PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINIER
DENGAN METODE DEKOMPOSISI SUMUDU
1
Dyah Setianingrum, 2Tjang Daniel Chandra
Program Studi Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang
Abstrak : Persamaan diferensial parsial merupakan persamaan diferensial yang
memuat lebih dari satu turunan parsial. Terdapat persamaan diferensial parsial
linier dan nonlinier. Persamaan diferensial parsial nonlinier cenderung lebih sulit
diselesaikan. Salah satu metode yang digunakan untuk menentukan solusinya
adalah metode dekomposisi Sumudu. Metode ini merupakan gabungan antara
metode dekomposisi Adomian dengan transformasi Sumudu (Kumar, 2012).
Transformasi Sumudu didefinisikan
. Sedangkan
solusi umum metode dekomposisi Adomian dinyatakan
dengan suku nonliniernya didefinisikan
dengan
polinomial Adomian.
yang
merupakan
Kata Kunci : persamaan diferensial parsial, persamaan diferensial parsial
nonlinier, transfomasi Sumudu, dekomposisi Adomian.
Abstract : Partial differential equations defined as differential equations which
contain more than one partial differentiation. There are linear and nonlinear
partial differential equations. Nonlinear partial differential equations are more
difficult to be solved. A method that can be used to solve it, is Sumudu
decomposition method. This method is combination of Adomian decomposition
method and Sumudu transform (Kumar, 2012). Sumudu transform defined as
.
The general solution of Adomian decomposition method is stated as
with nonlinear term defined as
with
is polynomial Adomian.
Keywords : partial differential equations, nonlinear partial differential
equations, Sumudu transform, Adomian decomposition.
Dalam kehidupan sehari-hari banyak ditemui permasalahan yang
berhubungan dengan matematika, misalnya dalam bidang sains dan teknik.
Permasalahan-permasalahan ini biasanya berhubungan dengan persamaan
diferensial, khususnya persamaan diferensial parsial baik persamaan diferensial
parsial linier maupun nonlinier. Dalam bidang sains misalnya, persamaan
diferensial parsial memegang peranan penting di dalam penggambaran keadaan
fisis, dimana besaran-besaran yang terlibat di dalamnya berubah terhadap ruang
dan waktu (Farlow: 1982, 1). Karena adanya permasalahan-permasalahan ini,
maka dibutuhkan metode-metode yang dapat menyelesaikan persamaan
diferensial parsial ini. Namun, yang sering dijumpai adalah metode-metode yang
digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial linier. Padahal
permasalahan-permasalahan ini tidak hanya terbatas pada persamaan diferensial
parsial linier. Oleh karena itu, digunakan metode dekomposisi Sumudu untuk
menyelesaikan permasalahan persamaan diferensial parsial nonlinier ini. Metode
dekomposisi Sumudu merupakan gabungan antara metode dekomposisi Adomian
1
Mahasiswa Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang
Dosen Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang
2
dengan transformasi Sumudu (Kumar, 2012). Transformasi Sumudu identik
dengan transformasi Laplace, karena sifat-sifatnya hampir sama. Sedangkan pada
dekomposisi Adomian lebih menekankan pada solusi nonlinier.
KAJIAN TEORI
Transformasi Sumudu didefinisikan berdasarkan himpunan dari fungsi
,
, jika
dengan rumus
(Tchuenche, 2007).
Transformasi Sumudu ada jika
konvergen ke
nilai batasnya. Transformasi Sumudu identik dengan transformasi Laplace, karena
sifat-sifat yang dimiliki transformasi Sumudu identik dengan transformasi Laplace
(Yesiloglu, 2009). Transformasi Laplace
dapat diubah menjadi transformasi
Sumudu
dengan hubungan
dan inversnya
Teorema 1
Misalkan
dari turunan ke ,
di
dan misalkan
menyatakan transformasi Sumudu
dari
, maka untuk
,
.
Bukti:
1. Akan ditunjukkan benar untuk
Dari Definisi/ persamaan (1) diketahui bahwa
, sehingga
Jadi, terbukti benar untuk
2.
Asumsikan benar untuk
.
, yaitu
ditunjukkan benar untuk
Misalkan
akan
, maka
, maka
sehingga
2
Darri definisi dan Teorema 1, maka transformasi Sumudu untuk turunan parsial
(orde 1 dan orde 2) terhadap adalah
Secara umum pada metode dekomposisi Adomian solusinya didefinisikan
sebagai barisan tak hingga
Untuk dekomposisi operator nonlinier
dengan
didefinisikan sebagai
merupakan polinomial Adomian
(Javidi, 2007).
Pada metode dekomposisi Adomian bentuk umum persamaan diferensial
parsial dinyatakan sebagai
merupakan turunan terhadap dengan orde tertingginya adalah 2 dan
merupakan turunan terhadap dengan orde tertingginya juga 2. Karena
mempunyai invers, maka
Untuk masalah nilai awal didefinisikan jika
, maka
merupakan
integral tentu rangkap-n dari 0 sampai t. Sehingga untuk operator
Dengan asumsi
, diperoleh
3
,
PEMBAHASAN
Persamaan umum persamaan diferensial parsial yang akan digunakan
dengan kondisi nilai awal
,
.
Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan (11) dengan metode
dekomposisi Sumudu diuraikan sebagai berikut
Langkah 1 Menerapkan transformasi Sumudu pada persamaan (11)
Karena
maka
merupakan turunan
terhadap dengan orde tertingginya adalah ,
Langkah 2 Menerapkan invers transformasi Sumudu pada persamaan (12)
berdasarkan sifat invers, diperoleh
Langkah 3 Mengasumsikan
hingga, diperoleh
pada persamaan (13) sebagai solusi tak
Langkah 4 Mencari polinomial Adomian
Langkah 5 Mencari relasi rekursi
Asumsikan
sehingga persamaan (14) menjadi
yang merupakan suku nonlinier,
pada persamaan (14) sebagai
Dengan membandingkan ruas kiri dan kanan pada persamaan (15), maka secara
berturut-turut diperoleh
Contoh 1. Persamaan diferensial parsial nonlinier orde satu
Diketahui persamaan diferensial parsial
dengan nilai awal
(Kumar, 2012).
4
,
Dari persamaan diketahui bahwa
.
Langkah 1 Menerapkan transformasi Sumudu pada persamaan diferensial parsial,
diperoleh
Langkah 2 Menerapkan invers transformasi Sumudu pada persamaan hasil
transformasi pada langkah 1, berdasarkan sifat invers diperpleh
Langkah 3 Mengasumsikan
sebagai solusi tak hingga, diperoleh
Langkah 4 Mencari polinomial Adomian,
dengan
, diperoleh
Langkah 5 Mencari relasi rekursi
Jadi,
Contoh 2. Persamaan Diferensial Parsial Nonlinier Orde Dua
Diketahui persamaan diferensial parsial nonlinier orde dua
dengan nilai awal
dan
(Kumar, 2012).
Dari persamaan tersebut diketahui bahwa
.
Langkah 1 Menerapkan transformasi Sumudu pada persamaan diferensial parsial,
diperoleh
5
Langkah 2 Menerapkan invers transformasi Sumudu pada persamaan hasil
transformasi pada langkah 1, berdasarkan sifat invers diperoleh
Langkah 3 Mengasumsikan
sebagai solusi tak hingga, diperoleh
Langkah 4 Mencari polinomial Adomian,
diperoleh
Langkah 5 Mencari relasi rekursif
dengan
,
, diperoleh
Jadi,
Contoh 3. Sistem Persamaan Diferensial Parsial Nonlinier
Pada aplikasi sistem persamaan diferensial parsial nonlinier ini, akan
digunakan sistem persamaan Burgers dimensi satu, yaitu
dengan kondisi nilai awal
,
Dari sistem persamaan diferensial parsial diketahui
(Hemeda, 2012).
Langkah 1 Menerapkan transformasi Sumudu pada sistem persamaan diferensial
parsial, diperoleh
6
Langkah 2 Menerapkan invers transformasi Sumudu pada sistem persamaan hasil
transformasi pada langkah 1, diperoleh
Langkah 3 Mengasumsikan
dan
sebagai solusi tak hingga
Langkah 4 Mencari polinomial Adomian
Langkah 5 Mencari relasi rekursi
dan
7
dan
Jadi,
KESIMPULAN
a. Langkah-langkah umum untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial
dengan menggunakan metode dekomposisi Sumudu
1. Menerapkan transformasi Sumudu pada persamaan diferensial parsial
yang diketahui.
2. Menerapkan invers transformasi Sumudu pada persamaan hasil
transformasi pada langkah 1.
3. Menyatakan solusi sebagai barisan tak hingga
.
4. Mendekomposisikan suku nonlinier sebagai
.
5. Mencari relasi rekursi .
b. Langkah-langkah umum dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial
parsial nonlinier sama dengan langkah-langkah umum yang digunakan untuk
menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan menggunakan metode
dekomposisi Sumudu, hanya pada sistem terdapat dua operator linier dan
dua suku nonlinier
(seperti pada contoh 3).
SARAN
Sebaiknya dalam perkuliahan persamaan diferensial parsial diberikan
materi lebih lanjut mengenai persamaan diferensial parsial nonlinier dan sistem
persamaan diferensial parsial, agar mahasiswa memahami tentang persamaan
diferensial lebih baik dan mengerti aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari.
Selain itu, agar mahasiswa lebih mengerti perbedaan antara (sistem) persamaan
diferensial parsial linier dan nonlinier beserta metode-metode yang digunakan
untuk menyelesaikannya.
DAFTAR RUJUKAN
Farlow, Stanley J. 1982. Partial Differential Equations for Scientists and
Engineers. New York: Dover Publications, Inc.
Hemeda, A. A. 2012. Homotopy Perturbation Method for Solving Systems of
Nonlinear Coupled Equations. Applied Mathematical Sciences, 6(96):
4790, (Online), dalam HIKARI Ltd (http://www.m-hikari.com/ams/ams8
2012/ams-93-96-2012/hemedaAMS93-96-2012.pdf), diakses tanggal 4
September 2012.
Javidi, M. dan Golbabai A. 2007. Adomian Decomposition Method for
Approximating the Solution of the Parabolic Equations. Applied
Mathematical Sciences, 1(5): 220-221, (Online), dalam HIKARI Ltd
(http://www.m-hikari.com/ams/ams-password-2007/ams-password5-82007/javidiAMS5-8-2007-2.pdf), diakses tanggal 23 Januari 2013.
Kumar, Devendra, dkk. 2012. Sumudu Decomposition Method for Nonlinear
Equations. International Mathematical Forum, 7(11): 516-520, (Online),
dalam HIKARI Ltd (http://www.m-hikari.com/imf/imf-2012/9-122012/kumardIMF9-12-2012.pdf), diakses tanggal 5 September 2012.
Tchuenche, Jean M dan Mbare, Nyimvua S. 2007. An Application of The Double
Sumudu Transform. Applied Mathematical Sciences, 1(1): 32-33,
(Online), dalam HIKARI Ltd (http://www.mhikari.com/ams/ams2007/ams5-6-2007/tchuenchejAMS5-6-2007.pdf),
diakses tanggal 21 Januari 2013.
Yesiloglu, Murat. 2009. Definition of the Sumudu Transform for Function of One
Variable, (Online),
(http://mcs.cankaya.edu.tr/proje/2009/guz/murat_yesiloglu/sunum.pdf),
diakses tanggal 6 September 2012.
9