BEKERJA DENGAN BILANGAN

BEKERJA DENGAN BILANGAN
Kita semua bekerja dengan bilangan setiap hari,
seringkali tanpa tahu tentang hal itu. Professor
Brian Butterworth, dalam bukunya Mathematical
Brain, memperkirakan bahwa dia memproses
kira-kira 1000 angka perjam – berarti dalam
setahun dia telah memproses kira-kira 6 juta
angka – tanpa melakukan sesuatu yang spesial.
Butterworth tidak spesial, tetapi dia adalah
seorang ahli matematika.
Angka-angka yang diprosesnya ditemukan
dalam kehidupan kita sehari-hari – 51
angka pada halaman pertama dari sebuah
surat kabar (Harga, tanggal, dan jumlah);
angka pada radio (stasiun radio, frekuensi,
berita, parade lagu); hasil olahraga; waktu;
label pada makanan; petunjuk memasak;
uang; alamat; kode bar; halaman buku;
dan masih banyak lagi contoh yang lain.
Bilangan-bilangan ini berbeda : ada bilangan
bulat, ada pecahan, desimal, urutan,
secara acak. Bagian ini sederhana – kita
bergantung pada bilangan setiap hari, dan
kita harus mengetahui Sistem bilangan
dan bagaimana untuk menggunkakannya.
SISTEM BILANGAN
Macam-macam bilangan dapat dilihat pada
tabel di bawah ini :
Bilangan Asli
1, 2, 3, 4, 5, …
Bilangan Bulat
0, 1, 2, 3, 4, 5, …
Bilangan Bulat
• Bilangan Bulat positif
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
1, 2, 3, 4, ...(Tdk menggunakan tanda +)
-1, -2, -3, -4 …
• Bilangan Bulat negatif
Bilangan genap
Bilangan Ganjil
2, 4, 6, … (dapat dibagi 2)
1, 3, 5, … (Tdk dpt dibagi 2)
Bilangan Prima-Bilangan asli yang dapat dibagi dengan
angka satu dan dirinya sendiri. Bilangan ini hanya
memiliki 2 faktor.
2, 3, 5, 7, 11, 13, …
1 Bukan bilangan prima karena hanya memiliki satu
faktor.
2 merupakan satu-satunya bilangan prima genap.
Bilangan prima terbesar yang diketahui memiliki
ribuan digit.
Bilangan berpangkat - bilangan asli yang dikalikan
dengan dirinya sendiri.
1, 4, 9, 16, 25, 36, …
Pecahan – merupakan bagian dari bilangan bulat, juga
disebut sebagai bilangan Rasional.
½, ¼, 2 ½ (Vulgar atau pecahan biasa; bilangan
yang berada di atas garis disebut pembilang dan
yang di bawah garis disebut penyebut)
0.5, 0.4, 0.335 (pecahan desimal)
Persen (%) adalah pecahan dari 100
Bilangan tersebut masuk ke dalam golongan
bilangan Real terbesar (R). Diagram di
bawah ini memperlihatkan penggolongan
dari bilangan tersebut
REAL NUMBER
IRRATIONAL
RATIONAL
FRACTIONS
INTEGERS
NEGATIVE
NUMBERS
NATURAL NUMBERS
ZERO
EVEN
ODD
SIMBOL MATEMATIKA
+ Plus atau
positif
- Kurang
atau negatif
X Perkalian
= Sama
dengan
 Tidak
sama
dengan
 Mendekati
sama
dengan
Pembagian : adalah
< Kurang
dari
> Lebih dari
 Kurang
dari atau
sama
dengan
 Lebih dari
atau sama
dengan
 Maka
Tak
terhingga
x
Sejajar
Akar
kuadrat
LATIHAN
1.Manakah yang merupakan Bilangan asli?
3, -2, 0, 1, 15, 4, 5
2.Manakah yang merupakan Bilangan bulat?
-7, 10, 32, -32, 0
3.Manakah yang merupakan Bilangan prima?
21, 23, 25, 27, 29, 31
4.Tuliskan 2 Bilangan prima selanjutnya dari:
a)30
b)80
5.Apakah semua bilangan prima ganjil?
6.Apakah semua Bilangan ganjil adalah Bilangan prima?
7.Jika kalian menambahkan 2 bil.ganjil, Bilangan apakah
yang akan kalian dapatkan?
8.Bilangan apakah yang akan kalian dapatkan jika
menambahkan satu bil.ganjil dan satu bil.genap?
9.Tuliskan :
a) 4 Bilangan berpangkat yang lebih besar
dari 25.
b) 4 Bilangan rasional yang lebih kecil dari
½.
c) yang termasuk Bilangan bulat negatif
antara -7 dan 0.
d) Bilangan desimal yang sama dari ½,
75%, dan 1 ½.
MENGGUNAKAN KALKULATOR
Tabel di bawah ini menunjukkan beberapa
fungsi daari beberapa kalkulator. Walaupun
demikian, semua kalkulator berbeda dan
kalian harus membaca petunjuk manualnya
dan mengetahui bagaimana menggunakan
kalkulator yang kalian miliki.
KEY
FUNCTION
KEY
FUNCTION
INV or 2ndF
Untuk mengakses
beberapa fungsi
EXP or EE
Merupakan bentuk
tombol standar
C
Membatalkan angka
terakhir yg dimasukkan
a b/c
Tombol pecahan, utk
memasukkan 2/3,
tekan a b/c 3
Membatalkan semua
data yg dimasukkan
Min or STO
Menyimpan angka yng
ditampilkan ke dalam
memori
X2
Menghitung kuadrat
dari sebuah bilangan
MR or RCL
Menampilkan ulang
data dari memori
x3
Menghitung kubik dari
sebuah bilangan
M+
Menambah nilai
tampilan ke dalam
memori
AC
KEY
FUNCTION KEY
FUNCTION
Menghitung akar
kuadrat dari sebuah
bilangan
Mengurangi nilai
tampilan dari
memori
Menghitung akar
kubik dari sebuah
bilangan
3
Membalikkan
tanda(mengubah
positif ke negatif
atau sebaliknya
+/-
Xy
M-
Mode
DRG
Sin
Cos
tan
Memberi Mode
untuk menghitung
(Pengganti manual)
Ubahlah satuan
menjadi derajat,
radian, pastikan
kalkulator diset
normal dalam
derajat.
Menghitung nilai
Sin, Kosinus,
Tangen
(Trigonometri)
LATIHAN
Gunakan kalkulator untuk menghitung :
1. 52
2. 2.6
3
3.4
-
1
5
ATURAN MENGHITUNG
Matematika memiliki aturan-aturan yang
telah dikembangkan yang membantu kita
saat kita bingung mengerjakan matematika
dengan operasi penggabungan. Aturan ini
memberitahukan tentang pengerjaan
operasi secara berurutan – dengan kata
lain, apa yang pertama harus kita kerjakan
ketika menemui soal seperti ini :3 x 4 + 14.
Ada satu cara untuk mengerjakan susunan
secara berurutan yang dikenal dengan
istilah BODMAS. Ini adalah sistem
penghitungan yang berarti :
B – Brackets (pengurungan). Mengerjakan terlebih dahulu yang
terdapat di dalam kurung. Apabila terdapat lebih dari satu kurung,
kerjakan dari bagian luar ke bagian dalam.
O – Of. Mengubah “of” menjadi “x” dan mengerjakannya.
D – Divide (pembagian)
M – Multiply (perkalian). Saat terdapat tanda “x” dan  dalam sebuah
perhitungan, kerjakan yang mana saja.
A – Add
S – Substract. Saat terdapat tanda “+” dan “-” dalam sebuah
perhitungan, kerjakan yang mana saja.
Banyak kalkulator modern diprogram untuk
menggunakan aturan BODMAS
CONTOH
B 1. 3x4+142
O
=3x4+7
D
=12+7
M
=19
A
S
()
(x)
(+)
2.18-14(3+4)+2x3
=18-147+2x3
=18-2+6
=22
(Brackets)
( dan x)
(- dan +)
LATIHAN
Tentukan nilai dari :
1.(16 – 10)  2
2. 16 – 10  2
3. (4 + 3) X 2
4. 4 + 3 X 2
5. (14 – 5)  (20 – 2)
6. 30 + 132  11
7. 5 X 5 + 6  2
8. 2 + 5  3 X 6
Berikan tanda agar pernyataan di bawah ini
benar :
9. 5 3
10. -5
-3
1
5
11. 5.7
12. 2 2
2.5
7
13. 4 = 16
15. 3.14
17. 3.333
14.
22
7
1
3
16. -7
1
3
18. -2
0.333
1
2
-4
FAKTOR
Faktor adalah bilangan yang apabila dibagi
akan habis terbagi dari bilangan itu sendiri.
Pikirkan angka 12. faktor prima dari 12 adalah :
1, 2, 3, 4, 6, dan 12. itu berarti 12 akan habis
terbagi oleh 1, 2, 3, 4, 6,dan 12.
Dari faktor di atas, 2 dan 3 disebut faktor prima,
karena kedua angka tersebut juga adalah
bilangan prima.
FAKTOR PRIMA
Faktor prima dari sebuah bilangan adalah faktor
yang terdiri dari bilangan prima. Kalian dapat
menuliskan setiap bilangan sebagai hasil dari 2
atau lebih bilangan. Sebagai contoh, 12 = 4 X 3.
perhatikan 4 bukan bilangan prima. Kalian dapat
menghilangkan angka 4. jadi sekarang kalian
mempunyai 12 = 2 X 2 X 3. selama 2 dan 3 adalah
bilangan prima, kalian dapat menulis 12 sebagai
hasil dari bilangan prima.
Menulis hasil dari faktor prima
Untuk menuliskan hasil dari faktor primanya,
pertama cobalah membagi sebuah bilangan
dengan bilangan prima pertama, 2. lanjutkan
sampai 2 tidak bisa lagi digunakan sbg
pembagi. Lalu coba bilangan prima
selanjutnya, yaitu 3, kemudian 5, dan
seterusnya, sampai jawaban terakhirnya
adalah 1.
CONTOH
1. Tuliskan faktor prima dari 60
bagi 60 dengan 2 seperti yang terlihat
Sekali lagi bagi dengan 2
sekarang, kalian dapat membagi 15 dgn 3
Terakhir, bagi dengan 5
Jadi, 60 =2 X 2 X 3 X 5
2 60
2 30
3 15
5 5
1
2. Tuliskan faktor prima dari 1617
1617 tidak bisa dibagi habis dengan 2,tetapi dapat dibagi
habis dengan bilangan prima berikutnya, misalnya 3.
539 tidak bisa dibagi habis dengan 3
atau 5 tetapi dapat dibagi habis dengan 7
Bagi sekali lagi dengan 7
Terakhir bagi dengan 11
Jadi, 1617 = 3 X 7 X 7 X 11
3 1617
7 539
7 77
11 11
1
PERKALIAN
Perkalian dari sebuah bilangan adalah hasil
bilangan tersebut dan bilangan bulat.
Perkalian dari 3 adalah 3, 6, 9, 12, …
bagaimana cara menemukannya ?
3 X 1 = 3, 3 X 2 = 6, 3 X 3 = 9, …
Jadi 6 adalah perkalian dari 3 karena 6 = 3
X 2. juga, 3 adalah faktor dari 6 karena 6 
3 = 2.
KELIPATAN PERSEKUTUAN
TERKECIL
KPK dari dua atau lebih bilangan adalah
bilangan terkecil yang dikalikan dari setiap
bilangan tersebut. 12 adalah hasil kali dari
3 dan 4. itu juga bilangan terkecil yang
keduanya 3 dan 4 akan membagi 12. jadi
12 adalah KPK dari 3 dan 4.
Ada dua cara dalam menentukan KPK dari
sebuah bilangan. Cara pertama adalah
mencatat perkalian dari setiap bilangan
dan mengambil bilangan terkecil yang
ditunjukkan pada setiap daftar. Berarti
bilangan persekutuan terkecil didapatkan
dari daftar tersebut.
Cara kedua ialah menunjukkan faktor prima
dari setiap bilangan, kemudian mencari
bilangan terkecil yang termasuk dari setiap
hasil tersebut.
Beberapa contoh akan membuat kalian
mengerti.
Cari KPK dari 12 dan 15
Cara I: Perkalian dari 12 adalah 12, 24, 36, 48, 60, 72, …
Perkalian dari 15 adalah 15, 30, 45, 60, 75, 90, …
Bilangan terkecil yang ditunjukkan dari kedua daftar di atas
adalah 60.
Jadi, KPK dari 12 dan 15 adalah 60.
Cara II: Tunjukkan bilangan prima dari setiap bilangan :
12 = 2 X 2 X 3
15 = 3 X 5
Bilangan terkecil dari 12 dan 15 adalah 2 X 2 X 3 X 5.
Jadi KPK dari 1 dan 15 adalah 60
Beberapa bilangan yang merupakan
perkalian dari 12 harus memiliki sedikitnya
dua angka 2 dan satu angka 3 pada
bentuk faktor primanya.
Beberapa bilangan yang merupakan
perkalian dari 15 harus memiliki sedikitnya
satu angka 3 dan satu angka 5 pada
bentuk faktor primanya.
Jadi secara umum perkalian dari 12 dan 15
harus memiliki sedikitnya dua angka 2,
satu angka 3 dan satu angka 5 pada
bentuk faktor primanya.
LATIHAN
1.
Tuliskan faktor prima dari bilangan berikut:
a)18
b)16
c) 64
d) 81
e)100
f) 36
g) 21
h)11
i) 45
j)108
2. Tentukan KPK dari bilangan berikut :
a) 9 dan 12
b) 12 dan 18
c)15 dan 24
d) 24 dan 36 e) 3 dan 5
3. a) 4, 14 dan 21 b)4, 9 dan 18
c)12, 16 dan 24
d) 6, 10 dan 15
POLA DAN DERET
Lihat pola bilangan di bawah ini
1, 2, 3, 4, 5, …
5, 10, 15, 20, 25, …
Berapa tiga bilangan berikutnya dari setiap
pola ?
6, 7, 8, adalah tiga bilangan berikutnya
pada pola pertama dan 30, 35, 40, adalah
tiga bilangan berikutnya pada pola kedua.
Ada istilah khusus untuk setiap pola dari
sebuah bilangan. Pola itu disebut sebagai
Deret. Setiap bilangan dari setiap deret
disebut pola deret. Setiap deret pada
kelompok bilangan memiliki dua bagian
penting. Bilangan disusun secara
berurutan dan ada aturan yang
memampukan kita untuk melanjutkan
deret tersebut. Pola pertama dari sebuah
deret diberikan dan kalian bisa
menyelesaikan deret dengan
menggunakan aturan tersebut.
CONTOH
Tuliskan dua pola berikutnya dari setiap
bilangan di bawah ini :
1. 2, 6, 10, 14, 18, …
2. 2, 6, 18, 54, 162, …
3. 27, 22, 17, 12, 7, …
4. 2, 3, 5, 8, 12, 17, …
1. Pada deret, setiap pola adalah ditambah
4 dari pola sebelumnya.
2. Pada deret, setiap pola dikali 3 dari pola
sebelumnya.
3. Pada deret, setiap pola dikurangi 5 dari
pola sebelumnya.
4. Ditingkatkan dari satu pola ke yang
berikutnya adalah 1, 2, 3, 4, 5. dua
tingkatan berikutnya adalah 6 dan 7, jadi
dua pola berikutnya adalah 23 (17 + 6)
dan 30 (23 + 7).
Latihan
1.
Tuliskan 2 bilangan selanjutnya dari kumpulan bilangan
dibawah ini.
a)
b)
c)
d)
e)
2.
2, 4, 6, 8, …
3, 6, 9, 12, …
2, 3, 5, 7, 11, 13, …
9, 6, 3, 0, -3, …
3, 4, 6, 9, 13, …
Temukan 2 bilangan kuadrat, masing-masing lebih kecil
dari 100, yang juga bilangan pangkat tiga (kubik).
Himpunan
Himpunan adalah kumpulan objek yang dapat
didefinisikan yang biasanya memiliki hubungan satu
dengan yang lainnya.
Himpunan dapat dideskripsikan dalam kata-kata.
Contoh :
• Himpunan A adalah sebuah himpunan samudrasamudra di dunia
• Himpunan B mengandung bilangan asli lebih kecil dari /
sama dengan 10.
Himpunan juga dapat ditulis diantara 2 kurung
kurawal / tanda kurung besar. Contoh :
• A = { Hindia, Atlantik, Pasifik, Artik, Antartik }
• B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Objek-objek yang merupakan bagian dari
sebuah himpunan disebut elemen dan
diindikasikan oleh simbol .  berarti “adalah
elemen dari“.
Contoh di atas dapat ditulis Atlantik  A atau
2  B.  berarti “ bukan sebuah elemen dari
“. Sesuai contoh di atas dapat ditulis Mt.
Everest  A.
Himpunan diatas disebut himpunan
terbatas – mempunya angka pasti, dapat
diurutkan, dan dideskripsikan.
Himpunan yang tidak memiliki angka
pasti, tidak dapat dideskripsikan, dan
diurutkan disebut himpunan tak terbatas.
Contoh:
Himpunan angka asli lebih besar dari 10.
Dapat tulis { 11, 12, 13, 14, …}
Untuk setiap himpunan yang tak memiliki elemen
disebut himpunan kosong dan memiliki simbol {}
atau .
Contoh :
– Himpunan dari perempuan yang tingginya
lebih dari 6 meter.
– Himpunan dari lingkaran-lingkaran kotak.
Catatan :
Bilangan elemen dalam sebuah himpunan
kosong adalah 0 tetapi {0} bukan merupkan
himpunan kosong – himpunan tersebut
merupakan himpunan yang mengandung 1
elemen yaitu 0.
Notasi Himpunan
Merupakan metode untuk mendefinisikan suatu
kumpulan bilangan ( sebuah himpunan)
Contoh :
Himpunan tak terbatas dari bilangan asli genap
dapat ditulis { 2; 4; 6; 8; 10; …}. Himpunan ini juga
dapat ditulis dengan notasi yaitu :
{  =   IN,  adalah bilangan genap}.
Dibaca : Himpunan dari seluruh elemen x dimana x adalah elemen dari
himpunan bilangan asli genap.
Latihan
1. Tuliskan himpunan dibawah ini.
a) Himpunan dari orang-orang yang tinggal
dalam rumahmu
b) Himpunan yang terdiri dari 5 bilangan ganjil
pertama.
2. Deskripsikan himpunan dibawah ini.
a) A = {2, 3, 5, 7}
b) P = {s, t, u, v, w, x, y, z}
Hubungan antara himpunanhimpunan
Himpunan sederajat
Himpunan-himpunan yang memiliki elemen
yang sama disebut sederajat.
Tentukan himpunan dibawah ini.
A = himpunan huruf dari kata END = {E,N,D}
B = himpunan huruf dari kata DEN = {D,E,N}
Himpunan dapat ditulis A = B
Himpunan bagian
Jika tiap elemen dari himpunan A juga
merupakan elemen dari himpunan B, A juga
merupakan himpunan bagian dari B.
Dapat ditulis :
A  B, dimana  adalah “ bagian dari
himpunan dan  adalah “ bukan himpunan
bagian dari”
Himpunan bagian dari {D,E,N} adalah:
{D} {E} {N} {D,E} {D,N} {E,N}
Trivial dari {D,E,N} adalah {} (himpunan
kosong dan {D,E,N}
Jika sebuah himpunan memiliki elemen n,
berarti himpunan bagiannya adalah 2n.
Contoh:
Himpunan dengan 3 elemen akan memiliki 3
himpunan bagian 23, yaitu: 2 X 2 X 2 = 8
himpunan bagian.
Himpunan dari elemen-elemen
tertentu yang membentuk
himpunan bagian disebut
himpunan universal dan
simbolnya adalah
Latihan
1. Temukan himpunan universal dari setiap
himpunan dibawah ini.
a) Himpunan dari orang berambut panjang
dikelasmu
b) Himpunan huruf hidup
2. Jika adalah himpunan dari murid di
sekolahmu, tentukan himpunan bagian
dari
Irisan dan gabungan
Irisan dari 2 himpunan menunjuk pada elemen
yang ditemukan pada kedua himpunan tersebut
(ada pada himpunan pertama dan himpunan
kedua).
Contoh:
A = {a,b,c,d}
B = {c,d,e,f}
Irisan dari kedua himpunan di atas adalah {c,d} –
ditulis A  B, dimana A  B = B  A
Ketika 2 himpunan tak memiliki elemen
bersama, dapat dikatakan himpunan
irisannya kosong atau .
Elemen dari 2 atau lebih himpunan dapat
dikombinasikan untuk membentuk himpunan baru
atau disebut himpunan gabungan ( union )
Contoh:
A = {1,2,3,4}
B = {4,5,6}
C = {1,2,3,4,5,6}
Himpunan C adalah himpunan gabungan dari
himpunan A dan B – A  B = C
Latihan
1. Untuk setiap himpunan di bawah ini,
tentukan irisannya.
a) {1,2,3,4,5,6} dan {4,5,8,9,10}
b) {a,b,c,d} dan {w,x,y,z}
2. Tuliskan himpunan gabungan dari
himpunan dibawah ini.
a) A = {a,b,c} dan B = {d,e,f}
b) A = {x} dan B = {y}
Komplemen dari himpunan
Komplemen dari himpuna A adalah himpunan dari
elemen-elemen itu yang adalah himpunan universal
tapi bukan A.
Komplemen dari himpunan A ditulis A’
Contoh:
Jika c’ = {1,2,3,4,5} dan A = {2,4,5}, kemudian semua
anggota dari c’ yang bukan dalam A membentuk
himpunan bagian {1,3}. Himpunan bagian adalah
komplemen dari A, jadi A’ = {1,3}
Himpunan A dan komplemen A tidak berhubungan – A
 A’ =  dan A  A’ = c’
Diagram Venn
A
Menunjukkan c’
Lingkaran menunjukkan himpunan A
B
A
B
Himpunan A dan B tidak berhubungan
A C B
C adalah A  B
AB
A C B
A  B adalah daerah A, B, dan C
A
A C B
A’ adalah daerah di luar lingkaran A Di luar daerah A, B, dan C = (A  B)’
Contoh :
M
S
13 4 6
7
Venn dapat pula digunakan
untuk
menunjukkan angka/jumlah
dari
elemen n(A) dalam sebuah
himpunan.
Contoh kasus:
M = murid yang mengerjakan
tugas matematika
S = murid yang mengerjakan
tugas ilmu alam
Latihan
1. Gunakan diagram Venn untuk
menjawab pertanyaan di bawah ini.
a) Tuliskan elemen dari A dan B
b) Tuliskan elemen dalam A  B
c) Tuliskan elemen dalam A  B
2. Gunakan diagram Venn untuk
menjawab pertanyaan di bawah ini.
a) Urutkan elemen dari:
i. P
ii. Q
b) Urutkan elemen dari P yang
juga elemen Q
c) Urutkan elemen dari:
i. Bukan P maupun Q
ii. P tapi bukan elemen Q
A
6
B
4
12
8
24 16 20
18
A
a c
b d
B
e
h
f
g
PANGKAT DAN
AKAR
Ketika angka dikalikan
dengan angka itu sendiri
sekali atau beberapa kali,
jawabannya adalah
pangkat dari angka itu
sendiri. Angka yang kamu
mulai tadi disebut akar
dari pangkat.
Contoh:
5 X 5 =
2
5
= 25
BILANGAN
KUADRAT
DAN AKAR
Jika suatu bilangan
dikalikan dengan bilangan
itu sendiri, maka akan kita
dapatkan bilangan
kuadrat/disebut juga
bilangan kuadrat
sempurna.
Contoh:
3 x 3 =
9 adalah bilangan
kuadrat
3 disebut akar dari 9
2 disebut kuadrat
2
3
= 9
5 bilangan pertama
dari susunan bilangan
kuadrat
1 , 4 , 9 , 16 dan 25
Contoh:
1. 8 x 8 = 64
Jadi 64 adalah bilangan kuadrat dan
akar kuadratnya adalah 8.
Singkatnya dapat ditulis:
82 = 64 dan
64 = 8
2. 12 x 12 = 144
Jadi 144 adalah bilangan kuadrat
dan akar kuadratnya adalah 12.
Singkatnya dapat ditulis:
122 = 144 dan
144 = 12
BILANGAN
KUBIK DAN
AKAR
Jika bilangan kuadrat itu
dikalikan kembali
dengan bilangan yang
semula maka hasilnya
disebut bilangan kubik
Contoh:
6 x 6 = 36 dan 36 x 6 = 216
jadi 216 adalah bilangan kubik
biasanya di tulis dengan
3
6 x 6 x 6 = 216 atau 6 = 216
5 bilangan pertama
dari urutan bilangan
kubik adalah:
1, 8, 27, 64 dan
125
Contoh:
1. 9 x 9 x 9 = 729
729 adalah bilangan kubik dan
akar kubiknya adalah 9.
2. 203 = 8.000 jadi
3
8000 = 20
Latihan....
Tulis 4 bilangan lagi yang memenuhi
rangkaian di bawah ini:
a. 1, 4, 9, 16, 25,.......
Jawab: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81
b. 1, 8, 27, 64, 125, 216,......
Jawab: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000
Gunakan kalkulator untuk
mengisinya...
3
125000  .....
3
1728  .....
3
729  ......
Gunakan kalkulator untuk
mengisinya...
3
125000  50
3
1728  12
3
729  9
MENGHITUNG
a.
b.
c.
d.
e.
f.
132
93
(-4)2
(-3)3
1002
1003
=
=
=
=
=
=
......
......
......
......
......
......
Jawab....
a.
b.
c.
d.
e.
f.
132
93
(-4)2
(-3)3
1002
1003
=
=
=
=
=
=
13 x 13
= 169
9x9x9
= 729
-4 x -4
= 16
-3 x -3 x -3
= -27
100 x 100
= 10.000
100 x100 x 100 = 1.000.000
BILANGAN POSITIF
DAN NEGATIF
Garis bilangan mempunyai
sisi positif dan negatif
ada horizontal dan vertikal
Garis bilangan
Kekiri
dan
kebawah
adalah
negatif
6
5
4
3
2
1
....-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ....
-1
-2
Kekanan
-3
dan
-4
keatas
-5
adalah
-6
positif
Bilangan positif ke
kanan atau ke atas
Bilangan negatif ke
kiri atau ke bawah
Contoh menghitung dengan
garis bilangan
1+2=3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
mulai hasil
Mulai dari angka 1 karena di jumlah, maka
bergeser kekanan dua langkah dan berhenti
di angka 3
2 – 5 = -3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
hasil
mulai
Mulai dari angka 2 karena di jumlah, maka
bergeser kekiri lima langkah dan berhenti
di angka -3
INGAT!!!
+
+
-
.
.
.
.
+
+
-
=
=
=
=
+
+
Contoh:
(-3) + ( -2 ) = -3 – 2 = -5
karena + ketemu – menjadi –
3 - ( -2 ) = 3 + 2 = 5
karena – ketemu – menjadi +
Latihan....
taruh simbol > / <. jika lebih besar dari, gunakan
>. Jika lebih kecil dari, gunakan <.
a. 150 m ................. 75 m
b. - 65 m ................ 30 m
c. -10 m .................. -20 m
d. 50 ...................... -75 m
e. 0 m ...................... -20 m
f. -25 m ................... 25 m
Jawab...
a. 150 m
b. - 65 m
c. -10 m
d. 50 m
e. 0 m
f. -25 m
>
<
>
>
>
<
75 m
30 m
-20 m
-75 m
-20 m
25 m
Tentukan nilai dari :
a. (+5) + (+3)
b. (-4) + (+7)
c. (+6) + (-2)
d. (-1) + (-2)
e. (+3) - (+8)
f. (+2) - (-3)
g. (-5) - (+1)
h. (-5) - (-6)
i. (-4) + ( -3 ) - (+7)
= ..................
= ..................
= ..................
= ..................
= ..................
= ..................
= ..................
= ..................
= ...................
Jawaban:
a. (+5) + (+3)
b. (-4) + (+7)
c. (+6) + (-2)
d. (-1) + (-2)
e. (+3) - (+8)
f. (+2) - (-3)
g. (-5) - (+1)
h. (-5) - (-6)
i. (-4) + ( -3 ) - (+7)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
5+3
-4 + 7
6–2
-1 – 2
3–8
2+3
-5 – 1
-5 + 6
-4 – 3 – 7
=8
=3
=4
= -3
= -5
= 5
= -6
=1
= -14
PECAHAN
Pecahan terdiri dari penyebut
dan pembilang
Pecahan yang sejenis
(angkanya berbeda tetapi
hasilnya sama)
1 2 3 4 5
, , , ,  sama
2 4 6 8 10
Suatu bilangan dibagi dengan
bilangan itu sendiri adalah 1
a
1
a
c
1
c
10
1
10
Suatu pecahan yang penyebut
dan pembilangnya berbeda
dikalikan dengan pecahan
yang penyebut dan
pembilangnya sama maka
hasilnya adalah pecahan
yang penyebut dan
pembilangnya berbeda.
Contoh:
1 4 1
 
2 4
2
Karena
4
1
4
Bila perkalian, pembilang
dapat langsung dikalikan
dengan pembilang yang
lainnya. Sedangkan
penyebut dapat langsung
dikalikan dengan penyebut
yang lainnya.
Penyederhanaan Pecahan
90
90 : 3
30
3



120 120 : 3 40 4
Penyebut dan pembilang dibagi dengan angka
yang sama dan keduanya harus dapat habis
dibagi dengan angka yang sama tadi.
Lakukan terus hingga menjadi pecahan yang
sesederhana mungkin.
Menempati Angka yang Hilang


1

2 16
Catatan..
16 : 2 = 8
1 8 8
 
2 8 16
4

12

 15
Catatan..
12 : 4 = 3
12 3
4
: 
15 3
5
LATIHAN!
1. Tulis pecahan yang berhubungan/
sejenis dengan pecahan di bawah ini.
a.
b.
1 2 3 4 5
, , , , ........
3 6 9 12 15
2 4 6 8 10
, , , , ........
5 10 15 20 25
2. Sederhanakan pecahan dibawah ini
16 2
 16 16 : 8 2 
 caranya  
 
24 3
 24 24 : 8 3 
5
1
5:5
1
 5
 caranya 

 
20 4
 20 20 : 5 4 
3. Lengkapi bilangan yang hilang
3  
3 3 9


caranya 15 : 5  3.   
5 15
5 3 15 

Jadi jawabannya adalah
3 9

5 15
OPERASI PECAHAN
Menjumlahkan/mengurangi pecahan...
Menyamakan penyebut
kemudian menjumlahkan
atau mengurangi
pembilang
Contoh:
a.
3 2
5
 
7 7
7
[ karena penyebutnya sama maka langsung
saja pembilangnya di jumlahkan ]
b.
1 2 5
4
9
 


2 5 10 10 10
[ Penyebutnya disamakan dahulu kemudian
pembilangnya dijumlahkan ]
Perkalian Pecahan
Ketika mengalikan pecahan,
langsung saja mengalikan
pembilang dengan pembilang
dan penyebut dengan
penyebut.
Contoh:
1
1 3 3
3   
4
4 1 4
3
3  sebab3 : 1  3
1
Penyebut dikalikan dengan penyebut= 1 x 3 = 3
Pembilang dikalikan dengan pembilang= 4 x 1 = 4
Membagi Pecahan
Supaya dapat membagi pecahan , kalian butuh
untuk mengerti konsep dari perbandingan terbalik.
Perbandingan Terbalik atau mengalikan kebalikan
3 1
dari 3 adalah 1 karena 3  1  x  1
3
3
1 3
1
1
1
4
4




 2
2
4
2
1
2
Hasil dari perbandingan terbalik selalu 1 untuk
membagi pecahan dengan pecahan lain. Kamu
harus mengalikan pecahan pertama dengan
kebalikan dan pecahan kedua
Contoh..
1 1 1 4
  
2 4 2 1
4

2
2
Latihan
• Hitunglah nilai di bawah ini !
1 1

• 1.2 3
• 4.
7 1
2.
3
4
• 7. 18  3
28
4
3
3
4
5. 7 14

12 15
8.
1 2
2 
7 14
4
3. 2  7
5
1
3
6. 4 8  2 4
1 4
9. 9 
3 7
Pembagian Pecahan
Berita dari surat kabar bahwa 1dari 45 juta orang menderita
buta huruf.
3
Berapakah Jumlah penderita buta huruf ?
1 45.000.000

 15.000.000
3
1
Surat Kabar juga melaporkan bahwa 200 orang, dari
1
pengunjung kebun binatang protes mengenai kandang yang
3
kecil.
Berapa banyak pengunjung kebun binatang tersebut ?
1
adalah
200
Ini artinya bahwa
3
3(total) dari bilangan 3 X 200 adalah 600
3
Pembagian Pecahan
2
25
• Laporan lain menunjukkan bahwa , rata-rata
Konsumen menghabiskan $60 atau dari
penghasilan mereka untuk biaya transportasi
setiap bulan.
• Apa rata-rata penghasilan setiap bulan menurut
hal diatas ?
2
25
•
dari penghasilan adalah $60
• Jadi 251dari penghasilan adalah $30
• Ini berarti 2525dari penghasilan adalah $30 X 25
• Jadi rata-rata penghasilan sebulan dalam
contoh ini adalah $750
Latihan
1. Jika 1dari suatu bilangan adalah 150. Berapa bilangan tersebut?
5
2. 300 adalah 1 dari suatu bilangan , berapa bilangan tersebut ?
4
3. Seseorang menghabiskan $300 untuk makan. Itu adalah 3 dari
5
Gajinya. Hitunglah berapa gajinya ?
4. Tangki air telah terisi penuh , 5ketika terisi 275 l air. Berapa
8
banyak liter air untuk memenuhi tangki tersebut?
5. Hitunglah 2 1  1 3
2
6. Hitunglah
7. Hitunglah
8.
1 1 1
 
f u f
8
1
4

5 15
27  4
1
2
Carilah nilai f ketika u =
jawabanmu dalambentuk pecahan.
1
dan
v = .2 Berkan
4
3
Latihan
•
9. 3 orang teman, Alfred, Bianca dan Carlos, memutuskan untuk membeli
1
1 harga, dan carlos
mobil. Alfred membayar harga, Bianca
membayar
4
3
membayar sisanya.
a. Berapa pecahan yang harus dibayar oleh Carlos ?
b. Bianca membayar $500 lebih banyak dari pada Alfred. Hitunglah
harga mobil
tersebut ?
2
1
10. Geoff menghabiskan 5uangnya untuk makan dan 3 untuk CD.
– A. Berapa pecahan yang dihabiskan untuk yang lainnya?
– B. Berapa pecahan yang menjadi sisanya ?
– C. jika ia mempuyai $500. berapa sisanya ?
11. Berapa banyak pakian yang dapat dinuat dari 22 meter kain jika
setiap pakaian
memerlukan 2 ¼ m?
12. Sebuah ember terisi 14 ½ liter air. Berapa banyak kaleng dengan
kapaitas ¾ l dapat kamu isi dari ember tersebut1 ?
13. Sekelompok atlet perg ke Olympics Games. 20perjalan dengan
pesawat 121 dengan kereta, dan 52 dengan kereta penumpang. Sisa
perjalanan dengan mobil. Berapa pecahan
perjalanan yang menggunakan mobil ?
Desimal
• Angka Desimal berdasarkan puluhan . Bilangan 5268 (
Lima ribu dua ratus enam puluh delapan ) artinya :
• 5000 + 200 + 60 + 8
• Posisi bilangan sangat penting. Contoh di dalam contoh.
Kita mempunyai ribuan , ratusan, puluhan dan satuan.
Desimal
• Bagaimana dengan bilangan 5.268 ?
• Point desimal pada bilangan diatas menunjukkan
dimana satuan berakhir dan memulai pecahan.
• Pecahan juga menunjukkan puluhan.
2 6
8
,
,
10 100 1000
Mengubah Pecahan menjadi
desimal
• Secara umum pecahan dapat berubah menjadi
desimal dengan membagi penyebut dengan
pembilang.
2
• Contoh : 5 = 2 : 5 = 0.4
Menambah dan Mengurangi
Desimal
• Ketika kalian menambah atau mengurangi desimal,
kalian dapat :
• # Mengubah mereka ke dalam pecahan umum dan
menambah mereka.
# Menempatkan mereka di atas yang lain dengan
point desimal di dalam suatu garis dan tambahkan
secara normal.
# Menggunakan Kalkulator
Contoh
• 0.5 + 0.3
=
=
=
5 3

10 10
8
10
0.8
Mengalikan dan Membagi
Desimal
• Ketika kalian mengalikan atau membagi desimal, kalian
dapat :
• # Mengubah menjadi pecahan umum dan
memasukkannya pada rumus.
# Menghitung angka pada tempat
desimal;menambahkan mereka untuk
dikalikan,mengurangi mereka untuk membagi
mereka;
kerjakan seperti biasanya dan masukkan desimal
ketika kamu mengerjakannya.
# Gunakan Kalkulator
Contoh
0.4 x 0.3
4 3
x
10 10
12
10
0.12
Latihan
• 1. Kerjakan soal dibawah ini !
• a. 5.87 + 1.03 + 0.1
b. 9.99 + 0.03
c. 7.92 – 0.97
d. 10 – 0.918
e. 3.87 x 4
f. 3.88 : 4
g. 0.208 : 5
h. 0.8 x0.09
i. 2.391 : 0.03
2. Tulislah dalam bentuk Desimal !
2
a. ¾
d. 5
5
b. 8
27
c. 100
Desimal berulang-ulang
Kalian akan mencatat bahwa ketika kalian
membagi dengan bilangan pasti, kalian sering
8
mendapatkan nilai desimal yang tidak berakhir. 15
Contohnya ketika kamu membagi 8 dengan 15
kamu akan mendapatkan hasil 0.5333333…..
Tanpa akhir. Cobalah menulis sebagai desimalmu.
Angka 3 dapat kita sebut bilangan
tidak terhingga. Kita dapat menunjukkannya
dengan memberi titik pada bilangan yang berulang
tersebut
Bilangan Bulat
Lihatlah pernyataan dibawah ini !
“ Populasi Durban sekitar 750 000”
“ Memerlukan cahaya sekitar 8.65 tahun untuk perjalanan
dari bintang Sirius ke Bumi”
“ Ketebalan satu rambut kira=kira 0.0075 cm “
Setiap pernyataan memuat angka yang tidak pasti.
Populasi Durban tidaklah pasti 750 000, meskipun hal
tersebut masuk akal.
Bilangan Bulat
• Pernyataan kedua dan ketiga adalah ukuran mengenai
waktu dan panjang adalah perkiraan. Disetiap
pernyataan , Bilangan itu benar untuk tingkat ketelitian.
Kita dapat sebut bilangan tersebut hanya Berkisar dalam
ketelitiannnya
Pembulatan mendekati puluhan
Mengingat angka 273. Angka ini terletak diantara 270 dan
280. Ini mendekati 270 lalu ke 280. Kita menulisnya 273
= 270 untuk mendekati sepuluh.
Bagaimana kalian membulatkan 845 mendekati sepuluh?
845 tepatnya adalah setengah jalan antara 840 dan 850.
dalam kondisi ini kita dapat mebulatkan ke atas untuk
pembulatan mendekati sepuluh. Jadi 845 = 850 untuk
mendekati sepuluh.
Dengan cara yang sama, kalian dapat membulatkan angka
mendekati 100, atau ribuan, atau mendekati jutaan dan
seterusnya.
Pembulatan mendekati satuan
• Bagaimana pembulatan angka seperti 7.63 untuk
mendekati satuan?
• 7.63 adalah diantara 7 dan 8.
• Apakah dibulatkan ke atas atau ke bawah ?
• 7.63 adalah penutup untuk ke 8 , jadi 7.63 = 8 pembutan
mendekati satuan.
Pembulatan mendekati tempat
angka desimal
Dengan cara yang sama kamu dapat bertanya untuk
memberikan jawaban pembulatan mendekati satuan
atau mendekati puluhan. Jika kalian bertanya untuk
memberikan jawaban mendekati bilangan pasti atau
desimal. Jawabannya memperkirakan angka ke dalam
desimal.
Pembulatan mendekati tempat
angka desimal
Ini adalah contoh metode yang dapat kalian gunakan;
Kerjakanlah jawaban ke dalam satu tempat desimal
yang kamu butuhkan. Jika angka ekstra adalah 5 atau
lebih, masukkan 1 angka sebelumnya. Jika angka
ekstra kurang dari 5 , tinggalkan angka sebelumnya.
Contoh
1.
Benarkanlah penulisan 43.2976 ke dalam satu
tempat desimal.
Kalian perlu untuk membetulkan ke dalam satu tempat
desimal. Jadi lihatlah bahwa tempat kedua desimal diduduki
oleh angka 9. Jika ankgaka lebih besar dari 5 maka kalian
tinggal menambahkan 1 ke 2 di tempat pertama desimal.
Jadi 43.2976 = 43.3
Contoh
2. Dalam Bilangan yang sama 43.2976. saat ini
benarkanlah penulisannya kedalam 2 tempat desimal.
Dalam tempat kedua desimal ditempati oleh 9. lalu berikutnya
adalah 7, ini artinya lebih dari 5. Jadi kamu harus menambahkan 1
ke 9
Jadi 43.276 = 43.30 untuk membenarkan kedalam 2 tempat desimal.
Contoh
3. Tulislah 9.9999 yang benar ke dalam 3 tempat desimal.
Cat : untuk menambahkan 1 dalam hal ini , ubahlah
seluruh angka yang terdahulu ke 10.
Jawaban dalam hal ini 10.000 adalah penulisan yang benar ke
dalam 3 tempat desimal.
Pembulatan ke angka penting
Jika kamu membaca angka dari kiri ke kanan,
tanpa poin desimal.
Angka penting pertama adalah angka yang
pertama dan bukan 0 .
Semua angka setelah itu adalah angka penting.
5.143 mempunyai 4 angka penting.
0.0003056 juga mempunyai 4 angka penting.
Pembulatan ke angka penting
Kalian mungkin akan bertanya pembulatan
angka ke angka pasti dan angka penting.
Lihatlah contoh dibawah ini dengan hati-hati
untuk melihat bagaimana perbedaan dari
pembulatan kebawah ke tempat desimal.
Contoh
Tulislah angka dibawah ini ke dalam 3
angka penting!
1. 4 768 000
2. 7 471
3. 367.82
4. 6.781
5. 0.002178
Contoh
1.
2.
3.
4.
5.
Untuk membenarkan ke dalam 3 angka penting,
lihatlah angka penting keempat yaitu 8. ini lebih dari
5, jadi tambahkan 1 ke angka ketiga , 4 768 000 = 4
770 000 ke 3 angka penting.
Jangan lupa menulis angka 0
Jangan menulis 4 768 000 = 477!
Angka penting keempatadalah 1, ini kurang dari 5,
jadi tinggalkan angka ketiga.
7471 = 7470 adalah 3 angka penting.
367.82 = 368 adalah 3 angka penting
6.781 = 6.78 adalah 3 angka penting
Angka penting oertama adalah 2. keempat angka
penting adalah 8. jadi 0.002178 = 0.00218 adalah 3
angka penting.
Latihan
1.Tulislah angka dibawah ini ke dalam 3 tempat desimal.
a. 29.712
f. 1000.5645
b. 1.62815
g. 0.6254
c. 202.9157
d. 4.6798
e. 0.003527
Latihan
2. Ulangi pertanyaan yang tadi sekali lagi tetapi ubalah
ke dalam 3 angka penting.
3. Tulislah pecahan ini ke dalam desimal, dan ke 3
1
tempat
desimal.
2
8
4
3
a.
e. 9
b. 75
f. 1
8
1
c. 6
d. 118
Rasio dan Proporsi
Rasio
Berita Weston
Pria terkaya di Weston
meninggal dunia kemarin,
mewariskan 9 juta dollar
untuk dibagikan kepada tiga
orang anaknya, Willem,
Jane dan Zoe dengan rasio
2:3:4
Artikel di samping berbicara mengenai rasio. Rasio adalah suatu
perbandingan antara dua hal atau lebih. Rasio tidak memiliki unitunit. Bila anda ingin membandingkan kuantitas dari unit-unit yang
berbeda, anda harus menyesuaikannya menjadi unit yang sama
sebelum membuatnya ke dalam rasio.
Sebuah rasio dari $3 ke $12 ditulis menjadi 3 : 12. Tandanya
adalah dibaca menjadi ‘ke’.
Rasio juga dapat ditulis sebagai pecahan.
Ini berarti rasio 3 : 12 sama dengan 1 : 4
3: 2 
3 1

12 4
Contoh
1.
$24 dibagi untuk Tony dan Joan dengan rasio 3 : 5.
Ini berarti untuk setiap 8 unit, Tony mendapatkan
3 24
  $9
8 1
5 24
  $15
8 1
3
8
dan joan mendapatkan 5
8
Kerjakan bagian yang didapat masing-masing anak pada artikel dengan menggunakan
metode ini.
2. Contoh mudah rasio $50 : $75.
50 :15 
3.
50 2
  2:3
75 3
(ingat untuk memindahkan unit-unit)
Tunjukkan 2m : 75cm dalam bentuk yang sederhana.
Ubah ukurannya sehingga kedua unit menjadi cm.
200cm : 75cm  200 : 75 
200 8
  8:3
75 3
Latihan
1.
Tunjukkan rasio di bawah ini dengan cara paling sederhana yang mungkin dilakukan.
a. $60 : $20
b. 2m : 40cm
2.
Luas dua lapangan rasionya 2 : 3. Bila lapangan yang lebih besar luasnya 78 hektar,
berapa luas lapangan yang lebih kecil?
3.
Tiga orang lelaki menginvestasikan masing-masing $2000, $3500, $ 4500dalam
bisnis dan setuju untuk membagikan keuntungan dalam rasio dari investasi mereka.
Keuntungan pada tahun pertama adalah $8000. Berapa yang diterima oleh masingmasing mereka?
4.
Saat perang Trafalgar, angkatan perang Inggris sebanyak 27 kapal, angkatan perang
Perancis sebanyak 18 kapal dan angkatan perang Spanyol sebanyak 15 kapal. Cari
ukuran rasio dari ketiga angkatan perang tersebut dengan rasio yang paling
sederhana.
5.
Rene dan Pierre membagikan $255 dalam rasio 5 : 4. Berapa banyak yang diterima
masing-masing?
6.
Saat perang Waterloo 72.500 tentara Perancis dilawan oleh 25000 tentara Inggris,
17500 tentara Dutch dan 27500 tentara Jerman. Cari ukuran rasio dari keempat
pasukan tentara. Berikan jawaban yang paling sederhana.
Skala Peta
Skala pada peta umumnya menggunakan rasio 1 : n. Sebagai contoh, 1 : 25 000,
artinya 1 bagian dari ukuran peta harus dikalikan 25 000 untuk mendapatkan jarak
sebenarnya.
Contoh :
1. Tunjukkan skala peta di bawah ini dalam bentuk 1 : n
a. 5 cm ke 2 km
b. 4 mm : 5 m
2 km = 200 000 cm
5 m = 5 000 mm
5 : 200 000
4 : 5 000
= 1 : 40 000
= 1 : 1250
2. Bila 2 daerah berjarak 8,4 cm pada peta dengan skala 1 : 50 000, berapa jarak
antara 2 daerah itu sebenarnya ?
(8,4 cm x 50 000 : 100 000)km
= 4,2 km. Jadi jarak sebenarnya adalah 4,2 km
Proporsi
Proporsi adalah cara untuk membandingkan rasio kuantitas. Contoh, bila ada 4
buah roti harganya $212, berapa harga 8 buah roti ? Jawabnya adalah $ 24. Pada
contoh ini yang dibandingkan adalah harga dari 4 dan 8 roti. Saat jumlah roti
bertambah dua kali lipat maka harganya pun naik dua kali lipat.
Latihan
1. 5 botol parfum harganya $200. Berapa harga 11 botol parfum ?
2. 4 minuman ringan harganya $9. Berapa harga 3 minuman ringan ?
3. Sebuah mobil berjalan dengan kecepatan 30 km dalam 40 menit. Berapa lama
waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak 45 km dengan kecepatan yang
sama?
4. Untuk membuat kue dibutuhkan : 240 tepung terigu, 60 g margarin, 24 g gula,
48 g, 75 ml susu, 12 g garam.
a. Berapa banyak masing-masing bahan yang anda butukan untuk membuat
kue?
b. Tunjukkan jumlah tepung dan margarin dalam resep ini dalam bentuk rasio !
Invers Proporsi
Dibutuhkan 6 orang 8 hari untuk melakukan suatu pekerjaan. Berapa lama waktu yang
diperlukan bila ada 12 orang yang melakukan pekerjaan yang sama ? Pada soal
ini pekerjanya bertambah banyak sehingga waktu yang diperlukan berkurang.
Pada tipe ini proporsi disebut invers proporsi, pada saat satu kuantitas bertambah,
kuantitas yang lain akan berkurang.
Contoh :
1. Seorang pria menempuh perjalanan dengan kecepatan 30 km/jam pulang ke
rumah dalam waktu 24 menit. Berapa lama waktu yang dia butuhkan jika dia
menempuh perjalanan dengan kecepatan 36 km/jam?
Pada 36 km/jam memerlukan : (30 x 24) : 36 = 20 menit.
2. Seorang wanita bekerja 6 jam per hari dapat bekerja selama 4 hari. Berapa jam
yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaannya selama 3 hari ?
Untuk menyelesaikan pekerjaan sehari memerlukan = 4 x 6 = 24 jam/hari
Untuk menyelesaikan pekarjaan selama 3 hari memerlukan
= 24 : 3 = 8 jam/hari
Latihan
1. 4 orang membangun tembok dalam 15 hari. Berapa lama yang dibutuhkan 6 orang
untuk membangun tembok pada ukuran yang sama ?
2. Sebuah keranjang makanan ayam cukup untuk 4 ekor ayam selama 5 hari. Berapa
hari makanan itu bertahan untuk 8 ekor ayam ?
3. 20 mm hujan turun pada 7 hari awal bulan april. Berapa banyak hujan yang turun
dalam bulan itu ?
Ukuran
Terkadang kita perlu membandingkan 2 kuantitas berbeda yang diukur pada unit yang
berbeda. Apabila sebuah kuantitas pada suatu hal cocok dengan unit lainnya kita
menyebutnya ukuran.
Persentase
Kata per sen berasal dari bahasa latin “percenturi” yang berarti “per seratus”.
Persentase adalah rasio dalam kuantitas kedua selalu seratus, dengan kata lain
persentase adalah pecahan dengan penyebut 100. 25/100 adalah duapuluh lima
persen atau 25%.
Contoh :
1 1 50 50
1.  

 50%
2 2 50 100
2 2 20 40
2.  

 40%
5 5 20 100
Menuliskan persentase sebagai pecahan
Untuk mengubah persentase sebagai pecahan ubah simbol % menjadi x1/100 dan
sederhanakanlah pecahan.
Contoh :
1
1
1 .5 %  5 

100 20
1
5
1
2.250%  250 
 2
100 2
2
Latihan
1. Tunjukkan pecahan-pecahan di bawah ini dalam bentuk persentase!
1.
1
5
5.
1
50
2.
4
5
6.
1
25
1
3.
10
7.
8
25
7
4.
10
8.
5
6
2
10.
3
5
11.
9
5
12.
2
9.
1
8
2. Ubahlah persentase-persentase di bawah ini menjadi pecahan!
1.4%
3.50%
5.60%
7.250%
2.25%
4.75%
6.125%
8.23
1
%
3
9.2
1
%
2
10.66
2
%
3
Persentase dari suatu kuantitas
Anda mungkin perlu menghitung persentase dari suatu kuantitas sebagai contoh, 14% dari $35. untuk
mengerjakan ini, pertama ubah persentase menjadi pecahan kalikan pecahan dengan suatu angka
dan sederhanakanlah.
Contoh :
1.5% dari 600  5 
 5% dari 600 
1
1
 .
100 20
1
 600  30
20
1
5 1
1
2.2 % dari $200  

2
2 100 40
1 200
 
 $5
40 1
Latihan
Carilah nilai dari :
1.10 % dari 150.
2. 5% dari 25
3.15% dari $300
4. 4% dari 200 kg
5. 20% dari 150 m
1
6. % dari 16000
2
1
7.3 % dari $400
2
1
8.7 % dari $800
2
9. 26% dari $50
10. 5,5% dari $ 2000
Menuliskan sebuah angka sebagai persentase dari yang lainnya
Untuk menuliskan sebuah angka sebagai persentase dari angka lainnya pertama tulis
suatu angka dalam bentuk pecahan dari angka lainnya. Kalikan dengan 100/1 dan
sederhanakanlah.
Contoh :
1. Tunjukkan 15 sebagai persentase dari 45 !
Tulis 15 sebagai pecahan dari 45 = 15/45 kalikan dengan 100/1
15/45 x 100/1 = 33.3 %
2 Sebuah pabrik menggunakan 20 pekerja. Satu hari 2 orang pekerja absen bekerja.
Berapa persentase pekerja yang absen ?
Tunjukkan ini sebagai pecahan = 2/20 kalikan dengan 100/1
2/20 x 100/1 = 10%
Latihan
1. Tunjukkan 25 sebagai persentase dari 50.
2. Tunjukkan 12 sebagai persentase dari 36.
3. Tunjukkan 2 ½ sebagai persentase dari 50
4. Diantara 200 keranjang jeruk, 18 diantaranya rotan. Berapa persentase dari
keranjang rotan ?
5. Suatu hari 5 orang dari 50 staf absen. Berapa persentase dari pekerja-pekerja yang
masuk ?
Pertanyaan di bawah ini diambil dari dokumen IGCSE.
7. Tunjukkan 35% sebagai pecahan paling sederhana.
8. Tunjukkan $3.60 sebagai persentase dari $9.
9. Sekaleng buah memiliki massa 530 g. Berat dari buah tersebut 500 g. Cari massa
dari buah sebagai persentase dari massa total.
10. Selama minggu pertama di bulan oktober, sebuah toko buku menjual 880 buku.
Pada minggu kedua, mereka menjual buku 15% lebih sedikit. Berapa banyak buku
yang dijual pada minggu kedua ?
Laba dan Rugi
Laba = SP - CP
Rugi = CP - SP
(Laba = Harga jual – Harga beli)
(Rugi = Harga beli – Harga jual)
Bila jumlah uang yang berasal dari penjualan lebih besar dari pada yang dikeluarkan
untuk membeli disebut rugi, tapi sebaliknya bila jumlah barang yang terjual lebih sedikit
dari pada yang dibayar pedagang maka ia beroleh rugi.
Harga yang dikeluarkan pedagang disebut harga beli (cost price). Harga yang dijual pada
masyarakat disebut harga jual (selling price). Bila harga jual lebih besar daripada harga
beli berarti dia memperoleh laba, tapi bila harga beli lebih besar dari harga jual pedagang
beroleh rugi.
Persentase Laba dan Rugi
Laba dan rugi biasanya dihitung dalam persentase dari harga beli. Rumus dibawah ini
digunakan untuk menghitung persentase laba dan rugi.
Laba sebenarnya
Presentase laba 
 100%
Harga beli
Rugi sebenarnya
Presentase rugi 
 100%
Harga beli
Contoh :
1. Penjaga toko membeli sebuah artikel seharga $500 dan menjualnya seharga $600.
Berapa persentase labanya ?
Laba = SP – CP = $600 - $500 = $100
Persentase laba = laba/harga beli x 100%
= $100/$500 x 100% = 20%
2. Seseorang membeli mobil seharga $16 000 dan menjualnya seharga $12 000.
Hitung persentase ruginya !
Rugi = CP – SP = $16 000 - $12 000 = $4 000
Persentase rugi = rugi/harga beli x 100%
= $4 000/$16 000 x 100% = 25%
Latihan
1. Temukan laba sebenarnya dan prsentase laba pada soal-soal di bawah ini :
a. HB $20, HJ $25
b. HB $500, HJ $550
c. HB $1.50, HJ $1.80
d. HB 30 sen, HJ 35 sen
2. Hitung persentase rugi pada soal-soal di bawah ini :
a. HB $400, HJ $300
b. HB 75 sen, HJ 65 sen
c. HB $5.00, HJ $4.75
d. HB $6.50, HJ $5.85
3. Seorang wanita membeli 100 jeruk seharga $30 . Dia menjualnya 50 sen setiap
buahnya. Hitung persentase laba dan rugi yang diperolehnya.