𝑣1 , 𝑘𝑢2 +𝑘𝑣2 , 𝑘𝑢3 + 𝑘𝑣3 ) = 𝑘𝑢1 , 𝑘𝑢2 , 𝑘𝑢3 + (𝑘𝑣1 , 𝑘𝑣2 , 𝑘𝑣3 ) = 𝑘 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 + 𝑘(𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) = 𝑘𝒖 + 𝑘𝒗 i. k𝒖 = k 𝒖 Bukti : k𝒖 = = 𝑘𝑢1 , 𝑘𝑢2 , 𝑘𝑢3 (𝑘𝑢1 )2 +(𝑘𝑢2 )2 + (𝑘𝑢3 )2 = 𝑘 2 (𝑢1 2 + 𝑢2 2 + 𝑢3 2 ) = 𝑘 2 (𝑢1 2 + 𝑢2 2 + 𝑢3 2 ) = k 𝒖 4.3 Panjang Vektor Panjang sebuah vektor v sering dinamakan norma v dan dinyatakan dengan || v ||. Panjang norma vektor v = (𝑣1 , 𝑣2 ) dengan teorema phytagoras 𝐯 = 𝒗𝟐𝟏 + 𝒗𝟐𝟐 Mislakan v = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ), adalah vektor di ruang -3. Dengan teorema phyagoras: 𝒗 𝟐 = 𝑶𝑹𝟐 + 𝑹𝑷𝟐 = 𝑶𝑸𝟐 + 𝑶𝑺𝟐 + 𝑹𝑷𝟐 =𝒗𝟐𝟏 + 𝒗𝟐𝟐 + 𝒗𝟐𝟑 Jadi, 𝐯 = 𝒗𝟐𝟏 + 𝒗𝟐𝟐 + 𝒗𝟐𝟑 Jika 𝑃1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 dan 𝑃2 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 , adalah dua titik di ruang-3, maka jarak d di antara kedua titik tersebut adalah norma vektor 𝑃1 𝑃2 . Karena 𝑃1 𝑃2 = 𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1 Maka 𝑑= (𝑥2 − 𝑥1 )2 +(𝑦2 − 𝑦1 )2 +(𝑧2 − 𝑧1 )2 Demikian juga untuk 𝑃1 𝑥1 , 𝑦1 dan 𝑃2 𝑥2 , 𝑦2 , adalah titik di ruang-2, maka jarak antara kedua titik tersebut adalah 𝑑= (𝑥2 − 𝑥1 )2 +(𝑦2 − 𝑦1 )2 CONTOH: Misalkan v = (4, -3). Carilah 𝒗 dan carilah vektor satuan u dengan arah sama seperti v. Penyelesaian: 𝐯 = 𝒗𝟐𝟏 + 𝒗𝟐𝟐 𝐯 = 42 + (−3)2 𝐯 = 25 𝐯 =5 Untuk mencari u, kita bagi v dengan panjangnya 𝑣 𝐯 (𝟒, −𝟑) 𝟏 𝟒 −𝟑 𝐮= = = 𝟒, −𝟑 = ( , ) 2 2 v 𝟓 𝟓 𝟓 4 + (−3) Panjang u = 1 Norma vektor v = (-3,2,1) adalah 𝐯 = (−3)2 +22 + 12 = 14 Jarak d diantara titik 𝑃1 2, −1, −5 dan 𝑃2 4, −3,1 adalah 𝑑= (4 − 2)2 +(−3 + 1)2 +(1 + 5)2 = 44 = 2 11
