Pengertian matematika Kata matematika berasal dari Bahasa Latin: mathematika yang mulanya diambil dari perkataan Yunani mathematike yang berarti mempelajari. Kata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein atau mathenein yang artinya belajar (berpikir). Jadi, berdasarkan asal katanya, maka perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar). Matematika lebih menekankan kegiatan dalam dunia rasio (penalaran), bukan menekankan dari hasil eksperimen atau hasil observasi matematika terbentuk karena pikiranpikiran manusia, yang berhubungan dengan idea, proses, dan penalaran Terbentuknya matematika Matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris. Kemudian pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsep-konsep matematika Supaya konsep-konsep matematika yang terbentuk itu mudah dipahami oleh orang lain dan dapat dimanipulasi secara tepat, maka digunakan bahasa matematika atua notasi matematika yang bernilai global (universal). Konsep matematika didapat karena proses berpikir, karena itu logika adalah dasar terbentuknya matematika. Definisi Matematika 1. Russefendi (1988 : 23) Matematika terorganisasikan dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma, dan dalil-dalil di mana dalil-dalil setelah dibuktikan kebenarannya berlaku secara umum, karena itulah matematika sering disebut ilmu deduktif. 2. James dan James (1976). Matematika adalah ilmu tentang logika, mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan lainnya. 3. Reys - dkk (1984) Matematika adalah telaahan tentang pola dan hubungan, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat. Definisi Matematika 4. Johnson dan Rising dalam Russefendi (1972) Matematika adalah pengetahuan struktur yang terorganisasi, sifat-sifat dalam teori-teori dibuat secara deduktif berdasarkan kepada unsur yang tidak didefinisikan, aksioma, sifat atau teori yang telah dibuktikan kebenarannya adalah ilmu tentang keteraturan pola atau ide, dan matematika itu adalah suatu seni, keindahannya terdapat pada keterurutan dan keharmonisannya. 5. Kline (1973) Matematika itu bukan pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam. JADI,…. Tidak ada definisi yang disepakati secara sama oleh para ahli Namun demikian, para ahli sepakat tentang ciri-ciri matematika 1. Matematika memiliki objek kajian yang abstrak 2. Matematika memiliki struktur deduktif-aksiomatik 3. Matematika memiliki simbol-simbol yang kosong arti. 4. Matematika memiliki tumpuan kesepakatan. 5. Matematika memiliki aneka semesta 6. Matematika dijiwai kebenaran konsistensi fakta dalam matematika adalah segala sesuatu yang telah disepakati, dia dapat berupa simbol atau lambang dan dapat pula berupa kata-kata. Fakta adalah suatu konvensi yang merupakan suatu cara khas untuk menyajikan ide-ide matematika dalam bentuk kata atau simbol. SIMBOL BILANGAN “3” SECARA UMUM SUDAH DIPAHAMI SEBAGAI BILANGAN “TIGA” RANGKAIAN SIMBOL “3+4” DIPAHAMI SEBAGAI “TIGA TAMBAH EMPAT” Df dy dy Apakah konsep dalam Matematika itu? NAMA KONSEP KONSEP CIRI-CIRI KONSEP (ide abstrak yang dapat digunakan untuk melakukan klasifikasi atau penggolongan DEFINISI KONSEP (ungkapan yang membatasi konsep) REPRESENTASI KONSEP (Wakil/contoh berupa GAMBAR, BENDA) SIMBOL (tanda) SEGITIGA Memiliki tepat tiga ruas garis NAMA KONSEP CIRI-CIRI KONSEP (bisa banyak) Jumlah panjang dua sisi lebih panjang dari panjang sisi ke-3 DEFINISI KONSEP Tiga ruas garis yang duadua ujungnya bertemu (Bisa banyak, harus dipilih satu yang lain dijadikan teorema) REPRESENTASI KONSEP ABC (bisa banyak) SIMBOL (tanda) JAJARGENJANG Memiliki empat ruas garis berupa sisi-sisi berhadapan sejajar Diagonal berpotongan dua sama besar Sudut-sudut berhadapan sama besar Segiempat yang sepasang sisi berhadapan sejajar dan sama panjang NAMA KONSEP CIRI-CIRI KONSEP (bisa banyak) DEFINISI KONSEP (Bisa banyak, harus dipilih satu yang lain dijadikan teorema) REPRESENTASI KONSEP (bisa banyak) SIMBOL (tanda) OPERASI Dapat menghasilkan elemen tunggal NAMA KONSEP CIRI-CIRI KONSEP (bisa banyak) Memerlukan elemen yang diberi(input), semesta Aturan untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diberi dalam semesta tertentu Operasi perkalian 4x3=3+3+3+3=12 DEFINISI KONSEP (Bisa banyak, harus dipilih satu yang lain dijadikan teorema) REPRESENTASI KONSEP (bisa banyak) , , + SIMBOL (tanda) Pembentukan suatu konsep bisa melalui: (1) abstraksi, misalnya : pembentukan bilangan melalui dua kali abstraksi. (2) idealisasi, misalnya: “kerataan” suatu bidang dan “kelurusan” suatu garis. (3) abstraksi dan idealisasi, misalnya: “kubus”, “kerucut”. (4) penambahan syarat pada konsep terdahulu, misalnya: “belahketupat” dari “jajargenjang”. definisi suatu konsep adalah “ungkapan yang dapat digunakan untuk membatasi suatu konsep”. “Trapesium” adalah suatu konsep. Sedangkan definisi trapesium misalnya : “Trapesium adalah segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga dipotong oleh garis yang sejajar salah satu sisinya”. Inilah ungkapan yang membatasi konsep trapesium itu. Ada kebebasan dalam menetapkan definisi yang akan dipakai, yang penting konsisten. Suatu definisi yang belum masuk dalam struktur tertentu belum dapat dikatakan benar ataupun salah. Tetapi setelah ditetapkan atau disepakati dalam suatu struktur maka selanjutnya definisi itu memiliki nilai benar. Definisi Analitik Suatu definisi dikatakan bersifat analitis bila definisi tersebut menyebutkan spesifika.(Genus: genus keluarga proksimum terdekat; dan deferensia deferensia spesifika : pembeda khusus). Perhatikan definisi ini (dalam suatu struktur definisi tertentu). Belahketupat adalah jajargenjang yang ……….. Belahketupat adalah segiempat yang ………. Definisi yang pertama menunjukkan genus proksimum yaitu: jajargenjang”, sedangkan pada definisi kedua tidak menyebutkan genus proksimum, yang berakibat tidak ekonomis. Sedangkan deferensia spesifikanya adalah keterangan yang terdapat di belakang kata “yang”. Definisi ginetik Suatu definisi dikatakan bersifat ginetik jika definisi itu menunjukkan atau mengungkapkan cara terjadinya atau membentuknya konsep yang didefinisikan. Perhatikan definisi ini: Trapesium adalah segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya. Jaring-jaring limas adalah bangun yang terjadi jika sisi-sisi limas direbahkan dengan poros rusuk alas hingga sampai ke bidang pemusat alasnya. Definisi dengan rumus Suatu definisi tidak selalu dinyatakan dengan ungkapan berbentuk kalimat biasa, dapat juga diungkapkan dengan kalimat matematika. Dengan demikian dapat berbentuk suatu rumus. Perhatikan definisi ini: Dalam ilmu bilangan atau field: a – b = a + (-b) Dalam aljabar atau analisis: f : A B = {(a,b) A x B(a,b), (a,b’) f b = b’} Dalam aljabar, n! = 1.2.3. . . . (n-2)(n-1)n., dengan 0! = 1! = 1 (Bentuk terakhir itu ada juga yang menyebut dengan bentuk induksi). DEFINISI adalah ungkapan yang membatasi KONSEP Perlu dibedakan NAMA KONSEP (berupa istilah) dengan KONSEPNYA (yang abstrak) KOMPONEN DEFINISI 1. LATAR BELAKANG (INTENSI-EKSTENSI) 2. GENUS 3. ISTILAH YANG DIDEFINISIKAN 4. ATRIBUT a) Latar belakang Latar belakang suatu definisi merupakan keterangan atau penjelasan yang memungkinkan berlakunya definisi tersebut. b) Genus Genus suatu definisi merupakan golongan yang melingkupi konsep yang didefinisikan. C) Lingkup Lingkup atau istilah adalah konsep yang didefinisikan d. Atribut Atribut merupakan ciri-ciri khusus yang dimiliki konsep yang didefinisikan. Perhatikan dua kalimat definisi di bawah ini. Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama. Suatu segitiga adalah samasisi jika dan hanya jika ketiga sisinya sama. Definisi tersebut di atas dapat diperhatikan unsur-unsurnya, yaitu: a) Latar belakangnya, dalam hal di atas adalah “bangun datar”. b) Genusnya, dalam hal di atas adalah “segitiga” c) Istilah yang didefinisikan, dalam hal di atas adalah “segitiga samasisi” d) Atributnya, dalam hal di atas adalah “ketiga sisinya sama”. Coba cari unsur-unsur definisi berikut. Suatu fungsi dikatakan kontinu dalam domain D, jika fungsi itu kontinu di semua titik D. CONTOH DEFINISI-konsep trapesium dapat ditulis dengan definisi: A. Trapesium adalah segiempat yang tepat sepasang sisinya sejajar B. Segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis sejajar dengan salah satu sisinya adalah trapesium KEDUA DEFINISI INI MEMILIKI ISI KATA ATAU MAKNA KATA YANG BERBEDA TETAPI MEMPUNYAI JANGKAUAN YANG SAMA DIKATAKAN MEMILIKI “INTENSI” BERBEDA TETAPI “EKSTENSI” YANG SAMA Dua atau lebih definisi yang memiliki ekstensi sama (sering juga dikatakan jangkauannya sama) disebut definisi yang EKIVALEN. Definisi limit fungsi pada suatu titik Misal AR. f : A R , cR titik cluster dari A. L R disebut limit dari f di c, jika untuk setiap lingkungan - dari LR ( V(L)) , terdapat lingkungan- dari c (V(c )), sehingga untuk sebarang xc, yang berada di V(c )A, maka f(x) berada di V(L). Definisi limit fungsi pada suatu titik Misal AR. f : A R , cR titik cluster dari A. L R disebut limit dari f di c, jika untuk setiap >0 , terdapat >0, sehingga untuk sebarang |x -c| < , x di A, maka |f(x) – L | < . UNTUK MENGUJI APAKAH EKSTENSI SAMA? DIUJI DENGAN PERTANYAAN “ APAKAH TRAPESIUM MENURUT DEFINISI YANG SATU TERMASUK DALAM DEFINISI YANG KEDUA DAN SEBALIKNYA ? TEPAT SEPASANG SISI SEJAJAR Intensi dan ekstensi suatu definisi Perhatikan beberapa definisi di bawah ini. 1) Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama. 2) Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sudutnya sama. 3) Segitiga samasudut adalah segitiga yang ketiga sudutnya sama. 4) Segitiga samasudut adalah segitiga yang ketiga sisinya sama. Bagaimanakah himpunan bangun segitiga yang disefinisikan oleh keempat definisi di atas? Apakah himpunan bangun itu sama ataukah tidak? Adakah segitiga samasisi yang bukan segitiga samasudut? Adakah segitiga samasudut yang bukan segitiga samasisi? Himpunan bangun segitiga yang didefinisikan oleh keempat definisi itu adalah sama. Ini dikatakan bahwa keempat definisi itu memiliki EKSTENSI sama. Dua atau lebih definisi yang memiliki ekstensi sama (sering juga dikatakan jangkauannya sama) disebut definisi yang EKIVALEN. Definisi 1) dan 2) mendefinisikan hal yang sama, yaitu segitiga samasisi, tetapi atributnya berbeda, yang satu mengutamakan perhatian kepada “sisi” sedangkan yang lain mengutamakan perhatian kepada “sudut”. Demikian juga definisi 3) dan 4), tetapi hal yang didefinisikan adalah segitiga sama sudut. Pikirkan pasangan definisi-definisi berikut ini, bagaimana intensi dan ekstensinya? 1. a. Bidang empat adalah bangun ruang yang bersisikan empat segitiga. b. Limas segitiga adalah limas yang alasnya berupa segitiga. 2. a. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang mengawankan setiap anggota himpunan A secara tunggal dengan anggota himpunan B. b. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang mengawankan anggota himpunan A secara tunggal dengan anggota himpunan B. CONTOH DEFINISI A. Sudut adalah bangun geometri yang terjadi bila dua sinar berpangkal sama mempunyai genus bangun geometri B. Sudut adalah bangun geometri yang berupa bidang yang dibatasi oleh dua sinar berpangkal sama mempunyai genus bidang KEDUANYA MEMPUNYAI ISTILAH YANG SAMA YAITU SUDUT Yang pertama, memiliki atribut DUA SINAR BERPANGKAL SAMA Yang kedua , memiliki atribut BAGIAN BIDANG DIBATASI DUA SINAR BERPANGKAL SAMA JENIS DEFINISI 1. DEFINISI ANALITIK YAITU dengan menyebut genus proximum dan diferensia spesifika Jajargenjang adalah segiempat yang….. 2. DEFINISI GENETIK dengan menyebut terjadinya Segiempat yang terjadi jika sebarang segitiga diputar sebesar 180o terhadap titik tengah salah satu sisinya adalah jajaran genjang 3. DEFINISI DENGAN RUMUS n!=n(n-1)(n-2)…(1) , AB={x|xA dan xB} DALAM MATEMATIKA ADA KEBEBASAN UNTUK MEMILIH MENGGUNAKAN SUATU DEFINISI NAMUN PILIHAN INI MEMBAWA KONSEKUENSI DALAM PENGERTIANPENGERTIAN SELANJUTNYA CONTOH SEKURANG-KURANGNYA ADA TIGA CARA MENDEFINISIKAN SUDUT SUDUT SEBAGAI: DUA SINAR DAERAH BIDANG HASIL PUTARAN BOLEH DIPILIH SALAH SATU, ASALKAN SELANJUTNYA BERMANFAAT DAN DAPAT MEMBENTUK STRUKTUR SECARA KONSISTEN DALAM MATEMATIKA SEKOLAH DIPILIH YANG PERTAMA, JADI SUDUT ADALAH DUA SINAR YANG BERPANGKAL SAMA PILIHAN TERSEBUT MEMILIKI AKIBAT DALAM PENGERTIANPENGERTIAN SEGITIGA, BANGUN DATAR YANG LAIN BAHKAN DALAM PENGERTIAN BENDA RUANG, JUGA TITIK POTONG SEBUAH LINGKARAN DIPOTONG GARIS LURUS, BERAPA BANYAK TITIK POTONGNYA ? Relasi merupakan suatu aturan untuk mengawankan anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan lain, yang dapat sama dengan himpunan semula. Operasi adalah aturan untuk mendapatkan elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui. Elemen yang diketahui disebuh elemen yang dioperasikan. Relasi menyukai dari himpunan orang ke himpunan buah-buahan. Operasi tambah merupakan suatu operasi yang bermakna bila ada dua elemen yang dioperasikan, misal 2 + 3 = 5. Bilangan 2 dan 3 adalah elemen yang dioperasikan, dan 5 adalah hasil operasi. Suatu operasi yang hanya memerlukan satu elemen untuk memberlakukannya disebut operasi uner suatu operasi memerlukan 2 buah elemen untuk pemberlakuannya, operasi tersebut dinamakan operasi biner. Prinsip adalah objek matematika yang paling kompleks. Kekompleksan tersebut dikarenakan adanya sekelompok konsep yang dikombinasikan dengan suatu relasi. prinsip merupakan hubungan antara 2 atau lebih konsep matematika. Jumlah dua bilangan gasal adalah bilangan genap. Konsep apa saja yang terlibat? garis besar “Struktur Deduktif Aksiomatik matematika (tidak tunggal): AKSIOMA KONSEP PRIMITIF (Pernyataan Pangkal) (Pengertian Pangkal/ Undefined Term) TEOREMA 1 TEOREMA 2 KONSEP 1 (DefinisI 1) TEOREMA 3 KONSEP 2 (DefinisI 2) KONSEP 3 (DefinisI 3) TEOREMA 4 DST. DST. Dalam suatu struktur matematika disepakati terdapat “pernyataan pangkal” atau biasa disebut “aksioma” dan “pengertian atau unsur pangkal” atau sering disebut “unsur primitif atau undefined term”. Aksioma diperlukan dalam suatu struktur matematika agar dapat dihindarkan “berputar-putar dalam pembuktian” atau “circulus in probando”. Sedangkan unsur primitif dalam suatu struktur matematika perlu untuk menghindarkan “berputar-putar dalam pendefinisian” atau “circulus in definiendo”. menunjukkan bahwa kebenaran suatu pernyataan dalam matematika sangat tergantung pada kebenaran pernyataan-pernyataan dan unsurunsur terdahulu yang telah diterima sebagai benar/disepakati. Ini jelas menunjukkan bahwa dalam matematika dianut kebenaran koherensi atau kebenaran konsistensi. Contoh yang mudah diingat dan dipahami dapat diambil dari Geometri Euclides, misalnya: (1) titik, garis dan bidang dipandang sebagai unsur primitif; (2) melalui dua buah titik ada tepat sebuah garis lurus yang dapat dibuat, sebagai salah satu aksioma. Dari unsur-unsur primitif dan aksioma tertentu dapat diturunkan suatu pernyataan lain yang sering disebit sebagai “teorema”. Demikian juga dapat dibuat definisi tentang suatu konsep lain. The Peano axiomatization of natural numbers The mathematical system of natural numbers 1, 2, 3, 4, ... is based on an axiomatic system that was first written down by the mathematician Peano in 1901. He chose the axioms (see Peano axioms), in the language of a single unary function symbol S (short for "successor"), for the set of natural numbers to be: 1. There is a natural number 0. 2. Every natural number a has a successor, denoted by Sa. 3. There is no natural number whose successor is 0. 4. Distinct natural numbers have distinct successors: if a ≠ b, then Sa ≠ Sb. 5. If a property is possessed by 0 and also by the successor of every natural number it is possessed by, then it is possessed by all natural numbers. MEMBEDAKAN BEBERAPA AKSIOMA a. Sistem aksioma dan syaratnya Untuk suatu struktur matematika biasanya didahului dengan beberapa unsur primitif dan beberapa pernyataan atau aksioma. Beberapa aksioma tersebut sering juga disebut sistem aksioma. (1) Konsisten (taat asas) (2) Independen (bebas) (3) Komplit atau lengkap (4) Ekonomis Dari ketiga syarat tersebut yang utama adalah nomor (1), (2) dan (3), sebab nomor (4) seringkali dapat juga dipandang sebagai akibat syarat nomor (2). Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat “konsisten” bila pernyataan-pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak kontradiktif. Non-kontradiktif itu bukan hanya dalam makna pernyataannya saja, tetapi juga dalam hal istilah serta simbol yang digunakan. Perhatikan contoh berikut ini. Aksioma 1: 2 * 6 = 4 Aksioma 2: 4 * 1 = 1 Aksioma 3: Jumlah dua hal yang sama akan menghasilkan sesuatu yang sama. Aksioma 4: (2 * 6) * (4 * 1) = 5 Keempat aksioma tersebut tidak konsisten, sebab berdasarkan aksioma 1, 2, dan 3 didapat: (2 * 6) * (4 * 1) = 4 * 1 = 1 yang bertentangan dengan aksioma 4. Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat “independen” bila masing-masing pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak saling bergantung, artinya pernyataan atau aksioma yang satu harus tidak diturunkan atau diperoleh dari aksioma-aksioma yang lain. Perhatikan contoh berikut. Aksioma 1: Jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap. Aksioma 2: Jumlah dua bilangan gasal adalah bilangan genap. Aksioma 3: 1 + 7 = 8 Sistem aksioma tersebut tidak independen, sebab aksioma 3 dapat diturunkan dari aksioma 2. Suatu sistem aksioma dikatakan “lengkap” bila setiap pernyataan yang diturunkan dari sistem itu dapat dibuktikan kebenaran atau kesalahannya. (Tentu dalam lingkup logika dikotomis). Bila aksioma dalam suatu sistem aksiomatik tidak lengkap, maka tidak dapat diperoleh teorema-teorema. Misal salah satu aksioma dalam geometri Euclides dihilangkan, maka tidak akan diperoleh teorema-teorema dalam sistem tersebut. Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat “ekonomis” bila simbol-simbol atau istilah-istilah yang digunakan tidak berlebihan (tidak redundan), selain itu juga pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak ada yang memiliki makna sama. Perhatikan contoh berikut. Aksioma 1: 2 * 6 = 4 Aksioma 2: 4 * 1 = 1 Aksioma 3: Jumlah dua hal yang sama akan menghasilkan sesuatu yang sama. Aksioma 4: (2 * 6) * (4 * 1) = 1 Keempat aksioma tersebut bersifat redundan atau tidak ekonomis sebab (2 * 6) * (4 * 1) = 4 * 1 = 1 Sebenarnya aksioma 4 tidak perlu ada, cukup aksioma 1, 2 dan 3 saja. Dalam matematika dikenal beberapa klasifikasi aksioma. Berikut ini diperkenalkan dua cara klasifikasi, yakni: a. aksioma yang “self evident truth” dan yang “non-self evident truth” b. aksioma “material”, “formal” dan “diformalkan”. Klasifikasi a Suatu aksioma dikatakan “self evident truth” bila dalam pernyataannya memang telah langsung tergambar kebenarannya. Ini tampak jelas pada aksioma dari Geometri Euclides, misalnya dalam planimetri: “Melalui dua buah titik berlainan hanya dapat dibuat tepat satu garis”. Suatu aksioma dikatakan “non-self evident truth” akan terlihat sebagai pernyataan yang mengaitkan fakta, dan konsep (dapat lebih dari satu) dengan menggunakan suatu relasi tertentu, sehingga lebih terlihat sebagai suatu kesepakatan saja. Ingat sistem aksioma Ruang Metrik, Grup, Topologi, Poset, Klasifikasi b Suatu aksioma dikatakan aksioma “material”, bila unsur-unsur serta relasi yang terdapat dalam aksioma itu masih dikaitkan langsung dengan realitas atau dikaitkan dengan materi tertentu atau dianggap ada yang sudah diketahui. Suatu aksioma dikatakan aksioma “formal” bila unsur-unsurnya dikosongkan dari arti, namun masih dimungkinkan adanya unsur atau relasi yang dinyatakan dengan bahasa biasa antara lain terlihat dengan masih bermaknanya kata “atau”, “dan” dan sebagainya dalam logika.. Suatu aksioma dikatakan aksioma “diformalkan” bila semua unsur termasuk tanda logika dikosongkan dari makna, sedemikian hingga semua unsur diperlakukan sebagai simbol belaka. Apakah kumpulan aksioma berikut membentuk sistem ? 1. a+b=p 2. a+b+c+d=r 3. c+d=q 4. p+q=s (a,b,c,d,p,q,r, dan s dalam semesta S TEOREMA (pernyataan yang diturunkan dari aksioma atau teorema terdahulu dan dapat dibuktikan kebenarannya) Bentuk lain : Lemma, Corollary, Kriteria KOMPONEN TEOREMA 1. Latar Belakang 2. Hipotesis 3. Konsekuen SUATU TEOREMA UMUMNYA BERBENTUK IMPLIKASI yang secara simbolik dapat ditulis a b Unsur-unsur suatu teorema adalah: 1) Latar belakang Latar belakang suatu teorema merupakan keterangan atau penjelasan yang memungkinkan teorema tersebut berlaku. 2) Hipotesis/anteseden Hipotesis biasanya terdapat di belakang kata “jika”. Hipotesis merupakan pernyataan yang menjadi landasan untuk dapat membuat simpulan yang berupa pernyataan lain. 3) Konklusi/konsekuen. Konklusi biasanya terdapat di belakang kata “maka”. Konklusi adalah pernyataan yang merupakan analisis atau hasil telaah dari hipotesis. Perhatikan teorema di bawah ini. (1) Sudut-sudut alas suatu segitiga samakaki sama besarnya Pernyataan tersebut dapat diubah menjadi: (2) Jika sebuah segitiga samakaki maka sudut-sudut alasnya sama. Dengan bentuk pernyataan “Jika …. maka …..” ini lebih mudah menentukan unsur-unsur teorema tersebut, yaitu: 1) Latar belakangnya adalah segitiga. 2) Hipotesisnya adalah segitiga samakaki 3) Konklusinya adalah sudut-sudut alasnya sama. Dari contoh di atas jelas bahwa hipotesis suatu teorema adalah bagian yang dianggap diketahui, sedangkan konklusi suatu teorema adalah bagian yang akan dibuktikan kebenarannya. POLA PIKIR INDUKTIF DAN DEDUKTIF a. Pola pikir induktif Seseorang menggunakan penalaran induktif jika orang tersebut berpikir dari hal-hal yang bersifat khusus ke hal-hal yang bersifat umum. 1) Dalam penarikan kesimpulan Pak Dani seorang guru, gajinya kurang dari 5 juta rupiah (KHUSUS) Bu Susi seorang guru, gajinya kurang dari 5 juta rupiah (KHUSUS) Semua guru gajinya kurang dari 5 juta rupiah (UMUM) Perlukah pola pikir deduktif dalam matematika? Pola pikir induktif dalam matematika biasanya digunakan untuk menerka suku umum suatu barisan bilangan. Berikut ini akan diberikan beberapa contoh a) Perhatikan kedudukan titik-titik yang tercetak berderet seperti tampak pada gambar di bawah ini. Tentukan bilangan yang menunjukkan banyak titik yang akan akan tercetak berikutnya yang sesuai dengan pola! c) Jika n suatu bilangan asli ganjil maka n + 2 juga bilangan ganjil. Apa yang dapat anda katakan tentang n + (n + 2)? Jawab : Perhatikan pola berikut. Untuk n = 1, n + 2 = 3, n + (n+2) = 1 + 3 = 4 n = 3, n + 2 = 5, n + (n + 2) = 3 + 5 = 8 n = 5, n + 2 = 7, n + (n+2) = 5 + 7 = 12 n = 7, n + 2 = 9, n + (n+2) = 7 + 9 = 16 ……………….. Dari hasil di atas, diperoleh barisan bilangan n + (n + 2) sebagai berikut: 4, 8, 12, 16, . . . Kita dapat menyatakan bahwa barisan bilangan tersebut merupakan barisan bilangan yang habis dibagi 4. Pola pikir deduktif Seseorang mengadakan pola pikir deduktif jika orang tersebut berpikir dari hal-hal yang bersifat umum ke hal-hal yang bersifat khusus. Pada pola pikir deduktif, harus diperhatikan bahwa kebenaran suatu pernyataan haruslah didasarkan pada kebenaran pernyataan-pernyataan lain. sifat-sifat atau prinsip-prinsip dalam matematika dibentuk atau ditemukan melalui pola pikir deduktif ataupun induktif. Dengan kata lain sifat-sifat atau prinsip-prinsip dalam matematika ada yang ditemukan melalui pengalaman lapangan, ada pula yang tanpa pengalaman lapangan ataupun malah secara intuitif. Dibangunnya teorema Pythagoras, dibangunnya teorema Euler adalah dari kenyataan-kenyataan di lapangan. Melalui suatu abstraksi tertentu dicapai generalisasi. Namun kemudian dengan menggunakan pola pikir deduktif dapat dibuktikan teorema-teorema tersebut. Dalam proses itulah jelas adanya daya kreativitas para penemunya. Berikut ini ditunjukkan contoh bagaimana daya kreativitas dan intuisi bekerjasama untuk menemukan suatu sifat dalam geometri. A B A C C ● Z ● Y Y ● Z ● A A A h P Q A R A A P A C Y ● B X ● g ● Z h R Q A B A C g=h X ● h Y ● Z ● R M Q P g X ● A ● X B g R P Q Mula–mula diamati dua buah garis sejajar g dan h, titik A, B, dan C di garis g, sedangkan titik P, Q, dan R di garis h. Kemudian masing-masing titik dihubungkan dengan setiap titik di garis lain. Ternyata tampak bahwa ada tiga titik potong garis-garis hubung itu yang terletak pada satu garis lurus, yaitu X, Y dan Z. Bagaimanakah halnya bila kedua garis g dan h tidak sejajar? Bagaimanakah halnya jika garis g dan h itu tidak lurus? Bagaimanakah halnya jika kedua garis tak lurus itu merupakan bagian dari sebuah lingkaran? Ternyata selalu ditemukan tiga titik semacam X, Y, dan Z yang segaris. Selanjutnya temuan itu harus dapat dibuktikan kebenarannya menggunakan kesepakatan-kesepakatan atau sifat-sifat yang sudah ada. Jadi akhirnya haruslah digunakan pola pikir deduktif.