[S1] KUIS 1 KOMBINATORIKA 2019

KUIS 1
KOMBINATORIKA (TAKE HOME)
Disusun oleh:
Hasna Muti Andini
Betria Ayu Fermadona
140110160087
140110160109
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PADJADJARAN
2019
1. PERMUTASI & KOMBINASI
1.1. Permutasi
Permutasi adalah susunan yang mungkin dibuat dari semua atau sebagian anggota
suatu himpunan dengan memperhatikan urutan.
Jika dalam suatu himpunan terdapat 𝑛 unsur yang berbeda dari 𝑛 unsur tersebut
dituliskan sebagai
𝑃(𝑛, 𝑛) = 𝑛!
Banyaknya permutasi 𝑟 unsur yang berbeda (𝑟 ≤ 𝑛) didefinisikan sebagai
𝑛!
𝑃(𝑛, 𝑟) =
= 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑟 + 1)
(𝑛 − 𝑟)!
Contoh
1. Suatu kelas akan memilih ketua kelas, sekretaris dan bendahara dari 6 calon
pengurus. Jika setiap calon bersedia menjadi pengurus dan tidak boleh ada
jabatan rangkap, maka banyaknya jumlah susunan pengurus yang dapat
dibentuk adalah…
Jawab:
6!
6.5.4.3!
𝑃(6,3) = (6−3)! = 3! = 120 cara
2. Berapa banyak permutasi cara duduk jika terdapat 8 orang dan 4 kursi yang
disediakan?
Jawab:
8!
8!
8.7.6.5.4!
𝑃(8,4) = (8−4)! = =
= 1680 cara
4!
4!
3. Berapa banyak permutasi cara duduk jika terdapat 8 orang dan 4 kursi yang
disediakan sedangkan salah seorang selalu duduk pada kursi tertentu?
Jawab:
7!
7!
7.6.5.4!
𝑃(7,3) = (7−3)! = 4! = 4! = 210 cara
1.2. Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah menentukan susunan unsur yang disusun secara siklis
(melingkar). Untuk memahami pengertian permutasi siklis perhatikan masalah
berikut ini.
“Dalam berapa cara 3 orang dapat duduk pada bangku secara berjajar?”
Dengan cara yang telah kita ketahui dapat ditentukan dengan cepat yaitu 𝑃33 = 3! =
6. Sekarang jika masalah tersebut kita ubah menjadi:
“Dalam berapa cara 3 orang duduk mengeliilingi meja bundar?”
Jawaban masalah ini berbeda bengan masalah sebelumnya. Ketika tiga orang duduk
berjajar, maka setiap susunan berikut ini adalah berbeda.
ABC
BCA
CAB
Tetapi pada kasus melingkar, ketiga susunan berikut adalah sama.
A
C
B
AA
BA
C
C
AC
BC
CA
Dalam putaran searah jarum jam A berada di sebelah kiri B dan C berada di kanan
B sehingga susunan di atas dihitung satu dalam susunan duduk melingkar, maka ada
(3 − 1)! = 2 susunan duduk mereka.
C
B
AA
C
C
ABC, BCA, CAB
AA
C
B
ACB, CBA, BAC
Dari uraian di atas kita tuliskan permutasi siklis sebagai berikut.
“Banyaknya permutasi siklis dari n unsur yang berbeda adalah (𝑛 − 1)!”
Contoh
1. Dalam sebuah rak terdapat 7 buah buku berbeda. Berapa banyak cara agar bukubuku tersebut dapat ditata jika ada 2 buah buku tertentu yang tidak boleh
diletakkan berdampingan…
Jawab:
Banyak cara menata 7 buku = 𝑃77 = 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 cara
Banyak cara jika 2 buku selalu berdambingan = 2. 𝑃66 = 2.6! = 2. (1440) =
2880
Jadi, banyak cara agar 2 buku tidak pernah berdampingan adalah = 𝑃77 −
2. 𝑃66 = 5040 − 2880 = 2160 cara
2. Dalam sebuah permainan, setiap orang harus melingkar dan bergandengan
tangan. Jika terdapat 6 orang pemain dan terdapat 2 orang pemain selalu
berdekatan. Maka banyak cara yang dapat dilakukan adalah…
Jawab:
Karena terdapat 2 orang pemain selalu berdekata maka 𝑛 = 5 (dianggap satu)
Banyak cara = (5 − 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 cara
3. Tiga orang pria dan tiga orang wanita duduk mengelilingi meja bundar. Jika
mereka duduk berselang-seling maka banyak cara yang dapat dilakukan
adalah…
Jawab:
Banyak cara = 𝐶𝑎𝑟𝑎 𝑃𝑟𝑖𝑎 𝑥 𝐶𝑎𝑟𝑎 𝑊𝑎𝑛𝑖𝑡𝑎
Banyak cara = (3 − 1)! 𝑥(3 − 1)! = 2 𝑥 2 = 4 cara
1.3. Permutasi & Kombinasi dengan Elemen Berulang
Permutasi dengan Elemen Berulang
Jika terdapat 𝑛 obyek dengan 𝑛1 unsur yang sama, 𝑛2 unsur yang sama, …, 𝑛𝑘
unsur yang sama dengan 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘 = 𝑛. Maka banyaknya permutasi dari 𝑛
unsur dinyatakan sebagai
𝑛!
𝑃=
𝑛1 ! 𝑛2 ! … 𝑛𝑘 !
Contoh
1. Berapa banyak cara untuk menyusun 7 huruf yang dapat dibentuk dari kata
“ANGKASA”?
Jawab:
7!
7.6.5.4.3!
𝑃 = 3!1!1!1!1! = 3! = 840 cara
2. Suatu sinyal dibuat dari 6 bendera, yaitu 3 bendera kuning, 2 bendera merah,
dan 1 bendera biru. Ada berapa macam sinyal yang dapat dibuat dari bendera
tersebut?
Jawab:
6!
6.5.4.3!
𝑃 = 3!2!1! = 3!.2.1 = 60 cara
3. Dalam berapa cara kata “INDONESIA” dapat dipermutasikan?
Jawab:
9!
7.6.5.4.3.2.1
𝑃 = 2!2!1!1!1!1!1! =
= 1260 cara
4
Kombinasi dengan Elemen Berulang
Kombinasi dengan pengulangan berukuran 𝑟 dan 𝑛 objek adalah pengambilan
seleksi berukuran 𝑟 dari kumpulan 𝑛 objek dengan urutan tidak diperhatikan dan
pengulangan/pengembalian dibolehkan.
Banyaknya kombinasi dengan pengulangan berukuran r dari n objek adalah
(𝑛 + 𝑟 − 1)!
𝐶(𝑛 + 𝑟 − 1, 𝑟) =
𝑟! (𝑛 − 1)!
Contoh
1. Ani mempunyai 9 buah coklat yang akan dibagikan kepada 3 orang anak.
Tentukan banyaknya kemungkinan jika tidak ada batasan apapun!
Jawab:
Dik : 𝑟 = 9 dan 𝑛 = 3
Dit : 𝐶(11,9) = ?
Dij :
(11)!
9! (2)!
11.10.9!
𝐶(11,9) =
= 55
9! .2.1
Jadi, banyaknya kemungkinan pembagian 9 buah coklat kepada 3 orang anak
adalah 55.
𝐶(11,9) =
2. Diketahui 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 13. Berapa banyak solusi jika 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 adalah
bilangan bulat non negative?
Jawab:
Dik : banyaknya cara memilih 13 bintang dari himpunan 15 elemen (13
bintang + 2 pemisah)
Dit : 𝐶(15,13) = ?
Dij :
(15)!
𝐶(15,13) =
13! (2)!
15.14.13!
𝐶(15,13) =
= 105
13! .2.1
Jadi, banyaknya kemungkinan bilangan bulat non negative adalah 105.
3. Diketahui 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 13. Berapa banyak solusi jika 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 adalah
bilangan bulat non negative?
Jawab:
Dik : Tambahkan variable y sehingga,
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑦 = 13
Banyaknya cara memilih 13 bintang dari himpunan 16 elemen (13 bintang + 3
pemisah)
Dit : 𝐶(16,13) = ?
Dij :
(16)!
𝐶(16,13) =
13! (3)!
16.15.14.13!
𝐶(16,13) =
= 560
13! .3.2.1
Jadi, banyaknya kemungkinan bilangan bulat non negative adalah 560.
2. KOEFISIEN BINOMIAL
2.1. Teorema Binomial
Dalam aljabar, penjumlahan dua suku x+y disebut binomial. Teorema binomial
adalah rumus penjabaran (𝑥 + 𝑦)𝑛 , dimana n bilangan bulat tak negatif.
“Teorema : Misal x dan y adalah bilangan-bilangan real dan n adalah bilangan
bulat tak negatif, maka :
(𝑥 + 𝑦)𝑛 = ∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑘) 𝑥 𝑛−𝑘 𝑦 𝑘 ”
Contoh
1. (3𝑥 + 6𝑦)3
3
3
(3𝑥 + 6𝑦) = ∑ ( ) 3𝑥 3−𝑘 6𝑦 𝑘
𝑘
3
𝑘=0
3
3
3
3
= ( ) 3𝑥 3 + ( ) 3𝑥 2 6𝑦 + ( ) 3𝑥6𝑦 2 + ( ) 6𝑦 3
0
1
2
3
= 3𝑥 3 + 9𝑥 2 6𝑦 + 9𝑥6𝑦 2 + 6𝑦 3
= 3𝑥 3 + 36𝑥 2 𝑦 + 36𝑥𝑦 2 + 6𝑦 3
2. (5𝑥 + 4𝑦)2
2
(5𝑥 + 4𝑦)2 = ∑ 5𝑥 𝑛−𝑘 4𝑦 𝑘
𝑘=0
2
2
2
= ( ) 5𝑥 2 + ( ) 5𝑥4𝑦 + ( ) 4𝑦 2
0
1
2
2
2
= 5𝑥 + 10𝑥4𝑦 + 4𝑦
= 5𝑥 2 + 40𝑥𝑦 + 4𝑦 2
2.2. Teorema Multinomial
Multinomial adalah jumlah t buah suku berbeda yaitu 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑡 .
Binomial adalah kasus khusus dari multinomial yaitu t = 2.
Teorema : Misalkan 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑡 adalah bilangan-bilangan real dan n adalah
bilangan bulat positif, dengan demikian :
𝑛!
𝑞
𝑞 𝑞
(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑡 )𝑛 = ∑
𝑥1 1 𝑥2 2 … 𝑥𝑡 𝑡
𝑞1 ! 𝑞2 ! … 𝑞𝑡 !
Penjumlahan dilakukan terhadap semua 𝑞1 , 𝑞2 , … 𝑞𝑡 dengan 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3 + ⋯ +
𝑞𝑡 = 𝑛. Banyaknya suku pada (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑡 )𝑛 adalah (𝑛+𝑡−1
)
𝑛
Contoh
1. Koefisien 𝑎𝑏 3 𝑐𝑑2 𝑝𝑎𝑑𝑎 (𝑎 − 5𝑏 + 𝑐 − 2𝑑)7 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ …
Jawab :
7!
Koef = 1!3!1!2! (1)1 (−5)3 (1)1 (−2)2
= −210000
Dengan banyak suku (7+4−1
) = (10
) = 720
7
7
2. Koefisien 𝑎3 𝑏𝑑 𝑝𝑎𝑑𝑎 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)5 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ …
Jawab :
5!
(1)3 (1)1 (1)0 (1)1 = 10
𝐾𝑜𝑒𝑓 =
3! 1! 1!
Dengan banyak suku (5−4−1
)
5
3. PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSI
3.1. Prinsip Inklusi-Eksklusi pada Dua Himpunan
Misalkan A,B himpunan. |𝐴|, |𝐵| adalah banyaknya elemen himpunan A,B.
Lemma : Misalkan A,B adalah himpunan berhingga yang saling lepas (disjoint),
maka :
|𝐴 ∪ 𝐵| = |𝐴| ∪ |𝐵|
Teorema : Misalkan A,B adalah himpunan berhingga, maka :
|𝐴 ∪ 𝐵| = |𝐴| + |𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐵|
Contoh
1. Berapa banyaknya bilangan bulat positif yang tidak melampaui 1000 yang habis
dibagi 7 atau 11 ?
- Misalkan A banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui 1000 yang
habis dibagi 7
- Misalkan A banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui 1000 yang
habisdibagi 11
itanya : |𝐴 ∪ 𝐵| = ?
awab :
|𝐴 ∪ 𝐵| = |𝐴| + |𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐵|
1000
|𝐴| = [
] = 142
7
1000
|𝐵| = [
] = 90
11
1000
|𝐴 ∩ 𝐵| = [
] = 12
7 ∗ 11
|𝐴 ∪ 𝐵| = 142 + 90 − 12 = 220
2. Berapa banyak bilangan bulat antara 1 dan 1000 yang habis dibagi 5 dan 6 ?
Ditanya : |𝐴 ∪ 𝐵| = ?
Jawab :
|𝐴 ∪ 𝐵| = |𝐴| + |𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐵|
1000
|𝐴| = [
] = 199
5
1000
|𝐵| = [
] = 166
6
1000
|𝐴 ∩ 𝐵| = [
] = 33
5∗6
|𝐴 ∪ 𝐵| = 199 + 166 − 33 = 332
3.2. Prinsip Inklusi-Eksklusi pada Lebih Dari Dua Himpunan
Teorema :Misalkan A,B, dan C adalah himpunan berhingga, maka |𝐴 ∪ 𝐵 ∪
𝐶| berhingga dan
|𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶| = |𝐴| + |𝐵| + |𝐶| − |𝐴 ∩ 𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐶| − |𝐵 ∩ 𝐶| + |𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶|
Untuk V buah himpunan berlaku teorema berikut :
Teorema : Misalkan 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , … 𝐴𝑟 adalah himpunan berhingga maka berlaku :
|𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , … 𝐴𝑟 | =
∑ 𝐴𝑖 − ∑ |𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 | + ∑ |𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 ∩ 𝐴𝑘 | + ⋯ + (−1)𝑟−1 |𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ … ∩ 𝐴𝑟 |
𝑖
𝑖≤𝑗≤𝑟
𝑖≤𝑗≤𝑘≤𝑟
Contoh
1. Berapa banyak bilangan bulat antara 1 dan 1000 yang habis dibagi 5, 6 dan 8 ?
Ditanya : |𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶| = ?
Jawab :
|𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶| = |𝐴| + |𝐵| + |𝐶| − |𝐴 ∩ 𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐶| − |𝐵 ∩ 𝐶| + |𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶|
1000
|𝐴| = [
] = 199
5
1000
|𝐵| = [
] = 166
6
1000
|𝐶| = [
] = 124
8
1000
|𝐴 ∩ 𝐵| = [
] = 33
5∗6
1000
|𝐴 ∩ 𝐶| = [
] = 24
5∗8
1000
|𝐵 ∩ 𝐶| = [
] = 20
6∗8
1000
|𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶| = [
]=4
5∗6∗8
Jadi, |𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶| = 199 + 166 + 124 − 33 − 24 − 20 + 4 = 416
2. Sebanyak 1232 orang mahasiswa mengambil kuliah Bahasa Inggris, 879 orang
mahasiswa mengambil kuliah Bahasa Prancis, dan 114 mahasiswa mengambil
kuliah Bahasa Jerman. Sebanyak 103 orang mahasiswa mengambil kuliah
Bahasa Inggris dan Prancis, 23 orang mahasiswa mengambil kuliah Bahasa
Inggris dan Jerman, dan 14 orang mahasiswa mengambil mata kuliah Bahasa
Prancis dan Bahasa Jerman. Jika 2092 orang mahasiswa mengambil paling
sedikit satu buah kuliah Bahasa Inggris, Bahasa Prancis, dan Bahasa Jerman,
Berapa banyak mahasiswa yang mengambil ketiga mata kuliah bahasa tersebut
?
Jawab:
Misalkan :
I = Himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah Bahasa Inggris
P = Himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah Bahasa Prancis
J = Himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah Bahasa Jerman
Diketahui :
|𝐼| = 1232
|𝐼 ∩ 𝑃| = 103
|𝑃| = 879
|𝐼 ∩ 𝐽| = 23
|𝐼 ∪ 𝑃 ∪ 𝐽| = 2092
|𝐽| = 114
|𝑃 ∩ 𝐽| = 14
Ditanya : |𝐼 ∩ 𝑃 ∩ 𝐽| = ?
Jawab :
|𝐼 ∪ 𝑃 ∪ 𝐽| = |𝐼| + |𝑃| + |𝐽| − |𝐼 ∩ 𝑃| − |𝐼 ∩ 𝐽| − |𝑃 ∩ 𝐽| + |𝐼 ∩ 𝑃 ∩ 𝐽|
|𝐼 ∩ 𝑃 ∩ 𝐽| = |𝐼 ∪ 𝑃 ∪ 𝐽| − |𝐼| − |𝑃| − |𝐽| + |𝐼 ∩ 𝑃| + |𝐼 ∩ 𝐽| + |𝑃 ∩ 𝐽|
|𝐼 ∪ 𝑃 ∪ 𝐽| = 2092 − 1232 − 879 − 113 + 103 + 23 + 14 = 7
4. MARRIAGE THEOREM
Misalkan 𝐺 adalah graf bipartite yang berisi himpunan 𝑈 dan 𝑊 sedemikian sehingga
|𝑈| ≤ |𝑊|. 𝐺 memenuhi Hall’s condition jika
|𝑁(𝑥)| ≥ |𝑥|
Untuk setiap himpunan tak kosong 𝑥 ≤ 𝑢.
Teorema
Suatu graf bipartite 𝐺 yang berisi himpunan 𝑈 dan 𝑊 dimana |𝑈| ≤ |𝑊| memiliki
kecocokan bentukan |𝑈| jika dan hanya jika 𝐺 memenuhi Hall’s condition.
Catatan
Notasi 𝑁(𝑥) adalah himpunan simpul-simpul yang merupakan tetangga dari simpulsimpul di 𝑥. Untuk selanjutnya, bila kita membahas graf bagian 𝐺1 atau 𝐺2 , maka notasi
𝑁(𝑥) di 𝐺1 atau 𝐺2 akan disesuaikan menjadi, masing masing, 𝑁1 (𝑥) untuk graf 𝐺1 dan
𝑁2 (𝑥) untuk graf 𝐺2 . Pembuktian terdiri dari dua bagian, yang pertama adalah syarat
perlu, dan yang kedua adalah syarat cukup.
Bukti
(→) Diketahui terdapat kecocokan bentukan dari 𝑈 ke 𝑊, akan dibuktikan ∀ 𝑥 ⊆ 𝑈 maka
|𝑁(𝑥)| ≥ |𝑥|. Hal ini jelas, karena terdapat keocokan bentukan dari 𝑈 ke 𝑊. Maka,
bila kita ambil sembarang 𝑥 ⊆ 𝑈, ∀ 𝑥 ∈ 𝑈 akan mempunyai 𝑦 ∈ 𝑁(𝑥) ⊆ 𝑊 yang
berbeda. Maka |𝑁(𝑥)| ≥ |𝑥|.
(←) Diketahui |𝑁(𝑥)| ≥ |𝑥| ∀ 𝑥 ⊆ 𝑈, akan dibuktikan terdapat kecocokan bentukan dari
𝑈 ke 𝑊. Secara umum, akan dibuktikan menggunakan induksi matematik terhadap
jumlah simpul.
Misalkan |𝑈| = 𝑟 maka:
 Untuk 𝑟 = 1 hal ini jelas.
 Misalkan benar untuk |𝑈| < 𝑟.
Akan dibuktikan benar untuk |𝑈| = 𝑟.
Dalam pembuktian ini terdapat dua kasus yang perlu diperhatikan.
i. |𝑁(𝑥)| > |𝑥| untuk setiap 𝑥 ⊂ 𝑈dan 𝑥 ≠ ∅.
ii.
|𝑁(𝑢1 )| > |𝑢1 | untuk suatu 𝑢1 ⊂ 𝑈 dan 𝑢1 ≠ ∅.
Contoh
1. Apakah graf di bawah ini memiliki kecocokan bentukan berukuran 5?
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
Jawab:
Karena graf tersebut merupakan graf bipartite, maka dapat dibentuk dua himpunan
𝑢 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸} dan 𝑤 = {1, 2, 3, 4, 5}
Dengan |𝑢| = |𝑤| = 5
Pilih 𝑥 = {𝐴, 𝐷, 𝐸} ⊆ 𝑢 dengan |𝑥| = 3
Maka 𝑁(𝑥) = {3,4} dengan |𝑁(𝑥)| = 2
Karena |𝑁(𝑥)| = 2 < 3 = |𝑥|
Jadi, Graf G tidak memiliki kecocokan bentukan berukuran 5.
2. Apakah graf di bawah ini memiliki kecocokan bentukan berukuran 4?
A
1
B
2
C
3
D
4
5
Jawab:
Karena graf tersebut merupakan graf bipartite, maka dapat dibentuk dua himpunan
𝑢 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷} dan 𝑤 = {1, 2, 3, 4, 5}
Dengan |𝑢| = 4 dan |𝑤| = 5
Pilih 𝑥 = {𝐴, 𝐶} ⊆ 𝑢 dengan |𝑥| = 2
Maka 𝑁(𝑥) = {2} dengan |𝑁(𝑥)| = 1
Karena |𝑁(𝑥)| = 1 < 2 = |𝑥|
Jadi, Graf G tidak memiliki kecocokan bentukan berukuran 4.
3. Apakah graf di bawah ini memiliki kecocokan bentukan berukuran 3?
A
B
C
1
2
3
Jawab:
Karena graf tersebut merupakan graf bipartite, maka dapat dibentuk dua himpunan
𝑢 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} dan 𝑤 = {1, 2, 3}
Dengan |𝑢| = |𝑤| = 3
Hall’s Condition akan terpenuhi apabila ∀𝑥𝑛 ⊆ 𝑢, |𝑁(𝑥)| ≥ |𝑥|
Jika 𝑥1 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} maka 𝑁(𝑥) = {1,2,3} dan |𝑁(𝑥)| = 3 ≥ 3 = |𝑥|
Jika 𝑥2 = {𝐴} maka 𝑁(𝑥) = {3} dan |𝑁(𝑥)| = 1 ≥ 1 = |𝑥|
Jika 𝑥3 = {𝐵} maka 𝑁(𝑥) = {1} dan |𝑁(𝑥)| = 1 ≥ 1 = |𝑥|
Jika 𝑥4 = {𝐶} maka 𝑁(𝑥) = {2} dan |𝑁(𝑥)| = 1 ≥ 1 = |𝑥|
Jika 𝑥5 = {𝐴, 𝐵} maka 𝑁(𝑥) = {1,3} dan |𝑁(𝑥)| = 2 ≥ 2 = |𝑥|
Jika 𝑥6 = {𝐵, 𝐶} maka 𝑁(𝑥) = {1,2} dan |𝑁(𝑥)| = 2 ≥ 2 = |𝑥|
Jika 𝑥7 = {𝐴, 𝐶} maka 𝑁(𝑥) = {2,3} dan |𝑁(𝑥)| = 2 ≥ 2 = |𝑥|
Jika 𝑥8 = 𝜙 maka 𝑁(𝑥) = 𝜙 dan |𝑁(𝑥)| = 0 ≥ 0 = |𝑥|
Karena ∀𝑥𝑛 ⊆ 𝑢, |𝑁(𝑥)| ≥ |𝑥|
Jadi, Graf G memiliki kecocokan bentukan berukuran 4.