Makalah Profesional Modul 1-3, Word 2003

BAB II
ISI
Modul 1 : Logika Matematika dan Matematika Diskrit
a. Logika Matematika
1. Pengertian Logika
Logika merupakan induk matematika. Rasionalnya, belajar logika berarti belajar
berpikir dan bernalar secara logis yang merupakan kegiatan akal manusia dalam
memanfaatkan pengetahuan yang diterima melalui panca indera, kemudian diolah
agar
dicapai
suatu
kebenaran.
Dengan
belajar
logika,
akan
mampu
memanifestasikan pikiran sehingga mampu mempertimbangkan, menganalisis,
menunjukkan alasan-alasan, membuktikan sesuatu, menarik kesimpulan, meneliti
suatu jalan pikiran, dan lain-lain. Dengan demikian, rasional mempelajari logika
matematika adalah agar pembelajar dapat berpikir lebih nalar, kritis, tepat, konsisten,
dan benar
1. Kalimat dan Pernyataan
Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut tata bahasa dan mengandung
arti. Dalam logika matematika hanya dibicarakan kalimat-kalimat yang berarti
menerangkan (kalimat deklaratif), yang disebut pernyataan. Pernyataan mungkin
bernilai benar saja atau bernilai salah saja. Benar atau salahnya sebuah pernyataan
disebut nilai kebenaran pernyataan itu, dan ditentukan oleh realitas yang
dinyatakannya atau kesepakatan terdahulu. Logika yang kita bahas di sini adalah
logika matematika dua nilai, yaitu nilai BENAR (B) dan nilai SALAH (S).
Menurut jenisnya, suatu kalimat secara sederhana dapat dibagi seperti di bawah ini:
1
Pernyataan yang hanya menyatakan pikiran tunggal dan tidak mengandung kata hubung
kalimat disebut pernyataan sederhana/pernyataan primer. Sedangkan pernyataan yang terdiri
atas satu atau lebih pernyataan sederhana dengan bermacam macam kata hubung kalimat
disebut pernyataan majemuk/pernyataan komposit.
Dalam logika matematika, suatu pernyataan umumnya disimbolkan dengan huruf kecil,
seperti a, b, c, . . . atau p, q, r, . . . atau kadangkala digunakan huruf besar A, B, C, . . . atau
P, Q, R, . . . . Sedangkan nilai benar disimbolkan ”B” atau “1 (satu)” dan nilai salah
disimbolkan dengan “S” atau “0 (nol)”.
2. Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum/tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya.
Dalam matematika, kalimat terbuka bisa berbentuk persamaan (kalimat terbuka yang
menggunakan tanda “=”) atau berbentuk pertidaksamaan (kalimat terbuka yang
menggunakan tanda “≠”, “<”, “>”, “≤”, atau “≥”). Contoh:
1) 𝑥 + 1 = 3, kalimat terbuka
yang berbentuk persamaan. 2) 𝑥2–2 < 5, kalimat terbuka yang berbentuk pertidaksamaan.
Pernyataan, sebagaimana disinggung pada halaman sebelumnya adalah kalimat yang sudah
dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Dalam logika matematika,
pernyataan bisa berbentuk kesamaan (kalimat tertutup yang menggunakan tanda “=”),
berbentuk ketidaksamaan (kalimat tertutup yang menggunakan tanda “≠”, “<”, “>”, “≤”, atau
“≥”), atau berbentuk kalimat deklaratif biasa.
Contoh:
1) 6 + 7 = 8, pernyataan yang
berbentuk kesamaan, yang bernilai salah. 2) 42 + 13 > 20, pernyataan yang berbentuk
ketidaksamaan, yang bernilai benar
3) Semarang merupakan ibukota Jawa Tengah.
Pernyataan bernilai Benar. 4) Kerajaan Demak terletak di Pulau Sumatra. Pernyataan bernilai
Salah.
3. Tautologi
Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk setiap substitusi pernyataan
tunggalnya dinamakan tautologi. Dengan kata lain, tautologi merupakan pernyataan yang
selalu bernilai benar dalam kondisi apapun. Tautologi digunakan sebagai dasar dalam
pengambilan keputusan atau pembuktian matematis.
Contoh: Misalnya kita akan mencari nilai kebenaran dari pernyataan (𝑝∧𝑞) ⇒𝑝 dengan tabel
kebenaran.
2
4. Kontradiksi
Jika tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar, maka sebaliknya kontradiksi
adalah pernyataan yang selalu bernilai salah untuk setiap substitusi nilai kebenaran
pernyataan tunggalnya.
Contoh: Misalnya kita akan mencari nilai kebenaran dari pernyataan (𝑝∧𝑞) ∧ ~𝑝 dengan
tabel kebenaran.
Dari tabel kebenaran di atas terlihat setiap substitusi dari pernyataan (𝑝∧𝑞) ∧ ~ bernilai
salah sehingga pernyataan (𝑝∧𝑞) ∧ ~𝑝 disebut kontradiksi.
5. Aljabar Proposisi
Setiap pernyataan (proposisi) yang saling ekuivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara
satu dengan yang lainnya.
Berikut ini adalah hukum-hukum aljabar proposisi yang ada.
1) Hukum Idempoten :
a) 𝑝∨𝑝 ≡ 𝑝
b) 𝑝∧𝑝 ≡ 𝑝
2) Hukum Asosiatif :
a) (𝑝∨𝑞) ∨𝑟 ≡ 𝑝∨ (𝑞∨𝑟)
b) (𝑝∧𝑞) ∧𝑟 ≡ 𝑝∧ (𝑞∧𝑟)
3) Hukum Komutatif :
a) 𝑝∨𝑞 ≡ 𝑞∨𝑝
b) 𝑝∧𝑞 ≡ 𝑞∧𝑝
3
4) Hukum Distributif :
a) 𝑝∨ (𝑞∧𝑟) ≡ (𝑝∨𝑞) ∧ (𝑝∨𝑟)
b) 𝑝∧ (𝑞∨𝑟) ≡ (𝑝∧𝑞)⋁(𝑝∧𝑟)
5) Hukum Identitas :
a) 𝑝∨𝐵 ≡ 𝐵
b) 𝑝∨𝑆 ≡ 𝑝
c) 𝑝∧𝐵 ≡ 𝑝
d) 𝑝∧𝑆 ≡ 𝑆
6) Hukum Komplemen :
a) 𝑝∨ ~𝑝 ≡ 𝐵
b) 𝑝∧ ~𝑝 ≡ 𝑆
c) ~(~𝑝) ≡ 𝑝
d) ~𝐵 ≡ 𝑆
7) Hukum Transposisi 𝑝⇒𝑞 ≡ ~𝑞⇒ ~𝑝
8) Hukum Implikasi 𝑝⇒𝑞 ≡ ~𝑝∨𝑞
9) Hukum Ekuivalensi
a) 𝑝⇔𝑞 ≡ (𝑝⇒𝑞) ∧ (𝑝⇒𝑟)
b) 𝑝⇔𝑞 ≡ (𝑝∧𝑞) ∨ (𝑝∧𝑟)
10) Hukum Eksportasi (𝑝∧𝑞) ⇒𝑟 ≡ 𝑝⇒ (𝑞⇒𝑟)
11) Hukum DeMorgan
a) ~(𝑝∨𝑞) ≡ ~𝑝∧ ~𝑞
b) ~(𝑝∧𝑞) ≡ ~𝑝∨ ~𝑞
Catatan: 𝐵 = 𝐵𝑒𝑛𝑎𝑟, 𝑆 = 𝑆𝑎𝑙𝑎ℎ
Contoh 1: Buktikan bahwa ~(𝑝⇒𝑞) ≡ ~𝑞.
Penyelesaian:
~(𝑝⇒𝑞) ≡ ~(~𝑝∨𝑞) ≡ ~(~𝑝) ∧ ~𝑞 ≡ 𝑝∧ ~𝑞 (Terbukti)
Contoh 2: Buktikan bahwa (𝑝∧𝑞) ⇒𝑝 ≡ 𝐵.
(𝑝∧𝑞) ⇒𝑝 ≡ ~(𝑝∧𝑞) ∨𝑝 ≡ (~𝑝∨ ~𝑞) ∨𝑝 ≡ (~𝑞∨ ~𝑝) ∨𝑝 ≡ ~𝑞∨ (~𝑝∨𝑝) ≡ ~𝑞∨𝐵 ≡ 𝐵 (Terbukti)
Contoh 3: Buktikan bahwa ~(𝑝⇒ (𝑝∨𝑞)) adalah suatu kontradiksi.
~(𝑝⇒ (𝑝∨𝑞)) ≡ ~(~𝑝∨ (𝑝∨𝑞))
≡ ~((~𝑝∨𝑝) ∨𝑞) ≡ ~(𝐵∨𝑞) ≡ ~𝐵 ≡ 𝑆 (Terbukti)
Karena ~(𝑝⇒ (𝑝∨𝑞)) ≡ 𝑆 maka ~(𝑝⇒ (𝑝∨𝑞)) suatu kontradiksi.
6. Argumen
Premis adalah suatu pernyataan yang bernilai benar, dianggap benar atau disepakati
kebenarannya. Premis dapat berupa: aksioma, hipotesis, definisi, dalil/teorema atau
pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya. Argumen adalah kumpulan dari satu atau
4
beberapa premis beserta kesimpulan/konklusinya yang diambil secara sahih/valid. Beberapa
argumen dalam logika antara lain:
5
6
7
8
7. Aturan Bukti Bersyarat
cara membuktikan keabsahan argumen dengan bukti formal. Salah satu cara yang digunakan
dikenal dengan bukti formal dengan cara langsung dan disingkat dengan Bukti Langsung.
Akan tetapi tidak semua argumen dapat dibuktikan dengan bukti langsung. Cara lain untuk
membuktikan keabsahan argumen dengan bukti formal yaitu dengan Aturan Bukti Bersyarat
(ABB).
Catatan: Yang perlu diingat bahwa ABB dapat digunakan apabila konklusi argumen tersebut
merupakan implikasi.
Adapun langkah-langkah pembuktian Aturan Bukti Bersyarat yaitu sebagai berikut.
1) Menulis premis-premis yang diketahui. 2) Menarik anteseden dari konklusi menjadi
premis baru (premis tambahan) dan konsekuennya merupakan konklusi dari argument
(konklusi baru). 3) Menggunakan aturan penyirnpulan dan hukum penggantian untuk
menemukan konlusi sesuai dengan konklusi baru.
Prosedur ABB dapat dilakukan karena didasarkan pada prinsip eksportasi bahwa 𝑝⇒ (𝑞⇒𝑟)
≡ (𝑝∧𝑞) ⇒𝑟. Kita ingat bahwa ada hubungan yang erat antara argumen sah/valid dengan
9
implikasi logis sehingga kebenaran prosedur ABB mudah kita terima dengan penjelasan
berikut.
Penjelasan di atas menunjukkan bahwa karena 𝑃⇒ (𝐴⇒𝐶) ≡ (𝑃∧𝐴) ⇒𝐶 maka argumen
/∴𝐴⇒𝐶 sah/valid dan argumen 𝑃,/∴𝐶 juga sah/valid. Keterangan di atas akan lebih mudah
diterima dengan memperhatikan contoh berikut.
10
8. Reductio Ad Absordum (Bukti Tak Langsung)
Selain dengan cara Aturan Bukti Bersyarat masih ada cara lain untuk membuktikan
keabsahan argumen yaitu dengan Bukti Tak Langsung. Adapun langkah-langkahnya adalah
sebagai berikut.
1) Menulis premis-premis yang diketahui. 2) Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis
baru (premis tambahan). 3) Dengan menggunakan aturan penyirnpulan dan hukum
penggantian ditunjukkan adanya kontradiksi. 4) Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal
menggunakan prinsip Adisi dan Silogisme Disjungtif . Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh
berikut ini.
Contoh:
Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Reductio Ad Absordum (Bukti Tak Langsung).
11
Catatan:
1) Langkah ke-13 menunjukkan adanya kontradiksi sebab 𝑏∧ ~𝑏 (menurut hukum
komplemen) bernilai salah (False). 2) Setelah ditemukan adanya kontradiksi, langkah
berikutnya menggunakan aturan penambahan dan silogisme disjungtif untuk membuktikan
konklusi.
12
b. Matematika Diskrit
1. KOMBINATORIKA
Materi kombinatorika, yang meliputi: binomial, barisan dan multiset, fungsi pembangkit,
relasi rekursif, beserta contoh penerapannya
a. Fungsi Pembangkit
Fungsi pembangkit dapat digunakan untuk: memecahkan berbagai masalah counting,
memecahkan relasi rekursif, dan membuktikan identitas kombinatorik. Beberapa
formula yang sering digunakan dalam memecahkan masalah terkait fungsi
pembangkit sebagai berikut:
Khususnya, untuk 𝑢 bilangan bulat negatif, misal 𝑢 = −𝑛 berlaku persamaan berikut
13
14
15
Berikut ini diberikan teorema untuk menentukan barisan dari penjumlahan atau perkalian dua
buah fungsi pembangkit.
Fungsi pembangkit biasa dapat diterapkan untuk menyelesaikan masalah-masalah kombinasi.
Seperti dijelaskan pada contoh di bawah ini. Contoh 13: Tentukan banyaknya solusi dari 𝑛1 +
𝑛2 + 𝑛3 = 20, bila 𝑛1,𝑛2,𝑛3 bilangan bulat tak negatif dengan 5 ≤ 𝑛1 ≤ 10,5 ≤ 𝑛2 ≤ 8 dan 5 ≤
𝑛3 ≤ 12. Penyelesaian. Menentukan solusi dari persamaan sama dengan masalah menentukan
16
berapa banyak obyek 𝑛1 terambil, berapa banyak obyek 𝑛2 terambil, dan berapa banyak obyek
𝑛3 terambil. Oleh karena itu, masalah ini sama dengan masalah menentukan kombinasi 𝑘 dari
𝑛obyek. Fungsi pembangkit untuk kemungkinan terambilnya obyek 𝑛1 adalah (𝑥5 + 𝑥6 + ⋯+
𝑥10), fungsi pembangkit untuk kemungkinan terambilnya obyek 𝑛2 adalah (𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 +
𝑥8), dan fungsi pembangkit untuk kemungkinan terambilnya obyek 𝑛3 adalah (𝑥5 + 𝑥6 + ⋯+
𝑥12). Banyaknya solusi dinyatakan oleh koefisien 𝑥20 dalam ekspansi: (𝑥) = (𝑥5 + 𝑥6 + ⋯+
𝑥10)(𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 + 𝑥8)(𝑥5 + 𝑥6 + ⋯+ 𝑥12). Setiap bentuk 𝑥20 dalam perkalian ini didapat
dengan mengalikan 𝑥𝑛1 pada faktor pertama dengan 𝑥𝑛2 pada faktor kedua dan 𝑥𝑛3 pada faktor
ketiga yang memenuhi: 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 = 20. Bila disederhanakan, fungsi pembangkit 𝐺(𝑥)
menjadi: 𝐺(𝑥) = 𝑥5(1 + 𝑥 + ⋯+ 𝑥5)𝑥5(1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3)𝑥5(1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯+ 𝑥7).
b. Multiset
Definisi 3. Diberikan himpunan semesta 𝑆. Sebuah multiset 𝐴 pada 𝑆 adalah sebuah
himpunan dengan unsur-unsurnya dapat muncul lebih dari satu kali, yaitu 𝐴 =
{𝑚1.𝑎1,2.𝑎2,…,𝑚𝑟.𝑎𝑟} dengan unsur 𝑎1 muncul sebanyak 𝑚1 kali, unsur 𝑎2 muncul
sebanyak 𝑚2 kali dan seterusnya sampai dengan unsur 𝑎𝑟 muncul sebanyak 𝑚𝑟 kali.
Muliplisitas 𝑚𝑖 merupakan sebuah fungsi dari 𝑆 ke himpunan bilangan bulat positif.
Berdasarkan Definisi 3, jelas bahwa himpunan klasik merupakan kasus khusus dari multiset,
yaitu multiset dengan multiplisitas masing-masing unsur sama dengan 1.
memahami, diperhatikan contoh-contoh berikut ini. Contoh 9.
Untuk lebih
(1) Himpunan {𝑎,,,,𝑏}
merupakan multiset dengan unsur 𝑎 muncul sebanyak 3 kali dan unsur 𝑏 muncul sebanyak 2
kali. (2) Himpunan {1,1,1,3,3,5,5,5} merupakan multiset dengan unsur 1 muncul sebanyak 3
kali, unsur 3 muncul sebanyak 2 kali, dan unsur 5 muncul sebanyak 3 kali. (3) Himpunan
{𝑎,,} juga dapat disebut multiset dengan unsur 𝑎,𝑏,𝑐 masing-masing muncul sebanyak 1 kali.
(4) Himpunan {4.a,5.b,6.c,7.d} merupakan multiset dengan unsur 𝑎 muncul sebanyak 4 kali,
unsur 𝑏 muncul sebanyak 5 kali, unsur 𝑐 muncul sebanyak 6 kali, dan unsur 𝑑 muncul
sebanyak 7 kali Beberapa operasi dasar yang berlaku pada multiset sebagai berikut:
Diberikan himpunan semesta 𝑆, multiset 𝐴 dan 𝐵 pada 𝑆 dengan fungsi multiplisitas masingmasing 𝑚𝐴 dan 𝑚𝐵.
17
1. Gabungan 𝐴∪𝐵 adalah multiset 𝐶 dengan fungsi multiplisitas 𝑚𝐶 didefinisikan sebagai
berikut (𝑥) = max{𝑚𝐴(𝑥),𝑚𝐵(𝑥)} untuk setiap 𝑥∈𝑆.
2. Irisan 𝐴 ∩ 𝐵 adalah multiset 𝐷 dengan fungsi multiplisitas 𝑚𝐷 didefinisikan sebagai
berikut : 𝑚𝐷(𝑥) = min{𝑚𝐴(𝑥),𝑚𝐵(𝑥)}untuk setiap 𝑥∈𝑆.
3. Multiset 𝐴 disebut termuat dalam multiset 𝐵, dinotasikan 𝐴⊆𝐵, jika
(𝑥) ≤ 𝑚𝐵(𝑥)
untuk
setiap 𝑥∈𝑆.
4. Operasi selisih.
5 Selisih multiset 𝐴 − 𝐵 adalah multiset 𝐹 dengan fungsi multiplisitas 𝑚𝐹 didefinisikan
sebagai berikut (𝑥) = 𝑚𝐴(𝑥) − 𝑚𝐵(𝑥) untuk setiap 𝑥∈𝑆. Jika nilai selisih dalam (𝑥) negatif,
maka didefinisikan 𝑚𝐹(𝑥) = 0.
6. Jumlahan multiset 𝐴 + 𝐵 adalah multiset 𝐻 dengan fungsi multiplisitas 𝑚𝐻 didefinisikan
sebagai berikut (𝑥) = 𝑚𝐴(𝑥) + 𝑚𝐵(𝑥) untuk setiap 𝑥∈𝑆
Sebagai ilustrasi, diperhatikan contoh berikut ini.
Contoh 10.
1. Diberikan himpunan semesta 𝑆 himpunan bilangan bulat positif.
Diberikan multiset 𝐴 = {1,1,2,2,2,3} dan 𝐵 = {1,2,2,2,3,3,3,4}
1. Gabungan 𝐴∪𝐵 = {1,1,2,2,2,3,3,3,4}.
2. Irisan 𝐴 ∩ 𝐵 = {1,2,2,2,3}.
3. Multiset 𝐴 termuat dalam multiset 𝐵.
4. Selisih 𝐴 − 𝐵 = {1}
5. Jumlahan 𝐴 + 𝐵 = {1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4}
2. Diberikan himpunan semesta 𝑆 yang merupakan himpunan alfabet.
Diberikan multiset 𝐴 = {2a,3b,c} dan 𝐵 = {a,2b,4d}
1. Gabungan 𝐴∪𝐵 = {2a,3b,c,4d}.
2. Irisan 𝐴 ∩ 𝐵 = {a,2b}.
3. Selisih 𝐴 − 𝐵 = {a,b,c}
4. Jumlahan 𝐴 + 𝐵 = {3a,5b,c,4d}
3. Diberikan himpunan semesta 𝑆 yang merupakan himpunan alfabet.
Diberikan multiset 𝐴 = {5a,3b} dan 𝐵 = {6a,7b,3d}
1. Gabungan 𝐴∪𝐵 = {6a,7b,3d}.
2. Irisan 𝐴 ∩ 𝐵 = {5a,3b}.
3. Selisih 𝐴 − 𝐵 = {}
4. Jumlahan 𝐴 + 𝐵 = {11a,10b,c,3d}
18
5. Multiset 𝐴 termuat dalam multiset 𝐵.
c. Relasi Rekursif
Definisi 4. Relasi Rekursif untuk barisan {𝑎𝑛} didefinisikan sebagai sebuah persamaan yang
menyatakan 𝑎𝑛 dalam salah satu atau lebih suku-suku sebelumnya, yaitu 𝑎0,1,…,𝑎𝑛−1,
untuk semua 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 𝑛0 dengan 𝑛0 bilangan bulat tak negatif. Selanjutnya, barisan
{𝑎𝑛} dikatakan sebagai solusi dari relasi rekursif ini bila 𝑎𝑛 memenuhi relasi rekursif.
Ilustrasi tentang relasi rekursif dijelaskan pada contoh-contoh berikut ini.
Contoh 14.
1. Misal barisan {𝑎𝑛} memenuhi relasi rekursif 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 untuk 𝑛 = 2,3,4,…
Serta diberikan nilai awal: 𝑎0 = 3 dan 𝑎1 = 5.
Diperoleh: 𝑎2 = 𝑎1 − 𝑎0 = 5 − 3 = 2 𝑎3 = 𝑎2 − 𝑎1 = 2 − 5 = −3 𝑎4 = 𝑎3 − 𝑎2 = −3 − 2 =
−5 𝑎5 = 𝑎4 − 𝑎3 = −5 + 3 = −2 Dan seterusnya.
Jelas bahwa 𝑎𝑛 mengaitkan dua suku sebelumnya.
2. Apakah barisan {𝑎𝑛} dengan 𝑎𝑛 = 3𝑛 merupakan solusi dari relasi rekursif = 2𝑎𝑛−1 −
𝑎𝑛−2 untuk 𝑛 = 2,3,4,… dengan n bilangan bulat tak negatif?
Penyelesaian:
Dengan mensubtitusi 𝑎𝑛 = 3𝑛 ke ruas kanan relasi rekursif, diperoleh: 2.3.(𝑛 − 1) − 3(n
− 2) = 6n − 6 − 3n + 6 = 3n = 𝑎𝑛
Dapat dibuktikan bahwa 𝑎𝑛 = 3𝑛 memenuhi relasi rekursif.
Jadi 𝑎𝑛 = 3𝑛 merupakan solusi dari relasi rekursif.
Relasi rekursif dapat digunakan untk memodelkan permasalahan real. Sebagai ilustrasi,
diperhatikan contoh berikut ini.
Contoh 15.
1. Barisan Fibonacci: Sepasang kelinci diletakkan di sebuah pulau. Pasangan kelinci ini
tidak akan beranak sampai berumur 2 bulan, Setelah 2 bulan, setiap pasang kelinci akan
menghasilkan sepasang kelinci lainnya setiap bulan. Misal 𝑓𝑛 menyatakan banyaknya
pasangan kelinci setelah 𝑛 bulan, relasi rekursif untuk barisan {𝑓𝑛} adalah 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛−1
+ 𝑓𝑛−2
2. Masalah derangement: Misal 𝐷𝑛 menyatakan banyak derangement dari 𝑛 obyek
berbeda. Diperhatikan kembali formula untuk menentukan 𝐷𝑛. Jelas bahwa 𝐷0 = 1,𝐷1 =
0,𝐷2 = 1,𝐷3 = 2,𝐷4 = 9,𝐷5 = 44,𝐷6 = 265, dan seterusnya. Relasi rekusif untuk
menentukan 𝐷𝑛 sebagai berikut: 𝐷𝑛 = (𝑛 − 1)−1 + 𝐷𝑛−2
Menentukan solusi dari sebuah relasi rekursif sama dengan menentukan rumus eksplisit
dari barisan {𝑎𝑛}. Metode untuk menentukan solusi dari sebuah relasi rekursif
bergantung pada jenis relasi rekursif tersebut. Terdapat dua jenis relasi rekursif, yaitu
relasi rekursif linear homogen dan relasi rekursif linear tak homogen. Definisi 5. Bentuk
19
umum relasi rekursif linear homogen berderajat 𝑘 dengan koefisien-koefisien konstan
sebagai berikut:
𝑎𝑛 = 𝑐1𝑎𝑛−1 + 𝑐2𝑎𝑛−2 + ⋯+ 𝑐𝑘𝑎𝑛−𝑘 (3)
dengan 𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑘
bilangan-bilangan real dan 𝑐𝑘 ≠ 0.
Untuk lebih memahami bentuk relasi rekursif linear homogen berderajat 𝑘 dengan
koefisien konstan, diperhatikan contoh berikut ini.
1. 𝑃n = (1.11)−1, merupakan relasi rekursif linear homogen berderajat 1
2. 𝑓𝑛 = 4𝑓𝑛−2, merupakan relasi rekursif linear homogen berderajat 2
3. 𝐻𝑛 = 2𝐻𝑛−1 − 𝐻𝑛−2 + 𝐻𝑛−3, merupakan relasi rekursif linear homogen berderajat 3
4. 𝐻𝑛 = 2𝐻𝑛−1 − 𝐻𝑛−2 + 𝐻𝑛−3 + 𝐻𝑛−4, merupakan relasi rekursif linear homogeny
Langkah untuk menentukan solusi relasi rekursif homogen linear adalah dengan
mensubtitusi bentuk 𝑎𝑛 = 𝑟𝑛 dengan 𝑟 konstanta. Bentuk 𝑎𝑛 = 𝑟𝑛 solusi dari relasi
rekursif (3) jika dan hanya jika 𝑎𝑛 memenuhi relasi rekursif
(3). Dengan cara
mensubtitusi 𝑎𝑛 = 𝑟𝑛 ke relasi rekursif (3), diperoleh persamaan karakteristik sebagai
berikut: 𝑟𝑘 − 𝑐1𝑟𝑘−1 + 𝑐2𝑟𝑘−2 + ⋯+ 𝑐𝑘−1𝑟 − 𝑐𝑘 = 0, dan akar dari persamaan tersebut
di atas disebut akar-akar karakteristik. Bentuk solusi homogen dari relasi rekursif (3)
dibedakan berdasarkan akar-akar persaam karakteristiknya
d. Graf
Konsep-konsep Dasar Teori Graf
a. Pengertian Graf. Graf G adalah pasangan himpunan (𝑉(𝐺),𝐸(𝐺)) atau cukup disingkat
(𝑉,𝐸), ditulis dengan notasi 𝐺 = (𝑉(𝐺),𝐸(𝐺)) atau 𝐺 = (𝑉,𝐸), yang dalam hal ini 𝑉 adalah
himpunan tidak-kosong dari titik (vertices atau nodes) dan 𝐸 adalah himpunan sisi (edge)
yang menghubungkan satu atau dua titik, dengan 𝐸 mungkin merupakan himpunan
kosong. Definisi ini menyatakan bahwa 𝑉 tidak boleh kosong, sedangkan 𝐸 boleh
kosong. Jadi sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi, tetapi titiknya harus ada,
minimal satu. Graf yang tidak memiliki sisi dinamakan graf kosong (null graph). Graf
kosong dengan 𝑛 titik, dinotasikan dengan 𝑁𝑛. Titik pada graf dapat dilabel dengan
huruf, seperti 𝑎,𝑏,𝑐,…, z atau 𝑣1,𝑣2,⋯,𝑣𝑛 atau dengan bilangan asli 1,2,3,…,𝑛,
sedangkan sisi yang menghubungkan titik 𝑢 dengan titik 𝑣 dinyatakan dengan pasangan
(𝑢,𝑣) atau dinyatakan dengan lambang 𝑒1,𝑒2,….,𝑒𝑛. Dengan kata lain, jika 𝑒 adalah sisi
yang menghubungkan titik 𝑢 dengan titik 𝑣, maka 𝑒 dapat ditulis sebagai 𝑒 = (𝑢,). Sisi e
tersebut dapat juga ditulis sebagai atau 𝑣𝑢.
b. Graf Bagian (Subgraf). Misalkan 𝐺 adalah graf dengan himpunan titik (𝐺) dan
himpunan sisi (𝐺). Sebuah graf 𝐻 dengan himpunan titik (𝐻) dan himpunan sisi (𝐻),
disebut graf bagian (subgraf) dari graf 𝐺, dinotasikan 𝐻⊆𝐺, jika 𝑉(𝐻) ⊆𝑉(𝐺) dan 𝐸(𝐻)
⊆𝐸(𝐺). Jika (𝐻) = (𝐺) dan 𝐸(𝐻) ⊆𝐸(𝐺), maka H disebut graf bagian rentang (spanning
subgraph). Sifat-sifat dari graf bagian adalah sebagai berikut. 1) Setiap graf merupakan
graf bagian dari dirinya sendiri. 2) Graf bagian dari suatu graf bagian 𝐺 merupakan graf
20
bagian dari 𝐺. 3) Sebuah titik dalam graf 𝐺 merupakan graf bagian dari 𝐺. 4) Sebuah sisi
dari 𝐺 bersamaan dengan kedua titik ujungnya juga merupakan graf bagian dari 𝐺.
Berikut ini adalah contoh graf bagian dari sebuah graf.
Pada Gambar 3, H adalah graf bagian rentang dari G dan K adalah graf bagian dari G
tetapi bukan graf bagian rentang.
c. Jalan, Jejak, Lintasan, Sirkuit, dan Sikel
Misalkan 𝐺 adalah graf, maka jalan (walk) di 𝐺 adalah sebuah barisan berhingga 𝑊 = 𝑣0
𝑒1 𝑣1 𝑒2 𝑣2 …𝑣𝑖−1 𝑒𝑖𝑣𝑖 … 𝑒𝑘𝑣𝑘
yang sukusukunya bergantian titik dan sisi,
sedemikian sehingga 𝑣𝑖−1 dan 𝑣𝑖 adalah titik-titik akhir (titik ujung) sisi 𝑒𝑖 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤
𝑘 di mana 𝑣0 dan 𝑣𝑘 berturut-turut disebut titik awal dan titik akhir jalan W. Titik-titik
𝑣1,2,⋯,𝑣𝑘−1 disebut titik-titik internal jalan W. Panjang jalan W Adalah banyaknya sisi
dalam W. Jadi panjang jalan W di atas adalah k. Jalan tertutup di 𝐺 adalah jalan yang
titik awal dan akhirnya sama. Jejak (trail) di 𝐺 adalah jalan dengan semua sisinya
𝑒1,2,𝑒3,…,𝑒𝑘 berbeda. Lintasan (path) di 𝐺 adalah jejak dengan semua titiknya
𝑣1,2,𝑣3,…,𝑣𝑘 berbeda. Jejak tertutup (sirkuit) di 𝐺 adalah jejak yang titik awal dan
akhirnya sama dan sikel (cycle) adalah sirkuit yang titik awal dan semua titik internalnya
berbeda. Perhatikan Gambar 4 berikut.
d. Graf Terhubung dan Tidak Terhubung
Graf disebut terhubung (connected) jika setiap dua titik berbeda pada graf tersebut
terdapat sebuah lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut. Komponen graf G
adalah sebuah graf bagian terhubung maksimal (titik dan sisi) dari G. Graf H dikatakan
graf bagian terhubung maksimal dari graf G, jika tidak ada graf bagian lain dari G yang
21
terhubung dan memuat H. Graf terhubung terdiri satu komponen. Apabila suatu graf
tidak terhubung, maka graf tersebut terdiri dari beberapa komponen yang masingmasing
komponennya adalah suatu graf terhubung atau suatu titik terisolir.
Graf
terhubung terdiri satu komponen, sedang graf tak terhubung terdiri paling sedikit dua
komponen. Graf 𝐺1 terdiri satu komponen dan graf 𝐺2 terdiri empat komponen.
e. Isomorfisme Graf
Dua buah graf G dan H dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara
titik-titik keduanya dan antara sisi-sisi keduanya sedemikian sehingga jika sisi 𝑒1 di G
yang memiliki titik akhir 𝑢1 dan 𝑢2 maka berkorespondensi dengan sisi 𝑒2 di H yang
memiliki titik akhir 𝑣1 dan 𝑣2, demikian sebaliknya
.
Graf G dan H isomorfik karena ada korespondesi satu-satu sebagai berikut: 𝑢1 ↔ 𝑣1,2
↔ 𝑣3,,𝑢3 ↔ 𝑣5,𝑢4 ↔ 𝑣2,𝑢5 ↔ 𝑣4,𝑢6 ↔ 𝑣6
f.
Derajat Titik
Misalkan 𝑣 adalah titik dalam suatu graf 𝐺. Derajat (degree) titik 𝑣, disimbolkan (𝑣),
adalah jumlah sisi yang terkait dengan titik 𝑣 dan sisi suatu loop dihitung dua kali.
Derajat total 𝐺 adalah jumlah derajat semua titik dalam 𝐺. Derajat minimum dari graf 𝐺
dinotasikan dengan (𝐺) dan derajat maksimumnya dinotasikan dengan ∆(𝐺).
22
g. Matriks Ketetanggaan dan Matriks Keterkaitan
Selain dengan gambar, sebuah graf G dapat disajikan dengan sebuah matriks. Matriks
yang digunakan untuk menyajikan graf G tersebut diberi nama Matriks Ketetanggaan
(adjacency matrix) dan Matriks Keterkaitan (incidence matrix).
Jenis-jenis Graf Tertentu
a. Graf Lengkap (Graf Komplit)
Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap titiknya mempunyai sisi ke semua titik
lainnya atau semua titiknya bertetangga dengan semua titik lainnya. Graf lengkap dengan
𝑛 titik dilambangkan dengan 𝐾𝑛.
b. Graf Bipartisi
Graf bipartisi 𝐺 adalah graf yang himpunan titiknya dapat dikelompokkan menjadi dua
himpunan bagian 𝑉1 dan 𝑉2, sedemikian sehingga setiap sisi di dalam 𝐺 menghubungkan
sebuah titik di 𝑉1 ke sebuah titik di 𝑉2, dan dinyatakan sebagai (𝑉1,2). Dengan kata lain,
setiap pasang titik 𝑉1 (demikian pula dengan titik-titik di 𝑉2) tidak bertetangga
23
c. Graf Teratur (Graf Reguler)
Graf yang setiap titiknya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur atau graf
reguler. Apabila derajat setiap titik adalah 𝑟, maka graf tersebut disebut sebagai graf
teratur atau graf reguler derajat 𝑟 atau dapat ditulis graf teratur-𝑟 (graf reguler-𝑟). Jumlah
sisi pada graf teratur adalah 𝑛𝑟 2 . Contoh graf teratur ditunjukkan di bawah ini.
d. Graf Sikel
Graf sikel adalah graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua. Graf sikel dengan n
titik dilambangkan dengan 𝐶𝑛.
e. Graf Planar dan Graf Bidang
Graf G disebut graf planar (planar graph) jika G dapat digambar pada bidang datar
sedemikan hingga sisi-sisinya tidak ada yang berpotongan kecuali mungkin pada titiktitik ujung dari sisi-sisi tersebut. Sedangkan graf bidang (plane graph) adalah graf yang
digambar pada bidang datar sedemikan hingga sisi-sisinya tidak ada yang berpotongan
kecuali mungkin pada titik-titik ujung dari sisi-sisi tersebut. Dengan demikian, graf planar
adalah graf yang dapat digambar sebagai graf bidang. Graf bidang pasti graf planar tetapi
sebaliknya tidak berlaku.
24
f.
Graf Euler dan Graf semi-Euler
Sebuah sirkuit di graf G yang memuat semua sisi G disebut sirkuit Euler. Jika graf G
memuat sirkuit Euler, maka graf G disebut graf Euler. Sebuah jejak-buka yang memuat
semua sisi graf disebut jejak Euler. Graf G disebut graf semi-Euler jika G memuat jejak
Euler.
g. Graf Hamilton dan Semi-Hamilton
Misalkan G adalah sebuah graf. Sebuah sikel yang memuat semua titik di G disebut sikel
Hamilton. Jika G memuat sikel Hamilton, maka G disebut graf Hamilton. Sebuah lintasan
yang memuat semua titik di G disebut lintasan Hamilton. Sebuah graf G disebut graf
semi-Hamilton jika graf G bukan graf Hamilton dan graf tersebut memuat lintasan
Hamilton. Perhatikan tiga graf di bawah ini.
h. Pohon
Pohon (tree) adalah graf terhubung yang tidak memiliki sikel. Berikut adalah contohcontoh pohon.
Sifat-sifat Pohon Misalkan G = (V, E) adalah graf sederhana dan banyak titiknya n buah.
Pernyataan-pernyataan di bawah ini adalah ekivalen. 1) G adalah pohon. 2) Setiap pasang
titik di G terdapat tepat satu lintasan. 3) G terhubung dan memiliki n – 1 buah sisi. 4) G
25
tidak mengandung sikel dan memiliki n – 1 buah sisi. 5) G terhubung dan semua sisinya
adalah jembatan.
Pewarnaan Graf
a. Pewarnaan Titik (Vertex Colouring)
Misalkan G graf tanpa loop. Suatu pewarnaan-k (k-colouring) untuk graf G adalah suatu
penggunaan sebagian atau semua k warna untuk mewarnai semua titik di G sehingga setiap
pasang titik yang bertetangga (adjacent) diberi warna yang berbeda. Jika G mempunyai
pewarnaan-k, maka dikatakan titik-titik di G dapat diwarnai dengan k warna (kcolourable).
Bilangan khromatik (chromatic number) dari graf G, dinotasikan χ(G), adalah bilangan k
terkecil sehingga G dapat diwarnai dengan k warna. Jadi, (𝐺) = min {𝑘/ ada pewarnaan-𝑘
pada 𝐺}. Biasanya warna-warna yang digunakan untuk mewarnai titik-titik suatu graf
dinyatakan dengan 1, 2, 3, …, k. Jelas bahwa χ(G) ≤ |V(G)|. Sedangkan cara yang mudah
untuk menentukan batas bawah dari χ(G) adalah dengan mencari graf bagian komplit yang
terbesar di G.
b. Pewarnaan Sisi (Edge Colouring)
Misalkan G graf tanpa loop. Suatu pewarnaan sisi-k (k-edge colouring) untuk graf G adalah
suatu penggunaan sebagian atau semua k warna untuk mewarnai semua sisi di G sehingga
setiap pasang sisi yang mempunyai titik persekutuan diberi warna yang berbeda. Jika G
mempunyai pewarnaan sisi-k, maka dikatakan sisi-sisi di G dapat diwarnai dengan k warna
(k-edge colourable). Indeks khromatik (chromatic index) dari graf G, dinotasikan χ’(G),
adalah bilangan k terkecil sehingga sisi-sisi di G dapat diwarnai dengan k warna. Biasanya
warna-warna yang digunakan untuk mewarnai sisi-sisi suatu graf dinyatakan dengan 1, 2, 3,
…, k. Jelas χ’(G) ≤ |V(G)|, dan jika derajat titik maksimum di G adalah ∆(𝐺), maka χ’(G) ≥
∆(𝐺).
c. Pewarnaan Peta (Map Colouring)
Dalam pewarnaan peta, muncul pertanyaan: Paling sedikit berapa warna yang diperlukan
untuk mewarnai sebarang peta sehingga daerah yang bertetangga diwarnai berbeda? Jika
pada peta masing-masing daerah dipandang sebagai titik dan titik-titik yang mewakili dua
daerah yang bertetangga dihubungkan oleh satu sisi, maka yang terjadi adalah graf dual dari
peta tersebut
26
Modul 2 : Aljabar danProgram Linier
Aljabar
a. Perkalian Silang (Cross Product)
Jika 𝒖 = (𝑢1,2,𝑢3) dan 𝒗 = (𝑣1,𝑣2,𝑣3) merupakan dua vektor di ruang vektor 𝐑𝟑, maka
hasil perkalian silang 𝒖 × 𝒗 adalah didefinisikan sebagai vektor berikut
𝒖 × 𝒗 = (𝑢2𝑣3 − 𝑢3𝑣2,3𝑣1 − 𝑢1𝑣3,𝑢1𝑣2 − 𝑢2𝑣1) atau dalam sistem determinan
𝒖 × 𝒗 = (| 𝑢2 𝑢3 𝑣2 𝑣3|,−| 𝑢1 𝑢3 𝑣1 𝑣3|,| 𝑢1 𝑢2 𝑣1 𝑣2|) …… (1)
Catatan Berdasar (1), cara mencai komponen 𝒖 × 𝒗 dapat dilakukan dengan cara berikut.
1.
Dari matriks berordo 2×3; dengan menulis [ 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑣1 𝑣2 𝑣3] dengan baris
pertama merupakan komponen dari 𝒖 dan baris kedua merupakan komponen dari 𝒗.
2.
Mencari komponen pertama dari 𝒖 × 𝒗, dengan cara menghilangkan kolom pertama
dan mencari nilai determinan, mencari komponen kedua dengan menghilangkan
kolom kedua dan mencari nilai negatif dari determinannya; dan mencari komponen
ketiga dengan menghilangkan kolom ketiga dan mencari nilai determinannya.
Contoh : (Komponen vektor 𝒖 × 𝒗)
Carilah komponen dari 𝒖 × 𝒗, dengan = (1,2,−2) dan 𝒗 = (3,0,1).
27
Penyelesaian: Berdasar (1) atau dengan menggunakan matriks berordo 2x3;
diperoleh × 𝒗 = (|2 −2 0 1 |,−| 1 −2 3 1 |,| 1 2 3 0 |) = (2,−7,−6).
b.
Sudut Antara Dua Vektor
Jika 𝒖 dan 𝒗 adalah vektor tak nol di R2 (atau di R3), dan jika θ adalah sudut antara 𝒖 dan
𝒗, maka sudut 𝜃 antara 𝒖 dan 𝒗 memenuhi 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, sebagaimana diilustrasikan pada
Gambar 8 berikut.
Kita dapat menentukan sudut antara vektor 𝒖 dan vektor 𝒗 ditentukan dari 𝒖 dan
memanfaatkan aturan perkalian titik dari
didefinisikan dengan 𝒖.𝒗
dengan
dan 𝒗, yang dinotasikan dengan 𝒖.𝒗 dan
= ‖𝒖‖‖𝒗‖cos𝜃 ....... (1) Dengan θ adalah sudut antara 𝒖 dan 𝒗.
Berdasar (1), diperoleh
cos𝜃 =𝒖.𝒗 ‖𝒖‖‖𝒗‖
........ (2)
untuk 𝒖 dan 𝒗 bukan nol.
Untuk mencari sudut antara 𝒖 dan 𝒗, yaitu sudut θ, dapat digunakan rumus (2). Perhatikan,
𝜃 adalah sudut lancip jika .𝒗
jika jika 𝒖.𝒗
𝜃 adalah sudut tumpul
-siku atau 𝜃 = 𝜋 2 jika 𝒖.𝒗 = 0.
c. Kombinasi Linear, Bebas Linear, dan Basis
Kombinasi Linear Misalnya V = { 𝑣1,𝑣2}; maka persamaan yang memiliki bentuk 𝒘 =
𝑘1𝒗𝟏, dalam hal ini 𝒘 ditulis sebagai kombinasi linear dari 𝒗𝟏. Vektor 𝑢 = 𝑘1𝒗𝟏 + 𝑘2𝒗𝟐
merupakan kombinasi linear dari 𝒗𝟏 dan 𝒗𝟐; atau sering disebut vektor 𝑢 sebagai kombinasi
linear dari V.
Definisi: Jika 𝒘 adalah vektor pada ruang vektor V, maka 𝒘 merupakan kombinasi linear
dari vektor 𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑟 dalam V jika 𝒘 dapat dinyatakan dalam bentuk 𝒘 = 𝑘1𝑣1 + 𝑘2𝑣2
+· · · +𝑘𝑟𝑣𝑟 dengan 𝑘1, 𝑘2, . . . , 𝑘𝑟 adalah skalar. Skalar ini disebut koefisien kombinasi
linear.
Contoh (kombinasi linear)
Perhatikan vektor 𝒖 = (1,2,-1) dan 𝒗 = (6,4,2) di R3. Tunjukkan bahwa 𝒘 = (9,2,7) adalah
kombinasi linear dari 𝒖 dan 𝒗 dan bahwa 𝒘’= (4,-1,8) bukan kombinasi linear dari 𝒖 dan 𝒗.
Penyelesaian:
28
Agar 𝒘 = (9,2,7) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari 𝒖 dan 𝒗, harus ada skalar k1
dan k2 sehingga memenuhi w= 𝑘1u + 𝑘2𝒗; itu adalah, (9,2,7) = 𝑘1(1,2,−1) + 𝑘2(6,4,2) =
(𝑘1 + 6𝑘2,2𝑘1 + 4𝑘2,−𝑘1 + 2𝑘2) Dengan menyamakan komponen yang sesuai memberikan
𝑘1 + 6𝑘2 = 9 2𝑘1 + 4𝑘2 = 2 −𝑘1 + 2𝑘2 = 7 Selanjutknya, memecahkan sistem ini dengan
menggunakan eliminasi Gauss, diperoleh nilai 𝑘1 = −3,𝑘2 = 2, jadi 𝒘 = −3𝒖 + 2𝒗.
Jadi 𝒘 = (9,2,7) adalah kombinasi linear dari 𝒖 dan 𝒗.
Demikian pula untuk 𝒘′ apakah daapat ditulis sebagai kombinasi linear dari u dan v, harus
ada skalar 𝑘1 dan 𝑘2 sedemikian rupa sehingga 𝒘′ = 𝑘1𝒖 + 𝑘2𝒗 yaitu, (4,−1,8) = 𝑘1(1,2,−1)
+ 𝑘2(6,4,2) = (𝑘1 + 6𝑘2,2𝑘1 + 4𝑘2,−𝑘1 + 2𝑘2) Menyamakan komponen yang sesuai
memberikan 𝑘1 + 6𝑘2 = 4 2𝑘1 + 4𝑘2 = −1 −𝑘1 + 2𝑘2 = 8
Sistem persamaan ini tidak konsisten (jelaskan!), jadi tidak ada skalar 1 dan 𝑘2. Jadi, 𝒘′
bukan kombinasi linear dari u dan v.
d. Perkalian Titik (dot product)
Jika 𝒖 dan adalah vektor tak nol di R2 (atau di R3), dan jika θ adalah sudut antara 𝒖 dan 𝒗,
maka perkalian titik (bisa juga disebut hasil kali titik atau hasil kali dalam) dari
dapat dinotasikan dengan 𝒖.𝒗 dan didefinisikan dengan 𝒖.𝒗
dan 𝒗,
= ‖𝒖‖‖𝒗‖cos𝜃. Jika 𝒖 = 𝒐 atau
𝒗 = 𝒐, maka diperoleh 𝒖. = 0; Untuk 𝒖 ≠ 𝒐 atau 𝒗 ≠ 𝒐 yang berarti 𝒖 dan 𝒗 saling tegak
lurus.
Untuk mencari sudut antara 𝒖 dan 𝒗, yaitu sudut θ, dapat digunakan rumus berikut.
cos𝜃 =𝒖.𝒗 ‖𝒖‖‖𝒗‖, Untuk 𝒖 dan bukan nol.
Keterangan : 𝜃 adalah sudut lancip jika 𝒖.𝒗> 0 𝜃 adalah sudut tumpul jika jika 𝒖.𝒗< 0 𝜃
adalah sudut siku-siku atau 𝜃 = 𝜋 2 jika jika 𝒖.𝒗 = 0
e. Perkalian Vektor dengan Skalar
Jika 𝒗 adalah sebuah vektor tak nol di 𝐑2 atau 𝐑𝟑, dan jika 𝒌 adalah skalar tak nol, maka
didefinisikan perkalian skalar k dengan 𝒗 (dituliskan dengan 𝑘𝒗) adalah vektor dengan
panjang |𝑘| kali dari panjang 𝒗 dan arahnya sama dengan 𝒗 jika 𝑘 positif; dan berlawanan
arah dengan 𝒗 jika 𝑘 negatif (Gambar 1.4). Jika 𝑘 = 0 atau 𝒗 = 𝒐, maka didefinisikan 𝑘𝒗 = 𝒐
f.
Ruang Vektor
Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor
1. Jika vektor – vektor u , v ∈ V , maka vektor u + v ∈ V
29
2. u + v = v + u
3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
4. Ada 0 ∈ V sehingga 0 + u = u + 0 untuk semua u ∈ V , 0 : vektor nol
5. Untuk setiap u ∈ V terdapat – u ∈ V sehingga u + (– u ) = 0
6. Untuk sembarang skalar k , jika u ∈ V maka ku ∈ V
7. k ( u + v ) = k u + k v , k sembarang skalar
8. (k + l) u = k u + l u , k dan l skalar
9. k( l u ) = ( kl ) u 10. 1 u = u
Contoh ruang vektor :
1. V adalah himpunan vektor euclidis dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan
operasi perkalian dengan skalar ) Notasi: Rn .
2. V adalah himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar Bentuk umum polinom
orde – n pn(x) = a0 + a1x +… + anxn qn(x) = b0 + b1x +… + bnxn Operasi standar pada
polinom orde – n pn(x) + qn(x) = a0+ b0 + (a1 + b1)x +… + (an + bn)xn k pn = ka0 +
ka1x +… + kanxn Notasi: Pn
3. V adalah himpunan matriks berukuran mxn dengan operasi standar (penjumlahan
matriks dan perkalian matriks dengan skalar ) Notasi: Mmn
g. Sub–ruang vektor
Diketahui V ruang vektor dan U subhimpunan V.
U dikatakan sub–ruang dari V jika memenuhi dua syarat berikut :
1. Jika u ,v ∈ U maka u + v ∈ U
2. Jika u ∈ U , untuk skalar k berlaku ku ∈ U
h. Kombinasi linier
Vektor v dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor – vektor v 1, v 2,…,v n bila v
bisa dinyatakan sebagai :
v = k1 v 1 + k2 v 2+…+ kn v n , k1,k2,…,kn adalah scalar
Contoh Tunjukkan bahwa v =(3,9,-4,-2) merupakan kombinasi linier u1= (1,-2,0,3), u2 =
(2,3,0,-1) dan u3= (2,-1,2,1)
Jawab: Bila v merupakan kombinasi linier dari u1, u2, dan u3 maka dapat ditentukan x, y
dan z sehingga: v = xu 1 + yu2 + zu3 (3,9,-4,-2) = x(1,-2,0,3)+ y(2,3,0,-1) + z (2,-1,2,1)
(3,9,-4,-2) = (1x,-2x, 0x, 3x)+ (2y,3y,0y,-1y) + (2 z,-1z,2z,1z)
i.
Kebebasan Linier
Vektor – vektor di S dikatakan bebas linier (linearly independent) jika persamaan 0 = k1 s 1
+k2 s 2+…+ kn sn hanya memiliki penyelesaian k1= k2 =…= kn = 0 jika ada penyelesaian
30
lain untuk nilai k1,k2,…,kn selain 0 maka dikatakan vektor –vektor di S bergantung linier
(linearly dependent)
j.
Basis dan Dimensi
Misalkan V ruang vektor dan S = { s 1, s 2 ,…, s n }. S disebut basis dari V bila memenuhi
dua syarat , yaitu : 1. S bebas linier 2. S membangun V Basis dari suatu ruang vektor tidak
harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu. Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu basis
standar dan basis tidak standar
k. Basis ruang baris dan basis ruang kolom
Suatu matriks berukuran mxn dapat dipandang sebagai susunan bilangan yang tersusun dari
bilangan dalam kolom 1 sampai kolom n atau dalam baris 1 sampai baris m.a11 a12 …a 1n
a21 a22 ... a2n :
:
: am1 am1 ... amn
Jika A =
Maka A tersusun atas vektor –vektor baris r i dengan r i = (ai1,ai2,…,ain ) atau bisa juga
dikatakan A tersusun atas vektor – vektor kolom c j = (c1j,c2j,…,cmj } dengan i = 1,2,…,m
dan j =1,2,…,n Subruang Rn yang dibangun oleh vektor– vektor baris disebut ruang baris
dari A Subruang Rm yang dibangun oleh vektor– vektor kolom disebut ruang kolom dari A
l.
Menentukan basis ruang kolom / baris
Basis ruang kolom A didapatkan dengan melakukan OBE pada A, sedangkan basis ruang
kolom A didapatkan dengan melakukan OBE pada At
Banyaknya unsur basis ditentukan oleh banyaknya satu utama pada matriks eselon baris
tereduksi.
Dimensi ( ruang baris ) = dimensi ( ruang kolom ) = rank matriks
m. Penjumlahan Vektor
Jika v dan w adalah sebarang dua vektor tak nol, maka + 𝒘 adalah vektor yang ditentukan
sebagai berikut. Tempatkanlah vektor w sehingga titik awalnya berimpit dengan titik
terminal v. Vektor + 𝒘 dinyatakan oleh tanda panah dari titik awal v terhadap titik terminal
w (Gambar 2a).
Pada Gambar 2c memperlihatkan cara mengkonstruksi jumlah 𝒗 + 𝒘 dan 𝒘 + 𝒗, sehingga
mudah dimengerti bahwa penjumlahan dua vektor bersifat komutatif 𝒗 + 𝒘 = 𝒘 + 𝒗
31
n. Pengurangan Vektor
Pengurangan
dari 𝒘 dapat diperoleh secara geometris dengan metode jajar genjang yang
ditunjukkan pada Gambar 3.
Negatif dari vektor 𝒗, dilambangkan dengan −𝒗, adalah vektor yang memiliki panjang yang
sama namun kemudian diarahkan berlawanan (Gambar 1.3a), dan pengurangan 𝒗 dari 𝒘,
dilambangkan dengan 𝒘 − 𝒗 (Gambar 1.3c) dianggap sebagai penjumlahan 𝒘 dan −𝒗,
yakni: 𝒘 − 𝒗 = 𝒘 + (−𝒗)
o. Subruang Vektor
Misalkan V ruang vektor, dan W himpunan bagian dari V. Jika W terhadap operasi tambah
dan kali dengan skalar sebagaimana yang didefinisikan pada V, membentuk ruang vektor;
maka W disebut subruang dari V. Penyebutan secara lebih singkat “W subruang V”. Untuk
menunjukkan subruang vektor (misalnya apakah W subruang dari V) dapat dilakukan
dengan langkah sebagai berikut; tunjukkan bahwa himpunan W merupakan himpunan bagian
dan V; tunjukkan W bukan himpunan kosong; pastikan operasi yang didefinisikan di W
sama dengan operasi yang didefinisikan di V; selanjutnya periksa apakah pada W memenuhi
10 aksioma atau tunjukkankan W ruang vektor.
Cara lain dengan menggunakan teorema:
Jika W himpunan bagian yang tidak kosong dari ruang vektor V, dan operasi tambah dan
kali dengan skalar yang didefinisikan di W sama dengan di V; maka W subruang dari V jika
hanya jika W tertutup terhadap operasi tambah dan perkalian dengan skalar.
Contoh (subruang) 1) Garis yang melalui (0,0) subruang dari R2. 2) Himpunan V adalah
subruang dari ruang vektor V. 3) Himpunan yang anggotanya nol, A = {o} adalah subruang
dari ruang vektor V.
Program Linier
a. Pertidaksamaan Linear
Menurut Elkhateeb (2016), pertidaksamaan adalah kalimat matematis yang dibangun dengan
menggunakan satu atau lebih simbol ( <, >, ≤, ≥ ) untuk membandingkan 2 kuantitas.
Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
32
satu. Pertidaksamaan linear satu variabel dinyatakan dalam bentuk
Pertidaksamaan linear
2 variabel dapat dinyatakan dalam 2 bentuk.
Menyelesaikan pertidaksamaan artinya mencari nilai dari variabel yang membuat hubungan
dua kuantitas dalam urutan yang benar. Nilai dari variabel yang membuat pertidaksamaan
menjadi kalimat yang benar disebut penyelesaian pertidaksamaan. Himpunan semua
penyelesaian dari pertidaksamaan disebut himpunan penyelesaian pertidaksamaan.
Menyelesaikan pertidaksamaan linear dua variabel dengan cara sebagai berikut: a. Ubah
tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan. Gambar garis
(putus-putus jika tanda
atau , tidak putus-putus jika tandanya
yang tidak berada pada garis
yang persamaannya
atau ). b. Ambil titik uji
dan cek apakah memenuhi pertidaksamaan. Jika memenuhi
pertidaksamaan maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan titik-titik pada paruh
bidang (half-plane) yang memuat . Jika tidak memenuhi pertidaksamaan maka
himpunan penyelesaiannya adalah himpunan titik-titik pada paruh bidang (half-plane) di sisi
lain garis
. c. Arsir daerah yang tidak memenuhi pertidaksamaan. d. Himpunan
penyelesaiannya dalam gambar berupa daerah sehingga disebut dengan daerah penyelesaian.
Modul 3 : Analisis Real dan Persamaan Differensial
Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi
Definisi Turunan Salah satu masalah yang mendasari munculnya kajian tentang turunan
adalah gradien garis singgung. Perhatikan Gambar 1.
33
Teorema-teorema turunan
Teorema 1. Jika 𝑓′(𝑐) ada maka 𝑓 kontinu pada 𝑐.
Dari teorema tersebut, dapat disimpulkan bahwa setiap fungsi yang mempunyai turunan pada
domainnya pasti kontinu pada domainnya tetapi fungsi kontinu tidak menjamin eksistensi
turunan dari fungsi tersebut
Teorema 2. Dipunyai 𝐾 suatu konstanta real dan 𝑓:𝐼 → ℝ, ⊂ℝ. Jika (𝑥) = 𝐾∀𝑥∈𝐼 maka
𝑓′(𝑥) = 𝑑[𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥 = 0 ∀𝑥∈𝐼.
2) Turunan dari penjumlahan dan perkalian fungsi dengan konstanta
Teorema 3. Jika fungsi-fungsi 𝑓 dan 𝑔 mempunyai turunan di 𝑥∈𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 maka (𝑓 + 𝑔)′(𝑥)
= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) dan (𝐾.𝑓)′(𝑥) = 𝐾.𝑓′(𝑥) dengan K sembarang bilangan real.
3) Turunan dari perkalian dan pembagian fungsi.
Teorema 4. Jika fungsi-fungsi 𝑓 dan 𝑔 mempunyai turunan di 𝑥∈𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 maka (𝑓.𝑔)′(𝑥) =
𝑓(𝑥).𝑔′(𝑥) + 𝑓′(𝑥).𝑔(𝑥) dan
(𝑓𝑔)′(𝑥) =𝑓′(𝑥).𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥).𝑔′(𝑥) [𝑔(𝑥)]2, dengan syarat 𝑔(𝑥) ≠ 0.
34
4) Turunan dari 𝑥𝑛.
Teorema 5. Jika 𝑓:𝐼 → ℝ, ⊂ℝ dan (𝑥) = 𝑥𝑛 dengan 𝑛 bilangan bulat tak nol maka 𝑓′(𝑥) =
𝑑[𝑥𝑛] 𝑑𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1.
5) Turunan dari fungsi trigonometri. Dengan menggunakan definisi dan teorema-teorema
turunan yang diberikan sebelumnya, diperoleh turunan untuk fungsi trigonometri sebagai
berikut. Teorema 6. Turunan fungsi trigonometri diberikan berikut ini.
(1) (sin𝑥) 𝑑𝑥 = cos𝑥
(2) (cos𝑥) 𝑑𝑥 = −sin𝑥
(3) (tan𝑥) 𝑑𝑥 = sec2 𝑥
(4) (sec𝑥) 𝑑𝑥 = sec𝑥 .tan𝑥
(5) (csc𝑥) 𝑑𝑥 = −csc𝑥 .cot𝑥
(6) (cot𝑥) 𝑑𝑥 = −csc2 𝑥
b. Aturan rantai Aturan rantai didasari dari turunan fungsi komposisi. Selengkapnya
diberikan pada Teorema 7. Teorema 7. Jika 𝑔 mempunyai turunan di 𝑥 dan 𝑓 mempunyai
turunan di (𝑥) maka [(𝑓∘𝑔)(𝑥)] 𝑑𝑥 = 𝑑[(𝑓∘𝑔)(𝑥)] 𝑑[𝑔(𝑥)] . 𝑑[𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥
= 𝑓′[𝑔(𝑥)].𝑔′(𝑥).
Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Invers
a. Turunan fungsi implisit
Fungsi yang nilai fungsinya disajikan dalam ruas yang berbeda yaitu 𝑦 = (𝑥) disebut
fungsi eksplisit
Dengan menggunakan aturan turuan fungsi implisit dapat diperoleh teorema perumuman
turunan dari 𝑥𝑛 sebagai berikut. Teorema 8. Jika 𝑓:𝐼 → ℝ, ⊂ℝ dan (𝑥) = 𝑥
𝑚𝑛 dengan 𝑚 dan 𝑛 bilangan bulat tak nol maka 𝑓′(𝑥) = 𝑑[𝑥𝑚𝑛]𝑑𝑥 = 𝑚𝑛.𝑥𝑚𝑛 −1.
b. Turunan Fungsi Invers
Fungsi invers adalah sebuah fungsi yang apabila dikomposisikan dengan fungsi semula
akan menghasilkan fungsi identitas atau dapat dituliskan 𝑓∘𝑓−1 = 𝑓−1 ∘𝑓 = 𝐼 atau
(𝑓∘𝑓−1)(𝑥) = (𝑓−1 ∘𝑓)(𝑥) = 𝑥. Syarat suatu fungsi mempunyai invers adalah fungsi
tersebut adalah fungsi injektif dan domain dari fungsi inversnya adalah Range dari fungsi
semula. Dapat dituliskan dalam Teorema 9.
Teorema 9. Jika 𝑓:𝐼 → ℝ, ⊂ℝ dan 𝑓 merupakan fungsi injektif maka 𝑓 mempunyai
invers yaitu 𝑓−1:𝑅𝑓 → 𝐼 dengan 𝑅𝑓 menyatakan Range/daerah hasil 𝑓.
Berikut teorema untuk menentukan turunan invers suatu fungsi. Teorema 10. Jika 𝑓
mempunyai turunan pada 𝐼⊂ℝ dan 𝑓′(𝑥) ≠ 0 pada 𝐼 maka 𝑓−1 mempunyai turunan pada
𝑓(𝐼) dan dapat ditentukan dengan (𝑓−1)′(𝑥) =1 𝑓′[𝑓−1(𝑥)] atau 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1 𝑑𝑦𝑑𝑥
35
Dengan menggunakan teorema di atas dapat diperoleh turunan dari invers fungsi
trigonometri yang diberikan berikut ini.
.
Persamaan Diferensial
a. Pengertian Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat turunan terhadap satu atau lebih
dari variabel-variabel bebas. Bila hanya ada satu variabel bebas yang diasumsikan, maka
subyek disebut persamaan diferensial biasa. Sebagai contoh: 1. y’ + 3xy = 3x
b. Notasi, Orde, dan Derajat
Orde persamaan diferensial adalah turunan tertinggi yang termuat dalam persamaan
tersebut. Persamaan diferensial (1.1) dan (1.2) adalah persamaan diferensial orde-n sebab
turunan tertinggi yang terlibat dalam persamaan (1.1) dan (1.2) adalah turunan ke-n. Sebagai
contoh, persamaan diferensial pada contoh nomor 1 dan 4 berorde satu, nomor 2 dan 5
berorde dua, serta nomor 3 berorde tiga.
Derajat atau pangkat atau tingkat persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan
tertinggi pada persamaan diferensial tersebut. Persamaan diferensial pada notasi umum (1.2)
berderajat satu.
36
Contoh lain: persamaan diferensial pada Contoh 1, 2, 3, 4, dan 5 berderajat satu.
Di
samping itu, persamaan diferensial ada yang disebut homogen dan tak homogen. Pada
persamaan (1.2) bila b(x) = 0 merupakan persamaan diferensial linear
c. Pengertian Solusi Persamaan Diferensial
Suatu fungsi real f yang didefinisikan pada semua x dalam interval real I dan memiliki suatu
turunan kedisebut solusi (1.1) pada I jika memenuhi dua syarat:
akni, subtitusi f(x) dan berbagai turunannya untuk y dan berturut-turut
turunan-turunan yang berkaitan menghasilkan (1.1) pada suatu kesamaan pada interval I.
Solusi umum persamaan diferensial orde-n adalah solusi (baik dinyatakan secara eksplisit
maupun implisit) yang memuat semua solusi yang mungkin pada suatu interval. Pada
umumnya solusi umum persamaan diferensial biasa orde-n memuat n konstan. Suatu solusi
persamaan diferensial disebut solusi khusus jika solusi tersebut bebas dari sebarang konstan.
d. Menyusun Persamaan Diferensial
Dalam mempelajari matematika terapan sering dijumpai model matematika yang berkaitan
dengan persamaan diferensial. Misalnya dalam topik turunan suatu fungsi secara langsung
sering diperoleh persamaan diferensial. Dalam menyelesaikan masalah kehidupan seharihari sering dijumpai model matematika yang berkaitan dengan persamaan diferensial.
e. Persamaan Diferensian Dengan Variabel Terpisah
Persamaan diferensial berbentuk y’ = f(x), dengan f suatu fungsi kontinu pada suatu
interval real, dapat dicari penyelesaiannya dengan cara mengintegralkan ke dua ruas. Akan
tetapi perhatikan bila persamaan diferensial berbentuk dx/dy = f(x,y), (1.3)
yang
turunannya adalah suatu fungsi dalam dua variabel x dan y. Untuk mencari
penyelesaian (1.3) kadang tidak mudah. Bila f(x,y) dapat difaktorkan ke faktor-faktor yang
hanya memuat x atau y, yakni dx/dy = f(x,y) = p(x) q(y).
f.
Persamaan Diferensial Bernoulli
37
Persamaan diferensial y’ + P(x)y = Q(x)yn , (1.13) disebut persamaan diferensial Bernoulli.
Persamaan diferensial Bernoulli sangat mirip dengan bentuk persamaan diferensial linear
orde-1 kecuali ruas kanan memuat faktor yn . Jika n = 1, persamaan diferensial Bernoulli
merupakan persamaan diferensial dengan variabel terpisah, bila n = 0 merupakan persamaan
diferensial linear order 1. Pada umumnya cara mencari solusi persamaan diferensial
Bernoulli dengan cara mereduksi persamaan (1.13) ke dalam persamaan diferensial linear
orde-1.
Integral Tertentu
a. Integral Tertentu
Berikut ini didefinisikan pengertian integral tertentu sebagai limit jumlah Riemann.
Catatan:
1) ∆ adalah panjang subselang ke-i, ∆ , i = 1, 2, 3, …, n, sedangkan ∈, .
2) Dalam kasus selang [a,b] dibagi menjadi n bagian sama panjang, maka ‖‖→0⇔→∞ .
3) Pada bentuk , f disebut integran, a disebut batas bawah, dan b disebut batas atas.
4) Dalam kasus fungsi f kontinu pada selang [a,b] dan 0 pada [a,b], menyatakan luas daerah
yang dibatasi oleh grafik f, garis x = a, garis x = b, dan sumbu X.
5) Integral tertentu adalah suatu bilangan riil yang dapat bernilai positif, nol, dan negatif.
b. Teorema-teorema Integral Tertentu
Definisi integral tertentu dari fungsi f pada selang [a,b] dapat diperluas untuk kasus b = a atau
a > b yang didefinisikan sebagai berikut
38
Suatu fungsi akan terintegral secara Riemann jika fungsi tersebut kontinu dan terbatas pada
suatu selang sebagaimana dinyatakan dalam Teorema 5.8.
39
Aplikasi integral
Materi aplikasi integral yag dibahas dalam modul ini antara lain adalah luas daerah pada bidang
datar, volum benda putar, panjang busur grafik fungsi, dan luas permukaan benda putar.
a. Luas Daerah pada Bidang Datar
40
41
b. Volum Benda Putar
Suatu daerah D pada bidang datar apabila diputar dengan suatu poros tertentu akan
menghasilkan suatu benda putar. Volum benda putar tersebut dapat dihitung menggunakan
integral tertentu dengan beberapa metode yaitu : Metode Cakram, Metode Cincin, Metode
Sel Silinder (Kulit Tabung)
42
Modul Daring 4.1.1. Objek-objek dalam Geometri
Di dalam geometri beberapa relasi antara elemen harus diterima tanpa bukti. Relasi ini
disebut aksioma atau postulat. Sedangkan relasi yang dapat dibuktikan disebut teorema atau
dalil. Beda aksioma dengan postulat adalah aksioma berlaku untuk semua science sedangkan
postulat berlaku untuk suatu science tertentu dan dapat dipandang sebagai aturan permainan.
Suatu definisi harus reversible yaitu harus dapat dinyatakan dalam bentuk iff”.
Sebuah garis adalah kumpulan titik-titik. Panjangnya tak terbatas, lurus, tidak
mempunyai ketebalan, dan tidak mempunyai ujung. Garis adalah objek geometri yang tidak
memiliki ukuran. Karena itu kita tidak dapat mengukur panjang dari suatu garis. Kita dapat
menemukan ukuran dari jarak dua titik tersebut. Jika kita menarik garis dari titik A ke titik B
kita menemukan ruas garis AB. Ruas garis AB disimbolkan dengan ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵. Ruas garis merupakan
himpunan titik-titik dengan kedudukan
Dalam geometri Euclid, terdapat lima aksioma.
Aksioma1:Dari dua buah titik yang berbeda dapat dibuat tepat sebuah garis.
Aksioma 2: Suatu ruas garis yang terbatas, jika diperpanjang akan menghasilkan sebuah garis.
Aksioma 3: Untuk mendeskripsikan suatu lingkaran diperlukan suatu pusat dan jari-jari.
Aksioma 4: Semua sudut siku-siku sama satu dengan lainnya.
Aksioma 5 : Jika suatu garis memotong dua garis lainnya sedemikian hingga sudut dalam yang
terletak pada sisi yang sama jumlahnya kurang dari dua sudut siku-siku, dua garis tersebut jika
diperpanjang akan berpotongan pada sisi dimana terletak sudut-sudut yang jumlahnya kurang
dari dua sudut siku-siku tersebut.
Aksioma yang berkaitan langsung dengan garis dan sudut, pada aksioma 1, 2 dan 4.
Kita mengatakan bahwa tiga titik tak segaris, membentuk tepat satu bidang. Bidang adalah
sebuah bangun datar, yakni bangun dengan himpunan titik-titik pada sebuah bidang, yang tidak
semuanya pada satu garis (tidak kolinier). Titik, garis, sinar garis, ruas garis, dan bidang
kesemuanya merupakan objek-objek geometri.
Modul Daring 4.1.2. Hubungan Antara Titik, Garis, dan Bidang
Keberadaan titik bisa berada dalam satu garis, di luar garis, dalam satu bidang yang
sama, pada bidang yang tidak sama, dan sebagainya. Demikian juga garis dengan bidang, garis
pada bidang, garis bisa sejajar dengan bidang, bersilangan, dan sebagainya.
Definisi 1: Titik kolinier adalah titik-titik yang terletak pada satu garis.
Definisi 2: Titik koplanar adalah titik-titik yang terletak pada bidang yang sama.
Definisi 3: Garis-garis berpotongan ialah dua garis yang berpotongan pada satu titik.
Definisi 4 : Garis-garis sejajar adalah garis-garis sebidang yang tidak mempunyai titik
persekutuan.
43
Definisi 5: Garis-garis konkuren adalah tiga atau lebih garis koplanar yang mempunyai satu
titik persekutuan.
Bidang Datar dan Bangun Datar
Teorema-teorema :
Teorema 1. Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sembarang.
Teorema 2. Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (di luar garis itu).
Teorema 3. Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan.
Modul Daring 4.1.3. Segitiga dan Unsur-unsurnya
Pada segitiga ABC, DEF, dan GHJ, ditunjukan alas segitiga tersebut adalah
sisi yang berlabel 𝑎, garis tinggi suatu segitiga adalah garis yang ditarik secara tegak
lurus dengan alas atau perpanjangannya melalui sebuah titik di hadapan alas pada
segitiga.
Modul Daring 4.1.4. Penggolongan Segitiga
Berdasarkan panjang sisi, segitiga dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu (1) segitiga sama
sisi adalah segitiga yang mempunyai tiga sisi yang kongruen, (2) segitiga sama kaki adalah
segitiga yang mempunyai dua sisi yang kongruen, dan (3) segitiga sembarang adalah segitiga
yang tidak mempunyai sisi yang kongruen.
Berdasarkan ukuran (besar sudut, segitiga dibagi menjadi empat kelompok, yaitu (1)
segitiga lancip yaitu segitiga yang memiliki tiga sudut yang lancip (besar sudut kurang dari 900
), (2) segitiga siku-siku yaitu segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku (besar sudut
44
sama dengan 900 ), (3) segitiga tumpul yaitu segitiga yang mempunyai sebuah sudut tumpul (
besar sudut lebih dari 900 ), dan (4) segitiga sama sudut adalah segitiga yang mempunyai tiga
sudut yang kongruen.
Modul Daring 4.1.5. Teorema-teorema pada segitiga
Segitiga merupkan bangun
yang memiliki sifat-sifat
yang banyak
yang dapat
dieksplore. Sifat-sifat ini dituangan daam bentuk teorema.
Teorema: Jumlah besar sudut dalam suatu segitiga sama dengan 180°
Teorema: Sudut luar sebuah segitiga sama dengan jumlah kedua sudutnya yang lain.
Teorema: Jumlah sudut luar segitiga sama dengan 360°
1. Garis-garis Istimewa pada Segitiga dan melukisnya.
Definisi:Garis berat adalah garis yang ditarik dari suatu titik segitiga ke pertengahan sisi di
depannya.
Definisi: Garis bagi ialah garis yang membagi sudut menjadi dua bagian yang sama.
Definisi: Garis tinggi adalah garis yang ditarik dari satu titik secara tegak lurus ke sisi di
depannya atau perpanjangan sisi di depannya
Definisi: Sumbu suatu garis/sisi ialah garis yang tegak lurus pada pertengahangaris/sisi itu.
Teorema: Garis bagi dalam dan garis bagi luar dari sudut yang sama, tegak lurus sesamanya.
Modul daring 4.1.6. Kekongruenan Segitiga
Teorema Pada dua segitiga, berlaku:
1. Dua segitiga sama dan sebangun, jika dua buah sisinya dan sudut apit sisi itu sama (S-SdS). (S= Sisi, Sd: Sudut)
2. Dua segitiga sama dan sebangun, jika satu sisi sama dan kedua sudut pada sisi itu sama.
(Sd-S-Sd)
3. Dua segitiga sama dan sebangun, jika satu sisinya sama, sudut pada sisi itu dan sudut
dihadapan sisi itu sama. (S-Sd-Sd)
4. Dua segitiga sama dan sebangung, jika segitiga itu siku-siku dan sebuah sisi siku-siku
dan sisi miringnya sama.
jika dua segitiga sama dan sebangun maka :
1. Sisi-sisi yangbersesuaian sama panjang
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
Sisi-sisi yang bersesuaian ialah sisi-sisi di hadapan sudut yang sama besar, sedangkan sudut-sudut
yang bersesuaian ialah sudut-sudut yang menghadap sisi-sisi yang sama panjang.
Modul Daring 4.1.7. Teorema-teorema lain pada segitiga
Berikut ini adalah teorema-teorema yang dapat Anda manfaatkan dan sering digunakan dalam
menyeesaikan masalah-masalah geometri.
Teorema: Dalam segitiga sama kaki sudut alasnya sama besar
Teorema: Dalam segitiga sama kaki, ketiga garis istimewa dari puncak dan sumbu alas berimpit.
45
Teorema: Dalam segitiga siku-siku, garis berat ke sisi miring sama dengan setengah sisi miring.
Teorema: Dalam segitiga siku-siku dengan sudut 30°sisi di hadapan sudut 30°itu samadengan
setengah sisi miring.
Modul Daring 4.1.8. Pengertian Segiempat
1. Macam-macam Segi Empat
a. Jajar genjan adalah suatu segiempat yang sisi-sisinya sepasang-sepasang sejajar.
b. Persegi Panjang adalah suatu jajar genjang yang satu sudutnya siku-siku.
c. Belah Ketupat
d. Persegi adalah jajargenjang yang semua sisinya sama panjang dan satu sudutnya sikusiku. Persegi juga merupakan persegi panjang dengan empat sisi yang kongruen.
e. Trapesium adalah suatu segi empat yang dua buah sisinya sejajar. Trapesium yang sisi
tegakmya sama panjang disebut trapesium sama kaki.
f.
Layang-layang adalah bangun datar segiempat yang memiliki 2 pasang berbeda sisi
berdekatan yang sama panjang.
Modul Daring 4.1.9. Lingkaran
1. Pengertian Lingkaran
H
G
Definisi: Lingkaran adalah garis lengkung (kurva) yang bertemu pada kedua ujungnya, dan
merupakan himpunan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik tertentu. Ruas garis GH
disebut tali busur.
2. Jari-Jari, Tali Busur, dan Diameter
Definisi : Jari-jari lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan sebuah titik pada
lingkaran dengan titik pusat lingkaran.
Beberapa istilah lain yang pelu ketahui juga adalah sebagai berikut.

Ruas garis yang ditarik dari pusat dan tegak lurus tali busur, disebut apotema. Jadi
apotema ialah jarak dari titik pusat ke tali busur.

Sebagian dari lingkaran yang terletak di antara kedua ujung tali busur AB disebut busur

Juring dibatasi oleh dua jari jari dan busur.

Tembereng dibatasi oleh tali busur dan busur
Modul Daring 4.1.10. Garis Singgung Lingkaran
46
Definisi: Garis singgung adalah garis yang mempunyai persekutuan dengan lingkaran pada dua
buah titik yang berimpitan.Titik tersebut yang disebut sebagai titik singgung.
1. Garis singgung di sebarang titik pada lingkaran.
2. Aris singgung dari sebuah titik di luar lingkaran.
a) Garis Singgung Persekutuan
Definisi

Sebuah garis yang menyinggung dua buah lingkaran disebut garis singgung persekutuan

Jika pusat-pusat lingkaran terletak pada pihak yang sama pada garis singgung itu maka
garis singgung itu dinamakan garis singgung luar persekutuan

Jika pusat-pusat lingkaran terletak sebelah menyebelah garis singgung, maka garis
sinagung itu dinamakan singgung dalam persekutuan.
Modul daring 4.1.11. Sudut Keliling, Sudut Pusat dan Busur Lingkaran
Definisi: Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran. Sudut keliling ialah
sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yangberpotongan pada lingkaran.Besarnya sebuah busur
lingkaran adalah besarnya sudut pusat padabusur itu. Dengan kata lain bahwa Sudut pusat =
busurnya (busur tempat ia berdiri)
Teorema: Tali-tali busur yang sama menahan busur-busur yang sama. Sudut-sudut pusat yang
sama besar berdiri di atas busur yang sama.
1
Teorema: Sudut keliling = 2 busurnya
∠𝐴𝑀𝐵 = 𝑆𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑃𝑢𝑠𝑎𝑡
∠𝐴𝐶𝐵 = 𝑆𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔
47
Modul Daring 4.1.12. Teorema-teorema pada Lingkaran
Teorema: Sudut yang dibentuk oleh sebuah garis singgung dan sebuah tali busuryang melalui
titik persinggungan sama dengan setengah busur yangterletak di antara garis singgung dan tali
busur itu.
Teorema: Busur-busur lingkaran yang terletak di antara dua buah tali busuryang sejajar, sama
panjangnya.
Teorema: Jika dua buah tali busur berpotongan di dalam lingkaran, maka sudutyang dibentuknya
sama dengan setengah jumlah busur yang terletakdi antara kaki-kaki sudut itu.
Teorema: Jika dua buah tali busur berpotongan di luar lingkaran, maka sudutyang dibentuknya
sama dengan setengah selisih busur-busur yangterletak di antara kaki-kaki sudut itu.
GAMBAR STEREOMETRIS DAN GAMBAR PERSPEKTIF
Pada kajian geometri ruang, ada 2 tipe gambar geometri, yaitu gambar perspektif dan gambar
stereometris. Pada geometri ruang, gambar geometri yang digunakan adalah gambar Stereometris,
artinya pangkal sudut pandang ada di jauh tak hingga. Selanjutnya, untuk kubus stereometris, ada
beberapa contoh, sebagai berikut.
Dari Gambar 3 tersebut ada beberapa hal yang dapat diperhatikan, yaitu: (1) Sudut surut; dan
(2) Perbandingan Proyeksi. Gambar 3(A) menunjukkan sudut surut sebesar 600 . Sudut surut
tersebut terbentuk antara bidang frontal horizontal ke kanan dan garis ortogonal ke belakang.
Bidang Frontal adalah bidang lukis, sedangkan garis ortogonal adalah garis yang tegak lurus
3
4
dengan bidang frontal. Gambar 3(A) juga menunjukkan perbandingan proyeksi .
Perbandingan proyeksi adalah perbandingan panjang antara panjang ruas garis ortogonal
48
dengan panjang ruas garis tersebut sesungguhnya. Perbandingan proyeksi sebesar
3
4
artinya,rusuk
BC yang panjang sebenarnya adalah 4 cm, digambarkan sepanjang 3 cm. Pada geometri ruang,
gambar kubus yang baik serupa dengan Gambar 3(F) dengan perbandinganproyeksi maksimum
1
dan
2
sudut surut 300 .
OBJEK GEOMETRI, OBJEK ALJABAR, DAN OBJEK FISIK
Tabel berikut menunjukkan perbandingan antara objek fisik, objek aljabar, dan objek
Objek fisik
Objek Aljabar
Objek
geometri
𝑃 = {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 = 2}
Titik
Kelereng
𝑁: = {𝑥 ∈ 𝑅: |𝑥 − 5| < 2}
Ruang Garis
Pensil
𝑁: = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝑑𝑎𝑛 0 ≤ 𝑦 ≤ 5}
Daerah/Bidang
Kertas
Tidak ada
Garis
𝑦 = 2𝑥 − 3
TITIK, GARIS, BIDANG
Dalam geometri ruang diperlukan tiga buah aksioma:
Aksioma 1. Melalui dua buah titik hanya dapat dilukis sebuah garis lurus saja.
Aksioma 2. Jika sebuah garis lurus dan sebuah bidang datar mempunyai dua titik persekutuan,
maka garis lurus itu terletak seluruhnya pada bidang datar itu.
Aksioma 3. Tiga buah titik sembarang (artinya: ketiga titik itu tidak terletak pada sebuah garis
lurus) selalu dapat dilalui oleh sebuah bidang datar.
Dari aksioma-aksioma di atas didapatlah teorema-teorema di bawah ini:
Teorema 1. Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sembarang.
Teorema 2. Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (di luar garis itu).
Teorema 3. Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan.
Teorema 4. Jika dua buah bidang mempunyai satu titik persekutuan, maka kedua bidang itu
mempunyai garis persekutuan yang melalui titik itu.
49
Teorema 5. Jika dua dari tiga garis potong tiga buah bidang berpotongan, maka garis potong
yang ketiga melalui titik potong itu.
Teorema 6. Jika dua dari garis potong itu sejajar, maka garis potong yang ketiga sejajar pula.
KONSEP PERSEKUTUAN ANTAR OBJEK DALAM RUANG
Dua objek dalam ruang memiliki persekutuan karena dua objek tersebut tidak sejajar.
Dua garis sebidang akan memiliki persekutuan berupa titik potong karena kedua garis
tersebut tidak sejajar. Jadi, jika dua objek dalam ruang memiliki persekutuan, dipastikan
bahwa dua objek tersebut tidak sejajar.
a) Persekutuan antara 2 bidang
Perhatikan kubus ABCD.EFGH. garis AB merupakan garis persekutuan antara dua bidang
ABFE dan ABCD. Hal inilah yang mendasari sifat rusuk, bahwa rusuk merupakan
persekutuan dari 2 bidang. Suatu garis 𝑔 merupakan persekutuan dari dua bidang U dan V
jika
terletak pada bidang U dan
terletak pada bidang V, ditulis 𝑔 ∈ 𝑈˄𝑔 ∈ 𝑉⟹ 𝑔 ∈
(𝑈, 𝑉)
b) Persekutuan antara 2 garis
Dua garis dapat memiliki persekutuan jika terletak dalam 1 bidang. Oleh sebab itu, untuk
menentukan titik persekutuan dua garis dalam ruang, langkah pertama adalah memastikan
bahwa kedua garis tersebut terletak dalam 1 bidang yang sama. Demikian pula sebaliknya,
jika dua garis memiliki titik persekutuan, maka dipastikan bahwa kedua garis itu terletak
pada bidang yang sama. titik A terletak pada garis AB dan AD. Dengan demikian, titik A
merupakan titik persekutuan antara 2 garis, disebut dengan titik potong. Akibatnya kedua
garis AB dan AD terletak pada satu bidang, yaitu bidang ABCD. Pada bagian sebelumnya
disebutkan bahwa A merupakan titik sudut kubus. Perhatikan bahwa garis AD merupakan
persekutuan dari 2 bidang ABCD dan ADHE, dan garis AB merupakan persekutuan antara 2
bidang ABCD dan ABFE. Hal ini membangun silogisma bahwa titik A merupakan
persekutuan dari 3 bidang ABFE, ABCD, dan ADHE. Hal inilah yang mendasari sifat dari
titik sudut, bahwa sebuah titik sudut merupakan persekutuan dari 3 bidang.
c) Persekutuan antara garis dan bidang
Perhatikan kembali kubus ABCD.EFGH. Jelas bahwa titik A terletak pada garis AE dan
pada bidang ABCD. Titik A merupakan persekutuan antara garis AE dan bidang ABCD,
50
ditulis dengan, (𝐴 ∈ 𝐴𝐸)dan , (𝐴𝐸 ∈ 𝐴𝑏𝑐𝑑) ⟹ 𝐴 ∈ (𝐴𝐸, 𝐴𝐵𝐶𝐷) . Pada istilah umum,
objek geometri ini disebut dengan titik tembus. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa A
adalah titik tembus AE pada bidang ABCD. Suatu titik P dapat dikatakan sebagai titik
tembus garis m ke bidang U, jika garis m tidak sejajar dengan bidang U, P terletak pada m,
dan P terletak pada V, dituliskan (𝐴 ∈ 𝑚 ˄ 𝑃 ∈ 𝑉) ⟹ 𝑃 ∈ (𝑚, 𝑉)
Ada 3 kajian dalam kesejajaran, yaitu kesejajaran dua garis, kesejajaran garis dan bidang, dan
kesejajaran antara dua bidang. Akan tetapi bagian ini tidak hanya membahasa tentang kesejajaran
semata, namun terintegrasi dengan bagian lain, misalnya persekutuan dna irisan.
a) Dua garis Sejajar
Teorema 1. Jika a // b dan b // c maka a // c
Teorema 2. Jika (a // x + memotong l), dan (b // x + memotong l), dan (c // x +
memotong l) maka a, b, c dan l pada satu bidang.
Teorema 3. Jika (a // b) dan b menembus V maka a menembus V
b) Garis sejajar bidang
Teorema 4. Jika a // b dan bpada V maka a // V
Teorema 5. Jika U ∥ a dan V ∥ a maka (U,V) ∥a
c) Dua bidang sejajar
Teorema 6. Jika (a∥c dan b ∥d), a dan b berpotongan, c dan d berpotongan maka bidang
(a,b) ∥ bidang (c,d). Jika (a,b) = U dan (c,d)=V, maka U ∥ V
Teorema 7. Jika U ∥V, ada a memotong U dan V, maka (a,U) ∥(a,V)
Teorema 8. a memotong U dan U ∥V, maka a memotong V
Teorema 9. Jika a ∥U dan U ∥V, maka a ∥V
Teorema 10. Jika U∥ a dan V ∥b, maka (U,V) ∥(a,b)
Garis tegak lurus bidang
Secara umum garis g tegak lurus dengan bidang U, jika terdapat 2 garis di bidang U,
sebut m dan n, sehingga g⊥m dan g⊥n. Selanjutnya, akibat dari ketegaklurusan garis g ke bidang
U adalah g tegak lurus dengan semua garis yang ada pada bidang U.
Dua garis tegak lurus
Untuk dua garis yang terletak pada satu bidang, tentu tidak sulit untuk menunjukkan
ketegaklurusan antara dua garis tersebut. Pada kubus ABCD.EFGH, cukup mudah menunjukkan
bahwa AB⊥BF, AC⊥BD, bahkan AO⊥CE, dengan O perpotongan AG dan FH. Pembuktian
ketegaklurusan dua garis sebidang cukup menggunakan kesebangunan.
Dua bidang tegak lurus
51
Bidang U tegak lurus bidang V, cukup dicari sebuah garis dalam bidang U yang tegak
lurus pada bidang V, atau sebaliknya. Ingat kembali sebuah teorema yang menyatakan bahwa,
melalui sebuah garis g yang tegak lurus bidang U, dapat dibangun bidang-bidang V1, V2, …
yang tegak lurus dengan bidang U.
JARAK DALAM RUANG
a) Jarak antara 2 titik dalam ruang
Untuk menemukan ukuran panjang CE, kalian dapat menggunakan teorema Pythagoras.
Syaratnya adalah menemukan segitiga sikusiku sehingga CE adalah sisi miringnya. “Jarak
antara P dan Q (dalam ruang) adalah panjang sisi miring PQ pada segitiga sikusiku PRQ
(siku-siku di R)”
b) Jarak antara titik dan garis
Pada teorema sebelumnya, disampaikan bahwa melalui 1 titik di luar garis, hanya dapat
tepat dibangun 1 garis yang tegak lurus dengan garis yang diketahui. Teorema ini yang
digunakan untuk mencari jarak antara titik dan garis.
c) Jarak titik dan bidang
Pada dasarnya, jarak antara titik ke bidang serupa dengan konsep ketegaklurusan garis
dan bidang. Sehingga jarak antara P ke bidang U adalah panjang ruas garis PQ, 𝑄 ∈ 𝑈, PQ
tegak lurus dengan 2 garis yang terletak pada pada bidang U
d) Jarak antara 2 garis sejajar
Jika 𝑘 dan 𝑚 adalah dua garis sejajar pada ruang, jarak 𝑘 dan 𝑚 adalah jarak antara titik
P dan Q, dengan 𝑃 ∈ 𝑘 dan 𝑄 ∈ 𝑚, dituliskan 𝑑(𝑘, 𝑚) = 𝑑(𝑃𝑄) dengan 𝑃 ∈ 𝑘 dan 𝑄 ∈ 𝑚,
serta 𝑃𝑄 ⊥ 𝑘 dan 𝑃𝑄 ⊥ 𝑚
.k,m, dan PQterletak pada satu bidang yang sama. Jadi, untuk
mencari jarak antara dua garis sejajar,
e) Jarak antara garis dan bidang
Secara umum, jarak garis m ke bidang U adalah jarak garis m ke garis g di U, dengan
𝒎‖𝒈, ditulis 𝒅(𝒎, 𝑼) = 𝒅(𝒎, 𝒈)dengan 𝒈 ∈ 𝑼 dan 𝒎‖𝒈.
f) Jarak antara 2 bidang sejajar
Jarak antara 2 bidang U dan V, 𝑈‖𝑉 adalah panjang ruas garis PQ dengan 𝑃𝑄 ⊥ 𝑈 dan
𝑃𝑄 ⊥ 𝑉, dengan 𝑃 ∈ 𝑈 dan 𝑄 ∈ 𝑉 .
g) Jarak antara 2 garis bersilangan
Untuk menentukan jarak antara dua garis yang bersilangan 𝑔 dan ℎ , ada dua cara yang
bisa digunakan, yaitu:
Membangun bidang U yang memuat g dan sejajar dengan h,
1. lalu menghitung jarak antara h dengan bidang U
2. Membangun dua bidang sejajar U dan V, dengan U memuat g dan V memuat h. Jarak
antara g dan h ditentukan dengan menghitung jarak antara bidang U dan V.
52
SUDUT DALAM RUANG
a) Sudut antara dua garis
sudut antara garis g dan h yang saling bersilangan, dapat ditentukan dengan menentukan
sudut g dan h’‖h, dengan g dan h’ berpotongan.
b) Sudut antara garis dan bidang
untuk menentukan sudut garis g ke bidang U adalah menentukan sudut antara garis g dan
proyeksi garis g pada bidang U.
c) Sudut antara dua bidang
Sudut antara bidang U dan bidang V adalah , yang terbentuk dari garis h di U, dan k di V,
dengan kedua garis h dan k tegak lurus g, ditulis dengan ∠(𝑈, 𝑉) = ∠(ℎ, 𝑘), dengan ℎ ⊥
𝑔,𝑘 ⊥ 𝑔, dan 𝑔 = (𝑈, 𝑉).
Persamaan dan Pertidaksamaan di R1
Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan ungkapan ”sama dengan”, sedangkan
pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan ungkapan ” tidak sama”. Secara umum,
persamaan/ pertidaksamaan dengan satu variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax + b = 0, ax +
b > 0, ax + b < 0, ax + b 0 dengan a,b∈R,a≠0. Persamaan/pertidaksamaan dalam bentuk seperti
ini disebut persamaan/ pertidaksamaan berderajat pertama dengan satu variabel. Solusi dari
persamaan/ pertidaksa-maan satu variabel adalah bilangan yang menghasilkan pernyataan bernilai
benar jika disubstitusikan pada variabel persamaan tersebut (Carico, 1980). Sedangkan grafik dari
himpunan penyelesaian (HP) dari persamaan/pertidaksamaan berderajat pertama dengan satu
variabel, merupakan objek geometri yang antara lain dapat berupa titik, ruas garis, sinar garis
Jarak Berarah dan Nilai mutlak
Definisi: Nilai mutlak dari bilangan real a dinotasikan dengan |a|, sama dengan a jika a ≥ 0, dan –
a jika a < 0.
Teorema: Penyelesaian dari |ax + b| = c, dengan c merupakan penyelesaian dari ax + b = c atau
–(ax + b) = c
Teorema: Penyelesaan dari |ax + b|>c, dengan c ≥ 0, merupakan penyelesaian dari -(ax + b)>c
atau ax + b> c
Teorema: Penyelesaian dari |ax + b| 0, merupakan penyelesaian dari -c
53
a) Jarak Dua Titik, dan Titik Pemisah di R2
Rumus jarak tak berarah antara dua titik pada sebuah bidang datar, dapat diperoleh dari
teorema Pythagoras. .
Teorema: Jarak antara 𝑝1 (𝑥1 , 𝑦1 ) dan 𝑝2 (𝑥2 , 𝑦2 ) adalah 𝑑 = √(𝑥2 −𝑥1 )2 + (𝑦2 −𝑦1 )2
b) Kemiringan (Slope Formula)
Definisi Kemiringan m dari sebuah garis yang memuat titik 𝑝1 (𝑥1 , 𝑦1 ) dan 𝑝2 (𝑥2 , 𝑦2 )
𝑦 −𝑦
adalah 𝑚 = 𝑥2 −𝑥1 , 𝑥1 ≠ 𝑥2
2
1
c) Inklinasidari suatu garis lurus
Sudut inklinasi dari suatu garis lurus adalah sudut tak negatif terkecil dari arah positif
sumbu x terhadap garis tersebut. Inklinasi suatu garis lurus dinyatakan dengan α. erdapat
hubungan bahwa m = tan α
Teorema: Misalkan m1 dan m2 adalah kemiringan dari garis g dan h. Untuk garis g dan h
yang tak vertikal pada bidang, g sejajar h jika dan hanya jika 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 , g tegak lurus h
jika dan hanya jika 𝒎𝟏 . 𝒎𝟐 = −𝟏
d) RumusTitik Pemisah (Point of Separation Formulas)
Jika P merupakan titik tengah dari ruas garis P1P2, maka k = ½ dan diperoleh rumus titik
tengah
sebagai
berikut,
sebagai
keadaan
khusus
dari
teorema
titik
pemisah:
x=½(x1+x2) dan y=½(y1+y2)
Persamaan berderajat kedua di R2
a) Grafik dari persamaan berderajat pertama
Dapat ditunjukkan bahwa grafik dari himpunan penyelesaian persamaan (1*) merupakan
himpunan titik-titik yang tak terbatas (infinite set) yang terletak pada sebuah garis lurus (a
straight line) dan “memenuhi” garis secara lengkap. Berdasar alasan sederhana karena
merujuk kepada garis lurus (a line) sebagai grafiknya, maka persamaan (1*) dinamakan
persaman linier (linear equation). Karena dua titik menentukan tepat sebuah garis lurus,
maka untuk menentukan grafik dari persamaan linier, cukup menentukan dua penyelesaian
dari persamaan. Kadang-kadang untuk mendapatkan dua penyelesaian yang termudah adalah
menentukan komponen pertama atau kedua dengan nol, sehingga penyelesaiannya adalah (0,
b) dan (a, 0). Dalam kasus seperti ini, maka a dan b dinamakan intersep x dan intersep y.
b) Persamaan Linier
Teorema: Jika sebuah garis dengan gradien m memuat titik (x1 ,y1), maka persamaan garis
tersebut adalah y-y1=m(x-x1)
Teorema: Jika sebuah garis dengan gradien m memiliki sebuah intersep y di b, maka
persamaan garisnya adalah y=mx+b
54
c) Sistem Persamaan
Himpunan penyelesaian dapat berupa:
1. Himpunan yang memuat satu pasangan berurutan, hal ini menunjukkan bahwa sistem
mempunyai penyelesaian tunggal (unique) dan kedua garis berpotongan hanya pada satu
titik di R^2.
2. Himpunan kosong, berarti sistem tidak mempunyai penyelesaian dan kedua garisnya
sejajar,
3. Himpunan yang tak terbatas dalam kasus ini kedua garisnya berimpit.
d) Sudut antara Dua Garis, dan Jarak Titik Terhadap Garis
Teorema: Jika θ adalah sudut terkecil yang terbentuk dari sebuah garis dengan gradien m1
yang duputar berlawanan arah dengan jarum jam sehingga berimpit dengan garis bergradien
𝒎 −𝒎𝟏
, 𝒎𝟏 . 𝒎𝟐
𝟏 .𝒎𝟐
𝟐
𝒎𝟐 , maka: 𝒕𝒂𝒏 𝜽 = 𝟏+𝒎
≠ −𝟏
e) Jarak titik terhadap garis
Teorema: Jarak (d) antara titik P1(x1, y1) dengan garis Ax+By+C=0 adalah
𝒅=
|𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪|
√𝑨𝟐 + 𝑩𝟐
f) Membentuk persamaan dari kondisi geometri
Pada sub materi ini, perhatian kita lebih tertuju pada masalah menemukan persamaanpersamaan dari beberapa himpunan titik tertentu pada sebuah bidang datar.
g) Parabola
Definisi: Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik pada sebuah bidang datar yang
jaraknya terhadap sebuah garis yang tetap (direktrik), dan terhadap titik yang tetap (fokus),
sama.
Teorema: Persamaan baku dari suatu parabola yang mempunyai puncak titik asal dan
fokusnya pada sumbu y positif, adalah x2 = 2py danParabola memiliki persamaan baku x2 = 2py jika dan hanya jika koordinat titik fokusnya (0,-p/2) dan persamaan direktris y = p/2
Teorema: Parabola memiliki persamaan baku y2 = 2px jika dan hanya jika koordinat titik
fokusnya (p/2,0) dan persamaan direktris x = -p/2, dan Parabola memiliki persamaan baku y2
= -2px jika dan hanya jika koordinat titik fokusnya (-p/2,0), persamaan direktris y =p/2.
h) Lingkaran, dan Ellips
Definisi: Lingkaran adalah himpunan titik yang berjarak sama (r) dari sebuah titik tertentu
(pusat lingkaran), pada sebuah bidang.
Teorema:Sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r memiliki persamaan x2
+ y2 = r2.
Definisi:Elips adalah himpunan titik-titik pada bidang sehingga jumlah jarak dari dua titik
tertentu (fokus) adalah tetap.
55
Teorema:Elips memiliki persamaan baku
𝒙𝟐
𝒂𝟐
𝒚𝟐
+ 𝒃𝟐 = 𝟏 , jika dan hanya jika pusatnya di
O(0,0) dan kedua fokusnya berada pada sumbu x. Elips memiliki persamaan baku
𝒙𝟐
𝒃𝟐
𝒚𝟐
+ 𝒂𝟐 =
𝟏 , jika dan hanya jika pusatnya di O(0,0) dan kedua fokusnya berada pada sumbu y.
i)
Hiperbola
Definisi: Hiperbola adalah himpunan titik-titik pada bidang sehingga selisih jarak
Teorema: Hiperbola memiliki persamaan baku
𝒙𝟐
𝒂𝟐
−
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 , jika dan hanya jika pusatnya di
O(0,0) dan kedua fokusnya berada pada sumbu x.
Teorema: Hiperbola memiliki persamaan baku
𝒚𝟐
𝒂𝟐
𝒙𝟐
− 𝒃𝟐 = 𝟏 , jika dan hanya jika pusatnya
adalah (0,0), dan titik fokusnya berada pada sumbu y.
Translasi dan Rotasi Sumbu
a) Translasi Sumbu
Teorema: Jika titik asal O’ dari sistem sumbu x’,y’ mempunyai kordinat (h, k) dalam sistem
x, y, maka koordinat x’, y’ dari titik S dapat dikaitkan dengan koordinat x, y dari titik S oleh
persamaan sebagai berikut.
x= x’ + h atau x’ = x – h
y = y’ + h atau y’ = y – k
Teorema Jika suatu lingkaran mempunyai jari-jari r, dan pusatnya adalah titik (h, k), maka
persamaannya adalah: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2
Teorema Jika suatu parabola mempunyai puncak (h, k) dan sumbu simetrinya sejajar
dengan sumbu koordinat, maka persamaannya adalah :
1) (𝑦 − 𝑘)2 = 2𝑝(𝑥 − ℎ) 𝑎𝑡𝑎𝑢(𝑥 − ℎ)2 = 2𝑝(𝑦 − 𝑘)
2) (𝑦 − 𝑘)2 = −2𝑝(𝑥 − ℎ) 𝑎𝑡𝑎𝑢(𝑥 − ℎ)2 = −2𝑝(𝑦 − 𝑘)
Teorema Jika ellips mempunyai pusat (h, k) dan sumbu simetrinya sejajar dengan sumbusumbu koordinat, maka persamaannya adalah:
1)
(𝒙−ℎ)𝟐
𝒂𝟐
+
(𝒚−𝑘)𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 , sumbu panjang horisontal, atau
2)
(𝒙−ℎ)𝟐
𝒃𝟐
+
(𝒚−𝑘)𝟐
𝒂𝟐
= 𝟏, sumbu panjang vertikal.
Teorema Jika hiperbola mempunyai pusat (h, k) dan sumbu simetrinya sejajar dengan
sumbu-sumbu koordinat, maka persamaannya adalah:
56
1)
(𝒙−ℎ)𝟐
𝒂𝟐
+
(𝒚−𝑘)𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 , sumbu simetri horizontal atau
2)
(𝒙−ℎ)𝟐
𝒃𝟐
+
(𝒚−𝑘)𝟐
𝒂𝟐
= 𝟏, sumbu simetri vertikal.
Teorema Jika grafik dari persamaan 𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 dengan A, C ≠ 0ada
(exists), maka grafiknya merupakan:
§ parabola atau dua garis sejajar jika A = 0 atau C= 0
§ lingkaran atau sebuah titik jika A = C
§ ellip atau sebuah titik, jika A C, dan A.C > 0
§ hiperbola atau dua garis berpotongan, jika A.C < 0
b) Rotasi Sumbu
Teorema: Jika sumbu-sumbu x, y diputar terhadap titik asal sebesar sudut menghasilnya
sumbu x’, y’, maka koordinat x, y dan koordinat x’, y’ dari suatu titik
Bentuk umum persamaan berderajat kedua dengan dua variabel, sering disebut dengan
persaman kuadrat dengan variabel x, y adalah:𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 , dengan A,
B, C semuanya tidak nol. Dengan menggunakan hubungan (formula) rotasi sumbu, diperoleh
persamaan dalam x’, y:
A’x’2 + B’x’y’ + C’y’2 + D’x’ + E’y’ + F’ = 0, dengan:
A’ = A cos2 + B sin cos + C sin2
B’ = B cos – (A – C) sin
C’ = A sin2 - B sin cos + C cos2
D’ = D cos + E sin
E’ = E cos – D sin
F’ = F, dan adalah sudut antara sumbu x dan sumbu x’
Jika dipilih α sedemikian sehingga B’ = 0, maka diperoleh persamaan:
A’x’2 + C’y’2 + D’x’ + E’y’ + F’ = 0.
Jika B’ = 0, maka diperoleh , dengan A - C ≠ 0. Perhatikan persamaan
A’x’2 + C’y’2 + D’x’ + E’y’ + F’ = 0, tak memuat bentuk x’y’.
Jika grafik dari persamaan ini, ada, maka grafiknya berupa:
1)
Ellips
2)
Parabola,
3)
atau
atau
sebuah
dua
titik
garis
jika
sejajar
A’
jika
tak
A’
sama
C’
dan
A’.C’
atau
C’
sama
dengan
>
0
nol.
Sebuah hiperbola, atau dua garis yang berpotongan, jika A’.C’ < 0
Teorema: Jika grafik dari persamaan kuadrat dalam x, y di R2 Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey
+ F = 0, dengan B 0, ada (exist), maka grafiknya berupa :
57
§ Ellips, atau titik, jika B2– 4AC < 0
§ Parabola, atau dua garis sejajar, jika B2 – 4AC = 0
§ Hiperbola, atau dua garis berpotongan, jika B2 – 4AC > 0
Geometri Analit di R3
Persamaan berderajat pertama dengan tiga variabel di R3
Persamaan yang berbentuk Ax + By + Cz + D = 0, (3*) dengan A, B, C, D merupakan
bilangan real dan A, B, C tak bersama-sama nol, dinamakan persamaan berderajat pertama
dengan tiga variabel x, y, z di R3
Titik dan jarak dua titik di R3
TeoremaJarak antara titik P(a,b,c) dan titik P(p,q,r) adalah:
𝑑 = √(𝑎 − 𝑝)2 + (𝑏 − 𝑞)2 + (𝑐 − 𝑟)2
Teorema Jika d adalah jarak antara P(a,b,c) dan Q(p,q,r), maka cosinus arah garis yang
memuat titik P dan titik Q, adalah: 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑎−𝑝
,𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑑
=
𝑏−𝑞
𝑑
,𝑐𝑜𝑠 𝑦 =
𝑐−𝑟
𝑑
, dengan α, β,
γberturut-urut merupakan sudut arah garis terhadap sumbu x, y, z.
Teorema Jika cos u, cos v, cos w merupakan cosinus arah suatu garis maka berlaku:
cos2 u + cos2 v + cos2 w = 1
Teorema Jika suatu garis memuat P(a,b,c) dan Q(p,q,r), maka bilangan arah garis tersebut
adalah [l,m,n], dengan l=(a-p), m=(b-q), dan n=(c-r).
Teorema Jika θ merupakan sudut antara dua garis yang masing-masing memiliki sudut arah a1,
b1, c1 dan a2, b2, c2, maka Cos θ = cos a1 cos a2 + cos b1 cos b2 + cos c1 cos c2.
Teorema Jika dua garis berturut-turut mempunyai bilangan arah [l1,m1,n1], dan [l2,m2,n2] maka
kedua garis tersebut:
§ sejajar jika dan hanya l2 = kl1, m2 = k m1, n2 = k n1 dengan k ≠ 0.
§ saling tegak lurus jhj l1.l2 + m1.m2 + n1.n2 = 0
Bidang datar dan Normal
Aksioma: Melalui tiga titik yang tidak segaris dapat ditentukan dengan tepat satu bidang datar.
Teorema: Melalui sebuah titik, dapat dibuat tepat sebuah bidang datar yang tegak lurus
terhadap garis yang ditentukan.
Jarak titik terhadap bidang
Teorema Jarak tak berarah d antara titik P1(x1,y1,z1) dan bidang dengan persamaan Ax + By +
Cz + D = 0 adalah :
𝒅=
|𝑨𝒙𝟏 + 𝑩𝒚𝟏 + 𝑪𝒛𝟏 + 𝑫|
𝑨𝟐 + 𝑩 𝟐 + 𝑪𝟐
58
Persamaan berderajat kedua di R3
Bentuk umum persamaan berderajat kedua dengan tiga variabel di
Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Ly+J=0
…(4*),
dengan
A,B,C,D,E,F,
adalah
G,H,I,J
merupakan bilangan real, dan A, B, C tak bersama-sama nol.
Jejak (trace) adalah suatu kurva yang terbentuk oleh perpotongan antara bidang-bidang koordinat
dengan sebuah bidang lengkung (surfase). Sedangkan irisan (section) adalah suatu kurva yang
terbentuk oleh perpotongan antara beberapa bidang datar dan suatu bidang lengkung.
a) Silinder
Definisi Silinder adalah suatu permukaan yang dibangun oleh sebuah garis lurus yang
bergerak sejajar dengan satu garis tertentu, dan selalu memotong sebuah bidang berupa
curva (Carico, 1980).
Teorema Jika sebuah persamaan terdiri atas dua atau tiga variabel x, y, atau z, grafik di
adalah sebuah silinder yang memiliki unsur-unsur sejaran dengan:
§ Sumbu x jika persamaan hanya memuat variabel y dan z,
§ Sumbu y jika persamaan hanya memuat variabel x dan z,
§ Sumbu z jika persamaan hanya memuat variabel x dan y
Persamaan Silinder
Untuk pembahasan selanjutnya, koefisien yang memuat perkalian dua buah variable (D,
E, F) pada persamaa (4*) adalah nol, sehingga persamaan menjadi
Ax2 +By2 +Cz2 +Gx +Hy +Iz +J =0 … (5*), dengan maksud untuk mengurangi tingkat
kesulitan yang dihadapi. Jika pada persamaan (5*) hanya memuat dua variabel saja maka
persamaan yang berbentuk :
Ax2 + By2 + Gx + Hy + J = 0 … (6*), atau
Ax2 + Cz2 + Hy + Iz + J = 0 … (7*), atau
By2 + Cz2 + Hy + Iz + J = 0 … (8*)
b) Bola
Definisi Bola adalah himpunan titik-titik (x,y,z) di yangberjarak sama dari satu titik
tertentu (Carico, 1980)
Persamaan Bola
Bentuk umum persamaan bola adalah
Ax2 + By2 + Cz2 +Gx + Hy + Iz + J = 0, dengan A = B = C. Jika G, H, dan I semuanya
nol, maka persamaan menjadi Ax2 + By2 + Cz2 + J = 0. Karena A = B = C, diperoleh
persamaan . Grafik daripersamaan ini,merupakan bola yang mempunyai pusat titik asal
(origin) dan berjari-jari √𝑟
c) Ellipsoida ( ellipsoid)
59
Definisi Jejak-jejak (traces) dari suatu bola pada setiap bidang koordinat merupakan
lingkaran. Suatu bidang lengkung tertentu (bidang lengkung tertutup), yang mempunyai
sekurang-kurangnya satu trace berupa ellips, dinamakan ellipsoida.
𝑥2
𝑦2
𝑧2
Grafik dengan persamaan adalah 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2 = 1, (𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ 0) elipsoida yang berpusat
pada O(0,0).
Persamaan ellipsoida
Bentuk umum persamaan ellipsoida adalah Ax2+By2+Cz2+Gx+Hy+Iz+J=0, dengan
sekurang-kurangnya satu dari A, B, C tidak sama dengan yang lain dan hasil perkalian
dua koefisien ini adalah bilangan positif.. Jika G, H, dan I semuanya nol, maka
persamaan menjadi Ax2+By2+Cz2+J=0. Grafik daripersamaan ini,merupakan ellipsoida
yang mempunyai pusat titik asal (origin) dan sumbu simetri sb. X, sb, y, dan sb.z.
d) Paraboloida
𝑥2
𝑦2
Definisi Grafik dengan persamaan 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑧, (𝑎, 𝑏 ≠ 0 adalah sebuah paraboloida
yang berpuncak di O (0,0).
e) Hiperboloida (hyperboloid)
Definisi:
Grafik dengan persamaan
𝑥2
𝑎2
𝑦2
𝑧2
+ 𝑏2 − 𝑐 2 = 1, (𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ 0) adalah hiperboloid satu daun
dengan sumbu mayor sumbu z.
𝑥2
𝑎2
Grafik dengan persamaan
−
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1, (𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ 0)adalah hiperboloid dua daun
dengan sumbu mayor sumbu z.
𝑥2
𝑎2
Grafik dengan persamaan
Grafik dengan persamaan
−
𝑥2
𝑎2
𝑦2
𝑏2
= 𝑧, (𝑎, 𝑏 ≠ 0 adalah sebuah hiperbolic paraboloid.
𝑦2
𝑧2
+ 𝑏2 = 𝑐 2 , (𝑎, 𝑏 ≠ 0 adalah kerucut dengan sumbu mayor
adalah sumbu z.
Persamaan hiperboloida
Bentuk umum persamaan ellipsoida adalah Ax2 + By2 + Cz2 +Gx + Hy + Iz + J = 0,
dengan sekurang-kurangnya satu dari hasil perkalian dua koefisien x2, y2, z2 adalah
bilangan negatif.
60
Modul 5: Teori Peluang, Statistika Deskriptif dan Statistika Inferensial
A. Teori Peluang
Peluang digunakan untuk menentukkan besarnya kemungkinan terjadinya suatu
kejadian. Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul
padasuatu percobaan.Anggota-anggota dari ruang sampel disebut titik sampel. Kejadian
adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian sederhana yaitu kejadian yang
hanya mempunyai satu titik sampel. Kejadian majemuk yaitu kejadian yang mempunyai
lebih dari satu titik sampel.Operasi dasar pada kejadian yaitu gabungan, irisan dan
komplemen. Dua kejadian A danB disebut saling lepas jika 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅.
Aturan perkalian: Jika suatu kejadian dapat terjadi dengan n1 cara yang
berbeda,dan kejadian berikutnya(sebut kejadian kedua) terjadi dengan n 2 cara yang
berbeda,dan seterusnya sampai kejadian k dapat terjadi dalam n k cara yang berbeda
maka banyaknya keseluruan kejadian dapat terjadi secara berurutan dalam n1.n2.n3…n k
cara yang berbeda. Permutasi adalah susunan berurutan dari semua ataus ebagian elemen
suatu himpunan
Banyaknya permutasir elemen yang diambil dari n elemen ditulis P(n,r) atau nPr atau 𝑃𝑟𝑛
𝑛!
atau Pnr adalah n(n-1)(n-2)(n-3)… (n – r +1) = (𝑛−𝑟)! Banyaknya permutasi yang berlainan
dari n elemen bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua,… nk berjenis ke K
𝑛!
adalah P(n, (n1,n2,n3… nk)) = 𝑛1!𝑛2!𝑛3!…𝑛𝑘!dimanan1+n2+n3+…+nk=n
Banyaknya permutasi n unsure berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur yang urutannya tidakdiperhatikan.Banyaknya
𝑛
Kombinasi r elemen yang diambil dari n elemen ditulis C (n,r) atau nCr atau [ ] atau 𝐶𝑟𝑛
𝑟
𝑛!
adalah 𝑟!(𝑛−𝑟)! Dengan r ≤ n.
Jikasuatupercobaanmenghasilkannhasilyangtidakmungkin terjadi bersama-sama dan
masing-masing mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi,maka peluang suatu
kejadian A ditulis P(A) = 𝑛(𝐴) dimana n(A) adalah banyaknya hasil dalam kejadian A.
𝑛
Bila A dan dua kejadian sembarang, maka P(A∪B) = P(A)+P(B)–P(A∩B). BilaA
dan B kejadian yang saling lepas (terpisah), maka P(AÈB)=P(A)+P(B). Bila A
dan A’ kejadian yang saling berkomplemen,makaP(A’)=1–P(A).
Kejadian A dan B dikatakan salingbebas
jikadanhanyajika
P(A).P(B)=P(A∩B).
Menentukan peluang bersyarat bisa menggunakan ruang yang yang diperkecil sesuai
syaratnya. Peluang bersyarat B jika diketahui A ditentukan oleh: 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐴∩𝐵) bila P(A) >
𝑃(𝐴)
0. Akibatnya P(A∩B) = P(A) 𝑃(𝐵|𝐴)
61
Aturan Bayes dapat ditulis : Jika kejadian-kejadian B1,B2,B3,…,Bk adalah partisi dari
ruang sampel S dengan P(B1) ≠ 0, I = 1, 2, 3… k maka untuk setiap kejadian A dalam S
dengan P(A) ≠ 0 berlaku: 𝑃(𝐵𝑖 |𝐴) = 𝑘𝑃(𝐵𝑖∩𝐴) = 𝑘𝑃(𝐵𝑖).𝑃(𝐴|𝐵𝑖 ) .
∑𝑖=1 𝑃(𝐵𝑖 ∩𝐴)
∑𝑖=1 𝑃(𝐵𝑖 ).𝑃(𝐴|𝐵𝑖 )
B. Satatistika Deskriptif
Statistika banyakdimanfaatkan dalam berbagai aspek dan bidang kehidupan
manusia seperti dalam bidang pendidikan, teknik,industri, ekonomi,kedokteran,
asuransi,pertanian,pemerintahan,sosiologi,psikologi,farmasi serta berbagai ilmu alam
dan social yang lainnya. Banyak permasalahan, baik dalam penelitian maupun
pengamatan yang memerlukan pelaporan akan menghasilkan kumpulan datayang
dinyatakan dan dicatat yang dikenal dengan statistik. Kata statistik digunakan untuk
menyatakan kumpulan data yang dapat berupa angka yang dinamakan data kuantitatif
maupun non angka yang dinamakan data kualitatif yang disusun dalam bentuk tabel dan
atau diagram/grafik,yang menggambarkan dan mempermudah pemahaman akan angka
dari masalah yang diamati.
Pengamatan,
penelitian,maupunrisetumumnyabertujuanuntukmemperoleh
penjelasanataukesimpulan
mengenai
persoalan
yang
diteliti.
Sebelum
dibuat
kesimpulan,data yang diperoleht erlebih dahulu dipelajari,dianalisis dan diolah dengan
telitidan tepat sesuai dengan teori yang benar dan dapat dipertanggungjawabkan.Hal ini
berkaitan dengan suatu pengetahuan tersendiri yang diberi nama statistika.Statistika
diartikan sebagai ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang metode atau prosedur
yang berhubungan dengan pengumpulan data, organisasi data,pengujiandata,pengolahan
data atau penganalisaan dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data tersebut.
Statistika dalam pengertian sebagai ilmu dibedakan menjadi dua,yaitu:(1) Statistika
Deskriptifyangbertujuanuntuk
mendeskripsikanataumemberigambaran
objekyangditelitisesuaidatayangadatanpamenarikkesimpulan
maupun
generalisasi.Statistikadeskriptifhanyaterbataspadapengumpulan,
analisisdata.Dalamstatistikadeskriptif
dikemukakancarapenyajiandatadalam
bentuktabelmaupundiagram,penentuanrata-rata
sertasimpanganbaku,dan(2)
penyajiandan
Statistika
(mean),
modus,median,rentang,
Inferensial(Induktif)
yangbertujuanuntuk
penarikankesimpulan.Objekyangditelitidibahasdenganpenekanan
pada
interprestasidatadanpengambilan
kesimpulan.Sebelummenarikkesimpulan
dilakukansuatudugaan yangdapatdiperolehdenganstatistikadeskriptif.
1. Populasidan Sampel
Populasi
adalahhimpunankeseluruhanobyekyangdiselidiki.Populasiadalah
totalitassemuanilaiyangmungkin,hasilmenghitungmaupunpengukuran,kuantitatif
62
maupunkualitatifmengenaikarakteristiktertentu
darisemua
anggotakumpulanyang
lengkapdanjelasyangingindipelajarisifat-sifatnya.Himpunanbagiandaripopulasi
dinamakan sampel.
Karakteristik atau konstanta dari
suatu populasi disebut
parameter. Sedangkan suatu harga yang dihitungdari suatu sampel dinamakan statistik.
Pengumpulan
datadapatdilakukandengancarasensusataupunsampling.
Apabilapengumpulandatamenggunakan
populasi,tiadaterkecuali
sensus,maka
dikenaipenelitian(perlakuan).
seluruhanggotadalam
Sedangkansampling
dilakukanapabilahanyasebagiansajaanggotapopulasiyangditeliti.Sensusseringkali
dapat dilakukanmengingat
tidak
populasi yang beranggotasangatbanyak atau berukuran
takhingga(populasitakhingga).Selainitusensusdianggaptidakpraktis,
tidakekonomis,membutuhkan
apabiladilakukan
biayabesar,alokasiwaktuyanglama,sertadihindari
percobaanyangbersifatmerusak.Dalamhalini,makametode
samplinglebihdipilih.
Statistikadigunakanuntukmenyimpulkanpopulasi.Analisastatistikadilakukan
untukdapatmengambilkesimpulantentangparameterpopulasiberdasarkanobservasi
sampel.Olehkarenaitu,sampelyangdiperoleh
hendaknya
dapatmemberikan
gambaranyang“tepat”untukpopulasinya(representatif).Khususuntukpopulasiyang
tidakterlaluheterogen,salahsatumacamsampelyangdianggap“representatif”adalah
sampelrandom,observasi-observasidalamsampelindependensatudenganyanglain.
Datasampelrandomadalahsampelyangpengambilannyasedemikianhinggasetiap
elemenpopulasinyamempunyaikemungkinanyangsamauntukterambil.
2. SumberPengamatandalamStatistik
Berikutsumberpengamatandalamstatistic
a.
Unitstatistikadalahindividuobjekatauorangyangakanditeliti,disurvey
atau
didata.Pertamaharusdiidentifikasikanobyekatauorangyangdapatmemberikan
informasilebihbanyakterhadappermasalahanyangditeliti.
b.
Variabeladalah
suatukarakteristik
darisuatuobjekyangharganya
untuktiap
objekbervariasidapatdiamatiataudibilang,ataudiukur.
3. Macam-Macam Data Statistik
Dalamprakteknya
tidakbisadilepaskan
daridatayangberupa
angka,
baikitudalamstatistikdeskriptifyangmenggambarkandata,maupunstatistikinferensi
yangmelakukananalisisterhadapdata.Pembagiandatadibedakan
atasbeberapahal
berikut.
1) Menurutcaramemperolehnya,datadibedakanatas:
a. Dataprimer,
yaitudatayangdikumpulkandandiolahsendiriolehpeneliti
(perorangan/lembaga)langsungdariobjeknya.Contoh:sensusyang
dilaksanakanolehBPS.
63
b. Datasekunder,yaitudata
yangdikutipataudiperolehdalambentukyang
sudahjadi,sudahdikumpulkandandiolaholehsumberlaindanumumnya
sudahdalambentukpublikasi.Contoh:perusahaanmemperolehdatadari laporan
yangadadi BPS.
2) Menurutsumbernya
a.Datainternal,yaitudatayangmenggambarkankeadaan/kegiatandidalamsuatu
organisasi.
b.Dataeksternal,yaitudata
yangmenggambarkankeadaan/kegiatandiluarsuatu
organisasi.Dataeksternaldimaksudkanuntukmenunjukkanfaktor-faktoryang
mempengaruhihasilkaryasuatuorganisasi.
3)Menurutsifatnya
a.
Data Kualitatif, yaitu fakta yang dinyatakandalam bentuk bukan angka,
misalnya,jenisgolongandarah,profesi,agama,dansebagainya.Datakualitatif
dapatdikuantitatifkanantaralaindengancaramemberiskor,ranking,variabel
boneka(dummy variabel),dan sebagainya.Datakualitatifmempunyaiciritidak
bisadilakukanoperasimatematika,sepertipenambahan,
pengurangan,
perkaliandanpembagian.Datakualitatifdibagimenjadidua:
1.
DataNominal
Databertipenominaladalahdatadengantingkatpalingrendahdalamlevel
pengukurandata.Skala
nominaladalahskalapengukuranberupabilangan
ataulambang-lambang
untukmengelompokkansuatuobyek.Jikasuatu
pengukurandatahanyamenghasilkansatudanhanyasatu-satunyakategori,
makadata
tersebutadalahdata nominal(data kategori).Misalproses
pendataanJenisKelamin,statuspendidikan,
jenisagamadansebagainya.
DataNominaldalampraktekstatistikabiasanyaakandijadikan
yaituprosesyangdisebutkategorisasi.
kelaminlelakidi
Misaldalampengisiandata,jenis
kategorikansebagai‘1’dan
Contohlaindatadarivariabel
Katholik=3,Hindu=4,Budha=5).
‘angka’,
perempuansebagai‘2’.
jenisagama(Islam=1,
Kristen=2,
Kategoriinihanyasebagaitandasaja,
jaditidakbisadilakukanoperasimatematika.
2.
DataOrdinal
Sepertipadadatanominal, adalahjugadatakualitatif namundengan level
yanglebihtinggidaridatanominal.
Jikapadadatanominal,semuadata
kategoridianggapsama,makapadadataordinal,terdapattingkatandata
denganurutanlebihtinggidanlebihrendah.Dengankatalainskalaordinal
adalahskalapengukuranyangmengelompokkan
64
obyek-obyekkedalam
kelas-kelasyangmempunyaihubunganurutan satu dengan
yang
lain.
Hubunganantara kelas-kelasadalah lebihbaik,lebihdisukai,lebihtinggi,
dansebagainya.
Misaldatatentangsikapseseorangterhadapproduk
tertentu.Dalampengukuransikapkonsumen,adasikapyang‘suka’,‘tidak
suka’,sangat
suka’
menyimbolkan
danlainnya.Urutandata1sampai
dengan5
kualitas.5=Sangatsuka,4=Suka,3=Sedang,2=Tidak
Suka,1=Sangattidaksuka.Jadidisiniadapreferensiatautingkatan
dimana
data,
datayangsatuberstatuslebihtinggiataulebihrendahdariyang
lain.Namundataordinaljugatidakbisadilakukanoperasimatematika.
b. Datakuantitatif,
yaitufaktayangdinyatakandalambentukangkadalamarti
sebenarnya.Misalnyatinggibadan,beratbadan,hasil
jumlahkelahiran
belajarmahasiswa,
bayitiaptahundisuatunegara,danlainsebagainya.
Jadi
berbagaioperasimatematikabisadilakukanpadadatakuantitatif.Sepertipada
datakualitatif,datakuantitatifjugabisadibagimenjadiduabagian:
1.
Interval
DataIntervalmenempatilevel pengukurandatayanglebih tinggidaridata
ordinal,karenaselainbisabertingkaturutannya,
dikuantitatifkan.
jugaurutantersebutbisa
Skalaintervaladalahskalapengukuranyang
mengelompokkanobyek-obyekke
hubunganurutandanperbedaaan
dalamkelas-kelasyangmempunyai
dalamjarak(interval)satudenganyang
lain.Ciri-ciriskalainterval:
(i)
Unitpengukuransamadankonstan;
(ii)
Perbandinganantaraduaintervalsembarangadalahindependen
denganunitpengukurandantitiknolnya;
(iii)
2.
Titiknoldanunitpengukuransembarang(arbitrary).
DataRasio
DataRasioadalahdatadengantingkatpengukuran
jenisdatalainnya.
palingtinggidiantara
DataRasioadalahdatabersifat
sesungguhnyadanbisadioperasikan
secaramatematika(+,-,x,/).Skala
rasioadalahskalapengukuranyangmengelompokkan
dalamkelas-kelasyangmempunyai
angkadalamarti
obyek-obyekke
hubunganurutandanberbedadalam
jarakantaraobyekyangsatudenganyanglain.Perbedaan
intervaladalahbahwadatarasiomempunyai
dengandata
titiknoldalamarti
sesungguhnya.Misalberatbadandantinggibadanseseorang,pengukuranpengukurannyamempunyaiangkanol/0dalamartisesungguhnya.
65
Misal
berat
badan0berartimemangtanpaberat.Contohskalarasioadalahskala
untukmengukurpanjang,luas,isi,berat,tinggi,dansebagainya.
4). Menurutwaktupengumpulannya
a. DataCrossSection,yaitudatayangdikumpulkanpadasuatuwaktutertentu(at
apoint
of
time)yangbisamenggambarkankeadaan/kegiatanpadawaktu
tersebut.
b. DataBerkala(TimeSeriesData),yaitudatayangdikumpulkandariwaktuke
waktuuntukmemberikangambarantentangperkembangansuatukegiatandari
waktukewaktu.Misalnya,perkembangan
hargabarangkebutuhanpokok
selama12bulanterakhir,banyaknyapengunjungtempatwisataselama5tahun
terakhir,dsb. Data
berkalaseringdisebutdata
historis,biladigambarkan
grafiknyamakaakanmenunjukkanfluktuasipergerakannaikturundata.Dari
databerkaladapatdibuatgaristrendyangmenggambarkanperkembangandata.
Garistrendtersebutbergunasebagaidasarpembuatanramalan(forecasting)
yangbermanfaat
untukdasarperencanaandanmemberikangambarandatadi
masamendatang.
4. SyaratDatayangBaik
Datayangtidaktepatapabiladigunakan
makadapatmenghasilkan
memperoleh
untukdasarpengambilan
keputusan
kesimpulanyangkelirusertatidaktepatsasaran.Untuk
kesimpulanyangtepatdanbenarmengenaisuatupermasalahan,
datayangdikumpulkandalampengamatan
harusnyatadanbenar.Syaratdatayang
baikadalah
a.Dataharusobyektifartinyadatasesuaidengankeadaansebenarnya;
b.Dataharusmewakili(representatif);
c.Kesalahanbaku(standarerror)haruskecil.Suatunilaiestimasiharusmemiliki
tingkatketelitianyangtinggi;
d.Kataharustepatwaktu(uptodate)terutamaapabiladatadigunakanuntuk
tujuanpengendaliandanevaluasi;
e.Dataharusrelevandenganmasalahyangakandipecahkanartinyadatayang
dikumpulkanharusberhubungandenganmasalahyangdiamati.
5. Pengumpulan Data
66
maka
Datayangdikumpulkanharusakuratdanrelevandenganpermasalahan
diamati.Datadapat
yang
dikumpulkandenganberbagaicara.Carapengumpulandatayang
seringdigunakandiantaranya:
a. Wawancara(Interview)
Wawancara
merupakancarapengumpulan
responden.Kelemahan
datayangbersifatlangsungdari
metodewawancaraantaralainadapadasegiwaktu
danpenggunaandatayangcukupbesar.Sebelummelakukan
wawancara
perludibuatpedomanagardapatmemperolehketeranganyangrelevansesuai
yangdiharapkan.
b. Angket(Kuesioner)
Angketadalahseperangkatdaftarpertanyaanyangdiisiolehrespondentanpa
pengawasan,kemudiandikembalikan
ataskemauansendiriolehresponden.
Angketdigunakanbilajumlahrespondencukupbanyakataujangkauanlokasi
yangjauhdanluas.Menurutjenisnya,angketdibedakan menjadiangket tertutup
danangket
terbuka.
Angkettertutup
apabilaangket
tersebuttelah
menyediakanpilihanjawabanyangdapatdipilihresponden.Sementara,pada
angketterbukatidaktersediapilihanjawabandanrespondendiberikebebasan
untukmenjawab.
c. Pengamatan(Observasi)
Observasidilakukanapabilapenelitimerasaperlumelihat,mengamati,
melakukansendirikegiatanuntukmemperoleh
pengamatanjuga perlu dibuat pedoman
atau
data.Dalamkegiatan
untuk mempermudahpengamat
mencatatdata yangdikehendaki.
Pengertian statistik deskriptif berbeda dengan statistik inferensial. Pada statistik deskriptif
penelitian hanya menggambarkan keadaan data apa adanya melalui parameter-parameter
seperti mean, median, modus, distribusi frekuensi dan ukuran statistik lainnya. Pada
statistika deskriptif, yang perlu disajikan adalah:
1. Ukuran pemusatan data (measures of central tendency). Ukuran pemusatan data yang
sering digunakan adalah distribusi frekuensi. Ukuran statistik ini cocok untuk data
nominal dan data ordinal (data kategorik). Sementara nilai mean adalah ukuran
pemusatan data yang cocok untuk data continuous. Ukuran deskriptif lain untuk
pemusatan data adalah median (nilai tengah) dan modus (nilai yang paling sering
muncul).
a. Rata-rata
67
Data diurutkan,
∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 𝑥𝑖
𝑥̅ =
𝑛
b. Modus
Modusdarisekumpulandataadalahnilaiyangseringmunculataunilaiyang
mempunyaifrekuensitertinggidalamkumpulandatatersebut.
Datatidakdikelompokkan,modusuntukdatakuantitatifditentukandengan
menentukanfrekuensiterbanyakdarikumpulandatayangdiamati.
𝑏1
)
𝑏1 +𝑏2
Data dikelompokkan: 𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑝 (
c. Median
Median
darisekumpulan
dataadalahnilaiyangberadaditengahdari
sekumpulandataitusetelahdisusundandiurutkannilainya.
Datatidakdikelompokkan,jikajumlahdata
datapalingtengah,
datadengan
ganjil,makamedianmerupakan
jumlah
genap,maka
setelahdatadisusun
menuruturutannilainya,medianadalahrata-ratahitungduadatatengah.
1
𝑛−𝐹
Data dikelompokkan 𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑝 (2
𝑓
)
2. Ukuran penyebaran data (measures of spread). Ukuran penyebaran data yang sering
digunakan adalah standar deviasi. Ukuran penyebaran data ini cocok digunakan
untuk
data
numerik
atau continuous.
Sementara
untuk
data
kategorik,
nilai range merupakan ukuran yang cocok.
a. Kuartil
Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi sekumpulan data menjadi empat bagian
secara sama dan setelah diurutkan menurut nilainya.
Data tidak dikelompokkan:
Letak kuartil ke i=
𝑖 (𝑛+1)
4
dengan I = 1, 2 dan 3.
Data dikelompokkan:
68
𝑖𝑛
−𝐹
Letak kuartil ke i = 𝑏 + 𝑝 ( 4 𝑓 ) 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑖 = 1, 2 3
b. Jangkauan/rentang
Jangkauan = data terbesar - data terkecil
Rentang antar kuartil = RAK = K3 – K1
c. Rata-rata simpangan
Rata-rata simpangan adalah harga penyimpangan rata-rata tiap data terhadap rataratanya. Besar perbedaaan antara data dan rata-ratanya adalah harga mutlaknya.
Data tidak dikelompokkan: 𝑅𝑆 =
Data dikelompokkan: 𝑅𝑆 =
∑𝑛
𝑖=1|𝑥𝑖 −𝑥̅ |
𝑛
∑𝑛
𝑖=1|𝑥𝑖 −𝑥̅ |
𝑛
dengan n = ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖
d. Variansi dan simpangan baku
Variansi sampel didefinisikan sebagai jumlah kuadrat deviasi terhadap rata-rata
sampel dibagi dengan n-1.
Data tidak dikelompokkan: 𝑆 2 =
Data dikelompokkan: 𝑆 2 =
1
∑𝑛 (𝑥
1−𝑛 𝑖=1 𝑖
1
∑𝑘 𝑓 (𝑥
1−𝑛 𝑖=1 𝑖 𝑖
Simpangan baku = √𝑆 2
C. STATISTIKA INFERENSIA
69
− 𝑥̅ )2
− 𝑥̅ )2
1. Pengertian
Statistik inferensial adalah teknik analisis data yang digunakan untuk menentukan
sejauh mana kesamaan antara hasil yang diperoleh dari suatu sampel dengan hasil yang akan
didapat pada populasi secara keseluruhan. Jadi statistik inferensial membantu peneliti untuk
mencari tahu apakah hasil yang diperoleh dari suatu sampel dapat digeneralisasi pada
populasi. Sejalan dengan pengertian statistik inferensial menurut Creswell, Muhammad
Nisfiannoor berpendapat bahwa statistik inferensial adalah metode yang berhubungan
dengan analisis data pada sampel untuk digunakan untuk penggeneralisasian pada populasi.
Penggunaan statistic inferensial didasarkan pada peluang (probability) dan sampel yang
dipilih secara acak (random).
Konsep statistik inferensial yaitu:
1. Standard Error
Peluang setiap sampel sangat identik dengan populasinya sangat kecil (nill) meskipun
inferensi populasi didapat dari informasi sampel.Penerapan random sampling tidak
menjamin karakteristik sampel sama persis dengan populasi. Variasi prediksi antara
mean disebut sampling error. Sampling error ini tidak bisa dihindari dan ini bukan
kesalahan peneliti. Yang menjadi persoalah adalah apakah error tersebut semata-mata
hasil sampling error atau merupakan perbedaan yang bermakna yang akan pula
ditemukan pada papulasi yang lebih besar.
Ciri standard error adalah bahwa error yang terjadi bisaanya berdistribusi normal yang
besarnya berbeda-bedadan error tersebut cenderung membentuk kurva normal yang
menyerupai lonceng.
Faktor utama yang mempengaruhi standard error adalah jumlah sampel. Semakin banyak
sampelnya, semakin kecil standard errornya. Ini menunjukkan bahwasampel penelitian
semakin akurat bila banyak sampelnya.
Faktor utama yang mempengaruhi standard error adalah jumlah sampel. Semakin
banyak sampelnya, semakin kecil standard error meannya yang berarti bahwa semakin
kecil standard error-nya, semakin akurat mean sampel untuk dijadikan estimator untuk
mean populasinya.
2.
Pengujian Hipotesis
Pengujian hipotesis adalah proses pengambilan keputusan dimana peneliti mengevaluasi
hasil penelitian terhadap apa yang ingin dicapai sebelumnya. Misalnya, kita ingin
menerapkan program baru dalam pelajaran membaca. Pada rencana penelitian
dikemukanan hipotesis penelitian yang memprediksi perbedaan skor siswa yang
menjalni program baru tadi dengan proglam lama, dan hipotesis nol (0), yang
70
memprediksikan skor kedua kelompok tidak akan berbeda. Setelah data dihitung mean
dan standar deviasinya dan hasilnya menunjukkan skor siswa dengan program baru lebih
tinggi (berbeda secara signifikan) daripada siswa yang mengikuti program lama, maka
hipotesis penelitian diterima dan hipotesis nol ditolak. Yang berarti bahwa program baru
tersebut efektif untuk diterapkan pada program membaca. Intinya, pengujian hipotesis
adalah proses evaluasi hipotesis nol, apakah diterima tau ditolak.
3. Uji Signifikansi
Uji signifikasi adalah cara mengetahui adanya perbedaan antara dua skor. Signifikansi
merujuk pada tingkat statistik dari probabilitas dimana dengannya kita bisa menolak
hipotesis nol. Uji signifikansi dilakukan dengan menentukan tingkat probabilitas
praseleksi yang dikenal dengan tingkat signifikansi (α). Tingkat probailitas ini dijadikan
dasar untuk menolak atau tidak menolak hipotesis nol. Standar yang digunakan
umumnya 0,05 kesempatan (5 dari 100). Adapula yang menggunakan 0.01. Semakin
kecil nilai probabilitasnya, semakin kecil pula kemungkinan temuan tersebut diperoleh
karena disebabkan oleh peluang.
2. Jenis-jenis Statistik Inferensial
Terdapat dua jenis statistik inferensial:
1. Statistik Parametrik; yaitu teknik yang didasarkan pada asumsi bahwa data yang
diambil mempunyai distribusi normal dan menggunakan data interval dan rasio.
a. Uji-t
Uji-t digunakan untuk menentukan apakah 2 kelompok skor memiliki perbedaan
yang signifikan di tingkat probabilitas pilihan. Contohnya, Uji-tdapat digunakan
untuk membandingkan skor membaca pada laki-laki dan skor membaca pada
perempuan di sekolah A. Strategi dasar Uji-t adalah membandingkan perbedaan
nyata antara mean kelompok (X1-X2) menentukan apakah ada perbedaan yang
diharapkan berdasarkan peluang.
Uji-t terdiri dari:
-
Uji-t untuk sampel independen digunakan untuk menentukan apakah ada
perbedaan yang signifikan antara dua sampel independen. Sampel independen
ditentukan tanpa adanya pemadanan jenis apapun. Software SPSS dapat
digunakan untuk uji-t.
-
Uji-t untuk sampel non-independen digunakan untuk membandingkan dua
kelompok terpilih berdasarkan beberapa kesamaan. Uji ini juga digunakan
untuk
membandingkan
performansi
kelompok
dengan pretest danposttest atau dengan dua perlakuan berbeda.
71
tunggal
b. Analisis Varians (ANOVA)
Dalam Educational Research (2008), Cresswell mengartikan ANOVA sebagai
teknik statistik yang digunakan untuk perbedaan yang ada pada lebih dari dua
kelompok data. Adapun jenis analisis varians, yakni:
1. ANOVA sederhana (satu arah) digunakan untuk menentukan apakah skor dari
dua kelompok atau lebih memiliki perbedaan secara signifikan pada tingkat
probabilitasnya. Misalnya, pengukuran prestasi siswa berdasarkan tingkat
ekonominya (tinggi, sedang, dan rendah), dimana tingkat ekonomi sebagai
variabel kelompok dan tingkat ekonomi sebagai variabel dependennya.
2. Multi comparison adalah pengujian yang melibatkan perhitungan bentuk
istimewa dari uji-t. Setiap kali uji signifikansi dilakukan, tingkat
probabilitasnya kita terima. Misalnya, kita setuju kalau hasil yang akan
didapatakan muncul hanya 5 kali kesempatan pada setiap 100 sampel. Hasil
tersebut dikatakan bermakna dan bukan sekedar karena peluang semata.
3. ANOVA Multifaktor
Desain factorial digunakan untuk meneliti dua variabel bebas atau lebih serta
hubungan di antara variabel tersebut, maka ANOVA multifaktor adalah jenis
analisis statistik yang paling sesuai. Hasilan alisisnya adalah rasioF terpisah
untuk setiap variabel bebas dan satu rasio F untuk interaksi. Misalnya, kita
ingin mengetahui apakah gender dan tingkat ekonomi (tinggi, sedang, dan
rendah)
mempengaruhi
prestasi
mahasiswa.
ANOVA
multifaktor
memungkinkan kita untuk menghitung kedua variabel bebas (gender dan
tingkat ekonomi) dan variabel terikat (prestasi; IPK, skor bahasa, skor
matematika, dsb).
4. Analysis of Covariance (ANCOVA)
Analisis ini model ANOVA yang digunakan dengan cara berbeda dimana
variabel bebas dihitung dengan memperhatikan rancangan penelitian. Bila
penelitian memiliki 2 variabel bebas atau lebih, maka uji jenis inilah yang
cocok digunakan melalui dua cara yakni: (1) sebagai teknik pengendalian
variabel luar (extraneous variable) serta sebagai alat untuk meningkatkan
kekuatan uji statistik. ANCOVA bisa digunakan pada penelitian kausal
komparatif maupun penelitian ekperimental yang melibatkan kelompok yang
sudah ada dan kelompok yang dibentuk secara acak, dan (2) ANCOVA
digunakan untuk memperkuat uji statistic dengan memperkecil varians dalam
kelompok (error). Kekuatan yang dimaksudkan adalah kemampuan uji
signifikansi untuk mengenali temuan riset sebenarnya, yang memungkinkan
penguji menolak hipotesis 0 (nol) yang salah.
72
c. Regresi Jamak
Regresi jamak digunakan pada data berbentuk rasio dan interval. Regresi jamak
menggabungkan variabel yang diketahui secara terpisah untuk memprediksi
(misalnya, hubungan antara) criteria dalam persamaan (rumus) prediksi atau
dikenal dengan Multiple Regression Equation. Regresi jamak merupakan
prosedur analisis untuk penelitian eksperimental, kausal komparatif, dan
korelasional karena teknik ini tidak hanya untuk menentukan apakah ada
hubungan antar variable tetapi juga untuk mengetahui besar (kuatnya) hubungan
tersebut. Salah satu jenis regresi jamak adalah step-wise analysis yang
memungkinakn kita memasukkan atau mengeluarkan variabel utama (predicator)
ke dalam persamaan regresi tahap demi tahap. Regresi jamak juda menjadi dasar
analisis jalur yang bertujuan untuk mengidentifikasi tingkat interaksi variabel
utama satu sama lain dan berkontribusi pada variabel terikat.Sementara dalam
Emzir (2011) dikatakan bahwa regresi jamak merupakan perluasan dari regresi
dan prediksi sederhana dengan penambahan beberapa variabel. Kekuatan prediksi
akan semakin terdukung dengan penambahan variabel.
d. Korelasi
Menurut Cohen, dkk., Teknik korelasi digunakan untuk mengetahui tiga hal pada
dua variabel atau dua set data. Pertama, “Apakah ada hubungan antara dua variabel
atau set data”. Bila jawabannya “ya”, maka dua hal berikutnya perlu kita cari yakni;
“Bagaimana arah hubugan tersebut”; dan “Apa yang menjadi ukurannya?”
Hubungan yang dimaksudkan adalah kencenderungan dua variabel atau set data
berbeda secara konsisten. Dalam Solusi Mudah dan Cepat Menguasai SPSS 17.0
untuk Pengolahan Data Statistik (Wahana Komputer, 2009) dikatakan analisis
korelasi dilakukan untuk menunjukkan keeratan hubungan kausal antara variabelvariabel. Jenis-jenis analisis korelasi, yaitu: Korelasi sederhana, yaitu , korelasi
parsial, dan uji distance.
2. Statistik Non-parametrik
Statistik nonparametrik adalah jenis statistic inferensial yang tidak mengharuskan data
berdistribusi normal dan jenis data yang digunakan adalah data nominal dan ordinal.
a. Chi Square
Chi Square adalah suatu ukuran menyangkut perbedaan yang terdapat di antara
frekwensi pengamatan dengan frekwensi teoritis/frekwensi harapan yang
dinyatakan dengan symbol. Statistik nomparametrik yang digunakan untuk
73
menanalisis data yang berupa frekwensi atau persentase serta yang berbentu prporsi
yang
bisa
dikonversi
menjadi
persentase. Chi
square digunakan
untuk
membandingkan frekwensi yang muncul pada kategori atau kelompok berbeda.
Dikenal dua kategori, yaitu; true categoryadalah apabila orang atau objek bersifat
bebas
pada
setiap
penelitian
(laki-laki
dan
perempuan),
dan artificial category yakni kategori yang secara operasional diartikan sebagai
peneliti itu sendiri. Contohnya, mencari hubungan antara gender dengan
keterampilan membaca pada sekolah A. Karena adanya variabel nominal (gender
dan keterampilan membaca), maka data tersebut dianalisis dengan statistik
nonparametrik dengan menggunakan teknik chi square.
MODUL 6: MATEMATIKA
74
a. Kegiatan Belajar 1
Pengantar pemodelan Matematika
Pada tingkat pra perguruan tinggi, matematika merupakan kegiatanpenelusuran pola
dan hubungan, kreatifitas, kegiatan pemecahan masalah, dan alat komunikasi (Depdiknas,
2007). Matematika memiliki hubungan yang erat dengan kehidupan sosial dan politik dalam
setiap periode peradaban manusia, dan matematika merupakan alat yang digunakan dalam
kehidupan manusia pada setiap hari (Court, 2006). Matematika adalah alat pikiran, bahasa
ilmu, tata cara pengetahuan, dan
penyimpulan deduktif.
Nilai utama matematika yang
dikembangkan melalui proses deduktif adalah memberi kekuatan kepada manusia untuk
mengorganisir ilmu pengetahuan dan kemampuan untuk memprediksi kejadian-kejadian alam.
Singkatnya matematika merupakan jembatan yang tangguh antara manusia dengan dunia di luar
diri manusia.
Kegiatan matematika banyak berubah dalam 50 tahun terakhir. Menurut pandangan
evolusioner pengetahuan, matematika akan berubah dan berkembang. Oleh karena itu,
matematikabukan sebagai sumber pengetahuan utama, tetapi memposisikan matematika
sebagai
alat
yang memungkinkan orang untuk menggunakannya, memaknai pengalaman,
meningkatkan penilaian prediktif, dan menawarkan penjelasan. Pada tahun 1960 muncul
gagasan tentang penggunaan matematika di luar matematika untuk kepentingan di luar
matematika. Di samping itu juga muncul gagasan untuk memanfaatkan penerapan matematika,
model matematika, dan pemodelan matematika untuk belajar matematika. Gagasan kedua ini
berkaitan dengan aktivasi matematika di luar konteks matematika untuk kepentingan di luar
bidang matematika yaitu membantu murid sekolah (siswa) meningkatkan motivasi
belajar
matematika serta membantu pemahaman dan penguasaan konsep. Dengan demikian proses
belajar mengajar matematika dapat memanfaatkan penerapan, model, dan pemodelan
matematika. Salah satu perwujudan gagasan ini adalahsebagaimana yang dikembangkan oleh
Freudenthal. Ia mengembangkan pendekatan pembelajaran matematika yang disebut Realistic
Mathematics Education (RME).
Riset-riset level internasional menyajikan kajian pendekatan pemodelan dalam
pembelajaran
matematika
dan
menekankan
pengaruhnya
dalam
belajar
matematika
(Blum,Galbraith, Henn, &Niss, 2007). Riset tentang peranan model dan pemodelan dalam
pendidikan matematika juga mengemuka (Lesh & Doerr, 2003). Oleh karena itu pemodelan
matematika harus menjadi salah satu kegiatan utama dalam pembelajaran matematika.
Pengertian Pemodelan Matematika
75
Istilah model dapat berarti suatu miniature yang mewakili sesuatu atau suatu deskripsi atau
analogi yang digunakan untuk memvisualisasikan sesuatu yang tidak dapat diamati secara
langsung. Model tidak hanya sebuah penyederhanaan tetapi juga merupakan gambaran yang
benar, bersifat objektif, dan mendekati realitas. Model matematika merepresentasikan situasi di
dunia nyata, yaitu situasi di luar matematika. Biasanya situasi itu
harus disederhanakan,
dibangun strukturnya dan dibuat lebih tepat dan akurat yang akan mengarahkan kepada model
dari situasi tersebut.
Pemodelan adalah sebuah aktivitas, yaitu aktivitas kognitif
yang mana kita
berpikir dan menyususn model untuk mendeskripsikan bagaimana perilaku suatu alat atau
objek. Pemodelan matematika dapat diartikan sebagai proses penyusunan model, yang berangkat
dari situasi nyata menjadi model matematika, atau merupakan keseluruhan dari penerapan
proses pemecahan masalah atau suatu jenis pengkaitan antara dunia nyata dengan matematika.
Pemodelan matematika menghasilkan
suatu model yang merupakan deskripsi atau
representasi situasi yang diambil dari disiplin matematika. Hasil dari proses tersebut berupa model
matematika. Model
dalam
bidang
sain
akan
menjadi
model
matematika
apabila
model tersebut mendeskripsikan atau merepresentasikan situasi dunia nyata dengan konstruksi
matematis yang mencakup konsep matematika, operasi, relasi, dan termasuk simbol-simbolnya.
Proses dari model sain menjadi model matematika juga mencakup proses identifikasi dan
penggunaan bentuk-bentuk atau struktur-struktur matematika seperti ruang dan ukuran yang
membawa pengetahuan yang dalam untuk penyelesaian suatu masalah atau untuk memahami
situasi tertentu (Lehrer &Schauble, 2000).Model matematika sebagai hasil dari proses
pemodelan
adalah
ungkapan masalah
yang diekspresikan dengan menggunakan bahasa
matematika. Bahasa matematika memiliki ciri antara lain menggunakan banyak simbol, tidak
emotif, singkat, padat, dan tidak bermakna ganda. Suatu model matematika berada pada berbagai
cabang matematika seperti aljabar, geometri, dan statistic. Harus diingat bahwa matematika
yang tercakup dalam model harus dapat dinalar atau masuk akal (reasonable) dalam dua hal
yaitu tidak hanya masalah ketelitiannya yang terkait dengan bidangnya, tetapi juga
mereprsentasikan situasi dunia nyata. Menurut Dear (1995), belajar melalui pemodelan
matematika tidak hanya berkaitan dengan penerapan praktis, tetapi juga bersesuaian dengan
hubungan filosofis dan historis
dalam proses membangun pengetahuan yang bersifat sain dan
bersifat matematis. Secara filosofis, matematika bersifat abstrak, kebenaran bertumpu pada
kesepakatan, konsisten, bersifat koheren, (Hardi Suyitno, 2011)
Langkah-langkah dalam Pemodelan Matematika
76
Secara sederhana langkah-langkah pemodelan dapat dijelaskan melalui skema pada Gambar 6.1.1.
Gambar 6.1.1
Pemodelan Matematika
(Diadaptasi dariThe Psychology of Learning Mathematics, Richard R.
Skemp,1975,p.238). Langkah-langkah pemodelan matematika secara singkat
adalah berikut:
a. memahami masalah di bidang yang bersangkutan,
b. menyusun model matematika,
c. menyelesaikan model matematika (mencari jawaban model),
d. menafsirkan jawaban model menjadi jawaban atas masalah yang nyata.
Proses pemodelan matematika oleh Blum dan Leiss (2009) digambarkan seperti pada
Gambar6.1.2.
Gambar 6.1.2 Pemodelan matematika
Memperhatikan pendapat Skemp dan Blum/Leiss, langkah-langkah pemodelanmatematika
adalah:
a. memahami terhadap masalah yang dihadapi,
b. menyederhanakan masalah atau menyusun struktur, misalnya dengan
membuat table, diagram, atau skema
77
c. menyusun model matematika melalui proses abstraksi dan idealisasi,
d. menyelesaikan model matematika dengan melakukan operasi dan
manipulasi untuk memperoleh jawaban model,
e. menafsirkan jawaban model berdasar pada masalah yang sebenarnya,
f. memvalidasi apakah jawaban menjawab pertanyaan masalah sebenarnya,
g. menyajikan model yang mungkin berlaku lebih luas
Dalam rangka memperoleh model yang lebih baik maka perlu dimanfaatkan diagram,
data, dan informasi yang lain. Proses abstraksi adalah adalah pemilihan beberapa sifat yang
sama yang dimiliki oleh setiap anggota dalam suatu himpunan dan pemilihan sifat yang
sama tersebut berdasarkan pada kebutuhan. Abstraksi merupakan proses menyusun formula
dari pengertian atau konsep yang digeneralisir dari sifat-sifat yang dimiliki bersama dalam
suatu himpunan objek dengan mengabaikan perbedaan yang ada pada objek-objek tersebut
(Borowski dan Borwein, 2007). Dalam penyusunan model matematika, di samping abstraksi juga
idealisasi, yaitumenganggap bahwa sesuatu itu sempurna, misalnya menganggap permukaan meja
adalah bidang datar, tepian meja sebagai garis lurus yang sempurna, dsb. Idealisasi adalah
menganggap representasi dari sesuatu sebagai sesuatu yang ideal.
Dalam proses penyusunan model matematika dari masalah yang sederhana langkah pertama
adalah memahami informasi yang terkandung dalam masalah nyata. Dalam rangka pemecahanan
masalah ada hal-hal yang sudah diketahui dengan jelas dan ada hal-hal yang diperlukan tetapi
belum diketahui. Hal-hal yang belum diketahui atau hal-hal yang ditanyakan akan menjadi
variable dalam penyusunan model, sedangkan hal-hal yang diketahui dengan pasti akan
menjadi konstanta. Langkah selanjutnya adalah menentukan hubungan antar variable dan
konstanta serta memilih symbol-simbol untuk setiap variable. Selanjutnya menyusun formula
hubungan antar variable dan konstanta. Penulisan model matematika harus memperhatikan
keakuratan simbol serta makna dibalik simbol, sehingga model matematika tersebut benarbenar merepresentasikan data-data yang ada.Kadang-kadang dalam suatu masalah,
pemecahannya berkaitan dengan waktu. Model matematika yang terkait dengan waktu
dikenal dengan istilah model dinamik, sedang yang tidak terkait dengan waktu dikenal
dengan istilah model static. Pada masalah-masalah yang complex formulasinya tidak
sederhana, proses penyusunannya mungkin berulang-ulang dan perlu simulasi serta
memerlukan bantuan computer.
Contoh-contoh Model Matematika dari berbagai bidang
Contoh 6.1.1
Endang dan Retno tinggal dirumah yang sama di Ungaran dan keduanya bersekolah di SD
Sukamaju. Pada hari minggu Endang berangkat dari rumah ke sekolah naik sepeda pukul
78
10.00WIB kecepatannya 3 km/jam. Pada waktu dan rute yang sama Retno berangkat dari Sekolah
ke rumah naik sepeda dengan kecepatan 2 km/jam. Pada pukul berapa keduanya berpapasan.
Menyusun model
Tahap 1
Menentukan apa yang diketahui dan ditanyakan. Diketahui Amir naik sepeda berangkat dari
rumah pukul 10.00 dengan kecepatan 3 km/jam. Bolang naik sepeda berangkat dari sekolah
pukul 10.00 dengan kecepatan 2 km/jam. Pertanyaannya: Pada pukul berapa keduanya
berpapasan.
Tahap 2.
Membuat model matematikanya menggunakan rumus bahwa jarak merupakan hasil kali
antara kecepatan dengan waktu yang diperlukan
Misalkan kecepatan Endang bersepeda V1 km/jam dan kecepatan Retno V2 km/jam, jarak
rumah dengan sekolah adalah s km, dan lamanya waktu yang diperlukan sejak
keberangkatan sehingga Endang dan Retno berpapasan adalah t jam. Diperoleh hubungan
V1t + V2t = s
(V1 + V2)t = s
Dalam hal ini diketahui V1 = 3 km/jam dan V2 = 3 km/jam, sehingga diperoleh model
matematika
2t + 3t = s
5t = s.
Apabila diketahui jarak antara rumah dengan sekolah diketahui, maka waktu kapan
mereka berpapasan juga dapat ditentukan.
Contoh 6.1.2. Masalah nyata
Lilik akan membuat kotak terbuka dengan bahan selembar karton berbentuk persegi. Kotak
didesain dengan memotong karton dengan cara sebagaimana dapat dilihat pada Gambar
Masalahnya adalah bagaimana cara memotong karton agar terbentuk kotak yang terbesar.
Menyusun model
79
Langkah pertama membuat sket gambar sebagaimana terlihat pada Gambar 6.1.1 Langkah kedua
menegaskan informasi yang dimiliki dan selanjutnya menentukan variable-variabel. Langkah
ketiga menentukan hubungan antar variable
Misalkan panjang sisi kertas bahan s cm, tinggi kotak direncanakan x cm. dan volume kotak yang
terjadi V cm3. Hubungan V, s, dan x adalah
V = 4 x3 - 4sx2 + s2x
Jadi model matematikanya
Vmaks = ?, untuk V = 4 x3- 4sx2+ s2x
Apabila ditentukan bahwa panjang karton 20 cm, maka model matematika menjadi
Vmaks = ?, untuk V = 4 x3- 80 x2+ 400x
80
b. Kegiatan Belajar 2
Prinsip-prinsip Pemodelan Matematika untuk Sekolah
Ruang lingkup matematika ada dua, yaitu: berhubungan dalam struktur abstrak dan ide, dan
menghasilkan model yang berfungsi untuk menggambarkan lingkungan. Kajian terhadap
matematika meliputi kajian untuk perkembangan teori-teori dalam matematika dan kajian untuk
penerapan matematika dalam kaitannya dengan ilmu lainnya.
1. Pembelajaran matematika berorientasi terapan
Kajian terapan matematika merupakan kajian yang sangat luas karenaketerkaitannya
dengan berbagai ilmu/kajian lainnya. Terdapat empat definisi dari matematika terapan (Pollak
1977):
• Matematika terapan klasik (cabang klasik analisis, bagian analisis yang berlaku untuk fisika)
• Matematika dengan aplikasi praktis yang signifikan (statistik, aljabar linier, ilmu komputer,
analisis).
• Pemodelan satu kali (siklus pemodelan hanya dilewati sekali).
• Pemodelan (siklus pemodelan diulang beberapa kali).
Kajian tentang pembelajaran matematika berorientasi terapan dimulai sejak tahun 1976 saat
diselenggarakan ICME-3 di Karlsruhe, Jerman.
2. Siklus pemodelan matematika dalam pembelajaran matematika
Blum
dan
Leiß
(2006)
mengembangkan
metode
pemecahan
masalah
siklus pemodelan matematika dengan tujuh fase yang mengarahpada
berdasarkan
kompetensi
kognitif,yaitu:
membangun(1),
menyederhanakan(2),mematematisasi(3),
mengerjakan
secara
matematis(4), menafsirkan(5),memvalidasi (6) dan mengekspos (7).
Terdapat beberapa model yang bisa digunakan selain model dari Blum dan Leiß(2005)
tersebut. Meskipun secara umum, seluruh proses pemodelan sering digambarkan sebagai
siklus, tetapi penggunaanya bergantung pada pada kelompok sasaran, topik penelitian,
minatpenelitian, dan tujuan.Model dari dari Blum dan Leiß (2005) cocok digunakan untuk
matematisasi kompleks, sedangkan untuk matematisasi
mendukung
aktifitas
siswa
tunggal,
misalnya
untuk
dalam menyelesaikan masalah pemodelan di kelas, model dari
Schupp (1988) seperti pada Gambar 2 dapat digunakan sebagai alternatif (Greefrath dan Vorhölter,
2016).
81
Gambar 2. Siklus pemodelan matematika oleh Schupp (1988).
Dalam penyelesaian permasalahan berdasarkan siklus pemodelan matematika dibutuhkan
keahlian dan ketelitian dalam mengubah kalimat-kalimat yang menjadi informasi tentang suatu
kejadian atau suatu obyek di dunia nyata menjadi sebuah model nyata. Dari model nyata
tersebut, dilakukan proses identifikasi terhadap variabel dan besaran yang terlibat, hal-hal
yang diketahui, dan tujuan untuk didefinisikan
secara
matematis
sehingga
terbentuk
persamaan-persamaan matematika yang dapat diselesaikan secara matematis. Hasilnya
kemudian diinterpretasikan sebagai solusi dari permasalahan nyata dalam soal tersebut.
Ilustrasi proses penyelesaian soal pemodelan matematika sederhana disajikan dalam Gambar
3.
82
Gambar 3. Proses penyelesaian masalah dengan siklus pemodelan matematika(Greefrath dan
Vorhölter, 2016).
Dalam
proses
pengidentifikasian
variabel
dan
besaran
yang
terlibat,
hal
yang
harusdiperhatikan adalah satuan harus disamakan sehingga dalam proses perhitungan
matematika dalam penyelesaian modelnya tidak terjadi salah perhitungan. Dalam proses
penyelesaian model matematikanya juga diusahakan mencari cara yang lebih cepat dan
lebih sedikit proses perhitungan untuk meminimalkan kesalahan perhitungan
karena
semakin banyak perhitungan yang dilakukan maka kemungkinan terjadinya kesalahan
perhitungan akan semakin besar.Secara umum, kompetensi pemodelan dapat dideskripsikan
secara rinci denganbeberapa sub-kompetensi yang dikembangkan melalui siklus pemodelan,
yaitu:
• kompetensi untuk memahami masalah dunia nyata dan membangun model realitas;
• kompetensi untuk membuat model matematika dari model dunia nyata;
•
kompetensi untuk memecahkan masalah matematika dalam model
matematika;
•
kompetensi untuk menafsirkan hasil matematika ke dalam model dunia nyata atau
situasinyata;
• kompetensi untuk menguji solusi dan, jika perlu, untuk melakukan proses pemodelan
lainnya.(Kaiser,2007)
Desain soal bertipe Pemodelan Matematika Sederhana
Matematika ada di sekitar kita. Berjalan di dunia dengan mata terbuka maka akan
menemukan matematika di mana-mana (Blum 2006). Dalam kehidupan sehari-hari, banyak
hal/masalah yang menggunakan matematika sebagai alat untuk menyelesaikannya.
Permasalahan-permasalahan nyata dalam kehidupan sehari-hari dapat digunakan untuk
mendesain soal untuk pelajaran matematika dengan beberapa kriteria yang harus terpenuhi.
Permasalahan-permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan mengikuti siklus
pemodelan matematika dengan kategori sederhana.
1. Kriteria soal bertipe pemodelan matematika
Menurut Reit dan Ludwig (2013) soal pemodelan matematika memuat beberapa
kriteria, yaitu:
konteks yang otentik (Maaß 2007), nilai numerik yang realistis (Müller dkk. 2007), karakter
pemecahan masalah (Maaß 2007), format naturalistik untuk pertanyaan, keterbukaan terkait
dengan ruang lingkup permasalahan. Untuk membantu pendesainan soal pemodelan, Maaß
(2010) mengidentifikasi lima faktor yang dapat digunakan untuk mengklasifikasikan soal
83
pemodelan yaitu: ruang lingkup proses pemodelan, jumlah data yang diberikan, sifat dari
hubungan tugas dengan realitas, situasi kontekstual, dan jenis model yang digunakan.
2. Contoh soal bertipe pemodelan matematika sederhana
Contoh pertama adalah soal tentang berat badan.
Berat badan. Seorang anak dan ibunya ditimbang secara bersamaan menunjukkanberat 73 kg.
Anak tersebut dan ayahnya ditimbang secara bersamaan menunjukkan berat 91 kg. Ayah dan
ibu dari anak tersebut ditimbang secara bersamaan menunjukkan berat 122 kg. Berapa berat
badan ketiga orang tersebut jika ditimbang secara bersamaan?
Untuk menyelesaikan soal tersebut dapat diawali dengan melakukan identifikasi variabel,
besaran, dan tujuan untuk didefinisikan secara matematis dan membentuk persamaanpersamaan, kemudian diselesaikan dan hasilnya diinterpretasikan ke dalam situasi nyata.
Contoh soal kedua adalah soal tentang pasta gigi (Gambar 4) yang didesain oleh Reit (2016).
Pasta gigi. Menyikat gigi adalah bagian dari rutinitas sehari-hari kita. DapatkahAnda
memberikan rumus umum untuk berapa hari kira-kira sebuah pasta gigi dipakai hingga habis?
Berikan alasan secara matematis!
Soal ini merupakan soal terbuka yang mengarahkan pada pencarian formula umum untuk
mengetahui berapa lama pasta gigi akan habis jika dipakai. Untuk menyelesaikan soal ini
diperlukan asumsi tentang ukuran sikat gigi dan tempat pasta gigi.
Penyelesaian soal bertipe Pemodelan Matematika
1. Proses penyelesaian soal pemodelan matematika
Secara garis besar, proses penyelesaian soal bertipe pemodelan matematika adalah
melakukan pengidentifikasian, pendefinisian, penyusunan dan menyelesaian model
matematis, dan menginterpretasikan hasilnya kedalam situasi nyata.
1. Variabel dan besaran
Masalah
Pengidentifikasian
yang terlibat
nyata
Hal-hal yang
2. diberikan
84
3. Tujuan
Pengnterpretas
ian
Pendefinisian
1. Variabel matematika
2. Persamaan-persamaan
Solusi
Matematis
Penyelesaian
matematika
3. Persamaan tujuan
Gambar Proses pemecahan soal bertipe pemodelan matematika sederhana
2. Contoh penyelesaian soal pemodelan matematika
Contoh penyelesaian soal pemodelan matematika sederhana pada bagian ini dibahas
dengan menyelesaikan beberapa soal yang telah disajikan pada bagian sebelum ini.
Penyelesaian soal tentang berat badan. Penyelesaian soal tentang berat badan inidiawali
dengan pengidentifikasian dan pendefinisian.
No
Pengidentifikasian
Pendefinisian
Variabel yang terlibat : Berat (kg).
Variabel matematika:
a. Berat badan anak
b. Berat badan ibu
c. Berat badan ayah
Tulis A : Berat badan anak
B : Berat badan ibu
C : Berat badan ayah
Hal-hal yang diketahui/diberikan
Sistem persamaan matematika:
1
2
dalam soal:
a. Berat badan anak dan ibu adalah
73 kg
b. Berat badan anak dan ayah adalah
91 kg
c. Berat badan ayah dan ibu adalah
122 kg
3
(1) A + B = 73
(2) A + C = 91
(3) B + C = 122
A + B + C = ….
Tujuan: Berat total ketiga orang.
Selanjutnya dilakukan proses penyelesaian sistem persamaan matematika:
Persamaan (2) dikurangi persamaan (1) diperoleh C – B = 18 ….(4).
Persamaan (4) ditambah persamaan (3) diperoleh 2C = 140 menghasilkan C = 70.
Jadi diperoleh A = 91 – 70 = 21 dan B = 73 – 21 = 52.
85
Jadi A + B + C = 21 + 52 + 70 = 143
Tahap akhir dari proses penyelesaian
hasil
ini adalah
menginterpretasikan
matematis ke dalam situasi nyata, yaitu dengan menarik kesimpulan:
Jadi berat badan total ketiga orang tersebut adalah 143 kg.
Penyelesaian diatas dapat disusun dalam sebuah penyelesaian formal sebagai
berikut:
Misalkan:
A : Berat badan anak (kg),
B : Berat badan ibu (kg), dan
C : Berat badan ayah (kg).
Dipuyai A + B = 73, A + C = 91, dan B + C = 122.
Jelas A + B = 73
A + C = 91
B + C = 122 +
A + B + C = 143
Jadi berat badan total ketiga orang tersebut adalah 143 kg.
3.
Pemanfaatan teknologi dalam penyelesaian soal pemodelan matematika
Software matematis yang dapat dimanfaatkan untuk membantu penyelesaian soal
pemodelan matematika, diantaranya adalah Computer Algebra Systems (CAS), Dynamic
Geometry Systems (DGS), dll. Contoh penyelesaian soal bertipe pemodelan matematika
yang dapat diselesaikan dengan software matematis misalnya soal tentang volum buah pir.
Penyelesaian soal tentang volum buah pir.
Gambar 9 menunjukkan cara untuk menghitung volume benda putar di GeoGebra.
Pertama-tama, foto buah pir dimasukkan kedalam latar belakang Geogebra. Ukuran
panjang buah pir sebenarnya ditunjukkan dengan skala pada sistem koordinat kartesius
dengan satuan cm.
Kemudian tandai kontur buah pir dengan titik-titik dan buat grafik fungsi polinomial yang
sesuai dengan titik-titik tersebut, misalnya grafik fungsi f. Tentukan titik potong – titik
potong grafik terhadap sumbu-X, missal: Z1 dan Z2, dengan menuliskan Z = Root[f].
Untuk mengetahui volum buah pir, dapat dilakukan dengan menentukan volum benda putar
yang dibentuk oleh perputaran grafik f terhadap sumbu-X dengan rumus: V=∫KKML . [ ( )]+
86
. Dalam Geogerbra ditulis: Integral[π f(x)^2, x(Q_1), x(Q_2)]. Diperoleh hasil yang
menunjukkan bahwa volum buah pir tersebut adalah 256.09 cm3.
Gambar Menggunakan GeoGebra® untuk membantu menyelesaikan soal bertipe
pemodelan matematika.
Kegiatan Belajar 3
1. Analisis Galat
a. Solusi Analitik dan Solusi Numerik
Metode numerik merupakan suatu metode untuk menyelesaikan masalah-masalah
matematika dengan menggunakan sekumpulan aritmatik sederhana dan operasi logika pada
sekumpulan bilangan atau data numerik yang diberikan. Metode komputasi yang digunakan
disebut algoritma. Proses penyelesaiannya mungkin memerlukan puluhan bahkan sampai
jutaan operasi, tergantung pada kompleksitas masalah yang harus diselesaikan, tingkat
keakuratan yang diinginkan dan seterusnya.
Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik tidak keluar dari dasar pemikiran
analitis, namun teknik perhitungan yang mudah yaitu hanya menggunakan proses aljabar yang
dasar seperti penjumlahan dan perkalian.
Mengingat bahwa algoritma yang dikembangkan dalam metode numerik adalah algoritma
pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan
proses perhitungan.
Dengan kata lain perhitungan dengan metode numerik adalah perhitungan yang
dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus memperoleh hasil yang semakin
mendekati nilai penyelesaian yang sebenarnya. Hasil yang dihasilkan dari perhitungan
numerik disebut hasil numerik/hampiran/aproksimasi.
b. Pengertian Galat/error
87
Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini, akan muncul perbedaan
antara solusi eksak dan solusi numerik. Selisih nilai hasil perhitungan tersebut disebut dengan
galat (error) atau nilai kesalahan. Kesalahan ini penting artinya, karena kesalahan dalam
pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar, tentunya ini
tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode numerik selalu membahas tingkat kesalahan
dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi.
Misalnya nilai yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya.
Dengan menggunakan meteran, suatu lingkaran dengan diameter 7 cm menghasilkan keliling
lingkaran 22 cm. Hasil numerik akan memberikan nilai 3,14 jika dibulatkan sampai dua angka
desimal. Maka selisih antara 22/7 dengan 3,14 disebut sebagai galat.
c. Sumber-sumber Galat
Secara umum terdapat beberapa sumber penyebab galat dalam perhitungan numerik
1) Galat pembulatan
Perhitungan dengan metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil. Masalah
timbul bila komputasi numerik dikerjakan oleh mesin (dalam hal ini komputer) karena semua
bilangan riil tidak dapat disajikan secara tepat di dalam komputer. Keterbatasan komputer
dalam menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yang disebut galat pembulatan.
Sebagai contoh 1/6 = 0.166666666… tidak dapat dinyatakan secara tepat oleh komputer
karena digit 6 panjangnya tidak terbatas. Komputer hanya mampu merepresentasikan sejumlah
digit (atau bit dalam sistem biner) saja. Bilangan riil yang panjangnya melebihi jumlah digit
(bit) yang dapat direpresentasikan oleh komputer dibulatkan ke bilangan terdekat. Misalnya
sebuah komputer hanya dapat merepresentasikan bilangan riil dalam 6 digit angka berarti,
maka representasibilangan 1/6 = 0.1666666666… di dalam komputer 6-digit tersebut adalah
0.166667.
Galat
pembulatannya
adalah
1/6
–
0.166667
=
-0.000000333.
2) Galat Pemotongan
Galat pemotongan adalah galat yang ditimbulkan oleh pembatasan jumlah komputasi
yang digunakan pada proses metode numerik. Banyak metode dalam metode numerik yang
penurunan rumusnya menggunakan proses iterasi yang jumlahnya tak terhingga, sehingga
untuk membatasi proses penghitungan, jumlah iterasi dibatasi sampai langkah ke n.
3) Galat Total
Galat akhir atau galat total atau pada solusi numerik merupakan jumlah galat
pemotongan dan galat pembulatan.
4) Galat eksperimental.
Galat yang timbul dari data yang diberikan, misalnya karena kesalahan pengukuran,
ketidaktelitian alat ukur dan sebagainya.
5) Galat Pemrograman
88
Galat yang terdapat di dalam program sering dinamakan dengan kutu (bug). Dan proses
penghilangan galat dinamakan penirkutuan (debugging).
d. Galat Mutlak dan Galat Relatif
Hubungan antara hasil yang eksak atau yang sebenarnya, hasil aproksimasinya serta
galatnya dapat dirumuskan sebagai berikut :
Nilai sebenarnya (true value) = aproksimasi + galat
Galat numerik adalah ketidaksesuaian (dispency) antara yang sebenarnya dan aproksimasi:
t
= nilai sejati – aproksimasi
Didefinisikan galat mutlak sebagai nilai mutlak selisi antara nilai eksak (x) dengan nilai
aproksimasi ( ) :ɛ = |𝑥 − 𝑥̅ |
Kelemahan definisi ini adalah bahwa tingkat besaran dari nilai yang diperiksa sama sekali
tidak diperhatikan, misalnya galat satu sentimeter akan jauh lebih berarti jika yang diukur
adalah paku bukan jembatan.
Untuk mengatasi kelemahan tersebut, dihitung galat relatif, yang dihitung dengan
membandingkan nilai galat dengan nilai sebenarnya.
Galat relatif pecahan =
Galat
Nilai
sebenarnya
2. Metode Numerik Secara Umum
Disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada
persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan
sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal alias
rumit. Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode
analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). Yang
dimaksud dengan metode analitik adalahmetode penyelesaian model matematika dengan
rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim).
Sebagai contoh ilustrasi, tinjau sekumpulan persoalan matematik di bawah ini.
Bagaimana cara anda menyelesaikannya?
(i) Tentukan akar-akar persamaan polinom:
23.4x7 - 1.25x6 + 120x4 + 15x3 - 120x2- x + 100 = 0
89
(ii) Tentukan harga x yang memenuhi persamaan:
5
x
1
27.8e
(iii)
(120x2
cos
17x
65
- 12c + 12d + 4.8e - 5.5f + 100g = 18
- c + 16d + 8e - 5f - 10g = 17
- 6c - 2d + 4e + 6.5f - 13g = 19
+ 8c - 7d + 14e + 8.4f + 16g = 6
+ 17c + 6d + 12e - 7.5f + 18g = 9
+ 11c + 9d - 5e - 25f - 10g = 0
+ 1.8c + 12d - 7e + 2.5f + g = -5
Tentukan nilai maksimum fungsi tiga matra (dimension):
x
sin( x) 3
f(x,y) = cos
x(0.08 cos(x))
+ sin(3xy - 1) - tan(
( xy) 2
4
(v)
2 x)
Selesaikan sistem persamaaan lanjar (linear):
1.2a - 3b
0.9a + 3b
4.6a + 3b
3.7a - 3b
2.2a + 3b
5.9a + 3b
1.6a + 3b
(iv)
x
1
)
y
Bila diperoleh tabulasi titik-titik (x,y) sebagai berikut (yang dalam hal ini rumus fungsi
y = f(x) tidak diketahui secara eksplisit):
x
2.5
y = f(x)
1.4256
3.0
1.7652
3.5
2.0005
4.4
2.8976
6.8
3.8765
Hitung taksiran nilai y untuk x = 3.8!
(vi)
Berdasarkan titik-titik data pada tabel persoalan (v) di atas, berapa nilai f '(3.5) dan
nilai f "(3.5) ?
(vii) Hitung nilai integral-tentu berikut:
2.5
(
(45.3e7x
1.2
10
0
4
( )d
4
2
)
x
x 1) x
90
(viii)
Diberikan persamaan differensial biasa (PDB) dengan nilai awal:
ln(21t
40) y
150y " + 2y't =
+ 120 ; y '(0) = 0, y (0)
= 1.2 t 2
Hitung nilai y pada t = 1.8!
Menghadapi soal-soal seperti di atas, anda mungkin menyerah, atau mungkin mengatakan
bahwa soal-soal tersebut tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang biasa anda
kenal. Soal (i) misalnya, biasanya untuk polinom derajat 2 orang masih dapat mencari akarakar polinom dengan rumus abc yang terkenal itu yaitu
b
x
1,2
=
b 2 4ac
2a
(P.1.1)
namun, untuk polinom derajat > 2, seperti pada soal (i), tidak terdapat rumus aljabar untuk
menghitung akar polinom. Yang mungkin kita lakukan adalah dengan memanipulasi polinom,
misalnya dengan memfaktorkan (atau menguraikan) polinom tersebut menjadi perkalian
beberapa suku. Semakin tinggi derajat polinom, jelas semakin sukar memfaktorkannya. Ada
juga beberapa alternatif lain. Yang pertama dengan cara coba-coba seperti metode
pembagiansintetis Horner.Dengan metode ini, polinom dibagi dengan sebuah bilangan.Jika
sisa pembagiannya nol, maka bilangan tersebut adalah akar polinom. Cara kedua adalah
secara grafik, yaitu dengan merajah kurva fungsi di atas kertas grafik, kemudian berdasarkan
gambar kurva, kita mengambil tarikan akar secara kasar, yaitu titik poyong kurva dengan
sumbu-x.
Tahap-TahapMemecahkan Persoalan Secara Numerik
Ada enam tahap yang dilakukan dakam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode
numerik, yaitu
1.
Pemodelan
Ini adalah tahap pertama. Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam persamaan
matematika (lihat contoh ilustrasi pada upabab 1.2)
2.
Penyederhanaan model
Model matematika yang dihasilkan dari tahap 1 mungkin saja terlalu kompleks, yaitu
memasukkan banyak peubah (variable) atau parameter. Semakin kompleks model
matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya. Mungkin beberapa andaian dibuat
sehingga beberapa parameter dapat diabaikan. Contohnya, faktor gesekan udara
diabaikan sehingga koefisian gesekan di dalam model dapat dibuang. Model matematika
yang diperoleh dari penyederhanaan menjadi lebih sederhana sehingga solusinya akan
lebih mudah diperoleh.
3.
Formulasi numerik
91
Setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap selanjutnya adalah
memformulasikannya secara numerik, antara lain:
a.
menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan
analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah, dan
sebagainya).
Pemilihan metode didasari pada pertimbangan:
-
apakah metode tersebut teliti?
-
apakah metode tersebut mudah diprogram dan waktu pelaksanaannya cepat?
-
apakah metode tersebut tidak peka terhadap perubahan data yang cukup kecil?
b.
4.
menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.
Pemrograman
Tahap selanjutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program komputer dengan
menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai.
5.
Operasional
Pada tahap ini, program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum data yang
sesungguhnya.
6.
Evaluasi
Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya, maka hasil yang
diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis hasil run dan membandingkannya
dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik, dan
keputusan untuk menjalankan kembali program dengan untuk memperoleh hasil yang
lebihbaik
92
93
94