Pengertian matematika
Kata matematika berasal dari Bahasa Latin: mathematika
yang mulanya diambil dari perkataan Yunani mathematike
yang berarti mempelajari.
Kata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya
yang hampir sama, yaitu mathein atau mathenein yang
artinya belajar (berpikir).
Jadi, berdasarkan asal katanya, maka perkataan
matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat
dengan berpikir (bernalar).
Matematika lebih menekankan kegiatan dalam dunia rasio
(penalaran), bukan menekankan dari hasil eksperimen
atau hasil observasi matematika terbentuk karena pikiranpikiran manusia, yang berhubungan dengan idea, proses,
dan penalaran
Terbentuknya matematika
Matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam
dunianya secara empiris. Kemudian pengalaman itu
diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan
penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai
terbentuk konsep-konsep matematika
Supaya konsep-konsep matematika yang terbentuk itu
mudah dipahami oleh orang lain dan dapat dimanipulasi
secara tepat, maka digunakan bahasa matematika atua
notasi matematika yang bernilai global (universal).
Konsep matematika didapat karena proses berpikir, karena
itu logika adalah dasar terbentuknya matematika.
Definisi Matematika
1. Russefendi (1988 : 23)
Matematika terorganisasikan dari unsur-unsur yang tidak
didefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma, dan dalil-dalil
di mana dalil-dalil setelah dibuktikan kebenarannya berlaku
secara umum, karena itulah matematika sering disebut ilmu
deduktif.
2. James dan James (1976).
Matematika adalah ilmu tentang logika, mengenai bentuk,
susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu
dengan lainnya.
3. Reys - dkk (1984)
Matematika adalah telaahan tentang pola dan hubungan, suatu
jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat.
Definisi Matematika
4. Johnson dan Rising dalam Russefendi (1972)
Matematika adalah pengetahuan struktur yang terorganisasi,
sifat-sifat dalam teori-teori dibuat secara deduktif berdasarkan
kepada unsur yang tidak didefinisikan, aksioma, sifat atau teori
yang telah dibuktikan kebenarannya adalah ilmu tentang
keteraturan pola atau ide, dan matematika itu adalah suatu seni,
keindahannya terdapat pada keterurutan dan keharmonisannya.
5. Kline (1973)
Matematika itu bukan pengetahuan menyendiri yang dapat
sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu
terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan
menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam.
JADI,….
Tidak ada definisi yang disepakati
secara sama oleh para ahli
Namun demikian, para ahli sepakat
tentang ciri-ciri matematika
1. Matematika memiliki objek kajian yang abstrak
2. Matematika memiliki struktur deduktif-aksiomatik
3. Matematika memiliki simbol-simbol yang kosong arti.
4. Matematika memiliki tumpuan kesepakatan.
5. Matematika memiliki aneka semesta
6. Matematika dijiwai kebenaran konsistensi
fakta dalam matematika adalah segala sesuatu yang telah disepakati, dia
dapat berupa simbol atau lambang dan dapat pula berupa kata-kata.
Fakta adalah suatu konvensi yang merupakan suatu cara khas untuk
menyajikan ide-ide matematika dalam bentuk kata atau simbol.
SIMBOL BILANGAN “3” SECARA UMUM SUDAH DIPAHAMI SEBAGAI
BILANGAN “TIGA”
RANGKAIAN SIMBOL “3+4” DIPAHAMI SEBAGAI “TIGA TAMBAH
EMPAT”
Df
dy
dy
Apakah konsep dalam Matematika
itu?
NAMA KONSEP
KONSEP
CIRI-CIRI KONSEP
(ide abstrak yang
dapat digunakan
untuk melakukan
klasifikasi atau
penggolongan
DEFINISI KONSEP
(ungkapan yang
membatasi konsep)
REPRESENTASI KONSEP
(Wakil/contoh berupa
GAMBAR, BENDA)
SIMBOL (tanda)
SEGITIGA
Memiliki tepat tiga ruas
garis
NAMA KONSEP
CIRI-CIRI KONSEP
(bisa banyak)
Jumlah panjang dua sisi
lebih panjang dari
panjang sisi ke-3
DEFINISI KONSEP
Tiga ruas garis yang duadua ujungnya bertemu
(Bisa banyak, harus
dipilih satu yang lain
dijadikan teorema)
REPRESENTASI KONSEP
ABC
(bisa banyak)
SIMBOL (tanda)
JAJARGENJANG
Memiliki empat ruas garis
berupa sisi-sisi
berhadapan sejajar
Diagonal berpotongan
dua sama besar
Sudut-sudut berhadapan
sama besar
Segiempat yang
sepasang sisi berhadapan
sejajar dan sama
panjang
NAMA KONSEP
CIRI-CIRI KONSEP
(bisa banyak)
DEFINISI KONSEP
(Bisa banyak, harus
dipilih satu yang lain
dijadikan teorema)
REPRESENTASI KONSEP
(bisa banyak)
SIMBOL (tanda)
OPERASI
Dapat menghasilkan
elemen tunggal
NAMA KONSEP
CIRI-CIRI KONSEP
(bisa banyak)
Memerlukan elemen yang
diberi(input), semesta
Aturan untuk
memperoleh elemen
tunggal dari satu atau
lebih elemen yang diberi
dalam semesta tertentu
Operasi perkalian
4x3=3+3+3+3=12
DEFINISI KONSEP
(Bisa banyak, harus
dipilih satu yang lain
dijadikan teorema)
REPRESENTASI KONSEP
(bisa banyak)
, , +
SIMBOL (tanda)
Pembentukan suatu konsep bisa melalui:
(1) abstraksi, misalnya : pembentukan bilangan melalui dua kali abstraksi.
(2) idealisasi, misalnya: “kerataan” suatu bidang dan “kelurusan” suatu
garis.
(3) abstraksi dan idealisasi, misalnya: “kubus”, “kerucut”.
(4) penambahan syarat pada konsep terdahulu, misalnya:
“belahketupat” dari “jajargenjang”.
definisi suatu konsep adalah “ungkapan yang dapat digunakan
untuk membatasi suatu konsep”. “Trapesium” adalah suatu konsep.
Sedangkan definisi trapesium misalnya :
“Trapesium adalah segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga dipotong
oleh garis yang sejajar salah satu sisinya”.
Inilah ungkapan yang membatasi konsep trapesium itu.
Ada kebebasan dalam menetapkan definisi yang akan dipakai, yang
penting konsisten. Suatu definisi yang belum masuk dalam struktur tertentu
belum dapat dikatakan benar ataupun salah. Tetapi setelah ditetapkan atau
disepakati dalam suatu struktur maka selanjutnya definisi itu memiliki nilai
benar.
Definisi Analitik
Suatu definisi dikatakan bersifat analitis bila definisi tersebut
menyebutkan
spesifika.(Genus:
genus
keluarga
proksimum
terdekat;
dan
deferensia
deferensia
spesifika
:
pembeda khusus).
Perhatikan definisi ini (dalam suatu struktur definisi tertentu).
Belahketupat adalah jajargenjang yang ………..
Belahketupat adalah segiempat yang ……….
Definisi yang pertama menunjukkan genus proksimum yaitu:
jajargenjang”, sedangkan pada definisi kedua tidak menyebutkan
genus proksimum, yang berakibat tidak ekonomis. Sedangkan
deferensia spesifikanya adalah keterangan yang terdapat di
belakang kata “yang”.
Definisi ginetik
Suatu definisi dikatakan bersifat ginetik jika definisi itu menunjukkan
atau mengungkapkan cara terjadinya atau membentuknya konsep
yang didefinisikan.
Perhatikan definisi ini:
Trapesium adalah segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga
dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya.
Jaring-jaring limas adalah bangun yang terjadi jika sisi-sisi limas
direbahkan dengan poros rusuk alas hingga sampai ke bidang
pemusat alasnya.
Definisi dengan rumus
Suatu definisi tidak selalu dinyatakan dengan ungkapan berbentuk
kalimat biasa, dapat juga diungkapkan dengan kalimat matematika.
Dengan demikian dapat berbentuk suatu rumus.
Perhatikan definisi ini:
Dalam ilmu bilangan atau field: a – b = a + (-b)
Dalam aljabar atau analisis:
f : A B = {(a,b) A x B(a,b), (a,b’) f b = b’}
Dalam aljabar, n! = 1.2.3. . . . (n-2)(n-1)n., dengan 0! = 1! = 1
(Bentuk terakhir itu ada juga yang menyebut dengan bentuk induksi).
DEFINISI adalah ungkapan yang membatasi KONSEP
Perlu dibedakan NAMA KONSEP (berupa istilah) dengan KONSEPNYA
(yang abstrak)
KOMPONEN DEFINISI
1. LATAR BELAKANG (INTENSI-EKSTENSI)
2. GENUS
3. ISTILAH YANG DIDEFINISIKAN
4. ATRIBUT
a) Latar belakang
Latar
belakang
suatu
definisi
merupakan
keterangan
atau
penjelasan yang memungkinkan berlakunya definisi tersebut.
b) Genus
Genus suatu definisi merupakan golongan yang melingkupi konsep
yang didefinisikan.
C) Lingkup
Lingkup atau istilah adalah konsep yang didefinisikan
d. Atribut
Atribut merupakan ciri-ciri khusus yang dimiliki konsep yang
didefinisikan.
Perhatikan dua kalimat definisi di bawah ini.
Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama.
Suatu segitiga adalah samasisi jika dan hanya jika ketiga sisinya
sama.
Definisi tersebut di atas dapat diperhatikan unsur-unsurnya, yaitu:
a) Latar belakangnya, dalam hal di atas adalah “bangun datar”.
b) Genusnya, dalam hal di atas adalah “segitiga”
c) Istilah yang didefinisikan, dalam hal di atas adalah “segitiga
samasisi”
d) Atributnya, dalam hal di atas adalah “ketiga sisinya sama”.
Coba cari unsur-unsur definisi berikut.
Suatu fungsi dikatakan kontinu dalam domain D, jika fungsi itu
kontinu di semua titik D.
CONTOH DEFINISI-konsep trapesium dapat ditulis dengan
definisi:
A. Trapesium adalah segiempat yang tepat sepasang sisinya
sejajar
B. Segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga dipotong oleh
sebuah garis sejajar dengan salah satu sisinya adalah
trapesium
KEDUA DEFINISI INI MEMILIKI ISI KATA ATAU MAKNA KATA
YANG BERBEDA TETAPI MEMPUNYAI JANGKAUAN YANG
SAMA
DIKATAKAN
MEMILIKI “INTENSI” BERBEDA TETAPI “EKSTENSI” YANG SAMA
Dua atau lebih definisi yang memiliki ekstensi sama (sering juga
dikatakan jangkauannya sama) disebut definisi yang EKIVALEN.
Definisi limit fungsi pada suatu titik
Misal AR. f : A R , cR titik cluster dari A. L R disebut limit dari f
di c, jika untuk setiap lingkungan - dari LR ( V(L)) , terdapat
lingkungan- dari c (V(c )), sehingga untuk sebarang xc, yang berada
di V(c )A, maka f(x) berada di V(L).
Definisi limit fungsi pada suatu titik
Misal AR. f : A R , cR titik cluster dari A. L R disebut limit dari f
di c, jika untuk setiap >0 , terdapat >0, sehingga untuk sebarang |x -c|
< , x di A, maka |f(x) – L | < .
UNTUK MENGUJI APAKAH EKSTENSI SAMA?
DIUJI DENGAN PERTANYAAN “ APAKAH TRAPESIUM
MENURUT DEFINISI YANG SATU TERMASUK DALAM
DEFINISI YANG KEDUA DAN SEBALIKNYA ?
TEPAT SEPASANG SISI SEJAJAR
Intensi dan ekstensi suatu definisi
Perhatikan beberapa definisi di bawah ini.
1) Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama.
2) Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sudutnya sama.
3) Segitiga samasudut adalah segitiga yang ketiga sudutnya sama.
4) Segitiga samasudut adalah segitiga yang ketiga sisinya sama.
Bagaimanakah himpunan bangun segitiga yang disefinisikan oleh
keempat definisi di atas?
Apakah himpunan bangun itu sama ataukah tidak?
Adakah segitiga samasisi yang bukan segitiga samasudut?
Adakah segitiga samasudut yang bukan segitiga samasisi?
Himpunan bangun segitiga yang didefinisikan oleh keempat definisi itu
adalah sama. Ini dikatakan bahwa keempat definisi itu memiliki
EKSTENSI sama. Dua atau lebih definisi yang memiliki ekstensi sama
(sering juga dikatakan jangkauannya sama) disebut definisi yang
EKIVALEN.
Definisi 1) dan 2) mendefinisikan hal yang sama, yaitu segitiga
samasisi, tetapi atributnya berbeda, yang satu mengutamakan
perhatian kepada “sisi” sedangkan yang lain mengutamakan perhatian
kepada “sudut”.
Demikian juga definisi 3) dan 4), tetapi hal yang didefinisikan adalah
segitiga sama sudut.
Pikirkan pasangan definisi-definisi berikut ini, bagaimana intensi dan
ekstensinya?
1. a. Bidang empat adalah bangun ruang yang bersisikan empat
segitiga.
b. Limas segitiga adalah limas yang alasnya berupa segitiga.
2. a. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang
mengawankan setiap anggota himpunan A secara tunggal
dengan anggota himpunan B.
b. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang
mengawankan anggota himpunan A secara tunggal dengan
anggota himpunan B.
CONTOH DEFINISI
A. Sudut adalah bangun geometri yang terjadi bila dua sinar
berpangkal sama
mempunyai genus bangun geometri
B. Sudut adalah bangun geometri yang berupa bidang yang
dibatasi oleh dua sinar berpangkal sama
mempunyai genus bidang
KEDUANYA MEMPUNYAI ISTILAH YANG SAMA YAITU SUDUT
Yang pertama, memiliki atribut DUA SINAR BERPANGKAL SAMA
Yang kedua , memiliki atribut BAGIAN BIDANG DIBATASI DUA
SINAR BERPANGKAL SAMA
JENIS DEFINISI
1. DEFINISI ANALITIK YAITU dengan menyebut genus proximum
dan diferensia spesifika
Jajargenjang adalah segiempat yang…..
2. DEFINISI GENETIK dengan menyebut terjadinya
Segiempat yang terjadi jika sebarang segitiga diputar sebesar 180o
terhadap titik tengah salah satu sisinya adalah jajaran genjang
3. DEFINISI DENGAN RUMUS
n!=n(n-1)(n-2)…(1)
, AB={x|xA dan xB}
DALAM MATEMATIKA ADA KEBEBASAN
UNTUK MEMILIH MENGGUNAKAN SUATU DEFINISI
NAMUN PILIHAN INI MEMBAWA KONSEKUENSI DALAM PENGERTIANPENGERTIAN SELANJUTNYA
CONTOH
SEKURANG-KURANGNYA ADA TIGA CARA MENDEFINISIKAN SUDUT
SUDUT SEBAGAI:
DUA SINAR
DAERAH BIDANG
HASIL PUTARAN
BOLEH DIPILIH SALAH SATU, ASALKAN SELANJUTNYA BERMANFAAT
DAN DAPAT MEMBENTUK STRUKTUR SECARA KONSISTEN
DALAM MATEMATIKA SEKOLAH DIPILIH YANG PERTAMA, JADI
SUDUT ADALAH DUA SINAR YANG BERPANGKAL SAMA
PILIHAN TERSEBUT MEMILIKI AKIBAT DALAM PENGERTIANPENGERTIAN SEGITIGA, BANGUN DATAR YANG LAIN BAHKAN
DALAM PENGERTIAN BENDA RUANG, JUGA TITIK POTONG
SEBUAH LINGKARAN DIPOTONG GARIS LURUS, BERAPA BANYAK
TITIK POTONGNYA ?
Relasi merupakan suatu aturan untuk mengawankan anggota suatu
himpunan dengan anggota himpunan lain, yang dapat sama dengan
himpunan semula.
Operasi adalah aturan untuk mendapatkan elemen tunggal dari satu atau
lebih elemen yang diketahui. Elemen yang diketahui disebuh elemen yang
dioperasikan.
Relasi menyukai dari himpunan orang ke himpunan buah-buahan.
Operasi tambah merupakan suatu operasi yang bermakna bila ada dua
elemen yang dioperasikan, misal 2 + 3 = 5.
Bilangan 2 dan 3 adalah elemen yang dioperasikan, dan 5 adalah
hasil operasi.
Suatu operasi yang hanya memerlukan satu elemen untuk
memberlakukannya disebut operasi uner
suatu operasi memerlukan 2 buah elemen untuk pemberlakuannya,
operasi tersebut dinamakan operasi biner.
Prinsip adalah objek matematika yang paling kompleks. Kekompleksan
tersebut dikarenakan adanya sekelompok konsep yang dikombinasikan
dengan suatu relasi.
prinsip merupakan hubungan antara 2 atau lebih konsep matematika.
Jumlah dua bilangan gasal adalah bilangan genap.
Konsep apa saja yang terlibat?
garis besar “Struktur Deduktif Aksiomatik matematika (tidak tunggal):
AKSIOMA
KONSEP PRIMITIF
(Pernyataan Pangkal)
(Pengertian Pangkal/
Undefined Term)
TEOREMA 1
TEOREMA 2
KONSEP 1
(DefinisI 1)
TEOREMA 3
KONSEP 2
(DefinisI 2)
KONSEP 3
(DefinisI 3)
TEOREMA 4
DST.
DST.
Dalam suatu struktur matematika disepakati terdapat “pernyataan
pangkal” atau biasa disebut “aksioma” dan “pengertian atau unsur
pangkal” atau sering disebut “unsur primitif atau undefined term”.
Aksioma diperlukan dalam suatu struktur matematika agar dapat
dihindarkan “berputar-putar dalam pembuktian” atau “circulus in
probando”. Sedangkan unsur primitif dalam suatu struktur matematika
perlu untuk menghindarkan “berputar-putar dalam pendefinisian” atau
“circulus in definiendo”.
menunjukkan bahwa kebenaran suatu pernyataan dalam matematika
sangat tergantung pada kebenaran pernyataan-pernyataan dan unsurunsur terdahulu yang telah diterima sebagai benar/disepakati. Ini jelas
menunjukkan bahwa dalam matematika dianut kebenaran koherensi atau
kebenaran konsistensi.
Contoh yang mudah diingat dan dipahami dapat diambil dari Geometri
Euclides, misalnya:
(1) titik, garis dan bidang dipandang sebagai unsur primitif;
(2) melalui dua buah titik ada tepat sebuah garis lurus yang dapat dibuat,
sebagai salah satu aksioma.
Dari unsur-unsur primitif dan aksioma tertentu dapat diturunkan suatu
pernyataan lain yang sering disebit sebagai “teorema”. Demikian juga
dapat dibuat definisi tentang suatu konsep lain.
The Peano axiomatization of natural numbers
The mathematical system of natural numbers 1, 2, 3, 4, ... is
based on an axiomatic system that was first written down by the
mathematician Peano in 1901. He chose the axioms (see Peano
axioms), in the language of a single unary function symbol S
(short for "successor"), for the set of natural numbers to be:
1. There is a natural number 0.
2. Every natural number a has a successor, denoted by Sa.
3. There is no natural number whose successor is 0.
4. Distinct natural numbers have distinct successors: if a ≠ b, then
Sa ≠ Sb.
5. If a property is possessed by 0 and also by the successor of
every natural number it is possessed by, then it is possessed by all
natural numbers.
MEMBEDAKAN BEBERAPA AKSIOMA
a. Sistem aksioma dan syaratnya
Untuk suatu struktur matematika biasanya didahului dengan
beberapa unsur primitif dan beberapa pernyataan atau aksioma. Beberapa
aksioma tersebut sering juga disebut sistem aksioma.
(1) Konsisten (taat asas)
(2) Independen (bebas)
(3) Komplit atau lengkap
(4) Ekonomis
Dari ketiga syarat tersebut yang utama adalah nomor (1), (2) dan (3),
sebab nomor (4) seringkali dapat juga dipandang sebagai akibat syarat
nomor (2).
Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat “konsisten” bila
pernyataan-pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak kontradiktif.
Non-kontradiktif itu bukan hanya dalam makna pernyataannya saja, tetapi
juga dalam hal istilah serta simbol yang digunakan.
Perhatikan contoh berikut ini.
Aksioma 1: 2 * 6 = 4
Aksioma 2: 4 * 1 = 1
Aksioma 3: Jumlah dua hal yang sama akan menghasilkan sesuatu yang
sama.
Aksioma 4: (2 * 6) * (4 * 1) = 5
Keempat aksioma tersebut tidak konsisten, sebab berdasarkan aksioma 1,
2, dan 3 didapat: (2 * 6) * (4 * 1) = 4 * 1 = 1 yang bertentangan dengan
aksioma 4.
Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat “independen” bila
masing-masing pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak saling
bergantung, artinya pernyataan atau aksioma yang satu harus tidak
diturunkan atau diperoleh dari aksioma-aksioma yang lain.
Perhatikan contoh berikut.
Aksioma 1: Jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap.
Aksioma 2: Jumlah dua bilangan gasal adalah bilangan genap.
Aksioma 3: 1 + 7 = 8
Sistem aksioma tersebut tidak independen, sebab aksioma 3 dapat
diturunkan dari aksioma 2.
Suatu sistem aksioma dikatakan “lengkap” bila setiap pernyataan
yang diturunkan
dari sistem itu dapat dibuktikan kebenaran atau
kesalahannya. (Tentu dalam lingkup logika dikotomis). Bila aksioma dalam
suatu sistem aksiomatik tidak lengkap, maka tidak dapat diperoleh
teorema-teorema. Misal salah satu aksioma dalam geometri Euclides
dihilangkan, maka tidak akan diperoleh teorema-teorema dalam sistem
tersebut.
Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat “ekonomis” bila
simbol-simbol atau istilah-istilah yang digunakan tidak berlebihan (tidak
redundan), selain itu juga pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak
ada yang memiliki makna sama.
Perhatikan contoh berikut.
Aksioma 1: 2 * 6 = 4
Aksioma 2: 4 * 1 = 1
Aksioma 3: Jumlah dua hal yang sama akan menghasilkan sesuatu yang
sama.
Aksioma 4: (2 * 6) * (4 * 1) = 1
Keempat aksioma tersebut bersifat redundan atau tidak ekonomis sebab
(2 * 6) * (4 * 1) = 4 * 1 = 1
Sebenarnya aksioma 4 tidak perlu ada, cukup aksioma 1, 2 dan 3 saja.
Dalam matematika dikenal beberapa klasifikasi aksioma. Berikut ini
diperkenalkan dua cara klasifikasi, yakni:
a. aksioma yang “self evident truth” dan yang “non-self evident truth”
b. aksioma “material”, “formal” dan “diformalkan”.
Klasifikasi a
Suatu
aksioma
dikatakan
“self
evident
truth”
bila
dalam
pernyataannya memang telah langsung tergambar kebenarannya. Ini
tampak jelas pada aksioma dari Geometri Euclides, misalnya dalam
planimetri: “Melalui dua buah titik berlainan hanya dapat dibuat tepat satu
garis”.
Suatu aksioma dikatakan “non-self evident truth” akan terlihat sebagai
pernyataan yang mengaitkan fakta, dan konsep (dapat lebih dari satu)
dengan menggunakan suatu relasi tertentu, sehingga lebih terlihat sebagai
suatu kesepakatan saja.
Ingat sistem aksioma Ruang Metrik, Grup, Topologi, Poset,
Klasifikasi b
Suatu aksioma dikatakan aksioma “material”, bila unsur-unsur
serta relasi yang terdapat dalam aksioma itu masih dikaitkan langsung
dengan realitas atau dikaitkan dengan materi tertentu atau dianggap ada
yang sudah diketahui.
Suatu aksioma dikatakan aksioma “formal” bila unsur-unsurnya dikosongkan dari arti,
namun masih dimungkinkan adanya unsur atau relasi yang dinyatakan dengan bahasa
biasa antara lain terlihat dengan masih bermaknanya kata “atau”, “dan” dan sebagainya
dalam logika..
Suatu aksioma dikatakan aksioma “diformalkan” bila semua unsur
termasuk tanda logika dikosongkan dari makna, sedemikian hingga semua
unsur diperlakukan sebagai simbol belaka.
Apakah kumpulan aksioma berikut membentuk sistem ?
1. a+b=p
2. a+b+c+d=r
3. c+d=q
4. p+q=s
(a,b,c,d,p,q,r, dan s dalam semesta S
TEOREMA
(pernyataan yang diturunkan dari aksioma atau teorema
terdahulu dan dapat dibuktikan kebenarannya)
Bentuk lain : Lemma, Corollary, Kriteria
KOMPONEN TEOREMA
1. Latar Belakang
2. Hipotesis
3. Konsekuen
SUATU TEOREMA UMUMNYA BERBENTUK IMPLIKASI yang secara
simbolik dapat ditulis a b
Unsur-unsur suatu teorema adalah:
1) Latar belakang
Latar belakang suatu teorema merupakan keterangan atau
penjelasan yang memungkinkan teorema tersebut berlaku.
2) Hipotesis/anteseden
Hipotesis biasanya terdapat di belakang kata “jika”. Hipotesis
merupakan pernyataan yang menjadi landasan untuk dapat
membuat simpulan yang berupa pernyataan lain.
3) Konklusi/konsekuen.
Konklusi biasanya terdapat di belakang kata “maka”. Konklusi adalah
pernyataan yang merupakan analisis atau hasil telaah dari hipotesis.
Perhatikan teorema di bawah ini.
(1) Sudut-sudut alas suatu segitiga samakaki sama besarnya
Pernyataan tersebut dapat diubah menjadi:
(2) Jika sebuah segitiga samakaki maka sudut-sudut alasnya sama.
Dengan bentuk pernyataan “Jika …. maka …..” ini lebih mudah
menentukan unsur-unsur teorema tersebut, yaitu:
1) Latar belakangnya adalah segitiga.
2) Hipotesisnya adalah segitiga samakaki
3) Konklusinya adalah sudut-sudut alasnya sama.
Dari contoh di atas jelas bahwa hipotesis suatu teorema adalah
bagian yang dianggap diketahui, sedangkan konklusi suatu teorema
adalah bagian yang akan dibuktikan kebenarannya.
POLA PIKIR INDUKTIF DAN DEDUKTIF
a. Pola pikir induktif
Seseorang menggunakan penalaran induktif jika orang tersebut berpikir
dari hal-hal yang bersifat khusus ke hal-hal yang bersifat umum.
1) Dalam penarikan kesimpulan
Pak Dani seorang guru, gajinya kurang dari 5 juta rupiah (KHUSUS)
Bu Susi seorang guru, gajinya kurang dari 5 juta rupiah (KHUSUS)
Semua guru gajinya kurang dari 5 juta rupiah (UMUM)
Perlukah pola pikir deduktif dalam
matematika?
Pola pikir induktif dalam matematika biasanya digunakan untuk
menerka suku umum suatu barisan bilangan.
Berikut ini akan diberikan beberapa contoh
a) Perhatikan kedudukan titik-titik yang tercetak berderet seperti
tampak pada gambar di bawah ini. Tentukan bilangan yang
menunjukkan banyak titik yang akan akan tercetak berikutnya
yang sesuai dengan pola!
c) Jika n suatu bilangan asli ganjil maka n + 2 juga bilangan
ganjil.
Apa yang dapat anda katakan tentang n + (n + 2)?
Jawab :
Perhatikan pola berikut.
Untuk
n = 1, n + 2 = 3, n + (n+2) = 1 + 3 = 4
n = 3, n + 2 = 5, n + (n + 2) = 3 + 5 = 8
n = 5, n + 2 = 7, n + (n+2) = 5 + 7 = 12
n = 7, n + 2 = 9, n + (n+2) = 7 + 9 = 16
………………..
Dari hasil di atas, diperoleh barisan bilangan n + (n + 2) sebagai
berikut:
4, 8, 12, 16, . . .
Kita dapat menyatakan bahwa barisan bilangan tersebut
merupakan barisan bilangan yang habis dibagi 4.
Pola pikir deduktif
Seseorang mengadakan pola pikir deduktif jika orang
tersebut berpikir dari hal-hal yang bersifat umum ke hal-hal yang
bersifat khusus. Pada pola pikir deduktif, harus diperhatikan bahwa
kebenaran suatu pernyataan haruslah didasarkan pada kebenaran
pernyataan-pernyataan lain.
sifat-sifat atau prinsip-prinsip dalam matematika dibentuk atau ditemukan
melalui pola pikir deduktif ataupun induktif. Dengan kata lain sifat-sifat atau
prinsip-prinsip dalam matematika ada yang ditemukan melalui pengalaman
lapangan, ada pula yang tanpa pengalaman lapangan ataupun malah
secara intuitif.
Dibangunnya teorema Pythagoras, dibangunnya teorema Euler adalah dari
kenyataan-kenyataan di lapangan. Melalui suatu abstraksi tertentu dicapai
generalisasi. Namun kemudian dengan menggunakan pola pikir deduktif
dapat dibuktikan teorema-teorema tersebut. Dalam proses itulah jelas
adanya daya kreativitas para penemunya. Berikut ini ditunjukkan contoh
bagaimana daya kreativitas dan intuisi bekerjasama untuk menemukan
suatu sifat dalam geometri.
A
B
A
C
C
●
Z
●
Y
Y
●
Z
●
A
A
A
h
P
Q
A
R
A
A
P
A
C
Y
●
B
X
●
g
●
Z
h
R
Q
A
B
A
C
g=h
X
●
h
Y
●
Z
●
R
M
Q
P
g
X
●
A
●
X
B
g
R
P
Q
Mula–mula diamati dua buah garis sejajar g dan h, titik A, B, dan C
di garis g, sedangkan titik P, Q, dan R di garis h. Kemudian masing-masing
titik dihubungkan dengan setiap titik di garis lain. Ternyata tampak bahwa
ada tiga titik potong garis-garis hubung itu yang terletak pada satu garis
lurus, yaitu X, Y dan Z.
Bagaimanakah halnya bila kedua garis g dan h tidak sejajar?
Bagaimanakah halnya jika garis g dan h itu tidak lurus?
Bagaimanakah halnya jika kedua garis tak lurus itu merupakan bagian dari
sebuah lingkaran?
Ternyata selalu ditemukan tiga titik semacam X, Y, dan Z yang segaris.
Selanjutnya temuan itu harus dapat dibuktikan kebenarannya
menggunakan kesepakatan-kesepakatan atau sifat-sifat yang sudah ada.
Jadi akhirnya haruslah digunakan pola pikir deduktif.
