ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL PADA MODEL PENYEBARAN VIRUS HIV DALAM TUBUH MANUSIA SKRIPSI WHENI SUKOKARLINDA PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012 Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL PADA MODEL PENYEBARAN VIRUS HIV DALAM TUBUH MANUSIA SKRIPSI WHENI SUKOKARLINDA PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012 Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI Judul : Analisis dan Kontrol Optimal pada Model Penyebaran Virus HIV dalam Tubuh Manusia Penyusun : Wheni Sukokarlinda NIM : 080810556 Pembimbing I : Dr. Fatmawati, M.Si Pembimbing II : Yayuk Wahyuni, Dra., M.Si Tanggal Seminar : 13 Agustus 2012 Disetujui Oleh : Pembimbing I Pembimbing II Dr. Fatmawati, M.Si NIP. 19730704 199802 2 001 Yayuk Wahyuni, Dra., M.Si NIP. 19641224 199102 2 001 Mengetahui : Ketua Program Studi S-1 Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga Dr. Miswanto, M.Si NIP. 19680204 199303 1 002 iii Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga. iv Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga KATA PENGANTAR Alhamdulillahirobbil’alamiin, segala puji bagi Allah Subhanahu wa Ta’ala. Berkat rahmat, taufiq dan hidayah-Nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul ”Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia”. Dalam menyusun skripsi ini, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing I yang dengan sabar telah memberikan banyak pengarahan, masukan, perhatian, pengetahuan. 2. Yayuk Wahyuni, Dra, M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan banyak arahan, masukan, waktu, tenaga dan pikiran. 3. Auly Damayanti S.Si., M.Si selaku dosen wali selama menjadi mahasiswa matematika di Universitas Airlangga yang telah banyak memberikan pengarahan demi kesuksesan menjadi mahasiswa matematika. 4. Dr. Miswanto, M.Si selaku ketua departemen matematika yang telah membantu melancarkan proses belajar mengajar selama di perkuliahan. 5. Kedua orang tua, Bapak Sukotjo dan Ibu Susilowati yang telah memberikan do’a, semangat, kasih sayang, materi yang begitu besar serta pengorbanan yang tak ternilai harganya. v Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 6. Kakak dan adik, Wempy Gatot Sukowaloyo dan Whendy Suko Trirega yang telah memberikan masukan, semangat, do’a, dan juga sebagai sumber inspirasi karena prestasi-prestasi yang telah diraihnya selama menempuh pendidikan. 7. Marisa, Ekaswari Pusparini dan Okta Permatasari sabagai teman terbaik selama menjadi mahasiswa yang telah memberikan arahan, masukan, motivasi, serta tempat keluh kesah panulis. 8. Yanuar Dwi Sasongko sebagai teman spesial yang telah memberikan masukan, arahan, semangat, materi, serta pengorbanannya selama penyelesaian skripsi. 9. Muhammad Jainal Abidin sabagai teman berharga yang telah memberikan segala kebaikannya demi mensukseskan penulis. 10. Miming, Adise, Rizki Eka, Desty dan I Putu, serta seluruh teman seperjuangan matematika angkatan 2008 atas kekeluargaan, dan dukungannya. Serta pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih atas segala bantuan dalam penyelesaian skripsi ini. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih ada kekurangan-kekurangan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun terus penulis harapkan agar skripsi ini dapat lebih baik lagi. Selain itu, semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan menambah pengetahuan pembaca dan menjadi salah satu hal yang bisa mendongkrak IPTEK di Indonesia. Surabaya, Agustus 2012 Penulis Wheni Sukokarlinda vi Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga Wheni Sukokarlinda, 2012, Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Skripsi ini di bawah bimbingan Dr. Fatmawati, M.Si dan Yayuk Wahyuni, Dra., M.Si, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya. ABSTRAK Virus HIV merupakan salah satu virus yang dapat menyebabkan penyakit Acquired Immune Deficiency Syndrome (AIDS) dengan cara menyerang sistem kekebalan tubuh. Orang yang terkena virus ini akan menjadi rentan terhadap infeksi oportunistik. Penyakit akibat HIV sangat berbahaya dan harus dicegah penyebarannya. Dari permasalahan tersebut, pada skripsi ini akan dibentuk model Penyebaran virus HIV dalam tubuh manusia serta menganalisis kestabilan model dan menentukan bentuk kontrol optimal. Dalam menentukan kestabilan sistem digunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz sedangkan untuk menentukan bentuk kontrol optimal digunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Berdasarkan hasil analisis model tanpa kontrol diperoleh dua titik setimbang yaitu titik setimbang bebas penyakit = ( dan titik setimbang endemik =( ) Titik setimbang akan stabil asimtotis jika nilai ambang batas asimtotis jika > sedangkan < dan akan stabil bentuk kontrol optimalnya adalah ( ( ( ) ) Hasil simulasi menunjukkan keefektifan pengendalian dengan pengontrol (obat ARV) yang dapat mengurangi populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV sehingga penyebaran virus HIV dapat ditekan dan dapat memaksimumkan sel CD4 yang sehat dengan biaya pemberian obat ARV yang minimum. Kata Kunci: HIV, Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz, Kontrol Optimal, Nilai Ambang Batas, Prinsip Maksimum Pontryagin. vii Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga Wheni Sukokarlinda, 2012, Analysis and Optimal Control of Model Spread of HIV Virus in Human Body. This final project is under advised by Dr. Fatmawati, M.Si and Yayuk Wahyuni, Dra., M.Si, Matematics Departement, Science and Technology Faculty, Airlangga University, Surabaya. ABSTRACT HIV is one of the viruses which can cause a disease called Acquired Immune Deficiency Syndrome (AIDS) by attacking the immune system. People who are exposed to this virus will become susceptible to opportunistic infections. Diseases caused by HIV is very dangerous and should be prevented from spreading. Of These problems, in this thesis will be established models HV virus spread in the human body and also analyze the stability of the model and determine the optimal control shape.In determining the stability of the system we used Routh-Hurwitz stability criteria, and to determine the optimal control form we used Pontryagin Maximum Principle. Based on the analytical model without control, the results obtained two and the equilibrium points, they are the disease-free equilibrium point = ( endemic equilibrium point =( ) The equilibrium point be asymptotically stable if the threshold value asymptotically stable if > < and will will be , while the optimal control form is ( ( ) ) The simulation result showed the effectiveness of ( control by a controller (ARV drugs) which can reduce the population of CD4 cells infected by HIV virus so that the spreading of HIV virus can be suppressed and be able to maximize the healthy CD4 cells with the minimum cost of ARV drugs. Keywords: HIV, Routh-Hurwitz Stability Criterion, Optimal Control, Threshold Value, Potryagin Maximum Principle. viii Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL .................................................................................. i LEMBAR PERNYATAAN ....................................................................... ii LEMBAR PENGESAHAN ....................................................................... iii LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI .................................. iv KATA PENGANTAR ............................................................................... v ABSTRAK ................................................................................................. vii ABSTRACT ............................................................................................... viii DAFTAR ISI .............................................................................................. ix DAFTAR TABEL ...................................................................................... xi DAFTAR GAMBAR .................................................................................. xii DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................. xiii BAB I BAB II PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ................................................................. 1 1.2 Rumusan Masalah ............................................................ 3 1.3 Tujuan .............................................................................. 3 1.4 Manfaat ............................................................................ 3 1.5 Batasan Masalah ............................................................... 4 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sel CD4 ............................................................................. 5 2.2 HIV ................................................................................... 6 2.3 Matriks .............................................................................. 9 ix Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 2.4 Sistem Persamaan Diferensial .......................................... 11 2.5 Kestabilan dari Sistem Linier ........................................... 14 2.6 Masalah Kontrol Optimal ................................................. 17 2.7 Prinsip Maksimum Pontryagin ......................................... 18 BAB III METODE PENELITIAN .......................................................... 20 BAB IV PEMBAHASAN 4.1 Model HIV ........................................................................... 22 4.2 Titik Setimbang Model ........................................................ 27 4.3 Analisis Kestabilan Lokal .................................................... 30 4.3.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Bebas Penyakit ... 30 4.3.2 Kestabilan Lokal di Titik Setimbang Endemi ........... 34 4.4 Penyelesaian Kontrol Optimal ............................................. 37 4.5 Simulasi ............................................................................... 40 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan .......................................................................... 52 5.2 Saran .................................................................................... 53 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 54 LAMPIRAN x Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga DAFTAR TABEL No Judul Halaman 4.1 Interaksi Model HIV 24 4.2 Parameter model HIV dan Nilainya 42 4.3 Parameter Komputasi 43 xi Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga DAFTAR GAMBAR No Judul Halaman 2.1 HIV mengikat pada reseptor sel CD4 5 2.2 Struktur virus HIV 7 4.1 Diagram blok model HIV sebelum diberi pengontrol 25 4.2 Populasi sel CD4 yang sehat sebelum diberi pengntrol 45 (obat ARV) 4.3 Populasi sel CD4 yang sehat setelah diberi pengontrol 45 (obat ARV) 4.4 Populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV sebelum 46 diberi pengontrol (obat ARV) 4.5 Populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV setelah 47 diberi pengontrol (obat ARV) 4.6 Populasi virus HIV sebelum diberi pengontrol (obat 48 ARV) 4.7 Populasi virus HIV setelah dieri pengontrol (obat 49 ARV) 4.8 Kondisi pengontrol (obat ARV) 50 xii Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga DAFTAR LAMPIRAN No. 1. Judul Lampiran Skrip M-File pada MATLAB untuk Model Penyebaran Virus HIV Tanpa Pengontrol. 2. Skrip M-File pada MATLAB untuk Model Penyebaran Virus HIV degan Pengontrol. 3. Output pada Command Window MATLAB untuk Model Penyebaran Virus HIV Tanpa Pengontrol. 4. Output pada Command Window MATLAB untuk Model Penyebaran Virus HIV dengan Pengontrol. xiii Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Acquired Immune Deficiency Syndrome (AIDS) adalah sekumpulan gejala dan infeksi yang timbul karena rusaknya sistem kekabalan tubuh manusia akibat infeksi virus Human Immunodeficiency Virus (HIV). Virus HIV sendiri merupakan virus yang memperlemah kekebalan tubuh manusia dengan cara menyerang sel CD4. Sel CD4 adalah salah satu jenis dari sel darah putih (limfosit) yang merupakan bagian penting dari sistem kekebalan tubuh. Orang yang terkena virus ini akan menjadi rentan terhadap infeksi oportunistik (penyakit yang muncul karena sistem kekebalan tubuh sudah rusak atau melemah). Pada Januari 2006, Joint United Nations Programme on HIV and AIDS (UNAIDS) dan World Health Organization (WHO) memperkirakan bahwa AIDS telah menyebabkan kematian lebih dari 25 juta orang sejak pertama kali ditemukan pada tahun 1981. Di Jakarta hingga Juni tahun 2011 penderita HIV mencapai 1.184 orang (Wardah, 2012). Data tersebut diperoleh dari Sistem Informasi AIDS Jakarta. Nominal tersebut diperoleh hanya dalam satu daerah, belum di daerah-daerah lain di Indonesia. Besarnya jumlah kematian disebabkan karena virus HIV menunjukkan bahwa penyakit tersebut sangat berbahaya dan harus dicegah penyebarannya. Dalam perkembangan ilmu pengetahuan bidang matematika, ilmuwan matematika turut memberikan kontribusi dalam pencegahan penyebaran penyakit 1 Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 2 HIV, salah satunya dengan mengkonstruksikan dinamika penyebaran virus HIV dalam bentuk model matematika. Model penyebaran virus HIV tersebut dapat ditinjau dari sisi internal (di dalam tubuh manusia) dan eksternal (di luar tubuh manusia atau lingkungan sekitar). Pada penelitian ini akan dibahas mengenai model penyebaran virus HIV dalam tubuh manusia [14], karena penyebaran virus HIV dari dalam tubuh masih sulit untuk ditangani, karena obat untuk menyembuhkan penyakit HIV masih belum ditemukan. Di dalam model penyebaran virus HIV dalam tubuh manusia dibagi menjadi tiga kelompok yaitu populasi/jumlah sel CD4 yang belum terkena virus HIV, populasi Sel CD4 yang telah terinfeksi virus HIV, dan populasi virus HIV. Secara garis besar, model penyebaran virus HIV dalam tubuh menggambarkan alur penyebaran dari sel CD4 yang sehat menjadi terinfeksi dengan faktor–faktor penting yang mempengaruhi. Untuk menekan penyebaran virus HIV dalam tubuh dapat digunakan suatu pengontrol berupa obat. Berdasarkan World Health Organization (WHO), penyebaran virus HIV dapat ditekan dengan pemberian obat Antiretroviral (ARV). Pemberian obat ARV masih dipercaya sebagai cara yang efektif dalam menekan penyebaran virus HIV dalam tubuh, karena obat tersebut dapat menghambat replikasi virus HIV dalam tubuh manusia. Meskipun penanganan yang telah ada dapat memperlambat laju perkembangan virus HIV, namun penyakit ini belum benar – benar dapat disembuhkan. Berdasarkan permasalahan tersebut, dalam penelitian ini penulis akan menganalisis model penyebaran virus HIV dalam tubuh dan mengontrol populasi Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 3 sel CD4 serta virus HIV dengan pemberian obat ARV. Untuk mengoptimalkan pemberian obat ARV digunakan prinsip Maksimum Pontryagin, sehingga diharapkan perkembangan virus HIV dapat ditekan dan jumlah sel CD4 yang sehat dapat meningkat. 1.2 Rumusan Masalah Rumusan masalah yang akan diteliti dalam skripsi ini adalah: 1. Bagaimana kestabilan dari titik setimbang pada model penyebaran virus HIV dalam tubuh? 2. Bagaimana bentuk kontrol yang optimal dari model penyebaran virus HIV dalam tubuh dengan pemberian obat ARV? 1.3 Tujuan Dalam penulisan skripsi ini, penulis mempunyai tujuan sebagai berikut : 1. Mendapatkan kestabilan dari titik setimbang pada model penyebaran virus HIV dalam tubuh. 2. Mendapatkan bentuk kontrol yang optimal dari model penyebaran virus HIV dalam tubuh dengan pemberian obat ARV. 1.4 Manfaat Manfaat yang akan dicapai dari skripsi ini adalah memberikan pengetahuan tentang perilaku kestabilan pada model penyebaran virus HIV dalam tubuh serta Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 4 pengendalian optimalnya dengan menggunakan obat, sehingga hasil dari skripsi ini dapat berguna untuk mengontrol penyebaran virus HIV dalam tubuh. 1.5 Batasan Masalah Mengacu pada rumusan masalah di atas, maka ruang lingkup penyelesaian penulisan skripsi ini dibatasi dengan: 1. Model HIV diamati dalam 1 ml darah yang jumlah sel CD4 antara 800-1200 sel. 2. Model HIV dan parameter yang digunakan dalam penelitian ini diambil dari Shirazian dan Farahi (2010). 3. Input atau pengontrol dalam sel CD4 yaitu berupa obat antiretroviral (ARV). Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam skripsi ini, tinjauan pustaka yang digunakan adalah sebagai berikut: 2.1 Sel CD4 Menurut Upaya Kesehatan dan Lintas Wilayah (UKLW) Balikpapan [5], sel T dibagi menjadi dua jenis yaitu Sel T-4 (CD4 atau CD4+) dan sel T-8 (CD8). Sel CD4 adalah salah satu jenis dari sel darah putih (limfosit) yang merupakan bagian penting dari sistem kekebalan tubuh, sedangkan sel CD8 adalah sel penekan yang mengakhiri tanggapan kekebalan. Sel CD8 juga disebut sebagai sel pembunuh, karena sel tersebut membunuh sel kanker atau sel yang terinfeksi virus. Sel CD4 memiliki protein pada permukaannya, protein tersebut bekerja sebagai reseptor untuk HIV. Virus HIV menempel pada reseptor CD4 itu seperti kunci dan gembok. Sumber : http://www.thebody.com Gambar 2.1 HIV mengikat pada reseptor sel CD4 5 Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 6 Sel CD4 merupakan sel penting sehubungan dengan Human Immunodeficiency Virus (HIV), karena saat HIV menulari manusia, sel yang terinfeksi adalah sel CD4. Kode genetik HIV menjadi bagian dari sel CD4. Setelah lama orang terinfeksi HIV, jumlah sel CD4 orang tersebut semakin menurun. Ini tanda bahwa sistem kekebalan tubuh semakin rusak. Semakin rendah jumlah CD4, semakin mudah untuk sakit. Ada jutaan kelompok sel CD4 dalam tubuh manusia. Setiap kelompok sel CD4 dirancang khusus untuk melawan kuman tertentu. Saat HIV mengurangi jumlah sel CD4, beberapa kelompok sel CD4 dapat diberantas total. Jika hal itu terjadi, maka orang tersebut akan kehilangan kemampuan untuk melawan kuman yang seharusnya dihadapi oleh kelompok sel CD4. 2.2 HIV Menurut Jenny (2006), Human Immunodeficiency Virus (HIV) adalah suatu virus yang dapat menyebabkan penyakit Acquired Immune Deficiency Syndrome (AIDS). Virus ini menyerang manusia lebih khususnya menyerang sistem kekebalan (imunitas) tubuh, sehingga tubuh menjadi lemah dalam melawan infeksi. Dengan kata lain, kehadiran virus HIV dalam tubuh akan menyebabkan defisiensi (kekurangan) sistem imun. Menurut Schoub (1999), berdasarkan strukturnya HIV memiliki diameter 100-150 nm dan berbentuk sferis (spherical) hingga oval. Selubung virus HIV berasal dari membran sel inang yang sebagian besar tersusun dari lipida. Di dalam selubung tersebut terdapat bagian yang disebut sebagai protein matriks. Selain itu menurut Felissa (2009), bagian internal HIV terdiri dari dua komponen utama, Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 7 yaitu genom dan kapsid. Genom adalah materi genetik pada bagian inti virus yang berupa dua kopi utas tunggal RNA. Sedangkan, kapsid adalah protein yang membungkus dan melindungi genom. ` Sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/HIV Gambar 2.2 Struktur virus HIV Seperti virus pada umumnya, HIV hanya dapat bereplikasi dengan memanfaatkan sel inang. Siklus hidup HIV diawali dengan penempelan partikel virus dengan reseptor pada permukaan sel inang, di antaranya adalah CD4 dan CXCR5 yang ada pada sel darah putih. Sel-sel yang menjadi target HIV adalah sel dendrit, sel CD4, dan makrofaga. Sel-sel tersebut terdapat pada permukaan lapisan kulit dalam (mukosa) penis, vagina dan oral yang biasa menjadi tempat awal infeksi HIV. Selain itu, HIV juga dapat langsung masuk ke aliran darah serta bereplikasi di noda limpa. Setelah menempel, selubung virus akan melebur (fusi) dengan membran sel sehingga isi partikel virus akan terlepas di dalam sel. Selanjutnya, enzim transkriptase yang dimiliki HIV akan mengubah genom virus yang berupa RNA menjadi DNA. Kemudian, DNA virus akan dibawa ke inti sel Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 8 manusia sehingga dapat menyisip atau terintegrasi dengan DNA manusia. DNA virus yang menyisip di DNA manusia disebut sebagai provirus dan dapat bertahan cukup lama di dalam sel. Saat sel teraktivasi, enzim-enzim tertentu yang memiliki sel inang akan memproses provirus sama dengan DNA manusia, yaitu diubah menjadi mRNA. Kemudian, mRNA akan dibawa keluar dari inti sel dan menjadi cetakan untuk membuat protein dan enzim HIV. Sebagian RNA dari provirus merupakan genom RNA virus. Bagian genom RNA tersebut akan dirakit dengan protein dan enzim hingga menjadi virus utuh. Pada tahap perakitan inti virus, enzim protease virus berperan penting untuk memotong protein panjang menjadi bagian pendek yang menyusun inti virus. Apabila HIV utuh telah matang, maka virus tersebut dapat keluar dari sel inang dan mendapatkan selubung dari membran permukaan sel inang, sehingga menjadi virus baru hasil replikasi terhadap sel inang (sel CD4). Virus yang baru tersebut akan terus bereplikasi dengan sel CD4 lain yang ada pada tubuh manusia. Karena sel CD4 berada pada sel darah putih yang mengalir keseluruh tubuh manusia, maka sel CD4 yang terinfeksi HIV juga akan menyebar keseluruh tubuh manusia sehingga menimbulkan penyakit salah satunya yaitu AIDS. HIV dapat ditularkan melalui injeksi langsung ke aliran darah, serta kontak membran mukosa atau jaringan yang terluka dengan cairan tubuh tertentu yang berasal dari penderita HIV. Cairan tertentu itu meliputi darah, semen, sekresi, cairan vagina, dan ASI. Beberapa jalur penularan HIV yang telah diketahui adalah melalui hubungan seksual, pemberian ASI dari ibu ke anak, penggunaan obatobatan intravena, tranfusi dan transplantasi (http://www.cdc.gov). Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 9 Sampai saat ini tidak ada vaksin atau obat yang benar-benar dapat menyembuhkan penyakit HIV atau AIDS. Satu-satunya cara yang diketahui untuk penekanan virus HIV adalah pemberian obat antiretroviral (ARV) yang pada dasarnya hanya untuk menghambat replikasi virus HIV dalam tubuh. 2.3 Matriks Jika Definisi 2.1 di dalam merupakan matriks berukuran dinamakan vektor eigen dari , maka vektor tak nol jika adalah kelipatan skalar dari , yakni: Skalar dinamakan nilai eigen dari dan dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan . Teorema 2.2 Jika merupakan matriks berukuran maka pernyataan- pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain: (a) adalah nilai eigen dari . (b) Sistem persamaan ( (c) Ada vektor tak nol (d) mempunyai solusi tak trivial. ) didalam sehingga . adalah solusi dari persamaan karakteristik det( ) (Anton, 1987) Definisi 2.3 Jika merupakan matriks berukuran maka eksponensial matriks Skripsi , dan adalah skalar didefinisikan sebagai: Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga Jika Lemma 2.4 adalah matriks yang mempunyai invers maka ( Matriks Definisi 2.5 10 ) yang berukuran dapat didiagonalkan, jika terdapat sebuah matriks invertible , sehingga berlaku: dengan [ ] adalah nilai eigen dari matriks , dengan . (Weisstein, 1999) Berdasarkan Lemma 2.4 dan Definisi 2.5 diperoleh: ( Dari persamaan di atas, Contoh: Misalkan matriks dan * +. Nilai eigen dari . adalah dan berturut-turut adalah ( ) dan ), oleh karena itu ( Skripsi dapat digunakan untuk mencari nilai dari . Berdasarkan nilai eigen tersebut diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan ( ) ), ( ) dan ( Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. ). Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 11 Dari hasil tersebut didapatkan ( ), ( )( sehingga )( ) ( Definisi 2.6 ) Matriks Jacobian dari sistem persamaan ( ), ( ), ( ), adalah ( ) (Vandermeer, 1981) 2.4 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 2.7 Misalkan vektor, Skripsi dengan adalah sebuah skalar, maka diferensial Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. adalah sebuah adalah Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga [ dan turunan ], terhadap (dapat berupa waktu) adalah [ Jika 12 ]. adalah fungsi dari , maka turunan dari [ terhadap adalah ] (Lewis, 1995) Definisi 2.8 Misalkan ( ) ( ) , maka turunan dan integral dari matriks ( ) adalah ( ) ∫ ( ) ̇( ) * ( ∫ )+, dan ( ) dengan setiap elemen dari matriks diturunkan atau diintegralkan terhadap . (Graham, 1980) Definisi 2.9 Sistem persamaan diferensial orde satu dalam tiga persamaan disebut sebagai sistem autonomous jika dapat ditulis ke dalam bentuk : ( Skripsi ) Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga dengan fungsi dan ( ) ( ) 13 tidak tergantung pada waktu atau dengan kata lain variabel tidak muncul secara eksplisit. (Jones, 2003) Contoh: Sistem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) merupakan sistem autonomous, sedangkan sistem ( ) ( ) ( ) ( ) bukan merupakan sistem autonomouus. Definisi 2.10 Diberikan persamaan diferensial automous dikatakan titik setimbang jika memenuhi ( ̅ ) ( ). Titik ̅ . (Olsder, 1992 ) Definisi 2.11 Sebuah ( ) diferensial linear dalam variabel ( ) dapat dinyatakan sebagai: ( ) ( ) Skripsi persamaan ̇( ) ( ) ( ) Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. ( ) Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga dengan 14 adalah konstanta. Sedangkan sistem persamaan diferensial linear dengan persamaan dan variabel, dinyatakan sebagai: dengan ̇ ( ) ( ) ( ) ( ) ̇ ( ) ( ) ( ) ( ) ̇ ( ) ( ) ( ) ( ) adalah skalar dengan sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk: ̇( ) Dengan dan ( ) ( ) ( ) dinamakan vektor keadaan (state). Solusi dari sistem (2.1) adalah ( ) dimana ( ) dinamakan nilai awal dari system (Bronson, 2007) 2.5 Kestabilan dari Sistem Linier Definisi 2.12 Sistem linier ̇ ( ) ( ) dikatakan stabil asimtotis jika ( ) dengan ( ) adalah solusi dari sistem tersebut. (Sontag, 2001) Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga Teorema 2.13 Sistem ̇ ( ) 15 ( ) adalah stabil asimtotis jika dan hanya jika semua nilai eigen dari , yakni ( ) mempunyai bagian real negatif dan dinotasikan sebagai . ( ( )) (Zhou, 1996) Pada permasalahan tertentu kestabilan dari titik setimbang tidak dapat diamati karena tanda bagian real dari nilai eigen tidak mudah ditentukan, oleh karena itu perlu digunakan metode lain untuk menentukan tanda bagian real dari nilai eigen . Kriteria Routh-Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung. Teorema 2.14 (Kriteria Routh-Hurwitz) Diberikan persamaan karakteristik: (2.2) dengan , dinotasikan , adalah bilangan real. Diberikan , yang berisi koefisien matriks Hurwitz dari persamaan karakteristik (2.2) sebagai berikut : ( ), ( ( *, +, , , ,, ( Skripsi ( Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. ) Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 16 ( dengan ) saat . Akar-akar persamaan karakteristik (2.2) akan negatif atau mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika ( ) . (Merkin, 1997) , bentuk persamaan karakteristik dari (2.2) adalah Untuk (2.3) dan matriks Hurwitznya adalah ( ) * dan ( ( +. Menurut Kriteria Routh-Hurwitz, akar-akar persamaan karakteristik (2.3) bernilai negatif atau mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika det ( det ( , dan det ( ) dan ) ) . Tiga syarat ini dapat dinyatakan dengan sebagai berikut: det | | det | didapatkan | sehingga , Karena maka didapatkan , Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga det | ( sehingga | dan ii. dan akibatnya maka didapatkan dua kondisi, yaitu ) i. 17 Untuk kondisi (ii) tidak mungkin terjadi, karena jika maka tidak akan . Sehingga dapat disimpulkan bahwa akar-akar terpenuhi persamaan karakteristik (2.3) bernilai negatif atau mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika dan 2.6 Masalah Kontrol Optimal Pada umumnya masalah kontrol optimal adalah suatu masalah dengan tujuan mencari kontrol ( ) yang dapat mengoptimalkan (memaksimumkan atau meminimumkan) indeks performansi. Indeks performansi diformulasikan sebagai berikut: ( ( ) ) ∫ (2.4) ( ( ) ( ) ) dengan kendala ̇ dengan dan ( ( ) ( ) ) (2.5) ( ) masing-masing adalah waktu awal dan akhir, dan adalah fungsi skalar. Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga Kontrol 18 ( ) merupakan kontrol optimal, jika disubstitusikan ke dalam sistem (2.5) akan memperoleh keadaan yang optimal ( ) dan pada saat yang sama juga dapat mengoptimalkan indeks performansi (2.4). (Lewis, 1995) 2.7 Prinsip Maksimum Pontryagin Dalam menyelesaikan permasalahan kontrol optimal, salah satu metode yang dapat digunakan adalah prinsip maksimum Pontryagin. Prinsip maksimum pontryagin merupakan suatu kondisi sehingga dapat diperoleh penyelesaian kontrol optimal yang sesuai dengann tujuan (memaksimalkan indeks performansi). Prosedur menyelesaikan masalah kontrol optimal dengan menggunakan prinsip maksimum Pontryagin adalah sebagai berikut: Diberikan persamaan state: dengan ( ) dan , dan indeks performansi: ( ) ( ( ) dimana nilai kondisi batas ( ) Syarat cukup untuk (2.6) ( ( ) ( ) ) ̇ ) ∫ dan (2.7) ( ( ) ( ) ) diberikan, dan memaksimalkan indeks ( ) performansi bebas. adalah mengkonversi persamaan (2.6) dan (2.7) ke dalam masalah memaksimalkan fungsi Hamiltonian. Untuk mendapatkan syarat tersebut dilakukan langkahlangkah sebagai berikut: Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 19 1. Bentuk fungsi Hamiltonian yaitu kombinasi fungsi dari suatu masalah ( ( ( ) ( ) )) dan perkalian fungsi subyek berbentuk persamaan diferensial ( ( ( ) ( ) )) dengan suatu faktor pengali yang dinamakan pengali Lagrange ( ). Berikut bentuk fungsi Hamiltonian: ( ( ) ( ) ( ) ) 2. Maksimumkan ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) terhadap semua vektor kontrol ( ) yaitu sehingga diperoleh ( ) ( ( ) ( ) ) 3. Gunakan hasil dari Langkah 2 ke dalam Langkah 1 dan tentukan yang optimal, yaitu ( ( ) 4. Selesaikan sekumpulan ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) persamaan: 1. Persamaan state yaitu persamaan kendala pada model ̇ ( ) dengan diberikan nilai ( ) ( * . 2. Persamaan co-state atau persamaan adjoint ( ) yang terkait dengan kendala akumulasi dari variabel keadaan. ̇ ( ) dengan diberikan nilai ( ) ( * ( ) 5. Untuk memperoleh kontrol yang optimal, substitusikan solusi ( ) dari Langkah 4 ke dalam kendali optimal ( ) dan ( ) pada Langkah 2. (Naidu, 2002) Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga BAB III METODE PENELITIAN Langkah-langkah yang digunakan dalam menyelesaikan skripsi ini adalah sebagai berikut : 1. Mengkaji model dasar penyebaran virus HIV dalam tubuh. 2. Menentukan titik setimbang pada Langkah 1. 3. Melinierisasi sistem pada Langkah 1 dengan menggunakan matriks Jacobian. 4. Menguji kestabilan dari titik setimbang yang diperoleh pada Langkah 2 dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz. 5. Mengkonstruksi input kontrol pada model HIV. 6. Mendefinisikan indeks performansi berdasarkan Prinsip Maksimum Pontryagin. 7. Menentukan input kontrol yang optimal pada Langkah 5, dengan tahap-tahap sebagai berikut: 1. Membentuk fungsi hamiltonian. 2. Memaksimumkan fungsi hamiltonian sehingga diperoleh fungsi kontrol optimal. 3. Menentukan bentuk fungsi hamiltonian yang optimal. 4. Menyelesaikan persamaan state dan co-state. 5. Mensubstitusi solusi dari tahap 4 ke dalam fungsi kontrol optimal pada tahap 2. 20 Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 8. 21 Mensubstitusikan input kontrol yang telah didapat pada Langkah 7 ke dalam sistem sehingga diperoleh bentuk sistem umpan balik keadaan (State Feedback) yang optimal. 9. Mensimulasikan hasil model HIV tanpa input dan dengan input kontrol dalam bentuk numerik menggunakan software MATLAB. 10. Menginterprestasikan hasil model HIV yang telah didapat pada Langkah 9. Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga BAB IV PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas mengenai kestabilan model HIV dan kontrol optimal. Dari model HIV akan dicari titik setimbang yang kemudian dianalisis kestabilan dari setiap titik tersebut. Berikutnya akan dicari bentuk kontrol optimal dari model HIV menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin dan disimulasikan menggunakan toolbox DOTcvp pada software MATLAB. 4.1 Model HIV Pada umumnya, ada banyak faktor yang menyebabkan terjadinya infeksi HIV pada manusia, baik secara internal (dalam tubuh manusia) maupun eksternal (keadaan atau lingkungan sekitar). Namun pada penulisan ini, dibentuk asumsiasumsi yang membatasi kasus infeksi HIV dan struktur populasi sebagai berikut: 1. Infeksi HIV terjadi secara internal yaitu didalam tubuh manusia. 2. Tidak ada virus lain yang menyerang tubuh selain virus HIV. 3. Populasi terdiri atas tiga subpopulasi, yaitu: ( ) adalah populasi sel CD4 yang sehat (belum terkena virus HIV) pada saat . ( ) adalah populasi sel CD4 yang telah terinfeksi virus HIV pada saat . ( ) adalah populasi virus HIV saat . 4. Laju pertumbuhan sel CD4 dalam tubuh konstan. 5. Input kontrol berupa obat Antiretroviral (ARV). 22 Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 23 Berikut adalah notasi dan definisi dari masing-masing variabel yang digunakan dalam pembahasan ini: ̇ ( ) adalah laju perubahan populasi sel CD4 yang sehat pada saat (̇ ) adalah laju perubahan populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV saat ̇ ( ) adalah laju perubahan populasi virus HIV saat ( ) adalah populasi sel CD4 yang sehat pada saat ( ) adalah populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV saat ( ) adalah populasi virus HIV saat adalah laju pertumbuhan sel CD4 yang sehat adalah laju kematian sel CD4 yang sehat secara alami adalah laju sel CD4 yang terinfeksi virus HIV adalah laju kematian sel CD4 yang terifeksi virus HIV adalah laju replikasi virus HIV di dalam sel CD4 adalah laju kematian virus HIV secara alami adalah bobot dari pengontrol (obat ARV) ( ) adalah presentase input kontrol berupa dosis obat ARV saat adalah batas atas pengontrol adalah batas bawah pengontrol adalah waktu awal pengamatan saat sel CD4 yang terinfeksi virus HIV diberikan pengontrol (obar ARV) Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 24 adalah waktu akhir pengamatan saat sel CD4 yang terinfeksi virus HIV diberikan pengontrol (obar ARV) Untuk mempermudah penulisan maka notasi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) berturut-turut ditulis dengan ( ) ( ) . Oleh karena dalam ilmu biologi tidak mungkin jumlah sebuah spesies dalam sebuah populasi bernilai negatif, maka diasumsikan: (4.1) Selain itu, dalam ilmu fisika kelajuan merupakan salah satu besaran turunan yang tidak bergantung pada arah, sehingga kelajuan termasuk skalar. Seperti jarak, kelajuan termasuk besaran skalar yang nilainya selalu positif, sehingga dalam model HIV, diasumsikan: (4.2) Berdasarkan asumsi-asumsi dan notasi yang telah dijelaskan, maka dapat dibentuk suatu interaksi model penyebaran virus HIV dalam tubuh, yang disajikan dalam Tabel 4.1. Tabel 4.1 Interaksi model HIV Diskripsi Laju reaksi Produksi sel CD4 Ditranslasiakan ke dalam persamaan deferensial ̇ ̇ Sel CD4 yang mati secara alami ̇ Sel CD4 yang terinfeksi virus HIV Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. ̇ Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 25 Sel CD4 yang terinfeksi virus HIV ̇ mengalami kematian ̇ Replikasi virus HIV di dalam sel CD4 ̇ Virus HIV yang mati secara alami Dari Tabel 4.1 maka dapat dibentuk ke dalam diagram blok sebagai berikut 𝒄𝑽 𝒌𝑰 𝒔 𝜷𝑻𝑽 𝜸𝑻 𝝁𝑰 Keterangan: : akan mengalami penambahan populasi, namun tidak mengurangi populasi . : menyerang namun tidak mempengaruhi jumlah dan . Gambar 4.1 Diagram blok model HIV sebelum diberi pengontrol Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga Dari gambar 4.1, panah masuk mengartikan bahwa pada 26 , , dan meningkatkan/ menambah jumlah populasi di setiap populasi , , dan panah keluar dari , , dan mengartikan bahwa pada Sedangkan untuk garis putus.putus dari ke . Untuk , , dan menurunkan/ mengurangi jumlah populasi di setiap populasi , akan akan , dan menunjukkan bahwa pada . akan mengalami penambahan populasi, namun tidak mengurangi populasi , karena dalam kasus ini replikasi virus HIV terjadi pada sel CD4 yang terinfeksi, namun pada saat menghasilkan virus HIV, jumlah sel CD4 tidak berkurang. Berdasarkan Tabel 4.1 dan Gambar 4.1 di atas, maka dapat dibentuk suatu model penyebaran virus HIV dalam tubuh manusia sebagai berikut: ̇ ̇ ̇ ( ) ( ) ( ) Pada Persamaan (4.3) laju perubahan sel CD4 yang sehat akan meningkat karena dipengaruhi oleh laju pertumbuhan sel CD4 dan akan menurun karena adanya sel CD4 yang mati secara alami serta interaksi antara sel CD4 yang sehat dengan virus HIV. Pada Persamaan (4.4) laju perubahan sel CD4 yang terinfeksi virus HIV akan meningkat karena penambahan jumlah sel CD4 yang terinfeksi virus yang diakibatkan adanya kontak atau interaksi antara sel CD4 yang sehat dengan virus HIV dan menurun karena adanya sel CD4 yang terinfeksi virus HIV yang mati secara alami. Sedangkan pada Persamaan (4.5) laju perubahan virus Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 27 HIV akan terus bertambah karena virus mengalami replikasi didalam sel CD4 dan akan menurun ketika virus HIV mengalami mati secara alami. Untuk menganalisis kestabilan sistem dari model HIV di atas, maka langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan titik setimbang dari model tersebut. Sebelum itu, karena model berbentuk nonliner maka perlu dilakukan pelinieran terlebih dahulu dengan menggunakan matriks Jacobian. Selanjutnya Titik setimbang tersebut disubstitusikan pada persamaan model HIV yang telah dilinierkan sehingga dapat dibentuk persamaan karakteristik untuk mendapatkan nilai karakteristik, dimana nilai karakteristik tersebut akan digunakan untuk menentukan kestabilan dari sistem tersebut. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan pada subab berikut. 4.2 Titik Setimbang Model Berdasarkan Definisi 2.10, model penyebaran virus HIV dalam tubuh akan memiliki titik setimbang jika memenuhi terdapat dua . Pada model ini titik setimbang yaitu titik setimbang bebas penyakit dan titik setimbang endemi. Titik setimbang bebas penyakit adalah suatu kondisi dimana tidak terjadi penyebaran virus HIV dalam tubuh manusia. Titik tersebut didapatkan pada saat yakni suatu keadaan dimana tidak terjadi infeksi virus HIV pada sel CD4 dan yakni keadaan dimana tidak ada virus HIV dalam tubuh manusia. Titik setimbang bebas penyakit ini dapat dinyatakan dalam ( ) ( ) sehingga diperoleh: Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 28 ̇ (4.6) ̇ (4.7) ̇ (4.8) Berdasarkan Persamaan (4.6), (4.7), dan (4.8) maka didapatkan titik setimbang bebas penyakit = ( ). Titik setimbang endemik yaitu suatu kondisi dimana terjadi penyebaran virus HIV dalam tubuh manusia yang menyerang sel CD4. Titik setimbang endemik dinyatakan dalam dan ( ), dengan mengasumsikan diperoleh: ̇ (4.9) ̇ (4.10) Substitusi Persamaan (4.9) dan (4.10) ke dalam persamaan ̇ diperoleh Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga ( ) 29 ( ) (4.11) Substitusi Persamaan (4.11) ke dalam Persamaan (4.10), diperoleh: ( ) (4.12) Kemudian substitusi Persamaan (4.11) ke dalam Persamaan (4.9), diperoleh ( ( )) (4.13) Berdasarkan persamaan (4.11), (4.12), dan (4.13) didapatkan titik setimbang endemik = ( setimbang bebas penyakit ). Setelah didapatkan titik dan endemik selanjutnya akan dianalisis kestabilan lokal dari masing-masing titik setimbang. Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 30 4.3 Analisis Kestabilan Lokal Pada sistem Persamaan (4.3), (4.4), dan (4.5) dalam model HIV terlihat bahwa sistem tersebut merupakan sistem autonomous yang tak linier, maka untuk mendapatkan kestabilan dari sistem model HIV di titik-titik kesetimbangan dan perlu dilakukan pelinieran terlebih dahulu menggunakan matriks Jacobian. Misalkan persamaan-persamaan dari model HIV didefinisakan sebagai: ̇ = ( ̇ ( ̇ ( (4.14) ) (4.15) ) (4.16) ) Dengan menggunakan Definisi 2.6, maka matriks Jacobian dari sistem Persamaan (4.14), (4.15) dan (4.16) adalah ( ( (4.17) ) ) Berdasarkan Teorema 2.4 mengenai kestabilan, maka dengan menggunakan nilai eigen dari matriks dapat ditentukan kestabilan dari sistem. Karena pada kasus ini diperoleh dua titik setimbang yaitu titik setimbang bebas penyakit dan endemik , maka perlu dilakukan analisis kestabilan disetiap titik tersebut. 4.3.1 Kestabilan Lokal di Titik Setimbang Bebas Penyakit Matriks Jacobian dari titik setimbang bebas penyakit ( Skripsi ( ) ) adalah Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 31 (4.18) ( ) Selanjutnya berdasarkan matriks Jacobian (4.18) dapat dibentuk persamaan karakteristik dari matriks (4.18) dengan menggunakan ( ( )) ( )( )( ( ) ) )) ( )( (( ) )( ( , yaitu ) ( (( ) ( )( ( )) ) ) ( ) (4.19) Berdasarkan Teorema 2.14, maka dari persamaan karakteristik (4.19) diperoleh: Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 32 Berdasarkan Persamaan (4.19), syarat agar titik setimbang bebas penyakit stabil asimtotis, adalah dan Pertama akan ditunjukkan bahwa . Karena laju kematian virus HIV ( ) laju kematian sel CD4 yang terinfeksi virus HIV ( ), dan laju kematian sel CD4 secara alami ( ) bernilai positif, maka jelas bahwa: (4.20) Agar maka (4.21) (4.22) Dari uraian di atas, jika sebagai bilangan reproduksi dasar maka . Selanjutnya didefinisikan yang menyatakan banyaknya kasus baru dari sel terinfeksi yang muncul akibat masuknya sel terinfeksi dalam suatu populasi virgin. Dalam kasus ini, bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai rasio pertumbuhan dan kematian dari populasi sel CD4 yang sehat, sel CD4 yang terinfeksi dan virus HIV. Dari sini bilangan reproduksi dasar dapat digunakan sebagai tolok ukur terjadi atau tidaknya suatu penyakit. Sehingga disebut sebagai nilai ambang batas bebas penyakit. Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga Dengan syarat 33 di atas akan ditunjukkan bahwa Perhatikan kembali bahwa , sehingga berlaku . atau , akibatnya (4.23) Terakhir akan dibuktikan bahwa ( , atau )( ) , ( ) ) Perhatikan kembali bahwa , sehingga yang berarti diperoleh Selain itu karena yang berarti ( . Karena diperoleh sehingga ) ( ) ( ) (4.24) Jadi, berdasarkan uraian di atas diperoleh teorema berikut: Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 34 Teorema 4.1 Titik setimbang bebas penyakit pada model HIV akan stabil asimtotis pada ), jika memenuhi nilai ambang batas bebas ( penyakit = 4.3.2 Kestabilan Lokal di Titik Setimbang Endemik Matriks Jacobian dari titik setimbang endemik ( ) ) adalah ( ( ) ( ( ) ) (4.25) ( ) ( ) ( ) Selanjutnya dapat dibentuk persamaan karakteristik dari matriks (4.25) dengan menggunakan ( , yaitu ) ( ) ( ( ( Skripsi )) ) Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga )( (( )( (( ( ( ) )) )( )( )( ) ( ) (( 35 )( )( )) )) ( ( ) ) (4.26) Berdasarkan Teorema 2.14, maka dari persamaan karakteristik (4.26) diperoleh: Berdasarkan Persamaan (4.26), syarat agar titik setimbang endemik stabil asimtotis adalah dan Pembuktian pertama yaitu . , berdasarkan asumsi (4.2) maka jelas terpenuhi bahwa: (4.27) serta untuk pembuktian terlihat jelas bahwa: (4.28) Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 36 Berdasarkan (4.26), dengan proses yang sama pada saat mencari syarat kestabilan pada titik setimbang bebas penyakit, untuk titik setimbang endemik jika dipenuhi maka . Sehingga didapatkan bilangan reproduksi dasar endemik = atau disebut sebagai nilai ambang batas endemik. Selanjutnya akan dibuktikan atau )( ( ) Berdasarkan asumsi (4.2) maka (4.30) Berdasarkan uraian di atas diperoleh teorema berikut: Teorema 4.2 Titik setimbang endemik pada model HIV akan stabil asimtotis pada ( ) jika memenuhi nilai ambang batas bebas penyakit = . Selanjutnya untuk mendapatkan jumlah sel CD4 sehat yang maksimum dengan biaya pengobatan yang minimal, maka perlu dicari bentuk kontrol optimal (obat ARV) dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 37 4.4 Penyelesaian Kontrol Optimal Pada masalah kontrol optimal ini, tujuan yang akan dicapai adalah memaksimalkan sel CD4 yang sehat dengam meminimalkan biaya pengontrol (obat ARV). Pada tahap ini akan didapatkan bentuk pengontrol (obat ARV) yang optimal menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Dari tujuan tersebut dapat dibentuk fungsi tujuan sebagai berikut: ( ) dengan variabel kontrol adalah ∫ ( (4.31) ) dan variabel keadaannya Pada model HIV, pemberian pengontrol (obat ARV) [ ]. diberikan saat sel CD4 diserang oleh virus HIV, oleh karena itu bentuk Constrain dari fungsi tujuan (4.31) adalah ̇ ( (̇ ) ( ) ) ̇ dengan kondisi batas dan yang berarti bahwa waktu yang digunakan yaitu waktu dari awal pengamatan saat diberi pengontrol ( ) sampai waktu terakhir pengamatan setelah diberi pengontrol ( ). Sedangkan untuk persentase pengontrol yang berupa obat ARV Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 38 ( ) dibatasi dari 0 sampai 1 ( dari 0% sampai 100%). Untuk nilai awal dari seluruh populasi diasumsikan bernilai positif yang dinotasikan dengan ( ) ( ) ( ) Berdasarkan Prinsip Maksimum Pontryagin (2.7), hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan fungsi Hamiltonian. Berikut bentuk fungsi Hamiltonian: ( ) ( ( ) ( ) ) ( )( ( ( ( )) ( ( )) ( ( ) ) ( ) ) ) Untuk mendapatkan kondisi optimal maka harus memenuhi kondisi stasioner dari ( ) dengan menyelesaikan persamaan state ̇ dan co-state ̇ . Berikut kondisi stasioner yang harus dipenuhi: ( Karena batasan nilai , ) , maka diperoleh beberapa kemungkinan hasil yang didapat, yaitu Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga ( ) 39 ( ) ( ) ( ) { Dari beberapa kemungkinan di atas, maka pengontrol yang optimal adalah ( ( ( ) ) ). Karena pada bentuk pengontrol mengandung variabel state ( dan ), maka selanjutnya akan diselesaikan persamaan state untuk mendapatkan variabel tersebut. ̇ sehingga diperoleh ̇ ̇ ( ) ̇ Selain variabel state juga terdapat varibel co-state ( adjoin pada bentuk pengontrol dan ) atau variabel , maka perlu diselesaikan persamaan co-state untuk mendapatkan variabel tersebut ̇ sehingga diperoleh ̇ Skripsi ( Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. ) Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga ̇ ( 40 ) ̇ Setelah mendapatkan nilai dari variabel state dan co-state selanjutnya disubstitusikan pada pengontrol . Substitusikan persamaan diperoleh kedalam persamaan state untuk memperoleh yang telah bentuk solusi yang optimal. Berikut hasil optimal yang didapatkan: ̇ ( ̇ ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) )) )) ̇ Berdasarkan uaraian di atas, untuk mendapatkan , dan dari bentuk yang optimal maka perlu menyelesaikan persamaan state dan co-state yang berbentuk nonlinier dan berjumlah enam persamaan. Karena sistem persamaan nonlinier sulit untuk diselesaikan secara analitik, oleh karena itu perlu diselesaikan secara numerik. 4.5 Simulasi Berdasarkan penjelasan pada Subab 4.4 penyelesaian kontrol optimal sulit diselesaikan secara analitik maka penyelesaian kontrol optimal diselesaikan secara numerik. Hal ini dilakukan dengan mensimulasikan permasalahan kontrol optimal yang akan diselesaikan dengan menggunakan toolbox DOTcvp pada Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 41 MATLAB dengan mendefinisikan masalah optimal kontrol pada M-File dengan parameter yang diketahui. Dalam simulasi model penyebaran virus HIV dalam tubuh manusia dengan MATLAB maka state didefinisikan dengan ( ) ( ) indeks performansi didefinisikan menjadi state baru yaitu ( ) ( ) dan pengontrol ( ). Langkah – langkah yang harus dilakukan dalam penggunaan DOTcvp adalah: Langkah 1 Settings untuk IVP (initial value problem) data.odes.res(1) = (masukkan fungsi dinamik sistem) data.odes.t0 = (masukkan waktu awal) data.odes.tf = (masukkan waktu akhir) Langkah 2 NLP (Non Linier Problem) definition: Data.nlp.RHO = (masukkan jumlah interval waktu) Data.nlp.problem = (pilih fungsi min/max) Data.nlp.J0 = (masukkan indeks performansi) Data.nlp.u0 = (masukkan nilai awal pengontrol) Data.nlp.ub = (masukkan batas atas pengontrol) Data.nlp.1b = (masukkan batas bawah pengontrol) Langkah 3 Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 42 Memanggil main function [data]=dotcvp_main(data) Simulasi dilakukan dengan cara dua kali runing, yang pertama sebelum diberi pengontrol dan yang kedua setelah diberi pengontrol. Selanjutnya akan dibandingkan secara langsung sistem sebelum diberi pengontrol dan sesudah diberi pengontrol. Pada simulasi ini, pemberian pengontrol (obat ARV) dilakukan selama 1000 hari. Berikut adalah parameter yang akan digunakan: Tabel 4.2 Parameter model HIV dan Nilainya Nama Parameter Laju pertumbuhan sel Simbol Parameter Nilai Parameter 7 Satuan Parameter sel/hari 0.007 per hari 0.00000042163 per virus hari 0.0999 per hari 90.67 per hari 0.2 per hari 110 - CD4 yang sehat Laju kematian sel CD4 yang sehat secara alami Laju sel CD4 yang terinfeksi virus HIV Laju kematian sel CD4 yang terinfeksi virus HIV Laju replikasi virus HIV di dalam sel CD4 Laju kematian virus HIV secara alami Bobot Pengontrol (Obat ARV) Sumber : Shirazian dan Farahi (2010). Tabel 4.2 menunjukkan nilai-nilai dari seluruh laju yang digunakan pada simulasi, misalnya untuk nama parameter laju pertumbuhan sel CD4 yang sehat, Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 43 disimbolkan sebagai , memiliki nilai 7 sel/ hari, artinya bahwa dalam penelitian ini sel CD4 yang sehat akan tumbuh sebnyak 7 sel dalam sehari, dan selanjutnya parameter-parameter yang lain mempunyai makna yang sama. Tabel 4.3 Parameter Komputasi Parameter Komputasi Waktu awal Simbol Nilai 0 Satuan hari 1000 hari Batas bawah pengontrol 0 - Batas atas pengontrol 1 - ( ) 1000 sel ( ) 0 sel ( ) 7000 virus ( ) 363 sel ( ) 57 sel ( ) 28860 sel Waktu akhir Kondisi awal populasi sel CD4 yang sehat sebelum diberi pengontrol Kondisi awal populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV sebelum diberi pengontrol Kondisi awal populasi virus HIV sebelum diberi pengontrol Kondisi awal populasi sel CD4 yang sehat setelah diberi pengontrol Kondisi awal populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV setelah diberi pengontrol Kondisi awal populasi virus HIV setelah diberi pengontrol Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 44 Sumber: Shirazian dan Farahi (2010). Proses simulasi dilakukan dengan mengamati jumlah populasi sel CD4 yang sehat, sel CD4 yang terinfeksi dan virus HIV, baik sebelum diberi obat ARV maupun setelahnya. Sebelum diberi pengontrol virus HIV dapat menyebar ke seluruh tubuh dan menyebabkan penyakit HIV. Oleh karena virus HIV tidak dapat dihilangkan seluruhnya dalam tubuh manusia, maka perlu dilakukan penghambatan replikasi virus HIV dalam tubuh dengan pemberian obat ARV. Dalam hal ini pemberian obat ARV berupa bobot dari dosis obat yang seharusnya diberikan pada manusia. Populasi sel CD4 yang sehat akan terus meningkat sejalan dengan menurunnya populasi sel CD4 yang terinfeksi dan populasi virus HIV. Semakin meningkatnya jumlah sel CD4 yang sehat, maka pemberian dosis obat ARV juga akan berkurang selaras dengan perilaku sel CD4 tersebut. Simulasi pertama dilakukan untuk kondisi dimana tidak ada pemberian kontrol (obat ARV) pada sel CD4 yang terinfeksi virus HIV sehingga dan terjadi penyebaran virus HIV dalam tubuh manusia (endemik) dengan = kemudian dilanjutkan dengan memberikan pengontrol (obat ARV) pada sel CD4 saat virus mulai menginfeksi sel CD4, sehingga didapatkan hasil sebagai berikut: Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 45 Gambar 4.2 Populasi sel CD4 yang sehat sebelum diberi pengontrol (obat ARV) Gambar 4.3 Populasi sel CD4 yang sehat setelah diberi pengontrol (obat ARV) Gambar 4.2 menunjukkan bahwa populasi sel CD4 yang sehat sebelum pemberian obat ARV dengan kondisi awal populasi ( ) menurun hingga hari ke 100 dan bergerak naik turun kemudian bergerak menuju ke titik setimbang endemik ( ) = 523,248 pada saat kurang lebih pada hari ke 800. Sedangkan pada Gambar 4.3 terlihat bahwa populasi sel CD4 yang sehat setelah diberi pengontrol (obat ARV) yang optimal pada kondisi awal ( ) Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. terjadi Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 46 peningkatan lebih cepat beberapa hari daripada tanpa pengontrol, kemudian bergerak menuju titik ( ) atau dibulatkan menjadi 987 pada saat kurang lebih 700 hari. Hal ini menunjukkan bahwa jumlah populasi sel CD4 yang sehat meningkat karena pemberian pengontrol (obat ARV). Saat hari ke-900 menuju hari ke-1000 terlihat bahwa sel CD4 yang sehat mengalami penurunan. Hal ini dikarenakan virus HIV mulai bereplikasi lebih cepat dari sebelumnya sehingga mulai menginfeksi kembali sel CD4 yang sehat, ini disebabkan pemberian dosis obat ARV yang rendah padahal seharusnya lebih besar dari pemberian saat itu. Simulasi selanjutnya yaitu kondisi dimana virus HIV masuk kedalam tubuh manusia dan menginfeksi. Berikut adalah hasil sel CD4 yang terinfeksi virus HIV sebelum dan sesudah diberi pengontrol. Gambar 4.4 Populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV sebelum diberi pengontrol (obat ARV) Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 47 Gambar 4.5 Populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV setelah diberi pengontrol (obat ARV) Pada Gambar 4.4 terlihat bahwa grafik populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV dengan kondisi awal ( ) mengalami peningkatan kemudian menurun dan bergerak konstan menuju titik setimbang ( ) atau dibulatkan menjadi 34 pada saat kurang lebih hari ke-800 dan bergerak seterusnya sehingga penyakit akan selalu ada sampai waktu tak terbatas. Oleh karena itu, penyakit bersifat endemik dan tidak akan menghilang dari populasi. Peningkatan jumlah sel CD4 yang terinfeksi virus HIV tersebut, dikarenakan menurunnya jumlah populasi sel CD4 yang sehat pada hari pertama sampai hari ke 500 mengakibatkan populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV meningkat pada selang waktu tersebut. Namun berbeda pada Gambar 4.5, terlihat bahwa populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV dengan pengontrol yang optimal pada kondisi awal ( ) terjadi penurunan secara drastis dibanding dengan sebelum diberi pengontrol pada awal pengendalian, karena pengaruh dari kontrol (obat ARV) dan Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga bergerak menuju ke titik ( ) 48 atau dibulatkan menjadi 4 pada saat kurang lebih hari ke-100. Penurunan jumlah individu yang terinfeksi ini dikarenakan pemberian obat ARV pada sel CD4 yang terinfeksi virus HIV. Namun pada saat hari ke-900 menuju hari ke-1000 sel CD4 yang terinfeksi virus mengalami peningkatan karena virus mengalami replikasi lebih cepat dari sebelumnya sehingga virus mulai menginfeksi kembali sel CD4 yang sehat, ini disebabkan pemberian dosis obat ARV yang rendah padahal seharusnya lebih besar dari pemberian saat itu. Simulasi selanjutnya yaitu kondisi dari perilaku virus HIV itu sendiri saat menginfeksi sel CD4 dalam tubuh manusia. Berikut adalah hasil simulasi untuk virus HIV sebelum dan sesudah diberikan pengontrol: Gambar 4.6 Populasi virus HIV sebelum diberi pengontrol (obat ARV) Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 49 Gambar 4.7 Populasi virus HIV setelah diberi pengontrol (Obat ARV) Gambar 4.6 menunjukkan bahwa grafik populasi yang sehat dengan kondisi awal setimbang ( ) ( ) meningkat dan bergerak naik turun menuju titik dibulatkan menjadi 15.214 pada saat kurang lebih pada hari ke 800. Hal ini sebanding dengan laju perubahan sel CD4 yang terinfeksi virus HIV, dikarenakan ketika virus meningkat sel CD4 yang terinfeksi virus juga akan meningkat dan sebaliknya. Sedangkan Gambar 4.7 menunjukkan populasi virus HIV setelah diberi pengontrol yang optimal pada kondisi awal ( ) terjadi penurunan lebih cepat daripada sebelum diberi pengontrol, kemudian bergerak konstan menuju titik ( ) dibulatkan menjadi 1.584 pada saat kurang lebih 100 hari. Hal ini dapat terjadi karena virus HIV diberi suatu pengontrol yang berupa obat ARV saat di dalam tubuh manusia. Sehingga dapat disimpulkan bahwa penyebaran virus HIV dalam tubuh manusia dapat ditekan, namun pada saat hari ke-900 menuju hari ke-1000 populasi virus meningkat sehingga virus mulai menginfeksi kembali sel CD4 yang sehat, ini Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 50 disebabkan pemberian dosis obat ARV yang rendah padahal seharusnya lebih besar dari pemberian saat itu. Simulasi terakhir adalah bentuk kontrol optimal (Obat ARV) saat diberikan kepada penderita yang terinfeksi HIV. Berikut hasil yang diperoleh: Gambar 4.8 Kondisi pengontrol (Obat ARV) Gambar 4.8 menunujukkan bahwa pengontrol yaitu persentase pemberian dosis obat yang diberikan pada sel CD4 yang terkena virus HIV pada awal periode pengendalian adalah 1 atau dapat dinyatakan 100% ini berarati bobot dari dosis obat ARV diberikan sepenuhnya, kemudian bergerak menurun lalu konstan pada saat kurang lebih 100 hari dan mulai turun kembali kurang lebih pada hari ke-900. Hal ini berarti pemberian obat ARV pada sel CD4 yang terinfeksi virus HIV semakin menunjukkan keefektifannya dalam menghambat replikasi virus HIV dalam tubuh manusia dengan selarasnya populasi virus HIV yang menurun. Namun keefektifan pemberian obat ARV hanya berlangsung hingga hari ke-900, karena pada waktu tersebut sel CD4 yang sehat mengalami penurunan dan sel CD4 yang terinfeksi virus serta virus HIV mengalami Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 51 peningkatan namun pemberian dosis obat terus menurun. Padahal dalam aplikasinya seharusnya pemberian dosis obat ARV menurun jika sel CD4 yang terinfeksi virus mengalami penurunan. Hal ini dapat terjadi karena untuk jangka waktu lebih dari 800 hari, perlu adanya tambahan obat lainnya selain ARV agar sel CD4 yang terinfeksi terus menurun. Dari seluruh hasil yang telah didapatkan, secara garis besar bentuk pengontrol (Obat ARV) pada model penyebaran virus HIV dapat menekan penyebaran virus HIV dalam tubuh manusia dalam jangka waktu kurang lebih 0 sampai dengan 900 hari sehingga dapat mengurangi populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV serta virus HIV itu sendiri, dan meningkatkan populasi sel CD4 yang sehat dalam waktu tersebut. Sehingga dapat disimpulkan bahwa pada hari ke-900 seharusnya pemberian bobot dari dosis obat tidak kurang dari 0.1 agar sel CD4 yang sehat terus meningkat. Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa keefektifan pengontrol (obat ARV) pada waktu kurang lebih 0 sampai dengan 900 hari, dapat mengurangi populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV sehingga penyebaran virus HIV dapat ditekan dan dapat memaksimumkan sel CD4 yang sehat dan meminimumkan biaya dalam pemberian obat ARV. Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga BAB V PENUTUP 5.1 KESIMPULAN Dari hasil pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa model penyebaran virus HIV dalam tubuh manusia, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut: 1. Pada kestabilitan didapatkan dua titik setimbang yaitu titik setimbang bebas penyakit = ( ) = ( ( ) dan titik setimbang endemik ). Untuk titik setimbang ( stabil asimtotis jika asimtotis jika ) sedangkan titik setimbang bersifat bersifat stabil . 2. Pada optimal kontrol didapatkan bentuk kontrol yang optimal sebagai berikut: ( ( ( ) ) ). Karena model HIV nonlinier maka untuk memperoleh solusi tersebut digunakan toolbox DOTcvp MATLAB. Hasil simulasi pada toolbox DOTcvp MATLAB menunjukkan perilaku sistem dan keefektifan pengontrol (obat ARV) pada waktu kurang lebih 0 sampai dengan 900 hari, dapat mengurangi populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV sehingga penyebaran virus HIV dapat ditekan dan dapat memaksimumkan sel CD4 yang sehat dan meminimumkan biaya dalam pemberian obat ARV. 52 Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 5.2 53 SARAN Pada penelitian ini dibahas mengenai analisis kestabilan model penyebaran virus HIV dengan menggunakan laju pertumbuhan sel CD4 yang konstan. Oleh karena itu terbuka peluang untuk pembaca melakukan penelitian selanjutnya menggunakan laju pertumbuhan sel CD4 yang tidak konstan. Selain itu juga untuk hasil yang lebih baik, dapat menggunakan kondisi free final state dan free final time atau dengan kata lain bebas menentukan waktu dan state akhirnya, karena pada skripsi ini waktu akhir telah ditentukan (fix final time) dan state akhir yang bebas (free final state), sehingga tidak dapat mengetahui pada hari ke berapa state menghasilkan nilai yang optimal. Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga DAFTAR PUSTAKA 1. Anton, H., 1987, Aljabar Linier Elementer, Erlangga, Jakarta 2. Bronson R., Costa G.B., 2007, Differential Equations, The Mc Grow-Hill Companies,Inc., New Jersey 3. Felissa R. L., Jerry D. D., 2009, The person with HIV/AIDS: nursing perspectives, Springer Publishing Company, Inggris 4. Graham, A., dan Gurghes, D.N., Introduction to Control Theory Including Optimal Control, Halsted Press, New York 5. http://kkp-balikpapan.blogspot.com/2011/05/seputar-cd4.html, 3 April 2012 6. http://www.cdc.gov/hiv/resources/qa/transmission.htm, 9 April 2012 7. Jenny P., Maylani L., Delene P., Monica J., 2006. Working with HIV/AIDS, Juta Legal and Academic Publishers, Cape Town 8. Jones, D.S., Sleeman B.D., 2003, Differential Equations and Mathematical Biology, CRC Press, New York 9. Lewis F.L., Syrmos V.L., 1995, Optimal Control, Willy Interscience, Canada 10. Merkin, D.R., 1997, Introduction to the Theory of Stability, Springer, New York 11. Naidu D.S., 2002, Optimal Control Systems, CRC Press, New York 12. Olsder, G.J., 1992, Mathematical System Theory, Delft, The Natherland 13. Schoub B. D., 1999, AIDS and HIV in Perspective: A Guide to Understanding the Virus and its Consequences. Cambridge University Press, Inggris 14. Shirazian M., Farahi M. H., 2010, Optimal Control Strategy for a Fully Determined HIV Model, vol.1, Intelligent Control and Automation, pg. 15-19 15. Sontag E.D., Thoma M., 2001, Control Theory for Linier Systems, Springer, London 16. Vandermeer, J., 1981, Elementary Mathematical Ecology, A WileyInterscience Publication, Canada 54 Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga 55 17. Wardah, F., 2012, http://www.voaindonesia.com/content/penderita-baruhivaids-di-jakarta-berjumlah-1184-orang-134637773/101326.html, 15 Maret 2012 18. Weisstein, Eric W., 1999, Eigen Decomposition, http://mathworld.wolfram.com/EigenDecomposition.html , 24 April 2012 19. Zhou, K. Doyle, J. C., dan Glover, K., 1996, Robust and Optimal Control, Prentice-Hall, New Jersey Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga Lampiran 1 Skrip M-File pada MATLAB untuk Model Penyebaran Virus HIV Tanpa Pengontrol % A MATLAB example described in detail in the technical report % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% % % DOTcvp - Dynamic Optimization Toolbox with CVP approach for % % handling continuous and mixed-integer dynamic optimization problems % % Copyright (C) 2007-2010 % % Tomas Hirmajer et al., [email protected] % % % % The DOTcvp toolbox is completely free of charge under the creative % % commons license. The conditions of the license can be found on the % % following web page: % % http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/ % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% % clear mex; clear all; close all; % --------------------------------------------------- % % Initialization: % --------------------------------------------------- % data.name = 'HIVTanpaKontrol'; data.compiler = 'None'; %['None'|'FORTRAN'] % --------------------------------------------------- % % Settings for IVP (ODEs, sensitivities): % --------------------------------------------------- % data.odes.Def_FORTRAN = {}; %this option is needed only FORTRAN parameters definition, e.g. {'double precision k10, ..'} data.odes.parameters = {}; %constant parameters before {'T=300','..} data.odes.Def_MATLAB = {}; %this option is needed only MATLAB parameters definition data.odes.res(1) = {'7-0.007*y(1)0.00000042163*y(1)*y(3)'}; Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. for k20, ODE for Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga data.odes.res(2) = {'0.00000042163*y(1)*y(3)0.0999*y(2)'}; data.odes.res(3) = {'90.67*y(2)-0.2*y(3)'}; data.odes.black_box = {'None','1','FunctionName'}; %['None'|'Full'],[penalty coefficient for all constraints],[a black box model function name] data.odes.ic = [1000 0 7000]; data.odes.NUMs = size(data.odes.res,2); %number of state variables (y) data.odes.t0 = 0.0; %initial time data.odes.tf = 1000.0; %final time data.odes.NonlinearSolver = 'Newton'; %['Newton'|'Functional'] /Newton for stiff problems; Functional for non-stiff problems data.odes.LinearSolver = 'Dense'; %direct ['Dense'|'Diag'|'Band']; iterative ['GMRES'|'BiCGStab'|'TFQMR'] /for the Newton NLS data.odes.LMM = 'Adams'; %['Adams'|'BDF'] /Adams for non-stiff problems; BDF for stiff problems data.odes.MaxNumStep = 500; %maximum number of steps data.odes.RelTol = 1*10^(-7); %IVP relative tolerance level data.odes.AbsTol = 1*10^(-7); %IVP absolute tolerance level data.sens.SensAbsTol = 1*10^(-7); %absolute tolerance for sensitivity variables data.sens.SensMethod = 'Simultaneous'; %['Staggered'|'Staggered1'|'Simultaneous'] data.sens.SensErrorControl= 'on'; %['on'|'off'] % --------------------------------------------------- % % NLP definition: % --------------------------------------------------- % data.nlp.RHO = 10; %number of time intervals data.nlp.problem = 'min'; %['min'|'max'] data.nlp.J0 = '0'; %cost function: min-max(cost function) data.nlp.u0 = [0]; %initial value for control values data.nlp.lb = [0]; %lower bounds for control values data.nlp.ub = [1]; %upper bounds for control values data.nlp.p0 = []; %initial values for timeindependent parameters data.nlp.lbp = []; %lower bounds for time-independent parameters data.nlp.ubp = []; %upper bounds for time-independent parameters data.nlp.solver = 'FMINCON'; %['FMINCON'|'IPOPT'|'SRES'|'DE'|'ACOMI'|'MISQP'|'MITS'] data.nlp.SolverSettings = 'None'; %insert the name of the file that contains settings for NLP solver, if does not exist use ['None'] data.nlp.NLPtol = 1*10^(-5); %NLP tolerance level data.nlp.GradMethod = 'SensitivityEq'; %['SensitivityEq'|'FiniteDifference'|'None'] data.nlp.MaxIter = 1000; %Maximum number of iterations data.nlp.MaxCPUTime = 60*60*0.50; %Maximum CPU time of the optimization (60*60*0.25) = 15 minutes Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga data.nlp.approximation = 'PWC'; %['PWC'|'PWL'] PWL only for: FMINCON & without the free time problem data.nlp.FreeTime = 'off'; %['on'|'off'] set 'on' if free time is considered data.nlp.t0Time = [data.odes.tf/data.nlp.RHO]; %initial size of the time intervals, e.g. [data.odes.tf/data.nlp.RHO] or for the each time interval separately [dt1 dt2 dt3] data.nlp.lbTime = 0.01; %lower bound of the time intervals data.nlp.ubTime = data.odes.tf; %upper bound of the time intervals data.nlp.NUMc = size(data.nlp.u0,2); %number of control variables (u) data.nlp.NUMi = 0; %number of integer variables (u) taken from the last control variables, if not equal to 0 you need to use some MINLP solver ['ACOMI'|'MISQP'|'MITS'] data.nlp.NUMp = size(data.nlp.p0,2); %number of timeindependent parameters (p) % --------------------------------------------------- % % Equality constraints (ECs): % --------------------------------------------------- % data.nlp.eq.status = 'off'; %['on'|'off'] ECs data.nlp.eq.NEC = 1; %number of active ECs data.nlp.eq.eq(1) = {''}; data.nlp.eq.time(1) = data.nlp.RHO; data.nlp.eq.PenaltyFun = 'off'; %['on'|'off'] ECs penalty function data.nlp.eq.PenaltyCoe = [1.0]; %J0=J0+data.nlp.eq.PenaltyCoe*ViolationOfEqualityConstraint /* only for stochastic solvers */ % --------------------------------------------------- % % Inequality /path/ constraints (INECs): % --------------------------------------------------- % data.nlp.ineq.status = 'off'; %['on'|'off'] INECs data.nlp.ineq.NEC = 2; %number of active INECs data.nlp.ineq.InNUM = 1; %how many inequality constraints are '>' else '<' data.nlp.ineq.eq(1) = {''}; data.nlp.ineq.eq(2) = {''}; data.nlp.ineq.Tol = 0.0005; %tolerance level of violation of INECs data.nlp.ineq.PenaltyFun = 'off'; %['on'|'off'] INECs penalty function data.nlp.ineq.PenaltyCoe = [1.0 1.0]; %J0=J0+data.nlp.ineq.PenaltyCoe*ViolationOfInequalityConstraint /* for every inequality constraint one parameter */ % --------------------------------------------------- % % Options for setting of the final output: % --------------------------------------------------- % data.options.intermediate = 'off'; %['on'|'off'|'silent'] display of the intermediate results data.options.display = 'on'; %['on'|'off'] display of the figures Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga data.options.title = 'on'; %['on'|'off'] display of the figure title data.options.state = 'on'; %['on'|'off'] display of the state trajectory data.options.control = 'on'; %['on'|'off'] display of the control trajectory data.options.ConvergCurve = 'on'; %['on'|'off'] display of the convergence curve data.options.Pict_Format = 'eps'; %['eps'|'wmf'|'both'] save figures as data.options.report = 'on'; %['on'|'off'] save data in the dat file data.options.commands = {''}; %additional commands, e.g. 'figure(1),.. ' data.options.trajectories = data.odes.NUMs; %how many state trajectories will be displayed data.options.profiler = 'off'; %['on'|'off'] data.options.multistart = 1; %set 1 if the multistart is off, otherwise you have to put here some integer value data.options.action = 'single-optimization'; %['singleoptimization'|'re-optimization'|'hybrid-strategy'|'simulation'] % --------------------------------------------------- % % Call of the main function (you do not change this!): % --------------------------------------------------- % [data]=dotcvp_main(data); Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga Lampiran 2 Skrip M-File pada MATLAB untuk Model Penyebaran Virus HIV Dengan Pengontrol % A MATLAB example described in detail in the technical report % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% % % DOTcvp - Dynamic Optimization Toolbox with CVP approach for % % handling continuous and mixed-integer dynamic optimization problems % % Copyright (C) 2007-2010 % % Tomas Hirmajer et al., [email protected] % % % % The DOTcvp toolbox is completely free of charge under the creative % % commons license. The conditions of the license can be found on the % % following web page: % % http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/ % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% % clear mex; clear all; close all; % --------------------------------------------------- % % Initialization: % --------------------------------------------------- % data.name = 'HIVDenganKontrol'; data.compiler = 'None'; %['None'|'FORTRAN'] % --------------------------------------------------- % % Settings for IVP (ODEs, sensitivities): % --------------------------------------------------- % data.odes.Def_FORTRAN = {}; %this option is needed only FORTRAN parameters definition, e.g. {'double precision k10, ..'} data.odes.parameters = {}; %constant parameters before {'T=300','..} data.odes.Def_MATLAB = {}; %this option is needed only MATLAB parameters definition data.odes.res(1) = {'7-0.007*y(1)0.00000042163*y(1)*y(3)+0.00000042163*y(1)*y(3)*u(1)'}; Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. for k20, ODE for Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga data.odes.res(2) = {'0.00000042163*y(1)*y(3)0.00000042163*y(1)*y(3)*u(1)-0.0999*y(2)'}; data.odes.res(3) = {'90.67*y(2)-0.2*y(3)'}; data.odes.res(4) = {'y(1)-(1/2*110*(u(1))^2)'}; data.odes.black_box = {'None','1','FunctionName'}; %['None'|'Full'],[penalty coefficient for all constraints],[a black box model function name] data.odes.ic = [363 57 28860 0]; data.odes.NUMs = size(data.odes.res,2); %number of state variables (y) data.odes.t0 = 0.0; %initial time data.odes.tf = 1000.0; %final time data.odes.NonlinearSolver = 'Newton'; %['Newton'|'Functional'] /Newton for stiff problems; Functional for non-stiff problems data.odes.LinearSolver = 'Dense'; %direct ['Dense'|'Diag'|'Band']; iterative ['GMRES'|'BiCGStab'|'TFQMR'] /for the Newton NLS data.odes.LMM = 'Adams'; %['Adams'|'BDF'] /Adams for non-stiff problems; BDF for stiff problems data.odes.MaxNumStep = 500; %maximum number of steps data.odes.RelTol = 1*10^(-7); %IVP relative tolerance level data.odes.AbsTol = 1*10^(-7); %IVP absolute tolerance level data.sens.SensAbsTol = 1*10^(-7); %absolute tolerance for sensitivity variables data.sens.SensMethod = 'Simultaneous'; %['Staggered'|'Staggered1'|'Simultaneous'] data.sens.SensErrorControl= 'on'; %['on'|'off'] % --------------------------------------------------- % % NLP definition: % --------------------------------------------------- % data.nlp.RHO = 20; %number of time intervals data.nlp.problem = 'max'; %['min'|'max'] data.nlp.J0 = 'y(4)'; %cost function: min-max(cost function) data.nlp.u0 = [0]; %initial value for control values data.nlp.lb = [0]; %lower bounds for control values data.nlp.ub = [1]; %upper bounds for control values data.nlp.p0 = []; %initial values for timeindependent parameters data.nlp.lbp = []; %lower bounds for time-independent parameters data.nlp.ubp = []; %upper bounds for time-independent parameters data.nlp.solver = 'FMINCON'; %['FMINCON'|'IPOPT'|'SRES'|'DE'|'ACOMI'|'MISQP'|'MITS'] data.nlp.SolverSettings = 'None'; %insert the name of the file that contains settings for NLP solver, if does not exist use ['None'] data.nlp.NLPtol = 1*10^(-5); %NLP tolerance level data.nlp.GradMethod = 'SensitivityEq'; %['SensitivityEq'|'FiniteDifference'|'None'] data.nlp.MaxIter = 1000; %Maximum number of iterations Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga data.nlp.MaxCPUTime = 60*60*0.50; %Maximum CPU time of the optimization (60*60*0.25) = 15 minutes data.nlp.approximation = 'PWC'; %['PWC'|'PWL'] PWL only for: FMINCON & without the free time problem data.nlp.FreeTime = 'off'; %['on'|'off'] set 'on' if free time is considered data.nlp.t0Time = [data.odes.tf/data.nlp.RHO]; %initial size of the time intervals, e.g. [data.odes.tf/data.nlp.RHO] or for the each time interval separately [dt1 dt2 dt3] data.nlp.lbTime = 0.01; %lower bound of the time intervals data.nlp.ubTime = data.odes.tf; %upper bound of the time intervals data.nlp.NUMc = size(data.nlp.u0,2); %number of control variables (u) data.nlp.NUMi = 0; %number of integer variables (u) taken from the last control variables, if not equal to 0 you need to use some MINLP solver ['ACOMI'|'MISQP'|'MITS'] data.nlp.NUMp = size(data.nlp.p0,2); %number of timeindependent parameters (p) % --------------------------------------------------- % % Equality constraints (ECs): % --------------------------------------------------- % data.nlp.eq.status = 'off'; %['on'|'off'] ECs data.nlp.eq.NEC = 1; %number of active ECs data.nlp.eq.eq(1) = {''}; data.nlp.eq.time(1) = data.nlp.RHO; data.nlp.eq.PenaltyFun = 'off'; %['on'|'off'] ECs penalty function data.nlp.eq.PenaltyCoe = [1.0]; %J0=J0+data.nlp.eq.PenaltyCoe*ViolationOfEqualityConstraint /* only for stochastic solvers */ % --------------------------------------------------- % % Inequality /path/ constraints (INECs): % --------------------------------------------------- % data.nlp.ineq.status = 'off'; %['on'|'off'] INECs data.nlp.ineq.NEC = 2; %number of active INECs data.nlp.ineq.InNUM = 1; %how many inequality constraints are '>' else '<' data.nlp.ineq.eq(1) = {''}; data.nlp.ineq.eq(2) = {''}; data.nlp.ineq.Tol = 0.0005; %tolerance level of violation of INECs data.nlp.ineq.PenaltyFun = 'off'; %['on'|'off'] INECs penalty function data.nlp.ineq.PenaltyCoe = [1.0 1.0]; %J0=J0+data.nlp.ineq.PenaltyCoe*ViolationOfInequalityConstraint /* for every inequality constraint one parameter */ % --------------------------------------------------- % % Options for setting of the final output: % --------------------------------------------------- % data.options.intermediate = 'off'; %['on'|'off'|'silent'] display of the intermediate results Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga data.options.display = 'on'; %['on'|'off'] display of the figures data.options.title = 'on'; %['on'|'off'] display of the figure title data.options.state = 'on'; %['on'|'off'] display of the state trajectory data.options.control = 'on'; %['on'|'off'] display of the control trajectory data.options.ConvergCurve = 'on'; %['on'|'off'] display of the convergence curve data.options.Pict_Format = 'eps'; %['eps'|'wmf'|'both'] save figures as data.options.report = 'on'; %['on'|'off'] save data in the dat file data.options.commands = {''}; %additional commands, e.g. 'figure(1),.. ' data.options.trajectories = data.odes.NUMs-1; %how many state trajectories will be displayed data.options.profiler = 'off'; %['on'|'off'] data.options.multistart = 1; %set 1 if the multistart is off, otherwise you have to put here some integer value data.options.action = 're-optimization'; %['singleoptimization'|'re-optimization'|'hybrid-strategy'|'simulation'] % --------------------------------------------------- % % Call of the main function (you do not change this!): % --------------------------------------------------- % [data]=dotcvp_main(data); Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga Lampiran 3 Output pada Command Window MATLAB untuk Model Penyebaran Virus HIV Tanpa Pengontrol ________________________________________________________ DOTcvp: Dynamic Optimization Toolbox with CVP approach for handling continuous and mixed-integer DO problems Main author: Tomas Hirmajer, [email protected] Coauthors: Eva Balsa-Canto and Julio R. Banga Web pages: http://www.iim.csic.es/~dotcvp/ http://www.iim.csic.es/~dotcvpsb/ Core version: DOTcvp_R2010_E3 ________________________________________________________ ________________________________________________________ DOTcvp - a Module for Single Optimization ________________________________________________________ !!! Warning: gnumex or mingw not find -> FORTRAN option is switched off !!! Saving of the ODE ................................................. done! Generation of the file: cvm_rhs.m (ODE - MATLAB) .................. done! Saving of the parameters .......................................... done! Generation of the file: cvm_d/bjac.m (Jacobian - MATLAB) .......... done! Saving of the cost function (J0) .................................. done! Generation of the gradients (J0) .................................. done! Generation of the file: cvm_rhsS.m (sensitivities - MATLAB) ....... done! Generation of the file: temp_cvfdx.m (main IVP file) .............. done! Optimizing of the process (N=10; min(J0); FMINCON; HIVTanpaKontrol) ... in progress Default settings are loading ...................................... done! Generation of the file: cvm_rhs.m (ODE - MATLAB) .................. done! Generation of the file: temp_cvfdx.m (main IVP file) .............. done! Simulation of the process ......................................... done! Save of the data .................................................. done! Deleting of the temporary files ................................... done! ____________________________ Final results [single-optimization]: ............. Problem name: HIVTanpaKontrol ...... NLP or MINLP solver: FMINCON Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga . Number of time intervals: 10 ... IVP relative tolerance: 1.000000e-007 ... IVP absolute tolerance: 1.000000e-007 . Sens. absolute tolerance: 1.000000e-007 ............ NLP tolerance: 1.000000e-005 ....... Final state values: 5.232428e+002 3.357243e+001 1.521358e+004 ...... 1th optimal control: 0.000000e+000 0.000000e+000 0.000000e+000 0.000000e+000 0.000000e+000 0.000000e+000 0.000000e+000 0.000000e+000 0.000000e+000 0.000000e+000 ____________________________ ............ Final CPUtime: 3.58802300 seconds . Cost function [min(J_0)]: 0.00000000 The detailed information is saved to the workspace structure with the name 'data'. Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga Lampiran 4 Output pada Command Window MATLAB untuk Model Penyebaran Virus HIV Dengan Pengontrol ________________________________________________________ DOTcvp: Dynamic Optimization Toolbox with CVP approach for handling continuous and mixed-integer DO problems Main author: Tomas Hirmajer, [email protected] Coauthors: Eva Balsa-Canto and Julio R. Banga Web pages: http://www.iim.csic.es/~dotcvp/ http://www.iim.csic.es/~dotcvpsb/ Core version: DOTcvp_R2010_E3 ________________________________________________________ ________________________________________________________ DOTcvp - a Module for Single Optimization ________________________________________________________ !!! Warning: gnumex or mingw not find -> FORTRAN option is switched off !!! Saving of the ODE ................................................. done! Generation of the file: cvm_rhs.m (ODE - MATLAB) .................. done! Saving of the parameters .......................................... done! Generation of the file: cvm_d/bjac.m (Jacobian - MATLAB) .......... done! Saving of the cost function (J0) .................................. done! Generation of the gradients (J0) .................................. done! Generation of the file: cvm_rhsS.m (sensitivities - MATLAB) ....... done! Generation of the file: temp_cvfdx.m (main IVP file) .............. done! Optimizing of the process (N=20; max(J0); FMINCON; HIVDenganKontrol) ... in progress Default settings are loading ...................................... done! Generation of the file: cvm_rhs.m (ODE - MATLAB) .................. done! Generation of the file: temp_cvfdx.m (main IVP file) .............. done! Simulation of the process ......................................... done! Save of the data .................................................. done! Deleting of the temporary files ................................... done! ____________________________ Final results [single-optimization]: ............. Problem name: HIVDenganKontrol ...... NLP or MINLP solver: FMINCON . Number of time intervals: 20 Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga ... IVP relative tolerance: 1.000000e-007 ... IVP absolute tolerance: 1.000000e-007 . Sens. absolute tolerance: 1.000000e-007 ............ NLP tolerance: 1.000000e-005 ....... Final state values: 9.870580e+002 4.049094e+000 1.527869e+003 8.961011e+005 ...... 1th optimal control: 9.999909e-001 5.349776e-001 4.665382e-001 4.668006e-001 4.704759e-001 4.709377e-001 4.706718e-001 4.699118e-001 4.683051e-001 4.654527e-001 4.608519e-001 4.525102e-001 4.416731e-001 4.297100e-001 4.167878e-001 3.997642e-001 3.731624e-001 3.310193e-001 2.589508e-001 1.083172e-001 ____________________________ ............ Final CPUtime: 154.70619170 seconds . Cost function [max(J_0)]: 896101.13263563 The detailed information is saved to the workspace structure with the name 'data'. Skripsi Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Sukokarlinda, Wheni