aljabar boole - Binus Repository

Course Content Template
Matematika Diskrit
Type:ACADEMIC COURSE
Code: K0144
Product Development Center, Bina Nusantara
DC-PDC-4
Ver. 1.0 27/01/03 10:01
Table of Content
Table of Content ............................................................................................................................................................. 1
Course Content ............................................................................................................................................................... 2
ALJABAR BOOLE.................................................................................................................................................. 2
Definisi dan Sifat-sifat Aljabar Boole.................................................................................................................... 2
Aplikasi Aljabar Boole ........................................................................................................................................... 5
Duality, dnf dan Karnaugh Map. ........................................................................................................................... 9
Disjunction Normal Form (dnf) ……………………………………………………………..0
Activity ........................................................................................................................................................................... 15
Quiz/Exam/Self-Assess ........................................................................................................................................ 15
Soal ........................................................................................................................................................................ 15
1
Part
Course Content
ALJABAR BOOLE
SASARAN : Setelah mempelajari modul ini mahasiswa diharapkan dapat meahami pengertian aljabar
Boole dan aplikasinya pada beberapa bidang.
POKOK BAHASAN : Untuk mencapai sasaran di atas disusun pokok bahasan pada modul ini adalah
definisi dan sifat-sifat aljabar Boole, aplikasi aljabar Boole, duality, dnf dan karnaugh map.
Definisi dan Sifat-sifat Aljabar Boole
Dari teori mengenai logika proposisi dan himpunan kita mengenal operasi-operasi yang berlaku pada
sistem tersebut, yaitu operasi ,  pada sistem proposisi (pernyataan) dan operasi ,  pada sistem
himpunan pada kedua sistem tersebut berlaku beberapa sifat-sifat yang memiliki kesamaan. Sifat-sifat
pada kedua sistem yang sama adalah sifat-sifat berikut :
Sistem Logika Proposisi dengan operasi , 
Sistem Himpunan dengan operasi , 
Hukum Komutatif
Hukum Komutatif
pq  q p
A B  B  A
pq  q p
A B  B  A
Hukum Asosiatif
Hukum Asosiatif
( p  q)  r  p  (q  r )
( A  B)  C  A  ( B  C )
( p  q)  r  p  (q  r )
( A  B)  C  A  ( B  C )
Hukum Distributif
Hukum Distributif
p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r )
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r )
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
Hukum Identitas
Hukum Identitas
pF  p
A  A
p T  p
AS  A
Hukum Negasi
p p T
p p  F
Hukum Komplemen
A  A'  U
A  A'  
Hukum De'Morgan
Hukum De'Morgan
 ( p  q)   p   q
( A  B)'  A' B'
 ( p  q)   p   q
( A  B)'  A' B'
Pada kedua sistem ini juga berlaku sifat-sifat lain yang dapat dibuktikan dengan sifat-sifat pada tabel
diatas.
Bila kita mendefinisikan secara umum suatu sistem dengan dua operasi yang berlaku pada sistem
tersebut dan memenuhi sifat-sifat: Hukum Komutatif, Hukum Asosiatif, Hukum Distributif, Hukum
Identitas, Hukum Komplemen dan Hukum De'Morgan, maka sistem ini disebut suatu aljabar boole.
DEFINISI ALJABAR BOOLE
Suatu Aljabar Boole adalah sistem 5 tupel <B, +, *, ’, 0, 1> dengan arti :
B  himpunan Boole

  operasi binar

'  operasi unar
0  elemen zero
1  elemen unit
Elemen zero adalah identitas pada operasi +, dan elemen unit adalah identitas pada operasi  . Dan
pada <B, +, *, ’, 0, 1> berlaku sifat-sifat:
a  b  b  a
1. Komutatif : 
 a b  a  a
a  b  c   a  b   a  c 
2. Distributif : 
a  b  c   a  b   a  c 
a  0  a
3. Identity : 
a  1  a
a  a   1
4. Komplemen : 
a  a   0
SIFAT-SIFAT ALJABAR BOOLE: Disamping sifat-sifat yang ada pada definisi aljabar boole ada
beberapa sifat yang dapat diturunkan dari sifat-sifat dasar tersebut. Sifat-sifat ini adalah:
a  a  a
5. Idempoten : 
a * a  a
a  1  1
6. Boundedness : 
a  0  0
a  a  b   a
7. Absorbsi : 
a  a  b   a
a  a


8. Involusi : 0  1
1  0


a  b   c  a  b  c 
9. Asosiatif : 
a  b   c  a  b  c 
a  b   a  b

10. De Morgan : 


a  b   a  b
CONTOH :
1) Beberapa sistem yang sudah dibahas pada modul-modul sebelumnya merupakan
contoh sistem aljabar boole yang jelas bagi kita, yaitu (L,,,∼,T, F) sistem logika
proposisi dengan operator AND dan operator OR, sistem himpunan dengan operasi
irisan dan gabungan.
2) Himpunan D70 = {1,2,5,7,10,14,35,70} dengan operasi +, * sebagai berikut
a+b = lcm (a,b)KPK
a*b = gcd (a,b)F.P.B
Sistem tersebut merupakan Aljabar Boole dengan B = D70
PENJELASAN CONTOH :
1) Contoh 1 sudah jelas.
2) Dengan kedua operasi + dan * dapat dibuktikan memenuhi hukum-hukum dasar
aljabar boole (silahkan pembaca membuktikan!). Dan dari contoh 2 kita dapat
melakukan operasi :

5 + 10 = 10

5 * 10 = 5

elemen zero = ?
a + zero = a
14 + zero = 14
zero = 1 
 elemen zero = 1

elemen unit = ?
a * unit = a
10 * unit = 10
unit = 70 

 elemen unit = 70
14 + (10 * 35) = ?
jawab : 14 + (10 * 35) = 14 + 5 = 70

14 = ?
jawab : a   a  unit
a   14  70
a  5
 14   5
Contoh : a  b  c   b   c   ?

jawab : a  b  c   b   c   a  b  c   b  c 
 a0
0

Operasi : + dapat ditulis V
* dapat ditulis , sehingga

Contoh : x   y  x    x  y   ?
jawab : x   x  y    x  y 
 x   x  y


 x   x   y 
  x  x    x  y 
 0   x  y 
 x  y
Aplikasi Aljabar Boole
Suatu rangkaian logika dibangun oleh gerbang-gerbang logika antara lain: gerbang and, gerbang or
dan suatu inverter yang memenuhi logika pada aljabar boole. Hubungan seri pada rangkaian saklar
setara dengan operator and, dan hubungan paralel pada saklar setara dengan operator or sehingga
suatu rangkaian saklar juga merupakan aplikasi aljabar boole.
APLIKASI PADA RANGKAIAN GERBANG LOGIKA (RANGKAIAN LOGIKA KOMBINASI):
1) Rangkaian seri (AND Gate)
Input : x, y
Output : x  y
2) Rangkaian Paralel (OR Gate)
Input : x, y
Output : x  y
3)
Inverter (NOT Gate)
Input : x
Output : x'
CONTOH :
Rangkaian logika kombinasi berikut menyatakan ekspresi boolean dari xy+x'y
xy+x'y
PENJELASAN CONTOH :
Dengan logika pada gerbang and, or dan not maka gambar rangkaian diatas memiliki
input x, y dan output xy+x' y.
CATATAN : Bila perpotongan dua garis pada gambar rangkaian logika kombinasi tidak
terdapat titik maka kedua garis dianggap tidak berpotongan tetapi bersilangan (tidak ada
hubungan antara dua garis tersebut).
TABEL KEBENARAN : Tabel kebenaran dari suatu ekspresi bolean ditentukan sesuai
dengan nilai logika dari input-input dan operator-operator yang dipakai dalam suatu
ekspresi boolean.
CONTOH : Tentukan tabel kebenaran dari (xz)+(x'+y).
1
2
3
4
5
6
7
x
y
z
x'
xz
x'+y
(xz)+(x'+y)
1
1
1
1
0
1
1
1
2
1
1
0
0
0
1
1
3
1
0
1
0
1
0
1
4
1
0
0
0
0
0
0
5
0
1
1
1
0
1
1
6
0
1
0
1
0
1
1
7
0
0
1
1
0
1
1
8
0
0
0
1
0
1
1
Jadi rangkaian dari ekspresi (xy)+(x'+z) off jika hanya x yang on.
HUBUNGAN ANTARA TABEL KEBENARAN DAN EKSPRESI BOOLEAN: Dari sebuah ekspresi
bolean kita bisa menetapkan tabel kebenaran ekspresi tersebut, sebaliknya dari suatu tabel kebenaran
kita dapat menentukan suatu ekspresi boolean yang sesuai dengan tabel tersebut.
Tabel Kebenaran
Ekspresi Boolean
Tabel Kebenaran
Ekspresi Boolean
Misalkan kita akan menentukan ekspresi boolean dari tabel pada kolom 7 contoh di atas. Kita lakukan
sebagai berikut:

Dari kolom 7 yang bernilai 1 adalah baris 1, 2, 3, 5, 6, 7 dan 8.

Baris 1 kolom 1, 2 dan 3 diperoleh xyz

Baris 2 Kolom 1, 2 dan 3 diperoleh xyz'

Baris 3 Kolom 1, 2 dan 3 diperoleh xy'z

Baris 5 Kolom 1, 2 dan 3 diperoleh x'yz

Baris 6 Kolom 1, 2 dan 3 diperoleh x'yz'

Baris 7 Kolom 1, 2 dan 3 diperoleh x'y'z

Baris 8 Kolom 1, 2 dan 3 diperoleh x'y'z'

Dari hasil ini kita peroleh ekspresi boolean : xyz + xyz' + xy'z + x'yz + x'yz' + x'y'z
+x'y'z'
Sehingga dengan hukum-hukum aljabar boole kita peroleh :
xyz + xyz' + xy'z + x'yz + x'yz' + x'y'z +x'y'z'
= [xyz + xyz' + xy'z + x'yz + x'yz' + x'y'z +x'y'z'] + [xyz + x'yz +x'yz']
= [xz (y+y') + x'(yz+yz'++y'z+y'z') + xyz'] + [(xyz + x'yz) + x'yz']
= [xz + x'{y(z+z')+y'(z+z')} + xyz'] + [yz (x + x') + x'yz']
= [xz + x'{y+y'} +xyz'] + [yz + x'yz']
= xz + x' + xyz' + yz + x'yz'
= xz + x' + {xyz' + x'yz'} + yz
= xz + x' + {(x+x') yz'} + yz
= xz + x' + yz' + yz
= xz + x' + (yz'+yz)
= xz + x' + {y(z+z')}
= xz + x' + y
Ini menunjukkan bahwa dari tabel kebenaran kita bisa mendapatkan ekspresi boolean seperti pada
kolom 7 tabel kebenaran tersebut.
PENYEDERHANAAN RANGKAIAN LOGIKA KOMBINASI
Dari suatu rangkaian kombinasi kita dapat menentukan ekspresi bolean dari output rangkaian tersebut.
Dengan hukum-hukum aljabar boole ekspresi boolean output ini bisa disederhanakan, bila bentuk
ekspresi boolean output yang sudah sederhana ini digambarkan rangkaian logika kombinasi nya maka
rangkaian terakhir merupakan bentuk penyederhanaan dari rangkaian sebelumnya.
CONTOH :Bentuk sederhana dari rangkaian logika kombinasi
c
aa
bb
Adalah
a
b b
c
PENJELASAN CONTOH : Output rangkaian pertama adalah ac + bc dengan hukum distributif maka
ekspresi ac + bc = (a+b)c yang merupakan output rangkaian kedua.
Duality, dnf dan Karnaugh Map.
KARNAUGH MAP : Selain memakai hukum-hukum aljabar boole proses penyederhanaan dari suatu
ekspresi boolean dapat dilakukan dengan karnaugh map. Karnaugh map berbentuk suatu persegi
panjang yang terdiri dari beberapa kotak sesua kombinasi dari banyaknya variabel.
Bila ekspresi boolean hanya menyangkut dua variabel maka karnaugh map berbentuk persegi panjang
dengan 4 kotak yang masing masing kotak mewakili xy, xy', x'y atau x'y'. Untuk ekspresi bolean 3 dan
empat variabel Karnaugh map terdiri dari 8 dan 16 kotak.
y
√
x
y'
√
Karnaugh map untuk 2 variabel
xy + xy'
x'
y
√
Karnaugh map untuk 3 variabel
xyz' + xy'z + x'yz
√
x
√
Karnaugh map untuk 4 variabel
xyz'w + xyz'w' + x'yzw' + x'y'zw'
z
y
x
√
√
z’
√
√
w
’
DEFINISI ISTILAH DALAM ALJABAR BOOLE :
1) Variabel Boolean : Setiap variabel yang memiliki domain berupa himpunan {0,1}.
2) Literal : Variabel boolean dan komplemennya.
3) Minterm pada n variabel : Hasil kali dari n literal dimana hanya salah satu variabel
atau literal muncul sekali. Istilah lainnya adalah Fundamental product pada n variabel.
Bila kalimat pada n variabel tidak ditulis maka literal pada fundamental product boleh
tidak memuat semua variabel.
4) Maxterm pada n variabel : Junlah dari n literal literal dimana hanya salah satu variabel
atau literal muncul sekali.
5) Minterm normal expression pada n variabel : Jumlah dari minterm-minterm pada n
variabel. (ekspresi boolean yang berupa jumlah dari minterm-minterm)
Beberapa istilah lain dalam aljabar boole yang penting adalah :
1) Disjunctive Normal Form (dnf) : Fundamental product dimana setiap sukunya tidak
termuat pada suku yang lain.
2) Full dnf : Fundamental product pada n variabel.
CONTOH :Bila x, y dan z adalah variabel boolean pada sistem dengan 3 input (3 variabel input) maka
contoh-contoh untuk :
1) Literal pada sistem tersebut adalah : x, x', y, y', z, z'
2) Minterm pada 3 variabel : xyz', x'yz dll (disebut juga fundamental product pada 3
variabel)
Minterm atau fundamental product : xz, xy', xyz' dll
3) Minterm normal ekspression pada 3 variabel : xyz' + x'yz', xy'z +x'y'z' + xyz dll
4) Dnf : xz' + x'yz' + xy'z, bukan dnf : xz + xy'z (sebab xy'z termuat pada xz)
5) Full dnf : xyz + x'yz + xyz' dll.
MINIMALISASI EKSPRESI BOOLEAN : Untuk meminimalkan suatu ekspresi boolean dapat
menggunakan hukum-hukum aljabar boole atau dengan karnaugh map.
CONTOH MINIMALISASI DENGAN KARNAUGH MAP : Tentukan ekspresi boolean minimal dari
minterm : xyzw + xyz'w + xyzw' +xyz'w' + x'yz'w' + x'yzw' + xy'z'w' + x'y'z'w'.
y
x
√
√
√
√
√
√
√
Setelah dilakukan mark dari cel-cel yang
komplementer
diperoleh 3 mark yang
z
mewakili
' : xy + w'y + w'z'
√
w'
Jadi bentuk ekspresi minimal dari xyzw + xyz'w + xyzw' +xyz'w' + x'yz'w' + x'yzw' + xy'z'w' + x'y'z'w'
adalah xy + w'y + w'z.
DUALITY : Dual dari statement dalam aljabar boole adalah pernyataan yang diperoleh dengan
mengganti operasi logik + dengan operasi logik * dan sebaliknya operasi logik * diganti dengan operasi
logik +, dan menganti nilai logik 0 dengan 1 dan sebaliknya 1 dengan 0.
CONTOH :
Pernyataan (1+x)*(y+0) = y mempunyai dual (0*x)+(y*1) = y
SIFAT DUALITY : Jika suatu pernyataan benar maka dualnya juga benar.
CONTOH :
Hukum absorpsi : x + xy = x (pernyataan benar) dualnya x(x+y) = x (pernyataan benar).

Disjunctive Normal Form (dnf)
Dnf adalah suatu ekspresi boolean untuk menuliskan suatu himpunan variabel x1, x2, ….xn yang
ditulis dengan notasi
E(X1, X2, X3, ….Xn)
Contoh : E = (X + Y’ Z) ‘ + (X Y Z’ + X’ Y)’
E = ((X Y’ Z’) + X)’ + y’ Z’)’ sebagai ekspresi boolean dalam X,Y dan Z.
Dnf adalah suatu ekspresi
menggabung/duplikasi.
boolean E, bila perkalian antara variabel tidak ada yang saling
Contoh : E1 = X Z’ + X’ Y Z’ + X Y’ Z sedangkan untuk E2 = X Z’ + Y’ Z + X Y Z’ bukan dnf, karena
perkalian X Z’ tergabung dalam XYZ’
Full Dnf adalah suatu ekspresi boolean E(X1,X2,…) jika ekspresi tersebut merupakan suatu dnf yang
terdiri atas semua variabelnya.
Contoh : E = X Y’ Z + X’ Y Z + X Y Z’
Untuk membentuk dnf menjadi full dnf, maka harus dikalikan dengan faktor 1 (yang berarti a + a’ ),
dimana a dan a’ tidak dimiliki oleh perkalian variabel yang akan di ubah.
Contoh : E = X Y’ menjadi X Y’ (Z + Z’)
 E = X Y’ Z + X Y’ Z’
Ekspresi Boole (E) adalah satu atau jumlah dua/lebih fundamental product.
Yang dimaksud jumlah disini adalah + atau 
misal :

E  xy  x yz  x y z
Ekspresi Boole E dikatakan dalam bentuk dnf, jika E adalah satu fundamental product
atau dua/lebih fundamental product yang tidak ada yang satu termasuk di dalam yang
lain.
Contoh :
E  xz   x yz   xy z  dnf
E  xz  xy z  bukan dnf
Teori : Jika fundamental product P1 termasuk didalam fundamental product P2, maka P1+P2=P1
misal :
xz   xyz   xz 
Full dnf  dnf yang pada setiap fundamental product (sukunya) memuat semua variabel yang
ada pada himpunan Boole.
Contoh :
1. dua variabel : E1  xy  xy  full dnf
E 2  x  xy  y  bukan full dnf
2. tiga variabel : E1  xyz  xyz  xyz  full dnf
E 2  xyz  xy  xyz  bukan dnf

Konsensus dari dua fundamental product
Jika fundamental product P1 dan P2, ada satu elemen saja yang komplementer,maka konsensus
(Q)dari P1 dan P2 adalah perkalian (tanpa ulangan) elemen-elemen P1 dan P2 setelah elemenelemen yang komplementer dikurang.
Contoh :
P1  xyzp  maka konsensusP1 dan P2

P2  xyt 
adalah Q  xzpt
tak memepunyai konsensus , sebab
P1  xyz 
 ada 2 elemen yang komplementer
P2  xyzp 
yaitu : x dan y

Teori : Jika Q konsensus P1 dan P2 maka
P1+P2+Q = P1+P2
Contoh :
P1  xy  
Q  xz
P2  xyz 
P1  P2  Q  xy   xyz  xz
P1  P2  Q  xy   xyz  xz didalam xyz
P1  P2  Q  P1  P2

Prime Implicant dari ekspresi Boole E
Fundamental product P disebut prime implicant dari ekspresi Boole E, jika P+E = E dan tidak ada
fundamental product lain yang termasuk dalam P mempunyai properties tersebut.
Contoh : xz  prime implicant dari E  xy   xyz   x yz 
Buktikan
Bukti : E  xy   xyz   x yz 
E  xz   xy   xyz   x yz   sebab :
xz  konsensus dari xy  dan xyz 
E  xz   E  terbukti


Minimal dnf  jumlah dari prime implicant
Ekspresi Boole Minimal
adalah ekspresi Boole E yang semua fundamental productnya sudah minimal dnf.
Contoh :
E1  xy  xy z  minimum dnf
E1  xy  xy z  xzy   belum minim dnf , tetapi sudah dnf
( karena tak ada yang satu termasuk
di dalam yang lain)
E 2 dapat diminimalkan
yaitu : E 2  xy  xyz  x zy
E 2  xy  xyz  x zy  yz  konsensus
E 2  xy  yz  included in
BELUM MINIMAL
DNF
diteruskan : E 2  xy  yz  xz  konsensus

INI SUDAH MINIMAL
DNF
Karnaugh Map
adalah gambaran dari ekspresi Boole yang dapat digunakan untuk mencari prime implicant
dan ekspresi Boole minimum.
1. Untuk 2 variabel :
x
x
xy
x y
y
y 
2. Untuk 3 variabel :
z
z
x y 
xy
3. Untuk 4 variabel :
xy
x y
x y 
xy
zp
z p
z p 
zp
Contoh :
1. E1  xy  xy  xy  minimumkan !
x
y
v
y
2.
E1  x   y
x
v
v
E 2  xyz   x yz   x y  z  xy  z  minimumkan !
xy
z
z
x y
xy
v
v
xy
E2  yz   y z
v
v
3. E 3  abcd  a bc d  abc d   a b c d  a b c d   ab c d 
minimumkan !
ab a b a b ab
cd
v
c d 
v
c d
v
v
v
v
cd 
E 3  a c d  a bc  bc d   ac d   abcd
Activity
2
Part
Quiz/Exam/Self-Assess
Soal
1.
Bila p, q dan r pernyataan dengan p : 'Setiap hari berolahraga', q : ' Hidup sehat', dan r :
'berprestasi'. Tentukan kalimat dari p  ( q  r ) dan negasi dari kalimat tersebut.
2.
Ujilah validitas dari argumen berikut:
3.
Buktikan
4.
,x  3
7
 x 3  3x 2  x  3
Tentukan invers dari f ( x)  
, x  {1,3}
2
x

2
x

3

,x 1
5
( A' B)  ( A  C )  ( B'C ' )  ( A'C ' )  ( B  C )  ( A' B' )
bahwa
5. Tentukan ekspresi Boolean minimal dari pernyataan berikut dengan Karnaugh Map, dan gambarkan
rangkaian logika kombinasi dari ekspresi minimal tersebut.
Wxyz + wxyz' + wx'yz + wx'yz' + w'x'y'z' + w'xy'z' + w'x'yz' + w'xyz' + wx'y'z
Tentukan ekspresi bolean dari E dan sederhanakan dengan sifat-sifat aljabar boole.
x
y
z
E
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1